reformulação e inequações válidas para um problema integrado

unespUNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Biociências, Letras e Ciências ExatasDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA

Reformulação e Inequações Válidas para

um Problema Integrado de Dimensionamento

e Seqüenciamento de Lotes

Eduardo Delcides Bernardes

Dissertação de MestradoPós-Graduação em Matemática

Rua Cristovão Colombo, 226515054-000 - São José do Rio Preto - SP - BrasilTelefone: (17) 3221-2444

Fax: (17) 3221-2445

Reformulação e Inequações Válidas para

um Problema Integrado de Dimensionamentoe Seqüenciamento de Lotes

Eduardo Delcides Bernardes1

Dissertação apresentada ao Instituto de Biociên-

cias, Letras e Ciências Exatas da Universidade Es-

tadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus

de São José do Rio Preto, São Paulo, para a ob-

tenção do título de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo

São José do Rio Preto

2008

1Contato: [email protected]

Bernardes, Eduardo Delcides.Reformulação e inequações válidas para um problema integrado de

dimensionamento e seqüenciamento de lotes/Eduardo DelcidesBernardes. - São José do Rio Preto : [s.n.], 2008.

104 f. : il. ; 30 cm.

Orientador: Silvio Alexandre AraujoDissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Pesquisa operacional. 2. Otimização matemática. 3.Dimensionamento e seqüenciamento de lotes. 4. Reformulação. 5.Inequações válidas e formulação estendida. I. Araujo, SilvioAlexandre. II. Universidade Estadual Paulista, Instituto deBiociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título.

CDU - 519.8

Eduardo Delcides Bernardes

Reformulação e Inequações Válidas para um Problema Integrado deDimensionamento e Seqüenciamento de Lotes

Dissertação apresentada para a obtenção do título de

Mestre em Matemática do Instituto de Biociências, Le-

tras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Pau-

lista "Júlio de Mesquita Filho", Campus de São José

do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Orientador

Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo

Unesp - São José do Rio Preto

Primeiro Examinador

Prof Dr. Cid Carvalho de Souza

Unicamp - Campinas

Segunda Examinadora

Prof.a Dr.a Maria do Socorro N. Rangel

Unesp - São José do Rio Preto

São José do Rio Preto, 27 de fevereiro de 2008.

Aos meus pais Anália (in memoriam) e Delcides.

Ao meu irmão Henrique.

Dedico.

i

Agradecimentos

A Deus por me conceder mais uma vez a oportunidade do crescimento intelectual e

espiritual.

Ao Prof. Silvio Araujo pela orientação, amizade e dedicação durante a elaboração

deste trabalho.

À Prof.a Socorro Rangel pelo auxílio no desenvolvimento deste trabalho, pela ami-

zade e por todos os conselhos oferecidos desde a minha graduação.

A todos os professores que colaboraram para a minha formação.

A minha família. Em especial, ao meu pai pelo apoio incondicional, à minha mãe

(in memoriam) pelos ensinamentos valiosos e ao meu irmão pela preocupação e incentivo.

A todos meus amigos, pois sem eles a minha caminhada seria mais difícil.

À Capes pelo auxílio financeiro.

ii

"Com ordem e tempo se encontra o segredo de fazer tudo, e fazê-lo bem."

Pitágoras

iii

ResumoNeste trabalho é apresentado inicialmente um estudo sobre a teoria básica de poliedros.

Além disso, são mostrados alguns resultados sobre a descrição do envoltório convexo para

alguns Problemas de Dimensionamento de Lotes com um único item. Posteriormente,

é definido um Problema Integrado de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes que

considera um processo de produção onde é necessário o processamento de um material

bruto que pode ser transformado em vários itens finais fabricados a partir desse material

e as decisões de seqüenciamento estão relacionadas com a ordem do processamento dos

materiais brutos. Aplicações desse problema podem ser encontradas nas indústrias de

fundição e de refrigerantes. A formulação matemática para o problema considera custos

e tempos de preparo dependentes da seqüência. Para resolver o problema, é desenvolvida

uma formulação estendida, baseada no Problema de Localização de Facilidades, e algumas

inequações válidas são propostas. Testes computacionais são realizados usando o pacote

computacional CPLEX 10.0 e os resultados mostraram que o desempenho do Branch-and-

Cut pode ser melhorado com a reformulação a priori.

Palavras-chave: Problema Integrado de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes,

reformulação a priori, inequações válidas.

iv

AbstractIn this dissertation, it is initially presented a study on the basic polyhedral theory. Mo-

reover, some results are shown on the description of the convex hull of some single item

Lot Sizing Problems. After that, a Lot Sizing and Scheduling Problem is defined, which

admits a production process that is necessary to prepare a key material that can be

transformed into multiple final items manufactured from such material and the schedu-

ling decisions are related to the order of materials processing. Applications of this problem

can be found in foundries and soft drinks industries. The mathematical formulation for

the problem considers sequence-dependent setup costs and times. To solve the problem,

an extended formulation is developed, based on the Facility Location Problem, and some

valid inequations are proposed. Computational tests are conducted using the computer

package CPLEX 10.0 and the results showed that the Branch-and-Cut performance can

be improved with the a priori reformulation.

Keywords: Lot Sizing and Scheduling Problem,a priori reformulation, valid inequalities.

v

Sumário

Introdução 1

1 Formulações e Inequações Válidas 4

1.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Reformulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Inequações Válidas e Reformulação para Conjuntos Específicos . . . . . . . 19

2 Problema de Dimensionamento de Lotes (Lot Sizing-LS) com Um Item 27

2.1 Problema de Dimensionamento de Lotes sem Restrição de Capacidade . . . 28

2.2 Classificação dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Inequações Válidas e Reformulações para o LS-U . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Problemas de Dimensionamento de Lotes com Restrição de Capacidade . . 56

3 Reformulações e Inequações Válidas para um LS com Seqüencimento

Integrado 62

3.1 Definição do Problema e Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Reformulação Estendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Inequações Válidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.1 Equações de Fluxo (V-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.2 Inequações Desagregadas de Fluxo (V-2) . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.3 Inequações de Preparo e Trocas (V-3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.4 Inequações de Troca para i = j (V-4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.5 Inequações de Eliminação (E-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Testes Computacionais 85

4.1 Geração de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

vi

Sumário vii

4.2 Testes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3 Testes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Conclusão e Trabalhos Futuros 97

Referências Bibliográficas 99

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Introdução

Com o crescimento da produção e da concorrência no mercado, as indústrias têm

buscado agilidade e flexibilidade para se adaptarem às novas exigências e ampliar o seu

potencial. Diante disso, o sucesso das indústrias está diretamente relacionado com um bom

planejamento de produção, que inclui a aquisição de recursos (por exemplo, a matéria-

prima) e um planejamento das atividades que estão envolvidas no processo de produção a

fim de atender a demanda de maneira eficiente de acordo com alguns objetivos desejados,

como reduzir os custos e/ou desperdícios.

Em meio às decisões de um planejamento de produção de algumas indústrias, uma

questão freqüente é como resolver o Problema de Dimensionamento de Lotes (Lot Sizing

- LS), que consiste em determinar o tamanho dos lotes de produção de cada item a ser

produzido em uma ou mais máquinas em cada período ao logo do horizonte de planeja-

mento finito, definindo assim a programação da produção. Em alguns casos, quando se

tem a produção de mais de um item e que a ordem de produção desses itens é levada

em consideração de acordo com algum objetivo no momento de determinar o tamanho

dos lotes, as decisões envolvem também o seqüenciamento dos lotes, configurando assim

um Problema de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes. Na prática, algumas em-

presas tomam as decisões sobre o tamanho dos lotes e a seqüência em que deverão ser

produzidos de forma independente. No entanto, muitos trabalhos na literatura tratam o

problema de forma integrada.

Um exemplo do Problema de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes (PDLS)

é encontrado nas decisões do planejamento de produção de uma indústria no setor de

fundição. Em Araujo et al. (2008) é apresentado um estudo sobre os processos de pro-

dução de uma indústria de pequeno porte desse setor. Em resumo, o planejamento de

produção consiste em determinar a seqüência das ligas que serão processadas e o tamanho

dos lotes que são produzidos a partir de cada liga. O modelo representa o PDLS de forma

1

2

integrada considerando os custos e tempos de preparo independente da seqüência, já que

é permitido o processamento de apenas uma liga de cada vez e um custo pelo preparo do

forno para o processamento é contabilizado.

O PDLS também está presente no planejamento de produção da indústria de re-

frigerantes e de rações. Estudos detalhados sobre os processos de produção podem ser

encontrados em Ferreira et al. (2007a, 2007b) no caso da indústria de refrigerantes e em

Toso e Morabito (2005) no caso da indústria de rações. Para os dois casos, os modelos

propostos nos respectivos trabalhos consideram o PDLS integrado com custos e tempos

dependentes da seqüência.

Alguns trabalhos como Fleischamann (1994), Drexl e Haase (1995), Salomonn et

al. (1997), Haase (1996), Meyr (2000) e Araujo et al. (2007) apresentam modelagens

distintas para o PDLS integrado de acordo com as características relevantes consideradas

em cada um. Em especial, o modelo apresentado em Araujo et al. (2007) será o foco de

aplicação do estudo desenvolvido nesse trabalho.

Os modelos matemáticos dos problemas que aparecem no planejamento de produção

em geral e métodos de resoluções são amplamente estudados. Com o objetivo de aumentar

a eficiência dos métodos de resoluções, existem muitos estudos sobre formulações e ine-

quações válidas que estão associadas diretamente com os métodos exatos. Estes estudos

estão voltados especialmente para o desenvolvimento de formulações e inequações válidas

fortes, determinando uma formulação que descreva ou aproxime do envoltório convexo de

um determinado conjunto de soluções viáveis de um Problema de Otimização Inteiro ou

Inteiro Misto. Para um estudo aprofundado sobre métodos exatos de resolução, formula-

ções e inequações válidas consulte Nemhauser e Wolsey (1988), Wolsey(1998) e Pochet e

Wolsey (2006).

O objetivo deste trabalho é o estudo de formulações estendidas e inequações válidas

para alguns Problemas de Dimensionamento de Lotes com um Único Item e, posterior-

mente, o desenvolvimento de inequações válidas e de uma formulação estendida para um

Problema Integrado de Dimensionamento de Lotes e Seqüenciamento de Lotes apresen-

tado em Araújo et al. (2007). Diante da dificuldade de resolução do problema pelos

pacotes computacionais, em Araujo et al. (2007), são desenvolvidos métodos heurísticos

para resolvê-lo. Porém, neste trabalho será usada a reformulação a priori para melhorar

o desempenho do Branch-and-Cut do pacote computacional CPLEX 10.0.

3

Dada uma formulação para um problema, muitas vezes é possível reformulá-lo atra-

vés de definição de novas variáveis e/ou restrições conservando as características originais

do problema. Essa nova formulação é conhecida como formulação estendida e pode ser

mais forte que a original, podendo aumentar a eficiência do método resolução exato, no

entanto, é importante levar em consideração a dificuldade para resolver a nova formula-

ção. Uma outra maneira de obter formulações fortes é desenvolvendo inequações válidas

que poderão ser adicionadas a priori na formulação ou a posteriori.

No Capítulo 1 deste trabalho é apresentado um estudo resumido sobre a teoria

poliédrica associada ao desenvolvimento de inequações válidas e formulações fortes. Além

disso, é feita uma aplicação dessa teoria para alguns conjuntos inteiros mistos, onde são

apresentadas formulações e inequações válidas importantes para descrição do envoltório

convexo desses conjuntos. A justificativa desse estudo é que a estrutura apresentada por

esses conjuntos pode ser encontrada nas formulações de vários problemas de otimização,

inclusive para alguns dos problemas estudado neste texto. No Capítulo 2 são reprodu-

zidos alguns estudos para o Problema de Dimensionamento de Lotes de um Único Item e

sem restrição de capacidade relativos às (l,S)-inequações e reformulações baseadas em dois

problemas clássicos da literatura, o Problema de Localização de Facilidades e o Problema

do Caminho Mínimo, além da reformulação Multi-Commodity. Alguns casos particula-

res do Problema de Dimensionamento de Lotes com restrição de capacidade também são

estudados. O objetivo desses estudos está voltado ao melhor entendimento dos procedi-

mentos usados para obtenção de inequações válidas e formulações fortes além de possíveis

extensões. No Capítulo 3 é feita uma aplicação para um Problema Integrado de Di-

mensionamento e Seqüenciamento de Lotes, onde são desenvolvidas algumas inequações

válidas e uma formulação estendida, baseada no Problema de Localização de Facilidades.

Usando essas inequações válidas e a formulação estendida, são realizados testes compu-

tacionais apresentados no Capítulo 4. Finalmente, no Capítulo 5 são apresentadas

algumas conclusões e trabalhos futuros.

Capítulo 1

Formulações e Inequações Válidas

Neste capítulo, será abordada uma teoria fundamental que está relacionada ao de-

senvolvimento de formulações e inequações válidas fortes que é um procedimento que

pode auxiliar os métodos de resoluções exatos para Problemas de Otimização Inteiro ou

Inteiro Misto. O desenvolvimento de uma formulação, que se aproxime do envoltório

convexo de um conjunto de pontos viáveis, poderá facilitar a resolução desses problemas

pelo Branch-and-Bound ou Branch-and-Cut através da obtenção de limitantes melhores

ou da diminuição da quantidade de nós analisados quando o problema é resolvido. Neste

último caso, a diminuição dos nós analisados pode levar à uma diminuição do tempo de

resolução. Em uma visão ampla, a diminuição do tempo de resolução de um determinado

problema de forma satisfatória pode tornar um sistema de decisões mais flexível e ágil.

Durante o desenvolvimento do Branch-and-Bound ou Branch-and-Cut existem dois

tipos de limitantes fundamentais, o primal e o dual, que irão determinar a otimalidade de

uma solução. O primal é fornecido por uma solução viável para o problema que estiver

sendo resolvido e o limitante dual é fornecido através da solução de uma relaxação do

problema. Um exemplo de relaxação é a relaxação linear que pode ser obtida através da

formulação de um Problema de Otimização Inteiro ou Inteiro Misto relaxando as variáveis

inteiras, ou seja, permitindo que elas assumam valores reais. A inclusão de inequações

válidas pode levar ao melhoramento dos limites fornecidos pela relaxação linear, já que

a adição delas na formulação tem o objetivo de descartar soluções da relaxação linear

sem descartar soluções viáveis para o Problema de Otimização Inteiro ou Inteiro Misto.

O desenvolvimento de formulações fortes também tem o mesmo princípio. A situação

ideal é quando as inequações válidas ou as formulações descrevem o envoltório convexo,

4

1.1. Conceitos Básicos 5

no entanto, é necessário levar em consideração a dificuldade para resolver o problema com

as diferentes formulações.

Cabe ressaltar que o objetivo deste capítulo não é fazer uma descrição completa

da teoria, mas apresentar resumidamente alguns conceitos básicos presentes na teoria de

poliedros e reformulações. Uma descrição mais detalhada dessa teoria pode ser encontrada

em Nemhauser e Wolsey (1988) e em Pochet e Wolsey (2006).

1.1 Conceitos Básicos

Nesta seção, serão introduzidos, de acordo com Pochet e Wolsey (2006), conceitos

de poliedro, formulações e inequações válidas, esclarecendo quando uma formulação ou

uma inequação válida é forte. Além disso, serão discutidas algumas maneiras de descrever

o envoltório convexo de um conjunto de soluções viáveis. Para isso, serão definidas ini-

cialmente formulações genéricas para um Problema de Otimização Inteiro (PI) e Inteiro

Misto (PIM) e algumas notações que serão usadas nesta seção e nas seções seguintes deste

capítulo.

Considere a seguinte formulação para o PI:

z = min { cx : Ax ≥ b, x ∈ Zn+}.

No caso do PIM a formulação será da seguinte forma:

z = min { cx + fy : Ax + By ≥ b, (x, y) ∈ Rn+ × Zp

+}.

Note que A e B são matrizes reais de dimensões (m× n) e (m× p) respectivamente

e b é um vetor com elementos reais e dimensão (m × 1). As matrizes A e B e o vetor

b representam os coeficientes das restrições. Os vetores c e f com elementos reais, que

representam os coeficientes da função objetivo, têm dimensões (1 × n) e (1 × p) respec-

tivamente. As variáveis são representadas pelos vetores x com dimensão (n× 1) e y com

dimensão (p× 1). Por último, o valor ótimo da função objetivo é representado por z. As

definições seguintes serão discutidas para o PI, mas a teoria é igualmente válida para o

PIM.

