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PROCEDIMENTO PARA AUTOCALIBRAÇÃO DE UNIDADES DE REFERÊNCIA DE ATITUDE

COELHO, FERNANDO ANTONIO ALMEIDA

Diretoria de Sistemas de Armas da Marinha

R. Primeiro de Março, 118. Ed. Barão de Ladário, 21º Andar. Centro. Rio de Janeiro - RJ

E-mail:[email protected]

HEMERLY, ELDER MOREIRA

Divisão de Eng. Eletrônica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Praça Mal. Eduardo, 50, Vila das Acácias, CEP 12228-900, São José dos Campos - SP

E-mail: [email protected]

Abstract Ellipsis fitting is one of the most used methods to magnetometer and accelerometer calibration, because there is no need for any position references, thereby making it suitable for self calibration and on line applications. Unfortunately, this auto-

calibration algorithm alone does not compensate some sensing axes misalignment caused by distortion of the magnetic field due

to soft-iron interferences. As a solution we propose to use ellipsoid fitting only to calibrate the accelerometer, while the magnetometer is calibrated using attitude information from the accelerometer. With this approach, there is no need for any

external reference, what makes the method suitable for low cost applications.

Keywords magnetometer, soft-iron, auto-calibration, ellipsoid fitting, misalignment.

Resumo Ajustamento de elipses é um dos métodos mais usados para calibração de magnetômetro e acelerômetro, devido a não

necessitar de qualquer referência de posição, o que o torna adequado a aplicações que requeiram autocalibração em tempo real.

Infelizmente, este método de autocalibração não compensa erros de alinhamento dos eixos de medida causados por distorções do campo magnético devido a interferências ditas tipo soft-iron. Como solução, propõe-se usar ajustamento de elipsoide apenas na

calibração do acelerômetro, enquanto que o magnetômetro é calibrado usando informação de atitude fornecida pelo acelerômetro.

Neste caso, não há necessidade de uso de qualquer referência externa, o que torna o método adequado para aplicações de baixo custo.

Palavras-chave magnetômetro, soft-iron, autocalibração, ajustamento de elipsoide, desalinhamento.

1 Introdução

Unidades de Referência de Atitude (URA) de

baixo custo são o principal componente do sistema

de navegação de pequenos veículos e outros sistemas

autônomos. Estas URA normalmente usam tríades de

acelerômetros, magnetômetros e às vezes girômetros

fundidos em um único dispositivo para produzir

medições de atitude e rumo mais precisas e

confiáveis que as de cada sensor individualmente.

Quando esses sensores são montados na plataforma

do veículo, aparecem alguns erros de calibração

devido a desalinhamentos mecânicos e, em especial,

o magnetômetro sofre de interferência de materiais

ferromagnéticos intrinsecamente presentes na

plataforma. Assim, mesmo que esses sensores já

venham calibrados da fábrica, eles precisam ser

calibrados no local onde serão instalados.

Métodos tradicionais de calibração precisam de

algum tipo de referência de atitude e rumo. Em geral

eles comparam as saídas do sensor em diferentes

posições com a projeção do vetor sob medida (Syed,

et al., 2007; Renk, et al., 2005). Esses algoritmos

precisam ser executados em laboratórios com

condições controladas e instrumentação especial;

logo, não são apropriados para aplicações de baixo

custo, externas ou de tempo real.

Por outro lado, o método de ajustamento de

elipsoide usa restrições geométricas do modelo dos

erros para estimar os parâmetros de calibração sem a

necessidade de referência de atitude (Gebre-

Egziabhe, et al., 2006; Renaudin, et al., 2010; Fang,

et al., 2011). Entretanto, esse algoritmo não

compensa erros de alinhamento causados por

distorções do campo magnético, devidos,

principalmente, a interferências ditas do tipo soft-

iron (Gebre-Egziabher, 2007; Li & Li, 2012). Uma

bússola magnética calibrada por esse método, sob

interferência tipo soft-iron, apresentou erros médios

de até 5 graus no rumo, em experimentos práticos

(Renaudin, et al., 2010), enquanto que, em

simulações de trajetórias típicas de voo de um

veículo aero não tripulado, os erros finais no rumo

chegam a 10 graus (Gebre-Egziabher, 2007).

Li & Li (2012) apresentam o método de calibração

de magnetômetro chamado de Dot Product

Invariance (DPI), o qual se vale do fato de que o

produto interno de dois vetores invariantes é

constante. Assim, o vetor aceleração da gravidade

medido pelo acelerômetro é usado como auxiliar para

calibrar o magnetômetro. Entretanto, em seu artigo

Li & Li (2012) têm o acelerômetro previamente

calibrado por métodos tradicionais, recaindo

novamente na necessidade de referências de atitude

externa.

