Olá estudantes!

Esta semana vamos estudar na Aula Paraná de Matemática, para ajudar em seus estudos, você está

recebendo o resumo dos conteúdos. Relembrando que teremos cinco aulas e vamos tratar sobre:

RESUMO DA SEMANA

AULA 43 – POLÍGONOS REGULARES RELAÇÕES MÉTRICAS – PARTE 2

Nesta aula aplicaremos as relações métricas dos polígonos regulares inscritos na circunferência na

resolução de diferentes exercícios e situações-problema.

Relembrando

• Relações métricas do quadrado inscrito na circunferência: ℓ → medida do lado do quadrado,

a → medida do apótema do quadrado e r → comprimento do raio. Fórmulas: 𝓵 = 𝒓√𝟐 e 𝒂 = 𝒓√𝟐

𝟐

EXEMPLO

1 - Sabe-se que o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r mede 40√2cm. Nessas

condições, determine:

a) o comprimento do raio da circunferência:

Resolução

Substituindo a medida do lado do quadrado em 𝓵 = 𝒓√𝟐, obtemos:

AULA: 43 Polígonos Regulares: relações métricas – parte 2

AULA: 44 Construção de Polígonos Regulares – parte 1

AULA: 45 Construção de Polígonos Regulares – parte 2

AULA: 46 Área de um Polígono Regular – parte 1

AULA: 47 Área de um Polígono Regular – parte 2

MATEMÁTICA

9º Ano SEMANA 10

𝟒𝟎√𝟐 = 𝒓√𝟐 𝑟 = 40√2

√2 Resposta: 𝑟 = 40 𝑐𝑚 O raio mede 40 cm.

b) a medida do apótema do quadrado.

Resolução

Substituindo a medida do raio (r = 40cm) em 𝑎 = 𝑟√2

2 , obtemos:

𝑎 = 40√2

2 𝑎 = 20√2 cm

Resposta: O apótema do quadrado mede 20√2 cm

Relembrando

• Relações métricas do triângulo equilátero inscrito na circunferência: ℓ → medida do lado do

triângulo, a → medida do apótema do triângulo e r → comprimento do raio. Fórmulas: 𝓵 = 𝒓√𝟑

e 𝒂 = 𝒓

𝟐

EXEMPLO

1 - Uma pessoa observa um vitral com desenho de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de

40 cm de raio. Se a área de um triângulo equilátero é dada pela expressão ℓ2 . √3

4, qual é a área do

triângulo observado por essa pessoa?

Dados: ℓ = 𝑟√3 , 𝑎 = 𝑟

2 , use √3 = 1,73

Resolução

Precisamos primeiro determinar o lado do triângulo: ℓ = 𝑟√3 e ℓ = 40√3 cm.

Calculando a área:

A = ℓ2 . √3

4 =

(40√3)2 . √3

4 = 1200√3 = 2076 cm²

2 - Em uma circunferência de 50,24 cm de comprimento está inscrito um triângulo equilátero,

determine:

Dados: C = 2 . 𝝅 . 𝒓 , 𝓵 = 𝒓√𝟑 , use √3 = 1,7 e = 3,14

a) a medida do lado desse triângulo:

Resolução : Primeiro vamos determinar o valor do raio:

C = 2 . 𝜋 . 𝑟50,24 = 2. 3,14 . r 50,24 = 6,28r r = 50,24

6,28 = r = 8 cm

b) o perímetro desse triângulo:

Resolução

Calculando a medida do lado fórmula : ℓ = 𝑟√3

ℓ = 𝑟√3 ℓ = 8√3 ℓ = 8 . 1,7 𝓵 = 𝟏𝟑, 𝟔 cm

Relembrando

Relações métricas do hexágono regular inscrito na circunferência: ℓ → medida do lado do hexágono,

a → medida do apótema do hexágono, r → comprimento do raio. Fórmulas: 𝓵 = 𝒓, ℓ = 𝑟√3 e

𝒂 = 𝒓√𝟑

𝟐

EXEMPLO

1 - Em uma circunferência de 100 cm de diâmetro está inscrito um hexágono regular. Determine:

a) a medida do lado desse hexágono.

Dados:

𝓵 = 𝒓 , 𝒂 = 𝒓√𝟑

𝟐 u𝐬𝐞 √𝟑 = 𝟏, 𝟕

Resolução

Como o diâmetro da circunferência é 100 cm, o seu raio será igual a 50 cm. 𝓵 = 𝒓 𝟓𝟎 𝒄𝒎

b) a medida do apótema desse hexágono.

Resolução

𝒂 = 𝒓√𝟑

𝟐 =

50√3

2 = 𝑎 =

50∙1,7

2 = 𝟒𝟐, 𝟓 𝐜𝐦

AULA 44 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES

Vamos nesta aula construir polígonos regulares usando instrumentos de desenho.

Relembrando

• Polígonos regulares: todo polígono convexo que tem todos os lados de mesma medida e todos os

ângulos internos congruentes entre si.