Definição 1.1 Dado um PI, o conjunto

X = { x ∈ Zn+ : Ax ≥ b}


é o conjunto de soluções viáveis.

Definição 1.2 Um poliedro P é um conjunto de pontos reais que satisfazem um número

finito de restrições e pode ser representado da seguinte forma

P = { x ∈ Rn : Ax ≥ b}.

Um poliedro P ⊆ Rn é limitado se existe um w ∈ R+ tal que P ⊆ {x ∈ Rn :

−w ≤ xj ≤ w, j = 1, · · · , n} e é denominado como politopo.

Definição 1.3 Um poliedro P é uma formulação para X se X = P ∩ Zn

De acordo com a Definição 1.3, um poliedro será uma formulação para um determi-

nado PI se os seus pontos inteiros coincidem com as soluções viáveis de PI. Cabe observar

que um PI pode ter várias formulações como mostra o Exemplo 1.1.1 a seguir.

Exemplo 1.1.1 Considere o seguinte conjunto X de pontos inteiros com

X = {(0, 3); (1, 2); (1, 3); (2, 0); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 1); (3, 2); (4, 1)}.

Os poliedros,

F 1 = {x ∈ R2+ : x1−4x2 ≤ 2 (I), 3x1+2x2 ≥ 6(II), 6x1+5x2 ≤ 6(III), −3x1+5x2 ≤ 15(IV )} e

F 2 = {x ∈ R2+ : 2x1+5x2 ≤ 20(I

′), 3x1+5x2 ≥ 15(II

′), x1−3x2 ≤ 2(III

′), 5x1+4x2 ≤ 10(IV

′)},

são formulações distintas para X como ilustra a Figura 1.1.

Visto que um PI pode ter várias formulações, surge uma questão importante que é

determinar qual formulação é melhor ou mais forte. Na prática, uma maneira de analisar

essa questão seria verificando a resolução da relaxação linear do problema com as duas

formulações. Wolsey (1998) defini que uma formulação é mais forte se ela fornece um

melhor limite dual, que no caso do problema de minimização corresponde ao limite inferior.

Para melhor entendimento e para auxiliar as discussões posteriores, a relaxação linear para

um PI é definida na Definição 1.4:


1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

X

X

1

2

I

II III

IV

1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

X

X

1

2

II’

I’

III’

IV’

Figura 1.1: Formulações F 1 e F 2

Definição 1.4 Dado um PI e uma formulação P para X, zRL = min { cx : x ∈ P} é

uma relaxação linear para PI.

Dessa forma, dadas duas formulações P 1 e P 2 para X, P 1 é melhor que P 2 se

P 1 ⊂ P 2 como ilustra a Figura 1.2. Diante disso, é possível afirmar que:

z ≥ min {cx : x ∈ P 1} ≥ min {cx : x ∈ P 2}.

P1

P2

Figura 1.2: Formulações P 1 e P 2

Deve-se salientar que o fato de P 1 ⊂ P 2 nem sempre é suficiente para afirmar que

P 1 é melhor que P 2 quando o interesse é resolver um problema. É necessário também

analisar a dificuldade para resolver o problema com cada uma das formulações. Por

outro lado, para que o valor da função objetivo na solução ótima da relaxação linear

com a formulação P 1 seja menor ou igual a de P 2, P 1 não precisa necessariamente estar

contido em P 2. Além disso, quando se vai em busca de formulações melhores, o objetivo


é encontrar uma formulação que aproxime ou descreva o envoltório convexo. O envoltório

convexo pode ser definido da seguinte forma:

Definição 1.5 Dado um PI com o conjunto de soluções viáveis X, o envoltório con-

vexo de X, denotado por conv(X), é o conjunto de todos os pontos x =∑T

i=1 λixi tal que

∑Ti=1 λi = 1, λi ≥ 0 para i = 1, · · · , T e {x1, · · · , xT} ⊆ X.

Em resumo, a Definição 1.5 diz que o envoltório convexo de X é a combinação

convexa de todos os pontos de X e, dessa forma, conv(X) é um poliedro com pontos

extremos inteiros. Logo, teoricamente o envoltório convexo é a melhor formulação para

X. Considerando os pontos inteiros destacados em negrito do plano cartesiano ilustrado

na Figura 1.2 o envoltório convexo destes pontos está representado na Figura 1.3.

Figura 1.3: Envoltório Convexo

O envoltório convexo é um poliedro integral, ou seja, todos os pontos extremos

são pontos inteiros. No caso de um conjunto inteiro misto, o poliedro é dito integral se

os pontos extremos apresentam valores inteiros para as coordenadas que são definidas

como inteiras no PIM. A grande vantagem de encontrar o envoltório convexo de um dado

conjunto de pontos viáveis de um PI ou PIM é que o problema poderá ser resolvido como

um Problema de Otimização Linear.

Encontrar o envoltório convexo é uma tarefa muito difícil e essa dificuldade aumenta

na medida em que o problema apresenta um número maior variáveis e restrições, pois apre-

senta uma estrutura poliédrica mais complexa. Existem algumas maneiras de descrever

o envoltório convexo, sendo que uma delas consiste em identificar os pontos extremos

do envoltório convexo e através deles representar todos os pontos desse poliedro integral.

Para uma melhor explicação dessa forma de descrever o envoltório convexo, serão feitas

algumas considerações.


Definição 1.6 Seja x um ponto extremo de um poliedro P ⊆ Rn, então não existem

x1, x2 ∈ P tal que x1 6= x2 e x = 12x1 + 1

2x2.

Equivalente à Definição 1.6, x é um ponto extremo de P se x não pode ser escrito

como combinação convexa de dois outros pontos diferentes de x e pertencentes a P . No

caso de um politopo, uma vez identificados os pontos extremos é possível descrever o

envoltório convexo através da combinação convexa desses pontos. Por outro lado, caso o

envoltório convexo seja um poliedro ilimitado, é necessário identificar, além dos pontos

extremos, os raios extremos para a sua descrição. Um raio extremo pode ser definido da

seguinte maneira:

Definição 1.7 Sejam r ∈ Rn e o poliedro P ⊆ Rn, P 6= ∅. r é um raio de P se para todo

x ∈ P tem-se que x + λr ∈ P para todo λ ≥ 0. E um raio é extremo se não existirem

dois outros raios r1 e r2 de P com r1 6= λr2 para λ > 0 de forma que r = 12r1 + 1

2r2.

O Teorema 1.1 formaliza a descrição de um poliedro nos casos limitado e ilimitado

através de seus raios e pontos extremos. Note que, no caso limitado, são definidos apenas

os pontos extremos, pois o poliedro que representa o envoltório convexo não apresenta

raios extremos.

Teorema 1.1 Todo poliedro P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} 6= ∅ com ρ(A) = n pode ser repre-

sentado como combinação convexa de seus pontos extremos x1, · · · , xT e uma combinação

não-negativa de seus raios extremos r1, · · · , rS. Portanto, pode-se representar o poliedro

da seguinte maneira:

P = {x : x =T∑

t=1

λtxt +

S∑s=1

µsrs,

T∑t=1

λt = 1, λ ∈ RT+, µ ∈ RS

+}

A condição sobre o posto de A (ρ(A)) assegura a existência de pelo menos um

ponto extremo ou, equivalentemente, que se r é um raio de P então −r não será um raio

extremo de P . Em outras palavras, a condição sobre o posto de A garante a existência de

um número mínimo de restrições que definirão pelo menos um ponto extremo. Lembrando

que, no caso de um poliedro integral, os pontos extremos são inteiros.

Exemplo 1.1.2 Considere o poliedro P ⊆ Rn definido pelas seguintes inequações:


x1 + x2 ≥ 2 (A)2

3x1 +

1

4x2 ≥ 1

2(B)

2x1 + x2 ≥ 3 (C)

2x1 + x2 ≥ 2 (D)

Escalonando a matriz A, obtém-se:

A =

1 1

23

14

2 2

2 1

∼

1 0

0 1

0 0

0 0

Portanto, ρ(A) = 2.

A Figura 1.4 ilustra o poliedro P definido no Exemplo 1.1.2.

1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

X1

X2

ABC D

Figura 1.4: Representação de P

Note que, entre as inequações que definem o poliedro P , apenas as inequações (A),

(B) e (C) são necessárias. Pela Figura 1.4 os pontos extremos são (0, 2), (1, 1) e (0, 3).

Neste caso, o poliedro P é um poliedro integral. E alguns raios para o poliedro são (0, 1),

(1, 0), (1, 1) e (1,−1). No entanto, apenas (0, 1) e (−1, 1) são raios extremos. Observe

que:


(1, 0) =1

2(1,−1) +

1

2(1, 1) e (1, 1) =

1

2(0, 2) +

1

2(2, 0),

onde (0, 2) e (2, 0) também são raios de P . Por isso, (1, 0) e (1, 1) não são raios

extremos. Logo, pelo Teorema 1.1, P pode ser escrito da seguinte forma:

P = {x ∈ R2 : x = λ1(1, 1)+λ2(0, 3)+µ1(0, 1)+µ2(1,−1), λ1+λ2 = 1, λ ∈ R2+ e µ ∈ R2

+}

Uma outra maneira de descrever o envoltório convexo é através da identificação de

inequações importantes para sua definição. Esse procedimento aplica-se também a um

problema linear que apresente um conjunto muito grande de restrições, onde é interessante

identificar as restrições essenciais para a descrição do poliedro e descartar aquelas que são

redundantes, ou seja, que não influenciam na definição do conjunto de soluções viáveis. As

considerações seguintes serão importantes para a identificação de inequações fundamentais

na descrição do envoltório convexo.

Definição 1.8 Uma inequação πx ≥ π0 com (π, π0) ∈ Rn×R é uma inequação válida

para um poliedro P ⊆ Rn, se ela é satisfeita para todos os pontos de P, ou seja, se πx ≥ π0

para todo x ∈ P .

Observe que, para um PI com um conjunto X de soluções viáveis, dizer que uma

inequação é válida para X é equivalente a dizer que ela é válida para o poliedro P =

conv(X). Além disso, o fato de uma inequação válida ser forte significa que ela é uma

inequação importante na descrição do envoltório convexo. A seguir serão apresentadas

algumas definições que formalizam o significado de uma inequação válida forte.

Definição 1.9 Seja o conjunto {x0, x1, · · · , xσ} de σ + 1 pontos pertencentes a Rn. Os

pontos x0, x1, · · · , xσ são afim-independentes se a única solução do sistema,

σ∑i=0

αixi = 0 (1.1)

σ∑i=0

αi = 0 (1.2)

é αi = 0 para i = 0, · · · , k. Onde 0 é o vetor nulo.


Observe que da solução do sistema, tem-se que:

0x0 = 0 ⇒ ( σ∑i=0

αi

)x0 = 0 (1.3)

Substituindo a equação (1.3) em (1.2) obtém-se:

σ∑i=0

αixi =

( σ∑i=0

αi

)x0 ⇒

k∑i=1

αi(xi − x0) = 0.

Pelas condições da Definição 1.9, dizer que {x0, x1, · · · , xσ} são pontos afim-independentes

é equivalente a dizer que os pontos x1 − x0, x1 − x0, · · · , xσ − x0 são linearmente inde-

pendentes. Observe que se um conjunto de pontos é linearmente independente, então os

pontos são afim-independentes. Por outro lado, o fato de serem afim-independentes não

garante que o conjunto seja linearmente independente.

Definição 1.10 Um poliedro P ⊆ Rn é de dimensão σ, denotado por dim(P ) = σ, se

o número máximo de pontos afins independentes pertencentes a P for σ + 1.

Neste caso, se dim(P ) = n, então é dito que o poliedro tem dimensão plena.

Definição 1.11 Seja πx ≥ π0 uma inequação válida para um poliedro P , o conjunto

F = P ∩ {x : πx = π0} é uma face de P . Uma face é própria se ∅ ⊂ F ⊂ P , ou seja F

é diferente do poliedro P e do conjunto vazio (F 6= ∅ e F 6= P ).

Definição 1.12 Sejam P ⊆ Rn um poliedro e πx ≥ π0 uma inequação válida para P .

πx ≥ π0 será um hiperplano de P se P ⊆ {x ∈ Rn : πx = π0}, ou seja, todos os pontos

de P satisfazem πx ≥ π0 na igualdade.

Identificar inequações válidas para um poliedro P , que definem hiperplanos, é im-

portante na determinação da dimensão de P além de ser uma inequação essencial para

a descrição do poliedro. A Proposição 1.1 a seguir associa a quantidade de hiperplanos

que contém P à sua dimensão. A mesma proposição e sua demonstração pode ser encon-

trada em Nehmauser e Wolsey(1988), onde os hiperplanos são mencionados apenas como

inequações que são satisfeitas por todos os pontos de P na igualdade.

Proposição 1.1 Sejam P ⊆ Rn e k o número de hiperplanos que contém P , então a

dim(P ) = n− k.


Exemplo 1.1.3 Considere um poliedro P ⊆ R3 definido pelas seguintes inequações:

2x1 + x2 + x3 ≤ 2 (1.4)

−x2 − x3 ≤ −1 (1.5)

−2x1 ≤ −1 (1.6)

+x2 ≤ 1 (1.7)

−x3 ≤ 0 (1.8)

Note que as inequações (1.5) e (1.6) podem ser reescritas como x2+x3 ≥ 1 e 2x1 ≥ 1.

Assim, os pontos que satisfazem a inequações (1.5) e (1.6) deverão satisfazer a inequação

x1 + x2 + x3 ≥ 2. Logo, os pontos do poliedro P deverá satisfazer x1 + x2 + x3 ≥ 2 e a

restrição (1.4), assim, pode-se afirmar que os pontos do poliedro P deverão satisfazer a

equação 2x1 + x2 + x3 = 2. Dessa forma, existe um hiperplano que contém o poliedro P

e, pela Proposição 1.1, pode-se afirmar que a dim(P ) ≤ 3− 1 = 2.

Além disso, os pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) pertencem ao poliedro P e são

afim-independentes. Logo, pela Definição 1.10 sabe-se que a dimensão de um poliedro

será o número máximo de pontos afim-independentes pertencentes a ele menos um e, por

isso, pode-se afirmar que dim(P ) ≥ 3 − 1 = 2, pois foram encontrados três pontos afim-

independentes pertencentes a P . Como dim(P ) ≤ 2 e dim(P ) ≥ 2, então dim(P ) = 2.

A Definição 1.13 refere-se a uma outra inequação válida forte que é fundamental na

descrição do envoltório convexo.

Definição 1.13 Dado um poliedro P ⊂ Rn com dim(P ) = σ, uma inequação válida

πx ≥ π0 define uma faceta se satisfaz as duas condições:

a)existem σ pontos afins independentes pertencentes a P e que satisfazem πx = π0, ou

seja, os pontos afins independentes satisfazem a inequação válida na igualdade;

b) Para algum x ∈ P tem-se que πx > π0.

Neste caso, o conjunto F = P ∩{x : πx = π0} é uma faceta de P e dim(F ) = dim(P )−1.

Exemplo 1.1.4 Considere o conjunto inteiro X do Exemplo 1.1.1 e a formulação

F 1 = {x ∈ R2+ : x1−4x2 ≤ 2(I), 3x2 +2x2 ≥ 6(II), 6x1 +5x2 ≤ 6(III), −3x1 +5x2 ≤ 15(IV)},

representado na Figura 1.5:

Através da Figura 1.5, é possível identificar inequações válidas para conv(X), ou

seja, inequações que são satisfeitas para todo ponto de X. Algumas inequações válidas

para conv(X) estão ilustradas na Figura 1.6.


1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

X

X

1

2

I

II III

IV

Figura 1.5: Representação de X

1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

X

X

1

2

I

II III

IV

A: x < 4

B: x + x < 5

C: 2 x - 4 x < 2

D: x < 3

1

1

1

2

2

2

Figura 1.6: Representação de X com inequações válidas

É fácil observar que, entre as inequações válidas para conv(X) representadas na

Figura 1.6, somente a inequação A não é necessária para a descrição de conv(X). Além

disso, a dimensão de dim(conv(X)) = 2, pois não existe nenhum hiperplano que contenha

P e P está contido no espaço R3.

