cÁlculo diferencial e integral - páginas...

CÁLCULO DIFERENCIAL

E

INTEGRAL

Notas de aula para o Curso de Tecnologia em Mecatrônica

Prof.a Paula Francis Benevides

2006

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Curitiba

Gerência de Ensino e Pesquisa

Departamento Acadêmico de Matemática

Conteúdo

AULA 1 ............................................................................................................................. 7

1 - FUNÇÕES ..................................................................................................................... 7

1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO .................................................................................. 7

1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO .................................................................................................... 8

1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO ..................................................................................................... 9

1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ..................................................... 10

1.5 FUNÇÃO COMPOSTA ..................................................................................................... 11

1.6 FUNÇÃO INVERSA ......................................................................................................... 12

1.6.1 Determinação da Função Inversa ........................................................................ 12

AULA 2 ........................................................................................................................... 14

2. FUNÇÃO POLINOMIAL............................................................................................. 14

2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU ................................................................................... 14

2.1.1 Função linear........................................................................................................ 14

2.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1o grau ..................................................... 15

2.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico ............................................... 15

2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau ................. 16

2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................ 17 2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1

o grau .................................................................................................. 17

2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau ...................................................................................... 18

2.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU .............................................................................................. 18

2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ................................................................... 19

2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau ..................................................................... 19

2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 20

AULA 3 ........................................................................................................................... 23

2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU ................................................................................... 23

2.3.1 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................... 23

2.3.2 Concavidade ......................................................................................................... 23

2.3.3 Zeros de uma função quadrática ......................................................................... 24

2.3.4 Vértice da parábola ............................................................................................. 24

2.3.5 Gráfico de uma parábola ..................................................................................... 25

2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática ................................................................. 26

2.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU .............................................................................................. 26

2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ................................................................... 27

2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau ..................................................................... 28

2.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 29

AULA 4 ........................................................................................................................... 32

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................... 32

3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO ............................................................................................. 32

3.1.1 Potências com expoente natural ......................................................................... 32

3.1.2 Potências com expoente inteiro ........................................................................... 32

Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides

3

3.1.3 Potências com expoente racional ........................................................................ 32

3.1.4 Potências com expoente real ............................................................................... 32 3.1.4.1 Propriedades ................................................................................................................................................. 32

3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS .............................................................................................. 33

3.2.1 Resolução de equações exponenciais .................................................................. 34

3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios ............................. 35

3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 35

3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano ........................................... 35

3.3.2 Características da função exponencial ................................................................ 36

3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS ............................................................................................ 37

3.4.1 Resolução de inequações exponenciais ............................................................... 37

AULA 5 ........................................................................................................................... 39

4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA........................................................................................... 39

4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO ............................................................................................. 39

4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO ....................................................................................... 39

4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS .................................................................................... 40

4.4 COLOGARITMO ............................................................................................................. 40

4.5 MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................... 40

4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................. 42

4.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano ............................................ 42

4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ........................................................................................... 43

AULA 6 ........................................................................................................................... 45

5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 45

5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO: ....................................................................................... 45

5.1.1 Conseqüências: .................................................................................................... 45

5.1.2 Função seno e função cosseno ............................................................................. 45

5.1.3 Gráfico das funções seno e cosseno..................................................................... 45 5.1.3.1 Função seno: .................................................................................................................................................. 45 5.1.3.2 Conclusões ..................................................................................................................................................... 46 5.1.3.3 Seno é função ímpar ..................................................................................................................................... 46 5.1.3.4 Função cosseno ............................................................................................................................................. 46 5.1.3.5 Conclusões ..................................................................................................................................................... 46 5.1.3.6 Cosseno é função par .................................................................................................................................... 47

5.2 TANGENTE DE UM ARCO ................................................................................................. 47

5.2.1 Conseqüências ..................................................................................................... 48

5.2.2 Função tangente .................................................................................................. 48

5.2.3 Gráfico da função tangente ................................................................................. 48

5.2.4 Conclusões ........................................................................................................... 48

5.2.5 Tangente é uma função ímpar ............................................................................. 49

5.3 COTANGENTE DE UM ARCO ............................................................................................. 49

5.3.1 Conseqüências ..................................................................................................... 49

5.3.2 Função cotangente .............................................................................................. 49

5.3.3 Gráfico da função cotangente ............................................................................. 50

5.3.4 Conclusões ........................................................................................................... 50

5.3.5 Cotangente é uma função ímpar ......................................................................... 50

5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO ............................................................................... 50

5.4.1 Função secante e cossecante ............................................................................... 51


4

5.4.2 Gráfico da função secante ................................................................................... 51

5.4.3 Conclusões ........................................................................................................... 51

5.4.4 Gráfico da função cossecante .............................................................................. 52

5.4.5 Conclusões ........................................................................................................... 52

5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 52

5.5.1 Usando o teorema de Pitágoras .......................................................................... 53

5.5.2 Usando semelhança entre triângulos .................................................................. 53

5.5.3 Identidades trigonométricas ................................................................................ 54 5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades........................................................................................................ 55

AULA 7 ........................................................................................................................... 58

6. LIMITES ................................................................................................................... 58

6.1 NOÇÃO INTUITIVA:........................................................................................................ 58

6.1.1 Propriedades: ....................................................................................................... 58

AULA 8 ........................................................................................................................... 62

6.2 LIMITES INFINITOS: .................................................................................................. 62

6.2.1 Igualdades Simbólicas: ......................................................................................... 62 6.2.1.1 Tipo Soma: ..................................................................................................................................................... 62 6.2.1.2 Tipo Produto: ................................................................................................................................................. 62 6.2.1.3 Tipo Quociente: ............................................................................................................................................. 62 6.2.1.4 Tipo Potência: ................................................................................................................................................ 62

AULA 9 ........................................................................................................................... 65

6.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: .................................................................................. 65

AULA 10.......................................................................................................................... 68

6.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: ........................................... 68

AULA 11.......................................................................................................................... 71

6.5 LIMITES LATERAIS: ................................................................................................... 71

AULA 12.......................................................................................................................... 73

7. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS ................................................................. 73

7.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 73

7.2 ASSÍNTOTA VERTICAL .............................................................................................. 73

7.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL ........................................................................................ 73

8. FUNÇÕES CONTÍNUAS ............................................................................................. 74

8.1 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 74

AULA 13.......................................................................................................................... 77

9. DERIVADAS ............................................................................................................. 77

9.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 77

9.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE

UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: ................................................... 77

9.3 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 79

9.3.1 Outras notações para a função derivada: ........................................................... 80

9.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; ........................................................................ 80


5

9.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: .......................................................................................... 82

9.5.1 Derivada de função Algébrica: ............................................................................. 83

AULA 14.......................................................................................................................... 85

9.5.2 Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: ............................................ 85

AULA 15.......................................................................................................................... 87

9.5.3 Derivada de Funções Trigonométricas: ............................................................... 87

AULA 16.......................................................................................................................... 89

9.6 DERIVADAS SUCESSIVAS .......................................................................................... 89

9.7 REGRAS DE L’HOSPITAL ........................................................................................... 89

AULA 17.......................................................................................................................... 92

9.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS.................................................................................... 92

9.8.1 Taxas de Variação Relacionadas ......................................................................... 92

9.8.2 Máximos e Mínimos ............................................................................................. 93 9.8.2.1 Introdução: .................................................................................................................................................... 93 9.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais: ........................................................................................... 95 9.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções: .................................................................................................. 95 9.8.2.4 Teste da Derivada Primeira: .......................................................................................................................... 96 9.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda: ................................................................................................ 97

AULA 18.......................................................................................................................... 99

10. INTEGRAIS ........................................................................................................... 99

10.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 99

10.1.1 NOTAÇÃO: .......................................................................................................... 99

10.2 INTEGRAIS IMEDIATAS ............................................................................................. 99

AULA 19........................................................................................................................ 107

10.3 INTEGRAIS POR PARTES ......................................................................................... 107

AULA 20........................................................................................................................ 110

10.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................ 110

AULA 21........................................................................................................................ 115

10.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS ................................................................... 115

AULA 22........................................................................................................................ 120

10.6 INTEGRAL DEFINIDA: ............................................................................................. 120

10.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: ...................................................................... 121

10.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS .................................................... 122

AULA 23........................................................................................................................ 124

10.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA............................................................... 124 10.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA .......................................................................................... 124 10.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: ................................................................................. 127

AULA 24........................................................................................................................ 130

10.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: .............................................................................................. 130

AULA 25........................................................................................................................ 132


6

11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS................................................................................... 132

11.1 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 132

11.2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 133

11.3 CLASSIFICAÇÃO ........................................................................................................... 133

11.3.1 Tipo: ................................................................................................................. 133

11.3.2 Ordem: ............................................................................................................. 133

11.3.3 Grau: ................................................................................................................ 134

11.3.4 Linearidade: ..................................................................................................... 134

11.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: .......................................................................... 135

AULA 26........................................................................................................................ 138

11.5 RESOLUÇÃO ............................................................................................................... 138

11.5.1 Curvas Integrais: .............................................................................................. 138

11.5.2 Solução: ............................................................................................................ 138

11.5.3 Problema de Valor Inicial (PVI) ........................................................................ 139

11.5.4 Teorema da Existência de uma única solução ................................................. 140

11.6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS ........................................................................... 141

11.7 EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU ........................................... 143

11.7.1 Equações de variáveis separáveis .................................................................... 143 11.7.1.1 Resolução: .................................................................................................................................................. 143

AULA 27........................................................................................................................ 147

11.8 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS ............................................................................................ 147

11.8.1 Função Homogênea ......................................................................................... 147

11.8.2 Equação Homogênas ....................................................................................... 147 11.8.2.1 Resolução: .................................................................................................................................................. 148

AULA 28........................................................................................................................ 150

11.9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................. 150

11.9.1 Fator Integrante ............................................................................................... 152

AULA 29........................................................................................................................ 155

11.10 EQUAÇÕES LINEARES: ................................................................................................. 155

11.10.1 Fator Integrante: ............................................................................................ 155

11.10.2 Substituição ou de Lagrange: ........................................................................ 157

AULA 30........................................................................................................................ 160

11.11 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: .............................. 160

11.11.1 Equações de Bernoulli: ................................................................................... 160

AULA 31........................................................................................................................ 163

11.11.2 Equação de Ricatti ......................................................................................... 163


7

3210

1

2

3

4

5

6

y

x

7

8

9

10

AULA 1

1 - FUNÇÕES

1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO

Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável

independente.

Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da

variável dependente.

Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos

numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a

linguagem da teoria dos conjuntos.

Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois

conjuntos.

Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se

produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .

A B {( x , y )/ x A e y B }.

Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em

B a qualquer subconjunto de A B .

r é relação de A em B r A B .

Exemplo:

Sejam os conjuntos A{0,1,2,3}, B {0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y

2 x , x A e y B . Escrever os elementos dessa relação r .

Como x A :

x 0 y 0 (0,0) A B ;

x 1 y 2 (1,2) A B ;

x 2 y 4 (2,4) A B ;

x 3 y 6 (3,6) A B .

Então, r {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.

Representação da relação por diagrama. Representação da relação por sistema cartesiano.

0

0A B

1

2

3

2

4

6

8

10

r


8

0

A B

2

5

0

2

5

10

20

-2

Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos

pares ( x , y ) em que o elemento x A é associado ao elemento y B mediante uma lei de

associação (no caso, y 2 x ).

1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa

relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um

e apenas um elemento y do conjunto B .

Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique

sua resposta e apresente o diagrama da relação.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A{0,5,15} e B {0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B

expressa pela fórmula y x 5, com x A e y B .

x 0 y 5 (0,5) A B ;

x 5 y 10 (5,10) A B ;

x 15 y 20 (15,20) A B .

Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .

A cada elemento de A está associado um único elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y x 5 é uma função de A em B .

2) Dados os conjuntos A{2,0,2,5} e B {0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B

expressa pela fórmula y x , com x A e y B .

x 0 y 0 (0,0) A B ;

x 2 y 2 (2,2) A B ;

x 5 y 5 (5,5) A B .

O elemento 2 de A não está associado a nenhum elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .

0

0A B

5

15

5

10

15

20

25


9

3) Dados os conjuntos A{3,1,1,3} e B {1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa

pela fórmula 2xy , com Ax e By

x 3 y 9 (3,9) A B ;

x 1 y 1 (1,1) A B ;

x 1 y 1 (1,1) A B ;

x 3 y 9 (3,9) A B .


A cada elemento de A está associado um único elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y 2x é uma função de A em B .

4) Dados os conjuntos A{16,81} e B {2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela

fórmula xy 4, com Ax e By .

x 16 y 2 ou y 2 (16,2) e (16,2) A B ;

x 81 y 3 (81,3) A B .


O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .

Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .

1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO

Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:

f : A B (lê-se: função de A em B )

x y (lê-se: a cada valor de x A associa-se um só valor y B )

A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.

Numa função g : R R , dada pela fórmula y 2x 8, podemos também escrever g ( x ) 2x

8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x 2 , ou g ( 2 )6.

A B

1

3

1

3

6

9

-3

-1

A B

81

-2

2

3

16


10

A B

0

2

0

1

2

3

4

-3

-1

-1

1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:

f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )

x y f ( x ) (a cada elemento x A corresponde um único y B )

O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da

função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir

em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .

O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no

contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.

Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de

y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são

imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o

conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.

f : A B

x y f ( x )

D A , CD B , Im { y CD / y é correspondente de algum valor de x }.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A{3,1,0,2} e B {1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem

da função f : A B definida por f ( x ) x 2.

f (3)(3)21

f (1)(1)21

f (0)(0)22

f (2)(2)24

Im {1,1,2,4}

2) Dada a função f : R R definida por f ( x ) a x b , com a ,b R , calcular a e b ,

sabendo que f (1)4 e f (1)2.

A lei de formação da função é f ( x ) a x b ou y a x b .

f (1)4 x 1 e y 4 4 a 1b (i)

f (1)2 x 1 e y 2 2 a (1)b (ii)

De (i) e (ii), temos:

b 1 e a 3

a 3 e b 1 f ( x )3 x 1.

a b 4

a b 2

2b 2


11

A B C

g

h

f

xy z

1.5 FUNÇÃO COMPOSTA

Tome as funções f : A B , definida por f ( x )2 x , e g : B C , definida por g ( x ) 2x .

Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .

f : A B : a cada x A associa-se um único y B , tal que y 2 x .

g : B C : a cada y B associa-se um único z C , tal que z 2y .

Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : AC , que faz a composição entre

as funções f e g :

h : AC : a cada x A associa-se um único z C , tal que z 2y

22 )( x 4 2x .

Essa função h de A em C , dada por h ( x ) 4 2x , é denominada função composta de g e

f .

De um modo geral, para indicar como o elemento z C é determinado de modo único pelo

elemento x A , escrevemos:

z g ( y ) g ( f ( x ))

Notação:

A função composta de g e f será indicada por g f (lê-se: g círculo f )

( g f )( x ) g ( f ( x ))

Exemplos:

1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por 1)( xxf e

32)( 2 xxg . Determine:

a) f ( g ( x )).

f ( g ( x )) f (2 2x 3)2 2x 312 2x 2

f ( g ( x )) 2 2x 2.

b) g ( f ( x )).

g ( f ( x )) g ( x 1)221)( x 32( 2x 2 x 1)32 2x 4 x 232 2x 4 x 1

g ( f ( x )) 2 2x 4 x 1.

c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x )) g ( f ( x )).

f ( g ( x )) g ( f ( x ))

2 2x 2=2 2x 4 x 1

2=4 x 1

4 x 12

x 4

1.


12

3210

1

2

3

4y

x-1

-2

-1-2 4

f

f

-1

2) Sendo f ( x )3 x 1 e f ( g ( x ))6 x 8, determine g ( x ).

Como f ( x )3 x 1, então f ( g ( x ))3 g ( x )1.

Como f ( g ( x )) 6 x 8, então 3 g ( x )16 x 8.

3 g ( x )1 6 x 8

3 g ( x ) 6 x 81

g ( x ) 3

96 x

g ( x ) 2 x 3.

1.6 FUNÇÃO INVERSA

Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas

condições abaixo:

O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é

correspondente de algum elemento do domínio.

Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.

Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa 1f se for bijetora.

1.6.1 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA

Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa.

Para isso ―trocamos‖ a variável x por y na lei que define a função e em seguida ―isolamos‖ o y ,

obtendo a lei que define a função inversa.

É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.

