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Analise Transitoria

A resposta temporal de um sistema e constituıda de duas partes:

• Resposta transitoria: saıda do sistema vista desde o princıpio ate um ins-tante de tempo no qual o sistema se estabiliza numa regiao de operacao.Esse intervalo de tempo transitorio geralmente apresenta oscilacoes amor-tecidas.

• Resposta estacionaria: comportamento da saıda do sistema a medida emque t → ∞.

ObjetivoDeterminar o que ocorre com a saıda y(t) quando o sistema e submetido auma determinada entrada-padrao em r(t).

r(t) y(t)

entrada saıda

G(s)

processo

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

A entrada-padrao, ou entrada de teste, e uma entrada na forma de impulso,degrau, rampa, parabola ou senoide. Muitas propriedades essenciais de umsistema podem ser determinadas atraves da resposta correspondente a essasentradas de teste.

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Analise de Sistemas de Primeira Ordem

Muito utilizados para descrever processos simples, como a velocidade de umamassa, a temperatura de um lıquido em um tanque, o nıvel de um tanque e atensao num circuito RC serie.

Possuem funcao de transferencia abaixo, sendo k o ganho e τ a constante detempo do sistema.

T (s) =Y (s)

R(s)=

k

τs + 1

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Resposta ao impulso unitario

Para r(t) = δ(t), tem-se que R(s) = 1. Portanto,

Y (s) =k

τs + 1⇒ y(t) =

k

τe−t/τ , t ≥ 0

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Circuito RC

ViVoR C

O circuito RC e amplamente usado na Eletronica. Conhecer bem o seu funci-onamento e muito importante. E possıvel provar que (homework)

G(s) =Vi (s)

Vo(s)=

1

1 + RCs

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ViVoR C

ExemploSuponha que R = 1kΩ e C = 1mF .(a) Determine o valor de pico de tensao sobre o capacitor C quando a entradaVi e um pulso.(b) Determine o tempo necessario para que o capacitor apresente uma tensaoinferior a 0.15V .

Solucao: Note que k = 1 e τ = RC = 1. O valor de pico ocorre no instanteinicial e e dado por 1/τ = 1V .Relembrando a formula y(t) = k

τ e−t/τ , determine o tempo ta tal que

0.15 = 1e−ta .

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Resposta ao degrau unitario

Y (s) =k

τs + 1· 1s=

k/τ

s (s + 1/τ)

=k

s− k

s + (1/τ)

y(t) = k − ke−t/τ , t ≥ 0

• Note que y(0) = 0 e que y(∞) = k .

• Quanto menor a constante de tempo τ , mais rapido o sistema responde.

• A inclinacao da reta tangente em t = 0 e k/τ .

• Para t ≥ 4τ , a resposta se mantem a 2% do valor final.

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ViVoR C

HomeworkSuponha que R = 1kΩ e C = 0.01mF . Determine o tempo necessario paraque um capacitor apresente uma tensao superior a 95% de sua tensao deentrada (tensao de entrada degrau amplitude A).

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Resposta a rampa unitaria

Y (s) =Y (s)

R(s)=

1

s2· k

τs + 1=

k/τ

s2 (s + 1/τ)

=k

s2− kτ

s+

kτ

s + 1/τ

y(t) = kt − kτ + kτe−t/τ , t ≥ 0

Particularmente, para k = 1, o sinal de erro e dado por:

e(t) = r(t) − y(t) = τ(

1− e−t/τ)

O erro de estado permanente para k = 1 e dado por

e (∞) = limt→∞

e(t) = τ

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Com base nas respostas obtidas para sistemas de primeira ordem, pode-se ve-rificar que:

• Para entrada rampa unitaria, a saıda e dada por:

y1(t) = kt − kτ + kτe−t/τ , t ≥ 0

• Para entrada degrau unitario, a saıda e dada por:

y2(t) = k − ke−t/τ , t ≥ 0 =d y1(t)

dt

• para a entrada impulso unitario, a saıda e dada por:

y3(t) =k

τe−t/τ , t ≥ 0 =

d y2(t)

dt

• Conclusao 1: para um sistema LIT, a resposta a derivada de um sinal deentrada pode ser obtida diferenciando-se a resposta original.

• Conclusao 2: a resposta a integral do sinal original pode ser obtida pelaintegral da resposta do sistema ao sinal original e pela determinacao daconstante de integracao a partir da condicao inicial da resposta nula.