No caso das inequações B, C, D e II, o número máximo de pontos afins independentes

pertencentes a conv(X) que as satisfazem na igualdade são 2. Exemplos desses pontos

são:

• (2, 3) e (3, 2) para a inequação B;

• (0, 2) e (1, 4) para a inequação C;

1.2. Reformulação 15

• (3, 0) e (3, 2) para a inequação D;

• (0, 2) e (3, 2) para a inequação II.

Os pontos escolhidos para as inequações B, C, D e II são linearmente independentes,

logo eles são afins independentes. Além disso, existe pelo menos um ponto pertencente

a conv(X) que não satisfaz as inequações na igualdade. Dessa forma, das inequações

válidas para conv(X), apenas as inequações B, C e D definem facetas e das inequações

da formulação de X, apenas II define faceta. Considerando P um poliedro dado pela

relaxação linear de X definido no exemplo 1.1.4, o conjunto F = P ∩ {x : x1 = 4} é uma

face própria de P . Observe que a inequação válida x1 ≤ 4 não define uma faceta para

conv(X).

Uma das formas de provar que um poliedro descreve o envoltório convexo de um

determinado conjunto de pontos inteiros X é mostrando que todas as facetas de conv(X)

estão contidas em alguma face própria de P .

1.2 Reformulação

Como já foi citado no início deste capítulo, a eficiência do método Branch-and-Bound

depende fortemente da formulação usada para o problema. No caso do Branch-and-Cut,

além da formulação usada, as classes de inequações usadas como planos de corte são

fundamentais para um bom desempenho do Branch-and-Cut.

Na seção anterior, foram tratadas algumas questões sobre formulações e inequações

válidas fortes. Nesta seção, serão formalizados dois caminhos para a aplicação dessa

teoria de forma a melhorar o desempenho dos métodos exatos. Esses caminhos são a

reformulação a priori e reformulação a posteriori .

• Reformulação a Priori

Um caso da reformulação a priori está associado ao desenvolvimento de inequações

válidas o que ocorre também para a reformulação a posteriori. No entanto, a reformu-

lação a priori consiste em adicionar no nó raiz uma família de inequações válidas. Esse

procedimento pode ser inviável dependendo do número de inequações válidas que serão

adicionadas na formulação.


A discussão teórica será desenvolvida tendo como base o PIM, mas é análoga para

o PI, bastando considerar apenas as variáveis inteiras. Considerando o PIM definido na

Seção 1.1 com um conjunto de soluções viáveis X e uma formulação PX definida como:

PX = {(x, y) ∈ Rn+ × Rn

+ : Ax + By ≥ b} e X = PX ∩ (Rn × Zn)

Suponha que para um PIM é conhecida uma família F de inequações válidas para

X que pode ser representada da seguinte forma:

F = {αix + βiy ≥ bi, para j = 1, · · · , |F|},

onde αi, βi, bi ∈ R.

Definição 1.14 Uma reformulação a priori de X através da família F de inequações

válidas é definida pelas restrições iniciais Ax + By ≥ b e pelas inequações válidas da

família F.

Note que o conjunto de soluções viáveis X não muda se o conjunto de inequações

válidas for adicionado a priori na formulação.

X = {(x, y) ∈ Rn+ × Zp

+ : Ax + By ≥ b}= {(x, y) ∈ Rn

+ × Zp+ : Ax + By ≥ b, αjx + βiy ≥ bi, para j = 1, · · · , |F|}

A nova formulação P̃X para o PIM pode ser escrita como:

P̃X = PX ∩ F ⊆ PX ,

onde F = {(x, y) ∈ Rn+ × Rp

+ : αjx + βiy ≥ bi, para j = 1, · · · , |F|}

Exemplo 1.2.1 Aproveitando o Exemplo 1.1.4 da Seção 1.1 que considera um PI, onde

uma formulação para X é:

X = {x ∈ R2+ : x1− 4x2 ≤ 2(I), 3x2 + 2x2 ≥ 6(II), 6x1 + 5x2 ≤ 6(III), −3x1 + 5x2 ≤ 15(IV)},

Além disso, são conhecidas algumas inequações válidas para X. Dessa forma, seja F o

conjunto de pontos que satisfazem as inequações válidas,

F = {x ∈ R2+ : x1 ≤ 4(A), x1 + x2 ≤ 5(B), x1 − 2x2 ≤ 2(C), x2 ≤ 3D}.


A nova formulação é definida como P̃X = PX∩F . Note na Figura 1.6 da seção anterior que

as retas tracejadas indicam as inequações válidas adicionadas e as retas não tracejadas indicam

as inequações da formulação original. Observe que a nova formulação P̃X descreve exatamente

o envoltório convexo. Neste caso, se um problema inteiro tiver X como um conjunto de soluções

viáveis e for resolvido pelo Branch-and-Bound, o problema será resolvido no nó raiz, já que

a formulação tem todos os pontos extremos inteiros e, por isso, pode ser resolvido como um

problema linear.

Um outro caso da reformulação a priori, conhecido como reformulação estendida, está

associado ao desenvolvimento de uma formulação estendida que envolve geralmente um número

de variáveis e/ou de restrições maior que o número da formulação original. Deve-se observar que

apesar da formulação estendida definir novas variáveis e/ou restrições, a formulação deverá man-

ter os mesmos objetivos e condições do problema. Antes de definir formalmente uma formulação

estendida, serão feitas algumas considerações. Seja X = {x ∈ Zn+ : Ax ≥ b} um conjunto de

soluções viáveis de um PI e suponha que é possível mostrar que X = Q onde,

Q = {x ∈ Zn+ : Bx + Gz ≥ d, para algum z ∈ Rq},

onde G é uma matriz e d um vetor coluna com dimensões (n× q) e (n× 1) respectivamente.

Assim, considerando o conjunto

Q′= {(x, z) ∈ Rn

+ × Rq : Bx + Gz ≥ d}

Tem-se que a projeção de Q′ no espaço da variáveis x, denotado por projxQ

′ , é o poliedro

descrito da seguinte forma:

projxQ = {x ∈ Rn : existe z tal que (x, z) ∈ Q}

Da forma como foi definida a projeção de Q′ no espaço x, projxQ

′ é uma formulação para

X, pois X = projxQ∩Zn. Para maiores detalhes sobre projeções consultar Nemhauser e Wolsey

(1988) e Pochet e Wolsey (2006). Por fim, tem-se a seguinte definição de formulação estendida

para X.

Definição 1.15 O poliedro Q = {(x, z) ∈ Rn+ × Rq : Bx + Gz ≥ d} é um formulação

estendida para X = {x ∈ Zn+ : Ax ≥ b} se a projXQ é uma formulação para X.


• Reformulação a Posteriori

Em muitos casos o número de inequações válidas identificadas para um determinado con-

junto de soluções viáveis X de um PI ou PIM é muito grande e, por isso, a reformulação a priori

torna-se inviável. Neste caso, uma alternativa é a reformulação a posteriori que consiste em adici-

onar as inequações necessárias ao longo do método de resolução, sempre que não forem satisfeitas

pela solução de uma relaxação linear. Essas inequações são aquelas que realmente eliminam parte

das soluções viáveis das relaxações lineares que serão resolvidas durante o método.

Para a reformulação a posteriori, além de ter que determinar o conjunto de inequações

válidas, é necessário resolver um problema de separação. Considerando um conjunto de soluções

viáveis X para um PIM ou um PI, uma formulação PX e uma família de inequações válidas F,

o problema de separação consiste em identificar inequações de F que são violadas por um ponto

que pertença a PX ou mostrar que ele satisfaz todas as inequações válidas de F.

Uma forma de resolver o problema de separação é desenvolvendo um algoritmo conhecido

como algoritmo de separação. O algoritmo de separação é exato se ele garante encontrar uma

inequação violada na família de inequações válidas quando existe uma. Caso contrário, ele é

denominado heurística de separação.

Caso as inequações válidas da família F sejam suficientes para a descrição de conv(X), uma

alternativa é resolver a relaxação linear e, a partir da solução encontrada, identificar as inequações

válidas violadas por essa solução e incluí-las na formulação para ser resolvida novamente. Esse

procedimento se repetirá até que a solução ótima para o PIM ou para o PI seja encontrada. Este

método de resolução é conhecido como Método de Planos de Corte e explicações mais detalhadas

sobre ele podem ser encontradas em Wolsey (1998) e Pochet e Wolsey (2006).

A reformulação a posteriori está presente nos métodos de resoluções, como o Branch-

and-Cut, através da inclusão de planos de corte durante o desenvolvimento do Branch-and-

Bound. Alguns pacotes computacionais de otimização como o CPLEX e o XPRESS utilizam

a reformulação a posteriori através da identificação de estruturas na formulação do problema,

para as quais existem inequações válidas que poderão ser adicionadas. A partir da solução

de uma relaxação linear, essas inequações são identificadas através de algoritmos de separação

implementados nesses pacotes computacionais.

1.3. Inequações Válidas e Reformulação para Conjuntos Específicos 19

1.3 Inequações Válidas e Reformulação para Conjuntos

Específicos

Nesta seção, será apresentado um estudo associado ao desenvolvimento de inequações vá-

lidas e reformulação de alguns conjuntos inteiros mistos. A importância de se estudar esses

conjuntos específicos se deve ao fato de que eles podem aparecer na estrutura poliédrica de

alguns Problemas de Otimização Inteiro ou Inteiro Misto. Dessa forma, inequações válidas en-

contradas para estes conjuntos podem ser estendidas para esses problemas. Um estudo mais

detalhado dos conjuntos apresentados nesta seção e de outros pode ser encontrado em Pochet e

Wolsey (2006).

Alguns trabalhos, como Wolsey (2003) e Miller e Wolsey (2003), apresentam um estudo so-

bre alguns conjuntos que aparecem em geral nos Problemas Inteiro Misto. Em Wolsey (2003) por

exemplo os resultados obtidos para alguns conjuntos inteiro misto são estendidos para Problemas

de Dimensionamento de Lotes com características específicas.

• Conjunto Inteiro Misto Básico

Inicialmente será considerado um conjunto inteiro misto na forma mais simples, quando

apresenta duas variáveis, sendo uma inteira e outra contínua. O conjunto pode ser escrito como:

XMI = {(s, y) ∈ R+ × Z+ : s + y ≥ b}

Proposição 1.2 I)Seja f = b− bbc ≥ 0. A inequação SMIR (simple mixed integer rounding)

s ≥ f(dbe − y)

é válida para XMI .

II)O poliedro

P = {(s, y) ∈ R+ × R+ : s + y ≥ b, s + fy ≥ fdbe, s ≥ 0}

descreve o envoltório convexo de XMI .

Demonstração:

I) Sejam X1 = XMI⋂{(s, y) : y ≥ dbe} e X2 = XMI

⋂{(s, y) : y ≤ bbc}.Note que 0 ≥ dbe − y e s ≥ 0 são inequações válidas para X1. Multiplicando essas inequações

válidas por f e 1 respectivamente e somando-as obtém-se s ≥ f(dbe − y), que pode ser reescrita

como s + fy ≥ fdbe. Logo, a inequação SMIR é válida para X1.


Observe também que s ≥ b− y e 0 ≥ y−bbc são inequações válidas para X2 pela definição

do próprio conjunto. Multiplicando respectivamente essas inequações por 1 e 1−f e somando-as

obtém-se s ≥ b− y + (1− f)(y − bbc) ≥ f(bbc − y). Assim, SMIR é válida para X2.

Como SMIR é válida para X1 e X2, então ela é válida para XMI = X1 ∪X2.

II)Serão feitas duas demonstrações so a descrição do envoltório convexo de XMI através

do poliedro P definido no item II da proposição.

1a)Será mostrado que toda faceta, definida na Seção 1.1, do Poliedro P é um conjunto com

pontos extremos inteiros.

Considere as três possibilidades de facetas:

F1 = {(s, y) ∈ P : s = 0};

F2 = {(s, y) ∈ P : s + fy = fdbe};

F3 = {(s, y) ∈ P : s + y = b}.

Reescrevendo as facetas, têm-se:

F1 = {(s, y) : s = 0, 0 ≥ b− y, 0 ≥ f(dbe − y)} = {(s, y) : s = 0, y ≥ dbe}

F2 = {(s, y) : s = fdbe − fy, fdbe − fy ≥ 0, fdbe − fy ≥ b− y} =

{(s, y) : s + fy = fdbe, bbc ≤ y ≤ dbe}

F3 = {(s, y) : s = b− y, b− y ≥ fdbe − fy, b− y ≥ 0} = {(s, y) : s = b− y, y ≤ bbc}

Observando no espaço (s, y), todos os pontos extremos destas facetas tem y inteiro. Estas

facetas são da forma s = πy + µ, com α ≤ y ≤ β com α e β assumindo valores inteiros ou

simbolicamente +∞ ou −∞. Portanto, cada faceta do poliedro tem pontos extremos inteiros.

Logo, o poliedro é integral e, por isso, descreve o envoltório convexo de XMI .

2a)A formulação P é definida por três inequações. Os pontos extremos pertencem a inter-

secção de duas inequações, satisfazendo-as na igualdade.

A intersecção de s = 0 e s + fy = fdbe é o ponto (s, y) = (0, dbe) ∈ XMI .

A intersecção de s + fy = fdbe e s + y = b é o ponto (s, y) = (f, bbc) ∈ XMI .

A intersecção de s = 0 e s + y = b é o ponto (s, y) = (0, b) que é cortado pela inequa-

ção s + fy ≥ fdbe. Os dois pontos viáveis extremos de P pertencem a XMI e, portanto,

P = conv(XMI).

¥

Corolário 1.1 Para o conjunto X = {(s, z) ∈ R1+ × Z+ : z ≤ d + s} a inequação SMIR é

descrita como:


z ≤ bdc s

1 + fd.

Onde fd = d− bdc

Demonstração:Tomando z = −y e d = −b, tem-se que bdc = −dbe e f = 1− fd. Fazendo

substituições necessários em s ≥ f(dbe − y) e reescrevendo-a, obtém-se z ≤ bdc s1+fd

.

¥

Note que tomando x = b − s e eliminando a variável s, o conjunto XMI toma a seguinte

formulação {(x, y) ∈ R × Z : x ≤ b, x ≤ y}. Neste caso, a inequação SMIR é escrita como

x ≤ bbc+ f(y − bbc)

Exemplo 1.3.1 Considere o conjunto X = {(s, y) ∈ R+ × Z : s + y ≥ 3, 75}

Pela Proposição 1.2 pode-se obter a inequação válida

s ≥ f(b3.75c − y) ⇒ s ≥ (3, 75− b3.75c)(d3.75e − y) ⇒ s + 0.75y ≥ 3.

A Figura 1.7 permite visualizar graficamente a inequação SMIR para o conjunto X exemplo.

1

1

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

y

s

I : s + y > 3,75

A : s + 0,75y > 3

IA

Figura 1.7: Representação de X com a inequação SMIR

• Conjunto Inteiro Misto com K variáveis contínuas

Agora, será considerado um conjunto inteiro misto com K variáveis contínuas e uma va-

riável inteira dado da seguinte forma:

XMIK = {(s, y) ∈ RK

+ × Z : sk + y ≥ bk ∀k = 1, · · · ,K}.


Observe que XMIK (b) =

⋂Kk=1 XMI

1 (bk) ⊆ RK+ × Z com:

XMI1 (bk) = {(sk, y) ∈ R+ × Z : sk + y ≥ bk} ∀k = 1, · · · ,K.

Dessa forma, é suficiente adicionar uma inequação SMIR para cada conjunto XMI1 (bk) para

obter o envoltório convexo de XMIK .

Considere fk = bk − bbkc.

Teorema 1.2 O poliedro:

sk + y ≥ bk, ∀k = 1, · · · ,K; (1.9)

sk + fky ≥ fkdbke, ∀k = 1, · · · ,K; (1.10)

s ∈ RK+ , y ∈ R; (1.11)

descreve o envoltório convexo de XMIK .

