sequÊncias e expressÕes algÉbricas aprendizagem

Projecto IMLNA

Promover a Aprendizagem Matemática em Números e Álgebra

SEQUÊNCIAS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

APRENDIZAGEM DA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

A PARTIR DE IGUALDADES NUMÉRICAS

Tarefas para o 7.º ano de escolaridade

Materiais de Apoio ao Professor

Manuel Joaquim Saraiva

Magda Nunes Pereira

Rogério Inácio Berrincha

Setembro 2010

Projecto financiado pela FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia, contrato N.º

PTDC/CED/65448/2006

Materiais divulgados com o apoio da Associação de Professores de

Matemática

1

Índice

Introdução 2

O Ensino e a Aprendizagem de Sequências Numéricas e de Equações 4

Transição da Aritmética para a Álgebra 5

Sugestões didácticas 8

Sequências e expressões algébricas 13

Tarefa 1 – Sequências com quadrados 14

Tarefa 2 – A torre dos ímpares 27

Tarefa 3 – O aniversário do João 36

Aprendizagem da resolução de equações a partir de igualdades numéricas 51

Tarefa 4 – Resolução de equações a partir de igualdades numéricas 52

Tarefa 5 – As idades dos três irmãos 68

2

Introdução

As tarefas matemáticas apresentadas na presente publicação poderão ser propos-

tas a alunos do 7.º ano de escolaridade no desenvolvimento dos tópicos Sequências e

Regularidades, e Equações. Cabe sempre ao professor a opção de decidir sobre as tare-

fas a propor aos seus alunos – as que aqui são apresentadas podem ser propostas de

modo independente, ou de modo sequencial dentro de cada tópico. Nessa decisão, ele

considerará, decerto, a importância do desenvolvimento destes tópicos sob três grandes

capacidades transversais: a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comu-

nicação. Deste modo, o professor poderá propor tarefas com o propósito de promover o

uso de procedimentos algébricos (como por exemplo, na aprendizagem de conceitos

fundamentais como o de sequência, a simplificação de expressões algébricas e a resolu-

ção de equações), bem como o de utilizar esses conhecimentos e capacidades na mode-

lação e resolução de situações do quotidiano.

Na presente publicação são apresentados, para cada tarefa dentro de cada tópico

(Sequências e regularidades e Equações), aprendizagens visadas, conhecimentos prévios

dos alunos, possíveis estratégias de resolução, resoluções de alunos e algumas reflexões.

Nas tarefas referentes ao tópico Sequências e regularidades são dadas indicações

sobre as diversas representações das sequências numéricas (esquema, expressão algébri-

ca e representação geométrica), com realce para a representação esquemática e para a

dificuldade de generalização. É feita também referência à importância das conexões

entre essas representações – através das quais os alunos podem adquirir mais significa-

tivamente o conceito de sequência e os diferentes papéis dos símbolos em Álgebra.

Nas tarefas referentes ao tópico Equações são dadas indicações sobre a noção de

equação, de solução de uma equação e de equações equivalentes, sobre o significado do

sinal de “=” e dos símbolos matemáticos como as letras (incógnita e variável). Em todas

3

as tarefas são dadas indicações sobre as dificuldades dos alunos na passagem da Aritmé-

tica para a Álgebra.

Apresentamos vários modos de explorar tarefas matemáticas que envolvam

sequências numéricas e equações, contrariando a ideia redutora de que só há uma única

forma de encontrar o termo geral de uma sequência numérica e mostrando como se

podem ensinar as regras formais de resolução de equações a partir do trabalho com

igualdades numéricas verdadeiras, promovendo nos alunos:

a compreensão do conceito de sequência e de equação;

o desenvolvimento da capacidade de trabalhar com os vários tipos de representa-

ções;

a capacidade de identificar regularidades e compreender a noção de termo geral

de uma sequência numérica;

a compreensão das noções de solução de uma equação, identificação de expres-

sões e equações equivalentes;

a resolução de equações do 1.º grau utilizando as regras formais.

As tarefas apresentadas nesta publicação estão concebidas para uma realização

em sala de aula em dois momentos principais: o primeiro, relativo ao trabalho autónomo

dos alunos (em pares, em pequenos grupos, ou individualmente) e o segundo, referente

à discussão colectiva com toda a turma. O segundo momento é fundamental para a vali-

dação, formalização e síntese dos resultados, cabendo ao professor a decisão de limitar

no tempo a primeira fase do trabalho, ainda que nem todos os alunos a tenham termina-

do, e dar início à segunda. No âmbito da gestão da aula, o professor deve ter presente

princípios didácticos como:

a equidade – garantindo um sólido apoio a todos os alunos no processo de cons-

trução de novos conhecimentos com base na experiência matemática desenvol-

vida na primeira fase do trabalho;

a coerência – garantindo que as ideias matemáticas construídas na primeira fase

sejam associadas e discutidas, de modo a que, na segunda fase os conhecimentos

e a compreensão sejam aprofundados e ampliados, permitindo que os alunos

desenvolvam a sua capacidade de argumentação e comunicação matemática. O

professor deve garantir que cada aluno reflicta no seu trabalho e o confronte com

resoluções e formas de pensar provavelmente diferentes da dele. Todos os alu-

nos devem ter oportunidade de participar, devendo evitar-se repetições de ideias

e estratégias já apresentadas por grupos/alunos anteriormente. Desta forma, fica-

rão valorizadas quer a diversidade de estratégias, quer a forma como elas são

comunicadas e apresentadas, a par da resposta correcta.

promoção de um bom ambiente de trabalho – requerendo do professor domínio

de todos os conceitos matemáticos envolvidos na resolução das tarefas e conhe-

4

cimento das estratégias pedagógicas adequadas a cada situação, compreendendo

aquilo que os alunos sabem e precisam de aprender em cada momento, bem

como o estímulo que necessitam para o fazerem correctamente. Se as aulas

decorrerem num clima de trabalho agradável, e se este for um tipo de aula usual,

os alunos rapidamente perceberão que têm oportunidade de expor as suas estra-

tégias e resoluções, bem como as suas dificuldades. Perceberão, ainda, que o

facto de eventualmente não terem concluído a resolução da tarefa no primeiro

momento da aula, isso não os impedirá de participar no segundo momento.

Sugere-se aos professores que adaptem as tarefas aqui propostas às característi-

cas da sua turma, deixando tempo para que a discussão colectiva (o segundo momento

da aula) seja feita na mesma aula do trabalho autónomo, de modo que a sua resolução

esteja presente na memória dos alunos, promovendo assim uma discussão mais rica.

O Ensino e a Aprendizagem de Sequências Numéricas e de Equações

De acordo com o novo Programa de Matemática do ensino básico, no âmbito dos

objectivos gerais de aprendizagem dos tópicos Sequências e regularidades e Equações,

os alunos devem:

ser capazes de interpretar e representar situações em contextos diversos, usando

linguagem e procedimentos algébricos;

ser capazes de interpretar equações em contextos matemáticos e não matemáti-

cos;

ser capazes de resolver problemas, comunicar, raciocinar e modelar situações

recorrendo a conceitos e procedimentos algébricos.

Todos os alunos devem compreender, representar, modelar e analisar situações e

estruturas matemáticas usando símbolos algébricos. Porém, a aprendizagem da álgebra

não é um processo fácil, nem linear. Ao iniciar o trabalho em Álgebra, o professor deve

ter presente as dificuldades que muitos alunos revelam quando tentam dar sentido a uma

expressão algébrica, ou a uma letra nessa expressão, quando tentam escrever simboli-

camente uma determinada generalização ou quando resolvem equações – em suma, o

professor deve estar consciente das dificuldades que muitos alunos revelam quando

transitam da linguagem aritmética para a algébrica.

5

Transição da Aritmética para a Álgebra

A aprendizagem da Álgebra envolve o desenvolvimento do pensamento algébri-

co, que é entendido como sendo o estudo i) das estruturas – compreender padrões, rela-

ções, e funções, ii) da simbolização – representar e analisar situações matemáticas e

estruturas, usando símbolos algébricos, iii) da modelação – usar modelos matemáticos

para representar e compreender relações quantitativas e iv) da variação – analisar

mudança em diversas situações (Ponte, 2006).

O pensamento algébrico envolve, por um lado, a capacidade de cálculo e a capa-

cidade de trabalhar com estruturas matemáticas usando os símbolos algébricos na reso-

lução de problemas, e, por outro lado, envolve a capacidade de generalizar. O reconhe-

cimento da generalidade e a sua articulação é uma aptidão ao alcance de todos os alunos

e é vital para eles, caso queiram participar completamente na sociedade (Mason, Gra-

ham & Wilder, 2005). O processo de generalização de uma sequência requer, usualmen-

te, a passagem por quatro fases:

1.ª) construção mental da regra geradora dos termos dessa sequência – é um pro-

cesso mental que ocorre, por exemplo, quando o aluno é capaz de obter qualquer

termo de uma sequência sem ter necessidade de calcular consecutivamente todos

os seus termos até chegar ao termo daquela ordem;

2.ª) escrita da regra em linguagem corrente – é a obtenção da regra mental, com

recurso à linguagem natural, ou numérica;

3.ª) tradução da regra em simbologia algébrica – obtenção da fórmula que cor-

responde à generalização simbólica; e

4.ª) manipulação da generalização – através do seu uso na resolução de proble-

mas que envolvam a sequência em causa. (Rojano, 2002).

Ao pensamento algébrico é, também, associado o sentido do símbolo, entendido

como a capacidade de interpretar e de usar de forma criativa os símbolos matemáticos

na descrição de situações e na resolução de problemas (Arcavi, 2006). Por exemplo, na

resolução da equação 3 5 4x x , em vez de se usarem regras formais poderá fazer-se

uma “leitura dos símbolos” e observar-se que para obter 4 x no 2.º membro deve adi-

cionar-se x a 3 x e, portanto, 5 deverá ser o valor de x .

6

Embora a Aritmética e a Álgebra partilhem muitos dos mesmos sinais e símbolos,

tais como o de “=”, de “+” e de “-“, o seu significado tem de ser enquadrado nos con-

textos respectivos onde eles estão inseridos. Por exemplo, na Álgebra, o sinal de “=”

realça mais claramente o seu sentido relacional, ou seja, numa equação o sinal de “=”

relaciona o 1.ºmembro com o 2.ºmembro. Por sua vez, na Aritmética, o sinal de “=”

realça mais claramente o seu sentido operacional, ou seja, 2 3 5 .

Por outro lado, as letras são símbolos usados em vários contextos e com interpre-

tações distintas, das quais destacamos apenas três: letra considerada como uma incógni-

ta – quando a letra assume um valor desconhecido que pode ser determinado, como

ocorre com a incógnita x na equação 5 7x ; letra considerada como número um

generalizado – quando a letra pode ser substituída por vários valores, como acontece a

n na sucessão dos números naturais pares representada pelo termo geral 2u nn ; e

letra considerada como uma variável – quando a letra representa um conjunto de valo-

res, como, por exemplo 1 3 5 7A , , , . (Küchemann, 1981).

Algumas das dificuldades que os alunos têm no reconhecimento e no uso das

estruturas surgem do facto de que estas, em si, estão muitas vezes disfarçadas pelas

formas como os alunos entendem alguns dos símbolos usados (Kieran, 1992). Os alunos

continuam a usá-los como faziam na Aritmética e tratam-nos como tendo um papel e

um significado idênticos ao do contexto aritmético sem considerações de aspectos estru-

turais, que não podem ser ignorados ao nível algébrico. Sem uma compreensão desta

mudança de perspectiva dos papéis de alguns símbolos que lhes são familiares, os alu-

nos não serão capazes de fazer, efectivamente, a transição do pensamento aritmético

para o algébrico (Nickson, 2004). Por exemplo, na expressão 2 x y x , o objecto

não é 2 x , nem y , nem x , mas sim toda a expressão 2 x y x . Deste modo, quando

é pedido aos alunos para associarem os termos dessa expressão, o que se pretende é que

eles usem uma nova operação que não conduz a uma resposta numérica tal como acon-

tece na Aritmética. Este processo de ver as expressões algébricas como entidades

(objectos matemáticos) é o foco central para o salto cognitivo que os alunos têm de dar

quando transitam da Aritmética para a Álgebra. Nesta transição, pretende-se que os alu-

nos comecem por adquirir alguma familiaridade com o simbolismo algébrico. Para tal, é

necessário que percebam que os símbolos algébricos têm diferentes interpretações de

acordo com o domínio conceptual a que se referem e que podem, por exemplo, repre-

7

sentar objectos em vez de números, e que grupos de símbolos podem ser usados como

unidades básicas com significado – por exemplo, 5x pode ser considerado como

uma quantidade única em situações de manipulação algébrica (Abrantes, Serrazina &

Oliveira, 1999). Esta capacidade (simbolização) permite reconhecer se uma expressão

algébrica está ou não escrita correctamente – por exemplo, saber que 4 20 5x x

está escrito correctamente, mas que isso já não se passa com 4 20 4 5x .

Uma das exigências para o aluno conseguir uma percepção estrutural das equa-

ções tem a ver com a concepção do carácter transitivo e simétrico da igualdade – muitas

vezes referido como a “equivalência esquerda-direita” do sinal de igual. No entanto

alguns alunos, apesar de evidenciarem um entendimento rudimentar deste sinal, são

capazes de resolver, com sucesso, diferentes tipos de equações com uma incógnita (Kie-

ran, 1992). De facto, na Aritmética o sinal de “ ” é, muitas vezes, interpretado como

um simples operador que “transforma” o membro do lado esquerdo de uma igualdade

num resultado numérico que aparece no lado direito da igualdade (como em 2 3 5 ).

