Professor NeiltonProfessor Neilton
Equações algébricas Equações algébricas
Curiosidades sobre o número PiNa Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis
7:23, existe a passagem:
"Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência." sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.
Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.
Equações Algébricas
Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às
equações da forma:
P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0.
Teorema Fundamental da Álgebra
Toda a equação algébrica P(x) = 0 de grau n > 0, admite pelo menos uma raiz real ou complexa
OBS:Equações de 5º grau ou maiores não possuem fórmulas para a
sua solução direta.
Exemplo:
Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 2 e 4
Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da forma:
P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3)Fazendo an = 1, temos que:
P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4)P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8
Multiplicidade de uma raiz
Quando ao decompormos P(x) uma mesma raiz ocorre mais de uma vez a denominamos de raiz múltipla de P(x).
Exemplo:
Se P(x) = (x-1)2.(x-3)
Dizemos nesse caso que das 3 raízes de P(x), a raiz 1 tem multiplicidade 2 enquanto que 3 é uma raiz simples
Teorema das raízes complexas
Se uma equação P(x) = 0 ,de coeficientes reais, apresentar uma raiz complexa (a+bi), podemos afirmar que o seu conjugado (a-bi) também será
raiz de P(x), e com a mesma multiplicidade.
ConseqüênciaNum polinômio P(x) com coeficientes reais e grau
ímpar há, no mínimo, uma raiz real
Dica do professor:
Quando a equação não tem termo independente (sem variável), a quantidade de raízes nulas é igual ao expoente de menor grau.
Na letra a por exemplo o termo 4x2 é o de menor expoente. Portanto 2 raízes nulas.
05. Sabe-se que a função polinomial f(x) de grau 3, admite como raízes, os números x1 = 1, x2 = 2 e
x3. Sobre a raiz x3, podemos afirmar:
a) pode ser um número complexob) é necessariamente, um número naturalc) é necessariamente um número inteirod) é necessariamente um número irracionale) é um número real
Resposta:Ora, o número de raízes complexas de uma equação algébrica é necessariamente um número par, já que,se a+bi for raiz, então o conjugado a-bi também será raiz.Portanto, se a terceira raiz da equação não pode ser um número complexo, então ela seránecessariamente um número real, o que nos leva à alternativa E.
Questão 06 Determinar m para que a soma das raízes da equação
4x4 – (m – 1)x3 + 2x2 – 5x + 4 = 0 seja igual a 2.
RESOLUÇÃO: X1 + X2+X3+X4= -a1/a0
(soma das raízes)a1= – (m –1)
X1 + X2+X3+X4= (m-1)/4(m-1)/4=2
(m – 1)=4.2
m =8+1 RESPOSTA: m = 9
Questão 07Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo que – 2 e
2
1 são raízes.
P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 = 0
– 4 2 – 1 – 4 10 – 2
3 4 2 – 5 6 – 2 0
P(x) = 2x4 – x3– 4x2 + 10x – 4 = 0
– 2 2 – 5 6 1/2
3 4 2 – 4 4 0
2x2 – 4x + 4 = 0 ou x2 – 2x + 2 = 0
a
bxacb
2´42
4842.1.4)2( 2
1.2
4)2(´
x
1.2
22´
ix
ixix 11 21
Questão 07Resolva 2x4 –x3 – 4x2 + 10x – 4 = 0, sabendo que – 2 e
2
1 são raízes.
}1;1;2
1;2{: iiSSOLUÇÃO
Questão 08Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1. Quais são as outras raízes dessa equação?
P(1) = 0 2.13 – (m + 3) 12 + 11 .1 – m = 0
2 – (m + 3) + 11– m = 0 – m – 3 + 13– m = 0
– 2m + 10 = 0 2m = 10 m = 5
1 2 – 8 11 – 5
2 – 6 5 0
2x2 – 6x + 5 = 0
a
bxacb
2´42
440365.2.4)6( 2
2.2
4)6(´
x
4
26´
ix
2
3
2
321
ix
ix
Questão 09A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é igual a:a) -3/4 b) -1/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 2
RESOLUÇÃO:A soma das raízes da equação x3- 2x2 + 3x - 4 = 0 é:
X1+X2+X3= –a1/a0X1+X2+X3= –(-2)/1
RESPOSTA: letra E
Questão 10 A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais.
Uma delas é 1. Encontre as outras duas.
2x3 – 3x – 2 = 0
1 2 – 5 1 2
2 – 3 – 2 0
a
bxacb
2´42
25169)2.(2.4)3( 2
2.2
25)3(´
x
4
53´
x
4
8´x 2´x
4
2´´
x
2
1´´
x
Questão 11(UEPG-PR) Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outrasraízes desse polinômio é:a) 2/3b) -1c) 4/3 d) -3/4e) 1
3
22
ba
3
22
ba
3
4ba
Questão 12(UEL-PR) Se – 2 é uma das raízes da equação x3 + 4x2 + x + k = 0, onde k R, o produto das outras duas raízes dessa equação é:a) –3b) –2 c) –6 d) 3e) 6
1
)6()2.(.
ba
P(-2) = 0 (-2)3 + 4(2)2 + (–2)+ k = 0
-8 + 16 – 2 + k = 0
K = – 6
x3 + 4x2 + x – 6 = 0
6)2.(. ba
3. ba
13. ( UEFS )– Se o resto da divisão do polinômio P(x) = 2xn + 5x – 30 por Q(x) = x – 2 é igual a 44, então n é igual a
(01) 2(02) 3(03) 4(04) 5(05) 6
SOLUÇÃO: Sabemos pelo teorema do resto, que o resto da divisão do polinômio P(x) por x – a é igual a P(a). Logo, com os dados do problema, podemos escrever:
P(2) = 44 = 2.2n + 5.2 – 30 64 = 2.2n 2n = 32 e, portanto, n = 5, o que nos leva à alternativa (04).
P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2
– 2 3 – 5 1
2
3
13 4
a0 = 1 a1 = m a2 = 12 a3 = 8x1 = x2 = x3 = a
Girard:x1 + x2 + x3 = – a1/a0 a + a + a = – m/13a = –m (I)
x1x2 + x2x3 + x1x3 = a2/a0a . a + a . a + a . a =3a2/1
3a2 = 12 a2 = 4a=+-2 (II)x1x2x3 = –a3/a0a . a . a = a3 = – 8 a = –2
Em (I), com a = –2:-m=3.(-2)
m=6
Questão 14Determinar m, de modo que a equação x3 + mx2 + 12x + 8 =
0 tenha as três raízes iguais.
CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍCONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ
Estudo da reta
e
Área do triângulo
Geometria Analítica
PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO
1.1 – COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA
É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O
Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P
1.2 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
EXERCÍCIO 01
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos:
2m - 16 = 0,
de onde tiramos m = 8
o ponto ficaria P = ( 0, 8)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.
EXERCÍCIO 02
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo horizontal (eixo ox) , então a sua ordenada é nula.
Logo, no caso teremos:
m = 0,
o ponto ficaria P = ( -16, 0)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertença ao eixo dos y , calcule o valor de m.