Demonstração:

Para descrever uma faceta do poliedro, uma das inequações deverá ser satisfeita na igual-

dade para todo k. Observando o raciocínio do Teorema 1.2 tem-se que cada faceta será definida

por k equações sk = πku+µk, definindo sk, com a intersecção de k intervalos αk ≤ y ≤ βk, onde

αk e βk devem ser assumir valores inteiros ou, simbolicamente, +∞ ou −∞. Portanto, cada

faceta tem pontos extremos inteiros e dessa forma o poliedro é integral. ¥

Exemplo 1.3.2 Considere o conjunto

X = {(s, y) ∈ R3+ × Z : s1 + y ≥ 3, 5; s2 + y ≥ 2, 8; s3 + y ≥ 0, 9}

Pelo Teorema 1.2 as inequações válidas para X,

s1 ≥ 0, 5(4− y), s2 ≥ 0.8(3− y) e s3 ≥ 0, 9(1− y),

são suficientes para obter o envoltório convexo de X

• Conjunto do tipo MIX (Mixing Set)

O conjunto do tipo MIX possui mais de uma variável inteira e pode ser representado da

seguinte forma:

XMIXK = {(s, y) ∈ R+ × ZK : s + yk ≥ bk, ∀k = 1, · · · ,K}.


Neste caso, as K inequações SMIR, s+fkyk ≥ fkdbke para k = 1, · · · , K, não são suficientes

para descrever o envoltório convexo quando K > 1.

Como 0 ≤ fk ≤ 1, note que a inequação SMIR pode ser escrita como s+fkyk ≥ fk(bbkc+1).

Proposição 1.3 Seja T ⊂ {1, · · · ,K} com |T | = t, e suponha que i1, · · · , it é uma ordem de T

tal que 0 = fi0 ≤ fi1 ≤ · · · fit < 1. Então as inequações

s ≥t∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)(bbiτ c+ 1− yiτ ) e (1.12)

s ≥t∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)(bbiτ c + 1− yiτ ) + (1− fit)(bbi1c − yi1) (1.13)

são válidas para XMIXK .

Demonstração:

Tome (s, y) ∈ XMIXK e defina β = maxt

τ=1

{bbiτ c+ 1− yiτ

}.

Se β ≤ 0, note que o lado direito da duas inequações tomarão valores não positivos.

Portanto, a inequações (1.12) e (1.13) são satisfeitas em qualquer ponto (s, y) ∈ XMIXK , pois

s ≥ 0.

Considere o caso quando β ≥ 1.

Para a demonstração desse caso, será definido

v = max{τ ∈ {1, · · · , t} : β = bbiτ c+ 1− yiτ

}.

Observe que β ≥ bbiτ c+ 1− yiτ para τ ≤ v, pois β = maxtτ=1

{bbiτ c+ 1− yiτ

}.

Como yiτ ∈ Z, então β − 1 ≥ bbiτ c+ 1− yiτ para τ > v. Dessa forma,

•t∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)(bbiτ c+ 1− yiτ ) ≤v∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)β +t∑

τ=v+1

(fiτ − fiτ−1)(β − 1) =

− fi0β + fivβ + fiv(β − 1) + fit(β − 1) = fivβ − fivβ + fiv + fit(β − 1) ≤

fiv + β − 1 = fiv + bbivc − yiv = biv − yiv ≤ s

•t∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)(bbiτc+ 1− yiτ ) + (1− f it)(bbi1c − yi1) ≤

v∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)β +t∑

τ=v+1

(fiτ − fiτ−1)(β − 1) + (1− fit)(β − 1) =

− fi0β + fivβ − fiv(β − 1) + fit(β − 1) + β − 1− fit(β − 1) =

(β − 1) + fiv = bbivc − yiv + fiv = biv − yiv ≤ s


Portanto, as inequações (1.12) e (1.13) são válidas XMIXK .

¥

Teorema 1.3 I) As restrições

s + yk ≥ bk, ∀k = 1, · · · ,K; s ≥ 0

e as inequações válidas (1.12) e (1.13) descrevem o envoltório convexo de XMIXK .

II) Sejam Xi = {(si, yi) ∈ Rm+ × Zki : si + yi

k ≥ bik, k = 1, · · · , Ki} para i = 1, · · · ,m e

y = (y1, · · · , ym) ∈ ZK1 ×ZKm . Considere o conjunto(∩m

i=1 Xi) ⋂{

y : By ≤ d} ⊆ Rm

+ ×ZK1 ×· · · × ZKm.

O poliedro:

si + yik ≥ bi

k, ∀i = 1, · · · ,m; ∀k = 1, · · · , Ki; (1.14)

as inequações (1.12) e (1.13), ∀i = 1, · · · ,m; (1.15)

By ≤ d; (1.16)

s ∈ Rm+ , yi ∈ RKi , ∀i = 1, · · · ,m; (1.17)

é integral se o poliedro{z : Bz ≤ d, lij ≤ zi − zj ≤ hij , para i, j ∈ {1, · · · ,K} com i 6= j

}

é integral para todo inteiro lij , hij. Em particular , a condição é satisfeita se B representa

uma matriz de incidência de um digrafo. Ou seja, a matriz B terá em cada linha um elemento

+1 e um elemento −1 que representam a convergência e a divergência respectivamente de uma

determinada aresta e os outros elementos serão nulos.

Exemplo 1.3.3 Considere o conjunto

X = {(s, y) ∈ R+ × Z3 : s + y1 ≥ 3, 5; s + y2 ≥ 2, 8; s + y3 ≥ 0.9}

Pelo Teorema 1.3 e necessário adicionar as inequações construídas a seguir para obter o

envoltório convexo de X.

As inequações (1.12) para |T | = 1 são:

s ≥ 0, 5; s ≥ 0, 8(3− y); s ≥ 0.9(1− y).

As inequações (1.12) para |T | > 1 são:


• T = {1, 2}s ≥ 0, 5(4− y1) + (0, 8− 0, 5)(3− y2)

• T = {1, 3}s ≥ 0, 5(4− y1) + (0, 9− 0, 5)(1− y3)

• T = {2, 3}s ≥ 0.3(3− y2) + (0.9− 0.6)(1− y3)

• T = {1, 2, 3}

s ≥ 0.5(4− y1) + (0.8− 0.5)(3− y2) + (0.9− 0.5)(1− y2)

As inequações para (1.13) para |T | > 1 são:

• T = {1, 2}s ≥ 0, 5(4− y1) + (0, 8− 0, 5)(3− y2) + (1− 0, 8)(3− y1)

• T = {1, 3}s ≥ 0, 5(4− y1) + (0, 9− 0, 5)(1− y3) + (1− 0, 9)(3− y1)

• T = {2, 3}s ≥ 0.3(3− y2) + (0.9− 0.6)(1− y3)(1− 0, 9)(2− y2)

• T = {1, 2, 3}

s ≥ 0.5(4− y1) + (0.8− 0.5)(3− y2) + (0.9− 0.5)(1− y2)(1− 0.9)(3− y1)

Note que as inequações (1.13) para |T | = 1 não são necessárias porque elas resultam nas

restrições originais do conjunto X.

Uma formulação estendida para XMIXK

No caso do XMIXK é possível identificar os seus pontos e raios extremos. Dessa forma, é pos-

sível obter uma formulação estendida que representa o envoltório convexo. Antes da formulação,

a Proposição 1.4 fornece os pontos e raios extremos para de conv(XMIXK ).

Proposição 1.4 I)Os raios extremos de conv(XMIXK ) são os vetores (s, y) = (0, ek) para 1 ≤

k ≤ K e o vetor (1,−e), onde ek ∈ RK é o k−ésimo vetor unitário (ou seja, tem a k−ésima)

coordenada igual a 1) e e ∈ RK é o vetor com todos elementos unitários.

II)Os pontos extremos são (sj , yj) para j = 0, · · · ,K com sj = fj, yk = dbk − fje para

k = 1, · · · ,K.


Demonstração:

I) Observe que se (s′, y

′) ∈ conv(XMIX

K ), s′+ y

′k ≥ bk para k = 1, · · · ,K.

Considere todos os pontos p = (s′, y

′) + λ(1, ek) para λ ≥ 0.

Note que:

p = (s′, y

′1, · · · , y

′k + λ1, · · · , y

′k), λ ≥ 0.

Para todos os pontos p as restrições de XMIXK são satisfeitas e pertencem a conv(XMIX

K ).

Dessa forma, (0, ek) são raios extremos de conv(XMIXK ).

Considerando os pontos q = (s′, y

′) + λ(1,−e) com λ ≥ 0 e fazendo um raciocínio análogo

ao feito para os pontos p, conclui-se que (1,−e) é também um raio extremo de conv(XMIXK ).

II) Suponha que para um j o ponto (sj , yj) da forma como foi definido no enunciado da

proposição não seja um ponto extremo. Dessa forma, (sj , yj) neste caso não poderá satisfazer

nenhuma inequação na igualdade. No entanto, observe que, tomando coordenada k = j, tem-se

que:

sj + yjj ≥ bj ⇒ fj + dbj − fje = fj + bbjc = bj .

Assim, o ponto (sj , yj) satisfaz a j-ésima inequação que define XMIXK .

Logo o ponto (sj , yj) é um ponto extremo.

¥

Portanto a formulação estendida pode ser escrita como:

s =K∑

j=0

fjδj + µ;

yk ≥K∑

j=0

dbk − fjeδ − µ, ∀k = 1, · · · ,K;

K∑

j=0

δj = 1;

µ ∈ R+, δ ∈ RK+1+ .

A formulação estendida para XMIXK representa a combinação convexa dos pontos extremos

com a combinação não negativa dos raios extremos, descrevendo o envoltório convexo de XMIXK

da maneira como foi definida na Seção 1.1.

Capítulo 2

Problema de Dimensionamento de

Lotes (Lot Sizing-LS) com Um Item

O objetivo fundamental desse capítulo é reproduzir alguns estudos sobre inequações válidas

e reformulações para o Problema de Dimensionamento de Lotes com um único item visando o

melhor entendimento dessa teoria e a identificação de procedimentos que possam auxiliar na

aplicação dessa teoria para outros problemas.

Na Seção 2.1 será definido o Problema básico de Dimensionamento de Lotes (Lot Sizing-

LS) com um único item e sem restrição de capacidade e algumas propriedades importantes. Essas

propriedades serão fundamentais na definição de inequações válidas e de algumas reformulações

estendidas apresentadas na Seção 2.3 para o Problema de Dimensionamento de Lotes com Um

Item .

O LS pode apresentar diversas características, diante dessa diversidade dos Problemas de

Dimensionamento de Lotes que são estudados na literatura, é feita na Seção 2.2 uma classificação

que determina uma forma simplificada de fazer referência a um problema e às suas caracterís-

ticas. Os estudos associados a estrutura poliédrica na literatura geralmente consideram um

problema com características específicas e estão relacionados com inequações válidas e reformu-

lações. Resultados importantes que dizem respeito à descrição do envoltório convexo através de

reformulações e inequações válidas fortes serão citados no decorrer deste capítulo e alguns deles

serão descritos aqui. Por último, na Seção 2.4 estão alguns resultados para casos específicos do

Problema de Dimensionamento de Lotes com restrição de capacidade.

27

2.1. Problema de Dimensionamento de Lotes sem Restrição de Capacidade 28

2.1 Problema de Dimensionamento de Lotes sem Res-

trição de Capacidade

O Problema geral de Dimensionamento de Lotes (Lot Sizing-LS) considera um horizonte

de planejamento finito com n períodos e, para cada período t desse horizonte de planejamento,

a demanda deverá ser satisfeita de acordo com algum objetivo, como minimizar o custo total

de produção. Para a apresentação da formulação matemática do LS serão definidas algumas

notações.

Dados:

• dt: demanda do período t.

• p′t: custo de produção de uma unidade no período t.

• h′t: custo de estoque de uma unidade no fim do período t.

• qt: custo de preparo no período t.

Variáveis:

• xt: quantidade de produção no período t.

• st: quantidade de estoque no fim do período t.

• yt =

1 , se houver preparo para a produção no período t ;

0 , caso contrário .

Logo, uma formulação para o LS e com um único item é dada da seguinte forma:

Min

n∑

t=1

(xtp′t + sth

′t + ytqt) (2.1)

sujeito à:

st−1 + xt − st = dt , ∀t = 1, · · · , n; (2.2)

xt ≤ Myt, ∀t = 1, · · · , n; (2.3)

st, xt ≥ 0, ∀t = 1, · · · , n; (2.4)

yt ∈ {0, 1}, ∀t = 1, · · · , n. (2.5)

Onde (2.1) representa a função objetivo que a minimiza a soma dos custos relativos à

produção, ao preparo e ao estoque de cada período t . As restrições (2.2), conhecidas como


restrições de balanceamento de fluxo, garantem que a demanda do período t seja atendida. As

restrições (2.3) são as restrições de preparo, que permitem a produção no período t somente se

houver preparo no período t, ou seja, yt igual a 1. As restrições (2.4) garantem a não negatividade

das variáveis de estoque e de produção. Finalmente, M é um número grande de tal forma que a

produção não fique limitada.

Em muitos trabalhos é comum uma interpretação desse problema através da Teoria de

Grafos. Neste caso, o LS é similar ao Problema de Fluxo com Custo Mínimo numa Rede. A

representação do LS através de uma rede está exemplificada na Figura 2.1 para um problema

com 4 períodos (ou seja, n = 4), onde o nós representam o períodos.

( p , q )

( p , q ) ( p , q )

( p , q )

1

0

2 3 4

1

2 3

41

2 3

4

( h , 0) ( h , 0) ( h , 0)1 2 3

d d d d1 2 3 4

Figura 2.1: Representação do LS

Na Figura 2.1, note que o fluxo na aresta (0, t) representa a quantidade produzida no

período t, o fluxo na aresta (t, t+1) representa o estoque no fim do período t e o custos associado

às arestas são, respectivamente, o custo de produção mais o custo de preparo e o custo de estoque

do período t. Dessa forma, encontrar a solução ótima para o LS sem restrição de capacidade

equivale a encontrar o fluxo de custo mínimo entre os nós 0 e 4 na rede que o representa. A partir

dessa interpretação do LS sem restrição de capacidade, será possível identificar alguns resultados

que caracterizam a sua solução ótima.

De acordo com Wolsey (2006) a solução ótima do Problema de Fluxo com Custo Mínimo

numa Rede deve apresentar um grafo acíclico associado, formado pelas arestas que têm fluxo

diferente de zero, . Este resultado será usado na demonstração da Proposição 2.1 que está

relacionada com a estrutura da solução ótima do LS sem restrição de capacidade.

Proposição 2.1 Existe uma solução ótima em que st−1xt = 0 para todo t.

Demonstração:

Considere uma solução viável para o LS sem restrição de capacidade com y ∈ {0, 1}n.


Suponha que o estoque no fim do período t−1 seja estritamente maior que zero (st−1 > 0).

Naturalmente, o estoque no fim do período t − 1 deve ser originado em algum período k

com k < t. Assim, os fluxos das arestas (0, k), (k, k + 1), · · · , (t− 1, t) são estritamente maiores

que zero.

Observe que se xt > 0, então o fluxo da aresta (0, t) também será maior que zero. Logo,

o grafo formado pelas arestas com fluxo diferente de zero, sem considerar a orientação, terão

as arestas (0, k), (k, k + 1), · · · , (t− 1, t), (t, 1), que formam um ciclo. Pelo resultado da solução

ótima do Problema de Custo Mínimo numa Rede conclui-se que o fluxo da aresta (0, t) ou da

aresta (t− 1, t) deve ser zero. Como o fluxo das arestas (0, t) e (t− 1, t) corresponde aos valores

de xt e st−1 respectivamente, então tem-se que st−1xt = 0. ¥

Diante disso, serão descritos alguns resultados sobre a da solução ótima do LS sem restrição

de capacidade.

Proposição 2.2 Existe uma solução ótima para o LS sem restrição de capacidade caracterizada

da seguinte maneira:

I) Seja {t1, · · · , tr} um subconjunto de períodos tal 1 ≤ t1 < · · · < tr ≤ n e a produção

ocorra. A quantidade produzida em tj é dtj + · · ·+ dtj+1−1 para j = 1, · · · , r com tr+1 = n + 1.

II) Além disso, pode existir um subconjunto de períodos R, para os quais também ocorre

preparo, tal que R ⊆ {1, · · · , n} \ {t1, · · · , tr}. A quantidade produzida será determinada da

mesma forma como foi definida em I.

A Figura 2.2 representa a estrutura de uma solução ótima.

Os intervalos [t1, t2 − 1], [t2, t3 − 1], · · · de uma solução, sem estoque no início e no final e

com produção no início de cada intervalo, são chamados intervalos regenerados. A Proposição 2.2

mostra que uma solução ótima pode ser decomposta numa seqüência de intervalos regenerados

e com alguns preparos adicionais sem produção. Na prática os custos de preparo são geralmente

não negativos e, conseqüentemente, pode tomar R = ∅. Quando existem custos de preparo

negativo, não se pode tomar R = ∅.