Porém, na Álgebra, exige-se o seu sentido relacional de forma mais premente, embora

ele se possa apresentar de formas diferentes: i) como uma equivalência clara entre duas

expressões 2 2 2a b a b , ii) como uma igualdade restrita ou equação

3 4 6 2x x , ou iii) como uma igualdade funcional ( 5 3y x ). A realidade

das nossas escolas mostra-nos que os alunos têm, por vezes, aquilo que se pode designar

por uma percepção operacional do sinal de igual, isto é, tendem a vê-lo apenas como

indicando o resultado de um conjunto de operações escritas à sua esquerda e perdem de

vista o que ele significa em relação aos dois membros da igualdade – o que estará na

origem de erros como: 3 5 8 2 10 ; 2 3x ser igual a 5 x ; 6 y ser igual a

6 y ; 8 12a b ser igual a 20 a b ; e 2 3 5 (Abrantes et al., 1999).

Relativamente ao trabalho com equações, os alunos devem fazer uma transição

progressiva da linguagem natural para a linguagem matemática. No que refere especifi-

camente à resolução equações podem ser usadas várias estratégias de resolução:

factos numéricos (3 5n ; 5 3 2 ; logo, 2n );

técnicas de contagem (3 5 n e os alunos contam 3, 4, 5 , logo, são necessárias

duas unidades para ir do 3 ao 5 );

8

“cover-up” ( 2 9 5x x ; 9 tem de ser igual a 3 x ; logo, 3x );

Andar para trás (através do uso das operações inversas, ou seja

2 4 18 2 18 4 2 14 14 2 7x x x x x );

tentativa e erro ( 2 4 18 ;x para 5x vem 14 18, o que não é verdade;

para 6x vem 16 18, o que não é verdade; para 7x vem 18 18, o que é

verdade; logo 7 );x

realizar a mesma operação em ambos os membros ( 2 4 18x

2 4 4 18 4x 2 14

2 14 7 );2 2

xx x

transposição – mudar de membro, mudar de sinal ( 2 4 18 2 18 4 )x x .

Kieran (1992).

As duas últimas estratégias, que envolvem conhecimento e aplicação de proprie-

dades estruturais algébricas, são consideradas técnicas formais; as duas primeiras têm

uma natureza aritmética, e a terceira e quarta podem ser vistas como uma combinação

destas duas. Os três primeiros processos são abordagens intuitivas e o quinto é um

método que pode fornecer uma base intuitiva para os métodos de resolução mais estru-

turais.

Sugestões didácticas

No 7.º ano de escolaridade deve retomar-se, dos ciclos anteriores, a actividade

matemática dos alunos em torno das sequências e regularidades com vista a aprofundar

o estudo de relações algébricas e a sua simbolização – fundamental para o desenvolvi-

mento da noção de variável e para a compreensão da linguagem algébrica. No desen-

volvimento dos conceitos e procedimentos algébricos é importante que sejam propor-

cionadas aos alunos experiências informais antes da manipulação algébrica formal. Por

exemplo, na resolução de equações é fundamental que os alunos as comecem por resol-

ver pelos processos intuitivos e com recurso às operações inversas (adição/subtracção e

multiplicação/divisão) e só depois com o recurso às regras formais. No decurso das tare-

fas que apresentamos, o uso da técnica de realizar a mesma operação em ambos os

membros da equação tem como objectivo neutralizar termos independentes e/ou termos

com incógnita (recorrendo à adição/subtracção) ou coeficientes de termos com incógnita

(recorrendo à divisão/multiplicação). Assim, com base na neutralização aditiva tem-se

9

que: 5 0x 5 5 0 5x 5x e com base na neutralização multiplicativa

tem-se que: 5 2x 5 2

5 5

x

2.

5x A noção de equilíbrio é fundamental na reso-

lução de equações. Este equilíbrio é traduzido pelo sinal de igual. É crucial que os alu-

nos atinjam a compreensão de que o sinal de “ = ” que aparece numa equação exprime

uma igualdade, não entre as expressões que figuram em cada um dos membros da equa-

ção (que, de um modo geral, são diferentes), mas no sentido em que, para um certo

valor da incógnita, o número que aparece como resultado das operações realizadas na

expressão do lado esquerdo é exactamente igual ao número que se obtém substituindo a

incógnita por esse mesmo valor, na expressão do lado direito (Silva & Paulo, 1963).

Consequentemente, é importante afirmar que numa equação não há “o membro das

incógnitas”. Porém, concordamos com a escolha do primeiro membro para isolar os

termos com incógnitas – o que é feito frequentemente pelos alunos (e pelos professores)

pois a leitura da solução parecerá mais simples.

É conveniente usar expressões algébricas para representar problemas, usando

letras para designar incógnitas ou variáveis e introduzir expressões com variáveis liga-

das a um contexto. Os alunos devem explorar situações variadas em que surjam letras e

discutam os seus significados. A aprendizagem das operações com monómios e poli-

nómios, bem como a simplificação de expressões algébricas, deve ser progressiva e

recorrer a situações que permitam aos alunos compreender a manipulação simbólica

envolvida. Na resolução de uma equação, começar por expressões que envolvam apenas

uma operação e introduzir cedo o questionamento sobre os números desconhecidos,

ajudando a uma leitura da equação como uma pergunta que requer um número como

resposta, pode contribuir para a compreensão do processo por parte dos alunos (Abran-

tes et al., 1999). Para muitos alunos, parte da estrutura e do simbolismo algébrico

podem ser construídos a partir da sua experiência com números, realçando os aspectos

estratégicos e intuitivos (NCTM, 2007; Guzmán, 1996), onde a visualização assume

uma função importante. De facto, a visão, ao produzir modelos mentais, leva a que o

suporte visual apropriado tenha efeitos positivos na compreensão dos alunos e na reso-

lução de situações problemáticas (Saraiva, 1992). Uma forte abordagem investigativa,

que inclua visualização e manipulação de figuras como base para a generalização, pode

conduzir os alunos à construção de fórmulas algébricas (Mason, 1996). Nesta perspecti-

va, acreditamos que, partir do trabalho com igualdades numéricas verdadeiras pode ser

10

um óptimo caminho para os alunos se familiarizarem com as equações, bem como para

encontrarem um processo de as resolver, mesmo formalmente. Conforme as orientações

curriculares, concordamos que na resolução de tarefas que envolvam sequências e equa-

ções os alunos devem fazer uma transição progressiva da linguagem natural para a lin-

guagem matemática. Deste modo, a resolução de tarefas matemáticas de modo intuitivo,

promovendo a ligação gradual da linguagem corrente à linguagem matemática, contri-

bui para a compreensão quer da generalização simbólica de uma sequência, quer do

processo formal de resolução de uma equação.

Por outro lado, concordamos que tentar aprender Matemática sem uma forte

intervenção investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros a

andar e recebendo informações sobre como o conseguem fazer (Braumann, 2002) - a

exploração, a descoberta de estratégias, a tentativa e o erro são processos inerentes à

investigação Matemática. A resolução de problemas assume-se, também, como um

modo de estimular o desenvolvimento do raciocínio matemático e desenvolver a criati-

vidade na fase de procura de uma estratégia adequada à sua resolução (Matos & Serra-

zina, 1996; NCTM, 2007). É ainda assumido que a resolução de tarefas de exploração e

de investigação matemática “permite a formulação de conjecturas, a avaliação da sua

plausibilidade, a escolha dos testes adequados para a sua validação ou rejeição, promo-

vendo a procura de argumentos que demonstrem as conjecturas (...) e levantando novas

questões para investigar” (Silva, Veloso, Porfírio & Abrantes, 1999, p.71). Inserir na

aula tarefas de exploração e de investigação, devidamente seleccionadas, conjuntamente

com tarefas de outro tipo, tais como os problemas e os exercícios, pode facilitar o

desenvolvimento de raciocínios e a aprendizagem de processos matemáticos, nomeada-

mente os algébricos. (Ponte, J. P., Oliveira, H., Brunheira, L., Varandas, J. M. & Ferrei-

ra, 1998; Ponte, J. P., Oliveira, H. & Brocardo, J., 2003; Pereira & Saraiva, 2005; Matos

& Ponte, 2008; Saraiva & Teixeira, 2009).

É importante que os professores, na sua prática profissional, tenham em conta o

papel crucial da experiência matemática dos alunos na sala de aula, onde o professor

deve propor aos alunos tarefas matemáticas com escolhas abertas, que permitam aos

alunos compreender cada experiência e considerá-la como preparação para um trabalho

algébrico posterior mais aprofundado, quer no presente ano lectivo, quer em anos lecti-

vos futuros.

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Referências

Abrantes, P., Serrazina, L. & Oliveira, I. (1999). A matemática na educação básica.

Lisboa: Ministério da Educação, Departamento de Educação Básica.

Arcavi, A. (2006). El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos. In I. Vale, T.

Pimentel, A. Barbosa, L. Fonseca, L. Santos, P. Canavarro (Orgs.) Números e

Álgebra na aprendizagem e na formação de professores (pp. 29-48). Lisboa:

SEM-SPCE.

Braumann, C. (2002). Divagações sobre Investigação Matemática e o seu papel na

Aprendizagem da Matemática. Em J. P. Ponte, C. Costa, A. I. Rosendo, E. Maia,

N. Figueiredo & A. F. Dionísio, Actividades de Investigação – na aprendizagem

da matemática e na formação dos professores (pp.5-24). Lisboa: Secção de Edu-

cação Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências da Educação.

Guzmán, M. (1996). El Rincón de la Pizarra: Ensayos de Visualización en Análisis

Matemático. Madrid: Ediciones Pirámide.

Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school álgebra. In D. A. Grouws (Ed.),

Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 349-419). New

York, NY: Macmillan.

Küchemann, D. (1981). Algebra. In K. M. Hart (Ed.), Children’s understanding of

mathematics: 11-16 (pp.102-119). London: Murray.

Mason, J. (1996). Expressing Generality and Root of Algebra. In Bednarz, N., Kieran,

C., Lee, L. (Eds). Approches to Algebra: perspectives for research and teaching.

Kluwer, Drorecht, pp. 65-86.

Mason. J., Graham, A & Wilder, S. (2005). Developing thinking in Algebra. The Open

University.

Matos, J. & Serrazina, L. (1996). Didáctica da Matemática. Lisboa: Universidade Aber-

ta.

Matos, A. & Ponte, J. P. (2008). O estudo das relações funcionais e o desenvolvimento

do conceito de variável em alunos do 8.ºano. Revista Latinoamericana de Investi-

gacion en Matematica Educativa, año/vol.11, número 002. Comité Latinoameri-

cano de Matemática Educativa. Distrito Federal, México, pp. 195-231.

NCTM (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM.

Nickson, M. (2004). Teaching and learning mathematics: A guide to recent research

and its applications. London: Continuum.

Pereira, M., & Saraiva, M. J. (2005). A integração de tarefas de investigação no ensino

e na aprendizagem das sucessões. Quadrante, 14 (2), pp. 43-69.

Ponte, J. P. (2006). Números e Álgebra no currículo escolar. Em I. Vale, T. Pimentel, A.

Barbosa, L. Fonseca, L. Santos, A. P. Canavarro (Orgs.) Números e Álgebra na

aprendizagem da matemática e na formação de professores (pp. 5-27). Lisboa:

SEM-SPCE.

12

Ponte, J. P., Oliveira, H. e Borcardo, J. (2003). Investigações matemáticas na sala de

aula. Belo Horizonte: Autêntica.

Ponte, J. P., Oliveira, H., Brunheira, L., Varandas, J. M & Ferreira, C. (1998). O traba-

lho de um professor numa aula de investigação matemática. Quadrante, Vol. 7(2),

pp.41-70.

Rojano, T. (2002). Mathematics Learning in the Junior Secondary School: Students‟

Access to Significant Mathematical Ideas. In L. English, M. B. Bussi, G. A. Jones,

R. A. Lesh & D. Tirosh (Eds.), Handbook of international research in mathematics

education (vol. 1, pp. 143-161). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Saraiva, M. J. (1992). Raciocínio Visual. Parente pobre do raciocínio matemático? In

Educação e Matemática Nº21, 1992 (pp.3-5). Lisboa: APM.

Saraiva, M. J. & Teixeira, A. M. (2009). Secondary school students’ understanding of

function via exploratory and investigative tasks. Quaderni di Ricerca in Didacttica,

Supplemento nº 4 al Nº 19, pp. 74-83. Itália: Palermo.

Silva, J. S. & Paulo, J. (1963). Compêndio de Álgebra. Lisboa: Livraria Popular de

Francisco Franco.

13

SEQUÊNCIAS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

14

Sequências com quadrados

Parte

Observa a seguinte sequência construída com quadrados:

Fig. 1 Fig.2 Fig.3

a) Quantos quadrados terá a Fig.4?

b) Quantos quadrados terá a Fig.10? E a Fig.50? Explica o teu raciocínio.

c) Nesta sequência, existirá alguma figura com 157 quadrados? Se existir, indica o

número da figura.

d) Nesta sequência, existirá alguma figura com 324 quadrados? Se existir, indica o

número da figura.

e) Consegues encontrar um processo que permita determinar o número de quadra-

dos da figura, dependendo do número da figura? Explica-o.

Parte

Observa a sequência seguinte:

Fig.1 Fig.2 Fig.3

Descreve um processo que permita determinar o número de quadrados de cada figura,

dependendo do número da figura.

…

15

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido nos 1.º e 2.º ciclos em aulas referentes ao tema

sequências, os alunos devem ser capazes de:

Construir e representar, por esquema e simbolicamente, os termos de sequências

simples de números: divisores, múltiplos, quadrados, cubos, potências de um

número, entre outras.

