matemática - resumos vestibular - inequações do 2 º grau

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Inequaes do 2 Grau

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1. NMEROS REAIS

1.1. Transformao de fraes em nmeros decimais.

1.4

5Resp.: 0,8

2.1

20Resp.: 0,05

3.8

3Resp.: 2,6667

4.15

35Resp.: 0,4286

5.140

154Resp.: 0,9091

6.29

145Resp.: 0,2

1.2. Transformao de nmeros decimais em fraes.

Para a determinao das geratrizes das dzimas peridicas temos as seguintes regras:

REGRA 1 A geratriz de uma dzima peridica simples (de prte inteira nula) uma frao que tem para o numerador o perodo e para o denominador um nmero formadopor tantos noves quanto forem os algarismos do perodo.

Esquematicamente, DSP =

. .

9...9

. .

P P

p p

Exemplo: 0,525252.... =52

99

REGRA2 A geratriz de uma dzima peridica composta (de parte inteira nula) uma frao que tem para o numerador a diferena entre o nmero formado pela parte noperidica acompanhada de um perodo e a parte no peridica; e, para denominador, umnmero formado de tantos noves quantos forem os algarismos do perodo, seguidos detantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridica.

Esquematicamente, temos:

( . . .)( . .) ( . . .)

(9...)(0...)

( . ) ( . . .)

p n p p p p n p

p p p n p

p.n.p. = parte no peridicap.p. = parte peridica


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Exemplo: 0,32444...... =324 32 292 73

900 900 225

= =

Escrever na forma fracionria os seguintes nmeros:

1. 0,75 Resp.:3

4

2. 0,0432 Resp.:27

625

3. 3,292 Resp.:823

250

4. 0,555.... Resp.:5

9

5. 0,666.... Resp.:2

3

6. 2,333.... Resp.:7

3

7. 12,777.... Resp.:115

9

8. 0,43181818.... Resp.:19

44

9. 0,5241241241.... Resp.:2618

4995

10. 4,59222.... Resp.:4133

900

11. 17,34434343.... Resp.:171709

9900

Obs.: As dzimas peridicas de perodo 9 no tem geratrizes no sentido anterior. Neste casoprocedemos, por definio, como nos exemplos seguintes:

0,999.... 1

644 1616,43999....

100 25

=

= =

1.3. Clculo do valor de expresses numricas.

1.4

(3 0,4) 3,21

5

+ Resp.:49

; 0,49

100

2.4

0,22(11 0,3)7

+ Resp.:10239

;2,933500

3.4 7 1 4 1

3 5 2 9 5

+ +

Resp.:221

;2,4690

4.43 1 17 2

11 10 8 5

+ +

Resp.:30429

;6,924400


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5.

4 1 2 5 13 3

7 2 5 8 41 0,17 525 (1 3)4

+

++ +Resp.:

541816; 0,232358125

6.

4 1 1 3(9 1) 8

9 2 9 2

2 3 4 181 1

5 4 5 7

+

+ +

Resp.:124600

; 1, 7969417

1.4. Clculo de porcentagem.

Calcular (com quatro casas decimais quando no exatos) os valores de:

1. 10% de 29 + 4,2% de 17 Resp.: 3,614

2. 5,3% de 18,45 3,4% de 2,7 Resp.: 0,8861

3. 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 Resp.: 4,248

4. 4% de 1439,25 + 3,6% de 17,432 Resp.: 685,122

1.5. Potenciao

1.5.1. Potncia de expoente inteiro

Seja a um nmero real e m e n inteiros positivos. Ento:

1. ...na a a a= (n vezes)

2. 0 1a =

3. 1a a=

4.1

, 0nn

a aa

=


4/26

Calcular o valor das expresses

1.5

2

Resp.:1

32

2. ( )( )43

1 Resp.:1

3. 3 41

5 24

+ Resp.: 125,1875

4. 3 52 ( 4) + Resp.:127

1024

5. 2 1(0,333....) (2,181818....)+ Resp.:41

72

6.2

13 1 14 ( 4 1) 15 8 6

+ +

Resp.:7049

3600

7. 3 15 1

(1 3) (8 1)3 7

+ Resp.:1963

147

8.