0

t1 t2

t3 t4

Figura 2.2: Estrutura da solução ótima do LS


Para representar a demanda acumulada de um intervalo de tempo entre os períodos k e l

será usada a seguinte notação:

dkl =l∑

u=k

du. (2.6)

O Lema 2.1, que mostra duas maneiras equivalentes para escrever a função objetivo, será

apresentado pensando na simplificação de cálculos nas seções posteriores .

Lema 2.1 A função objetivo (2.1) do LS pode ser escrita como:

Min h0s0 +n∑

t=1

ptxt +n∑

t=1

qtyt + K1, (2.7)

onde pt = p′t +

∑nt=1 h

′j para t = {0, · · · , n}, h0 =

∑nt=0 h

′t e K1 = −∑n

t=1 h′td1t. Ou,

Minn∑

t=0

htst +n∑

t=1

qtyt + K2, (2.8)

onde ht = h′t + p

′t − p

′t+1 para t = {0, · · · , n} com p

′0 = p

′n+1 = 0 e K2 = −∑n

t=1 p′tdt.

Demonstração:Somando todas restrições de conservação de fluxo (2.2) e isolando st, obtém-

se:

st = s0 +t∑

u=1

xu − d1t. (2.9)

Substituindo a equação (2.9) na função objetivo (2.1), obtém-se a função objetivo (2.7).

Similarmente, eliminando as variáveis xt da função objetivo (2.1) e usando xt = dt + st −st−1, obtém-se a função objetivo (2.8).

¥

Note que resolver um problema com as funções objetivos (2.7) ou (2.8) é equivalente resolvê-

lo com as funções (2.10) ou (2.11) respectivamente, já que h0, K1 e K2 são valores constantes.

Minn∑

t=1

ptxt +n∑

t=1

qtyt. (2.10)

Minn∑

t=0

htst +n∑

t=1

qtyt. (2.11)

Diante disso, quando for definida uma formulação para o LS nas seções posteriores, a função

objetivo considerada será a (2.10) que apresenta apenas as variáveis de preparo e produção.

2.2. Classificação dos Problemas 32

2.2 Classificação dos Problemas

Os Problemas LS podem ser divididos em várias famílias. Nesta seção, será feita uma

classificação básica dos problemas com um único item que pode ser estendida para os problemas

com vários itens. A classificação considera várias características que podem ser identificadas num

processo de produção, tais como a presença ou não de capacidade de produção, custo de preparo,

estoque inicial, entre outras. No caso dos problemas que consideram vários itens, existem algumas

características específicas que também serão apresentadas para classificação desses problemas.

Essa classificação é proposta em Wolsey(2002) e é encontrada com mais detalhes em Pochet e

Wolsey (2006).

Para indicar as características num problema com um único item, serão utilizados três

campos, PROB-CAP-VAR, onde cada campo receberá uma abreviatura vinculada a uma

característica específica presente no problema. O primeiro campo, PROB, poderá receber as

seguintes abreviaturas:

• LS: indica que é um problema LS geral tal como foi definido na Seção 2.1.

• WW (Wagner-Whitin): indica que é um LS, mas com os custos de produção e estoque

satisfazendo a condição de que h′t+p

′t−p

′t+1 ≥ 0 para 0 ≤ t ≤ n, onde p

′0 = p

′n+1 = 0. Neste

caso, dado que a produção ocorre nos períodos t e t + 1, o custo de produzir no período t

e estocar para o período t + 1 é maior do que o custo de produzir diretamente no período

t+1. Em outras palavras, uma vez determinados os períodos nos quais ocorrerá preparo, a

produção de um determinado período ocorrerá o mais tarde possível. determinado período

ocorrerá o mais tarde possível.

• DLSI (Discrete Lot-Sizing with Variable Initial Stock): indica que é um LS com a restrição

de que se houver produção no período t, será utilizada toda a capacidade do período t

denotada por Ct. Além disso, inclui a variável de estoque inicial. Neste caso, as restrições

de preparo na formulação do problema serão escritas da seguinte maneira:

xt = ytCt, ∀t = 1, · · · , n.

• DLS (Discrete Lot-sizing): indica que é um DLSI sem a variável de estoque inicial.

Para o segundo campo CAP, existem três abreviaturas que estão relacionadas com o limite

de produção:

• C (Capacity): indica que o problema considera uma capacidade que varia no horizonte

de planejamento, ou seja, Ct é capacidade de produção no período t. Dessa forma, as


restrições de preparo deverão ser escritas como:

xt ≤ ytCt, ∀t = 1, · · · , n.

• CC (Constant Capacity): indica que o problema considera a capacidade constante da

produção, ou seja, C = Ct para todo t e as restrições de preparo são:

xt ≤ ytC, ∀t = 1, · · · , n.

• U (Uncapacitated): indica que o problema não possui restrição de capacidade de produção.

Neste caso, as restrições de preparo devem ser escritas como na formulação matemática

do LS sem restrição de capacidade apresentada na Seção 2.1.

Finalmente, para o terceiro campo VAR, existem seis abreviaturas que estão relacionadas

com a presença de algumas variáveis no modelo. A ausência de abreviaturas nesse campo indica

que problema apresenta apenas as variáveis de produção, estoque e preparo. Dessa forma, o

Problema de Dimensionamento de Lotes sem restrição de capacidade apresentado na Seção 2.1 é

referenciado por LS-U. Para facilitar as explicações das características relacionadas às abreviatu-

ras do terceiro campo, será considerado um Problema de Dimensionamento básico com restrição

de capacidade, cuja formulação pode ser obtida a partir da formulação do LS-U substituindo M

por Ct. Assim, a partir das notações da Seção 2.1 uma formulação para o LS-C pode ser escrita

como:

Minn∑

t=1

(xtp′t + sth

′t + ytqt) (2.12)

sujeito à:

st−1 + xt − st = dt, ∀t = 1, · · · , n; (2.13)

xt ≤ Ctyt, ∀t = 1, · · · , n; (2.14)

st, xt ≥ 0, ∀t = 1, · · · , n; (2.15)

yt ∈ {0, 1}, ∀t = 1, · · · , n. (2.16)

Logo, algumas possibilidades para o campo V AR estão relacionadas abaixo.

• B (Backlog): indica que o problema permite satisfazer a demanda com uma produção em

atraso, ou seja, após o período em que demanda foi requisitada. Assim, a restrições de

balanceamento deverão ser da seguinte forma:

st−1 − rt−1 + xt = dt + st − rt, ∀t = 1, · · · , n.

Onde rt é produção em atraso no período t e geralmente é associado a custo.


• SC (Start-up Costs): indica que o problema considera um custo por inicializar a produção

no período t, denotado por gt. Além das variáveis que indicam o preparo yt e restrições de

preparo, a formulação deverá constar de uma variável σt, tal que σt = 1 se houver início

de produção no período t e σt = 0, caso contrário, e das seguintes restrições:

σt ≥ yt − yt−1, ∀t = 1, · · · , n;

σt ≤ yt, ∀t = 1, · · · , n;

σt ≤ 1− yt−1, ∀t = 1, · · · , n;

σt ∈ {0, 1}n.

Note que as restrições acima garantem que σt será igual a 1 somente se houver preparo no

período t e não houver preparo no período t− 1 e σt e igual a 0 nos outros casos.

• ST (Start-up Times): indica que o modelo considera o tempo de inicialização, que é

o tempo consumido no primeiro período de uma seqüência períodos consecutivos com

preparos. Normalmente, esse tempo é considerado nos modelos de tal forma a limitar com

maior precisão a capacidade de produção. Assim, a capacidade Ct é reduzida por uma

quantidade stt. Neste caso, as restrições que limitam a produção deverão ser escritas da

seguinte maneira:

xt + sttσt ≤ ytCt, ∀t = 1, · · · , n.

Caso o tempo de inicialização da produção seja constante, stt = st para todo t, a abrevi-

atura é escrita como ST(C).

• LB(Minimum Production Level): indica que o problema exige que uma quantidade mí-

nima, LBt, deva ser produzida, caso haja preparo no período t. Essa condição é garantida

pelas seguintes restrições:

xt ≥ LBtyt, ∀t = 1, · · · , n.

Caso a quantidade mínima seja constante, LBt = LB para todo t, a abreviatura utilizada

será LB(C).

• SL (Sales and Lost Sales): indica a inclusão de variáveis de venda no modelo, vt. Essas

variáveis são necessárias quando a capacidade de produção é muito apertada e, neste caso,

elas representam parte da demanda que não será atendida. Uma outra situação em que

elas estão presentes é quando o preço de venda da produção para satisfazer a demanda

não cobre os custos. Diante disso, é necessário uma quantidade de produção excedente que

será vendida. Nos dois casos, a variável está associada a um coeficiente na função objetivo,


ct, indicando o custo por não atender uma unidade da demanda ou o preço pela venda de

uma unidade da produção excedente. Nestes dois casos, as restrições de balanceamento

devem ser da seguinte maneira:

st−1 + xt = dt + vt + st, ∀t = 1, · · · , n.

• SS (Safety Stock): indica que o problema considera que o planejamento deve ter uma

quantidade mínima estocada no final do período t, SSt, garantida pelas seguintes restrições:

st ≥ SSt, ∀t = 1, · · · , n.

No caso dos problemas que consideram vários itens segue o mesmo esquema de classificação,

porém são consideradas outras características além das apresentadas para os problemas com um

único item. Os problemas com vários itens podem ser monoestágio e multiestágio. Num

problema monoestágio, os itens finais são produzidos de forma direta, sem depender da produção

de outros itens para finalizar a sua produção. Neste caso, a demanda dos itens é satisfeita

diretamente pelos itens finais, configurando um problema com demandas independentes. No

caso de um problema multiestágio, os itens finais dependem da produção de outros. Dessa

forma, as demandas caracterizam-se como demandas dependentes. Nos problemas com vários

itens, também podem ser consideradas várias máquinas.

A classificação básica para os problemas com vários itens será feita considerando problemas

monoestágio com uma máquina, já que, geralmente, as máquinas apresentam características

similares. Aproveitando algumas notações com apenas a adição de um índice j para representar

um conjunto de J (J > 1) itens, será dada continuidade na classificação incluindo características

que podem estar presentes em um problema com vários itens. Para isso, dois novos campos serão

incluídos na referência, passando a ser escrita como {PROB-CAP-VAR}-PM-PQ.

O campo PM (Production Mode) indica características associadas às quantidades de pre-

paros permitidas e a presença de algumas variáveis, enquanto que, o campo PQ (Production

Quantity) indica características associadas com a capacidade de produção.

As possibilidades para o campo PM são:

• M1: indica que o problema permite no máximo um preparo em cada período. Conside-

rando a variável de preparo do item j no período t, yjt , as restrições que garantem no

máximo um preparo por período são:

J∑

j=1

yjt ≤ 1, ∀t = 1, · · · , n.


• M1-SC: indica a presença de variáveis de inicialização, σjt , e/ou de switch-off, wj

t , que

indicam a desativação da máquina. Além disso, é permitido no máximo um preparo por

período. As restrições para a inclusão das variáveis de inicialização necessárias são:

σjt ≥ yj

t − yjt−1, ∀t = 1, · · · , n, j = 1, · · · , J.

σjt ≤ yj

t , ∀t = 1, · · · , n, j = 1, · · · , J.

σjt ≤ 1− yt−1, ∀t = 1, · · · , n, j = 1, · · · , J.

σjt ∈ {0, 1}. ∀t = 1, · · · , n, j = 1, · · · , J.

Assim, por exemplo, σjt é igual a um, indicando a inicialização da produção, se yj

t é igual

a 1 e yjt−1 é igual a zero. A modelagem para as variáveis de switch-off é bastante similar a

modelagem feita para as variáveis de inicialização, basta trocar yjt−1 por yj

t+1. Neste caso,

wjt é igual a 1, indicando a desativação da máquina, se yj

t é igual a 1 e yjt+1 é igual a 0.

• M1-SQ: indicam a presença das variáveis de troca zijt dependente da seqüência. Se houver

preparo para o item i no período t− 1 e para o item j no período t, então zijt deverá ser 1,

caso contrário, zijt deve ser 0. O fato de ser dependente da seqüência significa que o custo

da troca de um item j para um item i é diferente do custo da troca inversa. Geralmente

essa condição é incluída no modelo pelas seguintes restrições:

zijt ≥ yi

t−1 + yjt − 1, ∀t = 1, · · · , n, i, j = 1, · · · , J.

Outras possibilidades para o campo PM podem ser consideradas apenas aumentando a

quantidade de preparo permitida. Nestes casos, as abreviaturas são Mk, Mk-SC e Mk-SQ com

K ≥ 2. Naturalmente, o valor de k indica a quantidade máxima de preparo permitida por

período. A ausência de restrição sobre o número de preparo é indicado por M∞.

Os problemas que permitem a produção de vários itens por período e apresentam geral-

mente períodos grandes são denominados Big Bucket . Enquanto que, os problemas, onde a

produção de no máximo dois itens é permitida por período e esses períodos são geralmente curtos,

são conhecidos como Small Bucket .

As possibilidades para o campo PQ consideradas aqui são:

• PC (Production Capacity ): indica simplesmente a presença de restrições de capacidade

no problema representadas da seguinte forma:

J∑

j=1

ajxjt ≤ Ct, ∀t = 1, · · · , n,


onde aj é a quantidade consumida para a produção de uma unidade do item j e Ct é

capacidade da máquina disponível do período t.

• PC-SU: indica a presença do tempo de preparo que deverá reduzir a capacidade disponível

da máquina. Diante disso, as restrições de capacidade são escritas como:

J∑

j=1

ajxjt +J∑

j=1

bjyjt ≤ Ct, t = 1, · · · , n,

onde bi é capacidade consumida com o preparo da máquina para o item j.

• PC-ST: indica a presença do tempo de inicializar a produção que deverá diminuir a

capacidade disponível da máquina. Neste caso, as restrição são:

J∑

j=1

ajxjt +J∑

j=1

cjσjt ≤ Ct, t = 1, · · · , n,

onde ci é capacidade consumida com o preparo da máquina para o item j. Note que a

variáveis de inicialização σjt deverão ser definidas no modelo.

• PC-SQ: indica a presença de tempo de preparo dependente da seqüência que também

deverá diminuir a capacidade disponível da máquina. Para incluir essa condição, além da

definição das variáveis de troca zijt , o modelo deverá conter as seguintes restrições:

J∑

j=1

ajxjt +J∑

i=1

J∑

j=1

stijzijt ≤ Ct, t = 1, · · · , n,

onde stij é a capacidade consumida com preparo da máquina para o item j dado que houve

preparo para o item i no período anterior.

• PC-U: indica que não há limite para a produção.

Será apresentado um problema clássico da literatura para exemplificar um problema que con-

sidera vários itens, o GLSP (General Lot Sizing and Scheduling Problem). O GLSP considera

o problema de seqüenciamento e de dimensionamento do lotes de forma integrada. Uma for-

mulação matemática para o GLSP dada abaixo pode ser encontrada em Fleischmann e Meyr

(1997). Serão considerados um horizonte de planejamento finito, onde cada período t possui

uma quantidade de subperíodos, e as seguintes notações.

Índices:

• j, i = 1, · · · , J : indicam os itens, onde J é número total de itens.


• t = 1, · · · , T : indicam os períodos, onde T é o número total de períodos.

• s: indicam os subperíodos.

Dados:

• St: conjunto de subperíodos s pertencentes ao período t.

• Ct: capacidade disponível da máquina no período t.

• aj : capacidade exigida da máquina para a produção de uma unidade do item j.

• djt: demanda do item j no período t.

• LBj : quantidade mínima do item j que deverá ser produzida quando houver preparo.

• hjt: custo por estocar uma unidade do item j no fim do período t.

• sji: custo com o preparo da máquina se houver a troca do item j para o item i.

• Ij0: estoque inicial do item j no início do horizonte de planejamento.