Exemplo:

1) Obter a lei da função inversa 1f da função f dada por y x 2.

y x 2 função .

x y 2 trocando a variável x por y e y por x .

y x 2 isolando y .

Então, y x 2 é a lei da função inversa da função dada por y x 2.

Logo:

f ( x ) x 2 e 1f ( x ) x 2

2) Construir os gráficos das funções f e 1f do exercício anterior, num mesmo sistema de

coordenadas.

f

x f ( x ) x 1f ( x ) Note que os gráficos

das funções f e 1f

são simétricos em

relação à reta que

contém as bissetrizes

do 1o e 3

o quadrantes.

1 1 1 1

0 2 2 0

1 3 3 1

2 4 4 2


13

3) Determinar a função inversa 1g da função g ( x )32

5

x

x, cujo domínio é D R

2

3.

y 32

5

x

x função g .

x 32

5

y

y trocando a variável x por y e y por x .

(2 y 3) x y 5 isolando y .

2 x y 3 x y 5

y (2 x 1)3 x 5

y 12

53

x

x 2 x 10 x

2

1.

Logo, 1g : R

2

1 R

2

3 dada por y

12

53

x

x é a função inversa procurada.

AULA 1 - EXERCÍCIOS

1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0,

1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 – 4x +

3. Faça o diagrama de g e verifique se g é

uma função de A em B. Em caso

afirmativo escreva o conjunto imagem.

2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R

definida por f(x) = (x – 2)(x – 4).

Determine o seu conjunto imagem.

3) Sejam f e g funções reais definidas, para

todo o número real não nulo, por:

25

83)(

x

xxxf e

233

13

5)( 2

xx

xxg

Se a e b são números reais distintos tais

que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b

4) Considere a função f(x) real, definida por

f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine

o valor de f(0)

5) Determine o domínio das seguintes

funções:

a) 54)( xxf

b) 1

3)(

2

xxf

c) xy 21

d) 2

7

4

1

3

1)(

x

x

xx

xxf

6) Sendo 1

1)(

xxf , x 1 e 42)( xxg ,

ache o valor de

2

1))2(( fggf .

7) Se 1

1)(

xxf , qual o valor de x para que

f(f(x)) = 1?

8) Dada a função 5

62)(

x

xxf com x 5.

calcule:

a) f-1

(x)

b) f-1

(4)

Respostas: 1) sim, Im{0, 3}

2) Im = {-1, 0, 3}

3) 3

4) 29

5) a) D = R

b) D = R – {-1, 1}

c)

2

1| xRxD

d) 2,,43| xexRxD

6) – 9

7) 2

3x

8) a) 2

65

x

x b) 13


14

AULA 2

2. FUNÇÃO POLINOMIAL

Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é

aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.

2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O

GRAU

A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio

de grau 1.

Representação da função polinomial do 1o grau:

f ( x ) a b , com a ,b R ( a 0). a e b são os coeficientes e x a variável

independente.

Exemplo:

Em uma função polinomial do 1o grau, y f ( x ), sabe-se que f (1)4 e f (2)10. Escreva

a função e calcule f

2

1.

Se é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: b . Usando os dados do

problema:

f (1)4 1 e 4. Então, a 1b 4 a b 4 (i).

f (2)10 2 e 10. Então, a (2)b 10 2 a b 10 (ii).

Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):

(i) a 4 a b 4

(ii) 2 a b 10 (1) 2 a b 10

3 a 6 a 2

Se a 2, então 2b 4 b 6.

A função f é dada por f ( x )2 x 6.

Cálculo de f

2

1:

f

2

1 2

2

16 16 7

A função é f ( x ) 2 x 6 e f

2

17.

2.1.1 FUNÇÃO LINEAR

Seja a função polinomial do 1o grau f ( x ) a x b . No caso de b 0, temos f ( x )a x , e

ela recebe o nome especial de função linear.

x

f

f y a x

x y

x y

b


15

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

Obs.: Se, em uma função linear tivermos a 1, teremos f ( x ) x ou y x , que se dá o

nome de função identidade.

2.1.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O

GRAU

Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do

domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens.

Exemplo:

Construir o gráfico da função real f dada por y 2 x 1.

x y Par ordenado

2 5 (2,5)

1 3 (1,3)

0 1 (0,1)

1 1 (1,1)

2 3 (2,3)

3 5 (3,5)

Definição 9: O gráfico da função linear y a x ( a 0) é sempre uma reta que passa pela

origem do sistema cartesiano.

Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y a x b ( a 0) intercepta o

eixo das ordenadas no ponto (0,b ).

2.1.3 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO GRÁFICO

Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x ) a x b .

Exemplo:

1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5


16

Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:

x 1 e y 1 1 a (1)b a b 1 (i).

x 1 e y 3 3 a (1)b a b 3 (ii).

(i) a b 1

(ii) a b 3

2b 2 b 1

Se b 1, então a b 3 a 13 a 2

Logo:

A função é f ( x )2 x 1.

2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:

Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:

x 1 e y 1 1 a (1)b a b 1 (i).

x 2 e y 2 2a (2)b 2 a b 2 (ii).

(i) a b 1 (1) a b 1

(ii) 2 a b 2 2 a b 2

a 3 a 3

Se a 3, então 3b 1 b 4

Logo:

A função é f ( x )3 x 4.

2.1.4 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO

1O

GRAU

Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x ) a x b .

Podemos determinar que:

i) A função f é crescente se o coeficiente a 0;

ii) A função f é decrescente se o coeficiente a 0.

Exemplo:

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5


17

Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:

i) f ( x )2 x 1 ii) g ( x )2 x 1

i) Aumentando os valores atribuídos a

x , aumentam também os valores

correspondentes da imagem f ( x ).

ii) Aumentando os valores atribuídos a x ,

diminuem os valores correspondentes da

imagem g ( x ).

2.1.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O

GRAU

Definição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x

temos f ( x )0, f ( x )0 ou f ( x )0.

2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1o grau

Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x ) a x b o valor de x que anula a

função, isto é, torna f ( x )0.

Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )a x b , a

0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .

Exemplo:

Dada a lei de formação da função y 2 x 4, construir o gráfico e determinar os valores

reais de x para os quais: a) y 0; b) y 0 e c) y 0.

Podemos notar que a função é decrescente, pois a 0.

O zero da função é: 2 x 40 2 x 4 2 x 4

2x .

Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa

2x .

A solução do problema é:

a) f ( x )0 { xR ; x 2};

b) f ( x )0 { x R ; x 2};

c) f ( x )0 { xR ; x 2}.

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

5-3-4-5


18

2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau

f ( x ) a x b , a 0

Zero da função: a x b 0 x a

b

a 0 a 0

f ( x ) 0 x a

b f ( x ) 0 x

a

b

f ( x ) 0 x a

b f ( x ) 0 x

a

b

f ( x ) 0 x a

b f ( x ) 0 x

a

b

2.2 INEQUAÇÕES DO 1O

GRAU

Definição 14: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode

ser reduzida a uma das formas:

a x b 0;

a x b 0;

a x b 0;

a x b 0.

com a , b R e a 0.

Exemplo:

Verificar se 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação do 1o grau.

4( x 1) 2x 3 x x ( x 1)

4 x 4 2x 3 x 2x x

4 x 3 x x 40

2 x 40

Logo, 2 x 4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação

do 1o grau.

x

xf ( )>0xf ( )<0x

ab

ab

axb

xf ( )<0xf ( )>0x

ab


19

2.2.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O

GRAU

Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das

desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).

Exemplos:

1) Resolver a inequação seguinte: 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1). Represente a solução na reta real.

4( x 1) 2x 3 x x ( x 1)

4 x 4 2x 3 x 2x x

4 x 3 x x 40

2 x 4

x 2

S{ x R ; x 2}

2) Resolver a inequação seguinte: 3

1x

2

14 )( x

4

x

6

2 x. Represente a solução na reta real.

3

1x

2

14 )( x

4

x

6

2 x

Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:

12

242444 xx

12

243 xx

Simplificando:

20 x 20 x 4

20 x x 204

21 x 16

Multiplicando por (1):

21 x 16

x 21

16

S{ x R ; x 21

16}

2.2.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 1O

GRAU

Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela

intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.

Exemplo:

Resolver a inequação 12 x 3 x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta

real.

Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:

(i) 1 2 x 3 (i) x 1

(ii) 2 x 3 x (ii) x 3

x2

x1621


20

S{ x R ; 1 x 3}

2.2.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE

Uma inequação do 2o grau do tipo 2x 2 x 80 pode ser expressa por um produto de

inequações do 1o grau, fatorando o 1

o membro da desigualdade:

2x 2 x 8 0 ( x 2)( x 4) 0.

Definição 17:

RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos

o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal

do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de

números reais.

Exemplos:

1) Resolver a inequação ( 2x x 2)( x 2) 0.

( 2x x 2)( x 2)0 ( x 2)( x 1)( x 2) 0

f(x) x 2 f(x) 0 x 2 a 0

g(x) x 1 g(x) 0 x 1 a 0

h(x) x 2 h(x) 0 x 2 a 0

S{ x R ; 2 x 1 ou x 2}

2) Resolver a inequação 2

13

x

x 0.

f(x) 3 x 1 f(x) 0 1/3 a < 0

g(x) x 2 g(x) 0 x 2 a < 0

x

x

x1 3

(i)

(ii)(i)

(ii)

x

-2 2

( )g

x( )f

x( )h

x( )x( )x( )f g h1

x


21

S{ x R ; 3

1 x 2}


92

x

x 0.

2

92

x

x 0

2

33

x

xx )()( 0

f(x) x 3 f(x) 0 x 3 a 0

g(x) x 3 g(x) 0 x 3 a 0

h(x) x 2 h(x) 0 x 2 a 0

S{ x R ; x 3 ou 2 x 3}

4) Determine o domínio da função y 5

322

x

xx.

5

322

x

xx 0

5

13

x

xx )()( 0

f(x) x 3 f(x) 0 x 3 a 0

g(x) x 1 g(x) 0 x 1 a 0

h(x) x 5 h(x) 0 x 5 a 0

D{ x R ; 3 x 1 ou x 5}

x

2

( )g

x( )f

x( )

x( )f

g 13

x

-3 3

( )g

x( )f

x( )h

x( )

x( )x( )f g

h 2

x

-3 5

( )g

x( )f

x( )h

x( )

x( )x( )f g

h 1


22

AULA 02 – EXERCÍCIOS

1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine:

a) f(2)

b) o valor de x para que f(x) = 0

2) Em uma função polinomial do 1o grau, y =

f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escreva

a função f e calcule

2

1f

3) Um vendedor recebe mensalmente um

salário composto de duas partes: uma parte

fixa, no valor de R$900,00 e uma variável,

que corresponde a uma comissão de 8% do

total de vendas que ele fez durante o mês.

a) Expressar a lei da função que representa

seu salário mensal

b) Calcular o salário do vendedor que

durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em

produtos

4) Num determinado país, o gasto

governamental com educação, por aluno em

escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de

1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo

que o gráfico do gasto por aluno em função

do tempo seja constituído de pontos de uma

reta:

a) Obtenha a lei que descreve o gasto por

aluno (y) em função do tempo (x),

considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1

para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987

e assim por diante.

b) Em que ano o gasto por aluno será o

dobro do que era em 1985?

5) Considere as funções f e g definidas em R por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x

a) Ache as raízes das funções f e g

b) Sabendo que os gráficos de f e g são

retas concorrentes, calcule as coordenadas do

ponto de intersecção.

6) Resolver a inequação 0)31(214 xx

7) Determinar o conjunto verdade da

inequação: 6

2

42

)1(4

3

1 xxxx

8) Resolver o sistema

03

512

x

x

9) João possui um terreno de 1000m2, no qual

pretende construir uma casa. Ao engenheiro

responsável pela planta, ele impõe as

seguintes condições: a área destinada ao lazer

(piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m2, e

a área interna da casa mais a área de lazer

devem ultrapassar 50% da área total do

terreno; além disso, o custo para construir a

casa deverá ser de, no máximo, R$

200.000,00. Sabendo que o metro quadrado

construído nessa região custa R$ 500,00, qual

é a área interna da casa que o engenheiro

poderá projetar?

10) Determinar o domínio da função

3

1

x

xy

Respostas:

1) a) 8

b) 2/5

2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7

3) a) y = 900 + 0,08x

b) R$ 4900,00

4) a) y = 75x + 3000

b) 2025

5) a) 8 e 0

b) (2, 6)

6)

2

1| xRxS

7)

21

16| xRxS

8) 3| xRxS

9) entre 300m2 e 400m

2

10) 31| xRxD


23

AULA 3

2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O

GRAU

Definição 18: A função f : R R dada por f ( x )a 2x b x c , com a , b e c reais e a

0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por

a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a 0 temos uma função do 1o grau ou uma

função constante.

Exemplo:

Considere a função f do 2o grau, em que f (0)5, f (1)3 e f (1)1. Escreva a lei de

formação dessa função e calcule f (5).

Resolução

Tome f ( x ) a 2x b x c , com a 0.

f (0) 5 a (0)2b (0) c 5 c 5 5

f (1) 3 a (1)2b (1) c 3 a b 2 ( i)

f (1) 1 (1)2b (1) c 1 a b 4 ( ii)

Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):

(i) a b 2

(ii) a b 4

(i)(ii) 2a

6 a 3 b 1

A lei de formação da função será f ( x ) 3 2x x 5

f (5)3(5)2(5)5

f (5)65.

2.3.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada

parábola.

Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa

representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função

quadrática:

(i) Concavidade (ii) Zeros ou raízes (iii) Vértice

2.3.2 CONCAVIDADE

A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( x )a 2x b x c

do 2o grau depende do sinal do coeficiente a :

c

a


24

a 0: concavidade para CIMA a 0: concavidade para BAIXO

CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

2.3.3 ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x ) a 2x b x c são as raízes da

equação do 2o grau a 2x b x c 0, ou seja:

Raízes: x a

acbb

2

42 .

Considerando 2b 4 a c , pode-se ocorrer três situações:

i) 0 as duas raízes são reais e diferentes: 1x a

b

2

e 2x

a

b

2

.

ii) 0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): 1x 2x a

b

2.

iii) 0 não há raízes reais.

Obs.: Em uma equação do 2o grau a 2x b x c 0, a soma das raízes é S e o produto é P tal

que: S 1x 2x a

b e P 1x 2x

a

c.

Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau

são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .

2.3.4 VÉRTICE DA PARÁBOLA

Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( Vx , Vy ) em cada uma:

VÉRTICE DE PARÁBOLAS (0 PARA AS DUAS).

x

y

x

y

x2x1

x1 x2

V( ),xV yV

V( ),xV yV

Eixo de simetria


25

Uma forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é:

Vx 2

21 xx , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;

Vy a 2Vx b Vx c , já que o Vx foi obtido acima.

Outra forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é aplicando as fórmulas:

Vx a

b

2 e Vy

a4

.

2.3.5 GRÁFICO DE UMA PARÁBOLA

Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com

mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.

Exemplos:

1) Construir o gráfico da função y 2x 2 x , determinando sua imagem.

a 10 concavidade voltada para cima.

Zeros da função: 2x 2 x 0 x ( x 2)0 1x 0 e 2x 2.

Ponto onde a

parábola corta o

eixo y : x 0 y 0 (0,0)

Vértice da

parábola: Vx a

b

2

2

21

V (1,1)

Vy a4

4

41

Imagem: y 1 para todo x Real Im { y R ; y 1}

2) Construir o gráfico da função y 2x 4 x 5, determinando sua imagem.

a 1 0 concavidade voltada para baixo.

Zeros da função: 2x 4 x 50 4. zeros reais. Ponto onde a

parábola corta o

eixo y : x 0 y 5 (0,5)

Vértice da

parábola: Vx a

b

2

2

4

2

V (2,1)

Vy a4

4

4

1

Imagem: y 1 para todo x Real Im { y R ; y 1}

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

5-3-4-5

V

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

5-3-4-5

V


26

2.3.6 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser

dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.

f ( x ) a 2x b x c com ( a , b e c R e a 0)

a 0 a 0

f ( x )0 para x 1x ou x 2x f ( x )0 para x 1x ou x 2x

f ( x )0 para 1x x 2x f ( x )0 para 1x x 2x

f ( x )0 para x 1x ou x 2x ( x )0 para x 1x ou x 2x

f ( x )0 para x 1x f ( x )0 para x 1x

f ( x )0 x real f ( x )0 x real

f ( x )0 para x 1x 2x f ( x )0 para x 1x 2x




2.4 INEQUAÇÕES DO 2O

GRAU

Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode

ser reduzida a uma das formas:

a 2x b x c 0;

a 2x b x c 0;

xx2x1

x

x1 x2

f

xx2x1

x

x2x1

x

x


27

a 2x b x c 0;

a 2x b x c 0.

com a , b , cR e a 0.