21

2

1 1 4( 1 5)3

12

2 0,4 13

+ +

Resp.:63

88

1.5.2. Potncia de expoente racional

1. Dados a > 0 e n >0 inteiro, existe um s nmero real b > 0 tal que nb a= . Estenmero b ser indicado por n a ou por

1na e tem o nome de raiz n-sima de a.

Quando n=2 escrevemos simplesmente a em lugar de 2 a .

Exemplos: 3 8 2= ; 16 4= ; 5 32 =2

2. Dados a < 0 e n > 0 inteiro impar existe um s nmero inteiro b < 0 tal quenb a= .

Exemplos: 3 8 2 = ; 5 32 2 =


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3. A equao nx a= com 0n > inteiro, tem:a. uma s soluo 0x = se 0a = ;b. uma soluo de mesmo sinal que a se n mpar;c. duas solues simtricas, n a se n par e 0a > .

Se 0a < e n par, a equao no tem soluo real.

Exemplos: 2 0 0x x= = 3 8 2x x= = 3 8 2x x= = 2 4 4 2x x= = = 4 1x = no tem soluo real

4. Definio. Se a um nmero real qualquer e m e n so inteiros positivos,definimos:

a. ( )m m

nna a= quando n a existe;

b. se 0a ,1mn

m

n

a

a

=

Calcular:

1. 3 125 Resp.: -5

2. 0,04 Resp.: 0,2

3. ( )23343

Resp.:

1

49

4.5

32

1

4 2 729

Resp.:1

50

5.4

4 110000

3 1682,81 1

+

+Resp.:

4015

303

6.3

136

9 8 +

Resp.:

29

5


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2. VALOR NUMRICO DE EXPRESSES ALGBRICAS

Em cada uma das expresses seguintes, substituirx pelo valor dado e calcular,quando possvel, o valor da correspondente expresso numrica.

1. 3 2 1; y x x= + x = -1 Resp.:y = 2

2. 3 2 24 1

(1 ) ( 1) ;3 2

y x x= + x = 1 Resp.:45

16y =

3.34 2 1

;3 2

x xy

x

+=

x = -2 Resp.:y =

27

8

4.23

5

1 3 1 39 ;

2 2

x xy

x x

=

x = -1 Resp.:y =

484

3

5.

1 2

3 2;4 3

x xyx

+= +

x =

1

2Resp.:

4

5

6.3 3(4 ) 4

;4

xy

x

+ =

x = -2 Resp.:

28

3

7.0,61

;0,1

x xy

+ = x = 9 Resp.: 1y =

8.3

;1

x xy

x

=

+x = 0 Resp.:y = 0

3. OPERAES COM EXPRESSES ALGBRICAS

3.1 Adio, subtrao, multiplicao e diviso de expresses literais

Efetuar as operaes indicadas em cada um dos casos seguintes:

1. ( ) ( )4 3 4 3 2b c a a b c+ + Resp.: 3a b c+ +

2. ( ) ( )2 23 1 3 5 3 xy x x xy + + + Resp.: 22 2 4 xy x + +

3. ( ) ( )3 32 1 4 5 2 xy xy xy xy + + + Resp.: 3 6 4 xy xy


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4. ( )2 2 23 2

2 1 2 1

5 5

x y zh zh x y x y + + + +

Resp.: 0

5. ( ) ( )2 24 7a b ab Resp.: 3 328a b

6. ( )( )2 4 1 x y x+ + + Resp.: 2 2 25 4 x xy x y+ + + +

7. ( ) ( )2 23 4 x y xy xy Resp.: 3 2 2 34 12x y x y

8. ( ) ( )x y z x y z+ + + Resp.: 2 2 22 x zx y z + +

9. 2 4 4 23 5a b a b Resp.:2

2

3

5

b

a

10. ( ) ( )2 3 4 25 4 3 2 x y x y xy xy+ Resp.:2

35 322 2

xyx y+

11. ( ) ( )2 2 1 4n n na b a+ + Resp.:3 2 1

4 4

n n na b a+ +

12. ( )24 2 16 xy xy Resp.: 114

xyxy

+

13. ( ) ( )3 5 4 3 5 2 212 16 20 4x y x y x y x y + Resp.: 4 2 2 33 4 5 xy x y x y +

