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PROFESSOR: EQUIPE DE MATEMTICA

BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== GEOMETRIA PLANA 2. ESTUDO DOS TRINGULOS

2.1.: Definio de Tringulo: consideramos trs pontos no colineares A, B e C. A figura plana formada pela reunio dos segmentos AB , AC e BC , denomina-se tringulo.

A

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AB U AC U BC = ABC c b B C a 2.2. Elementos Principais

Observemos a figura abaixo: A

B

C Vrtices: so os pontos A, B e C. Lados: so os segmentos AB , AC e BC . Medidas dos lados: a , b e c. ngulos internos: , B e . A C ngulo externo: o ngulo adjacente suplementar de um ngulo interno do tringulo, que se obtm prolongando os

lados do tringulo. , e so as medidas dos ngulos externos do ABC

+ = A + B = + = 180 C

B C

A

2.3. Soma dos ngulos Internos de um Tringulo: a soma das medidas dos ngulos internos de qualquer tringulo igual a 180.

A

A

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B C

A + B + = 180 C Obs.: A demonstrao ser efetuada em classe ou no tira-dvidas B C 2.4. Propriedades dos ngulos Externos: Em qualquer tringulo, a medida de um ngulo externo igual soma das medidas

dos dois ngulos internos no adjacentes a ele. A

tem-se = B + C

B

C Demonstrao:

Pela figura: + = 180 A

+ + = 180 A B C

Logo, + = + + A A B C

= B + C Sendo , e as medidas dos ngulos externos, tem-se:

= B + C

= + A C

= A + B

2.5. Soma dos ngulos Externos: somando-se as trs relaes anteriores, tem-se:

+ + = 2 + 2 B + 2 C A + + = 2 ( + B + C ) A + + = 2 . 180

+ + = = 360

B C

A

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.6. Classificao dos Tringulos:

2.6.1. Classificao em funo das medidas dos lados.

A

qiltero

B

Possui os trs lados congruentes:

2

E C

BCACAB Possui os trs ngulos congruentes:

A = B = C = 60

A

sceles

B

Possui dos lados congruentes: Is C

ACAB Os ngulos da base so congruentes: CB

Observao: todo tringulo s. eqiltero tambm isscele

A

scaleno

B

Possui os trs lados diferentes Os trs ngulos so diferentes.

E C

ACBA

2.6.2. Classificao em Funo das Medidas dos ngulos

etngulo

Possui um angulo reto 90

Os ngulos agudos so complemen-

O lado

C R

A B

A =

tares A + C = 90

BC , oposto ao ngulo reto, a- denomin se hIpotenusa.

Os lados AB e AC denominam-se catetos

A

cutngulo

Os trs ngulos so agudos.

A soma de dois ngulos agudos A

B C

A < 90 B < 90 C < 90

maior que 90. A + B > 90 B + > 90 C

A + C > 90

btusngulo

Possui um ngulo obtuso. A soma dos ngulos agudos

A O

C

B

B > 90 menor que 90

A + C < 90

2.7. Relaes de Desigualdade nos tringulos. Consideremos o tringulo abaixo: A

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c b B a C

Temos ento, as seguintes relaes: 1 Em qualquer tringulo ao maior lado ope-se o maior ngulo e reciprocamente. Assim, temos:

a > b > c > B > C A

Observao: Se dois lados de um tringulo so congruentes, os ngulos opostos a esses lados tambm so congruentes

e reciprocamente. 2 Cada lado de um tringulo menor que a soma dos outros dois lados.

a < b + c

b < a + c

c < a + b

3 Cada lado de um tringulo maior que a diferena dos outros dois lados. Se a < b + c

b < a + c c - b < a acb

2.8. Congruncia de Tringulos.

2.8.1. Definio: dois tringulos ABC e A' B' C' so congruentes quando possvel estabelecer uma correspondncia entre seus vrtices de tal modo que:

1. Os lados de um deles sejam ordenadamente congruentes aos lados do outro. 2. Os ngulos de um deles sejam ordenadamente congruentes aos ngulos do outro. A

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B C

'C'BBC'C'AAC'B'AAB e ABC

'CC'BB'AA

A'B'C'

A'

B' C'

2.8.2. Critrios de Congruncia de tringulos.

1 Critrio: L. L. L. (lado, lado, lado): dois tringulos so congruentes quando os trs lados de um deles so ordenadamente congruentes aos trs lados do outro.

A

B C

'C'BBC'C'AAC'B'AAB ABC A'B'C'

'CC'BB'AA

A'

B' C'

2 Critrio: L. A. L. (lado, ngulo, lado): dois tringulos so congruentes, quando dois lados de um so

ordenadamente congruentes a dois lados do outro e os ngulos compreendidos entre esses lados so tambm congruentes.

A

B C

'C'AAC

'AA'B'AAB ABC A'B'C'

'CC'C'BBC

'BB

A'

B' C'

3 Critrio: A. L. A. (ngulo, lado, ngulo): dois tringulos so congruentes quando tm ordenadamente congruentes dois ngulos e o lado compreendido entre eles.