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

3437

Neste trabalho, o acelerômetro é previamente

calibrado pelo método de ajustamento de elipsoide,

que não usa referência de atitude externa, e depois é

utilizado para calibrar o magnetômetro pelo método

DPI. Como os acelerômetros não sofrem

interferências magnéticas, os efeitos de

desalinhamento por soft-iron podem ser

compensados com este procedimento. Simulações e

dados experimentais são utilizados para demonstrar o

bom desempenho do método proposto.

2 Modelagem dos Erros dos Sensores

Em uma URA, a intensidade do campo

magnético da terra, , é a medida utilizada para

estimar a direção (rumo) da plataforma onde está

instalada. Os três eixos de medida do magnetômetro

normalmente são alinhados com os eixos do corpo do

veículo, de modo que as medidas a serem

apresentadas sejam os componentes do vetor campo

magnético da terra projetado nos eixos do corpo,

denotado por . Na prática, existem erros de

instrumentação intrínsecos à tecnologia do sensor,

bem como interferências causadas por materiais

ferromagnéticos presentes no veículo, que geram

desvios no campo magnético da terra. Assim, o vetor

medido, , é corrompido por erros, de acordo com

a equação vetorial

(1)

onde: é uma matriz cheia , é o bias

determinístico, e é o ruído dos sensores.

A matriz e o vetor em (1) compõem os

efeitos originários de diferentes tipos de

interferências, como soft-iron, hard-iron e

imperfeições construtivas, porém para estimação dos

parâmetros, a origem dos erros é indiferente. Uma

descrição detalhada dos diferentes efeitos envolvidos

em um magnetômetro é feita por Renaudin et al.

(2010).

Resolvendo-se (1) para obtém-se o valor exato

do campo sob medição,

(2)

Portanto, calibrar o magnetômetro consiste em

estimar e em (2).

A matriz pode ser decomposta no produto de

uma matriz ortogonal por outra simétrica, chamada

de decomposição polar, conforme

(3)

A matriz simétrica é estimada pelo método de

ajustamento de elipsoide, que não é capaz de estimar

a matriz ortogonal , como será mostrado na Seção

3. Essa matriz ortogonal pode ser interpretada como

o desalinhamento do triedro de medida em relação ao

corpo do veículo, podendo ser causada tanto por

desalinhamentos mecânicos quanto por distorções do

campo magnético devido, principalmente, a efeitos

soft-iron (Renaudin, et al., 2010). Quando esses

efeitos não são significativos, a matriz se

aproxima da matriz identidade.

O mesmo modelo de erros é aplicável ao

acelerômetro, bastando apenas utilizar o vetor

gravidade em substituição a , e o equivalente a

(2) é

(4)

3 Calibração do Acelerômetro

O método de ajustamento de elipsoide utiliza

medidas tomadas de um campo magnético (ou

gravitacional) estacionário, que pode ser o próprio

campo magnético da Terra (ou aceleração da

gravidade) em um determinado local. Neste caso, o

campo sob medição tem magnitude constante e pode

ser encontrado em modelos geológicos como do

Britsh Geological Survey (2010). De qualquer modo,

como a magnitude do vetor não afeta as medidas de

atitude que interessam em aplicações de URA, um

valor fictício, por exemplo, próximo da unidade pode

ser utilizado no procedimento de calibração. De (4)

pode-se escrever

(5)

onde:

, e

.

Convém notar que embora o ruído seja

gaussiano e com média nula, o ruído pode não o

ser, pois sua esperança é

. No método de

ajustamento de elipsoide, considera-se que o nível de

ruído do sensor é suficientemente baixo para ser

negligenciado. Pylvänäinen (2008) faz uma análise

empírica da sensibilidade do algoritmo ao nível do

ruído presente.

A equação quadrática (5) descreve uma superfície

de segunda ordem, por exemplo, um hiperboloide ou

elipsoide. Uma condição suficiente para que (5)

represente um elipsoide é que a matriz seja

positiva definida e que seja positivo

(Renaudin, et al., 2010), o que de fato é verdade pela

própria definição desses parâmetros. Assim, o

método de ajustamento de elipsoide consiste em

estimar e em (5), restritos às condições que

descrevem um elipsoide, e a literatura apresenta

diferentes métodos de estimação desses parâmetros

(Halır & Flusser, 1998; Fitzgibbon, et al., 1999;

Gebre-Egziabher, 2007; Fang, et al., 2011;

Tabatabaci, et al., 2013).