3.2 Produtos notveis.

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

2 2

2

2

3 3

3 3

( )( )

a b a ab b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b ab b

a b a b a b

+ = + +

= +

+ = + + +

= +

+ =


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1) Efetuar:a) )1()7524( 23 + xxxx b) )32()617692( 2234 +++ xxxxxx

c) )1()35( 223 + xxx

d) )32()1519124( 23 + xxxx

2) Use as regras de produtos notveis:a) )32)(32( + xx

b)

+

zxyzxy

4

13

4

13

c) )2)(2( 22 xxyxxy +

d)

+

yxyyxy

4

33

4

33

e) 22 )2( zyx

f)2

2

3

2

2

1

+ yxy

g) 2)3( zxy

h)

2

22

2123 +

xyyx

i) 3)2( yx +

j) 32 )23( xyx +

k 322 )23( yxxy


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3) Fatore:

a) 22 66 xyx +

b)222

32 aaa++

c) 22 543018 mnnmmn ++

d) axax 26515 +++

e) 2223 ayaxxyx +++

f)

22

33aax

x +

g) xyxyyyx 2332 222 +

h) 4224

94 yxy

i) 49142 + yy

j) 4452210 2 cbxcbx +

k) 12122 36 ++ aa

l) 652

+ xx

m) 1072 ++ xx

n) 642 2 + xx

o) 24183 2 + xx


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4) Calcule:

a) ba

baa +

2

b)1

2

++

x

x

x

x

c)yx

x

yx

yx

+

+

d)22

1

ba

a

ba +

+

e)yxyx

xy

yx

x

++

+

122

f)1

2211 2

++++

++

yyx

yyx

yyx

5) Calcule:a)

1

22

82

+

+

a

aa

b)yx

by

by

yx

22

22

c)4

1682

2

+

++

xbxax

abaxx

d)22

2 82

4 xa

a

bab

ayaxxyx

+++

e)11 2

5

+ p

x

p

x

f)bcb

ba

cb

baba

+

+222

22 244

g)2

2222

yxy

ayax

ayax

yx

+

+


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6) Escreva o conjunto soluo:a) )13(4)52(2)33(26 += xxx { }1=S

b)15

1

330

1

515+=+

xxx

=2

3S

c)4

1

5

12

10

12 +=

xx

=9

41S

d) ( )

+=+

3

1

2

363

3

1

3

1

2

3xxx

x { }3=S

e)3

2

3

1

9

52

++

= ttt

=3

2S

f)1

11

51

21

322

+

=

xxxx

=

75S

7) Escreva o conjunto soluo:

a)3

4

2

xmm

xm =+

+

=5

mS

b)22

52

xc

b

xc

b

xc

b

=

+

+

=3

5cS

c) 4131 =+

++

+

mymy { }12 = mS

d)22

1ba

ax

ba

ax

ba

bx

=

+

+ { }aS =

e) 2222 2)9(313)3)(2( xaxaaxax = { }aS 4=


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8) Resolva:

a)

=

+

=

+

yxy

xyx

22

8

2

)1(9

25

3

2

25

( )3,2

b)

=

=+

+

)10(3)10(52

55

5

2

yxx

yxy

= 2

y

x

c)

=+

=+

+

1054

586

yxyx

yxyx

( )20,20

9) Simplificao:

a)33

32

+

+

ba

ba

yx

yx

by

x2

5

b) 122 8)5,0( xx 342 x

c)24

2133

10

)(5

ax

yxa

2

25

2y

xa

d)xx

xx

yx

yx

+

+

12

112

2x

y

10) Resolva:

a) 1023 =x { }500

b) 31213 +=+ xx { }5

c) 0713 44 =++ xx { }3

d) 3

73 = xx { }10

e) 3124 =++ x { }12


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11) Resolva:

a) )5(36)6(

2 +=xxx ( 2

7,0

b)1

3

1

1

1 2

2

=

+

+ x

x

xx

x { }

c)1045

22 xxx= { }25,0

d) 23

52

2 =x

x { }1,1

e) 71 =+ xx { }5

f) 7113 =+ xx { }5

g)3

44

1 =+

xx

{ }5

12) Resolva:

a)