A

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B C

'CC'C'BBC

'BB ABC A'B'C'

'C'AAC'AA

'B'AAB

A'

B' C' 4 Critrio: L. A. AO (lado, ngulo, ngulo oposto): dois tringulos so congruentes quando tm um lado, um ngulo adjacente e o ngulo oposto a esse lado, ordenadamente congruentes. A

B C

'AA'BB

'C'BBC ABC A'B'C'

'C'AAC'CC

'B'AAB

A'

B' C' Critrio especial de congruncia de tringulos retngulos: dois tringulos retngulos so congruentes quando a

hipotenusa e um cateto de um deles so ordenadamente congruentes hipotenusa e o cateto do outro. C

A B

=

90'AA

'B'AAB'C'BBC

ABC A'B'C'

'C'AAC'CC'BB

C'

A' B'

2.8.3. Semelhana de Tringulos.

2.8.3.1. Definio: dada a correspondncia entre dois tringulos, se os lados correspondentes forem proporcionais e os ngulos correspondentes forem congruentes, estes tringulos so ditos semelhantes.

A A

c b ABC ~ A'B'C'

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B C B' C'

c' b'

a a' Note que: a = k a' b = k b' onde k a razo de semelhana c = k c'

k'c

c'b

b'a

a===

Observao: Quando a razo de semelhana entre os lados de um tringulo igual a k, podemos afirmar que a

razo entre os permetros k e a razo entre as reas k2. 2.8.4. Cevianas de um Tringulo. 2.8.4.1. Definio: qualquer segmento de reta que une um vrtice do tringulo a um ponto qualquer do lado oposto ou do seu prolongamento.

AP , AQ e CR so cevianas do ABC P, Q e E so os ps das cevianas 2.8.4.2. Cevianas Principais do Tringulo.

a) Altura: a ceviana que parte de um vrtice e perpendicular ao lado oposto.

A AH = ha altura relativa ao lado BC c b

B H C

R

A

Q B P C

ha

b) Mediana: a ceviana que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto.

A

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AM = ma mediana relativa ao lado BC

MB = MC = 2a

B M C

ma

a

c) Bissetriz Interna: a ceviana que divide o ngulo interno em dois ngulos congruentes.

A AD = a bissetriz relativa ao lado BC

B D C a

d) Bissetriz Externa: a ceviana que divide um ngulo externo em dois ngulos congruentes.

AE = a bissetriz externa relativa '

ao lado BC

Observaes: 1: Um tringulo possui trs alturas, trs medianas, trs bissetrizes internas e trs bissetrizes externas. 2: Num tringulo issceles a altura, a mediana e a bissetriz interna relativa base, coincidem num nico segmento. A ha ma a

B H C

a

a2a

2

2A 2

A c b

A

c ' ab

a B E C

2.9.: Paralelas e Transversais. 2.9.1. Teorema de Tales: um feixe de paralelas determina sobre duas transversais quaisquer segmentos correspondentes

proporcionais. t1 t2 A A'

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B B' C C'

'C'B'B'A

BCAB

=

2.9.2. Teorema Fundamental de Semelhana: se uma reta paralela a um dos lados de um tringulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, ento o tringulo que ela determina semelhante ao primeiro.

A ABC~AMNBC//MN M N Ou seja,

KBCMN

ACAN

ABAM

===

B C

FM/0602/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 1a SRIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2006 - PARTE 2.DOC

r1 r1 // r2 // r3

r2

r3


BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== 01- Os editores das revistas Fotomania e Musical fizeram uma pesquisa entre os 400 alunos de uma escola. A pesquisa revelou que, desses alunos, 210 lem a revista Musical, 190 lem a revista Fotomania e 50 no lem revistas. Quantos alunos lem somente a revista Musical? 02- Dados A = {x R / - 2 x < 3} e B = {x R / 0 < x 3}, determine:

a) A B b) A B c) ABC d) A - B

03- Se A = ]-2, 3] e B = [0, 5], ento os nmeros inteiros que esto em B - A so iguais a... 04- Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3,} e B = {-3, -2, -1, 0, 2, 3, 4, 5}, determine R = {(x, y) A x B / y = - 2x - 1} 05- Sendo A = {x Z / - 3 < x 1} e B = {x N / x2 < 16}, determine (A B) - (A B) 06- Determine:

a) o ngulo que, somado ao dobre do seu complemento, vale 140; b) o ngulo que, somado quarta parte do seu suplemento, vale 90.

07- Sabendo que r//s, calcule x, indicado na figura:

80

20 s

r x

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GABARITO 01- 160 02- a) [-2, 3]

b) ]0, 3[ c) no existe d) [-2, 0]

03- {4, 5} 04- R = {(-2, 3), (-1, 1), (0, -1), (1, -3)} 05- {-2, -1, 2, 3} 06- a) x = 40

b) x = 60 07- x = 60 * Refazer os exerccios de aula, de casa e os testes anteriores um bom treinamento.