Perceba-se que a matriz é simétrica, de modo

que requer a estimativa de seis parâmetros apenas.

Logo, reconstituir , a partir de , resulta


3438

inúmeras soluções. Uma solução típica desse

problema é tomar a decomposição em valores

singulares , e se tem

(6)

Convém notar que (6) resulta em uma matriz

simétrica, o que significa que o componente

ortogonal de (3) não é estimado com o método de

ajustamento de elipsoide. O componente ortogonal

pode ser interpretado como um erro de alinhamento

do triedro do sensor em relação ao triedro do corpo, e

é devida a erros de construção/instalação. Porém, no

caso do magnetômetro, esse desalinhamento é

acrescido por distorções do campo magnético

causadas pela presença de material ferromagnético na

plataforma do veículo. Como o acelerômetro é imune

a essa interferência, esse desalinhamento é

minimizado quando o ajustamento de elipsoide é

aplicado ao acelerômetro.

4 Calibração do Magnetômetro

Li & Li (2012) apresentam o método de

calibração de magnetômetro chamado de Dot

Product Invariance (DPI), o qual se vale do fato de

que o produto interno de dois vetores invariantes é

constante. Assim, o método utiliza o vetor aceleração

da gravidade, , medido pelos acelerômetros

previamente calibrados, presentes na URA, em

conjunto com o vetor intensidade do campo

magnético, , para estimar os parâmetros de

calibração do magnetômetro. Esse algoritmo

consegue eliminar os erros de desalinhamento do

efeito soft-iron. Porém, esse método utiliza o

acelerômetro como referência de atitude, tendo sua

qualidade determinada pela qualidade da calibração

prévia do acelerômetro. Então, em (Li & Li, 2012), o

acelerômetro é previamente calibrado por métodos

tradicionais, recaindo novamente na necessidade de

laboratórios e instrumentação especiais; logo, não é

apropriado a aplicações de baixo custo.

Neste artigo, propõe-se calibrar o acelerômetro

pelo método de ajustamento de elipsoide, que não

requer referência externa de posição, e, como o

acelerômetro não sofre interferência magnética, os

erros de desalinhamento residuais são minimizados.

Em seguida, o método DPI é usado para calibrar o

magnetômetro, eliminando assim erros de

desalinhamento causados por interferências tipo soft-

iron.

Para aplicar o método DPI parte-se da expressão

(7)

que, combinada com (2), com o ruído negligenciado,

resulta em

(8)

sendo dada por

(9)

onde a amplitude do campo magnético da Terra,

, e seu ângulo de inclinação formado com o vetor

gravidade, , podem ser encontrados em tabelas de

modelos do campo magnético para o local do

experimento (Britsh Geological Survey, 2010). Já

para o valor de , o método DPI utiliza a

intensidade padrão da gravidade que pode ser

normalizada, .

As incógnitas em (8), e podem ser

estimadas por mínimos quadrados.

5 Estimação da Atitude e Rumo

A qualidade da calibração reflete nas estimativas

de atitude e rumo geradas pela URA, de modo que é

natural avaliar essa qualidade analisando-se os erros

nas estimativas desses ângulos. Baseado na projeção,

no plano vertical, do vetor gravidade medido pelo

acelerômetro, , obtém-se as

estimativas dos ângulos de rolagem, , e arfagem,

, sendo

(10)

onde é a função inversa da tangente de

quatro quadrantes (Mathwork, 2014).

A partir desses ângulos, tem-se a matriz de

transformação que projeta o vetor intensidade do

campo magnético no plano horizontal, conhecido

como plano local, gerando o vetor . Desse vetor estima-se o rumo em

relação ao “norte magnético”, , dado por

(11)

Caso julgado necessário, o rumo em (11) pode ser

corrigindo para o rumo em relação ao “norte

verdadeiro” somado-se o ângulo de declinação do

campo magnético da Terra no local (Britsh

Geological Survey, 2010).

6 Simulações

A fim de avaliar o desempenho do método

proposto, o algoritmo foi inicialmente aplicado a

dados simulados. Nessas simulações, a intensidade

do campo magnético local foi normalizada gerando o

vetor unitário .

Erros de ortogonalidade dos eixos de medida,

desalinhamento, fator de escala e bias foram

introduzidos no magnetômetro, gerando os

parâmetros da Tabela 1. A decomposição polar da

Tabela 1 representa ângulos de desalinhamento de

, e , em torno dos eixos Z, Y

e X, respectivamente.


