cópia de #frações algébricas 2

MATEMÁTICA EM GOTAS MATEMÁTICA EM GOTAS slide 1

MATEMÁTICA EM GOTAS é um projeto de sistema de ensino, criado por José Luiz Maria Teixeira. Objetivo: auxiliar o estudante no seu processo de aprendizagem da matemática.

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Tel.: (82) 3334-3238

e-mail: [email protected]

FEDATI PRODUÇÕES CULTURAIS - Edição 1 – 2007

Críticas e sugestões serão bem recebidas.


Autor : José Luiz Maria Teixeira ( [email protected] ) Tel.: (82) 3334-3238

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FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Parte 2

Edição 1 – 2007

Observação : Essa é um cópia liberada exclusivamente para os colegas da turma 2009.2 – Licenciatura – Matemática – UFAL.

mailto:[email protected]


ADIÇÃO ALGÉBRICA - ( CONTINUAÇÃO )

MULTIPLICAÇÃO

DIVISÃO

POTENCIAÇÃO

FRAÇÕES ALGÉBRICAS - PARTE - 2

OPERAÇÕES

ADIÇÃO ( Continuação )

MULTIPLICAÇÃO

DIVISÃO

POTENCIAÇÃO


AGORA É SUA VEZ !AGORA É SUA VEZ !


A . S . V ( 2 )Efetue, dando o resultado na forma mais simples :

a)6

5x 4

3x 3

2x

b)4ax

2a3x

3ax

c)

2x

3 x 5 2 d)

5x 4 -

3x 7

e)2 - a

2 a - a 3

f)

b - a a b -

b a 2a

g)

1 -x 1 x -

2 -2x 1 3x

1o GRUPO

h)

3x - 9 x -

x -3x 3

2

RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS

) 0 a (

) 0 x (

) 0 x (

) 2 a e 0 a (

) 1 x (

) 3 x e 0 x (

) b a e b - a (


A . S . V ( 2 )

a)6

5x 43x

32x

b)4ax

2a3x

3ax

c)

2x

3 x 2 2 d)

5x 7 -

3x 4

1o GRUPO

RESPOSTAS

= 128x + 9x + 10x = 12

27x = 49x

=12a

4x + 18x - 3x = 1219x

= 15x20 - 21 =

15x1

=2x2

4 - 3x

- ) 0 x (

) 0 x (


A . S . V ( 2 )

e)2 a 2 a -

a 3

1o GRUPO

RESPOSTAS

= a ( a + 2 )3 ( a + 2 ) - a ( a - 2 ) =

=a ( a + 2 )

3a + 6 - a2 + 2a =a ( a + 2 )

- a2 + 5a + 6 ou - (a2 - 5a - 6 )a ( a + 2 )

ou a ( a + 2 ) a2 - 5a - 6 - ) 2 - a e 0 a (

a2 - 5a - 6 = ( a + 1 ) ( a – 6 )

OBSERVAÇÃO :

f


A . S . V ( 2 )

1o GRUPO

RESPOSTAS

2 1

f) = 2 ( x - 1 )

1(3x + 1) - 2 ( x + 1 ) =

= 2 ( x - 1 )

= =3x + 1 - 2x - 2

1 -x 1 x -

2 -2x 1 3x

2 ( x - 1 ) x - 1

e)2 a 2 a -

a 3

= a ( a + 2 )3 ( a + 2 ) - a ( a - 2 ) =

=a ( a + 2 )

3a + 6 - a2 + 2a =a ( a + 2 )

- a2 + 5a + 6 ou - (a2 - 5a - 6 )a ( a + 2 )

ou a ( a + 2 ) a2 - 5a - 6 - ) 2 - a e 0 a (


A . S . V ( 2 )

1o GRUPO

RESPOSTAS

g)3x - 9

x - x -3x

3 2 =

x ( 3 - x ) 3 ( 3 - x )

3x ( 3 - x )3x - x2

= x ( 3 - x ) 3x ( 3 - x )

= 3 1

b - a a b -

b a 2a

=h)

Neste exercício achei interessante apresentar três resoluções, para que possa compará-las e analisá-las.

