-
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1. NMEROS REAIS
1.1. Transformao de fraes em nmeros decimais.
1.4
5Resp.: 0,8
2.1
20Resp.: 0,05
3.8
3Resp.: 2,6667
4.15
35Resp.: 0,4286
5.140
154Resp.: 0,9091
6.29
145Resp.: 0,2
1.2. Transformao de nmeros decimais em fraes.
Para a determinao das geratrizes das dzimas peridicas temos as seguintes regras:
REGRA 1 A geratriz de uma dzima peridica simples (de prte inteira nula) uma frao que tem para o numerador o perodo e para o denominador um nmero formadopor tantos noves quanto forem os algarismos do perodo.
Esquematicamente, DSP =
. .
9...9
. .
P P
p p
Exemplo: 0,525252.... =52
99
REGRA2 A geratriz de uma dzima peridica composta (de parte inteira nula) uma frao que tem para o numerador a diferena entre o nmero formado pela parte noperidica acompanhada de um perodo e a parte no peridica; e, para denominador, umnmero formado de tantos noves quantos forem os algarismos do perodo, seguidos detantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridica.
Esquematicamente, temos:
( . . .)( . .) ( . . .)
(9...)(0...)
( . ) ( . . .)
p n p p p p n p
p p p n p
p.n.p. = parte no peridicap.p. = parte peridica
-
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Exemplo: 0,32444...... =324 32 292 73
900 900 225
= =
Escrever na forma fracionria os seguintes nmeros:
1. 0,75 Resp.:3
4
2. 0,0432 Resp.:27
625
3. 3,292 Resp.:823
250
4. 0,555.... Resp.:5
9
5. 0,666.... Resp.:2
3
6. 2,333.... Resp.:7
3
7. 12,777.... Resp.:115
9
8. 0,43181818.... Resp.:19
44
9. 0,5241241241.... Resp.:2618
4995
10. 4,59222.... Resp.:4133
900
11. 17,34434343.... Resp.:171709
9900
Obs.: As dzimas peridicas de perodo 9 no tem geratrizes no sentido anterior. Neste casoprocedemos, por definio, como nos exemplos seguintes:
0,999.... 1
644 1616,43999....
100 25
=
= =
1.3. Clculo do valor de expresses numricas.
1.4
(3 0,4) 3,21
5
+ Resp.:49
; 0,49
100
2.4
0,22(11 0,3)7
+ Resp.:10239
;2,933500
3.4 7 1 4 1
3 5 2 9 5
+ +
Resp.:221
;2,4690
4.43 1 17 2
11 10 8 5
+ +
Resp.:30429
;6,924400
-
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5.
4 1 2 5 13 3
7 2 5 8 41 0,17 525 (1 3)4
+
++ +Resp.:
541816; 0,232358125
6.
4 1 1 3(9 1) 8
9 2 9 2
2 3 4 181 1
5 4 5 7
+
+ +
Resp.:124600
; 1, 7969417
1.4. Clculo de porcentagem.
Calcular (com quatro casas decimais quando no exatos) os valores de:
1. 10% de 29 + 4,2% de 17 Resp.: 3,614
2. 5,3% de 18,45 3,4% de 2,7 Resp.: 0,8861
3. 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25 Resp.: 4,248
4. 4% de 1439,25 + 3,6% de 17,432 Resp.: 685,122
1.5. Potenciao
1.5.1. Potncia de expoente inteiro
Seja a um nmero real e m e n inteiros positivos. Ento:
1. ...na a a a= (n vezes)
2. 0 1a =
3. 1a a=
4.1
, 0nn
a aa
=
-
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Calcular o valor das expresses
1.5
2
Resp.:1
32
2. ( )( )43
1 Resp.:1
3. 3 41
5 24
+ Resp.: 125,1875
4. 3 52 ( 4) + Resp.:127
1024
5. 2 1(0,333....) (2,181818....)+ Resp.:41
72
6.2
13 1 14 ( 4 1) 15 8 6
+ +
Resp.:7049
3600
7. 3 15 1
(1 3) (8 1)3 7
+ Resp.:1963
147
8.