Traduzir, por escrito e oralmente, os raciocínios desenvolvidos.

Aprendizagens visadas

Com o trabalho realizado em torno desta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

Formular e testar conjecturas matemáticas na exploração da situação proposta.

Desenvolver e avaliar argumentos matemáticos.

Usar o raciocínio visual na exploração da situação proposta.

Compreender a noção de termo geral da sequência numérica trabalhada.

Determinar os primeiros termos da sequência trabalhada.

Representar e analisar situações usando símbolos algébricos.

Escrever simbolicamente um termo geral da sequência em causa.

Determinar, nas sequências da situação dada, o valor de um termo específico,

conhecida a ordem desse termo.

Determinar a ordem de um termo específico, conhecido o valor desse termo.

Orientações para o professor

Indicações gerais

A duração prevista para a exploração, discussão e extensão desta tarefa corres-

ponde a 90 minutos (ver tabela seguinte):

16

Sequências com

quadrados

Duração

prevista

Tempo de exploração

Tempo para apresentação

e validação de resultados

90 min

45 min

45 min

Parte 35 min 15 min 20 min

Parte 55 min 25 min 30 min

A tarefa Sequências com quadrados pode ser usada pelo professor no início do

estudo das sequências no 7.ºano de escolaridade, como tarefa introdutória ao tema. Des-

tina-se a ser proposta aos alunos no início de uma aula, em que aproximadamente 15

minutos estão previstos para a exploração, por parte dos alunos, da Parte – nesta fase,

os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos grupos. Após a exploração da

Parte , estão previstos 20 minutos para a discussão e validação dos resultados, segue-

se a exploração da Parte (25 minutos), e os restantes 30 minutos da aula estão previs-

tos para a discussão e validação dos resultados da Parte .

Trata-se de uma tarefa de natureza exploratória e investigativa que pode ser pro-

posta quer a alunos com experiência neste tipo de trabalho, quer a alunos não familiari-

zados com este tipo de trabalho. Durante a fase de exploração da tarefa, o professor

deve encorajar os alunos a registarem todos os raciocínios e decisões num relatório que

poderá recolher no final da aula (caso o considere pertinente).

Pretende-se que, no início do trabalho, todos os alunos comecem por discutir o

número de quadrados que vai havendo, à medida que o número da figura aumenta e, no

decurso da resolução da tarefa, os alunos podem optar por registar as descobertas em

esquemas de figuras, como as do enunciado. É expectável que a generalidade dos alunos

resolva as quatro primeiras alíneas sem grandes dificuldades e que uma grande parte dos

alunos estabeleça uma relação entre o número da figura e o respectivo número de qua-

drados. É provável que as dúvidas dos alunos comecem a surgir, fundamentalmente na

tradução simbólica da generalização da sequência, na resolução da alínea e), nomeada-

mente em alunos não familiarizados com trabalho de natureza investigativa. Nesse caso,

pode ser necessária a intervenção do professor que pode sugerir a organização dos

dados sob a forma de tabela, por exemplo. Porém, a construção de uma tabela que auxi-

17

lie o raciocínio não é, por vezes, um processo simples e intuitivo para todos os alunos;

nesse caso, o professor pode sugerir que, na coluna da esquerda, por exemplo, se colo-

que o número da figura e na coluna da direita se coloque o número de quadrados respec-

tivo.

Na construção da generalização da situação, o professor pode sugerir, numa fase

inicial, a tradução do procedimento adoptado, em linguagem natural e só depois a sua

tradução simbólica. Pretende-se que os alunos percebam e escrevam simbolicamente o

que ocorre ao número de quadrados de cada figura, à medida que o número da figura

aumenta, usando numa fase inicial o modo recursivo, por exemplo. Contudo, à medida

que o número da figura aumenta, espera-se que os alunos sintam necessidade de cons-

truir um processo que lhes permita, de forma rápida, obter um termo de uma ordem

qualquer, pois o uso recursivo é um processo moroso, nomeadamente na determinação

de termos de ordem elevada.

Para construir o termo geral da sequência, sem uso recursivo, pretende-se que os

alunos estabeleçam uma relação entre o número da figura e o número de quadrados que

a constitui. Esta relação poderá começar por ser um processo mental, que depois será

escrito em linguagem natural e, finalmente, traduzido em linguagem simbólica. Essa

tradução simbólica pode passar por representar a expressão “n.º da figura” por uma

letra. Poder-se-á recorrer a situações já conhecidas dos alunos onde também se usam

letras para representar números, por exemplo, fórmulas de áreas/volumes. Com esta

analogia, será mais fácil os alunos concluírem que a expressão “n.º da figura” poderá

ser representada por uma letra, n por exemplo, onde 1, 2, 3, 4, 5n . Nesta fase o profes-

sor pode formalizar os conceitos de termo e ordem do termo de uma sequência.

No decurso na discussão e validação dos resultados, após a obtenção dos termos

gerais em causa, o professor pode pedir aos alunos a determinação de termos de diferen-

tes ordens, recorrendo aos termos gerais validados, para que os alunos compreendam

melhor a utilidade dessas expressões. Durante a discussão e validação dos resultados, o

professor pode optar por dar início ao trabalho com expressões algébricas equivalentes e

simplificações algébricas, partindo dos termos gerais das duas sequências da tarefa.

Deste modo, com a diversidade de abordagens possíveis à sequência da Parte , poder-

se-ão obter expressões algébricas equivalentes, como as seguintes:

2 2 , 6 2 2 , 2 4n n n n e 6 1 2n

18

Algumas explorações

Parte

A situação pode ser explorada da seguinte forma:

2 4 6

1 2 2 2 3 2

Ou:

2 4 6

2 1 2 2 2 3

Parte

A situação pode ser explorada da seguinte forma:

.º 2 2n da figura n

2 .º 2n da figura n

2 1 4 , 2 2 4 , 2 3 4 , ... , 2 4 , ...n

19

Ou recorrendo à sequência pictórica para escrever a sequência numérica 6, 8, 10,

12, 14, … e procurar uma expressão geradora recorrendo à expressão geradora da

sequência 2, 4, 6, 8, 10, 12, …, que os alunos já conhecem da sequência anterior.

Portanto, a expressão algébrica que permite calcular o número de quadrados utili-

zados em qualquer figura é 2 + 4n .

Existem outras abordagens associadas ao termo geral 2 + 4n . Uma delas é a que

se apresenta a seguir:

Trata-se de uma sequência associada à regularidade: 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , ...

6, 8, 10, 12, 14, …

20

Um exemplo de tabela associada a esta exploração poderá ser:

1.º termo

2.º termo

3.º termo

4.º termo

5.º termo

… …

50.º termo

… …

Termo de

ordem

Uma outra abordagem associada ao termo geral 2 + 4n pode ser:

6 8 10 12 14 4 2 4 4 4 6 4 2, , , , , ... ; ; ; ...; n; ...

21

No entanto, este termo geral 2 4n poderá partir da sequência

3, 4, 5, 6, 7, 8, … Números naturais superiores a 2:

A expressão que permite gerá-lo é 2n :

2 2 2 4n n n

Explorações de alunos

Estratégias usadas na sequência 2 n

Na resolução das primeiras alíneas da tarefa, os alunos podem usar uma aborda-

gem aditiva e uma abordagem multiplicativa, para o cálculo do número de quadrados de

cada figura, como se exemplifica na seguinte resolução:

No que refere à terceira alínea, a forma mais rápida de resolver a questão, aten-

dendo à natureza da sequência, é constatar que todos os termos da sequência são núme-

ros pares e que 157 é um número ímpar.

22

Nas situações em que é solicitado ao aluno para averiguar se um dado valor

numérico é termo da sequência, quando este ainda não conhece o termo geral, o profes-

sor poderá começar por fazer uma “aproximação” ao valor dado e depois dar continui-

dade à sequência. Por exemplo, para verificar se 175 é termo da sequência:

2 75 = 150

150, 152, 154, 156, 158, …

No que refere à resolução da alínea d), o valor 162 pode surgir por um processo

intuitivo de tentativa e erro. O recurso às operações inversas poderá ser feito com

exemplos simples como o seguinte (324:2=162 e 162 ).

Antes da escrita simbólica do processo, os alunos podem fazer a tradução em

linguagem natural.

Esta etapa intermédia é muito importante, pelo menos nos exemplos iniciais, pois pode

facilitar a escrita da expressão algébrica.

23

Estratégias usadas na sequência 2 4n

Na sequência de quadrados da Parte da tarefa, os alunos podem começar por

observar uma invariância na passagem de uma figura para a seguinte (“a sobra de 4”).

Os alunos podem também verificar que o cálculo do número de quadrados pode

determinar-se através da soma do número da figura com ele próprio e adicionando 4

unidades (n.º da figura + n.º da figura + 4). Deste modo, conseguem encontrar um pro-

cesso que lhes permite determinar o número de quadrados em cada figura. Porém, é

possível que lhes surjam algumas dificuldades na tradução algébrica desta situação e na

construção da respectiva expressão simbólica. É natural que os alunos testem as suas

conjecturas apenas para os primeiros casos provavelmente, para os casos indicados

no enunciado, tal como na situação apresentada.

Os alunos podem ainda encontrar processos que lhes permitam determinar o

número de quadrados de cada figura, escrevendo-os em linguagem corrente e depois

fazendo a sua tradução em linguagem simbólica, tal como se exemplifica:

24

Contudo, na situação apresentada, o aluno comete uma imprecisão, bastante fre-

quente na maioria dos alunos, em relação ao significado da letra ao escrever o processo

em linguagem natural dizendo: “calculei o dobro de cada figura …”. O professor deve

deixar bem claro que a letra não representa um nome, ou uma abreviatura para uma

palavra, mas sim um número – na situação em causa deveria dizer-se “calculei o dobro

do número de cada figura” ou “duas vezes o número da figura”.

Os alunos poderão escrever primeiramente o procedimento em linguagem natu-

ral e só depois a tradução simbólica. Porém, nesta etapa, poderá haver alunos com difi-

culdade, tal como por exemplo, referir que o número de quadrados de cada figura se

obtém através de: n.º da figura n.º da figura ou figura figura ou

o dobro da figura , etc. Face a respostas deste género, o professor deve intervir, pro-

movendo discussões como a seguinte:

Professor [depois de os alunos aceitarem que o número da figura,

ordem do termo, pode ser designado por uma letra, por exemplo, )]:

Qual é então a expressão pretendida?

Grupo de alunos: n n .

Rui: Também podemos escrever 2 n .

Professor: Porquê?

Rui: Porque a letra é a mesma.

Professor [escrevendo no quadro]: 2 n (do diálogo com os alu-

nos, esta expressão foi simplificada para 2 n , tendo-se feito, de

seguida, algumas concretizações para n ).

A escrita de 2 n a partir da expressão n n poderá ser feita de forma intuiti-

va, tendo em consideração que n n representa duas vezes o “objecto” n . Nesta fase,

alguns alunos poderão evidenciar ainda uma interpretação bastante rudimentar do con-

ceito de “variável” (como um número generalizado).

25

Os alunos poderão chegar à expressão 4 2 n sem explicitarem o processo que

seguiram, construindo expressões que permitem gerar a sequência numérica 6, 8, 10, 12,

14,..., tal como se exemplifica a seguir:

26

Alguns alunos poderão chegar à expressão 6 1 2n após a construção e a análi-

se de tabelas como a seguinte:

É possível que a maioria dos alunos tenha dificuldade essencialmente no proces-

so de generalização simbólica. O professor deve estar consciente que a escrita do pro-

cesso em linguagem natural é um passo importante que antecede a simbolização e que

lhe pode dar significado. A necessidade de introduzir letras no processo de generaliza-

ção simbólico é também um passo importante no percurso para a formalização e escrita

simbólica de uma generalização. O professor poderá promover a inserção de letras

recorrendo a situações que o aluno já conhece e onde as letras também são usadas para

representar números (por exemplo, fórmulas de áreas). Contudo, é fundamental que o

aluno perceba a importância do termo geral de uma sequência numérica. Esta importân-

cia fica bem clara quando o aluno tem de determinar termos de “ordem elevada”, numa

fase em que ainda desconhece o termo geral da sequência (e usa processos recursivos -

morosos para calcular termos de “ordem elevada”).

N.º da figura N.º de quadrados

1

6

2

8

3

10

27

A torre dos ímpares

Considera o seguinte triângulo de números:

1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 11 _ _ _ _ _ _ _ a) Escreve a sétima linha.

b) Adiciona os números de uma mesma linha e completa a tabela que se segue com os

resultados.

c) Observando os resultados obtidos, indica qual a soma dos números da oitava linha do

triângulo, sem a escrever.

d) Qual é o número da linha do triângulo cuja soma dos números é 100?

e) Consegues encontrar um processo que nos indique a soma dos números de uma

determinada linha do triângulo, dependendo do número da linha? Explica-o.

Linha n.º Soma dos

números da

linha

1 1

2 4

3

4

5

6

7

28


Com o trabalho desenvolvido nos 1.º, 2.º e 3.º ciclos em aulas referentes ao tema


Construir e representar, por esquema e simbolicamente, os termos de uma

sequência de valores simples.



Com o seu trabalho nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

Reconhecer o padrão numérico associado à formação do triângulo de números

dado.

Escrever os primeiros termos da sequência dos números ímpares.

Reconhecer a sequência dos quadrados perfeitos.

Identificar cada termo da sequência de quadrados perfeitos com o resultado da

soma de números ímpares consecutivos até à ordem desse termo.

Determinar o valor de um termo específico, conhecida a ordem desse termo, na

sequência de quadrados perfeitos.

Usar a linguagem matemática para representar algebricamente o termo geral da

sequência de quadrados perfeitos.

