Professor NeiltonProfessor Neilton

Equações algébricas Equações algébricas

Curiosidades sobre o número PiNa Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis

7:23, existe a passagem:

"Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência." sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.

Equações Algébricas

Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às

equações da forma:

P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0.

Teorema Fundamental da Álgebra

Toda a equação algébrica P(x) = 0 de grau n > 0, admite pelo menos uma raiz real ou complexa

OBS:Equações de 5º grau ou maiores não possuem fórmulas para a

sua solução direta.

Exemplo:

Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 2 e 4

Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da forma:

P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3)Fazendo an = 1, temos que:

P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4)P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8

Multiplicidade de uma raiz

Quando ao decompormos P(x) uma mesma raiz ocorre mais de uma vez a denominamos de raiz múltipla de P(x).

Exemplo:

Se P(x) = (x-1)2.(x-3)

Dizemos nesse caso que das 3 raízes de P(x), a raiz 1 tem multiplicidade 2 enquanto que 3 é uma raiz simples

Teorema das raízes complexas

Se uma equação P(x) = 0 ,de coeficientes reais, apresentar uma raiz complexa (a+bi), podemos afirmar que o seu conjugado (a-bi) também será

raiz de P(x), e com a mesma multiplicidade.

ConseqüênciaNum polinômio P(x) com coeficientes reais e grau

ímpar há, no mínimo, uma raiz real

Dica do professor:

Quando a equação não tem termo independente (sem variável), a quantidade de raízes nulas é igual ao expoente de menor grau.

Na letra a por exemplo o termo 4x2 é o de menor expoente. Portanto 2 raízes nulas.

05. Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite como raízes, os números x1 = 1, x2 = 2 e

x3. Sobre a raiz x3, podemos afirmar:

a) pode ser um número complexob) é necessariamente, um número naturalc) é necessariamente um número inteirod) é necessariamente um número irracionale) é um número real

Resposta:Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é necessariamente um número par, já que,se a+bi for raiz, então o conjugado a-bi também será raiz.Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número complexo, então ela seránecessariamente um número real, o que nos leva à alternativa E.

Questão 06 Determinar m para que a soma das raízes da equação

4x4 – (m – 1)x3 + 2x2 – 5x + 4 = 0 seja igual a 2.

RESOLUÇÃO: X1 + X2+X3+X4= -a1/a0

(soma das raízes)a1= – (m –1)

X1 + X2+X3+X4= (m-1)/4(m-1)/4=2

(m – 1)=4.2

m =8+1 RESPOSTA: m = 9

Questão 07Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo que – 2 e

2

1 são raízes.

P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 = 0

– 4 2 – 1 – 4 10 – 2

3 4 2 – 5 6 – 2 0

P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 = 0

– 2 2 – 5 6 1/2

3 4 2 – 4 4 0

2x2 – 4x + 4 = 0 ou x2 – 2x + 2 = 0

a

bxacb

2´42

4842.1.4)2( 2

1.2

4)2(´

x

1.2

22´

ix

ixix 11 21

Questão 07Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo que – 2 e

2

1 são raízes.

}1;1;2

1;2{: iiSSOLUÇÃO

Questão 08Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1. Quais são as outras raízes dessa equação?

P(1) = 0 2.13 – (m + 3) 12 + 11 .1 – m = 0

2 – (m + 3) + 11– m = 0 – m – 3 + 13– m = 0

– 2m + 10 = 0 2m = 10 m = 5

1 2 – 8 11 – 5

2 – 6 5 0

2x2 – 6x + 5 = 0

a

bxacb

2´42

440365.2.4)6( 2

2.2

4)6(´

x

4

26´

ix

2

3

2

321

ix

ix

Questão 09A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é igual a:a) -3/4 b) -1/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 2

RESOLUÇÃO:A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é:

X1+X2+X3= –a1/a0X1+X2+X3= –(-2)/1

RESPOSTA: letra E

Questão 10 A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais.

Uma delas é 1. Encontre as outras duas.

2x3 – 3x – 2 = 0

1 2 – 5 1 2

2 – 3 – 2 0

a

bxacb

2´42

25169)2.(2.4)3( 2

2.2

25)3(´

x

4

53´

x

4

8´x 2´x

4

2´´

x

2

1´´

x

Questão 11(UEPG-PR) Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outrasraízes desse polinômio é:a) 2/3b) -1c) 4/3 d) -3/4e) 1

3

22

ba

3

22

ba

3

4ba

Questão 12(UEL-PR) Se – 2 é uma das raízes da equação x3 + 4x2 + x + k = 0, onde k R, o produto das outras duas raízes dessa equação é:a) –3b) –2 c) –6 d) 3e) 6

1

)6()2.(.

ba

P(-2) = 0 (-2)3 + 4(2)2 + (–2)+ k = 0

-8 + 16 – 2 + k = 0

K = – 6

x3 + 4x2 + x – 6 = 0

6)2.(. ba

3. ba

13. ( UEFS )– Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30 por Q(x) = x – 2 é igual a 44, então n é igual a

(01) 2(02) 3(03) 4(04) 5(05) 6

SOLUÇÃO: Sabemos pelo teorema do resto, que o resto da divisão do polinômio P(x) por x – a é igual a P(a). Logo, com os dados do problema, podemos escrever:

P(2) = 44 = 2.2n + 5.2 – 30 64 = 2.2n 2n = 32 e, portanto, n = 5, o que nos leva à alternativa (04).

P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2

– 2 3 – 5 1

2

3

13 4

a0 = 1 a1 = m a2 = 12 a3 = 8x1 = x2 = x3 = a

Girard:x1 + x2 + x3 = – a1/a0 a + a + a = – m/13a = –m (I)

x1x2 + x2x3 + x1x3 = a2/a0a . a + a . a + a . a =3a2/1

3a2 = 12 a2 = 4a=+-2 (II)x1x2x3 = –a3/a0a . a . a = a3 = – 8 a = –2

Em (I), com a = –2:-m=3.(-2)

m=6

Questão 14Determinar m, de modo que a equação x3 + mx2 + 12x + 8 =

0 tenha as três raízes iguais.

CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍCONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ

Estudo da reta

e

Área do triângulo

Geometria Analítica

PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO

1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA

É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P

1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO

EXERCÍCIO 01

Solução: 

Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula. 

Logo, no caso teremos:

2m - 16 = 0,

de onde tiramos m = 8

o ponto ficaria P = ( 0, 8)

Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.

EXERCÍCIO 02

Solução: 

Se um ponto pertence ao eixo horizontal (eixo ox) , então a sua ordenada é nula. 

Logo, no caso teremos:

m = 0,

o ponto ficaria P = ( -16, 0)

Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.