21
2
1 1 4( 1 5)3
12
2 0,4 13
+ +
Resp.:63
88
1.5.2. Potncia de expoente racional
1. Dados a > 0 e n >0 inteiro, existe um s nmero real b > 0 tal que nb a= . Estenmero b ser indicado por n a ou por
1na e tem o nome de raiz n-sima de a.
Quando n=2 escrevemos simplesmente a em lugar de 2 a .
Exemplos: 3 8 2= ; 16 4= ; 5 32 =2
2. Dados a < 0 e n > 0 inteiro impar existe um s nmero inteiro b < 0 tal quenb a= .
Exemplos: 3 8 2 = ; 5 32 2 =
-
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3. A equao nx a= com 0n > inteiro, tem:a. uma s soluo 0x = se 0a = ;b. uma soluo de mesmo sinal que a se n mpar;c. duas solues simtricas, n a se n par e 0a > .
Se 0a < e n par, a equao no tem soluo real.
Exemplos: 2 0 0x x= = 3 8 2x x= = 3 8 2x x= = 2 4 4 2x x= = = 4 1x = no tem soluo real
4. Definio. Se a um nmero real qualquer e m e n so inteiros positivos,definimos:
a. ( )m m
nna a= quando n a existe;
b. se 0a ,1mn
m
n
a
a
=
Calcular:
1. 3 125 Resp.: -5
2. 0,04 Resp.: 0,2
3. ( )23343
Resp.:
1
49
4.5
32
1
4 2 729
Resp.:1
50
5.4
4 110000
3 1682,81 1
+
+Resp.:
4015
303
6.3
136
9 8 +
Resp.:
29
5
-
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2. VALOR NUMRICO DE EXPRESSES ALGBRICAS
Em cada uma das expresses seguintes, substituirx pelo valor dado e calcular,quando possvel, o valor da correspondente expresso numrica.
1. 3 2 1; y x x= + x = -1 Resp.:y = 2
2. 3 2 24 1
(1 ) ( 1) ;3 2
y x x= + x = 1 Resp.:45
16y =
3.34 2 1
;3 2
x xy
x
+=
x = -2 Resp.:y =
27
8
4.23
5
1 3 1 39 ;
2 2
x xy
x x
=
x = -1 Resp.:y =
484
3
5.
1 2
3 2;4 3
x xyx
+= +
x =
1
2Resp.:
4
5
6.3 3(4 ) 4
;4
xy
x
+ =
x = -2 Resp.:
28
3
7.0,61
;0,1
x xy
+ = x = 9 Resp.: 1y =
8.3
;1
x xy
x
=
+x = 0 Resp.:y = 0
3. OPERAES COM EXPRESSES ALGBRICAS
3.1 Adio, subtrao, multiplicao e diviso de expresses literais
Efetuar as operaes indicadas em cada um dos casos seguintes:
1. ( ) ( )4 3 4 3 2b c a a b c+ + Resp.: 3a b c+ +
2. ( ) ( )2 23 1 3 5 3 xy x x xy + + + Resp.: 22 2 4 xy x + +
3. ( ) ( )3 32 1 4 5 2 xy xy xy xy + + + Resp.: 3 6 4 xy xy
-
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4. ( )2 2 23 2
2 1 2 1
5 5
x y zh zh x y x y + + + +
Resp.: 0
5. ( ) ( )2 24 7a b ab Resp.: 3 328a b
6. ( )( )2 4 1 x y x+ + + Resp.: 2 2 25 4 x xy x y+ + + +
7. ( ) ( )2 23 4 x y xy xy Resp.: 3 2 2 34 12x y x y
8. ( ) ( )x y z x y z+ + + Resp.: 2 2 22 x zx y z + +
9. 2 4 4 23 5a b a b Resp.:2
2
3
5
b
a
10. ( ) ( )2 3 4 25 4 3 2 x y x y xy xy+ Resp.:2
35 322 2
xyx y+
11. ( ) ( )2 2 1 4n n na b a+ + Resp.:3 2 1
4 4
n n na b a+ +
12. ( )24 2 16 xy xy Resp.: 114
xyxy
+
13. ( ) ( )3 5 4 3 5 2 212 16 20 4x y x y x y x y + Resp.: 4 2 2 33 4 5 xy x y x y +