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Analise de Sistemas de Segunda Ordem

Exemplos de sistemas com modelos de segunda ordem: posicao de uma massanum sistema massa-mola-atrito, deslocamento angular do eixo de um motorDC (modelo simplificado) e carga no capacitor de um circuito RLC serie.

A forma padrao de um sistema de segunda ordem e dada por

T (s) =Y (s)

R(s)=

ω2n

s2 + 2sξωn + ω2n

,

onde:

• ωn: frequencia natural nao amortecida;

• ξ: coeficiente de amortecimento;

• ωd = ωn

√

1− ξ2: frequencia natural amortecida do sistema.

A equacao caracterıstica e dada por s2+2sξωn+ω2n, portanto, o comportamento

dinamico do sistema de 2a ordem pode ser descrito pelos parametros ξ e ωn.13 of 48


Dependendo do valor de ξ, tem-se tres tipos de sistemas de 2a ordem:

• Sistema subamortecido (0 < ξ < 1): Os polos de malha fechada saocomplexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s. Nessecaso, as raızes da equacao caracterıstica sao:

s1,2 = −ξωn ± jωn

√

1− ξ2 = −ξωn ± jωd ,

E a funcao de transferencia e dada por:

Y (s)

R(s)=

ω2n

(s + ξωn + jωd) (s + ξωn − jωd)

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Pode-se reescrever a funcao de transferencia como:

Y (s)

R(s)=

ω2n

(s + ξωn)2+ ω2

d

pois, tem-se:

(s + ξωn)2 = s2 + 2sξωn + ξ2ω2

n

(s + ξωn)2 −ξ2ω2

n + ω2n

︸︷︷︸

ω2d

= s2 + 2sξωn + ω2n

(s + ξωn)2 + ω2

d = s2 + 2sξωn + ω2n

Portanto, para entrada degrau unitario, R(s) = 1/s, tem-se:

Y (s) =ω2n

(s + ξωn)2+ ω2

d

· 1s

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Utilizando-se fracoes parciais, encontra-se:

Y (s) =1

s− s + 2ξωn

(s + ξωn)2+ ω2

d

=1

s− s + ξωn

(s + ξωn)2 + ω2

d

− ξωn

(s + ξωn)2 + ω2

d

=1

s− s + ξωn

(s + ξωn)2+ ω2

d

−

(

ξ√1−ξ2

)

ωd

(s + ξωn)2+ ω2

d

Como L−11s

= 1 e

L−1

s + ξωn

(s + ξωn)2+ ω2

d

= e−ξωnt cos (ωd t) ,

L−1

ωd

(s + ξωn)2 + ω2

d

= e−ξωnt sin (ωd t) ,

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Tem-se:

y(t) = L−1 Y (s) = 1− e−ξωnt

(

cos (ωd t) +ξ

√

1− ξ2sin (ωd t)

)

= 1− e−ξωnt

√

1− ξ2sin (ωd t + θ) , t ≥ 0,

onde θ = tan−1

(√1−ξ2

ξ

)

. O termo ξωn = α controla o amortecimento do

sistema e e chamado de coeficiente de atenuacao.

A frequencia de oscilacao transitoria e a frequencia natural amortecida (ωd),que varia de acordo com ξ. O sinal de erro e dado por:

e(t) = r(t) − y(t)

=e−ξωnt

√

1− ξ2sin (ωd t + θ)

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Se ξ = 0, pode-se verificar que:

y(t) = 1− cos (ωnt) , t ≥ 0,

ou seja, a resposta oscila na frequencia natural sem amortecimento. Nessecaso, os polos estao sobre o eixo imaginario.

• Sistema criticamente amortecido (ξ = 1): Os polos de malha fechadasao reais e iguais, situados em −ωn. Nesse caso, tem-se:

Y (s)

R(s)=

ω2n

(s + ωn) (s + ωn)

Para uma entrada degrau unitario, R(s) = 1/s, tem-se a saıda:

Y (s) =ω2n

(s + ωn)2s

A transformada inversa de Laplace de Y (s) e dada por:

y(t) = 1− e−ωnt (1 + ωnt) , t ≥ 020 of 48


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• Sistema superamortecido (ξ > 1): Os polos de malha fechada sao reaise diferentes. Nesse caso, tem-se:

Y (s)

R(s)=

ω2n

(

s + ξωn + ωn

√

ξ2 − 1)(

s + ξωn − ωn

√

ξ2 − 1)

