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O CAMPO NORMAL Aula 08
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL DE MINAS GERAIS Câmpus Inconfidentes
TERRA NORMAL
Segundo ARANA (2009) a denominação de Terra Normal é dada à figura geométrica, elipsóide de revolução; o qual possui: • mesma massa da Terra real (M), com distribuição homogênea, incluindo a
massa da atmosfera; • mesma velocidade de rotação (ω); • é imposta a condição de sua superfície limitante ser equipotencial à
superfície do geóide; • é imposta a condição de possuir geopotencial (W), numericamente, igual
ao esferopotencial (U) da superfície da Terra normal; • e possui seu centro coincidente com o centro de massa da Terra.
Vinculado à Terra normal está o potencial de gravidade normal ou esferopotencial U e o vetor da gravidade normal γ.
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TERRA NORMAL
De acordo com CATALÃO (2000), qualquer modelo do campo gravitacional possui um modelo de gravidade associado e, como sabemos, é definido como gradiente do campo potencial modelo.
Nesta seção i remos obter a formula internacional da gravidade, deduzida do potencial normal, com base na qual se calcula o valor da gravidade normal.
Direção da gravidade normal. Fonte: Catalão (2000).
POTENCIAL NORMAL
Segundo SNEEUW (2006) a geometria do campo normal, isto é, o elipsoide; é determinado por dois parâmetros: um de tamanho e outro de forma. Nos iremos trabalhar com o semieixo maior (a) e o achatamento (f).
A descrição do campo físico, isto é, do potencial da gravidade normal; requer mais 2 parâmetros, são eles:
• A constante gravitacional geocêntrica (GM0);
• E a velocidade angular de rotação da Terra (ω).
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POTENCIAL NORMAL
O Potencial Normal é definido como tendo as seguintes propriedades: 1. É rotacionalmente simétrico (zonal);
2. É simétrico no Equador; 3. É constante sobre o elipsoide.
A última propriedade é considerada a mais importante, pois ela define o elipsoide de rotação da Terra como uma superfície equipotencial.
Este conjunto de propriedades permite formular um algoritmo que define o potencial normal e a gravidade normal.
POTENCIAL NORMAL
O desenvolvimento da formula do Potencial Normal é obtido a partir da junção do desenvolvimento do potencial e do potencial centrífugo, como ilustra a formulação a seguir:
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POTENCIAL NORMAL
Considerando que somente iremos representar o potencial normal que esta sobre e fora do elipsoide, sua distribuição de massa passa a ser irrelevante.
Portanto, nos desenvolvimentos seguintes nos iremos assumir que todas as massas estão distribuídas no interior de uma esfera de raio a, que satisfaz a primeira propriedade do potencial normal (rotacionalmente simétrica) simplificando a formula para:
POTENCIAL NORMAL
A segunda propriedade do potencial normal (simetria equatorial) reduz a série para somente os mesmos graus. Na verdade, são necessários apenas os termos até 8 graus. Assim, temos:
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POTENCIAL NORMAL
Para um melhor entendimento e – facilidade de cálculo – nos iremos continuar o desenvolvimento considerando apenas os termos referentes aos graus 0 e 2. Assim, temos:
POTENCIAL NORMAL
Em função da principal propriedade – está sobre um elipsoide equipotencial – nos precisamos avaliar a expressão considerando o raio desse elipsoide. Para tanto, vamos considerar a seguinte expressão que fornece este raio:
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EXERCÍCIO
1. Considerando a formula da equação do elipsoide e o valores das coordenadas x, y e z sobre o elipsoide demostre como obter o raio (r) desse elipsoide.
x = rsenθcosλ y = rsenθsenλ z = rcosθ
POTENCIAL NORMAL
Uma vez que o nosso objetivo é uma formulação linear sobre o achatamento (f), nos iremos expandir ( a/r ) numa série binomial:
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POTENCIAL NORMAL
O último passo ocorre devido ao fato de que:
Similarmente podemos obter:
POTENCIAL NORMAL De acordo com SNEEUW (2006) o coeficiente c0,0≅1. Se inserirmos (A) em (B) nos perceberemos que U depende de 3 variáveis pequenas, e todas de mesma ordem e magnitude:
(A)
(B)
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POTENCIAL NORMAL A quantidade m é relativa a força de aceleração centrífuga (no equador) comparada a força gravitacional.
