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  • 1

    Symbolic Math Toolbox

    O Toolbox de Matemtica Simblicadisponibiliza uma coleo de diversas funesdo MATLAB utilizadas para calcular operaesbsicas, tais como: derivadas, limites, integrais,expanso da serie de Taylor, e outrasoperaes. A manipulao simblica noMATLAB pode ser vista como uma evoluo domodo como voc utiliza o MATLAB paraprocessar nmeros.

  • 2

    Symbolic Math Toolbox

    A grande vantagem de se utilizar talprocesso que podemos obter resultadosmais exatos, eliminando-se assim aimpreciso introduzida pelos valoresnumricos. Podemos resolver derivadas,integrais, equaes diferenciais ealgbricas utilizando-se esta poderosaferramenta.

  • 3

    Symbolic Math Toolbox

    EXPRESSES SIMBLICAS

    Deve-se entender por Expresso simblica as

    expresses que contm objetos simblicos que

    podem representar nmeros, funes e operaes

    e variveis.

    Dica: As variveis simblicas no precisam de um

    valor numrico. Esta varivel simblica representa

    apenas um smbolo de uma expresso simblica.

  • 4

    Symbolic Math Toolbox

    EXPRESSES SIMBLICAS

    Exemplos: 3x )5( 4xdx

    dz =

  • 5

    Symbolic Math Toolbox

    O MATLAB disponibiliza vrias funes quetrabalham com funes polinomiais e que podem serutilizadas para representar funes polinomiais.Dentre elas, encontram-se as seguintes funes:

    collect

    expand

    factor

    simplify

  • 6

    Symbolic Math Toolbox

    collect

    Organiza os coeficientes

    Sintaxe

    collect( f )

    mostra um polinmio f em sua varivel simblica, seja x, e

    organiza todos os coeficientes com a mesma potncia de x.

    Um segundo argumento pode especificar a varivel que se deve

    organizar se houver mais de uma varivel simblica possvel.

  • 7

    Symbolic Math Toolboxcollect(f)

    1) Escreva a funo y = (x+1)^3 na forma polinomial

    >> clear % Limpa a Janela de Comandos

    >> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica x

    >> y = (x + 1)^3; % Define a funo y = f(x)

    >> collect(y); % Organiza os coeficientes

    >> pretty(ans) % Exibe o resultado

    x3 + 3x2 + 3x + 1

  • 8

    Symbolic Math Toolbox

    Agora com voc!!!

    Escreva a funo y = (x + 1)(x + 2) na forma

    polinomial.

  • 9

    Symbolic Math Toolbox

    collect( f, nome da varivel simblica)

    A funo collect neste caso aceita um segundo argumento

    que especifica que varivel simblica deve ser utilizada

    para organizar o polinmio.

  • 10

    Symbolic Math Toolboxcollect(f, nome da varivel simblica)

    2) Escreva a funo f(x,z) = (x + 1)^3 + z na forma polinomial.

    >> x = sym('x'); % Define a varivel simblica x

    >> z = sym(z); % Define a varivel simblica z

    >> y = (x +1)^3 + z; % Define a funo y = f(x,z)

    >> collect(y,x); % Organiza os coeficientes em x

    >> pretty(ans) % Exibe o resultado

    x3 + 3 x2 + 3 x + 1 + z

  • 11

    Symbolic Math Toolbox

    Agora com voc!!!

    Escreva a funo y = (x + 1)^3 + (z + 1)^2

    na forma polinomial, em termos de z.

  • 12

    Symbolic Math Toolbox

    expand

    realiza a distribuio de produtos para polinmios

    e aplica outras identidades que envolvem funes

    de somas, identidades trigonomtricas, exponenciais

    e logaritmos.

    Sintaxe

    expand( f )

  • 13

    Symbolic Math Toolboxexpand(f)

    3) Escreva a funo y = (x+1)^3 na forma polinomial

    >> clear % Limpa a Janela de Comandos

    >> x = sym('x'); % Define a variavel simbolica x

    >> y = (x + 1)^3; % Define a funo y = f(x)

    >> expand(y); % Realiza o produto polinomial

    >> pretty(ans) % Exibe o resultado

    x3 + 3x2 + 3x + 1

  • 14

    Symbolic Math Toolbox

    expand X collect

    Alm de representar funes polinomiais a funo bastante til na manipulao de expresses simblicastrigonomtricas, exponenciais, hiperblicas, entre outrasfunes. Esta uma das caractersticas marcantes quediferenciam a funo expand da collect. A funoexpand bem mais robusta, porque trabalha commuitos tipos de funes, enquanto a funo collect restrita apenas a funes polinomiais. Podemos, dizerque a funo expand uma evoluo da funo collect,agregando-se novas funcionalidades.

  • 15

    Symbolic Math Toolboxexpand

    4) Obtenha a forma expandida da funotrigonomtrica cos(x + y).

    x = sym(x); % Cria a varivel simblica x.

    y = sym(y); % Cria a varivel simblica y.

    expand(cos(x+y)) % Realiza a operao

    ans = % Varivel padro do matlab

    cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) % Resultado

  • 16

    Symbolic Math Toolbox

    Agora com voc!!!