FM/0602/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 1a SRIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2006.DOC


BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== LGEBRA 01- Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antgenos. Em uma pesquisa efetuada

num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles tm o antgeno A, 35 tm o antgeno B e 14 tm o antgeno AB. Nestas condies, pede-se o nmero de pacientes cujo sangue tem o antgeno O.

02- Uma cidade com 10.000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com seus habitantes, constatou-se

que 1.200 pessoas no apreciam nenhum dos dois clubes, 1300 apreciam os dois clubes e 4.500 apreciam o clube A.

a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?

b) Quantos apreciam o clube B?

c) Quantas apreciam apenas o clube B?

03- Sejam os conjuntos A = { } ; B = 3x0/Rx { }3x/Rx ; C = { }3x2/Rx . Determine o conjunto ( ) .CAB 04- Seja a funo f: R R definida por f(x) = x2 - 3x - 4. Determine os valores de x para que se tenha:

a) f(x) = -4 b) f(x) = 0

05- Dadas as funes definidas por f(x) = 1x21

+ e g(x) = x2 - 1, calcule f(6) + g (-2).

06- So dadas as funes f(x) = 3x + 1 e g(x) = 54 x + a. Sabendo que f(1) - g(1) =

32 , calcule o valor de a.

07- Determine o domnio das funes seguintes:

a) y = 4x

11x1x

2 +

+ b) y = x21

c) y = 5x

1x3

1x2

++

08- Dados f(x) = x2 - 4 e g(x) = 2x + 1, calcule f(g(x)) e g(f(x)). 09- Sendo f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 1, calcule f(g(2)) + g (f(-1)). 10- Dados f(x) = 3x - 1 e g(x) = 2x + 4, para quais valores de x temos f(g(X)) = -1? 11- Dados f(x) = 3x - 1 e f(g(X)) = 6x + 8, calcular g(x).

12- Dada a funo f(x) = 9x1x2

++ , determine:

a) f-1(x) b) D(f-1) c) f(0) + f-1(0)

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GEOMETRIA 01- A diferena entre as medidas de dois ngulos suplementares igual a 52. Calcule a medida do maior ngulo. 02- O dobro do complemento de um ngulo igual tera parte do suplemento do mesmo. Qual a medida desse ngulo? 03- Na figura seguinte, OBeOA so semi-retas opostas. Calcule , , sabendo que o dobro de e que o

triplo de

DOC COB DOA DOC

COB .

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A

C D

B O 04- Calcule x e y, sabendo que r // s.

a) b)

2x

y

7x

7x + 26

5x + 50 r

s

y r

s

05- Na figura abaixo, as retas a e b so paralelas. Qual a medida do ngulo ACB?

30

A

B

C 140

GABARITO LGEBRA 01- 59 02- a) 3200 b) 5600 c) 4300 03- { } 0x2/Rx 04- a) 0 e 3 b) -1 e 4 05- 7

06- a = 1538

07- a) D(f) = R - { }2,1,2

b) D(f) =

21xRx

c) D(f) = { }5x*Rx > 08- f(g(x)) = 4x2 + 4x - 3 g(f(x)) = 2x2 - 7 09- 4 10- x = -2 11- g(x) = 2x + 3

12- a) f-1(x) = x21x9

b) D(f) = R - {2}

c) -187

GEOMETRIA

01- 116 02- 72 03- 120 04- a) x = 20 e y = 40

b) x = 12 e y = 70 05- 70

*REFAZER OS TESTES E OS EXERCCIOS ANTERIORES UM BOM TREINAMENTO.

MCS/0704/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 1a SRIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2007 - 02.DOC

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BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== 01- Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antgenos. Em uma pesquisa efetuada

num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles tm o antgeno A, 35 tm o antgeno B e 14 tm o antgeno AB. Nestas condies, pede-se o nmero de pacientes cujo sangue tem o antgeno O.

02- Uma cidade com 10.000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com seus habitantes, constatou-se

que 1.200 pessoas no apreciam nenhum dos dois clubes, 1300 apreciam os dois clubes e 4.500 apreciam o clube A.

a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?

b) Quantos apreciam o clube B?

c) Quantas apreciam apenas o clube B?

03- Seja os conjuntos A = { }3x0/Rx ; B = { }33x/Rx ; C = { }3x2/Rx . Determine o conjunto

( ) .CAB 04- Seja a funo f: R R definida por f(x) = x2 - 3x - 4. Determine os valores de x para que se tenha:

a) f(x) = -4 b) f(x) = 0

05- Dadas as funes definidas por f(x) = 1x21

+ e g(x) = x2 - 1, calcule f(6) + g (-2).

06- So dadas as funes f(x) = 3x + 1 e g(x) = 54 x + 1. Sabendo que f(1) - g(1) =

32 . Calcyle o valor de a.