2.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2O

GRAU

Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das

desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).

Exemplo:

1) Resolver a inequação 2x 3 x 20.

Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 3 x 2.

a 10 Concavidade para cima.

2x 3 x 20

10 Duas raízes reais diferentes.

x

2

13

1x 1

2x 2

S{ x R ; x 1 ou x 2}. Obs: somente valores positivos.

2) Resolver a inequação 2x 10 x 250.

Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 10 x 25.

10 Concavidade para cima.

2x 10 x 250

0 Raiz dupla (única).

1x 2x

2

10

x 5

S R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.

3) Resolver a inequação 2 2x 5 x 60.

Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x )2 2x 5 x 6.

a 20 Concavidade para

baixo.

2 2x 5 x 6 0

23 0 Não possui zeros reais.

x real

S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.

x21

a

x5

x


28

2.4.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2O

GRAU

Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela

intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.

Exemplo:

1) Resolver o sistema de inequações

05

682 22

x

xxx.

Resolução

(i) 2 2x 8 2x 6 x 2 2x 8 2x 6 x 0 2x 6 x 80.

(ii) x 50.

Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 6 x 8.

a 1 0 Concavidade para cima.

2x 6 x 80

4 0 Duas raízes reais

diferentes.

x

2

26 1x 4

2x 2

S(i){ x R ; x 4 ou x 2}. Reta real:

Resolução de (ii): x 50 x 5.

S(ii){ x R ; x 5}. Reta real:

Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):

S{ x R ; x 5}.

2) Resolver a inequação x 4 2x 4 x 2.

Resolução

(i) x 4 2x 4 x 4 2x 40 (1) 2x x 0.

(ii) 2x 4 x 2 2x 4 x 20 2x x 60.

Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x x .


2x x 0 x ( x 1)0 Zeros{0,1}.

1 0 Duas raízes reais diferentes.

x

2

11

1x 0

2x 1

S(i){ x R ; x 0 ou x 1}. Reta real:

x-2-4

x-2-4

x-5

x-5

x-5

x-2-4(i)

(ii)

(i) (ii)

x10

x10


29

Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x ) 2x x 6.


2x x 60

25 0 Duas raízes reais diferentes.

x

2

51

1x 2

2x 3

S(ii){ x R ; 2 x 3}. Reta real:

Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):

S{ x R ; 2 x 0 ou 1 x 3}.

2.4.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE

Definição 24:

RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos

o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto

ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números

reais.

Exemplos:

1) Resolver a inequação ( 2x 2 x 3)( 2x 3 x 4)0.

Resolução

S{ x R ; 4 x 1 ou 1 x 3}.

x3-2

x3-2

x-2

x

x10(i)

(ii)

(i) (ii)

3

-2 0 1 3

x

-4

( )g

x( )f

x( )x( )f g1 3-1

f(x) 2x 2 x 3 a 0 16 0 1x 1 e 2x = 3

g(x) 2x 3 x 4 a 0 25 0 1x 4 e 2x = 1

f(x) g(x)

x3-1x1-4

x3-1 x1-4


30


652

2

x

xx0.

Resolução

f(x) 2x 5 x 6 a 0 1 0 1x 2 e 2x 3

g(x) 2x 16 a 0 64 0 1x 4 e 2x 4

f(x) g(x)

S{ x R ; x 4 ou 2 x 3 ou x 4}.

3) Determine o domínio da função f ( x )6

1032

x

xx.

Resolução

f só representa um número real se 6

1032

x

xx0.

f(x) 2x 3 x 10 a 0 49 0 1x 2 e 2x 5

g(x) x 6 a 0 g(x) = 0 x 6

f(x) g(x)

D { x R ; 2 x 5 ou x 6}.

x32 x4-4

x32 x4-4

x

-4

( )g

x( )f

x( )

x( )f

g 3 42

x5-2 x6

x5-2 x6

x

-2

( )g

x( )f

x( )

x( )f

g 5 6


31


1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0)

= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de

formação dessa função e calcule f(5).

2) Determine o valor de m para que a

parábola que representa graficamente a

função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto

(1, 6).

3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x

– 5.

4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo

que essa função possui dois zeros reais

iguais, determine o valor real de k.

5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas

raízes reais, m e n, de modo que

12

511

nm. Determine o valor de f(-1)

nessa função.

6) Determinar as coordenadas do vértice V da

parábola que representa a função

135)( 2 xxxf .

7) Determinar a e b de modo que o gráfico da

função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha

o vértice no ponto (4, - 25).

8) Determinar o conjunto imagem da função

f(x) = x2 – 3x + 2.

9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor

máximo ou valor mínimo? Qual é esse

valor?

10) Considerar todos os possíveis retângulos

que possuem perímetro igual a 80 cm.

Dentre esses retângulos, determinar aquele

que terá área máxima. Qual será essa área?

11) Determinar p de modo que a função

f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores

positivos para todo x real.

12) Resolver a inequação –x2 + 1 0.

13) Determinar o conjunto solução da

inequação x2 – 10x + 25 0.

14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 x +

2.


12

x

x

Respostas

1) f(x) = - 3x2 + x + 5

f(5) = - 65

2) 4

3) 5 e -1

4) 1/3

5) 52

6)

20

11,

10

3V

7) a = 1 e b = - 8

8)

4

1/Im yRy

9) O valor mínimo da função é y = - 25/4

10) O retângulo que terá a maior área será o

de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será

de 400cm2.

11)

4

1/ pRp

12) 1,,1| xouxRxS

13) S = R

14) 02| xRxS ou }31 x

15) S = {x R| x < - 3 ou -1< x <2}


32

AULA 4

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL

3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO

3.1.1 POTÊNCIAS COM EXPOENTE NATURAL

Sendo a um número real e n um número natural, com n 2, definimos: na

fatores n

aaaa .

Para n 1 e n 0 são definidos: 1a a . 0a 1 ( a 0).

3.1.2 POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO

Se a é um número real não-nulo ( a 0) e n um número inteiro e positivo, definimos:

na na

1.

3.1.3 POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL

Se a é um número real positivo e n

m um número racional, com n inteiro positivo,

definimos:

nm

a n ma .

3.1.4 POTÊNCIAS COM EXPOENTE REAL

Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos

números reais. Temos, por exemplo: 210 25,954553519470080977981828375983.

3.1.4.1 Propriedades

Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:

ma na nma .

ma na nma ( a 0).

nma )( nma .

nba )( na nb .

n

b

a

n

n

b

a (b 0).


33

Exemplos

1) Dê o resultado mais simples de ( 35 65 ) 105 .

Resolução

Usando as propriedades, temos:

( 35 65 ) 105 ( 635 ) 105 95 105 1095 15 5

1.

2) Calcule o valor da expressão

2

3

2

3

2

1

06 .

Resolução 2

3

2

3

2

1

06

2

2

3

3

2

1

1

4

9

8

11

8

8118

8

11.

3) Simplifique x

xx

2

22 25 .

Resolução

x

xx

2

22 25

x

xx

2

2222 25

x

x

2

222 25 )( 52 22 28.

4) Calcule 34

8 .

Resolução

Primeira resolução: 34

8 3 48 3 4096 16.

Segunda resolução: 34

8 34

32 )( 343

2 42 16.

5) Determine o valor de 7081 , 2081 , .

Resolução 7081 , 2081 , 207081 ,, 5081 ,

5043 ,)( 23 9.

6) Qual o valor de 2210 )( 510 ),( ?

Resolução

2210 )( 510 ),(

2210

5110 )(

210 510 )( 5210 710 10000000.

3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no

expoente.

Exemplo:

x2 16.

13 x 23 x 9.

13 x 27.

10 x22 5 x22 10.


34

3.2.1 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências

de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e

propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:

Definição 26: Se a 0, a 1 e x é a incógnita, a solução da equação xa pa é x p .

Exemplos:

1) Resolver a equação x4 512.

Resolução

Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2

o membros da equação em

potências de mesma base:

x4 512 x)(

22 92 x22 92 2 x 9 x 2

9.

S

2

9.

2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um

aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:

a)Qual a produção P dessa empresa t anos depois?

b)Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?

Resolução

a) Obs: 50%100

500,5

Um ano depois: 80000,580008000(10,5)80001,5

Dois anos depois: (80001,5)1,58000251 ),(

Três anos depois: (8000251 ),( )1,58000

351 ),(

Produção P, t anos depois: P8000t

),( 51

b)Fazendo P40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:

405008000t

),( 51

Resolvendo a equação:

405008000t

),( 51

t

),( 51 8000

40500. Obs: 1,5

2

3.

t

2

3

16

81

t

2

3

4

4

2

3

t

2

3

4

2

3

t 4.

Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.

3) Determine o conjunto solução da equação 281 x 1 no universo dos números reais.

Resolução

Sabendo que 081 1, temos: 281 x 1 281 x 081 x 20 x 2.

S{2}.


35

3.2.2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM O USO DE ARTIFÍCIOS

Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas

transformações e artifícios.

Exemplos:

1) Resolver a equação x4 5 x2 40.

Resolução

Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: x4 5 x2 40 x

)(22 5 x2 40 22 )(

x 5 x2 40.

Fazendo x2 y , temos a equação do 2o grau em y :

2y 5 y 40 y 2

16255 1y 4 e 2y 1.

Voltando à igualdade x2 y :

1y 4: x2 y x2 4 x2 22 x 2.

2y 1:

x2 y x2 1 x2 02 x 0.

S{0,2}.

2) Determine o conjunto solução da equação x5 x25 24.

Resolução

Preparando a equação, temos:

x5 x25 24 x5 25 x5 24 x5 25x5

124 x5

x5

2524.

Fazendo x5 y , temos:

y y

2524

2y 2524 y 2y 24 y 250

1

25

2

1

y

y

Voltando à igualdade x5 y :

1y 25: x5 y x5 25 x5 25 x 2.

2y 1:

x5 y x5 1 Esta equação não tem raiz em R , pois x5 0, para todo x real.

S{2}.

3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL

Definição 27: A função f : R R dada por f ( x ) xa (com a 0 e a 1) é denominada

função exponencial de base a .

3.3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NO PLANO CARTESIANO

Dada a função f : R R , definida por f ( x ) xa (com a 0 e a 1), temos dois casos para

traçar seu gráfico: (i) a 1 e (ii) 0a 1.

(i) a 1.


36

1) Traçar o gráfico de f ( x ) x2 .

x

f ( x ) x2

2 4

1

1 2

1

0 1

1 2

2 4

3 8

Obs.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência xa , ou seja, se a 1 a função xasf )( é crescente.

(ii) 0 a 1.

2) Traçar o gráfico de f ( x )

x

2

1.

x

f ( x )

x

2

1

3 8

2 4

1 2

0 1

1 2

1

2 4

1

Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência xa , ou seja, se 0a 1 a função xaxf )( é decrescente.

Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:

3.3.2 CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Seja f : R R , definida por f ( x ) xa (com a 0 e a 1).

Domínio da função f são todos os números reais D R .

Imagem da função f são os números reais positivos Im R .

A curva da função passa pelo ponto (0,1).

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5


37

A função é crescente para a base a 1.

A função é decrescente para a base 0a 1.

3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.

3.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:

Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

Verificar a base da exponencial, a 1 ou 0 a 1, aplicando as propriedades

abaixo.

Caso (i): a 1 Caso (ii): 0 a 1

ma na m n ma na m n

As desigualdades têm mesmo sentido As desigualdades têm sentidos diferentes

Exemplos:

1) Resolva a inequação x2 32.

Resolução

Como 52 32, a inequação pode ser escrita: x2 52 Caso (i): a 1.

x 5.

S{ x R ; x 5}.

2) Resolva a inequação xx 23 2

3 )( 1.

Resolução

xx 23 2

3 )( 1 xx 23 2

3 )(

03)( Caso (i): a 1.

3 2x 2 x 0

Tome f ( x )3 2x 2 x

f ( x )0 3 2x 2 x 0

0

3

2

2

1

x

x

S{ x R ; x 2/3 ou x 0}.

3) Resolva a inequação

3

2

1

x

72

2

1

x

.

Resolução 3

2

1

x

72

2

1

x

Caso (ii): 0 a 1.

x 32 x 7 x 10 (1) x 10.

S{ x R ; x 10}.

x023


38


1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão

celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.

a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?

b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias?

2) Resolva as equações:

a) 72821 x

b) 081

34 4

xx

3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:

a) 0273.2832 xx

b) xx 2.123222

c) 14

5

6416 x

x

4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3

x, determine x para que f(g(x)) = 2.

5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m3

e, inicialmente, esta cheio.

a) Após o 5o golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no

tanque?

b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n

golpes?

6) Resolva as inequações:

a) 43

552

xx

b)

513

3

1

3

1

xx

c) 1275,02 222 xX

7) Determine o domínio da função 12 2 xy

Respostas:

1) a) 800 bactérias

b) 9 horas

2) a) 3/2

b) 4

3) a) {0, 3}

b) {2, 3}

c) {1, 2}

4) x = 0

5) a) 0,59m3

b) f(n) = 1 . (0,9)n

6) a) }4,,1/{ xouxRx

b) }3/{ xRx

c) }0/{ xRx

7) }2/{ xRx


39

AULA 5

4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a 1, existe um único

número real x de modo que xa b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e

indica-se balog .

Podemos então, escrever: xa b x balog (1 a 0 e b 0).

Na igualdade x balog , temos:

a é a base do logaritmo;

b é o logaritmando ou antilogaritmo;

x é o logaritmo.

Exemplos:

Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:

1) 32log2 x .

x2 32 x2 52 x 5.

2) 16log4 x . x4 16 x4 24 x 2.

3) x8log 1.

18 x x 8.

4) 81log3 x .

x3 81 x3 43 x 4.

5) 1log5 x .

x5 1 x5 05 x 0.

Obs.1: blog significa b10log . Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 10.

4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Tome 1 a 0, b 0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se

verificar que:

O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.

1loga 0, pois 0a 1.

O logaritmo da própria base é igual a 1.

aalog1, pois

1a a .


40

O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. m

a alog m , pois ma ma .

O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . baa

logb , pois xa b x balog .

4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Logaritmo de produto

)(log yxa xalog yalog (1 a 0, x 0 e y 0).

Logaritmo de quociente

y

xalog xalog yalog (1 a 0, x 0 e y 0).

Logaritmo de potência m

a xlog m xalog (1 a 0, x 0 e m R ).

4.4 COLOGARITMO

Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1 a 0) é o logaritmo do inverso

desse número b na base a .

bco alog

ba

1log bco alog balog (1 a 0 e b 0).

Exemplo:

Sabendo que log 3 a e log 5b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .

log 15

log 15 log (35) log 3 log 5 a b .

log 675

log 675 log ( 33 25 ) log 33 log 25 3 log 32 log 53 a 2b .

log 2

log 2 log5

10 log 10 log 5 1b .

4.5 MUDANÇA DE BASE

As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em

muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única

base.

A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.

Seja:

balog x xa b .

Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:

x

c alog bclog x aclog bclog x a

b

c

c

log

log, mas x balog .

Então:


41

balog a

b

c

c

log

log (1 a 0, 1 c 0 e b 0).

Exemplos:

1) Sendo log 20,3 e log 30,4, calcule 6log2 .

6log2 2log

6log

2log

)32log(

2log

3log2log

30

4030

,

,,

30

70

,

,

3

7.

2) Resolva a equação x2log x4log x16log 7.

A condição de existência é x 0.

Transformando para a base 2:

x2log x4log x16log 7

x2log 4log

log

2

2 x

16log

log

2

2 x7

x2log 2

log2 x

4

log2 x7

4

loglog2log4 222 xxx

4

28

7 x2log 28

x2log 4 42 x

x 16 16 satisfaz a condição de existência.

Logo, o conjunto solução é:S{16}.

3) Resolva a equação 2log ( x 2) 2log ( x 2)5.

Condições de existência são: x 20 e x 20 x 2 e x 2. Então: x 2.

2log ( x 2) 2log ( x 2)5

2log [( x 2)( x 2)]5

( x 2)( x 2) 52 2x 432 2x 36 2x 6 6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.