• yt0 =

1 , se a máquina for preparada para o item j no início do horizonte;


Variáveis:

• Ijt: quantidade de estoque do item j no fim do período t;

• xjs: quantidade de produção do item j no subperíodo s;

• yjs =

1 , se a máquina é preparada para o item j no subperíodo s ;


• zijs =

1 , se houver troca do item i para o item j no subperíodo s;


Logo, uma formulação para o GLSP pode ser escrita como:

MinT∑

t=1

( J∑

j=1

Ijthjt +∑

s∈St

J∑

j=1

J∑

i=1

sijzijs

). (2.17)


sujeito à:

Ij,t−1 +∑

s∈St

xjs − Ijt = djt, ∀j = 1, · · · , J, t = 1, · · · , T. (2.18)

∑

s∈St

J∑

j=1

ajxjs ≤ Ct, ∀t = 1, · · · , T. (2.19)

xjs ≤ Ct

ajyj

s, ∀t = 1, · · · , T, s ∈ St, j = 1, · · · , J. (2.20)

xjs ≥ LBj(yjs − yj

s−1), ∀t = 1, · · · , T, s ∈ St, j = 1, · · · , J. (2.21)

zijs ≥ yi

s + yjs−1 − 1, ∀t = 1, · · · , T, s ∈ St, i, j = 1, · · · , J. (2.22)

J∑

j=1

yjs = 1, ∀t = 1, · · · , T, s ∈ St. (2.23)

Ijt, xjs, zijs ≥ 0, ∀t = 1, · · · , T, s ∈ St, i, j = 1, · · · , J. (2.24)

yjs ∈ {0, 1}, ∀t = 1, · · · , T, s ∈ St, j = 1, · · · , J. (2.25)

A função objetivo (2.17) minimiza a soma dos custos com a produção em estoque e com

as trocas efetuadas no seqüenciamento dos preparos. O conjunto de restrições (2.18) determina

o balanço entre o estoque e produção total de cada período t, garantindo que a demanda seja

satisfeita. As restrições (2.19) determina que a produção total de um período t não ultrapasse

a capacidade da máquina desse período. As restrições (2.20) garantem que haverá produção

num subperíodo s para um item j somente se a máquina estiver preparada. As restrições (2.21)

determinam a produção de um lote mínimo quando houver preparo para um item j. Note que

se houver uma seqüência de preparos para um mesmo item j em subperíodos consecutivos, a

exigência de lote mínimo ocorrerá somente para o primeiro subperíodo. As restrições (2.22)

determinam a troca de itens, ou seja, se no subperíodo s− 1 houver o preparo da máquina para

um item i (yis−1 = 1) e no subperíodo s houver preparo para o item j (yj

s = 1), então a variável

zijs será forçada a receber o valor 1, indicando a troca do item i para j no subperíodo s. Observe

que não é necessário definir zijs como variável binária, pois como yi

s−1 e yjs são variáveis binárias

pelas restrições (2.25) e o problema é de minimização, zijs sempre tomará o menor valor não

negativo maior ou igual a yis−1 + yj

s − 1, que será 0 ou 1, na solução ótima. Finalmente, as

restrições (2.23) garantem que somente um preparo ocorrerá em cada subperíodo e as restrições

(2.24) definem a não negatividade das variáveis de produção, estoque e troca.

Supondo que todos os períodos tenham a mesma quantidade de subperíodos, tal que l =

|St|, ou seja, a quantidade de subperíodos dos período é l. Uma classificação do GLSP da forma

como foi definido aqui pode ser feita da seguinte forma:

{LS-C-B,LB}-[Ml-SC]-[PC-SQ].

2.3. Inequações Válidas e Reformulações para o LS-U 40

2.3 Inequações Válidas e Reformulações para o LS-U

Para a resolução dos Problemas de Dimensionamento de Lotes, existem na literatura mui-

tos trabalhos que usam métodos heurísticos e exatos. Além disso, a estrutura poliédrica é muito

estudada com o objetivo de melhorar o desempenho dos métodos exatos através do desenvolvi-

mento de inequações válidas e reformulações.

Com relação aos métodos heurísticos para o LS-U, em Wagner e Whitin (1958), é apresen-

tado um algoritmo de programação dinâmica para resolvê-lo. Outros algoritmos para resolver o

LS-U mais eficientes que o algoritmo proposto por Wagner e Whitin (1958), se comparadas as

complexidades, podem ser encontrados em Aggarwall e Park (1993), Federgün e Tzur (1991) e

Wagelmans et al. (1992).

Talvez o resultado mais expressivo e motivador para estudos posteriores sobre a estrutura

poliédrica para o Problema de Dimensionamento de Lotes seja a identificação das (l,S)-inequações

citadas em vários trabalhos. A demonstração da descrição do envoltório convexo do conjunto

das soluções viáveis do LS-U pelas (l,S)-inequações é reproduzida nesta seção baseada em Pochet

e Wolsey (2006), no entanto, a primeira demonstração é encontrada em Barany et al. (1984).

Baranyet al. (1984) usa a reformulação a priori através das (l,S)-inequações para acelerar o pro-

cesso de solução através do Branch-and-Bound e para obter formulações fortes que aproximem

do envoltório convexo. Wolsey (1989) também usa inequações válidas fortes através das refor-

mulações a posteriori e a priori para o LS-U-SC. Para a adição das inequações válidas fortes a

posteriori foi necessário o desenvolvimento de um algoritmo de separação a fim de identificar as

inequações necessárias para serem incluídas na formulação.

Para alguns casos do LS o envoltório convexo pode ser descrito através de formulações es-

tendidas. Pochet e Wolsey (1994) apresentam formulações estendidas que descrevem o envoltório

convexo e algoritmos de separação para os problemas WW-U, WW-U-SC, WW-U-B e WW-CC.

O estudo de casos específicos é interessante pois são mais simples que os casos gerais e aparecem

em muitos Problemas de Dimensionamento de Lotes na prática.

Um dos estudos mais recentes associados com a descrição do envoltório convexo de casos

específicos podem ser encontrados em Vyve e Ortega (2004) e Küçükyavuz e Pochet (2007). Vyve

e Ortega (2004) desenvolvem formulações estendidas e um algoritmo de programação dinâmica

para um caso específico do WW-U, que considera além do custo unitário de estoque um custo

fixo por período caso houver estoque. Küçükyavuz e Pochet (2007) apresentam um algoritmo de

separação para inequações válidas do LS-U-B e mostram que elas são suficientes para a descrição

do envoltório convexo.

Um trabalho voltado para o Problema de Dimensionamento de Lotes em geral está em


Belvaux e Wolsey (2000) que sugere um caminho geral para a modelagem e solução do Problema

de Dimensionamento de Lotes. As inequações válidas usadas como planos de corte são definidas

também de forma geral. Uma extensão desse trabalho está em Belvaux e Wolsey (2001), onde

são considerados problemas com variáveis de inicialização, troca, variáveis de switch-offs e lotes

mínimos de produção. As variáveis de troca aparecem em problemas com mais de um item, onde

é necessário considerar a troca dos itens. As variáveis de switch-offs indicam a desativação da

máquina e aparecem com mais freqüência em problemas que consideram várias máquinas.

Será apresentado a seguir um estudo sobre reformulações a priori para o LS-U através

do desenvolvimento das (l,S)-inequações e de algumas formulações estendidas. Com relação ao

WW-U será dada uma formulação onde é possível identificar um subconjunto de inequações do

conjunto de (l,S)-inequações conhecido como (l,S,WW)-inequações. Essa formulação também

descreve envoltório do WW-U.

Na formulação do LS-U é possível obter uma formulação mais forte simplesmente substi-

tuindo as restrições de preparo, xt ≤ Myt , pelas restrições:

xt ≤ dtnyt, t = 1, · · · , n. (2.26)

Essa substituição melhora os limites para a variável de produção o que torna a formulação

mais forte. Uma outra forma de obter uma formulação ainda mais forte é através do desenvolvi-

mento de inequações válidas fortes, ou seja, que sejam fundamentais na descrição do envoltório

convexo de XLS−U , que representa o conjunto de soluções viáveis definida pela formulação dada

na Seção 2.1.

Para a dedução da primeira classe de inequações válidas, será feita uma análise conside-

rando as possíveis soluções para o LS-U. Observe na Figura 2.3 a rede de fluxo que representa o

LS-U para um horizonte de planejamento com n períodos sem o nó 0.

x x x x xx

d d d d dd

1 2

3

1 2 3

s s s s s

1 2 n - 1n - 2 n

n - 2

n - 2

n - 2

n - 1

n - 1

n - 1

n

n

n1 2 3

Figura 2.3: Rede do LS-U

Note que, no último período, se não houver estoque final, a demanda deste período seria

um limite superior para a produção do período n , já que o problema considera a minimização

dos lotes e a produção deve atender a demanda. Caso o estoque no período n seja diferente de


zero, então o limite superior para a produção seria dn + sn. Diante disso, obtém-se a inequação

válida para LS-U:

xn ≤ dnyn + sn (2.27)

A inequação (2.27) é válida pois:

• Se yn = 0, então xn = 0. Logo, a inequação resultante é sn ≥ 0 que satisfeita por todos os

pontos de XLS−U .

• Se yn = 1 a inequação resultante é xn ≤ dn + sn e, portanto, é satisfeita por todos os

pontos de XLS−U já que a produção no período n será no máximo dn + sn.

Fazendo um raciocínio análogo para o período n− 1, obtém-se a seguinte inequação válida

para o LS-U:

xn−1 ≤ (dn−1 + dn)yn + sn−1. (2.28)

Estendendo o raciocínio para um intervalo de tempo dentro do horizonte de planejamento,

onde t e l são por suposição o primeiro e o último período respectivamente, deduz-se que

xt ≤ dtl + sl para todo l e t tal que t ≤ l (dtl =l∑

i=t

di), ou seja, xt ≥ dtlyt + sl é uma ine-

quação válida para o LS-U. Assim as inequações válidas desse tipo podem ser generalizadas da

seguinte maneira:

xt ≤ dtlyt + sl, ∀l = 1, · · · , n, t = 1, · · · , l. (2.29)

As inequações (2.29) são insuficientes para obter o envoltório convexo de XLS−U (Pochet

e Wolsey, 2006). Uma classe mais geral conhecida como (l, S)-inequações é definida da seguinte

forma:

∑

j∈S

xj ≤∑

j∈S

djlyj + sl, ∀l = 1, · · · , n, S ⊆ {1, · · · , l}. (2.30)

Proposição 2.3 As (l, S) inequações (2.30) são válidas para XLS−U .

Demonstração:

Considere um ponto (s, y) ∈ XLS−U .

Se∑

j∈S

yj = 0, então xj = 0 para j ∈ S e sl ≥ 0. Logo, a inequação (2.30) é satisfeita.


Caso contrário, seja t = min{j ∈ S : yj = 1}. Como S ⊆ {1, 2, · · · , l} e xj é não negativo

para todo j, tem-se que∑

j∈S

xj ≤l∑

j=t

xj . Assim,l∑

j=t

xj = dtl + sl− st−1 ≤ dtl + sl, pois st−1 ≥ 0.

Pela definição de t e não negatividade de yj , tem-se que dtl + sl ≤∑

j∈S

djlyj + sl.

Logo,l∑

j=t

xj ≤∑

j∈S

djlyj + sl.

Portanto, a inequação (2.30) é válida para XLS−U .

¥

Note que, denotando L = {1, · · · , l} e somando a restrições (2.2) para todos os índices de

L, obtém-se∑

j∈L

xj = djl + sl. Assim, isolando st nesta equação e substituindo nas inequações

(2.30), obtém-se uma outra forma de escrever as (l, S) inequações,

∑

j∈S\Lxj +

∑

j∈S

djlyj ≥ d1l, ∀l = 1, · · · , n, S ⊂ L = {1, · · · , l} (2.31)

Observe que a classe de inequações (2.31) pode ser gerada escrevendo as (l, S) inequações

da seguinte forma,

∑

j∈S

xj +∑

j∈S\Ldjlyj ≥ d1l, ∀l = 1, · · · , n, S ⊂ L = {1, · · · , l} (2.32)

As classes de inequações (2.31) e (2.32) são iguais pois quando se determinam todos os

subconjuntos S ⊆ L automaticamente determinam-se todos os subconjuntos complementares de

S em relação a L.

Teorema 2.1 Quando s0 = sn = 0, a descrição do envoltório convexo do LS − U é:

st−1 + xt − st = dt, t = 1, · · · , n. (2.33)

xt ≤ dtnyt, ∀t = 1, · · · , n. (2.34)∑

j∈S\Lxj +

∑

j∈S

djlyj ≥ d1l, ∀l = 1, · · · , n, S ⊂ {1, · · · , l}. (2.35)

st, xt ∈ R+, yt ≤ 1, ∀t = 1, · · · , n. (2.36)

Demonstração:

A demonstração será dividida em três partes. Na primeira, a formulação, a qual acredita-se

descrever o envoltório convexo de X, será escrita de forma equivalente no espaço das variáveis

(x, y) e denotado por P . Na segunda parte, será mostrado que a dimensão de P é igual a dimensão

de conv(X), uma condição necessária para que P descreva conv(X). Por último, será mostrado

que para quaisquer coeficientes da função objetivo, a solução ótima ou um conjunto finito de

soluções ótimas satisfaz na igualdade alguma inequação que define P . Em outras palavras, será


mostrado que a solução ótima ou um conjunto finito de soluções ótimas pertencem a uma face

própria do poliedro P .

Parte 1:

Será admitido que d1 > 0 sem perda de generalidade. Ao somar as restrições de balancea-

mento (2.33) em t para todos os intervalos de 1 até l, tal que l = 1, · · · , n e eliminar a variável

de estoque, obtém-se e o conjunto XLS−U no espaço (x, y) escrito como:

t∑

u=1

xu ≥ d1t, ∀t = 1, · · · , n− 1; (2.37)

n∑

u=1

xu = d1n (2.38)

xt ≤ dtnyt, ∀t = 1, · · · , n; (2.39)

x ∈ Rn+, y ∈ {0, 1}n. (2.40)

Seja P uma formulação descrita por (2.37), (2.38),(2.39), x ∈ Rn+, y ∈ [0, 1]n e pelas (l, S)

inequações.

Parte 2:

Será mostrado que dim(conv(XLS−U ))= dim( (P )).

Note que todos os pontos de XLS−U satisfazem a equação (2.38) e que y1 = 1, pois

d1 > 0. Portanto, existem dois hiperplanos que contém XLS−U . Como XLS−U ⊆ R2n, tem-se

que dim(conv(XLS−U )) ≤ 2n− 2.

Considere os seguintes conjuntos:

C1 ={(x, y) ∈ R2n : xt = dt e yt = 1 para t < j; xt = dtn e yt = 1 para t = j; xt = yt =

0 para t > j, com j = 1, · · · , n}.

C2 ={(x, y) ∈ R2n : x1 = d1n e y1 = 1, xt = 0 e yt = 1 para t = j; xj = yj = 0 para t >

j, com j = 2, · · · , n}.

Observe que os pontos de C1 e C2 satisfazem XLS−U e o conjunto C1 ∪ C2 da forma

como foi construído é um conjunto com 2n − 1 pontos afim-independentes. Dessa forma,

dim(conv(XLS−U )) ≥ 2n− 2.

Logo, 2n− 2 ≤ dim(conv(XLS−U )) ≤ 2n− 2 e, portanto, dim(conv(XLS−U )) = 2n− 2.

Para determinar a dimensão de P será feito um raciocínio análogo. Note que as equações

(2.38) e y1 = 1 são hiperplanos de P . A primeira porque faz parte da formulação e a segunda

porque y1 ≤ 1 e observando as restrições (2.37), (2.39) (t = 1) tem-se que d1y1 ≥ d1. Conseqüen-

temente, dim(P ) ≤ 2n − 1. Além disso, os pontos afim-independentes de C1 ∪ C2 pertencem a

P e, conseqüentemente, dim(P ) ≥ 2n− 2.

Assim, 2n− 2 ≤ dim(P ) ≤ 2n− 2 e, portanto, dim(P ) = 2n− 2 = dim(conv(XLS−U )).


Parte 3:

Uma vez mostrado que as dimensões de P e de conv(XLS−U ) são iguais, falta mostrar que

a descrição do envoltório convexo de XLS−U é dado por P .

Para todo (p, q) ∈ R2n, M(p, q) é uma solução ótima ou um conjunto finito de soluções

ótimas para o problema de otimização sobre o conjunto XLS−U com a seguinte função objetivo:

h0s0 +n∑

t=1

ptxt +n∑

t=1

qtyt + K1, (2.41)

onde pt = p′t +

n∑

t=1

h′j para t = 0, · · · , n , h0 =

n∑

t=0

h′t e K1 = −

n∑

t=1

h′td1t.