07- Determine o domnio das funes seguintes:

a) y = 4x

11x1x

2 +

+


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BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== 01- Dada a funo f: R R definida por f(x) = ax2 + b, com a, b R, calcule a e b, sabendo que f(1) = 7 e f(2) = 22. 02- Dadas as funes f e g definidas por f(x) = x + 2 e g(x) = 2x 1, considere a funo h, de modo que h = (gof) (x). Determine

h-1(x).

03- Determine o conjunto verdade da inequao ( ) 05

)3(1>

+

xxx .

04- Determine o domnio das funes:

a) f(x) 42

+

xx b) y = )x(x 5

05- Dada a funo y = x2 + 4x 5, pede-se:

a) o vrtice da parbola representativa da funo. b) o conjunto imagem da funo. c) os valores de x para os quais a funo decrescente. d) o valor mximo da funo. e) os valores de x para os quais f(x) = 0

06- Calcule os ngulos de um tringulo, sabendo que = 2x 300, B o triplo de . Ce,B,A A ABCeA =

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GABARITO 01- a = 5 e b = 2

02- h-1(X) = 2

3x

03- V = { }513 >


BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== 01- Calcule x nas figuras: a) b)

3

x

4

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02- Para medir a altura de um obelisco, uma pessoa fincou uma estaca de 50 cm perpendicularmente ao solo. Constatou que

em um determinado horrio a sombra da estaca era de 15cm e a do obelisco, 3m. Qual a altura do obelisco? 03- Os lados de um tringulo medem 7cm, 8cm, e 9cm. Um segundo tringulo, semelhante ao primeiro, tem permetro igual a

3,6cm. Qual o valor do maior lado do segundo tringulo? 04- Resolva as inequaes:

a) (2x - 1) (-x + 3) (-x + 1) 0

b) 05x

)3x()1x(>

c) 01x

4x(x

05- Seja f: R R uma funo do 1 grau onde f(1) = 5 e f(-2) = 1. Determine a lei de formao dessa funo. 06- O grfico da funo f(x) = mx + n passa pelos pontos A (1, -2) e B (4, 2). Calcule o valor de m + n.

A D

C

B x

9

16

07- Determine o conjunto imagem das seguintes funes:

a) f(x) = -x2 + 4 b) f(x) = x2 - 6x 08- Dada a funo f(x) = x2 - 4x + 3, determine:

a) os valores de x para os quais f(x) > 0 b) os valores de x para os quais f(x) crescente. c) o valor mnimo de f(x).

09- Resolva as inequaes:

a) (x2 - 2x - 3) (-x2 - 3x + 4) > 0

b) 0x3x

2x2

+

c) 4x5x

10x7x2

2

+

+ > 0

10- Determine o domnio das funes:

a) f(x) = ( ) ( )1x3x 2

b) f(x) = x

x9 2

c) f(x) = x4x1x

2

2

+

11- A trajetria de um projtil foi representada no plano cartesiano por y = -16x

64x2

+ , com uma unidade representando um

quilmetro. Calcule a altura mxima atingida por esse projtil. 12- As dimenses de um retngulo so numericamente iguais s coordenadas do vrtice da parbola de equao y = -128x2 +

32x + 6. Determine a rea desse retngulo.

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GABARITO 01- a) 2,25

b) 15 02- 10 m 03- 13,5cm

04- a)

3xou1x

21/Rx

b) { }5xou1x3/Rx >


BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO ================================================================================================ 01- Determine o domnio das funes dadas por:

a) f(x) = x4x1x

2

2

+ b) f(x) = 6xx

2x2 +

c) f(x) = 5|x| d) f(x) = 5|x|

2

02- Resolva as equaes:

a) 2x1x

1641 +

=

b) 2922 2x1x =+ +

c) |3x - 2| = x - 1 d) 65

41x2=

+

03- Calcule o valor das expresses

a) 107710 ++ b) 51

61

3264

+

04- Determine os valores reais de x para os quais a funo f(x) = x2 - 8x + 12 positiva. 05- Seja a funo definida por f(x) = x2 - 5x. Para quais valores reais de x a funo dada negativa? 06- Uma ripa de 1,5m de altura projeta uma sombra de 0,5m. No mesmo instante, uma torre projeta uma sombra de 15m. Calcule a altura da torre. 07- Sabendo que BC//MN , calcule as medidas x e y indicadas na figura. A

M N

9

x 9

15

B C 16

y

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GABARITO 01- a) b) { }4x1ou0x1/Rx


BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO ================================================================================================ 01- Consideremos uma circunferncia de raio 20cm. Nessas condies, calcule as medidas:

a) do lado e do aptema do quadrado inscrito;

b) do lado e do aptema do tringulo eqiltero inscrito;

c) do lado e do aptema do hexgono regular inscrito;

02- Calcule a razo entre a medida do lado de um hexgono regular e a do lado de um quadrado inscritos na mesma

circunferncia de raio r.

03- Simplifique a expresso 1004

143

21

21

11681

3622

+

++

04- Resolva:

a) 9x + 3 = 27x b) 3X 1 + 3X + 1 = 90

c) 1214

21

21 +

xx

d) 103x 1 > 100x

05- Calcule a soma S = 102464278 2

43

21 logloglog +

.