    Obtenha a forma expandida da funo

    exponencial exp(x + y).

  • 17

    Symbolic Math ToolboxFactor

    Fatorao

    Sintaxe

    factor(X)

    Esta funo obtm a forma fatorada de um polinmio.Na sintaxe da funo X, pode ser apenas a expressosimblica. Ou um array simblico contendo vriosexpresses simblicas. No caso de utilizar um array, afuno factor retorna um array com as expressessimblicas correspondentes.

  • 18

    Symbolic Math Toolbox

    Uso da Funo factor

    Calcular os fatores primos de um nmero

    inteiro.

    Obter a forma polinomial fatorada.

    Simplificar expresses simblicas.

  • 19

    Symbolic Math ToolboxFactor(x)

    5) Calcule os fatores dos seguintes nmeros 15 e 50.

    >> factor(15)

    ans =

    3 5

    >> factor(50)

    ans =

    2 5 5

  • 20

    Symbolic Math Toolbox

    Factor

    Observao:

    O maior valor inteiro que a funo factor

    aceita um numero inteiro de at 16 dgitos,

    se o nmero tiver uma quantidade de dgitos

    superior a 16. Devemos usar o sym para criar

    um elemento.

  • 21

    Symbolic Math ToolboxFactor(x)

    5) Calcule os fatores do nmero

    >> factor(15)

    ans =

    3 5

    >> factor(50)

    ans =

    2 5 5

  • 22

    Symbolic Math Toolbox

    Factor(x)

    5) Calcule os fatores do nmero 12345678901234567890

    >> factor(sym('12345678901234567890'))

    ans =

    (2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)

  • 23

    Symbolic Math Toolbox

    6) Obtenha a forma fatorada da equao

    y = x^3 +3*x^2 + 3*x + 1

    >> x = sym('x'); % Cria a varivel simblica x.

    >> y = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1 % Define a funo y = f(x)

    >> factor(y); % Fatorao

    >> pretty(ans) % Exibe o resultado

    (x + 1)^3

  • 24

    Symbolic Math Toolbox

    Agora com voc!!!

    Obtenha a forma fatorada da equao

    y = x^2 + 3*x + 2

  • 25

    Symbolic Math ToolboxSimplify

    Simplificao simblica.

    Sintaxe:

    R = simplify(S)

    A funo simplify uma ferramenta poderosa, que emgeral aplica vrias identidades algbricas que envolvemsomas, potncia inteira, razes quadradas e potnciafracionria, como tambm vrios identidades queenvolvem funes trigonomtricas, exponencial e funesde Bessel, funo gama, etc.

  • 26

    Symbolic Math Toolbox

    7) Simplifique a seguinte expresso:

    >> x = sym('x'); % Cria a varivel simblica x.

    >> y = (x^3 + 8)/(x^4 - 16); % Define a funo y = f(x)

    >> z = factor(y)

    >> simplify(y); % Simplificao simblica

    >> pretty(ans) % Exibe o resultado

    x^2 - 2x + 4

    -------------------

    x^3 - 2x^2 + 4x - 8

    16

    84

    3

    +=

    x

    xy

  • 27

    Symbolic Math Toolbox

    Agora com voc!!!

    Simplifique a seguinte expresso: 8

    23

    =

    x

    xy

  • 28

    Symbolic Math Toolbox

    8) Simplifique a seguinte expresso

    >> x = sym(x); % Cria a varivel simblica x.

    >> y = cos(x)^2 + sin(x)^2; % Define a funo y = f(x)

    >> simplify(y); % Simplificao simblica

    >> pretty(ans) % Exibe o resultado

    1

    )(sin)(cos 22 xxy +=

  • 29

    Symbolic Math Toolbox

    9) Simplifique a seguinte expresso:

    >> syms x y positive % Cria as variveis simblicas

    x e y, ambas positivas.

    >> simplify(log(x*y)); % Simplificao simblica

    >> pretty(ans) % Exibe o resultado

    log(x) + log(y)

    )*log( yx

  • 30

    Symbolic Math Toolbox

    Simple

    Busca a forma mais simplificada para a expresso simblica.

    Sintaxe:

    r = simple( S )

    [r,how] = simple( S )

    A funo simple(S) tenta vrias simplificaes algbricasdiferentes na expresso simblica S, exibe a representao demenor comprimento para S. S um sym. Se S for uma matriz, oresultado indica a representao mais curta da matriz inteiraque necessariamente no a representao mais curta decada elemento individual.

  • 31

    Symbolic Math Toolbox

    10 ) Simplifique a expresso y = (x + 1)(x + 2)

    >> x = sym(x); % Cria a varivel simblica x.

    >> simple((x+1)(x+2)) % Simplificao

    ans =

    x^2+3*x+2

  • 32

    Symbolic Math Toolbox

    Agora com voc!!!

    Simplifique a expresso )(sin)(cos2 22 xxy =

  • 33

    Symbolic Math Toolbox

    pretty

    Esta funo imprime uma expresso simblica.

    Pretty(expresso sim