Com o seu trabalho na extensão da tarefa, os alunos devem ainda ser capazes de:

Usar a linguagem matemática para representar algebricamente o termo geral da

sequência da soma dos primeiros números pares consecutivos.

29


Indicações gerais

A duração prevista para a exploração e discussão desta tarefa corresponde 45 minutos

(ver tabela seguinte):

A tarefa A torre dos ímpares destina-se a ser proposta no decurso de uma aula de

matemática, em que aproximadamente 15 minutos estão previstos para a sua exploração

– nesta fase, os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos grupos. Pretende-se

que os alunos identifiquem a sequência da soma de números ímpares consecutivos com

a sequência de quadrados perfeitos. O professor pode pedir aos alunos que registem

todos os raciocínios e decisões num relatório que poderá recolher no final da aula (caso

o considere pertinente).

Nesta tarefa, os dados já estão organizados numa tabela, em que a coluna da

esquerda se refere ao número (n) da linha da torre e a coluna da direita se refere ao valor

da soma dos números ímpares consecutivos até ao valor do número da linha (até n).

Estão previstos cerca de 15 minutos para a apresentação, discussão e validação conjunta

de resultados.

Por se tratar de uma tarefa de natureza exploratória e investigativa, os 15 minu-

tos finais poderão ser dedicados à exploração de uma possível extensão à tarefa - deter-

minação de um processo que permita obter a soma de números pares consecutivos. O

professor pode propor, de modo análogo ao explorado para os números ímpares, a cons-

trução de uma tabela onde a coluna da esquerda seja referente ao número da linha (n) e

a coluna da direita seja referente ao valor da soma dos (n) primeiros números pares con-

secutivos.

Frise-se que esta extensão prevê o estabelecimento da generalização, a escrita

simbólica da mesma e o uso da expressão obtida para o cálculo da soma de um determi-

A torre dos

ímpares

Duração

prevista

Tempo de

exploração

Tempo para apresen-

tação e validação de

resultados

Tempo para a extensão

45 min

15 min

15 min

15 min

30

nado número de pares consecutivos (dada uma linha específica da tabela) – e não em

sentido contrário, por se tratar de uma expressão de segundo grau que ao ser manuseada

no sentido inverso (dado um valor específico da soma dos primeiros pares consecutivos,

determinar o número da linha da tabela, ou seja, o número de parcelas da soma em cau-

sa) não seria exequível, em termos analíticos, no 7.ºano de escolaridade, atendendo ao

currículo nacional.

Na discussão conjunta, o professor deve promover nos alunos a capacidade de

comunicarem, de forma coerente e clara, o seu pensamento matemático, bem como a

capacidade de analisarem e avaliarem as estratégias e o pensamento matemático usado

por outros na resolução da tarefa.

Exemplo de exploração

a) A sétima linha do triângulo de números será: 1 3 5 7 9 11 13

b) Após a adição dos números de uma mesma linha tem-se que:

c) A soma dos números da oitava linha será: 64.

d) A linha do triângulo cuja soma dos números é 100 é a 10.ª linha.

e) A soma de uma determinada linha do triângulo é sempre o número dessa linha

ao quadrado. Trata-se de uma sequência de quadrados perfeitos. Ou seja, na

linha n, a soma dos números será 2

n n n .

Linha n.º Soma dos números da

linha

1 1 2 4

3 9

4 16 5 25

6 36

7 49

31

Exploração da extensão da tarefa

Um processo que indique o valor da soma dos n primeiros pares consecutivos pode ser

dada através da exploração seguinte:

2 linha 1

2 4 linha 2

2 4 6 linha 3

2 4 6 8 linha 4

2 4 6 8 10 linha 5

...

_ _ _ _ _ _ _ ... linha n

Para a exploração da soma dos primeiros números pares consecutivos, pode ser

considerada a generalização obtida para a soma dos primeiros números ímpares conse-

cutivos, procedendo do seguinte modo:

Linha n.º Soma dos

números da linha

1 2

2 2+4 = 6

3 2+4+6 =12

4 2+4+6+8=20

5 2+4+6+8+12=32

… …

n ?

Linha n.º

Soma dos números pares da mesma linha recorrendo à generalização

da soma dos números ímpares

1 2

2 2+4 = 6

3 2+4+6 =12

4 2+4+6+8=20

5 2+4+6+8+12=32

… … …

n

32


Comunicação matemática usando números e operações

As três primeiras alíneas desta tarefa estão formuladas de modo a promover o

raciocínio intuitivo do aluno, são de resposta rápida e simples. Na quarta alínea, onde se

pretende o número da linha do triângulo cuja soma dos números seja 100, os alunos

podem ir somando números ímpares consecutivos, começando em 1, e verificar que a

soma dos primeiros dez ímpares consecutivos é 100, como a seguir se apresenta:

Dando continuidade ao raciocínio desenvolvido na alínea b), em que é pedido a

soma dos ímpares consecutivos para as sete primeiras linhas da tabela (ou seja, a soma

dos sete primeiros ímpares consecutivos) os alunos podem calcular a soma dos oito, dos

nove e dos dez primeiros ímpares consecutivos, identificando cada soma com o quadra-

do de 8, de 9 e de 10, respectivamente.

No que refere à última alínea, os alunos podem começar por explicar o que acon-

tece ao valor da soma dos números de uma determinada linha, essencialmente através de

linguagem natural, como se exemplifica:

33

É provável que a maioria dos alunos determine alguns termos da sequência e

verbalize correctamente a regra de construção dessa sequência, mas revele alguma difi-

culdade em escrever simbolicamente a expressão algébrica que traduz a generalização

da situação. O professor deve ter presente que o uso da linguagem algébrica como modo

de comunicar é um processo que se desenvolve de forma gradual. Importa, sobretudo,

desenvolver desde cedo nos alunos, a capacidade de comunicarem o seu pensamento

matemático, de forma coerente e clara, ao professor e aos colegas, percebendo que os

símbolos actuam como facilitadores dessa comunicação.

A construção de relações simbólicas

Na transição da linguagem natural para a simbólica, se os alunos manifestarem

dificuldades, o professor pode começar por estender a torre dos ímpares e a tabela do

enunciado até à linha n, do seguinte modo:

1 linha 1

1 3 linha 2

1 3 5 linha 3

1 3 5 7 linha 4

1 3 5 7 9 linha 5

...

_

_ _ _ _ _ _ ... linha n

A escrita simbólica da generalização pode ser provocada por uma discussão

como a seguinte na qual os alunos comecem por explicar o que acontece ao valor da

soma dos números de uma determinada linha, essencialmente através de linguagem

Linha n.º Soma dos

números da

linha

1 1

2 1+3 = 4

3 1+3+5 =9

4 1+3+5+7=16

5 1+3+5+7+9=25

… …

n ?

34

natural, designando, posteriormente, o número de uma linha qualquer da torre por uma

letra, por exemplo n.

Professor: Se considerarmos a linha número 1, o que acontece à

soma dos números dessa linha?

Isa: Então, é 1.

Professor: Então e se considerarmos a linha número 2, o que acon-

tece à soma dos números dessa linha?

Isa: É 1+3, ou seja é 4.

Professor: Muito bem. Então como podemos relacionar o número da

linha, que é 2, com o resultado da soma dos ímpares dessa linha, que

é 4?

Marco: Então é o dobro.

Professora: Nesse caso, sim. Se considerarmos a linha número 3, a

soma dos números ímpares dessa linha será o dobro de 3?

Marco: Foi para 2, também é para 3.

Isa: Não, é o quadrado de 3, 23 , que é 9.

Marco: Pois, para 2 também é 22 , que é 4.

Professor: Exactamente. Então e para a linha 4?

Isa: Faz-se na mesma, é o quadrado de 4, 24 que é 16.

Professor: Muito bem, então e para a linha n?

Isa: É o quadrado de n, que é 2n .

Respostas como a dada pelo Marco (em que o aluno induz a situação para a

3ªlinha, afirmando que se tratava do dobro, tal como acontecia para a segunda linha),

permitem ao professor chamar a atenção, de modo eficaz, aos alunos, para serem cuida-

dosos ao generalizarem a partir de um número reduzido de casos - é necessário desen-

volver nos alunos uma saudável desconfiança quando trabalham com sequências e esta-

belecem generalizações.

A construção de respostas à última alínea, pode advir da exploração de processos

que revelem um “transporte” de modelos já utilizados anteriormente, noutras generali-

zações, doutras sequências – situação que realça a importância que tem a experiência

35

matemática vivida pelos alunos na construção de uma relação simbólica com significa-

do matemático.

Importa reflectir nesta resolução, pois apesar da generalização mais intuitiva

para a situação da tarefa A torre dos ímpares ser 2n , o processo de resolução aqui adop-

tado, bem como a expressão simbólica apresentada para a generalização, é análoga à

que se pode usar na extensão proposta para a tarefa (torre de pares). Nesta situação, a

comunicação de raciocínios, ao professor e aos colegas, bem como a discussão conjunta

da resolução, pode ajudar o aluno a organizar e consolidar o seu pensamento matemáti-

co – promovendo a generalização e escrita de uma expressão simbólica, da soma dos

primeiros números pares consecutivos (que pode ser dada por 2n n ). Por outro lado,

a exploração apresentada e a exploração para a obtenção de 2n , são processos de reso-

lução distintos, face à mesma situação, que desencadeiam formas distintas de raciocinar

matematicamente, apesar do resultado final ser o mesmo.

36

O aniversário do João

O João marcou a sua festa de aniversário para sábado às 15 horas. Convidou um

grupo de amigos, mas não sabemos quantos irão à festa. Sabemos que, quando os amigos

se encontrarem, todos se cumprimentarão entre si.

a) O João, por ser o aniversariante, é o primeiro a chegar, portanto ainda não tem cum-

primentos a fazer. Mas, passados alguns instantes chegam ao mesmo tempo, vindos

de locais diferentes, dois amigos do João. Quantos cumprimentos há?

b) Passado algum tempo, chega o terceiro amigo do João à festa. Quantos cumprimen-

tos vai ele fazer? E quantos cumprimentos já houve no total?

c) Passado algum tempo, chega mais um amigo à festa. Quantos cumprimentos vai ele

fazer? E quantos cumprimentos já houve no total?

d) Imagina que houve no total 15 cumprimentos. Quantos amigos, afinal, foram à festa do

João?

e) Consegues encontrar um processo que nos indique o número total de cumprimentos

dependendo do número de amigos que foi à festa? Explica-o.

37


Com o trabalho desenvolvido nos 1.º, 2.º e 3.º ciclos em aulas referentes ao tema


Construir e representar, por esquema e simbolicamente, os termos de uma

sequência de valores simples.



Com o realizado em torno desta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

Determinar os primeiros termos da sequência trabalhada.

Formular e investigar conjecturas matemáticas na exploração da situação propos-

ta.

Determinar, na sequência da situação dada, o valor de um termo específico,

conhecida a ordem desse termo e recorrendo ao termo anterior.

Determinar a ordem de um termo específico, conhecido o valor desse termo.

Desenvolver e avaliar argumentos matemáticos.

Modelar a situação proposta fazendo uso da representação tabelar.

Usar o raciocínio visual na exploração da situação proposta.

Representar e analisar situações usando símbolos algébricos.

Escrever simbolicamente a generalização da sequência em causa, usando o modo

recursivo.

Com o seu trabalho na extensão da tarefa, os alunos devem ainda ser capazes de:

Escrever algebricamente o termo geral da sequência em causa, sem uso recursi-

vo.

Desenvolver uma compreensão conceptual da variável como número generaliza-

do e como variável independente numa relação funcional.

38


Indicações gerais

A duração prevista para a exploração, discussão e extensão desta tarefa corres-

ponde a um bloco de 90 minutos (ver tabela seguinte):

O aniversário

do João

Duração

prevista

Tempo de

exploração



Tempo para a

extensão

90 min 40 min 30 min 20 min

A tarefa O aniversário do João destina-se a ser proposta aos alunos no início de

uma aula de 90 minutos, em que aproximadamente 40 minutos estão previstos para a

sua exploração – nesta fase, os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos gru-

pos. Trata-se de uma tarefa de investigação que pode ser proposta quer a alunos com

experiência em trabalho de natureza investigativa, quer a alunos não familiarizados com

este tipo de trabalho.

Pretende-se que, no início do trabalho, todos os alunos comecem por discutir o

número de cumprimentos que vai havendo, à medida que o número de amigos aumenta.

No decurso da resolução da tarefa, os alunos podem optar por registar as descobertas em

esquemas ou numa tabela destinada à organização dos dados. Nesta fase, o professor

pode encorajar os alunos a registarem todos os raciocínios e decisões num relatório que

poderá recolher no final da aula (caso o considere pertinente).

Por vezes, a organização dos dados sob a forma de tabela não é um processo

intuitivo para todos os alunos; e, nesse caso, pode ser necessária a intervenção do pro-

fessor que pode sugerir que, na coluna da esquerda, por exemplo, se coloque o número

de amigos que foi à festa e na coluna da direita se coloque o número de cumprimentos

respectivos.

Na fase de descoberta de um termo geral, é natural que surjam dificuldades na

maioria dos alunos (nomeadamente em alunos não habituados a trabalho de natureza

investigativa). Nesse caso, o professor pode sugerir-lhes que tentem perceber o que

ocorre ao número de cumprimentos à medida que o número de amigos aumenta, de

modo a que percepcionem e expliquem a regularidade: i) percebendo que cada novo

termo se obtém pela soma dos inteiros consecutivos até ao número de amigos anterior

39

ao considerado; e/ou ii) adicionando ao termo anterior o número de amigos respectivo.