=

=+

06

42 xyx

yx )1;3(),5;1(

b)

=

=

4

162

yx

xyy )4;0(),2;6(

c)

=

=

6

1111

yx

yx )2;3(),3;2(

d) Se voc dividir um nmero real positivo x por um nmero real positivo y voc vaiencontrar 4 como resultado. Sabendo que o nmero x aumentado de 5 unidades igual aoquadrado do nmero y , determine os dois nmeros. )5;20(

e) A soma dos quadrados de dois nmeros naturais 125 e um deles o dobro dooutro. Quanto vale o maior desses dois nmeros? { }10

13) Represente no plano XOY:

a) 02 =+ yx b) 0432 =+ yx

c) 14

3

2=+

yx

d)3

1

3

2= xy

e) 042 =+ yx

f) 022 2 =+ xxy


14/26

g) 92 = xy

h) )1(log2 += xy

i)1

2

=x

y

14) Resolva:

a) 21633 2 =+ xx { }3

b) 13222 23 =+ + xx { }4

c) 18333 13 =+ + xx { }

d)4

3222 234 =+ xxx { }2

e) xx

3

18

2531

=

+

{ }2

15) Resolva:

a) 2log)7log()1log( =+ xx

3

5

b) 1)1log()8log( =+ xx { }2

c) 3)1(log)5(log 33 =++ xx { }4

d) 4loglog 28 =+ xx { }8

e) 2)6(log =+xx { }3 f)

2

1)1(log)13(log 42 =+ xx { }1

g) )1(log1)3(log 33 +=+ xx { }3

16) Lembrar que:

* nmnm aaa += Mudana de base:

* nmnm aaa = *a

bb

c

ca log

loglog =

* ( ) nmnm aa =

* 01log =a * 1log =aa

* mama =log * ( ) cbcb aaa logloglog +=

* cbc

baaa logloglog =

* caa bbc loglog =


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17/26


18/26


19/26


20/26


21/26


22/26


23/26


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Inequaes do 2 Grau

Para resolvermos uma inequao do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequaesso representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .

Ex: I) x2 3x +6 > 0

Resoluo:

x2 3x +6 = 0

x= 1, x = 2

Como desejamos os valores para os quais a funo maior que zero devemos fazer umesboo do grfico e ver para quais valores de x isso ocorre.

Vemos, que as regies que tornam positivas a funo so: x2

Resposta: {xR| x2}

Inequaes simultneas

Ex: -8 < x2 2x 8 < 0

Resoluo:

1o passo) Separar as inequaes , obedecendo o intervalo dado.

Temos: I) x2 2x 8 > -8 e II) x2 2x 8 0 II) x2 2x 8


25/26

3o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada funo.

I)x2 II)xdiferente de 1.

4o passo) Calcular a soluo S, que dada pela interseo dos intervalos de S1 e S2.

Obs: o quadro de resposta ser preenchido pelo intervalo achado.

Resposta: {xR| x2}

o Inequao produto e inequao quociente,

So as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x).g(x) < 0. f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.

Ex: I) (x2 9x 10) (x2 4x +4) < 0

Resoluo:

1o passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente

x2 9x 10 = 0 (I)x2 4x +4 = 0 (II)

2o passo) Determinar as razes das funes

(I) x= -1, x = 10

(II) x= x = 2

3o passo) Fazer o estudo do sinal para cada funo.


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I) x10 II) x2

4o passo) Calcular a soluo, que dado pelo sinal de desigualdade da funo de origem,isto :

> intervalo positivo e bolinha fechada> intervalo positivo e bolinha aberta< intervalo negativo e bolinha fechada

< intervalo negativo e bolinha aberta

Obs1: no quadro de respostas (ou solues), se os intervalos forem em: f(x) positivo eg(x)positivo o h(x) ser +, assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +

Obs2: Na inequao quociente observar a CE do denominador, que influenciar o resultadonos intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou aberto

Assim, as nicas regies positivas (maiores que zero) so em x10

Resposta: {x E R | x10}

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