Logo, o conjunto solução é: S{6}.


42

4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função exponencial g : R R definida por g ( x ) xa (com 1 a 0) é bijetora. Nesse

caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.

Definição 30: A função f : R R definida por f ( x ) xalog (com 1a 0) é chamada

função logarítmica de base a .

4.6.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NO PLANO CARTESIANO

Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes

ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico

da função exponencial.

Seja f : R R , tal que y xalog e 1f : R

R , tal que y xa . Os gráficos de f e 1f

serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.

(i) a 1.

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a 1).

(ii) 0 a 1.

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0 a 1).

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5

=y x

log xa=y

=y xa

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5

=y xa

=y x

log xa=y


43

4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a

incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos:

1) Resolva a inequação 21log ( x 3)

21log 4.

Condição de existência:

x 30 x 3 (i).

Base: (0 a 1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e

o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.

x 34 x 3 (ii).

A solução da inequação deve satisfazer as duas condições:

S{ x R ; 3 x 7}.

2) Resolva a inequação 4log ( 2x x ) 4log (2 x 10).

1a Condição de existência: 2x x 0 x 0 ou x 1 (i).

2a Condição de existência:

2 x 100 x 5 (ii).

Base: ( a 1). 2x x 2 x 10 2x x 2 x 100 2x 3 x 100 x 2 ou x 5 (iii).

A solução da inequação deve satisfazer as três condições:

S{ x R ; 5 x 2 ou x 5}.

3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto

tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use

10log 20,3).

p 0p (10,2) t p 0p (0,8) t p 0p

t

10

8

Procura-se p 2

0p, logo:

x

x

x

7

3(i)

(ii)

(i) (ii)

73

x

x

x(i)

(ii)

(iii)

x(i) (ii)

-2

(iii)

-5 0 1

5

-5

-2

0 1


44

2

0p 0p

t

10

8 ( 0p 0)

2

1

t

10

23

12 t32 t10

Aplicando 10log em ambos os membros, temos:

10log 12 10log ( t32 t10 )

10log 12 10log ( t32 t10 )

10log 12 10log t32 10log t10

10log 23 t 10log 2 t 10log 10

0,33 t 0,3 t

0,30,9 t t

0,30,1 t

t 3

O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos.


1) Resolva as seguintes equações:

a) log2 (x – 4) = 3

b) logx (3x2 – x) = 2

c) (log3x)2 – log3x – 6 = 0

d) log5(log3x) = 1

2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477,

calcule:

a) log 6 b) log 5

c) log 2,5 d) log 3

3) Qual o conjunto solução da equação

a) 2

1)1(log)13(log 42 xx

b) 2loglog 10010 xx

4) Determine o campo de existência da função

)2510(log)12(log)( 2

3

2

3 xxxxxf

5) Resolva as inequações:

a) log3(5x – 1) > log3 4

b) log2(x – 4) > 1

c) log12(x – 1) + log12(x – 2) 1

Respostas:

1) a) 12 b) ½

c) {1/9, 27} d) 243

2) a) 0,778 b) 0,699

c) 0,398 d) 0,2385

3) a) 1 b) 100

4) }5,,4,,3/{ xexouxRx

5) a) }1/{ xRxS

b) }6/{ xRxS

c) }52/{ xRxS


45

AULA 6

5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO:

Tome o arco dado na figura abaixo:

Arco para o conceito de seno e cosseno.

Seno de um arco é a ordenada do ponto P.

senON MP .

Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.

cos OM NP .

5.1.1 CONSEQÜÊNCIAS:

Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que 1

nem maiores que 1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre 1 e

1, o que nos permite concluir:

1 sen 1 e 1 cos 1

5.1.2 FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO

Função seno é a função que associa a cada arco x R o número senx R , ou y senx.

Função cosseno é a função que associa a cada arco xR o número xcos R , ou y xcos .

5.1.3 GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO

Para estudar a função seno ( y sen x ) e a função cosseno ( y cos x ) vamos variar x no

intervalo [0,2].

5.1.3.1 Função seno:

y sen x

GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.

A

P

O

N

M

AO O 2

3

4

6

2

32

1

1y

x


46

5.1.3.2 Conclusões

O domínio da função y sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .

A imagem da função y sen x é o intervalo [1,1], isto é, 1sen x 1.

Toda vez que somamos 2 a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor.

Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sen x é

p 2.

Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o

arco x .

Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a

função seno é periódica de período 2.

sen x sen( x 2 k ), k Z (Inteiros).

5.1.3.3 Seno é função ímpar

No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens

simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o

mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen( x )sen x .

Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que

f é uma função ímpar.

Como sen( x ) sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.

5.1.3.4 Função cosseno

y cos x

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO.

5.1.3.5 Conclusões

O domínio da função y cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .

A imagem da função y cos x é o intervalo [1,1], isto é, 1cos x 1.

O período da função y cos x é p 2.

Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o

arco x .

Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a

função cosseno é periódica de período 2.

cos x cos ( x 2 k ), k Z (Inteiros).

AO O 2

3

4

6

2

32

1

1y

x


47

5.1.3.6 Cosseno é função par

No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens

simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa.

Então, cos ( x ) cos x .

Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que

f é uma função par.

Como cos ( x ) cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.

Exemplos:

1) Construa o gráfico da função y 2 sen x , dando o domínio, a imagem e o período.

x sen x 2 sen x y

0 0 20 0

2

1 21 2

0 20 0

2

3 1 2(1) 2

2 0 20 0

Observando o gráfico, temos:

D R , Im [2,2], e p 2.

2) Construa o gráfico da função y cos2

x, dando o domínio, a imagem e o período.

2

x x cos

2

x y

0 0 1 1

2

0 0

2 1 1

2

3 3 0 0

2 4 1 1

Observando o gráfico, temos:

D R , Im[1,1], e p 4.

5.2 TANGENTE DE UM ARCO


O 2

2

32

1

1

y

x

2

2

O

23 4

1

1y

x


48

A

P

O

N

M

T

eixo das tangentes

ARCO PARA O CONCEITO DE TANGENTE.

Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).

tan AT .

5.2.1 CONSEQÜÊNCIAS

O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes.

Podemos dizer que tan só é definida se R e 2

k ( k Z ).

5.2.2 FUNÇÃO TANGENTE

Função tangente é a função que associa a cada arco xR , com x 2

k ( k Z ), o

número Rxtan , ou xy tan .

5.2.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE

Para estudar a função tangente ( y tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

Gráfico da função tangente.

5.2.4 CONCLUSÕES

O domínio da função y tan x é o conjunto dos números reais x R , com x 2

k ( k Z ),

isto é, D { x R / x 2

k , k Z }.

A imagem da função y tan x é o conjunto dos números reais.

AO O 2

3

4

6

2

32

1

1

y

x

0,58

1,73

1,73

0,58


49

Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função tangente assume o

mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

xy tan é p .

tan ( x k ) tan x , k Z .

5.2.5 TANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR

Como xx tan)tan( , para todo x real, com x 2

k ( k Z ), podemos afirmar que a

função tangente é ímpar.

5.3 COTANGENTE DE UM ARCO


Arco para o conceito de cotangente.

Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).

cot BC .

5.3.1 CONSEQÜÊNCIAS

O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes.

Podemos dizer que cot só é definida se R e k ( k Z ).

5.3.2 FUNÇÃO COTANGENTE

Função cotangente é a função que associa a cada arco x R , com x k ( k Z ), o

número cot x R , ou y cot x .

A

P

O

N

M

Ceixo dascotangentes

B


50

5.3.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE

Para estudar a função cotangente ( y cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE.

5.3.4 CONCLUSÕES

O domínio da função y cot x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ), isto

é, D { x R / x k , k Z }.

A imagem da função y cot x é o conjunto dos números reais.

Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função cotangente assume o mesmo

valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

xy cot é p .

cot ( x k ) cot x , k Z .

5.3.5 COTANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR

Como xx cot)cot( , para todo x real, com x k ( k Z ), podemos afirmar que a

função cotangente é ímpar.

5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO


Arco para o conceito de secante e cossecante.

AO O 2

3

4

6

2

3 2

1

1

y

x

0,58

1,73

1,73

0,58

A

P

O

N

M S

D


51

Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das

abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.

sec OS .

seccos OD .

5.4.1 FUNÇÃO SECANTE E COSSECANTE

Função secante é a função que associa a cada arco x R , com x 2

k ( k Z ), o

número sec x R , ou y sec x

Função cossecante é a função que associa a cada arco x R , com x k ( k Z ), o número

seccos x R , ou y seccos x .

5.4.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE

Para estudar a função secante ( y sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

Gráfico da função secante.

5.4.3 CONCLUSÕES

O domínio da função y sec x é o conjunto dos números reais Rx , com

)(2

Zkkx

, isto é, D { x R / x 2

k , k Z }.

A imagem da função y sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou

menores ou iguais a 1, isto é, Im{ y R / y 1 ou y 1}.

Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função secante assume o

mesmo valor. Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

y sec x é p 2.

sec ( x 2 k ) sec x , k Z .

AO O

2

3

4

6

2

3

2

1

1

y

x

1,151,41

2

1,151,41

2


52

5.4.4 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE

Para estudar a função cossecante ( y seccos x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE.

5.4.5 CONCLUSÕES

O domínio da função y seccos x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ),

isto é, D { x R / x k , k Z }.

A imagem da função y seccos x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou

menores ou iguais a 1, isto é, Im{ y R / y 1 ou y 1}.

Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função cossecante assume o

mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

y seccos x é p 2.

seccos ( x 2 k ) seccos x , k Z .

5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm

muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como

base o ciclo trigonométrico e um ângulo dado.

Funções trigonométricas no ciclo.

Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo :

O 2

3

4

6

2

32

1

1

y

x

1,151,41

2

1,151,41

2

AO

A

P

O

N

M S

D

Ceixo dascotangentesB

T

eixo das tangentes


53

senON ; cos OM ; tan AT ; cot BC ; sec OS e seccos OD .

Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo , podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas:

Funções adaptadas no ciclo.

Com as novas adaptações, temos as seguintes funções:

sen AB ; cos OA ; tanCD ; cot OE ; secOD e seccos OF .

Daí tiram-se três triângulos semelhantes:

OABOCDOEF .

Triângulos semelhantes.

5.5.1 USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

sen2 cos 2

1;

tan 21 sec 2

;

cot 21 seccos 2

.

5.5.2 USANDO SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS

Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os

triângulos:

Razões do triângulo para :

1

sec

cos

1 sec

cos

1;

1

tan

cos

sen tan

cos

sen.

C

B

O

A E

F

D

cos

cot

tansen

sec

cosse

c

1unidade

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

2 1


54


1

seccos

sen

1 seccos

sen

1;

1

cot

sen

cos cot

sen

cos.


1

seccos

tan

sec seccos

tan

sec;

1

cot

tan

1 cot

tan

1.

Exemplos:

Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que

seguem abaixo:

1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .

sen

sec

tan;

cos sec

1.


senseccos

1;

cos

seccos

cot.


sec

cot

seccos;

tancot

1.

5.5.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

A igualdade sen2 cos 2

1 é verdadeira para qualquer pertencente aos domínios das

funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica.

Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou

seja, após uma demonstração.

Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas

acima, que são identidades.

3 1

3 2

1 2

1 3

2 3


55

5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades

Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão

equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma

mesma expressão.

Exemplos:

Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:

1) tan2 sen

2 tan

2 sen

2

Levar do triângulo para :

tan2 sen

2 tan

2 sen

2

2

2

cos

sen sen

2

2

2

cos

sen sen

2

2

4

cos

sen

2

222

cos

cossensen

2

4

cos

sen

2

22

cos

)(sensen

2

4

cos

sen

2

4

cos

sen C.Q.D. (como queríamos demonstrar).

2) (1 cot )2(1 cot )

22 seccos 2

Todas as funções já se encontram no triângulo , basta desenvolver:

(1 cot )2(1 cot )

22 seccos 2

(1 cot )2(1 cot )

22 seccos 2

12 cot cot 212 cot cot 2

2 seccos 2

22 cot 22 seccos 2

2(1cot 2)2 seccos 2

2 seccos 22 seccos 2

C.Q.D.

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

2 1

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

3


56

3) sec2 seccos

2 sec

2 seccos

2

Levar do triângulo para :

sec2 seccos

2 sec

2 seccos

2

sec 2

2

2

tan

sec sec 2

2

2

tan

sec

2

222

tan

sectansec

2

4

tan

sec

2

22

tan

)1(tansec

2

4

tan

sec

2

22

tan

)(secsec

2

4

tan

sec

2

4

tan

sec

2

4

tan

sec C.Q.D.

4)

seccos

sen1

sec

cos

Levar dos triângulos e para :

seccos

sen1

sec

cos

sen

sen

11

cos

1

cos

sen21 cos 2

sen2 sen

2 C.Q.D.

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

3 2

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

3 2 1


57

5)

cossec

seccos

sen cot

3

Levar dos triângulos e para :

cossec

seccos

sencot 3

seccos

cot

cot

seccosseccos

1seccos

cot 3

seccoscot

cotseccos

seccos

1seccos

22

2

cot 3 Obs: seccos 2

1 cot 2

seccos

cot 2

22 cotseccos

seccoscot

cot 3

seccos

seccoscot3

22 cotcot1

1

cot 3

cot 3

01

1

cot 3

cot 3 cot 3

C.Q.D.


1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< /2,

calcular cos x.

2) Para que valores de a temos,

simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a?

3) Dado 3

3cos x , com

x2

, calcule tg x.

4) Simplifique a expressão

g

gtg

cotsec

cot

.

5) Demonstre as seguintes identidades:

a) (1 + cotg2x)(1 – cos

2x) = 1

b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x

c) 2cos1

cos

2cos1

2 xtg

x

x

x

xsen

Respostas:

1) 4

7cos x

2) a = 0 ou a = -1

3) 2tgx

4) sec

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

1 2 3


58

AULA 7

6. LIMITES

6.1 NOÇÃO INTUITIVA:

Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita

(valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor

correspondente de y.

x y = 2x + 1 x y = 2x + 1

1,01 0,6

1,02 0,7

1,03 0,9

1,04 0,95

1,1 0,98

1,2 0,99

Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando

x tende para 1 (x1), y tende para _____ (y_____), ou seja:

3)12(lim 1 xx

De forma geral, escrevemos:

bxfax )(lim

6.1.1 PROPRIEDADES:

1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax

2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax

3. )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

axax

4. *

0 ,)(lim)(lim Nnxfxfn

ax

n

ax

5. *,)(lim)(lim Nnxfxf nax

nax

6. )(lim))((lim xfsenxfsen axax

Exemplos:

1) )3(lim 32

1 xxx


59

2) )cos(lim 3 xxx

3)

10

coslim

20x

xx

4)

22

1 )3(lim xx

5) 1lim 23

2 xxx

6) )3(lim 2

1 xxsenx

7) )432(lim 2

2 xxx

8)

2

4lim

2

2x

xx

9)

9

34lim

2

2

3x

xxx

10)

1

45lim

2

1x

xxx

11)

1

23lim

2

3

1x

xxx

12)

x

xx

33lim 0


60

13) )43(lim 3

1 xxx

14) )(coslim 0 senxxx

15)

4

8lim

2

3

2x

xx

16)

1

1lim 1

h

hh

17)

t

tt

5325lim 0

18)

t

tt

16)4(lim

2

0

19)

1

23lim

2

2

1x

xxx

20)

x

xxx

11lim 0

21)

1

1lim

5

4

1x

xx


61


1) )15(lim 23

1 xxxx

2) )342(lim 23

1 xxxx

3)

)1224(lim 23

2xxx

x

4)

5

45lim

2

2

2x

xxx

5)

2

107lim

2

2x

xxx

6)

3

32lim

2

3x

xxx

7)

12

34lim

5

3

1xx

xxx

8)

6

36lim

2

6x

xx

9)

2

32lim

5

2x

xx

10)

27543610

27188lim

234

234

3xxxx

xxxx

11)

42

2lim 2

x

xx

12)

2

4lim 4

x

xx

13)

x

xx

42lim 0

14)

1

32lim 1

x

xx

15)

11

lim 0x

xx

16)

2

321lim 4

x

xx

17)

1153

2232lim

2

2

2

xx

xxx

Respostas

1) 8

2) 4

3) 526

4) -10

5) -3

6) -4

7) 3

1

8) 12

9) 80

10) 2

11) 0

12) 4

13) 4

14) 4

1

15) 2

16) 3

4

17) 14

5


62

AULA 8

6.2 LIMITES INFINITOS:

Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grande

quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito.

xxlim ou xxlim

6.2.1 IGUALDADES SIMBÓLICAS:

6.2.1.1 Tipo Soma:

a. (3) + ( ) =

b. (+ ) + (+ ) = +

c. - + (- ) = -

d. - = indeterminado

6.2.1.2 Tipo Produto:

a. 5 x ( ) =

b. (-5) x ( ) =

c. (+ )x(+ ) = +

d. (+ )x(- ) = -

e. x 0 = indeterminado

6.2.1.3 Tipo Quociente:

a. 0

c

b.

c

c. 00

d.0

0 e

indeterminado

6.2.1.4 Tipo Potência:

a. c (c>1)

b. 0c (0<c<1)

c. 00

d. 0c

e. )(


63

f. c)( (se c for ímpar)

g. c)( (se c for par)

h. 0)(

i. 0)( c

j. 00 = indeterminado

k. 0)( indeterminado

l. 1 indetermindado

Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de

maior grau.