Será mostrado que M(p, q) pertence a uma face própria de P . Essa condição é suficiente

porque se π(x, y) ≥ π0 define uma faceta de conv(XLS−U ) e tomando (p, q) = π, então M(π)

terá pontos somente nessa faceta, pois:

M(π) = arg min{π(x, y) : (x, y) ∈ XLS−U

}= XLS−U ∩ {

(x, y) : π(x, y) = π0

}.

Dessa forma, mostrar que as faces próprias de P contém M(p, q) para todo (p, q) ∈ R2n

significa que as faces de P contém todas as facetas de conv(XLS−U ).

Sem perda de generalidade, suponha que mintpt = 0. Essa suposição pode ser feita pois, se

mintpt 6= 0, é possível obter um problema equivalente com mintp′t = 0. Além disso, como y1 = 1

( pois d1 > 0), pode-se assumir que q1 = 0.

• Se qt < 0 para algum t ≥ 2, então M(p, q) ⊆ {(x, y) : yt = 1}.

• Suponha que qt ≥ 0 para t ≥ 2.

Seja l = arg maxt{pt + qt > 0}.Note que (p, q) 6= (0, 0), então 1 ≤ l ≤ n. Assim, suponha que pk = qk = 0 para algum

k < l, então M(p, q) ⊆ {(x, y) : xl = 0}, ou seja, a solução ótima não terá produção no período

l.

Caso contrário, tem-se que pi + qi > 0 para i = 1, · · · , l e pi = qi = 0 para i = l +1, · · · , n.

Seja L = {1, · · · , l} e S = {t ∈ L : pt > 0} com 1 ∈ S.

De acordo como foi definido l, toda a demanda depois do período l pode ser satisfeita com

uma produção a custo zero. Dessa forma, a produção que ocorre nos períodos de 1 até l deverá

satisfazer exatamente as demandas dos períodos de 1 até l, ou seja, será mostrado que:

M(p, q) ⊆ {(x, y) :∑

t∈S

xt +∑

t∈L\Sdtlyt = d1l}.

Considere uma solução ótima (x∗, y∗, s∗). Suponha que τ = min{t ∈ L\S : y∗ = 1}.Note que se t ∈ L\S, então pt = 0.


Como pτ = 0, uma quantidade dτl ou mais pode ser produzida com custo de produção

nulo no período τ . Note que pt + qt > 0 para todo t ∈ L com t > τ , logo a solução ótima terá

x∗t = y∗t = 0 para todo t ∈ L com t > τ , já que se houvesse uma solução melhor com x∗t > 0

e/ou y∗t > 0 para t > τ , o valor da função objetivo seria maior o que seria uma contradição com

a otimalidade de (x∗, y∗, s∗). Portanto,∑

t∈L\Sdtly

∗t = dτly

∗τ = dτl e

∑

t∈S:t>τ

x∗t = 0.

Como x∗ = y∗ = 0 para t ∈ L\S com t < τ , uma solução pode ser ótima se∑

t∈S:t<τ

x∗t =

d1,τ−1. Se existisse uma solução melhor∑

t∈S:t<τ

x∗t > d1,τ−1 o valor da função objetivo seria maior

o que seria uma contradição, já que existe uma solução cujo valor da função objetivo é menor.

Portanto, tem-se que:

∑

t∈S:t<τ

x∗t +∑

t∈S:t>τ

x∗t +∑

t∈L\Sdtly

∗t = d1,τ−1 + 0 + dτl = d1l.

Considerando o caso especial onde y∗t = 0 para todo t ∈ L\S, obtém-se quel∑

t=1

x∗t =

∑

t∈S

x∗t = dtl.

Note que se l = n, L\S 6= ∅ pois mint pt = 0.

Por último, é importante observar que no conjunto C1 ∪ C2 existem pontos que perten-

cem e que não pertencem aos conjuntos M(p, q) ⊆ {(x, y) : yt = 1}, {(x, y) : xl = 0} e

{(x, y) :∑

t∈S

xt +∑

t∈L\Sdtlyt = d1l} e, por isso, esses conjuntos são faces próprias de P já que

os pontos de C1 ∪ C2 pertencem a P . ¥

Geralmente, os Problemas de Dimensionamento de Lotes podem apresentar na prática

uma característica especial sobre os custos considerados. Um exemplo desses casos é Problema

de Dimensionamento Lotes com Custo de Wagner-Whitin, para o qual são encontrados muitos

estudos na literatura.

Definição 2.1 Um problema de dimensionamento de lotes terá custos de Wagner-Whitin se

p′t + h

′t ≥ p

′t+1 para todo t.

Considerando a função objetivo descrita apenas com as variáveis x e y,n∑

t=1

ptxt +n∑

t=1

qtyt,

ou com as variáveis s e y,n∑

t=0

htst +n∑

t=1

qtyt que são equivalentes de acordo com o Lema 2.1. Nos

dois casos, os custos serão de Wagner-Whitin, respectivamente, se pt ≥ pt+1 e ht ≥ 0 para todo

t.


Com os custos de Wagner-Whitin, a solução ótima do Problema de Dimensionamento de

Lotes considera a produção o mais tarde possível. Em outras palavras, dados os períodos em que

ocorre preparo, a solução ótima satisfaz a demanda de um período t através do último período

em que houve preparo anterior ou igual a t. Ou equivalentemente, sk−1 contém a demanda dj

para j ≥ k, somente se não ocorre preparo no intervalo de tempo [k, · · · , j]. Diante disso, tem-se

a seguinte formulação para o Problema de Dimensionamento de Lotes que apresentam custos de

Wagner-Whitin (WW-U),

Min

n∑

t=0

htst +n∑

t=1

qtyt (2.42)

sujeito à:

sk−1 ≥l∑

j=k

dj(1− yk − · · · − yj), ∀l = 1, · · · , n, k = 1, · · · , l; (2.43)

s ∈ Rn+1+ , y ∈ [0, 1]n; (2.44)

y ∈ Rn+. (2.45)

Note que ht ≥ 0 para todo t, então na solução ótima cada sk−1 assumirá o menor valor

possível. Dessa forma,

sk−1 = max[0,maxl≥k

l∑

j=k

dj(1− yk − · · · − yj)].

Portanto, sk−1 é igual a dkl se, e somente, se yj = 0 para todo j = k, · · · , l e yl+1 = 1.

Esta formulação não é válida quando os custos não são de Wagner-Whitin, já que se ht < 0, a

função objetivo fica ilimitada.

A inequação,

sk−1 ≥l∑

j=k

dj(1− yk − · · · − yj),

conhecida como (l, S,WW ), pode ser escrita como:

sk−1 +l∑

j=k

djlyj ≥ dkl. (2.46)

Somando as restrições de conservação de fluxo até o período k− 1 da primeira formulação

do LS, considerando o estoque inicial nulo e isolando a variável sk−1 obtém-se:

sk−1 =k−1∑

j=1

xj − d1k−1. (2.47)

Substituindo (2.47) em (2.46), obtém-se a (l, S,WW )-inequação escrita como (l, S) inequação,


k−1∑

j=1

xj +l∑

j=k

djl ≥ d1l

Sejam XWW−U o conjunto de soluções viáveis para o WW-U e PWW−U uma formulação

para XWW−U definida pelas restrições (2.43) e (2.44). O Teorema 2.2 diz que a PWW−U é a

melhor formulação para WW-U.

Teorema 2.2 I) Existe um ponto extremo ótimo do problema linear min{hs + qy : (s, y) ∈PWW−U} que resolve WW-U.

II)PWW−U = conv(XWW−U ).

Demonstração:

I)Para a demonstração será considerada uma reformulação estendida QWW−U para o WW-

U:

st−1 ≥n∑

j=t

djδjt−1, ∀t = 1, · · · , n; (2.48)

δjt +

j∑

u=t+1

yu ≥ 1, ∀j = 1, · · · , n; t = 0, · · · , j; (2.49)

δjt ∈ R+, ∀j = 1, · · · , n; t = 0, · · · , j; (2.50)

y ∈ [0, 1]n, s ∈ Rn+1+ . (2.51)

Onde δjt é igual a 1, se o estoque st no fim do período t inclui a demanda dj para j > t, e

δjt é igual a 1, caso contrário. As restrições (2.49) garantem que δj

t será igual a 1, sej∑

u=t+1

yu for

zero, ou seja, as demandas dos período de t + 1 a j serão satisfeitas por uma produção de um

período anterior ao período t + 1. As restrições (2.48) garantem que o estoque de cada período

será uma soma de demandas de um conjunto de subperíodos seguidos que não tiveram produção,

preservando as características da solução ótima do WW-U.

Note que as restrições (2.49) formam uma matriz totalmente unimodular. Portanto,

QWW−U é um poliedro integral e, por isso, resolve WW-U.

II)Considere a projeção de QWW−U sobre o espaço (s, y) denotada por proj(s,y)QWW−U e

que é obtida através de QWW−U eliminando δit.

Para a eliminação δit note que nas restrições (2.49) δi

t assume o valor de 1−j∑

u=t+1

yu que é

0 ou 1. Assim, para cada subconjunto Tt de {t+1, · · · , n} obtém a inequação da seguinte forma:

st ≥∑

j∈Tt

dj

(1−

j∑

u=t+1

yu

)(2.52)


O conjunto das inequações do tipo (2.52) geradas para todos os subconjuntos Tt definem

a proj(s,y)QWW−U com algumas restrições redundantes que podem ser eliminadas.

Agora será mostrado que a proj(s,y)QWW−U define conv(XWW−U ).

Considere um ponto qualquer (s∗, y∗) com y ∈ {0, 1} seja eliminado por uma restrição

(2.52). Ou seja, existe um t tal que para algum Tt ⊂ {t + 1, · · · , n} a restrição (2.52) elimina

(s∗, y∗).

Suponha quej∑

u=k+1

y∗u < 1 ≤j∑

u=k+1

y∗u.

Note que:

s∗t <∑

j∈Tt

dj

(1−

j∑

u=t+1

y∗u)

(2.53)

=∑

j∈Tt|y∗j =0

dj

(1−

j∑

u=t+1

y∗u)

+∑

j∈Tt|y∗j =1

dj

(1−

j∑

u=t+1

y∗u)

︸︷︷︸menor ou igual a zero

(2.54)

≤k∑

u=t+1|y∗j =0

dj

(1−

j∑

u=t+1

y∗u)

(2.55)

Logo, a inequação st ≥k∑

u=t+1|yj=0

dj

(1−

j∑

u=t+1

yu

)que é uma das inequações da formulação

de XWW−U também elimina o ponto (s∗, y∗). Logo, todos os pontos (s∗, y∗) que não pertencem

à proj(s,y)QWW−U que é um poliedro inteiro, também não pertencem ao XWW−U . Portanto, as

inequações do tipo (2.52) são suficientes para descrever conv(XWW−U ).

¥

• Formulações Estendidas para o LS − U

As formulações estendidas para o LS-U apresentadas aqui são baseadas em problemas clás-

sicos como o Problema de Localização de Facilidades (Facility Location), o Problema do Caminho

mínimo (Shortest Path) e nos problemas Multicommodity. Uma revisão sobre formulações para

o LS-U incluindo as formulações baseadas nos Problemas do Caminho Mínimo e de Localização

de Facilidades pode ser encontrada em Brahimi et al. (2004) .

Eppen e Martin (1987) desenvolvem uma reformulação estendida para o LS-U baseado no

Problema de Caminho Mínimo, definindo novas variáveis e restrições para o problema. Seus

experimentos mostram que a reformulação estendida é mais forte que a formulação original do

LS-U, reduzindo assim o tempo de solução dos exemplares testados. Wolsey (1989) faz uma

reformulação estendida baseando-se também no Problema de Caminho Mínimo para o LS-U-SC.


Em alguns trabalhos mais recentes como Vyve e Ortega (2004), encontram-se formulações

estendidas para o WW-C com custo fixo de estoque baseado nos Problemas de Localização de

Facilidades e do Caminho Mínimo. Küçükyavuz e Pochet (2007) apresentam uma formulação

estendida também baseada no Problema de Localização de Facilidades para o LS-U-B.

Antes de apresentar a primeira formulação estendida será feita uma definição Problema

de Localização de Facilidades no qual ela é baseada. Sejam um conjunto N = {1, · · · , n} de

candidatos à instalação de facilidades e um conjunto M = {1, · · · ,m} de clientes. O Problema

de Localização de Facilidades consiste em determinar as facilidades, que serão instaladas, de tal

forma que as demandas dos clientes, denotada por bj com j ∈ M , sejam satisfeitas a um custo

mínimo. Sejam cij o custo para atender a demanda do cliente j pela facilidade i e fi o custo

fixo relacionado à ativação da facilidade i. Uma formulação para o Problema de Localização de

Facilidades sem restrição de capacidade é dada da seguinte forma:

Minm∑

i=1

n∑

j=1

cijωij +m∑

i=1

fiρi (2.56)

sujeito à:

m∑

i=1

ωij = 1, ∀j = 1, · · · , n; (2.57)

ωij ≤ ρi, ∀i = 1, · · · ,m; j = 1, · · · , n; (2.58)

0 ≤ ωij ≤ 1, ∀i = 1, · · ·m; j = 1, · · · , n; (2.59)

ρi ∈ {0, 1}, ∀i = 1, · · ·m. (2.60)

Onde ωij representa a fração da demanda do cliente j atendida pela facilidade instalada i

e ρi é igual a 1 se a facilidade i for instalada e 0, caso contrário.

As restrições (2.57) garantem o atendimento da demanda, as restrições (2.58) garantem

que a demanda seja atendida por uma determinada facilidade somente se ela for instalada e

as restrições (2.59) e (2.60) garantem a não negatividade e integralidade respectivamente das

variáveis.

Para determinar uma outra formulação para o LS-U, será feita uma interpretação análoga

ao Problema de Localização de Facilidades de tal forma que, se houver produção no período i

para satisfazer a demanda no período j, seria como utilizar a facilidade i instalada para satisfazer

a demanda do cliente j. Diante disso, serão definidos as variáveis e os dados do problema.

Variáveis:

• wut é a fração da demanda do período u satisfeita com a produção do período t;

• xt é a quantidade total produzida no período t;


• yt =

1 , se houver produção no período t ;


Dados:

• pt é custo unitário de produção no período t.

• qt é custo de preparo no período t.

Logo, a formulação estendida para o LS-U baseada no Problema de Localização de Facili-

dades pode ser escrita como:

Minn∑

u=1

(puxu + yuqu) (2.61)

sujeito à:

t∑

u=1

wut = 1, ∀t = 1, · · · , n; (2.62)

wut ≤ yu, ∀t = 1, · · · , n; u = 1, · · · , t. (2.63)

xu =n∑

t=u

wutdt, ∀u = 1, · · · , n; (2.64)

wut ∈ [0, 1], ∀j = 1, · · · , n; u =, 1, · · · , t; (2.65)

y ∈ {0, 1}n. (2.66)

As restrições (2.62) garantem que a demanda seja satisfeita em cada período e as restrições

(2.63) são de preparo. As equações (2.64) transferem a quantidade de produção de cada período

para uma variável original x do problema LS-U.

Note que o número de variáveis e restrições da formulação estendida baseada no Problema

de Localização de Facilidades é bem maior que o número de variáveis e restrições da formulação

original. Para enunciar alguns resultados a seguir, o conjunto das soluções viáveis da formulação

estendida para o LS-U, baseada no Problema de Localização de Facilidades, será denotada por

QFL−U ,

QFL−U = {(x, y, w) : y ∈ [0, 1]n, (2.62), (2.63), (2.64) e (2.65)}.

Teorema 2.3 (Pochet e Wolsey, (2006)

O problema linear

min {px + qy : (x, y, w) ∈ QFL−U} (2.67)

tem uma solução ótima com y inteira e, portanto, resolve LS-U.


Para comparar as formulações é necessário que sejam consideradas num mesmo espaço de

variáveis. Diante disso, tem-se o Teorema 2.4.

Teorema 2.4 ( Pochet e Wolsey, (2006) projx,yQFL−U = projx,yconv(XLS−U ).

A segunda formulação estendida que terá como base o Problema do Caminho Mínimo

em um Grafo (Shortest Path). Dado um grafo valorado G(V,A) o Problema do Caminho Mínimo

consiste em encontrar o caminho com o menor custo associado entre dois vértices. Considere o

LS-U tal que n = 4. O grafo que o representa está ilustrado na Figura 2.4.