Assim pode deduzir-se que cada novo amigo que se acrescenta ao grupo terá de fazer

tantos cumprimentos quantos os amigos que já existem no grupo. Ou seja, que o total de

cumprimentos feitos será igual ao número de cumprimentos que já houve mais o núme-

ro de cumprimentos dado por esse novo amigo.

Estão previstos cerca de 30 minutos para a apresentação, discussão e validação

conjunta de resultados. Contudo, por esta tarefa permitir um trabalho de cunho investi-

gativo e possibilitar, portanto, diferentes abordagens de resolução, os 20 minutos finais

poderão ser dedicados à exploração de uma possível extensão - determinação de um

processo que permita obter o número de cumprimentos, dependendo do número de ami-

gos, sem recurso ao termo anterior. Assim, o professor pode colocar a seguinte questão:

„Como podemos determinar o número de cumprimentos existente com 1000 amigos? E

com n amigos?‟

Frise-se que esta extensão prevê o estabelecimento da generalização, a escrita

simbólica da mesma e o uso da expressão obtida para o cálculo de um determinado ter-

mo (dada uma ordem específica). Ou seja, o cálculo do número de cumprimentos exis-

tente para um determinado número de amigos – e não em sentido contrário, por se tratar

de uma expressão de segundo grau que ao ser manuseada no sentido inverso (dado o

número de cumprimentos, determinar o número de amigos) não seria exequível no

7ºano de escolaridade, atendendo ao currículo nacional.

Contudo, na construção de uma resposta a esta possível extensão, é natural que a

maioria dos alunos tenha alguma dificuldade em generalizar o resultado e em escrever

simbolicamente o termo geral da sequência. Nesse caso, o professor pode iniciar uma

discussão, pedindo aos alunos que observem (ou reconsiderem, caso já tenha sido anali-

sado) que, o número de cumprimentos para um determinado número de amigos pode ser

obtido através da soma de todos os inteiros consecutivos até ao número de amigos ante-

rior. E para a generalização, o professor pode recorrer ao método de Gauss. Embora, a

este nível a argumentação matemática não inclua o rigor e o formalismo, frequentemen-

te associado à demonstração matemática, deve contemplar-se a conjectura, a verificação

da mesma e a discussão do raciocínio usado. Para a exploração do método de Gauss, o

professor pode pedir que, para um número específico de amigos, por exemplo 7, os alu-

nos adicionem aos números de 1 a 7 os números da sequência inversa, de 7 a 1. Preten-

40

de-se, nesta fase, que os alunos concluam que, procedendo desta forma, obtêm 6 vezes o

número de amigos que consideraram (neste caso 6 vezes 7). E que, como usaram para

essa dedução duas vezes os mesmos valores (de 1 a 7), necessitam dividir o resultado

por dois. No caso concreto da festa do João, o número de cumprimentos para um núme-

ro específico de amigos é dado através do produto do número de amigos considerado

pelo número de amigos anterior, a dividir por dois. Ou seja, o sétimo amigo que chega

tem de cumprimentar seis amigos que já estão na festa 6 7 , mas como entre cada dois

amigos há apenas um cumprimento, tem de se dividir esse produto por dois, resultando

assim 6 7

2

.

Esta situação pode ser representada através de uma tabela, marcando com cores,

por exemplo, alguns valores como a seguir se apresenta, tentando que os alunos se

esforcem por descrever, inicialmente por palavras e recorrendo a um número específico

de amigos, o processo que conduz às regularidades existentes entre os valores marcados

com cores iguais.

É natural que surjam algumas dificuldades nos alunos em passar da linguagem

aritmética para a algébrica, quer em dar sentido à letra n como número generalizado

(neste caso n amigos), quer em dar sentido à expressão da generalização pedida. É tam-

bém possível que, após a generalização da situação e validação dos resultados, haja alu-

nos que continuem a afirmar não gostar da generalização e outros manifestarem satisfa-

ção. O professor deve ter presente o facto de que o desenvolvimento do pensamento e

Número de amigos

incluindo o João

Número de

cumprimentos

1 0

2 1

3 3

4 6

... ...

n ?

41

da linguagem algébrica são processos morosos e trabalhosos, tendo cada aluno ritmos

de aprendizagem diferentes.

Ainda no âmbito da possível extensão sugerida – que prevê a formulação simbó-

lica do termo geral da sequência sem uso recursivo, o professor pode promover o

desenvolvimento do conceito implícito de função, fomentando discussões que façam

emergir a correspondência unívoca entre a ordem e o respectivo termo. Nesta fase, o

professor pode destacar as diferenças de sentido da letra n (ou outra letra qualquer esco-

lhida para representar o número de amigos), quando a letra assume o papel de número

generalizado (no termo geral da sequência) e quando a letra assume o papel de variável

independente: procurando estudar a variação associada à nova situação, com significado

para o aluno. Importa sobretudo, nesta fase, que o aluno perceba que os símbolos e a

linguagem algébrica permitem que ele se expresse matematicamente e que estabeleça

conexões e formulações matemáticas, ganhando assim, pouco a pouco, mais confiança e

amizade pelos símbolos.


a) João(J), Francisco(F) e Zé(Z), por exemplo. Assim, pode construir-se o seguinte

esquema:

Com três amigos (João e mais dois amigos) há 3 cumprimentos.

b) João(J), Francisco(F), Zé(Z) e Susana (S), por exemplo. Assim, pode construir-

se o seguinte esquema:

Com quatro amigos (João e mais três amigos) há 6 cumprimentos.

42

c) Procedendo como na alínea anterior, com cinco amigos haverá 10 cumprimentos.

d) Juntando mais um amigo ao grupo da alínea anterior haverá mais 5 cumprimentos,

porque o novo amigo terá de cumprimentar os cinco amigos já existentes. Assim, no

total haverá 15 cumprimentos.

e) A exploração da situação pode ser feita, com auxílio de uma tabela, da seguinte for-

ma:

O número de cumprimentos feitos com n amigos resulta da soma de todos os

inteiros consecutivos até n-1:

( ) 1 2 3 ... ( 1)Número de cumprimentos com n amigos n

De modo intuitivo, cada novo amigo que se acrescente ao grupo terá de fazer

tantos cumprimentos, quantos os amigos que já existem no grupo. A tabela que se segue

sintetiza a situação:

Número de amigos

incluindo o João

Número de

cumprimentos

1 0

2 1

3 3

4 6

5 10

6 15

7 21

... ...

n ?

0 1 1

(1 2 3 ) 4 10

(1) 2 3

(1 2) 3 6

(1 2 3 4) 5 15

(1 2 3 4 5) 6 21

43

O total de cumprimentos feitos será igual ao número de cumprimentos que já

existe mais o número de cumprimentos que resultam da junção desse novo amigo. Um

processo que indique o número de cumprimentos que houve na festa dependendo do

número de amigos (n) que foi à festa, recorrendo ao número de cumprimentos que já

existiam com (n-1) amigos, pode ser:

( ) ( 1) ( 1)Número de cumprimentos com n amigos Número de cumprimentos com n amigos n

Exploração da extensão da tarefa

Um processo que indique o número de cumprimentos que houve, dependendo do

número de amigos (n) que foi à festa, sem uso recursivo, pode advir da demonstração do

método de Gauss para a determinação da soma dos primeiros inteiros consecutivos até

(n-1). Especificando para 7 amigos, tem-se que:

1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

7 7 7 7 7 7

Número de amigos

incluindo o João

Número de

cumprimentos

1 0

2 1

3 3

4 6

5 10

6 15

7 21

... ...

n ?

110

321

633

1046

15510

21615

44

Ou seja, 6 7 , ou 42. Mas como cada número aparece duas vezes é necessário

dividir por 2, obtendo-se

A expressão anterior aplicada à situação da festa, decorre do seguinte: o sétimo

amigo que chega à festa terá de cumprimentar os seis amigos que já lá estão, ou seja

6 7. Mas como entre cada dois amigos há apenas um cumprimento, o resultado desse

produto terá de ser dividido por 2. Isto é, na determinação do número de cumprimentos

específico para n amigos, multiplica-se o valor, n, pelo número de amigos que temos

antes, (n – 1), e divide-se por 2.

A análise da regularidade pode advir, igualmente, pela exploração da tabela:

Assim, o número de cumprimentos existente entre n amigos é 1

1 22

n nn n

Número de amigos

incluindo o João

Número de

cumprimentos

1 0

2 1

3 3

4 6

5 10

6 15

7 21

... ...

n ?

...

1221

6243

15265

6 7 4221

2 2

45


O processo de generalização

Na resolução das primeiras alíneas da tarefa, os alunos podem estabelecer uma

correspondência entre cada dois amigos e, em seguida, contar essas correspondências.

Em esquemas como o anterior, os alunos identificam e registam o número de

apertos de mão para um número específico de amigos. Contudo, a exploração de uma

tabela, como a seguir se apresenta, permite aos alunos experimentarem e testarem valo-

res de modo a construírem cada novo termo, recorrendo ao termo anterior – realçando

aspectos numéricos estratégicos e intuitivos que promovem a compreensão do processo

de generalização da sequência em causa.

46

A verbalização da regra de generalização, recorrendo ao termo anterior, pode

surgir correctamente do seguinte modo:

Rosa: Eu consigo saber sempre o número de cumprimentos, mas

tenho de saber o número de cumprimentos anterior, tenho de saber

sempre o valor anterior. Sabendo o número de cumprimentos de trás,

soma-se esse valor ao número de amigos e dá sempre o número de

cumprimentos que queremos saber.

Na transição da linguagem natural para a simbólica, se os alunos manifestarem

dificuldades no raciocínio abstracto que tal exige, o professor pode começar por traba-

lhar o significado de n amigos (ordem do termo geral) e a generalização pode ser provo-

cada por uma discussão como a seguinte:

Professor: Se representarmos o número qualquer de amigos por n, o

número de amigos que está antes de n representa-se por ... ?

(...)

Rosa: Então, pelo número que está antes.

Professor: Então antes de 6 amigos temos 6-1. Antes de 7 amigos

temos 7-1 ...

Rosa: Antes de n amigos temos 1n .

Professor: Muito bem. Então?

Rosa: Por exemplo, para 5 amigos somamos 4 ao número de cum-

primentos anterior. Para 6 amigos somamos 5, para 7 somamos 6. É

sempre assim.

Professor: Então para n amigos?

Rosa: Somamos 1n .

Professor (registando no quadro): Muito bem, então:

. . ( )N º de cumprimentos com (n) amigos = n º de cumprim entos com (n - 1 ) amigos + n - 1

Numa possível extensão da tarefa que preveja o estabelecimento de uma genera-

lização sem uso recursivo, os alunos podem manifestar algumas dificuldades em estabe-

lecer qualquer tipo de generalização. E, nesse caso, após a exploração da situação,

usando o método de Gauss para um valor concreto de amigo (e, após os alunos deduzi-

47

rem que, para esse valor concreto de amigos, o número de cumprimentos advém do pro-

duto desse número de amigos, pelo número anterior, a dividir por dois), o professor

pode sugerir a construção de uma tabela onde se destaquem alguns valores, para que,

desse modo, o processo indutivo já usado para números específicos de amigos, fique

representado de modo organizado.

Para a exploração visual da tabela e consequente construção intuitiva da genera-

lização da situação, o professor pode promover uma discussão como a seguinte:

Professor: O que é que acontece aos valores que estão no interior

das circunferências? Podemos obter o valor 1 da direita à custa dos

valores da esquerda?

Manuel: Eu já descobri uma coisa, acho eu!

Professor: Diz lá, Manuel.

Manuel: 43 é 12 . E 212 é 6. Acontece o mesmo para os valo-

res que estão dentro dos triângulos. E para os outros valores também

é igual.

Professor: Muito bem. E se tivermos um número muito grande de

amigos, como é que podemos pensar?

Manuel: Da mesma maneira. Por exemplo se houver 1 0 0 0 amigos.

Para saber o número de cumprimentos é 999 1000 . E depois divi-

dimos por dois.

Professor: E se tivermos um número qualquer de amigos?

48

António: Então é esse número qualquer vezes o número antes desse

e depois dividimos por dois.

Na discussão exposta, os alunos inferiram a situação até 1000 amigos e verbali-

zaram uma forma de calcular o número de cumprimentos. À questão da professora acer-

ca do que acontece para um número muito grande de amigos, tão grande quanto quei-

ramos que seja, o António respondeu que o processo era o mesmo. Na discussão expos-

ta, os alunos não conseguem escrever sozinhos uma expressão generalizada – o que é

possível que se verifique na maioria dos alunos. A resolução a essa questão poderá sur-

gir de uma discussão como a seguinte:

Professor: Como é que raciocinámos para 1000 amigos? Podemos

raciocinar da mesma maneira para n amigos!

(...)

Rosa: Eu acho que já sei. É n vezes o número que está antes que é

1n .

Professora: Então usando a letra n o que é que resulta desse

raciocínio?

Rosa: Com n amigos temos de fazer na mesma 1 2n n .

Professora (registando no quadro): Muito bem então se forem n

amigos à festa vai haver 1

2

n n cumprimentos.

Nelson: Professora, faça lá no quadro com 11 amigos, por exemplo,

para ver como é?

Professora: Então se forem 11 amigos à festa, vamos aplicar a

expressão com n e obtemos 11 1 10 11 110

552 2 2

cum-

primentos.

António: Pois! E funciona! Vou experimentar para muitos amigos!

49

A atribuição de significado às letras

O uso e a atribuição de significado aos símbolos nem sempre é um processo fácil

para muitos alunos. É natural que surjam dificuldades ao dar sentido a n, enquanto

número generalizado, tal como sugere a seguinte discussão:

Professor: E se tivermos um número qualquer de amigos?