3.2 Produtos notveis.
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
2 2
2
2
3 3
3 3
( )( )
a b a ab b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b a b a b
+ = + +
= +
+ = + + +
= +
+ =
-
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1) Efetuar:a) )1()7524( 23 + xxxx b) )32()617692( 2234 +++ xxxxxx
c) )1()35( 223 + xxx
d) )32()1519124( 23 + xxxx
2) Use as regras de produtos notveis:a) )32)(32( + xx
b)
+
zxyzxy
4
13
4
13
c) )2)(2( 22 xxyxxy +
d)
+
yxyyxy
4
33
4
33
e) 22 )2( zyx
f)2
2
3
2
2
1
+ yxy
g) 2)3( zxy
h)
2
22
2123 +
xyyx
i) 3)2( yx +
j) 32 )23( xyx +
k 322 )23( yxxy
-
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3) Fatore:
a) 22 66 xyx +
b)222
32 aaa++
c) 22 543018 mnnmmn ++
d) axax 26515 +++
e) 2223 ayaxxyx +++
f)
22
33aax
x +
g) xyxyyyx 2332 222 +
h) 4224
94 yxy
i) 49142 + yy
j) 4452210 2 cbxcbx +
k) 12122 36 ++ aa
l) 652
+ xx
m) 1072 ++ xx
n) 642 2 + xx
o) 24183 2 + xx
-
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4) Calcule:
a) ba
baa +
2
b)1
2
++
x
x
x
x
c)yx
x
yx
yx
+
+
d)22
1
ba
a
ba +
+
e)yxyx
xy
yx
x
++
+
122
f)1
2211 2
++++
++
yyx
yyx
yyx
5) Calcule:a)
1
22
82
+
+
a
aa
b)yx
by
by
yx
22
22
c)4
1682
2
+
++
xbxax
abaxx
d)22
2 82
4 xa
a
bab
ayaxxyx
+++
e)11 2
5
+ p
x
p
x
f)bcb
ba
cb
baba
+
+222
22 244
g)2
2222
yxy
ayax
ayax
yx
+
+
-
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6) Escreva o conjunto soluo:a) )13(4)52(2)33(26 += xxx { }1=S
b)15
1
330
1
515+=+
xxx
=2
3S
c)4
1
5
12
10
12 +=
xx
=9
41S
d) ( )
+=+
3
1
2
363
3
1
3
1
2
3xxx
x { }3=S
e)3
2
3
1
9
52
++
= ttt
=3
2S
f)1
11
51
21
322
+
=
xxxx
=
75S
7) Escreva o conjunto soluo:
a)3
4
2
xmm
xm =+
+
=5
mS
b)22
52
xc
b
xc
b
xc
b
=
+
+
=3
5cS
c) 4131 =+
++
+
mymy { }12 = mS
d)22
1ba
ax
ba
ax
ba
bx
=
+
+ { }aS =
e) 2222 2)9(313)3)(2( xaxaaxax = { }aS 4=
-
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8) Resolva:
a)
=
+
=
+
yxy
xyx
22
8
2
)1(9
25
3
2
25
( )3,2
b)
=
=+
+
)10(3)10(52
55
5
2
yxx
yxy
= 2
y
x
c)
=+
=+
+
1054
586
yxyx
yxyx
( )20,20
9) Simplificao:
a)33
32
+
+
ba
ba
yx
yx
by
x2
5
b) 122 8)5,0( xx 342 x
c)24
2133
10
)(5
ax
yxa
2
25
2y
xa
d)xx
xx
yx
yx
+
+
12
112
2x
y
10) Resolva:
a) 1023 =x { }500
b) 31213 +=+ xx { }5
c) 0713 44 =++ xx { }3
d) 3
73 = xx { }10
e) 3124 =++ x { }12
-
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11) Resolva:
a) )5(36)6(
2 +=xxx ( 2
7,0
b)1
3
1
1
1 2
2
=
+
+ x
x
xx
x { }
c)1045
22 xxx= { }25,0
d) 23
52
2 =x
x { }1,1
e) 71 =+ xx { }5
f) 7113 =+ xx { }5
g)3
44
1 =+
xx
{ }5
12) Resolva:
a)
=
=+
06
42 xyx
yx )1;3(),5;1(
b)
=
=
4
162
yx
xyy )4;0(),2;6(
c)
=
=
6
1111
yx
yx )2;3(),3;2(
d) Se voc dividir um nmero real positivo x por um nmero real positivo y voc vaiencontrar 4 como resultado. Sabendo que o nmero x aumentado de 5 unidades igual aoquadrado do nmero y , determine os dois nmeros. )5;20(
e) A soma dos quadrados de dois nmeros naturais 125 e um deles o dobro dooutro. Quanto vale o maior desses dois nmeros? { }10