Observação


A . S . V ( 2 )1o GRUPO

RESPOSTAS

b - a a b -

b a 2a

= ( a + b ) ( a - b )

2a ( a - b ) - ( b - a ) ( a + b ) =

= ( a + b ) ( a - b )

=

= ( a + b ) ( a - b )

2a2 - 2ab - ( ab + b2 - a2 - ab )

h)

1o modo :

2a2 - 2ab - ab - b2 + a2 + ab = 2a2 - 2ab - b2 + a2 = ( a + b ) ( a - b )

= 2a ( a - b ) ( a + b ) ( a - b )

= ( a - b ) ( 2a + a + b ) ( a + b ) ( a - b )

=

b a b 3a

+ ( a + b ) ( a - b )

a2 - b2

( a - b ) ( a - b ) ( a - b )

) b - a (


A . S . V ( 2 )1o GRUPO

RESPOSTAS

b a b 3a

b - a a b -

b a 2a

= ( a + b ) ( a - b )

2a ( a - b ) - ( b - a ) ( a + b ) =

= ( a + b ) ( a - b )

=

= ( a + b ) ( a - b )

( a - b ) ( 2a + a + b )

2a ( a - b ) + ( a - b )

h)

2o modo :

- ( b - a ) = - b + a = a - b

( a - b ) ( a - b )

( a - b )

A tendência é efetuar os produtos como foi feito no 1o modo.

detalhe

( a + b )


A . S . V ( 2 )1o GRUPO

RESPOSTAS

b - a a b -

b a 2a

=h)

3o modo :

b a

2a a + b

2a + a + b=

b a b 3a

b - a

a b - b - a

) a b ( - b - a

b - a 1Observe :

1 =

) b - a (

Qual é a resolução mais “bonita” ?


A . S . V ( 2 )

2o GRUPO

a)4 - x

16 -4x 2 - x

2 2 x

2 x 2

b)

1 - x 2 x

1 - x 1 -x

1 x 2x

2

c)

6 -x - x 7 4x

2 x 3

3 x 2

2

d)

3 x 1

3 x 2

9 x x x

2

2


Efetue, dando o resultado na forma mais simples :

) 2 - x e 2 x (

) 2 - x e 3 x (

) 3 - x e 3 x (

) 1 - x e 2 x (


A . S . V ( 2 )

2o GRUPO

a)4 - x

16 -4x 2 - x

2 2 x

2 x 2

RESPOSTAS

=

( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 )2 + 2 ( x + 2 ) + 1 ( 4 x - 16 )

( x + 2 ) ( x - 2 )

( x + 2 ) ( x - 2 )x2 - 4x + 4 + 2x + 4 + 4 x - 16 x2 + 2x - 8

( x + 2 ) ( x - 2 )

( x - 2 ) ( x + 4 )( x + 2 ) ( x - 2 )

x + 4 x + 2

=

= = =

= =

= ( x - 2 ) ( x - 2 )

) 2 - x (


A . S . V ( 2 )

2o GRUPO

b)6 -x - x

7 4x 2 x

3 3 x

2 2

RESPOSTAS

( x - 3 ) ( x + 2 )2 ( x + 2 ) + 3 ( x - 3 ) - 1 ( 4x - 7 )

( x - 3 ) ( x + 2 )2x + 4 + 3x - 9 - 4x + 7

=

= =

=

( x - 3 ) ( x + 2 )

x + 2 ( x - 3 ) ( x + 2 )

=

=

= 3 -x 1

1

) 3 x (


A . S . V ( 2 )

2o GRUPO

c)3 x

1 3 x

2 9 x

x x 2

2

RESPOSTAS

( x + 3 ) ( x - 3 )1 ( x2 + x ) + 2 ( x + 3 ) + 1 ( x - 3 )

x2 + x + 2x + 6 + x - 3

=

= =

=

x2

=

( x + 3 ) ( x - 3 ) + 4x + 3

( x + 3 ) ( x - 3 )=

=( x + 3 ) ( x - 3 )( x + 3 ) ( x + 1 )

= x + 1 x - 3

) 3 x (


A . S . V ( 2 )

2o GRUPO

d)1 - x 2 x

1 - x 1 -x

1 x 2x

2

RESPOSTAS

( x + 1 ) ( x - 1 )2x ( x - 1 ) + 1 ( x - 1 ) - ( x + 2 ) ( x - 1 )

( x + 1 ) ( x - 1 )2x2 - 2x + x - 1 - ( x2 - x + 2x - 2 )

( x + 1 ) ( x - 1 )

x2

( x - 1 )

=

= =

= =

=

( x + 1 ) ( x - 1 )

2x2 - 2x + x - 1 - x2 + x - 2x + 2

( x + 1 ) ( x - 1 )=

=( x + 1 ) ( x - 1 )

=2

x + 1 x - 1

=

- 2x + 1

) 1 - x (


F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S

MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO

Recordando :

d c

b a MULTIPLICAÇÃO a · c

b · d

Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si ( cancelando os fatores comuns se houver ) .

Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.



MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO

Recordando :

DIVISÃO · d c :

b a

b a

inverso

dc

Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.

Observação :

d c

b

a =

d c :

b a

= c d

b a


F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO

Exemplo 1

3

2

a b

b a =2

ba2

ou, se preferir :

3

2

a b

b a = a · b · b

b · a · a · a = ba2




Exemplo 2

2

2

4y x :

2y x

= 2y

x x 4y

2

2=

2 2yx

inverso

Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.




Exemplo 3

1 - x 3x

2x 1 -x

2

2 =

( x - 1 ) · 3x2

( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x ·=

= 2 ( x + 1 ) 3x




Exemplo 4

2

22

x 4 - x :

3x 4 4x x

=

=3 x ( x + 2 ) ( x - 2 )

( x + 2 )

3x

4 4x x 2

4 - x x 2

2=

· x

2 2=

x ( x + 2 ) 3 ( x - 2 )

Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.



Exemplo 5

= =a2 + 2ab + b2

a - b

a + b 3a - 3b a2 + 2ab + b2

a - b a + b

3a - 3b :

Observação :

d c

b a

= d c :

b a

= b

a c d

inverso



Exemplo 5

= =a2 + 2ab + b2

a - b

a + b 3a - 3b a2 + 2ab + b2

a - b a + b 3a - 3b

•

= ( a - b ) · ( a + b )

( a + b ) · 3 ( a - b )2= 1

3 ( a + b )

inverso



A . S . V ( 3 )

1o Grupo - Efetue, dando o resultado na forma mais simples :

a)x

3y y2x

b)y3x :

y2x

c)1 x 5y

10y 1 x 2

d)6x

b a : 2x

b a

e)3 x

9 3y 3 y

9 6x x 2

f) 4 4y - y

2 x : 2 - y

4 - x 2

2

g) 25 x10 x

by ay bx ax y x 5 x

2

h)8a

y xy x : 4a

y x 22

2

33


( Considere que as frações dadas satisfaçam ao domínio de validade )


A . S . V ( 3 )

a)x

3y y2x

b)y3x :

y2x

c)1 x 5y

10y 1 x 2

d)6x

b a : 2x

b a

RESPOSTAS

= 6

= 3x y

y2x =

3 2

=2 y

2

= b a

6x 2x

b a

3= 3

1o Grupo


A . S . V ( 3 )1o Grupo

e)3 x

9 3y 3 y

9 6x x 2

f) 4 4y - y

2 x : 2 - y

4 - x 2

2

RESPOSTAS

= 3 x 3) (y 3

3 y ) 3 x ( 2

=

= 3 ( x + 3 )

= 2 x

4 4y - y 2 - y

4 - x 22

=

= 2 x

) 2 - y ( 2 - y

) 2 -x ( ) 2 x ( 2

= ( x - 2 ) ( y - 2 )


A . S . V ( 3 )

g) 25 x10 x

by ay bx ax y x 5 x

2

RESPOSTAS1o Grupo

=

) 5 x ( ) b a ( y ) b a (x

y x 5 x

2

==

) 5 x ( ) y x ( ) b a (

y x 5 x

2

== 5 x b a


A . S . V ( 3 )

h)8a

y xy x : 4a

y x 22

2

33

RESPOSTAS1o Grupo

=

y xy - x 8a

4a y x

222

33

= =

y xy - x 8a

4a ) y xy - x ( ) y x (

222

22

= =

=

2

a

) y x ( 2


A . S . V ( 3 )

2o Grupo - Efetue, dando o resultado na forma mais simples :

a)

b)

c)

d)


8y3x

4y 9x 2

10 5x 3 -x

2 x 6 -2x

2 b - a

6 b - a 22

3 3x x - x 2

1 - xx

2

( Considere que as frações dadas satisfazem ao domínio de validade )


A . S . V ( 3 )2o Grupo

a)

RESPOSTAS

8y3x

4y 9x 2

= 8y3x

29x 4y =

2 3 6x 1

b) 10 5x 3 -x

2 x 6 -2x

= 10 5x

3 -x 6 2x

2 x =

= ) 2 (x 5 3 -x

) 3 (x 2 2 x

=

10 1


A . S . V ( 3 )

c)

RESPOSTAS

2 b - a

6 b - a 22

2o Grupo

= 2

b - a b - a

6 22 =

2 b - a

) b - a ( ) b a ( 6

==

3

b a 3


A . S . V ( 3 )

d)

RESPOSTAS

3 3x x - x 2

1 - xx

2

2o Grupo

= 3 3x

x - x 2

x 1 - x

2 =

= ) 1 x ( 3 ) 1 -x (x

x ) 1 -x ( ) 1 x ( =

3 ) 1 -x ( 2

ou

3 1 2x - x 2


F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO

Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada.