Para entrada degrau,

Y (s) =ω2n

(

s + ξωn + ωn

√

ξ2 − 1)(

s + ξωn − ωn

√

ξ2 − 1)1

s

y(t) = 1 +ωn

2√

ξ2 − 1

(e−s1t

s1− e−s2t

s2

)

, t > 0

Se |s1| << |s2|, entao e−s2t decai muito mais rapido do que e−s1t , s1 e polodominante, e a resposta pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem:

y(t) ≈ 1 +ωn

2√

ξ2 − 1

(e−s1t

s1

)

, t > 0

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Especificacoes da Resposta Transitoria para Sistemas Subamortecidos

• As caracterısticas de um sistema de controle sao geralmente especificadasem termos da resposta transitoria a uma entrada degrau.

• Para sistemas LIT, quando a resposta ao degrau e conhecida, pode-se cal-cular a resposta a qualquer tipo de entrada.

• Costuma-se utilizar condicao inicial de sistema em repouso.

Especificacoes mais comuns:

• Tempo de atraso (td ): tempo necessario para que a resposta alcancemetade do seu valor final pela primeira vez.

• Tempo de subida (tr ): tempo requerido para que a resposta passe de 10%a 90%, ou de 5% a 95%, ou de 0% a 100% do valor final. Para sistemas de2a ordem subamortecido, utiliza-se 0% a 100% do valor final. Para sistemassuperamortecidos, geralmente considera-se de 10% a 90%.

• Tempo de pico (tp): tempo para que a resposta atinja o primeiro pico desobresinal.

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• Maximo overshoot (MO): valor maximo de pico da curva de resposta,medido a partir da unidade. Se o valor da resposta em regime diferir daunidade, utiliza-se a porcentagem maxima de sobresinal (ou ultrapassagempercentual, U .P .):

U .P . =y (tp)− y (∞)

y (∞)× 100%

• Tempo de acomodacao ou assentamento) (ts): tempo necessario paraque a resposta permaneca com valores no interior de uma certa faixa ±∆(usualmente ±2% ou ±5%) em torno do valor final.

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Consideracoes de projeto:

• Deseja-se geralmente que a resposta transitoria seja rapida e amortecida.

• Para um sistema de 2a ordem com resposta transitoria aceitavel, deve-sefazer 0, 4 < ξ < 0, 8.

• Valores pequenos (ξ < 0, 4) resultam em excessivo sobresinal na respostatransitoria.

• Valores grandes (ξ > 0, 8) a resposta se torna muito lenta.

• Sobresinal e tempo de subida sao conflitantes entre si, ou seja, eles naopodem ser diminuıdos simultaneamente.

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Calculo das Especificacoes de Transitorio

As especificacoes de tempo de subida, tempo de pico, maximo sobresinal etempo de acomodacao podem ser obtidos em funcao dos parametros ξ e ωn.

• Tempo de subida tr : fazendo-se t = tr na equacao da resposta ao degraudo sistema subamortecido, tem-se:

y(tr ) = 1 = 1− e−ξωntr

(

cos (ωd tr ) +ξ

√

1− ξ2sin (ωd tr )

)

Como e−ξωntr 6= 0, tem-se:

cos (ωd tr ) +ξ√1−ξ2

sin (ωd tr ) = 0

⇒ tan (ωd tr ) = −√

1−ξ2

ξ = − ωd

ξωn

⇒ tr =1ωd

tan−1(

− ωd

ξωn

)

tr =π − θ

ωd

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• Tempo de pico tp: pode ser obtido derivando-se y(t) em relacao a t eigualando o resultado a zero:

dy(t)

dt

]

t=tp

= ξωne−ξωntp

[

cos (ωd tp) +ξ

√

1− ξ2sin (ωd tp)

]

+e−ξωntp [ωd sin (ωd tp)− ξωn cos (ωd tp)] = 0

⇒ e−ξωntp sin (ωd tp)ωn

√

1− ξ2= 0.

Com isso,

sin (ωd tp) = 0 ⇒ ωd tp = 0, π, 2π, 3π, . . .