06- Resolva:

a) log ( ) 1212 = xx b) ( ) 096 323 =+ xx loglog Pgina 1 de 2 - 10/04/2011 - 9:50

GABARITO

01- a) l4 = 20 cm2 e a4 = 10 cm2 b) l3 = 20 e a3 = 10 cm cm3

c) l6 = 20cm e a6 = 10 cm3

02- 22

03- 31811

04- a) {6}

b) {3}

c) { } 1> xRx / d) { }1> xRx /

05- S = 10 06- a) {-3, 4}

b) {27}

MCS/0610/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 1a SRIE - ENSINO MEDIO - 4a ETAPA - 2006.DOC

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BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== 01- Determine o valor de p para que a seqncia (p + 5, 3p, p2 - 1) seja uma PA. 02- Em uma PA, a3 + a8 = 10 e a5 + a14 = - 22. Determine a1 e a razo r dessa PA. 03- Quantos so os mltiplos de 4 entre 101 e 3001? 04- Determinar o 10 termo de uma PA, sabendo que a soma dos seus 48 primeiros termos igual a 1008 e que a sua razo r = 2. 05- Um cinema tem 448 lugares, distribudos da seguinte maneira: na primeira fila, tm-se 13 poltronas, na segunda, 15, na terceira, 17, e assim sucessivamente, at completar n filas. Determinar o nmero total de filas desse cinema. 06- Trs nmeros esto em PA. Calcule esses nmeros sabendo que o produto deles 420 e a soma -12. 07- Determine o valor de x, de modo que os nmeros x + 1, x + 4, x + 10 formem, nesta ordem, uma PG. 08- Dados os nmeros 1, 3 e 4, nesta ordem, determine o nmero que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma progresso geomtrica. GABARITO 01- p = 1 ou p = 4 02- a1 = 23 e r = -4 03- 725 04- a10 = -8 05- 16 filas 06- -15, -4 e 7 07- 2 08- -5 * Refazer os exerccios de aula, de casa e os testes anteriores um bom treinamento.


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BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - - ENSINO MDIO =================================================================================================== LGEGRA 01- Determine:

a) o valor de x, tal que os nmeros 3x - 1, x + 3, x + 9 estejam, nessa ordem, em PA. b) o valor de x, tal que os nmeros x2, (x + 2)2 e (x + 3)2 formem, nessa ordem, uma PA.

02- As medidas dos lados de um tringulo so expressas por x + 1, 2x e x2 - 5 e esto em PA, nessa ordem. Calcule o permetro do tringulo. 03- Quantos mltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos? 04- Em uma progresso aritmtica, a soma do 3 com o 7 termo vale 30, e a soma dos 12 primeiros termos vale 216. Determine essa progresso. 05- Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas

linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livre tem 17 pginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?

06- Determine o valor de x, de modo que os nmeros x + 1, x + 4, x + 10 formem, nesta ordem, uma PG. 07- So dados quatro nmeros em PG crescente. A soma dos extremos 27 e a soma dos meios 18. Determine-os. 08- Numa PG de 5 termos, a soma dos dois primeiros 32 e a soma dos dois ltimos 864. Qual o terceiro termo da PG? 09- Numa PG, a2 = 6 e a4 = 54. Calcule a soma dos 5 primeiros termos. 10- Resolva a equao 10x + 20x + 40x + ... + 1280x = 7650. 11- Determine a frao geratriz das seguintes dzimas peridicas:

a) 0,555... b) 0,2515151... 12- Determine o valor de x R, x > 0, que satisfaa a igualdade:

1 + x + x2 + 2x2 +

4x2 +

8x2 + ... 1n

2

2x + ... = 56

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TRIGONOMETRIA 01- Qual , em radianos, o ngulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relgio, num perodo de 20 minutos? 02- Determine o menor ngulo formado pelos ponteiros de um relgio s 9h10min. 03- Um mvel, partindo da origem dos arcos, percorreu um arco de -3250. Quantas voltas completas ele deu e em qual quadrante

parou? 04- Determine os arcos positivos menores que 1000 e cngruos a 3150. 05- Calcule a 1 determinao positiva e escreva a expresso geral dos arcos cngruos a:

a) 930 b) - 1970

c) 6

23 rad d) 8

39 rad

GABARITO LGEBRA TRIGONOMETRIA

01- a) -1 b) 21

02- 24 03- 128 04- (7, 9, 11, ...) 05- 10 dias 06- 2 07- (3, 6, 12, 24) 08- 72 09- -122 ou 242 10- x = 3

11- a) 95 b)

33083

01- 32 rad

02- 145 03- 9 voltas; 4 quadrante 04- 270, 630, 990 05- a) 210 e = 210 + K . 360, K Z

b) 190 e = 190 + K . 360, K Z OU = - 170 + K . 360, K Z

c) 6

11 e = 6

11 + 2k , K Z

d) 8

9 e = 8

9 + 2k , K Z OU

= 8

7 + 2k , K Z

* Refazer os exerccios de aula, de casa e os testes anteriores um bom treinamento.