3439

Tabela 1. Parâmetros do magnetômetro

linha

coluna

1 2 3

1

2

3

Decomposição Polar

linha coluna

1 2 3

1

2

3

linha coluna

1 2 3

1

2

3

Por outro lado, a aceleração da gravidade foi

considerada na direção do eixo Z (vertical) e também

normalizada, enquanto os parâmetros utilizados no

acelerômetro estão apresentados na Tabela 2. A

decomposição polar da Tabela 2 equivale a

desalinhamento de , e , em

torno dos eixos Z, Y e X, respectivamente.

Tabela 2. Parâmetros do acelerômetro

linha

coluna

1 2 3

1

2

3

Decomposição Polar

linha coluna

1 2 3

1

2

3

linha coluna

1 2 3

1

2

3

Além disso, foram introduzidos ruídos gaussianos

de medição em ambos os sensores, com desvios-

padrão da ordem de em cada eixo, ou seja, em

uma faixa dinâmica em torno de 60dB, valores

típicos do sensor 3DM-GX1 (Renk, et al., 2005),

utilizado nos resultados experimentais deste artigo,

na Seção 7.

Foram então simulados movimentos de guinada,

arfagem e rolagem, ou seja, em torno dos eixos do

corpo Z, Y, X, respectivamente, conforme a Figura 1,

que geraram as representações tridimensionais

mostradas na Figura 2 e Figura 3. Essas figuras

mostram que os dados são representativos do espaço

amostral, para aplicação do método de ajustamento

de elipsoide. Já os valores medidos são apresentados

na Figura 4.

Figura 1. Ângulos de Euler dos movimentos simulados

Figura 2. Representação tridimensional das medidas do

magnetômetro (valores normalizados)


acelerômetro (valores normalizados)

Figura 4. Medidas normalizadas obtidas na simulação


3440

O método proposto foi aplicado, e foram

estimados os parâmetros apresentados na Tabela 3,

onde se percebe estimação exata para o bias do

acelerômetro e valores de

bem próximos de

da Tabela 2. Já a parte ortogonal da decomposição

polar não é estimada pelo método de ajustamento de

elipsoide aplicado ao acelerômetro, não sendo

compensada pela calibração.

Tabela 3. Parâmetros estimados pelo método proposto

linha

Coluna

1 2 3

1

2

3

linha

Coluna

1 2 3

1

2

3

Decomposição Polar de

linha Coluna

1 2 3

1

2

3

linha Coluna

1 2 3

1

2

3

Quanto aos parâmetros estimados para o

magnetômetro, esses apresentam bias bem próximo

do verdadeiro, enquanto que os demais parâmetros

apresentam erros entre 1 e 16% dos valores

verdadeiros. Porém, a matriz ortogonal resultante da

decomposição polar dessa estimativa equivale a

ângulos de desalinhamento entre o magnetômetro e o

acelerômetro de , , em torno

dos eixos Z, Y e X, respectivamente, valores que são

próximos aos verdadeiros, , .

Estimando-se os erros dos ângulos de atitude

calculados a partir de (10) e (11), resultam os

gráficos da Figura 5, onde as medidas são realizadas

de três modos: sem calibração, com ambos os

sensores calibrados por ajustamento de elipsoide, e

pelo método proposto.

Como os ângulos de arfagem e rolagem são

calculados a partir do vetor aceleração, aplicar

ajustamento de elipsoide no magnetômetro não altera

a estimativa desses ângulos, por isso a Figura 5 não

mostra diferença entre os dois métodos de calibração

aplicados.

A eficácia do método proposto é observada na

redução dos erros máximos de estimativa de rumo,

que são reduzidos de , sem calibração, para

após calibração. Ou seja, apenas os erros

remanescentes de alinhamento do acelerômetro não

são compensados. Esses mesmos erros de

desalinhamento são observados nas estimativas de

arfagem, que teve seu erro máximo reduzido de

para , enquanto o erro máximo de

rolagem, reduziu de para .

Figura 5. Erros de estimação dos ângulos de rumo, arfagem e rolagem, em três condições: antes da calibração, com os sensores

calibrados por ajustamento de elipsoide e com o método proposto

6 Resultados Experimentais

O método de calibração proposto foi aplicado à

URA 3DM-GX1, produzida pela MicroStrain. Essa

URA, possui também girômetros para estabilização

das medidas de atitude, e tem acurácia típica de 0,5o

em condições estáticas e em condições dinâmicas

(MicroStrain Inc, 2006).