Como o tempo de pico corresponde ao primeiro pico de sobresinal, ωd tp = π,tem-se:

tp =π

ωd

Lembre-se que ωd = ωn

√

1− ξ2.30 of 48


• Maximo overshoot MO : ocorre em t = tp = π/ωd . Ao supor que o valorfinal da saıda e unitario, verifica-se que:

MO = y (tp)− 1 = −e−ξωn(π/ωd )

[

cos (π) +ξ

√

1− ξ2sin (π)

]

= e−ξωn(π/ωd ) = e−

(

ξ/√

1−ξ2)

π

Entao:

MO = exp

(

−ξπ√

1− ξ2

)

No caso geral de y (∞) 6= 1, calcula-se U .P .• Caso o maximo overshoot MO seja conhecido, e deseja-se calcular ξ, entaodeve-se empregar a formula

ξ =− ln(MO)

√

π2 + ln2(MO)

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• Tempo de acomodacao ts : A resposta transitoria permanece sempre dentrode um par de envoltorias com constante de tempo 1/ξωn. Para ωn fixo, tse funcao de ξ. Considerando o criterio de 2%, tem-se (ωd = ωn

√

1− ξ2):

e−ξωnt1

√

1− ξ2= 0, 02 ⇒ ts(2%) =

− ln(

0, 02√

1− ξ2)

ξωn

Se 0 < ξ < 0, 9, pode-se aproximar ts como:

ts (2%) ≈ 4

ξωn

ts (5%) ≈ 3

ξωn

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Algumas observacoes:

• O tempo de pico (tp) e inversamente proporcional a parte imaginaria dopolo, ou seja, ωd .

Como as retas horizontais no plano-s sao linhas de valores imaginarios cons-tantes, representam linhas de tempo de pico constante.

• O tempo de assentamento (ts) e inversamente a parte real do polo, ou seja,ξωn.

Como as linhas verticais no plano-s sao linhas de valor real constante, saolinhas de tempo de assentamento constante.

• O maximo sobressinal (MO) so depende de ξ, ou seja do angulo θ, poisξ = cos(θ).

Como as linhas radiais no plano-s sao linhas de angulo constante, sao linhasde valores de pico constantes.

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ExemploConsidere um sistema de segunda ordem com ξ = 0, 6 e ωn = 5 rad/s.Obtenha tr , tp , MO e ts(2%) da resposta do sistema a um degrau unitario.

• tempo de subida tr :

tr =π − θ

ωd

Sendo:

θ = tan−1

(ωd

ξωn

)

= tan−1

(

5√

1− 0, 62

0, 6× 5

)

= tan−1

(4

3

)

= 0, 93 rad.

Portanto:

tr =π − 0, 93

4≈ 0, 55 s.

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Exemplo (Continuacao)

• tempo de pico tp:

tp =π

ωd

=π

4≈ 0, 785 s

• maximo sobresinal MO :

MO = e−(ξωn/ωd )π = e−(3/4)π ≈ 0, 095.

Em termos percentuais,

U .P . =1, 095− 1

1× 100% = 9, 5%

• tempo de acomodacao ts(2%):

ts =4

ξωn

=4

3≈ 1, 33 s

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ExemploConsiderando o sistema de controle abaixo, deseja-se escolher o ganho K e oparametro p de modo que as seguintes especificacoes da resposta transitoria aum degrau sejam alcancadas:

• maximo overshoot percentual igual ou inferior a 4,3%;

• tempo de assentamento para uma faixa de 2% do valor final deve serinferior a 4 s.

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Exemplo (Continuacao)Para uma U.P. igual ou inferior a 4,3%, faca MO = 4.3/100 e calcule:

ξ =− ln(MO)

√

π2 + ln2(MO)= 0.707

Para o tempo de assentamento (2%) ser inferior a 4 s, tem-se:

ts =4

ξωn

≤ 4 ⇒ ξωn ≥ 1,

ou seja, e necessario que o modulo da parte real dos polos de T (s) seja maiorou igual a 1. Pode-se escolher, por exemplo, ξωn = 1, e disto obtemosωn = 1.41.

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A funcao de transferencia de malha fechada e:

T (s) =G(s)

1 + G(s)=

K

s2 + ps + K.

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Exemplo (Continuacao)Comparando com o sistema de segunda ordem padrao, tem-se:

ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

=2

s2 + 2s + 2,

Portanto, K = 2 e p = 2.

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ExemploSendo um sistema de 2a ordem com a localizacao dos polos abaixo, determinetp , U .P . e ts(2%).

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ξ =ξωn

ωn

=α

ωn

= cos (θ) = cos[tan−1 (7/3)

]= 0, 394

A frequencia natural e a distancia radial da origem ao polo.