Passo a passo para construir polígonos regulares usando instrumentos de desenho:

1 - Escolher a quantidade de lados do polígono e as medidas dos lados do polígono. Exemplo:

Número de lados (n) = 5

Medida do lado (l) = 4 cm

A) Pensando na medida do ângulo externo: Calcule a medida do ângulo externo desse pentágono

𝒂𝒆 =𝟑𝟔𝟎°

𝒏 =

𝟑𝟔𝟎°

𝟓 = 72°

B) Construir uma reta suporte como primeiro lado do polígono. Exemplo l = 4 cm

C) Construir em uma das extremidades do segmento, o ângulo 𝑎𝑒 , l = 4 cm e 𝒂𝒆 =𝟑𝟔𝟎°

𝟓 = 72°

Como construir o ângulo utilizando o transferidor 𝑎𝑒 =360°

5 = 72°

D) Traçar a semirreta

EXEMPLO

1 - Construa um hexágono regular com 3 cm de lado.

Resolução

- Pensando na medida do ângulo externo:

Hexágono (n) = 6 Medida do lado (l) = 3 cm 𝒂𝒆 =𝟑𝟔𝟎°

𝒏 =

360°

6 = 60°

- Construir uma reta suporte como primeiro lado do polígono: l = 3 cm

AULA 45 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES – PARTE 2

Nesta aula vamos relembrar polígonos regulares, seus elementos e a sua construção.

Relembrando

• Em geometria, um polígono é uma figura fechada com lados. A palavra "polígono" vem da

palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos. (Wikipédia).

• Polígonos que possuem todos os lados com o mesmo tamanho e todos os ângulos internos com a

mesma medida (congruentes), são chamados de polígonos. Veja as figuras a seguir:

• Um polígono regular pode estar inscrito em uma circunferência (dentro da circunferência) ou

circunscrito (fora da circunferência) , Veja as figuras a seguir:

• Passos de como construir um polígono: Triângulo Equilátero.

1º trace um segmento de reta do tamanho que será o lado do triângulo, chame seus extremos de A e B

2º Marque no compasso uma abertura igual ao tamanho do segmento AB.

3º Com a ponta seca em A trace um arco.

4º Com a ponta seca em B trace mais um arco até encontrar o arco anterior. No encontro dos dois

arcos, marque o ponto C.

5º Unindo o ponto C aos outros dois pontos, temos o triângulo equilátero ABC.

EXEMPLO

1 - Construa um triângulo equilátero cuja medida do lado seja 2,5cm.

Resolução

2 - Construa um quadrado com área de 25𝑐𝑚2.

Resolução

AULA 46 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 1

Vamos rever nesta aula áreas de polígonos regulares: quadrado, triângulo e

pentágono.

Relembrando

• A área de um quadrado é dada por: 𝐴 = 𝑙2 , onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado.

EXEMPLO

1 - Qual é a área do quadrado abaixo?

Resolução

A área de um quadrado é dada por 𝐴 = 𝑙2, onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado. No exemplo,

temos 𝑙 = 2,5 𝑚.

Portanto: 𝐴 = 2,52

𝐴 = 2,5 ∙ 2,5

𝐴 = 6,25 𝑚2

2 - Sabe-se que a área do quadrado abaixo é 40 m2. Dessa forma, qual é o tamanho do

lado desse quadrado?

2,5

2,5 2,5

Resolução: A área de um quadrado é dada por 𝐴 = 𝑙2, onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado. No

exemplo, temos A = 40𝑚2.

Portanto: 40 = 𝑙2 𝑙 = √40 𝑙 ≅ 6,3 𝑚

Relembrando

• Este conceito pode ser estendido para qualquer triângulo:

EXEMPLO

1 - Qual é a área do triângulo abaixo?

Resolução

A área de um triângulo é dada por 𝐴 =𝑏∙ℎ

2, onde b é a base e ℎ é a altura do triângulo. No

exemplo, temos b = 12 cm e h = 15 cm.

Portanto: 𝐴 =𝑏∙ℎ

2 =

12∙15

2=

180

2= 90 𝑐𝑚2.

Relembrando

Podemos assim definir que o cálculo da área de um Pentágono regular é

dado por:

𝐴 =5∙𝑙∙𝑎

2 , (5 vezes a área do triângulo)

EXEMPLO

1 - Sabemos que o pentágono regular é formado por 5 triângulos isósceles e congruentes. Dessa forma,

encontre a área do pentágono cujo lado mede 3 cm e o apótema mede 2,5 cm.

Resolução

Sabemos que o pentágono regular é formado por 5 triângulos isósceles e congruentes.

Dessa forma, encontre a área do pentágono cujo lado mede 3 cm e o apótema mede

2,5 cm.

Podemos calcular a área de cada triângulo e depois multiplicar por 5, fórmula: 𝐴∆ =𝑏∙ℎ

2

𝐴∆ =3∙2,5

2=

7,5

2= 3,75 cm2 e como são 5 triângulos: 𝐴 = 5 ∙ 3,75 = 18,75 𝑐𝑚2.