António: Então é esse número qualquer vezes o número antes desse

e depois dividimos por dois.

Professor: Então, simplificando, se dissermos que esse número

qualquer é n, como podemos determinar o número de cumprimen-

tos?

Manuel: O número de cumprimentos é outro número qualquer, por

exemplo y.

Professor: Assim, continuamos sem saber nada. Eu digo que foram

n amigos à festa. Tu dizes que houve y cumprimentos. Conseguimos

alguma informação?

Nelson: E com n também não sabemos nada, porque tínhamos de

saber quantos amigos são n.

Professor: Como é que raciocinámos para 1000 amigos? Podemos

raciocinar da mesma maneira para n amigos!

António: Mesmo sem sabermos quanto é n?

Rosa: Eu acho que já sei. É n vezes o número que está antes que é 1n .

António: Então e podemos multiplicar números sem sabermos

quanto valem? E depois como é que sabemos o resultado?

Rosa: O resultado depende de quantos amigos são n.

Para a maioria dos alunos é provável que, durante a exploração da tarefa, nos

momentos em que a letra n assume o papel de variável independente (como o número

de amigos), os alunos tenham, em geral, muita dificuldade em perceber a sua função

nesse contexto, tal como se verifica no extracto de diálogo que a seguir se apresenta:

Professor: Então usando a letra n o que é que resulta desse raciocínio?

António: Eu queria chegar a uma maneira de fazer uma equação,

mas não sei o que é a incógnita. Eu acho que a incógnita é o número

50

que se vai sempre aumentando ao número de cumprimentos, à medi-

da que os amigos aumentam, mas não sei.

Professor: Pensem lá mais um bocadinho. Fizeram uma tabela, o

que é que acontece à medida que o número de amigos aumenta?

Marco: Se houver n amigos, ..., não, ..., n cumprimentos. Não sei o

que andamos à procura.

(...)

Professora: Se houver um número qualquer de amigos?

António: Pois isso era o que eu queria, mas não sei o que é a incóg-

nita, porque os amigos aumentam e o número de cumprimentos tam-

bém, mas não aumentam da mesma maneira, por isso o que é que vai

ser a incógnita?

Tal como os extractos de discussão apresentados, é provável que grande parte

dos alunos indicie muita dificuldade na escrita simbólica da generalização de uma

sequência. É provável que a maioria dos alunos determine os primeiros termos de uma

sequência e descreva a regra dessa sequência em linguagem natural por recorrência

(usando o termo anterior), mas não consiga simbolizar a generalização da sequência.

Por outro lado, nas situações em que a letra está inserida num contexto funcional, onde

é necessário relacionar o termo (variável dependente) com a ordem desse termo (variá-

vel independente), é possível que a maioria dos alunos manifeste dificuldades na com-

preensão do papel da letra e em construir simbolicamente uma expressão generalizada –

por serem confrontados com dois valores desconhecidos a variar em simultâneo (termo

e ordem desse termo), que se relaciona directamente com a dificuldade de compreensão

implícita do conceito de função.

51

APRENDIZAGEM DA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES A PARTIR

DE IGUALDADES NUMÉRICAS

52

Resolução de equações a partir das igualdades numéricas

Parte : Construção de igualdades numéricas verdadeiras

1. Preenche o interior de cada uma das quadrículas, de modo a obteres igualdades ver-

dadeiras:

1.1.1. + 7 = 12

1.1.2. 25 = - 4

2. Observa a figura e responde às questões que se seguem:

2.1. As expressões e estão ligadas; a expressão foi ligada à

expressão e ao número .

2.1.1. Qual foi o critério usado para estabelecer essas ligações?

2.1.2. Traduz simbolicamente essas ligações.

2.2. Usando o critério anterior:

2.2.1. estabelece outras ligações e escreve-as simbolicamente.

2.2.2. que nome dás a essas expressões?

53

Parte : Construção de equações

1. Considera a igualdade numérica, na qual está escondido um número.

1.1. Qual é o número escondido?

1.2. De quantas formas diferentes podemos esconder números nesta igualdade, de modo

a que:

1.2.1. na mesma expressão não fiquem escondidos números diferentes;

1.2.2. o número que se repete na igualdade, possa ser escondido na mesma expres-

são, tantas vezes quantas as vezes que se repete.

2. Considera a igualdade numérica

2.1. Verifica que se trata de uma igualdade numérica verdadeira.

2.2. Escreve equações associadas à igualdade dada.

2.3. Para cada equação que escreveste em 2.2, escreve a respectiva solução.

54

Parte : Resolução de equações

1. Considera a seguinte igualdade numérica: 4 3 2 9 5

1.1. Verifica que se trata de uma igualdade numérica verdadeira.

1.2. Para cada um dos casos seguintes, averigua se a igualdade se mantém verdadeira.

a. Adiciona 6 a ambos os membros.

b. Subtrai 8 a ambos os membros.

c. Multiplica ambos os membros por 2.

d. Divide ambos os membros por 3.

2. Determina o valor da letra em cada uma das expressões:

a)

b)

c)

d)

3. Considera a equação:

6 9 = 6 + 3

Verifica se o número 5 é solução.

Parte : Resolução formal de equações

Resolve as seguintes equações, usando as regras que estudaste:

a) 3 7 25x

b) 6 0x

c) 4 5 7t

d) 4 3 7 5a a

55


Com o trabalho desenvolvido nos 1.º, 2.º e 3.º ciclos em aulas referentes ao trabalho

com números, os alunos devem ser capazes de:

Construir e trabalhar expressões numéricas, tendo em conta a prioridade das

operações;

Traduzir, por escrito e oralmente, os seus raciocínios.


Com o seu trabalho nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

Dar significado ao sinal de , como igualdade numérica e símbolo relacional.

Compreender as noções de equação e solução de uma equação do 1.ºgrau com

uma incógnita.

Identificar equações equivalentes.

Aplicar e adaptar estratégias de resolução intuitiva de equações do 1.ºgrau com

uma incógnita.

Aplicar estratégias de resolução formal de equações do 1.ºgrau com uma incógni-

ta.


Indicações gerais

A duração prevista para a exploração e discussão das três partes desta tarefa correspon-

de a dois blocos de 90 minutos, ou seja 180 minutos (ver tabela seguinte):

A resolução de equações a partir das

igualdades numéricas

Duração

prevista

Tempo de

exploração

Tempo para apresentação e

validação de resultados

180 min 95 min 85 min

Parte

90 min

25 min 20 min

Parte 25 min 20 min

Parte

90 min

20 min 30 min

Parte 40 min

56

A tarefa A resolução de equações a partir das igualdades numéricas destina-se a iniciar

o trabalho com equações. Trata-se de uma tarefa em que as duas primeiras partes podem ser

propostas aos alunos numa aula de 90 minutos, em que aproximadamente 25 minutos estão pre-

vistos para a exploração da Parte e 25 minutos para a sua discussão. Em seguida e de modo

análogo, estão previstos 25 minutos para a exploração da Parte e os restantes 25 minutos da

aula para a sua discussão. Os 90 minutos seguintes estão previstos para a resolução da Parte

da tarefa, em que os primeiros 20 minutos estão destinados à sua exploração e os 30 minutos

seguintes à sua discussão. Os restantes 40 minutos estão previstos para a resolução conjunta

(professor e alunos) da Parte , em que os primeiros 10 minutos estão destinados à introdução

das regras formais, por parte do professor e os restantes 30 minutos estão destinados à resolução

das equações propostas, com a orientação do professor – nas fases destinadas à exploração da

tarefa, os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos grupos.

Trata-se de uma tarefa de exploração, destinada à introdução do estudo das equações,

que pode ser proposta quer a alunos com experiência em trabalho de natureza exploratória, quer

a alunos não familiarizados com este tipo de trabalho. De um modo geral, as equações surgem,

em contexto de aula, a partir de problemas concretos. Nesta tarefa propõe-se ao professor uma

abordagem distinta. Pretendese numa primeira fase que, o aluno compreenda o conceito de

equação e a sua „estrutura numérica‟ sem recorrer a qualquer situação contextualizada. A ideia-

chave é a de que as equações são objectos matemáticos alicerçados em igualdades numéricas.

Deste modo, nesta tarefa, pretende-se que os alunos comecem por construir igualdades numéri-

cas verdadeiras, com operações em ambos os membros. Nestas igualdades, o sinal surge

como um símbolo relacional/equivalência numérica. A introdução da expressão 9 0 tem

como objectivo o aparecimento da igualdade 4 5 9 0 . Neste tipo de igualdade numérica,

com operações em ambos os membros, o zero actua como agente de transição para outras

igualdades numéricas com operações nos dois lados do sinal de “=”.

Ao iniciar o trabalho com equações, o professor deve estar consciente que, para a maio-

ria dos alunos, o símbolo “=” significa apenas “calcula”; ou seja, o símbolo “=” tem a única

missão de “produzir um resultado”. Para estes alunos, com uma visão meramente operacional

do símbolo de “=”, expressões do tipo 11 4 7 ou 3 11 2 7 não fazem sentido. Des-

te modo, na primeira parte desta tarefa, é proposto um trabalho exploratório baseado em igual-

dades numéricas, com operações em ambos os membros, com o intuito de promover nos alunos

o desenvolvimento da concepção relacional do símbolo “=”. Em todas as igualdades formula-

das, o sinal de “=” surge como símbolo relacional (ou seja, a percepção do sinal “=” como um

equilíbrio entre os factores que se relacionam) e o professor deverá fazer referencia a este facto.

57

Nesta fase, o professor poderá também dar um exemplo onde o sinal de “=” surja como símbolo

operatório (como por exemplo, 2 3 5 ).

Na segunda parte da tarefa, propõe-se a construção do conceito de equação, baseado na

noção de identidade aritmética com um número escondido, acompanhada da noção de solução

de uma equação - trata-se de uma primeira abordagem a estes conceitos, a partir de uma igual-

dade numérica com um número “escondido”, que os alunos deverão descobrir de modo a obte-

rem uma igualdade numérica verdadeira. Em seguida, pretende-se que os alunos escrevam as

diferentes formas de “esconder” números nessa igualdade de modo a que: i) na mesma expres-

são não possam estar escondidos números diferentes; e, ii) se um número tiver várias ocorrên-

cias na igualdade, possa ser escondido, na mesma expressão, tantas vezes quantas as suas ocor-

rências. Contudo, no decorrer da discussão e validação de resultados, o professor poderá: i)

registar numa tabela as expressões construídas pelos alunos; ii) substituir por uma letra, o sím-

bolo usado pelos alunos para “esconder” o número em cada situação; e iii) formalizar o conceito

de equação. No decurso deste procedimento, o professor informará os alunos que: i) os objectos

matemáticos que se obtiveram (depois da substituição dos valores escondidos por letras) cha-

mam-se equações; ii) a letra que substitui o “número escondido” (número que transforma a

equação numa igualdade verdadeira) chama-se incógnita; e, iii) o valor da incógnita designa-se

por solução da equação.

Na resolução da questão 2, da segunda parte da tarefa, pretende-se que os alunos escre-

vam as sete equações associadas à igualdade numérica 1 7 4 5 4 9 as respectivas

soluções. No final, o professor poderá formalizar os conceitos de equação, membro, termo,

solução e equações equivalentes. Uma equação é uma expressão como

5x x , ou 2 4 3x ou 13

0 52 4

xx ,

devendo os alunos compreender que uma equação envolve “uma igualdade entre duas expres-

sões, em que alguns valores são desconhecidos”. é necessário algum cuidado quando se diz

que “uma equação é uma igualdade entre duas expressões, em que alguns valores são desconhe-

cidos e que só é satisfeita para certos valores da incógnita”, uma vez que esta condição exclui as

identidades como x x e as equações impossíveis, como 1 x x e, muitas vezes, ao

olharmos para uma expressão com o sinal de igual, não sabemos se se trata de uma identidade,

de uma equação possível ou de uma equação impossível. Neste contexto, o professor é aconse-

lhado a usar a noção abrangente de equação, que inclui, como caso particular, as identidades

algébricas. O conceito de equações equivalentes poderá ser introduzido recorrendo às equações

58

1 7 5 4 9p ,

1 7 4 5 9y

e

1 7 5 9x x

(que resultam da resolução da questão 2, da segunda parte da tarefa).

Após a resolução e discussão das duas primeiras partes da tarefa, pretende-se que os

alunos adquiram uma efectiva compreensão do conceito de equação, o que lhes permitirá justifi-

car que 3 2 5 , 2 4x e 3 5 8 não são equações. Pretende-se ainda que os alunos

compreendam que, quando se escreve 3 4 2 6x x (por exemplo), não se está a dizer que

as expressões 3 4x e 2 6x são iguais, mas sim que existe um equilíbrio entre os dois

membros que se comparam através do sinal de igual, ou seja, os dois membros têm o mesmo

valor numérico para um determinado valor da incógnita, neste caso 10x . O professor deve

promover nos alunos a compreensão de que o símbolo “ ”, que aparece numa equação, expri-

me uma igualdade, não entre as expressões que figuram em cada um dos membros da equação

(que, de um modo geral, são diferentes), mas no sentido em que, para um certo valor da incógni-

ta, o número que aparece como resultado das operações realizadas na expressão do lado esquer-

do é exactamente igual ao número que se obtém substituindo a incógnita por esse mesmo valor,

na expressão do lado direito (equilíbrio numérico).

A questão 1 da Parte da tarefa tem como objectivo levar os alunos à compreensão de

que não se altera a veracidade de uma igualdade numérica: (i) quando se adiciona ou subtrai o

mesmo número aos seus dois membros e (ii) quando se multiplica ou divide os seus dois mem-

bros pelo mesmo número, excepto zero. Estas regras, que podemos designar por regras de

transformação de igualdades numéricas, poderão servir de base à introdução das regras formais

para a resolução de equações.