FM/0704/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2007.DOC

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BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - - ENSINO MDIO ============================================================================================= 01- A sequncia de tringulos equilteros, ilustrada na figura abaixo, apresenta certo nmero de pontos assinalados em

cada tringulo.

Seguindo a lgica utilizada na construo da sequncia, o nmero de pontos que estaro assinalados no oitavo tringulo : (A) 65 (B) 54 (C) 45 (D) 56

02- Os nmeros log10 x, log10(10x) e 2 formam, nessa ordem, uma progresso aritmtica, onde x um nmero real positivo.

Sobre os termos dessa progresso, correto afirmar que: (A) so 3 nmeros reais positivos. (B) o menor deles um nmero real negativo. (C) a soma deles igual a 2. (D) so 3 nmeros inteiros. (E) o produto entre eles igual a 2.

03- Os irmos Jos e Maria visitam regularmente seu av Pedro. Jos visita-o a cada 8 dias e Maria a cada 6 dias, ambos,

rigorosamente, sem nunca falharem. Se Jos e Maria visitaram simultaneamente o av no primeiro dia do ano de 2004, quantas vezes mais eles fizeram a visita simultnea at o dia 31 de dezembro de 2006?

Obs.: Considere cada ano com 365 dias. (A) 48 (B) 44 (C) 46 (D) 45

04- A soma dos nmeros pares compreendidos entre 0 e 61 igual a:

(A) 810 (B) 870 (C) 930 (D) 990

05- Ache m e n tais que os trs nmeros 3, m, n estejam em progresso aritmtica e 3, m + 1, n + 5 estejam em progresso

geomtrica.

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06- Joo recorta um crculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio vrias vezes, conforme ilustrado na figura 1. Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o nmero 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, Joo escreve a soma dos nmeros que esto nas extremidades de cada arco.

A figura 2 a seguir ilustra as quatro etapas iniciais desse processo.

Joo continuou o processo de dobradura, escrevendo os nmeros, conforme a descrio anterior, at concluir dez etapas. Calcule a soma de todos os nmeros que estaro escritos na etapa 10.

07- No interior de uma sala, na forma de um paraleleppedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas 1,

1/3, 1/9, 1/27, e assim por diante, conforme mostra a figura.

O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, : (A) 3 (B) 5/2 (C) 7/3 (D) 2 (E) 3/2

08- O nmero de bactrias em uma certa cultura dobra a cada hora. A partir da amostra inicial, so necessrias 24 horas

para que o nmero de bactrias atinja uma certa quantidade Q. Calcule quantas horas so necessrias para que a quantidade de bactrias nessa cultura atinja a metade de Q.

09- Numa reserva florestal foram computados 3.645 coelhos. Uma determinada infeco alastra-se de modo que, ao final

do primeiro dia, h cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o nmero total de coelhos infectados triplica.

a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21 dia. b) Calcule o nmero mnimo de dias necessrio para que toda a populao de coelhos esteja infectada.

10- Em uma PA no constante de 7 termos, com termo mdio igual a 6, os termos 2., 4. e 7., nesta ordem, formam uma

PG. Determine esta PA.

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GABARITO

01- C

02- D

03- D

04- C

05- m = 5 e n = 7 ou m = - 1 e n = - 5.

06- (39.366)

07- E

08- n = 23 horas.

09- a) 405 coelhos b) 31 dias

10- ((3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)).

MCS/0905/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2009 - JULIO MOREIRA.DOC


BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - - ENSINO MDIO ============================================================================================= 01- Muito se fala a respeito do voo do mosquito Aedes Aegypti. A maior parte dos especialistas diz que a altura mxima do

voo prxima a 1 metro de altura, mas outros dizem que a fmea do mosquito em fase de postura, dependendo da corrente de ar, pode atingir 300 metros de altura. Ser?

Joo, rapaz forte com altura prxima a 1,80m foi picado na testa por um mosquito. Aps a picada, o mosquito voou em linha reta, numa direo que forma com a horizontal um ngulo de 25 at chegar ao topo de uma rvore que est localizada a 4 m de Joo. Determine a altura aproximada da rvore.

Dados sen 25 = 0,42 , cos 25 = 0,9 e tg 25 = 0,47.

02- O secretrio estadual de Sade e Defesa Civil do Rio, Srgio Crtes, comemorou hoje o fato de o produto biolgico cubano Bactivec, de combate larva do mosquito da dengue, o Aedes Aegypti, ter prazo de validade apenas at o fim deste ms.

Em entrevista Agncia Brasil, ele confirmou que existem estocados 1,5 milho de frascos (30 ml cada) do larvicida no almoxarifado da secretaria, mas disse que a medida atende a determinao do Ministrio da Sade. Segundo ele, o produto no foi usado por ter sido considerado prejudicial sade humana. (ltimo segundo 03/04/08)

Qual deveria ser, em dm, o menor valor inteiro da medida da aresta de um reservatrio cbico a ser construdo, para que todo o contedo dos frascos acima citado fosse despejado nesse reservatrio sem transbordar?