ωn =√

32 + 72 = 7, 616

• Calculo de tp:

tp =π

ωd

=π

7≈ 0, 449 s

• Calculo de U .P .:

U .P . = e−ξπ/√

1−ξ2 × 100 = 26%

• Calculo de tS (2%):

tS =4

α=

4

3≈ 1, 333 s

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Analise de Sistemas de Ordem Superior

Sendo um sistema com funcao de transferencia de malha fechada dada por:

Y (s)

R(s)=

G(s)

1 + G(s)H(s)

com G(s) e H(s) polinomios em s, tem-se:

G(s) =p(s)

q(s), H(s) =

n(s)

d(s)

Y (s)

R(s)=

p(s)d(s)

q(s)d(s) + p(s)n(s)

=b0s

m + b1sm−1 + · · ·+ bm−1s + bm

a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an(m ≤ n)

=K (s + z1) (s + z1) · · · (s + zm)

(s + p1) (s + p2) · · · (s + pn)

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Para a resposta do sistema a uma entrada degrau, consideram-se dois casos:

• Todos os polos reais e distintos.

Por expansao em fracoes parciais, tem-se:

Y (s) =a

s+

n∑

i=1

ai

s + pi,

onde ai e o resıduo do polo em s = −pi .

- Se o sistema possuir polos multiplos, entao Y (s) tera termos multipolares.

- Com todos os polos situados no semiplano esquerdo do plano-s, os valores dosresıduos determinarao a importancia relativa dos componentes de Y (s).

- Zero proximo a um polo → resıduo nesse polo e pequeno.

- Polos muito afastados da origem → resıduos nesses polos sao pequenos, por-tanto o sistema pode ser aproximado para um sistema de menor ordem.

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• Polos reais e distintos e pares de polos conjugados.

Um par de polos complexos conjugados resulta em um termo de segundaordem, entao tem-se (n = q + 2r):

Y (s) =a

s+

q∑

j=1

aj

s + pj+

r∑

k=1

bk (s + ξkωk) + ckωk

√

1− ξ2ks2 + 2ξkωks + ω2

k

Portanto, a resposta e dada por:

y(n) = a +

q∑

j=1

aje−pj t +

r∑

k=1

bke−ξkωk t cos

(

ωk

√

1− ξ2k t

)

+

r∑

k=1

cke−ξkωk t sin

(

ωk

√

1− ξ2k t

)

, t ≥ 0

- A curva de um sistema de ordem superior estavel e a soma de curvas exponen-ciais (primeira ordem) e senoidais amortecidas (segunda ordem).

- y(∞) = a;- Esses sistemas podem ser aproximados por sistemas de menor ordem.

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Efeito de Polo Adicional

A TL da resposta ao degrau de um sistema com tres polos, −ξωn ± j√

1− ξ2

e −p1 e dada por:

Y (s) =A

s+

A1

s + p1+

B(s + ξωn) + Cωd

(s + ξωn)2 + ω2d

No domınio do tempo, tem-se:

y(t) = A+ A1e−p1t + e−ξωnt [B cos (ωd t) + C sin (ωd t)]

• Se pr >> ξωn, a exponencial pura desaparecera muito mais rapidamente doque o termo de segunda ordem.

• Se o polo real estiver a esquerda dos polos dominantes cinco vezes maisdistante, admite-se que o sistema seja representado somente por seu par depolos de segunda ordem dominantes.

• Se o polo real estiver proximo ao par de polos dominantes, entao ele naopodera ser desprezado.

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Efeito de Zero Adicional

Seja Y (s) a TL da resposta ao degrau de um sistema T (s) sem zeros finitos. Seum zero s = −a for adicionado a funcao de transferencia, gerando (s+a)T (s),tem-se:

(s + a)Y (s) = sY (s) + aY (s)

A resposta divide-se em duas partes: a derivada da resposta original e umaversao ponderada por a dessa resposta.

• Se a for muito grande, tem-se praticamente a resposta original ponderadapor a.

• Se a for pequeno (zero mais proximo a origem), o termo que corresponde aderivada tem um efeito maior.

• Se a for negativo (sistema de fase nao-mınima), o termo da resposta emescala tera sinal oposto ao termo da derivada. A resposta pode comecar ase orientar em direcao negativa, embora o valor final seja positivo.

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Dica de atividades

Dica

1. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia deControle Moderno”.

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