13) Represente no plano XOY:
a) 02 =+ yx b) 0432 =+ yx
c) 14
3
2=+
yx
d)3
1
3
2= xy
e) 042 =+ yx
f) 022 2 =+ xxy
-
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g) 92 = xy
h) )1(log2 += xy
i)1
2
=x
y
14) Resolva:
a) 21633 2 =+ xx { }3
b) 13222 23 =+ + xx { }4
c) 18333 13 =+ + xx { }
d)4
3222 234 =+ xxx { }2
e) xx
3
18
2531
=
+
{ }2
15) Resolva:
a) 2log)7log()1log( =+ xx
3
5
b) 1)1log()8log( =+ xx { }2
c) 3)1(log)5(log 33 =++ xx { }4
d) 4loglog 28 =+ xx { }8
e) 2)6(log =+xx { }3 f)
2
1)1(log)13(log 42 =+ xx { }1
g) )1(log1)3(log 33 +=+ xx { }3
16) Lembrar que:
* nmnm aaa += Mudana de base:
* nmnm aaa = *a
bb
c
ca log
loglog =
* ( ) nmnm aa =
* 01log =a * 1log =aa
* mama =log * ( ) cbcb aaa logloglog +=
* cbc
baaa logloglog =
* caa bbc loglog =
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Inequaes do 2 Grau
Para resolvermos uma inequao do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequaesso representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .
Ex: I) x2 3x +6 > 0
Resoluo:
x2 3x +6 = 0
x= 1, x = 2
Como desejamos os valores para os quais a funo maior que zero devemos fazer umesboo do grfico e ver para quais valores de x isso ocorre.
Vemos, que as regies que tornam positivas a funo so: x2
Resposta: {xR| x2}
Inequaes simultneas
Ex: -8 < x2 2x 8 < 0
Resoluo:
1o passo) Separar as inequaes , obedecendo o intervalo dado.
Temos: I) x2 2x 8 > -8 e II) x2 2x 8 0 II) x2 2x 8
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3o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada funo.
I)x2 II)xdiferente de 1.
4o passo) Calcular a soluo S, que dada pela interseo dos intervalos de S1 e S2.
Obs: o quadro de resposta ser preenchido pelo intervalo achado.
Resposta: {xR| x2}
o Inequao produto e inequao quociente,
So as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x).g(x) < 0. f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.
Ex: I) (x2 9x 10) (x2 4x +4) < 0
Resoluo:
1o passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente
x2 9x 10 = 0 (I)x2 4x +4 = 0 (II)
2o passo) Determinar as razes das funes
(I) x= -1, x = 10
(II) x= x = 2
3o passo) Fazer o estudo do sinal para cada funo.
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I) x10 II) x2
4o passo) Calcular a soluo, que dado pelo sinal de desigualdade da funo de origem,isto :
> intervalo positivo e bolinha fechada> intervalo positivo e bolinha aberta< intervalo negativo e bolinha fechada
< intervalo negativo e bolinha aberta
Obs1: no quadro de respostas (ou solues), se os intervalos forem em: f(x) positivo eg(x)positivo o h(x) ser +, assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +
Obs2: Na inequao quociente observar a CE do denominador, que influenciar o resultadonos intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou aberto
Assim, as nicas regies positivas (maiores que zero) so em x10
Resposta: {x E R | x10}