1 geometria computacional fecho convexo. problema 2

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1 Geometria Computacional Geometria Computacional Fecho Convexo Fecho Convexo

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Page 1: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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Geometria ComputacionalGeometria ComputacionalFecho ConvexoFecho Convexo

Page 2: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

ProblemaProblema

2

Page 3: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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MotivaçãoMotivação• O fecho convexo de um conjunto de

pontos é uma aproximação simples• Necessariamente, não ocupa mais espaço

do que o próprio conjunto de pontos No pior caso, polígono tem o mesmo

número de vértices do próprio conjunto• Computar o fecho convexo muitas vezes é

um passo que precede outros algoritmos sobre conjuntos de pontos

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ConvexidadeConvexidade• Um conjunto S é convexo se para quaisquer

pontos p,q S qualquer combinação convexa r S Isto é, o segmento de reta pq S

• O fecho convexo (convex hull) de um conjunto de pontos S é A interseção de todos os conjuntos convexos

que contêm S O “menor” de todos os conjuntos convexos que

contêm S O conjunto de todos os pontos que podem ser

expressos como combinações convexas de pontos em S

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Conjuntos ConvexosConjuntos Convexos• Podem ter fronteiras retas ou curvas• Podem ser fechados ou abertos

Isto é podem ou não conter suas fronteiras (conceito de topologia)

• Podem ser limitados ou ilimitados Um semi-espaço plano ou um cone infinito são

ilimitados• O fecho convexo de um conjunto finito de pontos

é limitado, fechado e cuja fronteira é linear por partes Em 2D, um polígono convexo Em 3D, um poliedro convexo

Page 6: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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Problema do Fecho ConvexoProblema do Fecho Convexo• Dado um conjunto de pontos, computar seu fecho convexo

Polígono é definido normalmente por uma circulação de vértices

Vértices são pontos extremos• Ângulos internos estritamente convexos (< )

– Se 3 pontos na fronteira do polígono são colineares, o ponto do meio não é considerado

• Algoritmo “força bruta” Considere todos os pares de pontos p, q S Se todos os demais pontos estão do mesmo lado do

semi-espaço plano correspondente à reta que passa por p e q, então o segmento de reta pq pertence ao fecho convexo de S

• (Usar o operador orientação) Complexidade: O (n3)

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Varredura de Graham (Varredura de Graham (Graham Graham ScanScan))• Considerado o primeiro algoritmo de Geometria

Computacional (1972)• Algoritmo incremental (2D)

Pontos são pré-ordenados de forma conveniente Cada ponto é adicionado ao fecho convexo e

testado• Precisamos de um ponto inicial p0 que

garantidamente faz parte do fecho convexo Solução: Tomar o ponto com menor coordenada

x (ou y) Na verdade, um ponto extremo em qualquer

direção serve

Page 8: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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Varredura de Graham (Varredura de Graham (Graham Graham ScanScan))• Pontos restantes são ordenados de forma cíclica

com respeito aos ângulos formados pelas retas p0pi• Pontos colineares são removidos nesse processo

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Varredura de Graham (Varredura de Graham (Graham Graham ScanScan))• Pontos restantes são ordenados de forma cíclica

com respeito aos ângulos formados pelas retas p0pi• Pontos colineares são removidos nesse processo

p0

p1

p2

p3

pn-1

Page 10: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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Varredura de Graham (Varredura de Graham (Graham Graham ScanScan))• Cada ponto considerado tem que estar à

esquerda da aresta anteriormente computada do fecho convexo (teste de orientação) Ou o ponto anterior faz uma curva para

esquerda

p0

p1

p2

p3

pn-1

p4

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Varredura de Graham (Varredura de Graham (Graham Graham ScanScan))• O fecho convexo é mantido como uma pilha de pontos. • Enquanto o ponto no topo da pilha não fizer uma curva para à

esquerda, quando se considera o novo ponto, ele é desempilhado

• Em seguida estende-se a cadeia empilhando-se o novo ponto

p0

p1

p2

p3

pn-1

p4

p5

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Complexidade da Varredura de GrahamComplexidade da Varredura de Graham• Achar o ponto mínimo: O (n)• Ordenar pontos restantes: O (n log n)• Colocar e remover cada ponto

Cada ponto entra no fecho convexo 1 vez Cada ponto pode sair do fecho convexo

no máximo 1 vez Teste de orientação é O (1) Logo, testar todos os pontos é O (n)

• Conclusão: Varredura é O (n log n) Solução de pior caso ótima

Page 13: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

Gift-wrap, Marcha de JarvisGift-wrap, Marcha de Jarvis• Semelhante a Varredura de Graham

Escolhe um ponto extremo ( garantido pertencer ao fecho).

Testa cada um dos pontos e acha o que tá mais a a direita (será o próximo ponto do fecho)…e repete o processo.