As equações da questão 2 da Parte da tarefa poderão ser resolvidas recorrendo a

métodos informais de resolução, recorrendo a técnicas de contagem (por exemplo 3 12x

os alunos contam 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 logo são necessárias nove unidades para ir do 3 ao

12) ou a factos numéricos (por exemplo, 3 12x então 12 3 9 logo 9x ).

As equações da Parte da tarefa deverão ser resolvidas usando as regras formais para a

resolução de equações, alicerçadas nas regras de transformação de igualdades numéricas (ver

item seguinte Algumas explorações, Parte ). Nos exemplos iniciais, o professor poderá suge-

59

rir aos alunos a verificação do resultado, pretende-se com este procedimento contribuir para a

compreensão do conceito de equação. Nas primeiras equações da Parte não devem ser usados

“procedimentos simplificados”, de modo a evitar erros que habitualmente são cometidos na

resolução de equações, por exemplo: transpor termos de um membro para o outro sem lhes tro-

car o sinal, ou escrever que a equação 3 2x é equivalente à equação 2

3x

. Entende-se

por “procedimentos simplificados” quando numa equação, um termo troca de membro então

troca de sinal e quando numa equação b

a x b xa

. Estes procedimentos apresentar-se-

ão ao aluno como naturais, após a aplicação e algum treino de regras formais de resolução de

equações. Importa também que, o professor deixe bem claro que numa equação não há membro

da incógnitas – embora seja intuitiva e naturalmente aceite a escolha frequente do primeiro

membro para isolar termos com incógnita.

Na fase inicial da resolução de equações, antes da redução à forma , é possível

observarem-se incorrecções na transposição de termos de um membro para o outro, sem troca

de sinal, ao desembaraçar de parênteses:

i) 2 ( 9) 3 2 9 3 ...x x x x ;

ii) ( 6 ) 5 3 6 5 3 ...x x x x .

Poderão também ocorrer dificuldades aquando da redução dos termos semelhantes. É

frequente os alunos errarem na passagem b

a x b xa

, onde os erros mais frequentes e a

possível razão são:

Equação Dificuldades Possível explicação

5 9x

5 9

5 9

x

Os alunos dividem o primeiro membro pelo coeficiente

do termo em e dividem o segundo membro por ele

próprio. Há, notoriamente, uma incompreensão sobre a

utilidade e a importância da divisão dos dois membros

de uma equação pelo mesmo número diferente de zero.

Neste tipo de situações, parece haver uma memoriza-

ção da regra, mas sem compreensão do seu verdadeiro

significado.

9 5x

Há uma interpretação de 5 x como sendo 5x

60


Parte : Construção de igualdades numéricas verdadeiras

Na questão 1 da primeira parte da tarefa, as igualdades numéricas podem tornar-se ver-

dadeiras através do preenchimento das quadrículas do seguinte modo:

5 + 7 = 12 29 – 4 = 25

Na questão 2 da primeira parte da tarefa, depois de descoberto o critério usado para

estabelecer as ligações entre as expressões dadas (igual valor numérico), poderão resultar as

igualdades 4 5 9 , 4 5 9 0 e 4 5 10 6 5 . Em seguida, poder-se-á calcular

o valor numérico de cada uma das expressões dadas e escrevê-lo no espaço respectivo.

5 9x

9

5x

Erro: “5 trocou de membro, logo trocou de sinal”. Trata-se de um erro clássico na resolução de equações e que revela

uma concepção errada da regra da transposição (troca de

membrotroca de sinal). O número 5, de facto, terá de tro-car de membro mas, neste caso, essa mudança resulta de uma “neutralização multiplicativa” do 5 e não de uma “neu-tralização aditiva”. Portanto, não deverá haver qualquer

troca de sinal. O professor deve alertar os alunos para estas situações. A ideia errónea de que qualquer troca de mem-bro, implica uma troca de sinal, pode constituir um perigo para o uso de procedimentos simplificados nas primeiras resoluções.

9 6 x

9 6

9 9

x

Neste caso, os alunos obtêm uma equação equivalente, mas não neutralizam o 6.

3 18x

3 3

3 18

x

Para estes alunos, o coeficiente do termo em x surge sempre

no numerador a regra de dividir ambos os membros de

uma equação pelo mesmo número, diferente de zero, não é aplicada à situação em causa.

3 2x

3

3x

61

Das ligações estabelecidas poderão surgir as igualdades numéricas 12 6 6 ,

14 2 7 , 3 4 6 2 9 , 3 9 5 2 4 5 e 22 2 4 5 . Em todas estas

igualdades, o sinal de “=” surge como um símbolo relacional.

Parte Construção de equações

Na questão 1 da segunda parte da tarefa, poder-se-á deduzir que: i) o número “escondi-

do” é 5; ii) de acordo com as duas exigências da questão, há seis formas diferentes de “escon-

der” números na igualdade 5 2 4 7 2 :

A identidade 5 2 4 7 2 é a “igualdade numérica” que serve de “alicerce” a

qualquer uma das equações escritas, isto é, 5 2 4 7 2 é a igualdade numérica que está

associada a qualquer uma destas equações.

Na questão 2 da segunda parte da tarefa, poder-se-á concluir que há sete equações cuja

igualdade numérica associada é 1 7 4 5 4 9 :

5 2 4 7 2 (igualdade numérica verdadeira)

Número escondido Equação/Solução

5

2

2

2

4

7

62

.

Parte : Resolução de equações

Na questão 1, ao efectuar os cálculos pode constatar-se que, realizando a mesma opera-

ção em ambos os membros da igualdade numérica, a relação de equivalência (equilíbrio numé-

rico) mantém-se (por exemplo, 4 3 2 9 5 é o mesmo que

4 3 2 6 9 5 6 .

Porém, na questão 4, quando numa equação se pretende o valor de x, pretende-se encon-

trar o valor de para o qual a igualdade é verdadeira, recorrendo às regras formais de resolução.

Por exemplo, na equação 4 1 13 3x x , como x representa um número, então 4 x e 3 x

também representam números e, portanto, podemos aplicar-lhes operações aritméticas. Como se

pretende que as expressões 4 1x e 13 3 x tenham o mesmo valor numérico, as expressões

4 1 3x x e 13 3 3x x também terão o mesmo valor numérico (assim, neutrali-

za-se o termo 3 x no 2.º membro). Deste modo, pode escrever-se

4 1 3 13 3 3x x x x , isto é, 7 1 13x . Adicionando agora uma unidade a

7 1x e a 13 escreve-se 7 1 1 13 1x e, portanto, 7 14x (neutralizou-se 1 no 1.º

membro da equação). Por fim, dividindo 7 x e 14 por 7, tem-se que 7 14

7 7

x . Este procedi-

mento permite neutralizar o coeficiente da incógnita e determinar o seu valor, 2x .

63


Compreensão do sinal de igual

Na resolução da primeira questão da tarefa, a correcta utilização do sinal de

igual pode evidenciar a compreensão do seu significado relacional. As seguintes resolu-

ções são exemplos dessa compreensão:

Sequências de igualdades do tipo 7 3 10 2 12 evidenciam a percepção

operacional que a maioria dos alunos tem relativamente ao sinal de igual, tendem a vê-lo como

indicador do resultado de um conjunto de operações escritas à sua esquerda e perdem de vista o

que ele significa em relação aos vários membros da expressão em causa. Situações como esta

proporcionam uma excelente oportunidade para o professor discutir com os alunos a perspectiva

relacional do sinal de igual e a sua correcta utilização, enfatizando a ideia da leitura de uma

igualdade nos dois sentidos (da esquerda para a direita e da direita para a esquerda).

Na questão seguinte, os alunos podem estabelecer igualdades numéricas verdadeiras

como as seguintes:

64

De facto, os alunos podem recorrer a raciocínios aritméticos que os conduzam à escolha

das ligações efectuadas e ao estabelecimento de um critério de ligação e a justificação de tais

raciocínios pode ser correctamente verbalizada pelos alunos, do seguinte modo:

Compreensão do conceito de equação

Na segunda parte da tarefa, a obtenção de uma equação e respectiva solução, pode

decorrer da representação da incógnita por um espaço vazio, que esconde um valor, e que poste-

65

riormente é substituído pela letra que representará a incógnita, com valor igual ao número

escondido. A equação que a seguir se apresenta foi obtida substituindo na igualdade numérica o

número 1 pela letra , sem efectuar as operações 7 4 e 5 4 9 .

Na resolução desta questão, os alunos revelam ter compreendido o conceito de equação

ao observarem que o número 4 está em ambos os membros da igualdade numérica e, ao substi-

tuírem esse valor em ambos os membros por uma letra específica. No exemplo que se apresenta

a seguir esse valor foi substituído pela letra .

Porém, há alunos que revelam dificuldades neste procedimento (construção de equa-

ções), como por exemplo alunos que apresentam a equação 7 4 5 9x x , revelando

não terem compreendido de que a mesma letra não pode tomar valores diferentes na mesma

equação.

Resolução de equações usando métodos informais

Na determinação do valor da letra em equações do tipo 2 3 17a , os alunos podem

recorrer ao cálculo mental e posteriormente, dar a resposta à pergunta através da substituição da

incógnita por esse valor determinado e fazendo os cálculos respectivos.

66

É natural que haja alunos que recorram às operações inversas das operações que figu-

ram no primeiro membro para determinar o valor da letra em cada situação.

Na resolução de equações através de métodos de resolução informais, os alunos podem

também utilizar estratégias numéricas para a determinação do valor da incógnita e posterior-

mente substituir esse valor e verificar que se trata de uma igualdade numérica verdadeira.

De facto, os alunos revelam ter compreendido o conceito de solução de uma equação

quando substituem correctamente o valor da incógnita e verificam que, procedendo desse modo,

obtêm uma igualdade numérica verdadeira.

67

Resolução de equações usando métodos formais

Na fase de introdução das regras práticas de resolução de uma equação, o professor

pode pedir aos alunos que expliquem os procedimentos uns dos outros, promovendo uma refle-

xão acerca do que está, ou não, correcto. No exemplo que a seguir se apresenta, o número 3

troca de membro mas, essa mudança resulta de uma “neutralização multiplicativa” do 3, e não

aditiva. Portanto, neste caso, não poderá haver qualquer troca de sinal. A resolução de questões,

análogas às do enunciado da Parte , como a que a seguir se apresenta, promove nos alunos a

compreensão das regras de resolução de uma equação e põe em destaque o perigo dos procedi-

mentos simplificados, nomeadamente nas primeiras resoluções.

A compreensão das regras formais de resolução de uma equação conduz os alunos à

concepção estrutural da mesma, pois conseguem ver a equação como um todo, analisando-a e

resolvendo-a de modo individual e eficaz, revelando um bom domínio das técnicas de neutrali-

zação aditiva e multiplicativa (mesmo sem recurso a procedimentos simplificados) e isolando a

incógnita no membro mais conveniente (no caso que a seguir se apresenta, o segundo).

68

A noção de equilíbrio é fundamental na resolução de equações. Este equilíbrio é tradu-

zido pelo sinal de igual. O uso da técnica de realizar a mesma operação em ambos os membros

da equação permite conservar esse equilíbrio e tem como objectivo neutralizar: i) termos inde-

pendentes e/ou termos com incógnita (recorrendo à adição/subtracção); ou, ii) coeficientes de

termos com incógnita (recorrendo à divisão/multiplicação). Estes procedimentos, alicerçados

nas regras de transformação de igualdades numéricas promovem a compreensão das regras

formais de resolução de uma equação.

69

As idades dos três irmãos

Versão1: O Martim, o Luís e a Sofia são irmãos. O Luís tem mais 2 anos que a Sofia e

menos dois anos que o Martim. [Observação: Considera a idade em anos].

a) Comenta as seguintes afirmações: “A soma das idades do Luís e da Sofia é

sempre um número par”.

b) Comenta a seguinte afirmação: “A soma das idades dos três irmãos é igual ao

triplo da idade do Luís”.

c) Suponhamos que o Martim tem oito anos. Daqui a quantos anos é que a soma

das idades do Luís e da Sofia é o quádruplo da idade actual do Martim.

Versão 2: A Luísa, o Marco e a Sónia são irmãos. O Marco tem mais três anos que a

Sónia e menos três anos que a Luísa. [Observação: Considera a idade em

anos].

a) Comenta as seguintes afirmações: “A soma das idades da Luísa e da Sonia é

sempre um número múltiplo de dois”.

b) Comenta a seguinte afirmação: “A soma das idades dos três irmãos é igual ao

triplo da idade do Marco”.

c) Suponhamos que o Marco tem 8 anos. Daqui a quantos anos é que a soma das

idades da Luísa e da Sónia é o triplo da idade actual do Marco.

70


Com o trabalho desenvolvido nos 1.º, 2.º e 3.º ciclos, em aulas relativas ao estu-

do de Sequências e Equações, os alunos devem ser capazes de:

Interpretar o significado de uma variável como número generalizado.

Usar a linguagem algébrica na generalização de uma sequência de valores.

Resolver e classificar equações do primeiro grau com uma incógnita.

Interpretar o significado algébrico da incógnita, numa equação possível (deter-

minada ou indeterminada) e numa equação impossível.



Com o trabalho desenvolvido nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

Interpretar o enunciado de um problema.

Desenvolver a capacidade de análise ao problema, construindo estratégias de

resolução.

Adaptar e aplicar várias estratégias de resolução do problema.

Traduzir o enunciado algebricamente, usando uma equação do 1.ºgrau.

Interpretar a solução da equação no contexto do problema trabalhado - quer em

situações possíveis determinadas, quer em situações possíveis indeterminadas.