(A) 34 dm (B) 35 dm (C) 36 dm (D) 37 dm (E) 38 dm

03- Ao serem retirados 128 litros de gua de uma caixa d'gua de forma cbica, o nvel da gua baixa 20 centmetros.

a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) Calcule sua capacidade em litros.

04- Uma piscina de forma retangular tem 8m de largura, 15m de comprimento, 0,9m de profundidade num de seus

extremos e 2,7m de profundidade no outro extremo, sendo seu fundo um plano inclinado. Calcule o volume da gua da piscina quando a altura do nvel da gua de 0,6m na extremidade mais funda.

05- Um gelogo encontrou, numa de suas exploraes, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a

relao de Euler, de 60 faces triangulares. O nmero de vrtices deste cristal igual a:

(A) 35 (B) 34 (C) 33 (D) 32 (E) 31

06- Sabendo que sen x = - e que x III quadrante, calcule sec x e tg x. 07- Queremos encostar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que ela forme um ngulo de 60 com o

solo. A que distncia da parede devemos apoiar a escada no solo? Pgina 1 de 2 - 10/04/2011 - 9:51

08- Sabendo que sen x = 53

, e que x III quadrante, calcule cos x e tg x.

09- Se sen x = 32

, o valor de tg2 x :

(A) 0,6 (B) 0,7 (C) 0,8 (D) 0,9 (E) 1

10- Sendo sen x = 32

; x I Q, qual o valor da expresso cos2 x.sec2 x + 2sen2 x ?

11- Se x um arco do 3 quadrante e cos x= -4/5, ento cossec x igual a:

(A) -5/3 (B) -3/5 (C) 3/5 (D) 4/5 (E) 5/3

12- Os prdios em forma de paraleleppedos retngulos esquematizados na figura sero ligados por um cabo AE de

comprimento l , que dever ficar perfeitamente esticado.

Sabendo que os prdios esto apoiados sobre um mesmo plano e tm faces ABCD e EFGH paralelas, determine o valor de l .

13- O que a "prova do lao"?

um procedimento (considerado por algumas pessoas como obsoleto) realizado com o aparelho de presso, na tentativa de verificar fragilidade dos capilares (pequenos vasos sanguneos). O aparelho mantido inflado por cinco minutos em uma presso intermediria entre a mxima e a mnima (o que pode ser desconfortvel), com o objetivo de verificar a produo de petquias (pequenos pontos avermelhados). considerado positivo quando aparecem mais de 20 petquias por polegada quadrada (cerca de 2,5 cm2). A imagem ampliada abaixo mostra uma regio do corpo de um paciente com dengue hemorrgica durante a prova do lao.

Considerando as medidas acima reais e as circunferncias tangentes, a rea que no sofreu vermelhido foi de:

(A) 0,671 cm2 (B) 0,628 cm2 (C) 0,651 cm2 (D) 0,751 cm2 (E) 0,728 cm2

MCS/0905/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2009 - RICARDO VIZ.DOC

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BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - - ENSINO MDIO ============================================================================================= 01- Uma escada macia possui 10 degraus. Cada degrau um paraleleppedo retngulo cujas dimenses so 50 cm de

comprimento, 20 cm de largura e 10 cm de altura. Qual o volume dessa escada em decmetros? 02- Um arteso esculpe carrancas utilizadas em embarcaes que navegam no rio So Francisco. Ele tem em estoque 15

carrancas e recebe uma encomenda de 87 carrancas. Sabendo que ele produz 2 carrancas por semana, quantos meses, no mnimo, sero necessrios para o arteso atender encomenda?

03- Os nmeros 3, a e b so, nessa ordem, termos consecutivos de uma progresso aritmtica cuja razo positiva. Por

sua vez, os nmeros reais a, b e 8 so, tambm nessa ordem, termos consecutivos de uma progresso geomtrica. Determine a e b.

04- Somando-se um mesmo nmero a 11, 5 e 3, obtm-se, na ordem dada, os trs primeiros termos de uma progresso

geomtrica. Qual o 4 termo dessa progresso? 05- Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a, consideremos os quadrados Q2, Q3, Q4,..., tais que os vrtices de

cada um so os pontos mdios do quadrado anterior. Determine a soma das reas dos dez primeiros quadrados desta sequncia.

a) Qual a rea do dcimo primeiro quadrado? b) Qual a soma de todos esses quadrados se prosseguirmos com esta construo indefinidamente?

06- Com um tringulo retngulo cujos catetos medem 2 cm, construmos um segundo tringulo retngulo onde um dos

catetos est apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede 2 cm. Construmos um terceiro tringulo com um dos catetos medindo 2 cm e o outro apoiado na hipotenusa do segundo tringulo. Se continuarmos a construir tringulos sempre da mesma forma, determine a medida da hipotenusa do 15 tringulo.