Exemplos:

1) )13(lim 2 xxx

2)

432

1245lim

2

2

xx

xxxx

3)

3

543lim

2

2

xx

xxx

4) xlim

34

5

6

2

x

x

5)

132

18lim

4

4

xx

xxx

6) )11(lim 22 xxxxx


64


1) )1235(lim 23 xxxx

2) )122(lim 245 xxxx

3) )123(lim 24 xxx

4) )853(lim 24 xxx

5) )235(lim 3 xxx

6) )23(lim 2 xxx

7)

3

132lim

2

23

xx

xxxx

8)

1

12lim

2

2

x

xx

9)

3

3lim

2x

xx

10)

359

1253lim

23

23

xxx

xxxx

11)

784

852lim

5

23

xx

xxx

12)

7

125lim

23

x

xxx

13)

33

2

)1(

1lim

xx

xxx

14)

1

1lim

2

x

xxx

15)

1

1lim

2

x

xxx

16)

1

532lim

4

2

x

xxx

17)

1

532lim

4

2

x

xxx

18) )43(lim 2 xxxx

19) )43(lim 2 xxxx

Respostas:

1) +

2) -

3) -

4) +

5) +

6) -

7) +

8) 2

9) 0

10) 3

1

11) 0

12) +

13) 3

1

14) 1

15) -1

16) 2

17) 2

18) 2

3

19) +


65

AULA 9

6.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS:

1lim 0 x

senxx

Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que:

Usando valores de x 0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próximos.

Exemplos:

1) x

xsenx

3lim 0

2)

20

cos1lim

x

xx

3) xsen

xsenx

2

5lim 0

4)

xsenxsen

senxxsenx

42

5lim 0

x Senx

0,008 0,008

0,006 0,006

0,004 0,004

0,002 0,002

0,001 0,001


66

5)

xsenx

xsenxx

9

23lim 0

6) x

tgxx 0lim

7)

x

xx

cos1lim 0

8) )(

)(lim 0

nxsen

mxsenx


67


1) x

xsenx

2

3lim 0

2) x

senxx

4lim 0

3) x

xtgx

3

2lim 0

4) xsen

xsenx

3

4lim 0

5) xtg

xtgx

5

3lim 0

6)

xsenx

xx

cos1lim 0

7)

20

sec1lim

x

xx

8)

x

senxtgxx 0lim

9)

tgx

xsenxx

1

coslim 0

10)

xsen

senxtgxx 20lim

11)

senxx

senxxx 0lim

12)

xsen

xxx

4

3cos5coslim 0

13)

senx

xsenxsenx

23lim 0

14)

x

senaaxsenx

)(lim 0

15)

203

2cos1lim

x

xx

Respostas:

1) 3/2

2) ¼

3) 2/3

4) 4/3

5) 3/5

6) ½

7) – ½

8) 2

9) -1

10) 0

11) 0

12) 0

13) 1

14) cos a

15) 2/3


68

AULA 10

6.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:

ex

x

x

11lim (1)

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número

irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818

Nota-se que a medida que x ,

x

x

11 e

De forma análoga, efetuando a substituição yx

1 e

yx

1

temos:

ey y

y

1

0 )1(lim (2)

Ainda de forma mais geral, temos:

(3) kly

l

y eky )1(lim 0

(4) kl

lx

x ex

k

1lim

(5) ax

a x

x ln1

lim 0

(6) 11

lim 0

x

e x

x

Exemplos:

1)

x

xx

43

1lim

X

x

x

11

1 2

2 2,25

3 2,3703

10 2,5937

100 2,7048

1000 2,7169

10000 2,7181

100000 2,7182


69

2) x

x x3

0 )21(lim

3)

x

x

x2

13lim 0

4)

xsen

e x

x2

1lim 0

5)

x

xx

25

1lim

6) x

x x2

0 21lim

7)

x

x

x

12lim 0

8)

1

3lim 0 xx

e

xsen

9)

xsen

e x

x4

1lim

3

0

10)

xsen

x

x2

13lim

5

0

11)

26

413loglim 2

x

xx


70


1)

2

4

2

2

3lim x

x

x

2)

1

1

1lim x

x

x e

3)

2

45

4

2

1lim

x

xx

xe

4)

45

23loglim

2

2

31xx

xxx

5)

21

3lnlim 3

x

xx

6)

xx

xxx 2

3

0 loglim

7)

x

xx

21

1lim

8)

311lim

x

xx

9)

21

1lim

x

xx

10)

31

1lim

x

xx

11)

x

xx

41lim

12)

x

xx

32

1lim

13)

x

xx

32

1lim

14) x

x x1

0 )41(lim

15) x

x x2

0 )31(lim

16)

3

1

4lim

x

xx

x

17)

2

3

1lim

2

2x

xx

x

18)

x

xx

x

12

32lim

19)

x

xx

2

)1ln(lim 0

20)

x

xx

3

)21ln(lim 0

Respostas

1) 81

2) e2

3) e-12

4) -1

5) ln4

6) 0

7) e2

8) e1/3

9) e

10) e

11) e4

12) e6

13) e-6

14) e4

15) e-6

16) e-3

17) e4

18) e

19) ½

20) 2/3


71

AULA 11

6.5 LIMITES LATERAIS:

Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para x

tendendo a a, ou seja, queremos calcular:

Limite lateral à direita

?)(lim xfax

Limite lateral à esquerda

Vejamos como proceder em cada caso:

Limite a direita (quando x a+)

Fazemos a seguinte troca de variável:

x = a + h, com h > 0

x a, devemos ter h 0

Exemplo:

)43(lim 2 xx

Limite a esquerda (quando x a-)

Fazemos a seguinte troca de variável:

x = a – h, com h > 0

x a devemos ter h 0

Exemplo:

)43(lim 2 xx

O Limite de uma função existe quando )(lim)(lim xfxf axax

?)(lim xfax


72


1) )13(lim 2

2xx

x

2)

2

43lim

3 x

xx

3)

13

235lim

2

1 x

xxx

4)

23

105lim

2

2

3 xx

xxx

5) )31(lim

3x

x

6)

2lim

2 x

xx

7) )3(lim 2

2xx

x

8) )3(lim 2

2xx

x

9)

2

3lim

2 x

xx

10)

2

3lim

2 x

xx

11)

x

x

1

02lim

12)

x

x

1

02lim

13)

x

x 10

21

4lim

14)

x

x 10

21

4lim

15) Calcule os limites laterais solicitados.

a)

1x se14x

1x se 2

x se x

xf

123

)(

)(lim1

xf x

, )(lim1

xf x

, )(lim1

xfx

b)

2 x se1-x

2x se 0

x se x

xf

21

)(

2

)(lim2

xf x

e )(lim2

xf x

c)

2 x se7-6xx-

2x se 1

x se 1-3x-x

xf

2

22

)(

2

)(lim2

xf x

e )(lim2

xf x

Respostas:

1) 9

2) 1

3) 2

4) 26

5) 1

6)

7) 10

8) 10

9) -

10) +

11) 0

12) +

13) 4

14) 0

15) a) 1 e 5

b) 1 e -3

c) 1 e 1


73

AULA 12

7. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS

7.1 INTRODUÇÃO:

Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas

horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.

Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função,

onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta,

pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função

7.2 ASSÍNTOTA VERTICAL

Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

i. )(lim xf

ax

ii. )(lim xf

ax

iii. )(lim xf

ax

iv. )(lim xf

ax

7.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL

Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

i. bxfx )(lim

ii. bxfx )(lim

Exemplos:

1) Seja a função)1(

2)(

xxf . Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela existirem.


74

2) Considere a função 2)2(

43)(

xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se

ela existirem.

8. FUNÇÕES CONTÍNUAS

8.1 DEFINIÇÃO:

Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições:

i. )(af

ii. )(lim xfax

iii. )()(lim afxfax

Exemplos:

Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:

1) xxxf 352)( em x = 4


75

2) 2

|2|)(

xxf em x = 2

3)

33

32

31

)(

2

xsex

xse

xsex

xf em x = 3


76


Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo, faça um esboço do gráfico da função:

1) 3

5

xy

2) 1

13

x

xy

3) x

y2

4) 2)1(

2

xy

5) 2

31

xy

Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados

6)

31

33

|3|

)(

xse

xsex

x

xf em x = 3

7) 3

9)(

2

x

xxf em x = 3

8) 53)( xxf em x = 2

9)

23

215)(

2

xsex

xsexxxf em x = 2

Respostas

1) x = 3 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assintota horizontal

2) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 3 é a assintota horizontal

3) x = 0 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal

4) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal

5) x = 2 é a equação da assíntota vertical e y = - 1 é a assíntota horizontal

6) a função não é contínua

7) a função é continua

8) a função é contínua

9) a função não é contínua


77

AULA 13

9. DERIVADAS

9.1 INTRODUÇÃO:

O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo

de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à

Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências

naturais como humanas.

O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da

realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução

de problemas cotidianos.

9.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO:

Seja f uma função representada no gráfico abaixo:

Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado

ponto, vamos supor P(x, f(x)).

Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos

encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)).

y

xx

f x( )

y

xx

f x( )


78

Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre

as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de

trigonometria no triângulo retângulo.

Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q.

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

R

Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr

PR

QRtgmm sPQ

h

xfhxfms

)()( (i) inclinação da reta secante

Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta

s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero.

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

RQ3

Q2

Q1

Logo:

h

xfhxfm

mm

xt

sxt

)()(lim

lim

0

0

onde m representa o coeficiente angular da reta tangente.

Esse limite quando existe é chamado Derivada de t


79

9.3 DEFINIÇÃO:

Seja uma função f: D R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x).

Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ R tal que:

x

xfxxfxf x

)()(lim)(' 0

Exemplo:

1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2

2) Seja a função f: R R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f:


80

3) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x3

9.3.1 OUTRAS NOTAÇÕES PARA A FUNÇÃO DERIVADA:

y’ (lê-se: derivada de y)

y’x (lê-se: derivada de y em relação a x)

dx

dy (derivada de y em relação a x)

Df (derivada de f)

9.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA;

A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um

instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressão que nos dá o

espaço (posição) em função do tempo, s=f(t).

Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao

tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um

espaço S em um intervalo de tempo t , a velocidade é dada pelo quociente t

Sv

, que é uma

razão constante.

Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em

tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea.

Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que sua

velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro

constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a

velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos em percorrê-los

é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro

do veículo denominamos velocidade instantânea.


81

Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória

retilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe uma

posição S2.

Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é 12 SSS ou

)()( 12 tftfS e que o tempo gasto para percorrê-lo é 12 ttt .

Logo, sua velocidade média neste percurso é:

12

12

12

12 )()(

tt

tftf

tt

SS

t

SVm

Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero

podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1, dada por:

12

120

)()(limlim

tt

tftf

t

SV t

Mas tttttt 1212 e considerando t1 um instante genérico t, temos ttt 2 ,

logo:

t

tfttfV t

)()(lim 0

que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja:

Se S = f(t) então S’(t) = v

Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= f(t), o

que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante

qualquer, isto é:

Se v = f(t) então v’(t) = a

Onde a é a aceleração instantânea do móvel.


82

9.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO:

Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas.

1) f(x) = c f’(x) = 0

2) f(x) = xn f’(x) = n.x

n-1

3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’

4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’

5) v

uxf )(

2

'')('

v

uvvuxf

6) f(x) = un f’(x) = n.u

n-1.u’

7) f(x) = au f’(x) = a

u.ln a.u’

8) f(x) = eu f’(x) = e

u.u’

9) f(x) = ln u u

uxf

')('

10) f(x) = log a u au

uxf

ln.

')('

11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u

12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u

13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u

14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u

15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u

16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u

17) f(x) = uv f’(x) = v.u

v-1.u’ + u

v.v’.ln u

)'.ln'()(' uu

vuvuxf v

18) f(x) = arc sen u 21

')('

u

uxf

19) f(x) = arc cos u 21

)('u

uxf

20) f(x) = arc tg u 21

')('

u

uxf


83

9.5.1 DERIVADA DE FUNÇÃO ALGÉBRICA:

Exemplos:

1) y = 4x2 – 2x

2) 7

3

5

7 2

x

y

3) 3 2xy

4) 1

2

x

xy

5) )1)(32( 2xxxy

6) 52 )3( xy

7) 21 xy

8) 34

2

xy


84


1) y = 5X4 – 3X

3 + 2X

2 + 3X + 5

2) y = 7x4 -2x

3 + 8x

3) xxx

y 42

5

3

2 23

4) 3

7

xy

5) 5

4

xy

6) xxy 2

7) 44 35 2 xxxy

8) xxy 612 3

9) 53

1

xy

10) 72

53

x

xy

11) 55

322

xx

xy

12) 2

232

2

xx

xxy

13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x

2)

14) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x

2)

15) y = (2x2 – 4x + 8)

8

16) y = (3a- 2bx)6

17) 3 3bxay

18) 3 22 )52( xy

19) xaxay )(

20) 45 xxy

21) 56

52

3

x

xy

22) 42

1

2

xx

xy

23) x

xy

1

1

24) xa

xay

Respostas:

1) y’ = 20x3 – 9x

2 + 4x + 3

2) y’ = 28x3 – 6x

2 + 8

3) y’ = 2x2 + 5x – 4

4) 4

21'

xy

5) 6

20'

xy

6) x

xxy

2

4'

2

7) 3

45 34

4

3

5

2' x

xxy

8) x

xy3

18'

9) 25309

3'

2

xxy

10) 2)72(

31'

xy

11) 22

2

)55(

2562'

xx

xxy

12) 22

2

)2(

42'

xx

xy

13) y’ = 40x4 + 12x

2 + 4x

14) y’ = 30x4 – 12x

3 – 24x

2 + 8x + 2

15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)

7

16) y’ = -12b(3ª-2bx)5

17) 3 23

2

)('

bxa

bxy

18) 3 2523

20'

x

xy

19) xa

xay

2

3'

20) 452

815'

x

xy

21) 32

23

)56(

10456'

x

xxy

22) 32 )42(

3'

xxy

23) )1(1

1'

2 xxy

24) 2)(

'xax

ay


85

AULA 14

9.5.2 DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS:

Exemplos:

1) xy 3

2) xey

3) xxey 22

4) axexy 2

5) 1

1

x

x

e

ey

6) xy 3log

7) )1(log 2 xy a

8) xx

xx

ee

eey


86


1) y = 3x

2) y = e – x

3) 8xey

4) 12 xxey

5) xxy 22

7

6) x

ey

x

7) xxy )1(

8) 13

)1( xxy

9) xy 3ln

10) 3log4 xy

11) 2

2

1ln

x

xy

12) x

xy

1

1ln

13) 229ln xy

14) xx

yln

1

15) xey x ln

16) 22 ln xxy

17) x

xy

ln

Respostas:

1) 3ln3' xy

2) xey '

3) 8

.8' 7 xexy

4) )12.(' 12

xey xx

5) )22.(7ln.7' 22

xy xx

6) 2

)1('

x

xey

x

7) )1ln()1()1(' 1 xxxxy xx

8) )1ln(.3.)1()1)(1(' 213 33

xxxxxy xx

9) x

xy

2ln3'

10) 10ln

12'

xy

11) )1(

2'

2xxy

12) 2)1(

2'

xy

13) 229

2'

x

xy

14) 2)ln(

1ln'

xx

xy

15)

xxey x 1

ln'

16) )1(ln2' 2 xxy

17) 2

ln1'

x

xy


87

AULA 15

9.5.3 DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

Exemplos:

1) y = sen 5x

2) y = 3cos 2x

3) y = tg 3x

4) y = sec 4x

5) y = tg x3

6) y = tg2 x

7) y = cotg(1 – 2x2)

8) y = x2cosx

9) y = sen2x.cosx

10) x

xy

cos

11) x

xy

2arccos


88

AULA15 - EXERCÍCIOS

1) y = cossec 7x

2) y = sen3x + cos2x

3) y = sen5x

4) y = 5sen3x

5) 3 3xtgy

6) 12 xseny

7) xxe

xy

cos

8) xxy )(cos

9) x

senxy

cos

10) 34xsenxey x

11) xy 3sec

12) xesenxxy .2

13) xarcseny 3

14) x

arctgy1

15) )23( xarcseny

16) 22xarctgy

17) )25( 3xarcseny

18) )1(cot 2xgarcy

19) 3sec xarcy

20) )1sec(arccos xy

21) arcsenxxy 2

22) arctgxxy .