Analisar e reflectir sobre o(s) processo(s) de resolução do problema.


Indicações gerais

A exploração desta tarefa está prevista para ser proposta aos alunos numa aula de 90

minutos (ver tabela seguinte):

71

As idades dos três

irmãos

Duração

prevista

Tempo de exploração



90 min 30 min 60 min

A tarefa As idades dos três irmãos está apresentada em duas versões, de resolu-

ções análogas e, por isso, podem ser realizadas na mesma aula (em que alguns grupos

trabalham a versão1 e outros grupos trabalham a versão2, por exemplo). Esta tarefa des-

tina-se a ser proposta no decurso de uma aula de matemática, em que aproximadamente

30 minutos estão previstos para a sua exploração – nesta fase, os alunos poderão traba-

lhar em pares ou em pequenos grupos e poderão ser encorajados a registar todos os

raciocínios e decisões num relatório que poderá ser entregue ao professor no final da

aula (caso este o considere pertinente).

Estão também previstos 60 minutos para a discussão conjunta e validação de

resultados. No início do trabalho, todos os alunos devem começar por discutir a veraci-

dade das afirmações das alíneas a) e b). É provável que a maioria dos alunos tente justi-

ficar as afirmações usando valores concretos para as idades. Nesse caso, na fase de dis-

cussão e validação, o professor deve estimular os alunos para a generalização e para a

escrita da mesma em linguagem simbólica. É natural que surjam algumas dificuldades

nos alunos em passar da linguagem aritmética para a algébrica. É possível surgirem jus-

tificações sustentadas apenas na linguagem natural, como por exemplo “quando o Mar-

co tem um número par de anos, as irmãs têm as duas um número ímpar de anos e a

soma das idades das irmãs é um número par; quando o Marco tem um número ímpar

de anos as irmãs têm, as duas, um número par de anos e a soma das idades das irmãs

também é um número par.” Apesar deste tipo de resposta estar correcta e responder

integralmente à questão, o professor deve relembrar o poder dos símbolos e da lingua-

gem algébrica, recordando os alunos que os símbolos são, em muitas situações, facilita-

dores da comunicação.

Face à resistência que alguns alunos possam manifestar em relação ao uso da

linguagem algébrica, o professor deve ter em mente que o desenvolvimento deste tipo

de linguagem é um processo moroso e trabalhoso. Contudo, o professor deve saber

transmitir ao aluno, de um modo não imposto, mas sim dando ele próprio o exemplo de

procura de estratégias eficazes, de abordagens de resolução e de respostas, a ideia de

que não existe apenas um modo correcto de resolver e de responder a um problema.

72

No decurso da actividade matemática dos alunos, nomeadamente nas alíneas a) e

b) da tarefa, pretende-se que eles desenvolvam a sua capacidade de análise ao problema,

pois estas alíneas são de natureza aberta (por se tratarem de situações possíveis indeter-

minadas). Nesta perspectiva, e em relação a estas alíneas, poderá haver resoluções que

surpreenderão o professor, ou eventualmente algumas extensões ao que é pedido, como

por exemplo “... a soma da idade da Sofia com a do Martim, 22 zz é a idade do

Luís vezes dois, ou seja z2 (no decurso da exploração da alínea b) da versão 1) – res-

postas como esta mostram maturidade no uso dos símbolos, na sua compreensão e res-

pectiva escrita simbólica.

Na última alínea, os alunos poderão optar por vários processos, aritméticos ou

recorrendo à formulação e resolução de uma equação do primeiro grau com uma incóg-

nita. Importa que o professor promova discussões abertas com os alunos sobre o modo

de resolver um problema – compreender, saber definir estratégias de resolução, aplicar

essas estratégias e analisar/reflectindo, sobre o que foi feito (Polya, 2003) é uma forma

de ajudar os alunos a terem consciência do trabalho que desenvolvem quando eles pró-

prios resolvem um problema. Importa também que o professor ajude os alunos a serem

auto-críticos e a saberem analisar permanentemente o seu trabalho, nomeadamente nas

decisões matemáticas que tomam em raciocínios e problemas com os quais não estão

familiarizados.


i) Sugestão de resolução da Versão 1:

a) Se a idade do Martim for n então a idade do Luís é n+2 e a idade da Sofia é n-2.

Logo a soma das idades do Luís e da Sofia é 2n, ou seja, é sempre um número par.

b) Se a idade do Martim for n, a idade do Luís será n+2 e a idade da Sofia n-2, então a

soma das três idades é 3n, ou seja o triplo da idade do Martim.

c) Aritmeticamente, e fazendo uma tabela com o que acontece actualmente e de ano

para ano, tem-se que:

73

Idade do Martim

Idade da Sofia

+

Idade do Luís

Análise do resultado/

quádruplo da idade

actual do Martim (32)

Idade actual 8 6+10 = 16 16 32

Idade daqui a 1 ano 9 7+11=18 18 32

Idade daqui a 2 anos 10 8+12=20 20 32






Idade daqui a 8 anos 16 14+18=32 32=32

Ou, algebricamente, recorrendo a uma equação, tem-se que:

Daqui a x anos a Sofia terá (6 )x e o Luís terá (10 )x . Assim, daqui a x anos

(6 ) (10 ) 32x x . Ou seja, 8x .

ii) Sugestão de resolução da Versão 2:

a) Se a idade do Marco for n então a idade da Luísa é (n+3) e a idade da Sonia é (n-3).

Logo a soma das idades da Luísa e da Sonia é (n+3)+(n-3)=2n, ou seja é sempre um

número múltiplo de dois.

b) Se a idade do Marco for n então a idade da Luísa é (n+3) e a idade da Sonia é (n-3).

Logo a soma das idades é n+(n+3)+(n-3)=3n, ou seja, o triplo da idade do Marco.

74

c) Aritmeticamente, e fazendo uma tabela com o que acontece actualmente e de ano

para ano, tem-se que:

Idade do Marco

Idade da Sonia

+

Idade da Luísa

Análise do resultado/

triplo da idade

actual do Marco (24)

Idade actual 8 5+11 = 16 16 24

Idade daqui a 1 ano 9 6+12=18 18 24



Idade daqui a 4 anos 12 9+15=24 24=24

Ou, algebricamente, recorrendo a uma equação, tem-se que:

Daqui a x anos a Sónia terá (5 )x e a Luísa terá (11 )x . Assim, daqui a x anos

(5 ) (11 ) 24x x . Ou seja, 4x .


Adopção de estratégias e a capacidade de argumentação matemática

A capacidade de argumentação pode ser desenvolvida através de discussões

como a seguinte (baseadas na resolução alínea a) da tarefa, Versão2):

António: Números ímpares mais números ímpares vai dar números

pares.

Professora: Então e se as irmãs tiverem um número par de idades?

José e Mara: Par e par dá par.

António: Mas se for um número ímpar com um número par não vai

dar.

75

Professora: Mas há alguma possibilidade de uma das irmãs ter um

número par de anos e a outra ter um número ímpar de anos?

António: É melhor fazer aqui, assim:

Mara: Não. As idades delas dependem da idade do Marco. E vão ser

as duas números pares ou as duas números ímpares.

Professora: Se o Marco tiver um número par de anos ...

António: As duas irmãs têm idades ímpares. E se o Marco tiver um

número ímpar de anos, as duas irmãs têm idades pares.

A discussão em torno da soma de números pares e ímpares pode conduzir à cor-

recta verbalização da resolução do problema, como a seguir se mostra:

Professora: Então o que é que concluem?

António: Quando o Marco tem um número par de anos, as irmãs têm

as duas um número ímpar de anos e a soma das idades das irmãs é

um número par. Quando o Marco tem um número ímpar de anos as

irmãs têm as duas um número par de anos e soma das idades das

irmãs também é um número par.

A adopção de estratégias distintas face à mesma situação pode decorrer de dis-

cussões como a seguinte (referente à Versão2 da tarefa, relativa à resolução da alínea

c)):

Mara: Então, o Marco em 8 anos a Sónia tem 5 e a Luísa tem 11.

Professora: Então vamos lá escrever.

José: Vamos tentando e quando a soma das duas irmãs der 24, já

sabemos daqui a quantos anos é que ...

76

De facto, a estratégia de resolução usada por alguns alunos pode ser a de calcular

os valores das idades actuais de cada um dos irmãos e tentar, ano a ano, perceber o que

ocorre, usando, por exemplo, um esquema como o seguinte:

Outros alunos poderão optar pela formulação e resolução de uma equação que

traduza o problema.

António: É mais fácil fazer por uma equação.

Professora: Então vá!

Mara: Pois é, se calhar é mais rápido com uma equação!

Outros alunos poderão optar por resolver mentalmente a questão.

José: António e Mara, vocês fazem com uma equação que eu vou

fazer por contas, está bem?

Mara e António: Está!

José: Eu já sei! É daqui a 5 anos. Não! É daqui a 4 anos. Então não

é?

Professora: Como é que fizeste? Escreve.

José: Escrever não! Fiz de cabeça. Então, não está bem?

Professora: Espera um bocadinho pelos teus colegas e já vamos ver,

está bem? Então vamos lá pensar.

Contudo, na fase de discussão de resultados, o professor deve incitar os alunos para

a procura de respostas completas para as possibilidades que foram levantadas na resolu-

ção e que vão surgindo ao longo da discussão, de modo a que não desistam de procurar

a resposta matemática mais adequada.

77

Letra como um valor desconhecido indeterminado

A compreensão conceptual da letra como valor possível indeterminado pode

decorrer de discussões como a seguinte, referente à Versão1 da tarefa, relativa ao signi-

ficado da expressão obtida por estes alunos, 3z, e pela extensão feita em torno de 2z,

durante a resolução da alínea b).

Professora: Sim, mas z representa o Luís?

A professora chamou à atenção para a imprecisão, bastante frequente na maioria dos

alunos, em relação ao significado da letra (“z representa o Luís”).

Manuel: z representa a idade do Luís.

Professora: Ah! A idade do Luís! Então e z-2? E z+2?

Manuel: z-2 a idade da Sofia e z+2 a idade do Martim.

Professora: Sim, as idades! Então e o que é z3 ?

Rosa: A idade do Luís multiplicada por 3.

Professora: Então e o que é a idade do Luís multiplicada por 3?

Isa: É o triplo da idade do Luís.

Manuel: E se virmos bem, a soma da idade da Sofia com a do Mar-

tim, ( 2) ( 2)z z [escrevendo na folha de respostas] é a idade

do Luís vezes dois, ou seja 2 z .

A compreensão conceptual da letra como um valor generalizado inserido numa

estrutura, pode decorrer de discussões como a seguinte, referente à Versão2 da tarefa,

relativa à resolução da alínea c):

António: O x é a idade da Sónia e da Luísa.

Professora: Oh António, calma!

78

Mara: Oh António! O x não pode ser a idade das duas! O x é o que

queremos saber, é o “daqui a quantos anos”.

Professora: Muito bem. Então o x é o “daqui a quantos anos”. Então

vamos lá.

Mara: Agora a Sónia tem 5 anos, “daqui a quantos anos” terá ...?

Terá x5 .

Professora: x5 ? Se em x5 substituísses x por um número o que é

que o 5 fazia a esse número, multiplicava por ele? Dividia por ele?

Somava? Subtraía?

Mara: Multiplicava 5 por esse número.

Professora: Mas nós queremos multiplicar? Tu daqui a 3 anos tens a

idade que tens agora vezes 3?

Mara: Não, terei 12 mais 3.

António: Então daqui a x anos a Sónia terá x5 .

Professora: E a Luísa?

Mara: 11 x

Nas situações onde a letra assume o papel de um valor generalizado - como é o

caso da letra de uma expressão, em que essa expressão pode ter um significado inde-

pendente da estrutura matemática de que faz parte (neste caso a estrutura é a equação), é

provável que os alunos necessitem um maior acompanhamento por parte do professor

na análise às decisões e estratégias que adoptam, a fim de maximizarem a compreensão

dos significados matemáticos nelas envolvidos. O diálogo apresentado é um exemplo

para o que foi referido (diálogo relativo ao processo dialéctico professor/alunos ocorrido

ao dar sentido às expressões x5 e x11 na equação da alínea c) da tarefa).

Letra como um valor desconhecido determinado

A compreensão conceptual da letra como valor possível determinado pode

decorrer de discussões como a seguinte, referente à formulação da equação da alínea c),

da Versão2 da tarefa:

Professora: Então o que é que queremos?

79

Mara: Então o que queremos é somar estas duas 5 x com 11 .x

Professora: Então vá!

Mara: Então (5 ) (11 )x x ...

António: Que vai dar 24.

Mara (escrevendo no caderno): Então (5 ) (11 ) 24x x

Por outro lado, a resolução dialéctica das situações permitem a partilha e a dis-

cussão de resultados, como a seguir se exemplifica com a resolução da equação

24115 xx .

Mara: Já está, 4x . Então é daqui a 4 anos.

José: Foi o que me deu a mim! Daqui a 4 anos.

Professora: Então e o que é que significa esse 4x ?

José: São os anos que são precisos para que a soma da idade das

irmãs seja o triplo da idade do Marco.

Nas situações onde a letra assume o papel de incógnita de uma equação possível

determinada é provável que a maioria dos alunos não manifeste grandes dificuldades em

traduzir simbolicamente a situação, em resolvê-la e em dar-lhe sentido – porque nessas

situações existe apenas um desconhecido que se mantém invariante, pois a letra escolhi-

da no inicio da resolução para designar a incógnita representa sempre o mesmo desco-

nhecido ao longo da resolução do problema.

sequÊncias e expressÕes algÉbricas aprendizagem

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