Ao inserirmos a formula (A) em (B) e negligenciarmos os valores quadráticos relativos as variáveis: f, c2,0 e m. Teremos o seguinte resultado;
OBS: O Termo (a/r)3 ≅ 1 portanto é desconsiderado no desenvolvimento considerando θ = 0
POTENCIAL NORMAL Este potencial normal continua depende de θ, o que contradiz a propriedade de um potencial constante. A dependência da latitude somente desaparece se a seguinte condição entre f, c2,0 e m existir:
Isto significa que as três variáveis são dependentes e, usando a condição de igualdade acima podemos eliminar uma das 3 variáveis. Assim, o valor do potencial normal constante U0 pode ser escrito da seguinte maneira:
(C)
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POTENCIAL NORMAL Fora do elipsoide o que devemos fazer é considerar (B) e aplicar a condição (C) para eliminar uma das pequenas variáveis, por exemplo: c2,0 e, obtermos a equação (D).
(B)
(C)
(D)
GRAVIDADE NORMAL
A partir da aproximação linear que fizemos na seção anterior nos podemos definir a gravidade normal como sendo o valor negativo do potencial normal.
Partindo da equação (D) temos o valor da gravidade normal fora do elipsoide defina pela seguinte equação:
(E)
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GRAVIDADE NORMAL
Na superfície do elipsoide, usando as mesma aproximações que vimos na seção anterior, temos:
Mas não podemos ter uma gravidade normal constante na superfície do elipsoide simultaneamente com um potencial normal constante. Então existe uma dependência relacionada a θ e se avaliarmos os valores no equador e no polo temos:
No equador
No polo
GRAVIDADE NORMAL Podemos notar que a gravidade no polo é maior que no equador. Isto ocorre em razão da proximidade do centro de massa da Terra. Similar ao achatamento geométrico que conhecemos podemos definir uma achatamento gravitacional:
Numericamente o f* é aproximadamente 0,005, ou seja, de mesmo tamanho das outras três variáveis que vimos na seção anterior. E agora se inserirmos a gravidade normal no equador e no polo dentro desse achatamento gravitacional teremos:
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GRAVIDADE NORMAL Esta aproximação leva o resultado notável:
Esta formula é conhecida como teorema de Clairaut. Que é relevante por relacionar uma quantidade dinâmica f* a uma quantidade geométrica (f) e considerar a rotação da Terra (através de m).
GRAVIDADE NORMAL Embora tenhamos a equação (E) que descreve a gravidade normal fora do elipsoide é interessante que se tenha uma formula mais prática que forneça a gravidade através de uma relação entre a latitude e a altura do ponto, algo como:
Isto é obtido pela série de Taylor:
E após algumas aproximações resulta em:
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GRAVIDADE NORMAL ADOTADA Segundo SNEEUW (2006) a teoria do elipsoide equipotencial foi introduzida por Pazzetti em 1894. e foi mais elaborada por Somigliana em 1929.
A formula a seguir é geralmente válida para a gravidade normal e é conhecida como formula da gravidade normal Somigliana-Pazzetti:
Onde:
EXERCÍCIO 1. Compare a diferença de gravidade entre o valor de gravidade
informado no relatório da estação gravimétrica e os valores de gravidade normal do ponto obtidos a partir das formulas: a) formula de aproximação linear da gravidade normal; b) formula obtida pela série de Taylor e; c) formula da gravidade normal Somigliana-Pazzetti;
Considere como elipsoide de referência o GRS80: a = 6378137 m
f = 1/298,257222101 GM0 = 3,986005*1014m3*s-2
ω = 7,292115*10-5 rad*s-1
Considere a ondulação geoidal do ponto obtida pelo MAPGEO2010 igual a -02,66 m.
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O COEFICIENTE J2
De acordo com GEMAEL (2012) a Geodésia Celeste, amparada pela Mecânica Celeste, vem se constituindo num poderoso instrumento para a determinação dos coeficientes J para o caso da Terra real (geopotencial), dos quais, no início da era espacial, apenas dois eram conhecidos.
Coeficiente J2 cerca de mil vezes maior que os restantes, tem sido alvo de determinações rigorosas e hoje desempenha papel importante na Geodésia e Astronomia; é denominado por alguns de “fator dinâmico de forma” e seu valor é:
J2 = 10827x10-7
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O COEFICIENTE J2
O “fator dinâmico de forma” e possui valor diferente nos sistemas geodésicos utilizados no Brasil, são eles:
GRS67 (SAD69)
a 6378160 m
kM = GM 398603x109 m3 s-2
f 1/298,247
J2 10827x10-7
GRS80 (SIRGAS2000)
a 6378137 m
kM = GM 398600,5x109 m3 s-2
f 1/298,257222101
J2 10826,3x10-7
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – Presidente Prudente, 2009. CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa – Lisboa, 2000. GEMAEL, C. Introdução à Geodesia Física. Ed. UFPR – Curitiba, 2012. SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy Universität Stuttgart – Stuttgart, 2006.