07- Numa progresso geomtrica, o primeiro termo igual a 7500, e o quarto termo igual a 20% do terceiro. Determine o

quinto termo da progresso. 08- Depois de percorrer um comprimento de arco de 12 m, uma criana deixa de empurrar o balano em que est

brincando. Se o atrito diminui a velocidade do balano de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a 80% do anterior, a distncia total percorrida pela criana, em metros, at que o balano pare completamente, dada pela expresso:

D = 12 + 0,80 12 + 0,80 (0,80 12) + ... .

Observando-se que o segundo membro dessa igualdade a soma dos termos de uma progresso geomtrica, pode- se estimar que o valor de D, em metros, igual a:

(A) 24. (B) 36. (C) 48. (D) 60.

09- Em uma pequena cidade, um boato espalhado da seguinte maneira: no 1 dia, 5 pessoas ficam sabendo; no 2 dia,

15 outras pessoas; no 3, 45 outras pessoas; e assim por diante formando uma Progresso Geomtrica. Quantas pessoas ficam sabendo do boato no final do 7 dia?

10- Trs nmeros positivos, cuja soma 30. Esto em progresso aritmtica. Somando-se, respectivamente, 4, 4 e 9 aos

primeiro, segundo e terceiro termos dessa progresso aritmtica, obtemos trs nmeros em progresso geomtrica. Ento determine:

a) um dos termos da Progresso Aritmtica. b) um dos termos da Progresso Geomtrica.

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c) A soma do primeiro com o terceiro termo da Progresso Geomtrica.

11- Escreva os quatro primeiros termos da seqncia definida por an = 3 + 2n + n2, com .

n 12- Construa, em cada caso, a sequncia com quatro termos definida pelas seguintes leis de formao:

a) b)

+=

= +

n,3a2a

5a

n1n

1( )

+== +

n,a2a

0a2n1n

1

13- A soma dos termos que so nmeros primos da sequncia cujo termo geral dado por an = 3n + 2, sendo n um nmero natural, variando de 1 a 5, :

(A) 28. (B) 33. (C) 36. (D) 42. (E) 56.

14- Uma progresso aritmtica de n termos tem razo igual a 3 e primeiro termo igual a 2. Se retirarmos os termos de

ordem mpar, os de ordem par formaro uma P.A. Determine o quinto termo dessa progresso aritmtica. 15- Determine a P.A. que possui as seguintes caractersticas: o 10 termo vale 16 e a soma do 5 com o 9 termo igual a

2. 16- Com um fio de comprimento L constri-se uma seqncia de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir

do segundo, 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construo de stimo quadrado so necessrios 68 cm, determine o valor de L.

17- Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles sero

colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distncia.

a) Qual ser a distncia entre os telefones? b) Determinar em quais marcos quilomtricos devero ficar esses novos telefones?

18- Um carpinteiro deseja construir uma escada para ser usada por eletricistas. O modelo est na figura abaixo. As

travessas da escada so de madeira, seus comprimentos so decrescentes e esto em Progresso Aritmtica. A primeira travessa mede 0,80 m, e a ltima mede 0,40 m. Sabendo-se que, para as travessas, o carpinteiro tem a sua disposio 13,2 metros lineares de madeira, e no havendo desperdcio algum, quantas travessas conter a escada?

19- Considere que Juca tenha uma coleo com 1200 bolas. Considere a sequncia de bolas abaixo:

Fig 1 Fig 2 Fig 3

a) Determine o nmero de bolas na figura n? b) Determine o total de bolas utilizadas para a construo das vinte primeiras figuras desta sequncia?

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c) Se Juca fosse construir a sequncia de figuras acima, utilizando apenas as bolas de sua coleo, qual o nmero mximo de figuras que conseguiria construir?

(Dados: 4804 como aproximadamente 63) GABARITO 01- 550 dm3 02- 9 meses 03- a = 9/2 e b = 6 04- 1/3 05- 1023a2/512

a) a2/1024

b) 2a2 06- 8 07- 12 08- (D) 09- 3645 10- a) 10

b) 6 c) 15 11- (6,11,18, 27) 12- a) (-5 ,-7, -11, -19) b) (0, -2, 2, 2) 13- (B) 14- a5 = 29 15- a1= -29 e r = 5 16- L = 1280 m 17- a) 5 km

b) (8, 13, 18, 23, ... 83) 18- 22 travessas 19- a) 2n + 1

b) 440

c) 30

FM/1004/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2010 - JULIO MOREIRA.DOC

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BANCO DE QUESTES - MATEMTICA - ENSINO MDIO =================================================================================================== 01- Na equao a seguir, envolvendo determinantes, encontre os valores reais de x.

142203110

00310012

=

+xx

x

x

02- Seja a matriz = A = (a ), de ordem 3, tal que a = e k ji ji

>=

professor: equipe de matemÁticapessoal.educacional.com.br/up/4660001/6620302... · relações de...

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