Os dados foram coletados no formato raw, ou seja,

após conversão analógico-digital de 16 bits com um

bit de sinal. Esses dados foram então escalonados em

medidas físicas multiplicado-os pelo valor de fundo

de escala informado pelo fabricante (1,2 Gauss para

o magnetômetro e 3 G para o acelerômetro), e depois

normalizados ao dividi-los pela amplitude do campo

magnético e gravidade no local de medida (0,23

Gauss e 1 G).

Duas configurações foram ensaiadas: (I) sensor

sem interferência magnética; e (II) sensor sob

interferência magnética de um parafuso de aço,

posicionado sobre o sensor conforme apresentado em

destaque na Figura 6.

Figura 6. Parafuso de aço afixado sobre o sensor para introdução

de interferência magnética, na configuração II


3441

Uma mesa de inclinação, não magnética,

apresentada na Figura 7, foi utilizada para posicionar

o sensor em diversos ângulos de inclinação, e a cada

posição eram colhidos dados por cerca de 1s a uma

taxa de . As medidas obtidas e suas posições

tridimensionais estão traçadas na Figura 8, Figura 9 e

Figura 10. Cabe ressaltar que, apesar de a mesa

possuir dispositivos de medição dos ângulos de

inclinação, ela não é utilizada como referência de

atitude para a calibração.

Figura 7. Mesa de inclinação, não magnética, com dois eixos

Figura 8. Medidas normalizadas da intensidade do campo

magnético e da aceleração da gravidade


acelerômetro (valores normalizados)

Figura 10. Representação tridimensional das medidas do magnetômetro (valores normalizados)

Os parâmetros estimados na configuração I estão

apresentados na Tabela 4. A matriz indica a

estimação de erros de desalinhamento entre o

acelerômetro e o magnetômetro de , e

em torno dos eixos Z, Y e X, respectivamente.

Tabela 4. Parâmetros estimados para a configuração I

linha

Coluna

1 2 3

1

2

3

linha

Coluna

1 2 3

1

2

3


linha coluna

1 2 3

1

2

3

linha coluna

1 2 3

1

2

3

Para avaliar a qualidade dessa estimativa, o sensor

foi posto sobre a mesa de inclinação nivelada e

alinhada ao norte magnético, e foram tomadas

medidas de ângulos de rumo de a com

passos de . Os erros nas estimativas de atitude e

rumo estão mostrados na Figura 11, a qual indica

erros máximos após calibração de , e , em rumo, arfagem e

rolagem, respectivamente. Quando o magnetômetro é

calibrado por ajustamento de elipsoide o erro

máximo em rumo apresentado tem a mesma ordem

de grandeza, , conforme era de se esperar

para a configuração I - sem interferência magnética.

Figura 11. Erros nas estimativas de rumo e atitude para a

configuração I


3442

Na configuração II, a estimação dos parâmetros do

acelerômetro não se altera, então foram estimados

apenas os parâmetros do magnetômetro, que estão

apresentados na Tabela 5. Nesta configuração, a

interferência magnética adicionada teve grande

influência no bias, caracterizando-se como do tipo

hard-iron, em vez de soft-iron, mesmo assim, os

ângulos de desalinhamento foram alterados para

, e em torno dos eixos Z, Y e

X, respectivamente.

Tabela 5. Parâmetros estimados na configuração II

linha

coluna

1 2 3

1

2

3


linha coluna

1 2 3

1

2

3

linha coluna

1 2 3

1

2

3

Novamente, para esta configuração, os erros de

atitude e rumo foram medidos com a mesa de

inclinação nivelada. Os erros estão mostrados na

Figura 12, e os valores máximos após calibração

foram , e , em rumo,

arfagem e rolagem, respectivamente. Já com

calibração do magnetômetro por ajustamento de

elipsoide apenas, os erros em rumo triplicaram em

relação à configuração I, resultando em erro máximo

de .

Figura 12. Erros nas estimativas de rumo e atitude para a

configuração II

7 Conclusões

Foi proposto um método de autocalibração de

unidades de referência de atitude de baixo custo, que

combina ajustamento de elipsoide com invariância

do produto interno. Simulações e resultados

experimentais mostraram que o método é capaz de

compensar erros de desalinhamento do

magnetômetro, causados por materiais magnéticos

que estejam presentes na plataforma, ao contrário de

outros métodos tradicionalmente empregados.

Como o método não usa referência externa,

também pode ser aplicado na calibração adaptativa

dos sensores, compensando parâmetros que possam

variar com o tempo, por exemplo, em função da

temperatura ou da configuração magnética da

plataforma onde opera.

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