23) xy arccosln

Respostas

1) y’ = -7cossec7x.cotg7x

2) y’ = 3cos3x-2sen2x

3) y’ = 5sen4x.cosx

4) y’ = 15sen2x.cosx

5) xsenx

xtgy

3.3cos

3'

3

6) 12

12cos'

x

xy

7) xex

xxsenxxy

2

cos)cos('

8) )cos(ln)(cos' xtgxxxy x

9) xy 2sec'

10) 212)cos(' xxsenxey x

11) xtgxx

y .sec2

3' 3

12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx)

13) 291

3'

xy

14) 1

1'

2

xy

15) 3129

3'

2

xxy

16) 441

4'

x

xy

17) 24204

6'

36

2

xx

xy

18) 4222

2'

xx

xy

19) 1

3'

6

xxy

20) xxx

y2)1(

1'

2

21) 21

12'

xxy

22) 21

'x

xarctgxy

23) 21.arccos

1'

xxy


89

AULA 16

9.6 DERIVADAS SUCESSIVAS

Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A I. Vimos que

a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B A, a esta derivada

de f’ denotamos por f‖ denominamos derivada segunda de f.

Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas.

Exemplo:

1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x

5 – 3x

3

2) Dada a função f(x) = x4 – 2x

3 + 4x

2 – 1, pede-se calcular f‖(-1) e f

(6)(15)

9.7 REGRAS DE L’HOSPITAL

Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 0

0 ou

.

Esse método é dado pelas regras de L’Hospital.

Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos

que g’(x) 0 para todo x a em I.

i). Se 0)(lim)(lim xgxf axax e Lxg

xfax

)('

)('lim então:

Lxg

xf

xg

xfaxax

)('

)('lim

0(

)(lim


90

ii). Se )(lim)(lim xgxf axax e Lxg

xfax

)('

)('lim então:

Lxg

xf

xg

xfaxax

)('

)('lim

)(

)(lim

Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se )('

)('lim

xg

xfax ou

)('

)('lim

xg

xfax .

Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.

Exemplos:

Determinar

1) 1

2lim 0

xx

e

x

2) x

senxx 0lim

3) x

xx

cos1lim 0

4) 4

2lim 4

x

xx

5) 23

6lim

2

2

2

xx

xxx


91


1) 1

1lim

2

1

x

xx

2) 1

23lim

23

3

1

xxx

xxx

3) xx

e

x3

lim

4) 1

lnlim 1

x

xx

5) 20

3lim

x

senxxx

6) 32

1lim

x

ex x

x

7) 3

lim3

3

x

ee x

x

8) senxx

xtgxx

0lim

9) senxx

xee xx

x

2

lim2

0

10) xsen

xx

2

1

1lim

11) x

xsen

x

2

1

lim

12) 30lim

x

senxxx

13) x

ba xx

x

0lim

14)

2

1lim

3

2

x

xsenx

15) 1cos

1lim

2

0

x

e x

x

16) Obter a derivada terceira das seguintes

funções:

a) f(x) = x3 + 2x

2 + 1

b) f(x) = 5x2 – 3x +2

c) 12

1)(

xxf

d) f(x) = 2x-3

e) f(x) = sen3x

f) f(x) = e2x

17) Obter a derivada segunda das seguintes

funções:

a) xa

xy

2

b) y = ex.cosx

Respostas

1) 2

2) 2

3

3) 0

4) 1

5) 0

6) 0

7) e3

8) 2

9) 2

10)

2

11) 0

12) 6

1

13) b

aln

14) 0

15) -2

16) a) 6 b) 0 c) 0

d) -120x-6

e) -27cos3x f) 8e2x

17) a) 3

2

)(

2"

xa

ay

b) y‖ = -2exsenx


92

AULA 17

9.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS

9.8.1 TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS

Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma

terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem

também estarão.

Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos: dt

dx

dx

dy

dt

dy

Exemplos:

1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação

de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm.

2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de variação

de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm.


93

3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base.

Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a

altura do monte é de 4m?

9.8.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS

9.8.2.1 Introdução:

Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado para

medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x

representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x).

Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão,

corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto

químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc.

Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é

decrescente.

y

xa b c d e

M

N

P


94

A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c,

d[ e decrescente de ]d, e[.

Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu

seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c.

Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.

O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passa

de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b,

ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função

assume para valores de x, próximos de b.

Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais

alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo ―local‖.

Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O

ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente

e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos.

Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor

de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b.

Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.

Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então:

i). f(x) é máximo de f em l se f(x) f(c) para todo x em l

ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) f(c) para todo x em l

Definição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f

i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)

para todo x em (a,b)

ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)

para todo x em (a,b)

Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não

existe.

Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em

cada ponto, conforme o gráfico abaixo.

No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta

horizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a

derivada da função no ponto.

Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista, dizemos que x0 é

um ponto crítico da função f.


95

Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma

função ocorrem em pontos críticos da função.

A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x,

mas não é suficiente.

Seja por exemplo a função f(x) = x3. Derivando temos: f’(x) = 3x

2, logo f’(x) = 0 e o ponto

de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função.

Definição 3: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou

f’(c)=0 ou f’(c) não exista.

Exemplo:

Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x2 – 3x + 2

9.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais:

1o) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0, cujas raízes são as

abscissas dos pontos críticos de f.

2o) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de extremo ou

não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.

9.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções:

Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no

intervalo aberto (a, b).

i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b]

ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]


96

9.8.2.4 Teste da Derivada Primeira:

Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito

próximos de x0 tais que a<x0<b, então:

i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a

decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da função.

ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a

crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da função.

Exemplos:

1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se

existirem.

2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x

2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de

inflexão se existirem.


97

9.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda:

Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c,

então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é:

i). Côncavo para cima se f‖(c) > 0

ii). Côncavo para baixo se f‖(c) <0

Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e

f’(c)=0.

i). Se f‖(c) < 0, então f tem máximo local em c

ii). Se f‖(c) > 0, então f tem mínimo local em c

Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua

no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.

Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f‖(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para x

próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é um mínimo local de f.

Se f‖(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f tem

concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f.

Resumindo:

Mínimo Local:

0)("

0)('

0

0

xf

xf

Máximo Local:

0)("

0)('

0

0

xf

xf

Exemplo:

Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x

2 + 9x – 5, se

existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.


98


1) Ao aquecer um disco circular de metal,

seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min.

Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que

taxa esta variando a área de uma face?

2) Um tanque em forma de cone com vértice

para baixo mede 12 m de altura e tem no topo

um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água à taxa

de 4m3/min. Ache a taxa com que o nível da

água sobe:

a) quando a água tem 2 m de

profundidade.

b) quando a água tem 8 m de

profundidade.

3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca

uma série de ondulações concêntricas. Se o

raio r da onda exterior cresce uniformemente

à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a

área de água perturbada está crescendo:

a) quando r = 3m

b) quando r = 6m

4) Determine as abscissas dos pontos críticos

das funções abaixo:

a) s(t) = 2t3 + t

2 – 20t +4

b) f(x) = 4x3 – 5x

2 – 42x + 7

c) g(w) = w4 – 32w

5) Determine os pontos de máximo, de

mínimo e de inflexão das seguintes funções se

existires, UTILIZANDO O TESTE DA

DERIVADA PRIMEIRA.

a) y = 6x3 + 15x

2 – 12x -5

b) 887

4)( 2 xxxf

c) f(x) = - 9x2 + 14x +15

6) Determine as abscissas dos pontos

máximos ou mínimos das seguintes funções,

UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA

SEGUNDA.

a) f(x) = x3 – 12x

2 + 45x +30

b) y = 8x3 – 51x

2 -90x +1

c) y = -x3 – 9x

2 + 81x – 6

7) Imagine que a trajetória de uma pedra

lançada ao ar seja um trecho da parábola dada

por y = 5x2 – 20x (x e y em metros),

determine o ponto máximo da função.

Respostas:

1) min/2

5 2cm

2)

min/4

1)

min/4

)

mb

ma

3) smb

sma

/6,21)

/8,10)

2

2

4)

2)

37

23)

23

5)

wc

exb

eta

5) a) máx x = -2 e min x = 1/3

b) máx x = 7

c) máx x = 7/9

6) a) máx x = 3 e min x = 5

b) máx x = -3/4 e min x = 5

c) máx x = 3 e min x = - 9

7) P(2,- 20)


99

AULA 18

10. INTEGRAIS

10.1 INTRODUÇÃO:

Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de

agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada?

A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou

anti-derivada.

Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se

F’(x) = f(x) para todo x em l

Exemplo:

Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x

4 + x

2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 = f(x).

Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x4 + x

2 + x + 5 também é uma

anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0

Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x

2 + x + c onde x é uma constante

qualquer, será uma integral de f.

10.1.1 NOTAÇÃO:

A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma

função encontrada. O símbolo denota a operação de integral, e escrevemos:

CxFdxxf )()( onde )()(' xfxF

A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a expressão

antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração

Indefinida.

Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas

regras, que veremos a seguir.

10.2 INTEGRAIS IMEDIATAS

cn

xdxx

nn

1

1

1) dxx5

2) 2x

dx


100

3) 3 2x

dx

4) dxxx)1(

5)

dx

xx

2

3

2 1

6)

dxx

xx2

23 )45(

cn

vdvv

nn

1

1

7) dxxx 223 3.)2(

8) xdxxba .222

cvv

dvln

9) )32( x

dx


101

10) 3

2

21 x

dxx

ca

adva

vv

ln cedve vv

11) dxx

e x

2

1

12) dxexx3

13)

dx

ba

baxx

xx 2


102

cvdvtgv cosln. ou cvdvtgv secln.

14) xdxtg2

cgvvvdv )cotsecln(cosseccos

15) xdxseccos

ctgvvdv2sec

16) dxxx 322 sec

ctgvvvdv )ln(secsec

17) x

dxxsec

cxdxtgxx sec..sec

18) dxx

senx2cos


103

cgxxdx cotseccos 2

19) x

dx

cos1

ca

varcsen

va

dv

22

ou ca

v

va

dv

arccos

22

20) 2916 x

dx

ca

varctg

ava

dv

1

22 ou c

a

varc

ava

dv

cot1

22

21) 94 2x

dx

ca

varc

aavv

dv

sec

1

22 ou c

a

v

aavv

dv

secarccos

1

22

22) 94 2xx

dx


104

cva

va

ava

dv

ln

2

1

22

23) 19 2x

dx

c

av

av

aav

dvln

2

122

cavvav

dv)ln( 22

22

24) 743 2 xx

dx


105


1) dx

x

x33

2

)2(

8

2)

dx

xx

x

31

2 )6(

)3(

3) dxxx 42 2

4) dxx

x

)ln2(

5)

dxx

x 2)1(

6) dxee xx .)1( 3

7) dxxxsen .2cos.2 2

8)

dx

tgx

x2

1

sec

9) dx

xcb

ax222

3

10) xx

dx

ln.

11) dxxtg .2

12) 22 )( xe

dx

13) dxx

xsenx

cos

cos

14) dxxsen

gx2

cot

15) dxx 2)14(sec

16) dx

xba

tgxx

sec

.sec

17) dxxsen

x4

3cos

18) dxxtg .4

19) dxxxtg 2)2sec2(

20) dxgxtgx 2)cot(

21) dx

bx

ax44

22) 294 t

dt

23)

24

.cos

sen

d

24) 14xx

dx

25)

dxx

x

2

2

1

arccos

26) dx

x

x6

2

5

27) arctgxx

dx

)1( 2

28) xx ee

dx

29) dx

x

tgxx2sec49

.sec

30) 522 xx

dx

31) 23 2xx

dx

32) 2)12(

3

2 xxx

dx

33)

dx

x

xx

21

arccos

34) dxxx

x

743

322

35) 2627 xx

xdx

36) 21 xx

dx

37)

dx

x

x

94

13

2

38)

dx

xx

x

8129

322

39)

dxxsen

xsen

21

2

40) x

x

e

dxe2

2

2

41) xx

dx

2ln1

42) xxsen

dx22 cos32

43) dxxx 3 23.


106

Respostas:

1) cx

23 )2(3

4

2) 4

)6(3 32

2 xx + c

3) cx

6

)21( 23

2

4) cx

2

)ln2( 2

5) cxx

x 5

2

3

42

25

23

21

6) cex

4

)1( 4

7) cx

6

)2(cos 3

8) ctgx

1

1

9) cxcbc

a

)ln(

2

3 222

2

10) ln(lnx) + c

11) cx )2ln(sec2

1

12) ce x

44

1

13) cxx )ln(sec l

14) cgx

2

)(cot 2

15) cxxtgxxtg )44ln(sec2

14

4

1

16) cxbab

)secln(1

17) csensenx x

33

11

18) cxtgxxtg

3

3

19) cxxxtg 2sec2

20) ctgxgx cot

21) cb

xarctg

b

a

2

2

22

22) ct

t

32

32ln

12

1

23) csen

sen

2

2ln

4

1

24) cxarc 2sec2

1

25) cx

3

arccos3

26) cx

x

3

3

5

5ln

56

1

27) carctgx )ln(

28) carctgex

29) cx

arctg

3

sec2

6

1

30) cx

arctg

2

1

2

1

31) cxarcsen )32(

32)

cx

arc

3

12sec

33) cxx

22

12

arccos

34) cx

xxx

73

33ln

30

13)743ln(

3

1 2

35)

cx

arcsenxx

6

33627 2

36) cxxx )12

1ln( 2

37) cxxx )942ln(2

194

4

3 22

38) cx

arctgxx

2

23

2

1.

9

13)8129ln(

9

1 2

39) cxsen 212

40) ce

arctgx

22

1

41) cx

arcsen 1

ln

42) ctgxarctg

3

2

6

1

43) 34

37

236

1)23(

21

1 xx


107

AULA 19

10.3 INTEGRAIS POR PARTES

duvvudvu ...

1) dxex x.

2) dxxx .ln.2

3) dxxx3 23


108

4) dxxx )1ln( 2

5) xdxsenesenx 2


109

AULA 19 - EXERCICIOS

1) arcsenxdx

2) xdxsen2

3) xdx3sec

4) dxsenxx ..2

5) dxex x ..23

6) dxex x.. 23

7) dxarctgxx ..

8)

321

.

x

xdxarcsenx

9) dxxxtg .sec. 32

10) dxxarctgx 1. 2

11) 2)1(

.ln

x

dxx

12)

dxx

xarcsen

1

Respostas:

1) cxarcsenxx 21.

2) cxsenx

4

2

2

3) ctgxxtgxx )ln(sec2

1.sec

2

1

4) cxxsenxxx cos22cos.2

5) cxex )1(2

1 22

6) cxxxe x

122

3

4..

8

3 232

7) cxxarctgx )1( 2

8) cx

x

x

arcsenx

1

1ln

2

1

1 2

9) ctgxxxtgxxtgx )ln(sec8

1sec

8

1sec

4

1 3

10) cxxarctgx 12

11

2

1 222

11) cx

x

x

x

1ln

)1(

ln

12) cx

arctgxx

xxarcsen

1


110

AULA 20

10.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES

TRIGONOMÉTRICAS

As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do

presente capítulo:

i). 1cos22 xxsen

ii). xxtg 22 sec1

iii). xxg 22 seccoscot1

iv). )2cos1(2

12 xxsen

v). )2cos1(2

1cos 2 xx

vi). xsenxsenx 22

1cos

vii). )()(2

1cos yxsenyxsenysenx

viii). )cos()cos(2

1yxyxsenysenx

ix). )cos()cos(2

1coscos yxyxyx

x). xsenx2

12cos1 2

xi). xx2

1cos2cos1 2

xii).

xsenx

2

1cos11

Exemplos:

1) xdxsen2

2) xdx3cos 2


111

3) xdxsen3

4) xdx6cos

5) xdxxsen 22 cos


112

6) xdxsenxsen 2.3

7) dxxxsen .5cos.3

8) dxxx .2cos.4cos

9) dxx .3cos1 23


113

10) dxxcos1

11) xsen

dx

21

12) dxxtg .4

13) xdxg 2cot 3


114


1) xdx5cos

2) xdxsen4

3) dxxsenx .2.2cos 34

4) xdxxsen 3cos.3 53

5) xdxxsen 44 cos.

