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Equações Algébricase

Equação de 1º Grau

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Equações Algébricas

Expressões Algébricas - Definição

Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.

As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.

As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis ou incógnitas e representam um valor desconhecido.

Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores atribuídos as letras.

Exemplos:

a) 𝑥 + 5 b) 𝑏2 − 4𝑎𝑐 c)3

5𝑚 +

1

6𝑚𝑛2+

1

2𝑛

Expressões Algébricas - Exemplos

Exemplo 1

Consideremos P = 2a + 10 e tomemos a = 5. Assim:

P = 2a + 10

P = 2.5 + 10

P = 10 + 10 = 20

Aqui a é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P.

Expressões Algébricas - Exemplos

Exemplo 2

Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A = 5 e B = 7. Substituindotemos:

X = 4A + 2 + B - 7

X = 4.5 + 2 + 7 - 7

X = 20 + 2 - 0

X = 22.

R: Se A = 5 e B = 7, o valor numérico de X = 4A + 2 +B -7 é 22.

Expressões Algébricas - Exemplos

Exemplo 3

Seja Y = 18 – C + 2D + 8C, onde C = -2 e D = 1. Então:

Y = 18 – C + 2D + 8C

Y = 18-(-2) + 2.1 + 8.(-2)

Y = 18 + 2 + 2 -16

Y = 22 - 16

Y = 6

Resposta: Se C = -2 e D = 1, o valor numérico de Y = 18 – C + 2D + 8C é 6.

Exercícios

Determine o valor numérico das seguintes expressões algébricas

Operações com Expressões AlgébricasAdição e Subtração

Só pode-se adicionar ou subtrair termos semelhantes e, essa operação será feita sobre os coeficientes, mantendo-se a parte literal.

Observar que, se não houver termo semelhante para operar, ele apenas será repetido.

Exemplo 4

( 𝟑𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 − 𝟏) + (−𝟐𝐱𝟐 + 𝟒𝐱 + 𝟐)𝟑𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 − 𝟏 -𝟐𝐱𝟐 + 𝟒𝐱+2𝟑𝐱𝟐−𝟐𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟒𝐱 − 𝟏 +2

𝐱𝟐+𝟔𝐱 + 𝟏

Exercícios

Determine o valor das seguintes expressões algébricas

Operações com Expressões AlgébricasMultiplicação

A multiplicação deverá ser feita multiplicando-se primeiro oscoeficientes, depois a parte literal, obedecendo-se as regras depotenciação e a regra da distributividade e, por fim, adicionando-se ostermos semelhantes.

Exemplo 5

( 𝟐𝐱 + 𝟑) × (𝟒𝐱 + 𝟏)

𝟐𝐱 . 𝟒𝐱 + 𝟐𝐱 . 𝟏 + 𝟑 . 𝟒𝐱 + 𝟑 . 𝟏𝟖𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏𝟐𝐱 + 𝟑𝟖𝐱𝟐 + 𝟏𝟒𝐱 + 𝟑

Exercícios

Determine o valor das seguintes expressões algébricas e simplifique quando necessário.

Operações com Expressões AlgébricasDivisão

Este tipo de divisão deverá ser realizado, dividindo-se cada termo daexpressão pelo divisor, lembrando-se das regras de potenciação.

Exemplo 6 Exemplo 7

𝟔𝐱𝟑 − 𝟒𝐱𝟐 + 𝟖 ÷ 𝟐𝐱

𝟔𝐱

𝟐𝐱

𝟑

−𝟒𝐱𝟐

𝟐𝐱+𝟖

𝟐𝐱

𝟑𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 +𝟒

𝐱

𝟏𝟎𝒙𝟑𝒚𝟐

𝟓𝒙𝟐𝒚= 𝟐𝒙𝒚

Exercícios

Determine o valor das seguintes expressões algébricas e simplifique quando necessário.

