▪Definição;▪Número de diagonais de um polígono convexo;

▪Soma das medidas dos ângulos internos e externos;▪Polígonos Regulares;

▪Relações Métricas em um polígono regular;

Professores: Elson Rodrigues

Marcelo AlmeidaGabriel Carvalho

Paulo Luiz Ramos

AULA 01

Existem dois tipos de linhas:

As linhas formadas por CURVAS:

As linhas formadas por segmentos de RETAS:

Linha

Poligonal

Linhas Poligonais:Com

cruzamento

Sem

cruzamento

Abertas

Fechadas

Formam duasregiões: interna eexterna

Polígono

Definição de Polígono

Polígono é uma linha poligonal fechada simples.

Um polígono pode ser

Convexo ou Não-convexo.

Polígono ConvexoÉ aquele no qual QUALQUER segmento de reta formado pela união

de dois pontos do seu interior fica inteiramente contido nele.

Polígono Não- ConvexoÉ aquele no qual é possível encontrar dois pontos internos tais que o

segmento de reta que os une não fica contido inteiramente no seu interior.

Nomenclatura

Observe que o número de ângulos internos de um polígono é igual ao número de lados do polígono.

Elementos de um Polígono

Ângulo interno α

Ânguloexterno β

Na figura, α + β = 180º

O ângulo externo é o suplemento do seu respectivo ângulo interno. Assim, temos

ai + ae = 180°No caso,

Vértice

Lado

Diagonais de um Polígono Convexo

Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono.

As diagonais de um polígono convexo sempre sãointernas a ele!!

A

B

Número de Diagonais de um Polígono Convexo✓ Quantas diagonais saem de cada vértice de um triângulo? E de um quadrilátero? E de um pentágono? E de um hexágono?

✓ Então podemos dizer que de cada vértice de um polígono de n lados saem quantasdiagonais?

✓ É correto afirmar que o número de diagonais que saem de cada vértice é o mesmopara todos os vértices?

✓ As diagonais de um vértice se sobrepõem às de outro vértice? (Isto é, elas serepetem?)

Após essas análises, podemos concluir que o número de diagonais (d) de um polígonode n lados é dado pela fórmula:

2

)3.( −=

nnd

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS1.1. Calcule o número de diagonais de um:

a) Hexágono;

b) Eneágono;

c) Icoságono.

1.2. Quantos lados tem um polígono com 20 diagonais?

1.3. (Saresp – adaptada) Em uma representação plana, seiscidades estão localizadas no vértice de um hexágono. Há umprojeto para interligá-las, duas a duas, por meio de estradas.Algumas dessas estradas correspondem aos lados dopolígono, e as demais correspondem às diagonais. Nessascondições, quantas estradas devem ser construídas?

Soma dos ângulos internos de um polígono

Todo polígono pode ser decomposto em triângulosquando traçamos as diagonais que partem de um únicovértice:

Responda:Qual é a relação entre o número de lados do polígono e o número de

triângulos formados pelas diagonais de um único vértice?

Soma dos ângulos internos de um polígono

4 lados 2 triângulos2 x 180° = 360°

5 lados3 triângulos3 x 180° = 540°

6 lados4 triângulos4 x 180° = 720°

A quantidade de triângulos será sempre o números de lados menos 2;E como cada triângulo possui a soma dos ângulos internos igual a

180°, basta multiplicar a quantidade de triângulos por 180°!!Assim, a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

convexo de n lados é dada pela fórmula:

( )2 180nS n= −

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo ✓Verifique quanto mede a soma dos ângulos externos deum triângulo, de um quadrado e de um hexágono.

✓A que conclusão podemos chegar?

Em qualquer polígono a soma dos ângulos externos é:

º360=eS

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS1.4. Calcule a soma das medidasdos ângulos internos de um:

a) Pentágono;

b) Octógono;

c) Icoságono.

1.5. Quantos lados tem umpolígono cuja soma das medidasdos ângulos internos é 720°?

1.6. Calcule o número de diagonaisde um polígono cuja soma dasmedidas dos ângulos internos é3.060°.

1.7. Determine as medidas x, y e z, em graus.

AULA 02

Polígonos RegularesPolígonos regulares são aqueles que têm todos

os lados congruentes e todos os ângulos internos de mesma medida;

NOMENCLATURA - O nome de um polígono regular será dado de acordo com o seu número de lados. Veja alguns exemplos a seguir:

ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR

l

ll

l

ll

Ac

ÂNGULO CENTRAL - O ângulo Ac échamado ângulo central dopolígono regular. Observe que seuvértice é o centro da circunferênciae seus lados passam por vérticesconsecutivos do Polígono.

Ac

nAc

=

360

ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULAR

APÓTEMA - Chama-se apótema an de um polígonoregular a distância do centro do polígono regular a umde seus lados.

l

ll

l

ll

a6

a3

ELEMENTOS DO POLÍGONO REGULARÂNGULO INTERNO - O ânguloAi é chamado ângulo internodo polígono regular. Observeque todos os ângulos internosde um polígono regular sãocongruentes.

ÂNGULO EXTERNO - O ânguloAe é chamado ângulo externodo polígono regular. Observeque ele é o suplemento doângulo interno.

n

SA i

i =

nAe

=

360

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.11) Calcule a medida de um ângulo interno de um:

a) Pentágono regular;

b) Dodecágono regular;

c) Icoságono regular.

2) Quantos lados tem um polígono regular cuja medidade um ângulo interno é 120°?

3) Calcule o número de diagonais de um polígonoregular cuja medida de um ângulo externo é 40°.

Inscrito ou circunscrito??Depende do referencial!!!Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência. Istoé, o polígono pode ser desenhado “dentro” de umacircunferência com todos os seus vértices pertencentes àcircunferência. Nesse caso, a circunferência está circunscritaao polígono.

Inscrito ou circunscrito??Depende do referencial!!!

l

ll

l

ll

RR

RR

R

R

Note que o polígono e a circunferência possuem o mesmocentro.Observe que o raio R vai do centro da circunferência a um dosvértices do polígono.

Inscrito ou circunscrito??

l

ll

l

ll

APÓTEMA – É a distância do centro dopolígono regular a um de seus lados.

r

POLÍGONO CIRCUNSCRITO - Quando éa circunferência que está do “lado dedentro” do polígono, tangenciando ospontos médios dos lados dele, dizemosque o polígono está circunscrito àcircunferência.

É importante notarmos que também podemos desenhar o polígono“do lado de fora” da circunferência. Nesse caso, dizemos que acircunferência está inscrita no polígono.

Se n = 3, a = 30° Se n = 4, a = 45° Se n = 6, a = 60°

AS RELAÇÕES MÉTRICASNOS POLÍGONOS REGULARES

Note que podemos generalizaros triângulos de cada figuraacima, da seguinte maneira:

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2.2 Determine a expressão que associa

a) a apótema de cada um dos polígonos estudados em funçãoda medida de um de seus lados.

b) a apótema de cada um dos polígonos estudados em funçãodo raio R da circunferência circunscrita ao polígono.

c) a medida de um dos lados do polígono em função do raio Rda circunferência circunscrita ao polígono.

Polígono

Lado (L) em função

do Raio (R)

Apótema (an) em

função do Raio (R)

Apótema (an) em

função do Lado (L)

Triângulo Equilátero

Quadrado

Hexágono

RELAÇÕES MÉTRICAS - tabela