6) dxx

xsen

3 4

3

cos

7) xdxtg 5

8) xdx2sec4

9) xdxtgx 34 .sec

10) xdxxtg 2sec.2 33

11) xdxxtg 44 sec.

12) xdxg 3cot 4

Respostas:

1) Cxsenxsensenx 53

5

1

3

2

2) Cxsenxsenx 432

12

4

1

8

3

3) Cxx 2cos10

12cos

14

1 57

4) Cxx 3cos18

13cos

24

1 68

5)

C

xsenxsenx

8

843

128

1

6) Cxx

35

31

cos5

3cos3

7) Cxxtgxtg

secln24

24

8) Cxtgxtg 22

12

6

1 3

9) Cxtgxtg

64

64

ou Cxx

4

sec

6

sec 46

10) Cxx 2sec6

12sec

10

1 35

11) Cxtgxtg

75

75

12) Cxxgxg 3cot3

13cot

9

1 3


115

AULA 21

10.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma

)(

)()(

xq

xpxR , onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia é

desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser

integradas.

É fácil verificar que:

1

1

1

1

1

22

xxx

A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de 1

22 x

.

Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de 1

22 x

.

Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo:

dx

xdx

xdx

x 1

1

1

1

1

22

O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes:

CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1o grau.

Neste caso, a cada fator da forma (ax + b), *a e , b , que aparece no denominador,

corresponde uma fração da forma )( bax

A

.

Exemplos:

)1)(1(

2

)1(

22

xxxxx

)1()1()1(

22

x

C

x

B

x

A

xx

Calcule

dx

xxx

xx

32

913423

2


116

CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1o grau. A

cada fator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n

frações da forma:

n

n

bax

A

bax

A

bax

A

)(...

)( 2

21

Exemplos:

22222 ])1)[(1)(1(

1

)12()1(

1

xxx

x

xxx

x

4222 )1)(1(

1

)12()1(

1

xxxxx

x

4

5

3

4

2

321

222 )1()1()1()1()1()12()1(

1

x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

xxx

x

Calcule

dx

xx

xxx3

23

)2)(1(

429183


117

CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da

forma q(x) = ax2 +bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1

o grau. A

cada fator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma )(xq

BAx

Exemplo:

)1()1()1)(1(

12

22

2

11

22

x

BxA

xx

BxA

xxx

Calcule

dx

xxx

xx

482

2123

2


118

CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da

forma q(x) = ax2 + bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1

o grau. A

cada fator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da

forma n

nn

xq

BxA

xq

BxA

xq

BxA

)]([...

)]([)( 2

2211

Calcule

dx

x

xxx22

23

)1(

3735


119

AULA 21 - EXERCICIOS

1)

dx

xx

x

)4(

125

2)

dx

xxx

x

)3)(2)(1(

1137

3)

dx

x

x2)1(

116

4)

dx

xx

x

82

162

5)

dx

xx

xx

4

81053

2

6)

dx

xx

xx

)5()1(

332522

2

Respostas:

1) Cxx |4|ln2||ln3

2) Cxxx |3|ln|2|ln5|1|ln4

3) Cx

x

1

5|1|ln6

4) Cxx |2|ln3|4|ln2

5) Cxxx |2|ln4|2|ln||ln2

6) Cxx

x

|5|ln31

1|1|ln5


120

AULA 22

10.6 INTEGRAL DEFINIDA:

Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal

que g’(x) = f(x) para todo x [a, b]. Então b

aagbgdxxf )()()( .

A expressão b

adxxf )( é chamada de Integral Definida de f de a até b.

Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a

integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a).

Os valores de a e b são chamados de limites de integração.

Exemplos:

1) Calcule 3

1

2dxx

2) Calcule 3

15dx

3) Calcule 7

0xdx


121

x=1 x=3

10.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA:

Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3.

1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.

Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por:

A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2)

2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas

x = 0 e x = 7.

Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por auA .2

49

2

772

.

Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0

para x [a,b], então b

adxxf )( nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e o eixo

x.

1 3 7 x

y

1

f(x)=x

7

3


122

3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b]

1

3)1( dxx

2)3(

2

3)1(

2

1

2

221

3

2

x

x

A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentada

abaixo:

Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, ..2

223 auA

Assim, vemos que

1

33 )( dxxfA .

Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b é

dada por b

adxxfA )( .

10.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS

1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer,

então:

b

a

b

adxxfkdxxfk )()(.

Exemplo:

Calcule o valor da integral 3

05xdx

1

-1

-

- 2

-

- 3 1

x

y


123

2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é

integrável em [a, b] e:

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

Exemplo:

Calcule o valor da integral

5

3

2 1dx

xx

3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então:

b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

Exemplo:

Calcule o valor da integral 3

2xdx

AULA 22 - Exercícios

Encontre o valor das integrais definidas

abaixo:

1) 2

0

2dxx

2) 2

1

3dxx

3) 4

1

2 )54( dxxx

4) 2

2

3 )1( dxx

5)

1

1

31

34

4 dxxx

6) 4

3)2( dxx

7)

5

1 13x

dx

8) 3

3

6 )3( dttt

9)

4

0 2 9x

xdx

10) 5

04dxx

11) 1

0

3 78 dxx

Respostas:

1) 3

8

2) 4

15

3) 66

4) 4

5) 7

6

6) 2

35

7) 173

22

8) 7

4374

9) 2

10) 3

38

11) 5

3


124

AULA 23

10.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA

10.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA

Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) 0 para todo x em [a,

b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e

as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas:

b

adxxfA )(

Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b.

y

x

a b

Exemplos:

1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.

x x=1 x=2

y

Área = R


125

4

x

y

-2 2

2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2

3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3.

- 10

10

3 -1

A1

A2


126

4) Calcule a área da região definida pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas x = - 4 e x = 2

y

2

4

- 2 -4

12

x

A2

A1


127

a b

g(x)

10.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES:

Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções.

Se f e g são contínuas em f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da região R,

limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o

gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R):

b

a

b

adxxgxdxxfA )()(

ou

b

adxxgxf )]()([

Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x) e as retas

x = a e x = b, como ilustra a figura abaixo:

Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2

Sendo b

adxxfA )(1 e

b

adxxgA )(2

A = A1 – A2

A b

adxxf )(

b

adxxg )(

b

adxxgxfA )]()([

a b

f(x)

g(x)

f(x)

a b


128

Assim verificamos que é válido o teorema a seguir:

Teorema: se f e g são contínuas e f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da

região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é:

b

adxxgxfA )]()([

Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções:

Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a fronteira

inferior.

Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações)

Calcular a integral b

adxxgxfA )]()([

Exemplos:

1) Encontre a área A limitada pela curva f(x) = x2 + 2 e g(x) = 1 no intervalo de [-2, 3]


129

2) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x2 e y = -x

2 + 4x.

AULA 23 – Exercícios

Encontre a área delimitada pelas

curvas e as retas dadas.

1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x

= 1 e x=3.

2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x=

0 e x=4.

3) y = x2 + 1 e y =5

4) y = x2 e y = 4x

5) y = 1 – x2 e y = x – 1

6) y = senx, o eixo x, x = 0 e

radx2

7) y = senx, o eixo x, x = 0 e x =

2 rad

8) y = cosx, o eixo x, x = 0 e x =

2 rad

9) y = x e y = x2 com 0 2 x

10) y = x2 e y = x

Respostas:

1) au.3

22 2) ...

3

128au

3) au.3

32 4) au.

3

32

5) au.2

9 6) 1 u.a.

7) 4 u. a 8) 4 u. a

9) 1 u. a. 10) ..3

1au


130

AULA 24

10.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:

Definição 1: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do

plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução.

Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo y, obtemos um cone de

revolução.

Definição 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido

pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x

= b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então:

b

adxxfV 2)]([

Exemplo:

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva 2xy

e as retas x = 2 e x = 3 em torno do eixo x.

y

x

y

x


131

Definição 3: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e pelos

gráficos de duas funções contínuas f e g, com f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b]. Então o

volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x é dado por:

b

adxxgxfV 22 )()(

Exemplo:

Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada

pela parábola y = x2 + 1 e a reta y = x + 3


1) Seja f(x) = x2 + 1, determine o volume do

sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,

da região do plano limitada por f(x), pelo eixo

x e as retas x = -1 e x = 1.

2) Seja x

xf1

)( , determine o volume do

sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,

da região limitada por f(x), pelo eixo x e as

retas x = 1 e x = 3.

3) Seja f(x) = x2 – 4x, determine o volume

do sólido gerado pela rotação em torno do

eixo x, da região do plano limitada por f(x) e

pelo eixo x.

4) Em cada um dos exercícios abaixo esboce

a região R delimitada pelos gráficos das

equações dadas e determine o volume do

sólido gerado pela rotação de r em torno do

eixo x.

a) y = x2, y = 4 – x

2

b) y = 2x, y = 6, x = 0

c) 2

xy , y = 4, x = 1

Respostas:

1) ..15

56vu

2) ..3

2vu

3) ..15

512vu

4) a) ..3

264vu

b) 72 u.v.

c) ..12

833vu


132

AULA 25

11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

11.1 INTRODUÇÃO

Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada dxdy

de uma função nada mais é do que uma outra função encontrada por uma regra

apropriada. Como por exemplo, a função é diferenciável no intervalo , e a sua

derivada é 2x x3.edx

dy 3 . Se fizermos

3xey teremos:

2x3.ydx

dy

(1)

Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação (1) e perguntasse qual é a função

representada por y? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de

um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função

? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde

dada uma derivada, encontrar uma antiderivada.

Não podemos deixar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a

derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm

significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:

a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades

puramente matemáticas;

a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma

função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza;

a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que

envolve uma grandeza;

o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada

a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo);

se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:

dx

dy

em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a

derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse

quociente. Isto significa que a partir da relação:

)x(fdx

dy

é possível escrever:

dx)x(fdy

que se denomina equação diferencial.


133

uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção

da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.

11.2 Definição

Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou

diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial.

Exemplo 1:

1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0y2dx

dy3

dx

yd

2

2

4) xyyy cos')"(2'" 2

5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x

6) y3x5dt

dy

dt

dx

7) yxy

z

x

z 2

2

2

2

2

8)y

zxz

x

z

11.3 CLASSIFICAÇÃO

11.3.1 TIPO:

Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis

dependentes em relação a uma única variável independente, como em (1) a (6), as derivadas são

ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter

mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6)

Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de

duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação

diferencial parcial (EDP).

11.3.2 ORDEM:

A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As

equações (1), (2) e (6) são de primeira ordem; (3), (5) e (7) são de segunda ordem e (4) é de terceira

ordem.


134

11.3.3 GRAU:

O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como

um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos

exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau.

As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante.

Exemplo 2:

1

3dx

y3d

y

3dx

y3dx

3dx

y3dy

2

3dx

y3dx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy.

2x

1 ye2x

dx

dy 1

a ordem e 1

o grau

Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato

quanto a ordem e grau.

11.3.4 LINEARIDADE:

Dizemos que uma equação diferencial ordinária

)()()()()(011

1

1xgyxa

dx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições:

1) A variável dependente y e todas as suas derivadas y', y", ... yn são do primeiro grau, ou

seja, a potência de cada termo envolvendo y é um.

2) Os coeficientes a0, a1, ... an de y, y', ... yn dependem quando muito da variável

independente x.

Exemplo 3:

1) 08)( xdydxxy

2) 0ydx

dy7

dx

yd

2

2

3) xydx

dyx

dx

yd245

3

3

São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e

terceira ordem.


135

11.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:

Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como

Cxxy 4 ou BxAxy 2

, é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre

aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um

número menos de constantes.

Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma

equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se

as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações

provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva.

Exemplo 4:

Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo:

a) Cxx

y 2

3 2

b) y = C1 sen x + C2 cos x

c) y = Cx2


136

d) y = C1 x2 + C2

e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes

f) y = C1 e3x

+ C2 e- 2x


137


1) Sendo dadas as curvas seguintes,

determinar para cada uma delas a equação

diferencial de menor ordem possível que

não contenha nenhuma constante

arbitrária.

a) x2 + y

2 = C

2

b) y = C ex

c) x3 = C (x

2 – y

2)

d) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x

e) y = (C1 + C2x) ex + C3

f) y = C1 e2x

+ C2 e- x

g) ayy

x1ln

h) x2y

3 + x

3y

5 = C

i) y = Ax2 + Bx + C

j) y = Ae2x

+ Bex + C

k) y = C1e3x

+ C2e2x

+ C3 ex

l) ln y = Ax2 + B

2) Obter a equação diferencial da família de

círculos de raio 10, cujos centros estejam

sobre o eixo y.

Respostas:

a) 0ydyxdx

b) 0ydx

dy

c) dx

dyxy2xy3 22

d) 042

2

ydx

yd

e) 0dx

dy

dx

yd2

dx

yd

2

2

3

3

f) 0y2dx

dy

dx

yd

2

2

g) 0ln ydx

dy

y

xx

h) 0dx

dyx5y3xy

dx

dyx3y2 2

i) 0dx

yd

3

3

j) 0dx

dy2

dx

yd3

dx

yd

2

2

3

3

k) 0y6dx

dy11

dx

yd6

dx

yd

2

2

3

3

l) 2" ' ( ') 0xyy yy x y

2) 2

22

x100

x

dx

dy


138

AULA 26

11.5 RESOLUÇÃO

Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a

equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa

identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira,

que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além

de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e

consiste na aplicação dos métodos de integração.

11.5.1 CURVAS INTEGRAIS:

Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução

particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da

equação diferencial.

Exemplo 5:

xdx

dy2

11.5.2 SOLUÇÃO:

É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As

soluções podem ser:

Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de

uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades

de ordem da equação.

Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante

inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os

valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos.

Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A

solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais

não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante.

As soluções ainda podem ser:

Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy é

chamada solução explícita.

Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma 0)y,x(G

trata-se de uma solução implícita.


139

Exemplo 6:

Consideremos a resolução da seguinte EDO: x1dx

dy

c23

x3

2xy

dxx1dy

A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita.

Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:

2

2

xxy

y

dx

dy

tem como solução: x

y

Cey , ou seja, uma solução implícita.

Exemplo 7:

Verifique que 16

xy

4

é uma solução para a equação 21

xydx

dy no intervalo ),( .

Resolução:

Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação

diferencial como 0xydx

dy 21

e verificar, após a substituição, se a diferença acima 21

xydx

dy é

zero paratodo x no intervalo.

4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33

Substituindo na E.D., temos

04

x

4

x0

4

x.x

4

x0

16

xx

4

x 332321

43

Esta condição se verifica para todo Rx

11.5.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

Seja a equação diferencial de primeira ordem )y,x(fdx

dy sujeita a condição inicial

00 y)x(y , em que 0x é um número no intervalo I e 0y é um número real arbitrário, é chamado de

problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação

diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo)

determinado a priori.


140

Exemplo 8:

Seja xe.cy a família a um parâmetro de soluções para y'=y no intervalo ),( . Se

especificarmos que y(0) = 3, então substituindo x = 0 e y = 3 na família, temos:

x0 e.3ye3ce.c3

Se especificarmos que y(1) = 3, então temos:

1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3

Será que a equação diferencial )y,x(fdx

dy possui uma solução cujo gráfico passa pelo

pelo ponto (xo, yo)? Ainda, se esta solução existir, é única?

Exemplo 9:

As funções y = 0 e 16

xy

4

são soluções para o problema de valor inicial

0)0(y

xydx

dy 21

Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma,

deseja-se saber se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema.

11.5.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO

Seja R uma região retangular no plano xy definida por bxa , dyc , que contém o

ponto )y,x( 00 em seu interior. Se )y,x(f e dy

df são contínuas em r, então existe um intervalo I,

centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial

)y,x(fdx

dy , sujeito a 00 y)x(y .

Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.

1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?

2. Se tiver solução, será que esta solução é única?

3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?

Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução

que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas

características.


141

Teorema: Considere o problema de valor inicia

00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy

Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema de

valor inicial tem uma única solução nesse intervalo.

Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo ―similar‖ ao

cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o

caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais

possuam soluções.

11.6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS

As equações diferenciais da forma

yfdx

dy (2)

são chamadas de autônomas.

Utilizando a manipulação formal introduzida por Liebnitz (1646-1716), podemos escrever a

equação (2) na forma:

)(

1

yfdx

dy (3)

Cuja resolução é:

y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)

Para justificar a equação (4) necessitamos que )(

1

yf seja bem definida no intervalo de

interesse A, onde 0)( yf e que seja contínua neste intervalo A. Pois, como 0)(

1

yfdy

dx em

A , o Teorema da Função Inversa garante que existe uma função inversa da função )(yx , isto é,

)(xFy tal que )(yfdx

dF em A , o que justifica o procedimento formal.

Portanto, a solução do problema de condição inicial

00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)

é obtida pela solução do problema

00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)

e com a inversão da função )(yx .


142

As equações autônomas aparcem na formulação de uma grande quantidade de modelos.

Sempre que uma lei de formação afrma que: “a taxa de variação de uma quantidade y(t) é

proporcional a esta mesma quantidade”, temos uma equação autônoma da forma

kydx

dy (7)

Como, kyyf )( , então 0*)( yf se 0*y . Devemos procurar soluções separadamente

nos dois intervalos 0 y e y0 .

Considerando inicialmente o problema de Cauchy

0)(00

yxy

kydx

dy

(8)

E seu problema inverso

00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)

Cuja solução inversa é dada por

y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja,

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R.

Exemplo 10:

Considere a equação autônoma

akydx

dy

sua solução geral, para k

ay , é obtida considerando-se sua forma diferencial

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1


143

Portanto,

k

ayea

kyeaky CxkCxk ,

1 )()(

Neste caso, k

ay e a solução de equilíbrio.

11.7 EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU

São equações de 1a ordem e 1

o grau:

),( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx

em que M = M(x,y) e N = N(x,y).

Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞)

11.7.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

A equação diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM será de variáveis separáveis se:

M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP , a

equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

11.7.1.1 Resolução:

Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos

separar as variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma

função exclusivamente da variável y, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma:

CdyyQdxxP ).().(

Exemplos:

Resolver as seguintes equações:

1) 13 xdx

dy


144

2) y dx – x dy = 0

3) 04

dyy

xxdx

4) 0secsec. xdytgyydxtgx

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6)xyx

y

dx

dy

)1(

12

2


145

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy

8) Resolva o problema de valor inicial

1)0(y,4ydx

dy 2


146


1) Verifique quexxey é uma solução para

a equação 0y'y2"y no

intervalo ),( .

2) Verificar que para qualquer valor de c1 a

função 1x

cy é uma solução da

equação diferencial de 1a ordem

1ydx

dyx no intervalo ),0( .

3) Verificar que xey ,

xey ,x

1eCy

,x

2eCy ex

2x

1 eCeCy são

todas soluções da equação diferencial

0y"y .

Resolver as seguintes equações diferenciais.

4) 0dx

dy.tgy

x

1

5) 4xy2 dx + (x

2 + 1) dy = 0

6) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0

7) xy dx – (1 + x2) dy = 0

8) 42

2

x

e

dx

dy y

9) (1 + x2) y

3 dx + (1 – y

2) x

3 dy = 0

10) dx

dyxyy

dx

dyxa

2

11) sec2 x tg y dx + sec

2 y tg x dy = 0

12) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 – a

2)(y

2 – b

2)dy

= 0

13) (x – 1) dy – y dx = 0

14) (1 + x2)dy – xydx = 0

15) 0cos xydx

dy

16) xcosy3dx

dy

17) 0dye)2y(dxxyx324

Respostas:

1) Esta condição se verifica para todo

número real.

2) Variando o parâmetro C, podemos gera

uma infinidade de soluções. Em

particular, fazendo c = 0, obtemos uma

solução constante y = 1. Logo a função

1x

cy é uma solução em qualquer

intervalo que não contenha a origem.

3) Note que x

1eCy é uma solução para

qualquer escolha de c1, mas

0C,Cey 11x não satisfaz a

equação, pois, para esta família de função

temos y" - y = - C1

4) x cos y = C

5) Cy

1)1xln(2 2

6) (2 + y)(3 – x) = C

7) C y2 = 1 + x

2

8) C2

xarctge y2

9) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

10) y

y

k

a a

ex

ln

2

11) tg x . tg y = C

12) Cb

yarctg.b2y

ax

axlnax

13) y = c(x – 1)

14) C.x1y 2

15) senxe

Ky

16) senx3Cey

17) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3


147

AULA 27

11.8 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS

11.8.1 FUNÇÃO HOMOGÊNEA

Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t R, vale

a relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t

R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y)

Exemplos:

1) A função f(x, y) = x2 + y

2 é homogênea de grau 2,

pois )y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222

2) 4y

x)y,x(g

2

2

é homogênea de grau zero pois,

)y,x(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()ty,tx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(x,y) = 2x3 + 5xy

2 é homogênea de grau três pois,

)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323

Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, note que podemos escrever

x

y,1fx)y,x(f n e

1,

y

xfy)y,x(f n

são ambas homogêneas de grau n.

Exemplo:

Seja 22 yxy3x)y,x(f homogênea de grau 2. Logo,

x

y,1fx

x

y

x

y.31x

x

y

x

y31x)y,x(f 2

22

2

22

1,

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)y,x(f 2

22

2

22

11.8.2 EQUAÇÃO HOMOGÊNAS

A equação 0dy)y,x(Ndx)y,x(M será chamada de equação diferencial

homogênea se M e N forem funções homogêneas de mesmo grau.

Exemplos:

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

'y

xy

3)

x

yarctgy'


148

11.8.2.1 Resolução:

Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0

Tem-se:

N

M

dx

dy

Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a

potencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x.

x

yF

dx

dy (1)

É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as

variáveis.

Dessa forma, substitui-se x

y por u.

xuy . (2)

Derivando y=x.u em relação ax tem-se

dx

duxu

dx

dy

(3)

Substituindo (2) e (3) em (1), temos:

x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(

Que é uma equação de variáveis separáveis.

Em resumo:

Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma

equação de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função

incógnita. Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x, y) pode ser transformada

em uma equação separável.


149

Exemplo:

(x2 – y

2) dx – 2xy dy = 0


Resolva as seguintes equações:

1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0

2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0

3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0

5) (x2 + y

2) dx – xy dy = 0

6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy

7) Determine a solução de (x2 – 3y

2)dx +

2xydy = 0 sujeita a condição inicial

1)2(y .

8) Determine a solução de

0xydy6dx)y3x2( 22 sujeita a

condição inicial 3

1)1(y

Respostas:

1) y2 + 2xy – x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

22

1

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


150

AULA 28

11.9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS

Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata,

se existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e

suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que:

x

N

y

M

Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução,

cuja diferencial dada por:

dyy

udx

x

udu

(2)

Então, comparando (1) e (2) teremos:

),( yxMx

u

(3)

e

),( yxNy

u

(4)

Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão

(3), em relação à variável x, da qual teremos

)(),(),( ygdxyxMyxf

(5)

Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos:

)('),(

ygy

dxyxM

y

f

(6)

Igualando (6) e (4) resulta:

),()('),(

yxNygy

dxyxM

.

Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos:

1

),(),()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)

Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é:

Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

),(

),(),(),(

Logo, a solução é da forma

Cdy

y

PNMdxyxU ),(

onde costuma-se denotar MdxP


151

Exemplos:

1) (x2 – y

2)dx – 2xy dy = 0

2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0


152

11.9.1 FATOR INTEGRANTE

Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: x

N

y

M

.

Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao

multiplicar toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0,

e esta é uma ED exata.

Se ela é exata, existe u(x,y) = cte e MFdx

u.

e NF

dy

u.

e

FNx

FMyx

N

y

M

yx

u

2

Tomando a condição de exatidão FNdx

FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F

e achar F por aqui é loucura!!!!!!!

Vamos supor então que F(x,y) = F(x)

x

NFN

x

F

y

MF

dividindo tudo por FN 0 e organizando,

temos:

x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo: dxx

N

y

M

NdF

F

11

integrando: CdxxRF )(ln

dxxR

exF)(

.)(

onde:

x

N

y

M

NxR

1)(

analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos:

dyyR

eyF)(

.)(

onde:

x

N

y

M

MxR

1)(


153

Em resumo:

Quando a expressão Mdx + Ndynão é diferencial exata, isto é, x

N

y

M

, mostra-se

que há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF é uma diferencial exata.

A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante.

F(x): F(y):

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos:

Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator

integrante.

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


154

AULA 28- Exercícios

1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y – 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0

4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy

5) 0)( 22 drrdre

6) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

7) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy

8) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0

9) seny dx + cos y dy = 0

10) Encontre a solução particular de

dxyxxydy )(2 22 para 2)1( y

11) 02)( 2 xdydxxy

12) 0ln)( xdyxdxyx

Respostas:

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22

6) Kyxx 22

7) x2 cos y + x

4 = C

8) Ctgyex 2

9) Ceseny x .

10) xxy 32

11) k5

x2xy2

25

12) kxyx ln


155

AULA 29

11.10 EQUAÇÕES LINEARES:

Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1

o grau tem a forma:

)()( xQyxPdx

dy

(1)

Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x) 0, a equação é

dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais

desse tipo a saber:

11.10.1 FATOR INTEGRANTE:

Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial

exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de

nosso problema:

QPydx

dy

Vamos reescrever esta última sob a forma

0)( dydxQPy

Multiplicando ambos os membrospor Pdx

e (fator integrante) obtemos a expressão

0 dyedxQPyePdxPdx

. Aqui, identificamos as funções ―M‖ e ―N‖:

QPyeMPdx

e

Pdx

eN

Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos:

Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N

confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.


156

Exemplo1: Resolver a equação 2 xx

y

dx

dy por fator integrante:


157

11.10.2 SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE:

Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemático francês: 1736-1813)

criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O

método consiste na substituição de ―y‖ por ―Z.t‖ na equação (1), onde t = (x) e Z= )(x , sendo Z

a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t.

Derivando em relação a x, tem-se:

dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)

Substituindo (2) em (1) vamos obter:

QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)

Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber:

i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy (4)

ii) Q = 0, então 0 Pydx

dy (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de

variáveis separáveis. Daí, 0 Pdxy

dy. Integrando essa última, resulta em PdxCyln .

Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução PdxCPdxC

eeey . Fazendo

Cek , temos Pdx

key (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta.

Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para ―t‖ e ―Z‖, uma vez que y=Z.t, teremos a

solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os

coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação,

possibilitando a determinação de Z uma vez que ―t‖ pode ser determinado a partir desta condição.

Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0 Ptdx

dt (6), que é da

mesma forma já estudada no caso ii. Assim, Pdx

ket . Substituindo este resultado em Qdx

dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

. Daí, Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx

1. Integrando este último

1(Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e

dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais

http://pt.wikipedia.org/wiki/Turim

http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_janeiro

http://pt.wikipedia.org/wiki/1736

http://pt.wikipedia.org/wiki/Paris

http://pt.wikipedia.org/wiki/10_de_abril

http://pt.wikipedia.org/wiki/1813


158

resultado, temos CQdxek

ZPdx

1

(7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo ―t‖ e

―Z‖:

CQdxek

keyPdxPdx 1

, onde resulta, finalmente em:

Cdx.Q.eeyPdxPdx

(8)

que é a solução geral da equação (1)

Exempo 2: Resolver a equação 2 xx

y

dx

dy por Lagrange


159


1) 0cot

x

gx

x

y

dx

dy

2) arctgxydx

dyx )1( 2

3) xytgxdx

dycos.

4) xx

y

dx

dy

5) 3x

x

y2

dx

dy

6) senxytgxdx

dy

7) Achar a solução particular para 0)0(y em xcos

1tgx.y

dx

dy

8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(y,xxy2dx

dy

Respostas:

1) Csenxx

y )ln(1

2) arctgxeCarctgxy .1

3) xCxsenxy sec24

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xsenxy

2sec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


160

AULA 30

11.11 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A

LINEARES:

Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existemalgumas delas que

mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de

tais equações são:

11.11.1 EQUAÇÕES DE BERNOULLI:

Equação da forma:

nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)

para 1n e 0n , onde P(x) e Q(x) são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli2.

Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma

EDO linear.

Pois, se:

n = 0 y’ + P(x)y = g(x) caso anterior

n = 1 y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 caso anterior e homogênea

Solução:

Transformação de variável:

Substitui por ty n 1

Deriva-se em relação a x:

dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)

Substituindo (1), que é:

nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos:

dx

dtPyQyyn nn )1(

2Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o

primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.


161

dx

dtPyQn n 11

como ty n 1, temos:

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(

Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior.

Exemplo:

232

xyx

y

dx

dy


162


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas:

1) 2

.1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

).ln(

1

3) 1.2 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln.2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


163

AULA 31

11.11.2 EQUAÇÃO DE RICATTI

A equação de Jacopo Francesco Riccati3é da forma:

)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)

onde P, Q e R designam funções de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equação linear e,

quando R(x) = 0 temos a equação de Bernoulli. Joseph Liouville4 mostrou que a solução da

equação de Riccati só é possível quando se conhece uma solução particular y0. Caso contrário, ela

só é integrável através de uma função transcendente5.

Resolução:

Conhecendo-se uma solução particular 0y da equação (1), pode-se resolver facilmente a

equação fazendo a seguinte mudança de variável:

zyy 0 (2)

onde 0y e z dependem de x .

Como 0y é solução, temos:

RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)

Por outro lado, derivando (2) tem-se:

dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)

Substituindo (2) e (4) na equação (1) :

RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0

Desenvolvendo e agrupando os termos:

RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)

3(Veneza, 28 de Maio de 1676 - Treviso, 15 de Abril de 1754) foi um matemático e físico italiano que efetuou trabalhos sobre hidráulica

que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele próprio ajudou a projetar os diques ao longo de vários canais. Considerou diversas classes

de equações diferenciais mas é conhecido principalmente pela Equação de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluções em alguns

casos especiais. 4(Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de Março de 1809 - Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemático francês. 5Uma função é chamada de transcendente quando não é algébrica (pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes

ou raízes de funções polinomiais). As funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções transcedentes.


164

Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em:

2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)

que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida.

Em resumo:

Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = y0 qualquer de

(1), na qual a mudança de variáveis y = z + y0, irá eliminar o termo independente R(x)

transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli.

Exemplo:

Mostrar que xy é solução particular da equação 0121 223 yxxydx

dyx

e

procurar a solução geral.


165


1) Verificar se y = x é solução particular da equação 32

2

x

y

x

y

dx

dy. Em caso

afirmativo, calcular a solução geral

2) Mostrar que x

y1

é solução particular da equação 2

2 2

xy

dx

dy e calcular a sua

solução geral.

3) Sabendo que y = 1 é solução particular da equação 1)12( 2 xxyyxdx

dy

calcular a sua solução geral.

4) Calcular a solução da equação 11

121 2

xy

xy

xdx

dy sabendo que y = x é

solução particular.

5) Dar a solução geral da equação 0232 yydx

dy sabendo que y = - 1 é solução

particular.

Respostas:

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


166

REFERÊNCIAS

ABUNAHMAN,SERGIO A. Equações Diferenciais: LTC, 1994.

BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C., Equações diferenciais elementares e problemas de valores

de contorno. LTC, 1989.

BRONSON, R.; COSTA, G. Equações Diferenciais. 3a ed. Coleção Schaum, 2008.

COELHO, F.U. Curso Básico de Cálculo. Editora Saraiva, 2005.

GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI JR, J.R. Mátematica Fundamental, Uma

Nova Abordagem. Volume Único. Editora FTD, 2001

GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. Vol1 e Vol 2. 5a ed. Editora LTC, 2001.

MEDEIROS, V.Z.M; CALDEIRA, A.M; SILVA, L.M.O; MACHADO, M.A.S. Pré-Cálculo.

Editora Thomson, 2006

ZILL, D.G.; GULLEN, M.R..Equações Diferenciais. Vol 1 e Vol 2. Pearson, 2006

cÁlculo diferencial e integral - páginas...

Documents