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Page 14: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Técnica tradicional de projeto de

algoritmos• Semelhante ao “MergeSort”• Idéia:

Dividir o problema em 2 subproblemas de tamanho aproximadamente igual

Achar (recursivamente) a solução dos subproblemas

Combinar as soluções dos subproblemas para obter a solução do problema

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Caso básico

S tem 3 pontos ou menos → resolver trivialmente

• Dividir Ordenar pontos por x e dividir S em dois

subconjuntos, cada um com aproximadamente a metade dos pontos de S (usar a mediana em x): A tem os pontos com menores valores de x e B os com maiores valores

Achar recursivamente HA = Hull (A) e HB = Hull (B)

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Conquistar:

Computar as tangentes inferior e superior e remover os pontos entre elas

Tangente Superior

Tangente Inferior

AB

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Para computar a tangente inferior:

Seja a o ponto mais à direita (maior x) de A Seja b o ponto mais à esquerda (menor x) de B

AB

a

b

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

a-1

a

b

a-1

a

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

b+1

a

b

b

a

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

b

a-1

a

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

b

a

b+1

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

b

a-1a

Page 23: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

ABb

ab+1

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

b

a-1a

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

b

ab+1

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Enquanto ab não for a tangente inferior

Se orientação (a, a-1, b) = anti-horária, então a ← a-1• a -1 ou a +1 à direita de ab

Se orientação (a, b, b+1) = horária, então b ← b+1 • b - 1 ou b + 1 à direita de ab

AB

ba

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Algoritmo “Dividir para Conquistar”Algoritmo “Dividir para Conquistar”• Observações

Polígono representado por lista circular de vértices com circulação anti-horária• “a ← a – 1” deve ser interpretado como

“vértice seguinte a a no sentido horário” Cálculo da tangente superior é feito de

forma análoga ao da tangente inferior A remoção dos pontos entre as

tangentes é feita de forma trivial uma vez calculadas as tangentes

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“ “Dividir para Conquistar” - ComplexidadeDividir para Conquistar” - Complexidade• Algoritmo consiste de uma etapa de ordenação mais uma

chamada a uma rotina recursiva• Etapa de ordenação = O (n log n)• Rotina recursiva:

O trabalho feito localmente (sem contar as chamadas recursivas) consiste de

• Dividir S em 2 subconjuntos: O (n)• Achar as 2 tangentes: O (n)

– Cada vértice é analisado no máximo 2 vezes• Remover vértices entre as tangentes: O (n)

Complexidade da rotina é dada então pela recorrência

A solução desta recorrência (mesma que a do MergeSort) resulta em T(n) O (n log n)

3 para)2/(2 3 para1

)(nnTnn

nT

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Antes do quickhull: incrementalAntes do quickhull: incremental

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XX

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QuickHullQuickHull• Está para o QuickSort assim como o método

“dividir para conquistar” está para o MergeSort• Como o QuickSort, tem complexidade O (n log n)

para entradas favoráveis. Porém, no pior caso, tem complexidade O (n2) Diferentemente do QuickSort, não se conhece

um algoritmo randomizado que tenha complexidade esperada O (n log n)

Na prática, entretanto, o desempenho é muito bom na maioria dos casos

• A idéia principal do QuickHull é descartar rapidamente pontos que obviamente estão no interior do fecho Por exemplo, se os pontos são distribuídos

uniformemente num quadrado, prova-se que o número de vértices do fecho é O (log n)

Page 31: 1 Geometria Computacional Fecho Convexo. Problema 2

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QuickHullQuickHull• Inicialmente, o algoritmo acha 4 pontos extremos

(máximo e mínimo em x e y) que garantidamente fazem parte do fecho convexo e descarta os pontos no interior do quadrilátero

Descartar estes

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QuickHullQuickHull• Vemos que os pontos não descartados

podem ser divididos em 4 grupos, cada um associado a uma aresta Diz-se que esses pontos são

“testemunhas” de que o segmento não é uma aresta do fecho convexo

Se não há “testemunhas”, então o segmento é aresta do fecho

Em geral, sempre temos os pontos não descartados em grupos associados a segmentos de reta

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QuickHullQuickHull• Para cada segmento ab, o algoritmo prossegue

elegendo um ponto c do grupo que se sabe ser um vértice do fecho convexo O método mais usado consiste em escolher o

ponto mais distante da reta de suporte do segmento

a

bc

Descartar estes

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QuickHullQuickHull• Uma vez escolhido o ponto c, os demais pontos

precisam ser classificados Se orient (a,c,p) ou orient (c,b,p) = colinear

• p sobre aresta → descartar Se orient (a,c,p) = orient (c,b,p)

• p dentro do triângulo → descartar Senão,

• Se orient (a,c,p) = anti-horário– p “fora” da aresta ac

• Se orient (c,b,p) = anti-horário– p “fora” da aresta cb

• O algoritmo é aplicado recursivamente aos grupos das novas arestas assim formadas

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Complexidade do QuickHullComplexidade do QuickHull• Operações feitas localmente em cada

chamada da rotina recursiva Determinar um ponto c no fecho convexo:

O (n) Classificar os demais pontos: O (n)

• Tempo total do algoritmo é dado então pela recorrência

n1 e n2 correspondem ao número de pontos “fora” em cada grupo

nnnnTnTn

nnT

2121 onde)()(ou ,1 para1

)(

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Complexidade do QuickHullComplexidade do QuickHull• Vemos portanto que a complexidade depende da

distribuição de n1 e n2 Se a partição é bem balanceada

• max (n1 , n2) ≤ n para algum < 1 Ou se uma fração fixa de pontos é descartada em

cada passo • n1 + n2 ≤ n para algum < 1,

Então a solução da recorrência é O (n log n) Caso contrário, temos um algoritmo que tem

complexidade O (n2)• O algoritmo é bastante rápido quando os pontos

seguem uma distribuição aproximadamente uniforme Nesses casos, a convergência é rápida e o algoritmo

bate a varredura de Graham