Respostasa)4𝑎2; b) 2𝑎2 − 𝑎 + 4;

Produtos notáveis

Produtos notáveis, como o próprio nome diz, são produtos que aparecemcom bastante frequência na resolução de problemas.

São casos particulares de produto gerados a partir da multiplicação de duasexpressões algébricas.

O conhecimento destes produtos facilita a resolução de problemasalgébricos.

Produtos notáveis

Dados os seguintes produtos:

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏 . 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 . 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎 + 𝑏 . 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2= 𝑎2 − 𝑏2

Produtos notáveis

Com isto temos que:

O primeiro é chamado de o quadrado da soma entre dois termos.

O segundo é chamado de o quadrado da diferença entre dois termos.

O terceiro é chamado de o produto da soma pela diferença de dois termos.

1º) 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

2º) 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

3º) 𝑎 + 𝑏 . 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

Exercícios - Extraclasse

Determine os seguintes produtos notáveis das expressões abaixoe compare os resultados efetuando a multiplicação dasexpressões algébricas.

𝑎) 𝑥 + 3 2

𝑏) 𝑥 − 3 2

𝑐) 𝑥 − 3 . 𝑥 + 3

Equação de 1º Grau

Equação de 1º Grau

Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita quesatisfaça a igualdade proposta.

A solução é chamada de raiz da equação ou conjunto verdade.

𝐚) 𝟐𝐱 − 𝟖 = 𝟏𝟎

Exemplos: Determinar o valor de x

𝟐𝐱 = 𝟏𝟎 + 𝟖𝟐𝐱 = 𝟏𝟖

𝐱 =𝟏𝟖

𝟐𝐱 = 𝟗

S={9}

Equação de 1º Grau

𝐛) 𝟐 𝟐𝐱 + 𝟕 + 𝟑 𝟑𝐱 − 𝟓 = 𝟑 𝟒𝐱 − 𝟓 − 𝟏

𝟐. 𝟐𝐱 + 𝟐 . 𝟕 + 𝟑. 𝟑𝐱 + 𝟑 . −𝟓 = 𝟑 . 𝟒𝐱 + 𝟑 −𝟓 − 𝟏𝟒𝐱 + 𝟏𝟒 + 𝟗𝐱 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 − 𝟏𝟒𝐱 + 𝟗𝐱 − 𝟏𝟐𝐱 = 𝟏𝟓 − 𝟏𝟒 − 𝟏𝟓 − 𝟏

𝟏𝟑𝐱 − 𝟏𝟐𝐱 = −𝟏𝟓𝐱 = −𝟏𝟓

S={-15}

𝐜)𝟐𝐱 + 𝟏

𝟑−𝟒𝐱 − 𝟗

𝟔=𝟑 − 𝟒𝐱

𝟐𝟐(𝟐𝐱 + 𝟏) − (𝟒𝐱 − 𝟗)

𝟔=𝟑(𝟑 − 𝟒𝐱)

𝟔𝟒𝐱 + 𝟐 − 𝟒𝐱 + 𝟗

𝟔=𝟗 − 𝟏𝟐𝐱

𝟔𝟒𝐱 + 𝟐 − 𝟒𝐱 + 𝟗

𝟔=𝟗 − 𝟏𝟐𝐱

𝟔𝟒𝐱 − 𝟒𝐱 + 𝟏𝟐𝐱

𝟔=𝟗 − 𝟗 − 𝟐

𝟔𝟏𝟐𝐱

𝟔=−𝟐

𝟔

𝟏𝟐𝐱 = −𝟐

𝐱 =−𝟐

𝟏𝟐= −

𝟏

𝟔

S= −1

6

ExercíciosCalcular o valor da variável que torna verdadeira as equações abaixo:

Solução

a) 29; b) 27; c) 25; d) -13; e) 1; f) -300; g) -11; h) 6; i) 2;

j) 44/9; k) -1/3; l) 7; m) 8/7; n) -5; o) 6; p) 10/7; q) -19/8;

r) -3/8; s) -25; t) 3.

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