AULA 47 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 2

Nesta última aula desta semana vamos relembrar áreas de: polígonos regulares, de um pentágono e

de um hexágono.

Relembrando

• A área de um quadrado é dada por: 𝐴 = 𝑙2, onde 𝑙 é o tamanho do lado do quadrado.

• A área de um triângulo é dada por: 𝐴 =𝑏∙ℎ

2 , onde b é a base e ℎ a altura do triângulo.

• A área de um pentágono é dada por: 𝐴 =5∙𝑙∙𝑎

2 onde 𝑙 é o tamanho do lado do pentágono e 𝑎 é

o apótema.

EXEMPLOS

1 - Qual é o tamanho da diagonal do quadrado abaixo, sabendo que sua área é 36m2?

Resolução

Pelo enunciado podemos definir as figuras a seguir:

A área de um quadrado é 𝐴 = 𝑙2, portanto se a área do quadrado é 36𝑚2, então o lado do quadrado

mede 6 m. A diagonal do quadrado pode ser calculada usando Teorema de Pitágoras.

62 + 62 = 𝑑2 → 𝑑2 = 72

𝑑 = √72 → 𝑑 = 6√2𝑚

2 - Qual é a área do triângulo isósceles abaixo:

Resolução

Primeiro precisamos encontrar a altura usando teorema de Pitágoras 12 + ℎ2 = 32

ℎ2 = 9 − 1 → ℎ = √8 → ℎ = 2√2 𝑐𝑚

Para calcular a área usamos: 𝐴 =𝑏∙ℎ

2=

2∙2√2

2= 2√2 𝑐𝑚2

3 - Qual é a área do hexágono regular que possui lado de medida 6 cm e apótema medindo 3√3 𝑐𝑚?

Resolução

De acordo com o enunciado podemos definir a figura como:

A área de um hexágono é calculada por 𝐴 = 3 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎, onde 𝑙 é o lado e 𝑎 é o apótema. No exercício

temos: 𝑙 = 6 𝑐𝑚 𝑒 𝑎 = 3√3 𝑐𝑚, portanto:

𝐴 = 3 ∙ 𝑙 ∙ 𝑎

𝐴 = 3 ∙ 6 ∙ 3√3

𝐴 = 54√3 𝑐m2

Exercícios Aula

AULA 43 – POLÍGONOS REGULARES RELAÇÕES MÉTRICAS – PARTE 2

1. Calcule o apótema de um de um hexágono regular que tem perímetro de 18 cm.

a) 3√2

2 cm

b) 2√3

3 cm

c) √3

2 cm

d)3√3

2 cm

2. Calcule a área de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 5cm.

a) 50 cm²

b) 50√2 cm²

c) 100√2 cm²

d) 100 cm²

AULA 44 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES

1. Na construção de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 4cm,

marcaremos com o transferidor, três ângulos centrais com:

a) 60°

b) 100°

c) 120°

d) 200°

2. Após traçar a reta suporte, que será um dos lados do polígono a ser construído, escolhemos uma

das extremidades para construir o:

a) o ângulo central

Escola/Colégio:

Disciplina: Matemática Ano/Série: 9ª Ano

Estudante:

b) o ângulo reto

c) o ângulo total

d) ângulo externo

AULA 45 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES – PARTE 2

Que tal colocar a mão na massa? Para esta atividade, você vai precisar de:

- Compasso

- Régua

Utilizando estes materiais, construa:

a) Um triângulo equilátero com 4 cm de lado

b) Um quadrado com 4,5 cm de lado

c) Um hexágono com raio de 3,5 cm

Você pode construir esses polígonos em uma folha sulfite, tirar uma foto e anexar nesta atividade,

conforme as instruções recebidas durante a aula.

AULA 46 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 1

1) Joana tem um terreno quadrado, com área de 200 m2. Ela quer cercar esse terreno com 2 voltas de

arame farpado. Qual é a quantidade aproximada de arame necessária?

a) 14,4 m

b) 57,6 m

c) 113,12 m

d) 400 m

2) Sabemos que o pentágono regular é formado por 5 triângulos isósceles e congruentes. Dessa forma

encontre a área do pentágono cujo lado mede 6 cm e o apótema mede 4 cm.

a) 40 cm2

b) 50cm2

c) 60cm2

d) 70cm2

AULA 47 – ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR – PARTE 2

1) Qual é a área do Hexágono regular que possui lado de medida 10 cm e apótema medindo 5√3 𝑐𝑚

𝑎)120√3 𝑐𝑚

𝑏) 150√3 𝑐𝑚

𝑐) 250√3 𝑐𝑚

𝑑) 200√3𝑐𝑚

2) Qual é a área do pentágono abaixo

a) 35 cm2

b) 140 cm2

c) 75 cm2

d) 70 cm2