2

3a2x

=

2 2x

2 3a = 2

2

9a 4x

Olha a potenciação de monômios ! Quer fazer uma revisão ?

Exemplo 1

( Considere que a fração dada satisfaça ao domínio de validade )




3

3

2

2a yx

=

3 2yx

3 32a =

36yx9a8

Olha a potenciação de monômios ! Quer fazer uma revisão ?

Exemplo 2

( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )




2

b - a b a

=22 b 2ab a

Olha os produtos notáveis ! Quer fazer uma revisão ?

22 b 2ab a

Exemplo 3

( a + b ) ( a - b )

2

2 =





1 -

4y 5x

= 5x

4y

Exemplo 4

Olha o expoente negativo ! Precisa de uma revisão ?




Exemplo 5


3 -

2 2y 3x

=

3 2

3x 2y

= 3

6

27x 8y





Exemplo 6


2 -

5y 3 -x

=


9 6x - x25y

2

2

2

3 - x 5y

=( 5y )2

( x - 3 )2=



A . S . V ( 4 )Calcule as seguintes potências, considerando que todas as bases estão definidas em R :

a)2

3b 7

b)2

9b2x

c)3

2ax

d)32

3y 4x

e)2

2 -x 1 -x

f)

2

33x b - a

g)

3

n m 2mn

h)

3

3

2

2b 3a

i)5

3

42

x ba

j)1

35x y -x

k)2

2pq mn

l)3 2

y -x x



A . S . V ( 4 )Calcule as potências :

a)2

3b 7

b)2

9b2x

c)3

2ax

RESPOSTAS

= 2

2

3b 7

= 29b 49

= 2 2x 2 9b

+ = 2

2

81b 4x

= - x3

3 2a = - x3

3a8

++



d)32

3y 4x

e)

f)3

3

2

2b 3a

5

3

42

x ba

RESPOSTAS

= - ( 4x2 )3

( 3y )3 = - 64x6

27y3

=( a2 b4 )5

( x3 )5= a10 b20

x15

= - ( 3a2 )3

( 2b3 )3= - 27a6

8b9



2

2 -x 1 -x

2

33x b - a

g)

3

n m 2mn

h)

i)

RESPOSTAS

= ( a - b )2

( 3x3 )2= a2 - 2ab + b2

9x6

= ( 2mn )3

( m + n )3= 8m3n3

m3 + 3m2 n + 3mn2 + n3

= ( x - 1 )2

( x - 2 )2= x2 - 2x + 1

x2 - 4x + 4

- -



j)1

35x y -x

k)2

2pq mn

l)3 2

y -x x

RESPOSTAS

= 5x3

x - y

=2

mn 2pq

=

4p2q2

m2n2

=3

2 x y -x

=

x6

x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3


Expressões envolvendo mais de uma operação.


Obs: Considerar que as frações dadas satisfazem às condições de existência.



EXEMPLO 1

Simplificar a expressão

a b -

b a :

a b

b a

a b -

b a :

a b

b a =

ab

b - a : ab

b a 2222

=

=

22

22

b - a ab

abb a = a2 + b2

a2 - b2



EXEMPLO 2

Simplifique a expressão

x 2 1

4 - x2x - x

2

2

=

x2 x

) 2 -x ( ) 2 x (2) -x (x

=

x 2 1

4 - x2x - x

2

21


Simplifique as expressões :

x 1 x

1 - x3x - x

2

2a)

b)

a b -

b a :

ab ab a 2

A . S . V ( 5 )


c)

1 yx : 2

x y

yx


x 1 x

1 - x3x - x

2

2a)

A . S . V ( 5 ) RESPOSTAS

=

x 1 - x

1 - x 3) -x (x 2

2 = x - 3

b)

a b -

b a :

ab ab a 2

=ab

b - a : ab

b) (a a 22=

b - a ab

abb) (a a

22= =

b) - (a b) (a ab

abb) (a a

= b - a a

=


A . S . V ( 5 ) RESPOSTAS

c)

1 yx : 2

x y

yx =

=

y

y x : xy

2xy y x 22

=

= y x

y xy

) y x ( 2

=x

y x

Observação : x2 + y2 + 2xy = x2 + 2xy + y2 = ( x + y )2

cópia de #frações algébricas 2

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