1 2 3 4 5

Figura 2.4: Grafo do LS-U (n=4)

Note que os nós representam os períodos e uma aresta (i, j) representa um intervalo rege-

nerado [i, j − 1], definido na Proposição 2.2. Ou seja, um caminho {(1, 3), (3, 4), (4, 5)} indica

que no período 1 produziu-se uma quantidade d1 + d2, no período 3 produziu-se d3 e, por fim,

no período 4 produziu-se a quantidade d4. Observe que o nó 5 indica somente o fim do horizonte

de planejamento e não um quinto período. Para a reformulação estendida LS-U serão definidos

as seguintes variáveis:

• φut =

1 , se a quantidade dut > 0 é produzida no período u ;


Observe que se o primeiro período em que ocorre produção é o período t, então φ1 t−1 e

d1 t−1 são iguais a zero. Além disso, se φut é igual a 1, então o intervalo regenerado [u, t] é parte

da solução ótima.

A reformulação estendida baseada no Problema do Caminho Mínimo para o LS-U pode

ser descrita como:

Minn∑

t=1

puxu +n∑

t=1

qtyt (2.68)


sujeito à:

−n∑

t=1

φ1t = −1; (2.69)

t−1∑

u=1

φu t−1 −n∑

τ=t

φtτ = 0, ∀t = 2, · · · , n; (2.70)

n∑

u=1

φun = 1; (2.71)

∑

τ=t:dtτ >0

φtτ ≤ yt, ∀t = 1, · · · , n; (2.72)

∑dtτφtτ = xt, ∀t = 1, · · ·n; (2.73)

y ∈ [0, 1]n, φut ∈ R+, ∀t = 1, · · · , n; u = 1, · · · , t. (2.74)

As restrições (2.69), (2.70) e (2.71) garantem a conservação do fluxo de tal forma que os

intervalos regenerados formem um caminho entre o nó inicial e o final. As restrições (2.72) garan-

tem que só haverá produção caso yt = 1. As restrições (2.73) permitem calcular a produção total

em cada período em termos da variáveis φut. A função objetivo (2.68) é igual a da formulação

baseada no Problema de Localização de Facilidades e ela garante que o caminho encontrado seja

o de menor custo.

Seja QSP−U o conjunto de soluções viáveis da relaxação linear da formulação estendida

baseada no Problema do Caminho Mínimo, tal que:

QSP−U = {(x, y, φ) ∈ Rn × [0, 1]n × Rn(n+1)

2+ : (2.69), (2.70), (2.71), (2.72) e (2.73)}.

Teorema 2.5 O problema linear

min {px + qy : (x, y, φ) ∈ QSP−U} (2.75)

tem uma solução ótima com y inteiro e, portanto, resolve LS − U .

Demonstração:

Observe que na solução ótima do problema linear min {px + qy : (x, y, φ) ∈ QSP−U} pode

existir yt = 1 para t ∈ {1, · · · , n} com qt ≤ 0. Neste caso, a variável yt pode ser eliminada do

problema linear e o termo constante∑

t:qt≤0 qt adicionado na função objetivo.

Por outro lado, quando qt > 0, deve-se obter um valor para yt tão pequeno quanto possível.

Por isso, pelas restrições (2.72) da formulação baseada no Problema do Caminho Mínimo tem-se:

yt =n∑

τ=t:dtτ >0

φtτ .


Substituindo a variável xt por∑n

τ=t dtτφtτ , obtém-se o problema linear equivalente,

Minn∑

u=1

pu

n∑τ=t

dtτφtτ +n∑

t=1

qt

n∑

τ=t:dtτ >0

φtτ +∑

t:qt≤0

qt (2.76)

sujeito à:

−n∑

t=1

φ1t = −1; (2.77)

t−1∑

u=1

φu t−1 −n∑

τ=t

φtτ = 0, ∀t = 2, · · · , n; (2.78)

n∑

u=1

φun = 1; (2.79)

φut ∈ R+, ∀t = 1, · · · , n; u = 1, · · · , t. (2.80)

Observe que o problema linear resultante é o Problema do Caminho Mínimo numa rede

acíclica e que a sua matriz de restrições é totalmente unimodular. Logo, o problema tem solução

ótima com φ ∈ {0, 1}n(n+1)2 e, portanto, y ∈ {0, 1}n.

¥

Se comparadas as formulações num mesmo espaço (x, y), tem-se o Teorema (2.6).

Teorema 2.6 (Pochet e Wolsey (2006)) projx,yQSP−U = projx,yconv(XLS−U ).

A terceira formulação para o LS-U conhecida como Multicommodity parte da interpre-

tação do problema através de uma rede de fluxo com custo fixo. Essa interpretação é bastante

similar a interpretação entre a formulação do LS-U e o Problema de Fluxo mínimo em uma

Rede. No entanto, neste caso além das variáveis xt, a variáveis st são decompostas em função

dos seus nós de destinos. Ou seja, a produção no período t poderá ser destinada para os períodos

t, t + 1, · · · , n e, por sua vez, o estoque no fim do período t poderá ser destinado aos estoques

finais dos períodos t + 1, t + 2. · · · , n. Diante disso, serão definidas as seguintes variáveis:

• xit é a produção no período i destinado para satisfazer parte ou integralmente a demanda

do período t.

• sit é o estoque no fim do período i destinado para o estoque no fim do período t.

Observe na Figura 2.5 o esquema da conservação do fluxo para satisfazer a demanda do

período t = 5.

Na Figura 2.5, note que os nós representam os períodos e o fluxo representado está associado

com o atendimento da demanda do período 5.


i =1 i=2 i=3 i=4 i=5

x x x x x

s s s s

1 5

2 5 3 5

4 5 5 5

1 5

2 5 3 5

4 5

5d

Figura 2.5: Conservação do fluxo

A formulação estendida baseada nos Problemas Multicommodity para o LS-U considerando

s0 = sini e sn = 0 pode ser definida da seguinte forma:

Minn∑

u=1

(ptxu + yuqu) (2.81)

sujeito à:

si−1 t + xit = δitdt + sit, ∀t = 1, · · · , n; i = 1, · · · , t; (2.82)

s01 = sini, s0t = 0, ∀t = 2, · · · , n; (2.83)

stt = 0, ∀t = 1, · · · , n; i = 1, · · · , t; (2.84)

xit ≤ d̂tyi, ∀t = 1, · · · , n; i = 1, · · · , t; (2.85)

xtoti =

N∑

t=i

xit, ∀t = 1, · · · , n; (2.86)

xit, sit ∈ R+, ∀t = 1, · · · , n; i = 1, · · · , t; (2.87)

yi ∈ {0, 1}, ∀i = 1, · · · , n. (2.88)

Onde δit = 1 se i = t e δit = 0, caso contrário. Além disso, d̂1 = d1 − sini e d̂t = dt para

t > 1. De acordo com Pochet e Wolsey (2006), a decomposição das variáveis st e xt permitem

uma formulação melhor por decrescer os limitantes superiores nas restrições (2.85).

As restrições (2.82) representam a conservação do fluxo de um período t, como está ilus-

trado a Figura 2.5, garantindo que a demanda seja atendida. As restrições (2.83) e (2.84) impõem

o valor do estoque inicial e que não há estoque final. As restrições (2.85) permitem que haja

produção no período t somente quando yt é igual a 1. As restrições (2.86) permitem calcular a

produção total em cada período t. A função objetivo (2.81) também é a mesma da formulação

baseada no Problema de Localização de Facilidades. As restrições (2.87) e (2.88) definem as

variáveis não negativas e as variáveis binárias.

Seja QMC−U o conjunto das solução viáveis da relaxação linear da formulação para o LS-U

baseada nos Problemas Multicommodity, tal que:

2.4. Problemas de Dimensionamento de Lotes com Restrição de Capacidade 56

QMC−U = {(xtot, x, s, y) ∈ Rn × Rn(n+1)

2+ × R

n(n−1)2

+ × [0, 1]n : (2.82), (2.83), (2.84), (2.85), (2.86)

e (2.87)}.

Teorema 2.7 (Pochet e Wolsey (2006)) O problema linear

min{pxtot + qx : (xtot, x, s, y) ∈ QMC−U} (2.89)

sempre tem uma solução ótima com y inteiro e, portanto, resolve LS-U.

2.4 Problemas de Dimensionamento de Lotes com Res-

trição de Capacidade

Na prática, o sistema de produção de uma indústria considera um limite para a produção,

configurando num Problema de Dimensionamento de Lotes com restrição de Capacidade. A

adição de restrições de capacidade ao Problema de Dimensionamento de Lotes o torna muito

mais difícil de acordo com Leung et al., (1989). No entanto, existem alguns resultados que

envolvem o estudo da estrutura poliédrica para esses problemas.

Pochet e Wolsey (1993) apresentam um algoritmo de programação dinâmica e inequações

válidas, que definem facetas para o envoltório convexo de um Problema de Dimensionamento de

Lotes com capacidade múltipla de uma quantidade fixa, ou seja, a capacidade de um período é

Cζt, onde ζt é um número inteiro e não negativo. Leung et al. (1989) introduz um conjunto de

inequações válidas para o LS-CC e mostra que essas inequações definem facetas para o envoltório

convexo. A formulação para LS-C é obtida alterando as restrições de preparo da formulação do

LS-U. As novas restrições são formuladas como:

xt ≥ Ctyt, ∀t = 1, · · · , n. (2.90)

O LS-CC tem a mesma formulação, mas com Ct = C para todo t.

Nesta seção será admitido, sem perda de generalidade, que dt ≤ Ct. Já que se dt > Ct,

então deverá se fixar dt = Ct e adicionar dt −Ct em dt−1, para t = n, n− 1 · · · , 1. Dessa forma,

obtém-se uma formulação equivalente com dt ≤ Ct.

• Problema de Dimensionamento de Lotes Discreto com Capacidade Constante


A partir da formulação do LS-C, reescrita no espaço (x, y), e lembrando que no caso do

DLS-CC a produção de um determinado período deverá utilizar toda a capacidade, o conjunto

das soluções viáveis, XDLS−CC , pode ser formulado como:

Ct∑

u=1

yu ≥ d1t, ∀t = 1, · · · , n; (2.91)

y ∈ {0, 1}n. (2.92)

Note que XDLS−CC 6= ∅ se, e somente se, t ≤ dd1tC e para t = 1, · · · , n. Assim, o problema

somente será viável se a demanda de um determinado intervalo de tempo, iniciando-se do primeiro

período, puder ser satisfeita pela produção dos períodos que compõem o intervalo. Neste caso,

o Corte Fracionário de Gomory (Wolsey, 1998) fornece o conjunto de inequações válidas para

XDLSP−CC ,

t∑

u=1

yu ≥ dd1t

Ce, ∀t = 1, · · · , n.. (2.93)

Um resultado ainda mais importante é que o conjunto de inequações válidas (2.93) podem

substituir o conjunto de restrições (2.91), obtendo o envoltório convexo de XDLS−CC .

• Problema de Dimensionamento de Lotes Discreto com Estoque Inicial com

Capacidade Constante

O conjunto de soluções viáveis do DLSI − CC, XDLSI−CC , pode ser formulado como:

s0 + Ct∑

u=1

yu ≥ d1t, ∀t = 1, · · · , n (2.94)

s0 ∈ R+, y ∈ {0, 1}n. (2.95)

Tomando zt =∑t

u=1 yt, s = s0C e bt = d1t

C o conjunto XDLSI−CC pode ser reescrito como:

s + zt ≥ bt, t = 1, · · · , n; (2.96)

0 ≤ zt − zt−1 ≤ 1, t = 2, · · · , n; (2.97)

z1 ≤ 1; (2.98)

s ∈ R, z ∈ Zn+. (2.99)

Observe que bt representa a fração da capacidade C necessária para satisfazer as demandas

dos períodos de 1 até t. Neste caso, não será possível obter uma inequação válida tomando o


teto de bt como foi feito no DLS-CC, já que parte da demanda pode ser satisfeita pelo estoque

inicial. Na nova formulação para o XDLSI−CC as restrições (2.96) garantem que a demanda

de cada período seja atendida, as restrições (2.97) estabelecem uma ligação entre as variáveis

z, de forma que, a diferença entre a soma dos preparos de dois intervalos consecutivos não seja

estritamente maior do que 1, já que em cada período só pode ocorrer um preparo. Por último,

as restrições (2.98) garantem que no primeiro período somente um preparo pode acontecer e

as restrições (2.99) definem a integralidade de z. Note que o conjunto XDLSI−CC , após ser

reescrito, apresenta a estrutura do conjunto do tipo MIX apresentado na Seção 1.3. Estendendo

o Teorema 1.3 dessa seção, obtém-se o seguinte resultado:

Teorema 2.8 Conv(XDLSI−CC) é descrito por s0 ∈ R+, y ∈ [0, 1]n, as inequações (2.95) e as

inequações

s0 ≥ Ct∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)(bd1iτ

Cc+ 1−

iτ∑

j=1

yj)

e

s0 ≥ Ct∑

τ=1

(fiτ − fiτ−1)(bd1iτ

Cc+ 1−

iτ∑

j=1

yj) + C(1− fit)(bd1i1

Cc −

i1∑

j=1

yj)

para todo T = {i1, · · · , it} ⊂ {1, · · · , n}, onde fτ = diτC − bd1τ

C c para todo τ e 0 = f0 ≤fi1 ≤ · · · ≤ fit < 1.

Exemplo 2.4.1 Considere uma instância do DLSI-CC com n = 5, C = 10, c = (2, 4, 3, 5, 6).

Dessa forma, têm-se que (d1t) = (2, 6, 9, 14, 20) e f = (0, 2; 0, 6; 0.9; 0.4; 0).

Tomando T = {4, 2, 3}, duas inequações válidas de acordo com o Teorema 2.8 são:

s0 ≥ 4(2− y1 − y2 − y3 − y4) + 2(1− y1 − y2) + 5(1− y1 − y2 − y3) e

s0 ≤ 4(2− y1 − y2 − y3 − y4) + 2(1− y1 − y2) + 5(1− y1 − y2 − y3) + 1(1− y1 − y2 − y3)

Gerar todas as inequações válidas para uma determinada instância do DLSI-CC, que defi-

nem o envoltório convexo, pode ser inviável já que o número de inequações aumenta exponenci-

almente em função do número de períodos. Neste caso, é conveniente usar as inequações válidas

como planos de corte. Em Pochet e Wolsey (2006) é apresentado um algoritmo de separação no

caso do conjunto do tipo MIX.

Ainda aplicando o resultado da Seção1.3, onde foi apresentada uma formulação estendida

para o conjunto do tipo MIX, é possível obter uma formulação estendida para o DLSI-CC que

o resolve. Considerando algumas notações e interpretações da Seção 1.3, onde a formulação


estendida para o conjunto do tipo MIX foi definida, uma formulação estendida para o conjunto

de soluções viáveis do DLSI-CC pode ser escrita como:

s0 = Cn∑

j=1

fjδj + Cµ; (2.100)

k∑

u=1

yu ≥n∑

j=0

dd1k

C− fjeδj − µ, k = 1, · · · , n; (2.101)

n∑

j=0

δj = 1; (2.102)

y ∈ [0, 1]n, µ ∈ R+, δ ∈ Rn+1+ . (2.103)

Onde f0 = 0.

• Problema de Dimensionamento de Lotes com custos de Wagner-Whitin e Ca-

pacidade Constante

Para a formulação do WW-CC será considerado a função objetivo escrita da seguinte forma:

Minn∑

t=0

htst +n∑

t=1

qtyt, (2.104)

com ht = p′t + h

′t − p

′t+1 ≥ 0 que é a condição dos custos de Wagner-Whitin.

Em conseqüência do fato de que nos problemas que apresentam a condição dos custos

de Wagner-Whitin, quando a produção deverá ocorrer o mais tarde possível considerando os

períodos em que houve preparo, e analisando o problema no espaço (s, y) é possível concluir que

haverá estoque de um período para outro ou para outros períodos, somente quando a produção

do período de onde originou o estoque for suficiente para atender toda a demanda dos períodos

que receberão esse estoque. Assim, o custo de estoque, presente na função objetivo (2.104), do

período em que originou a produção para o período que receberá o estoque é menor que o custo

de iniciar a produção. Diante disso, o conjunto das soluções viáveis do WW-CC, XWW−CC ,

pode ser representado como:

sk−1 + Ct∑

u=k

yu ≥ dkt, ∀t = 1, · · · , n; k = 1, · · · , t; (2.105)

s ∈ Rn+1, y ∈ {0, 1}n (2.106)

Para identificar a inequações válidas para o XWW−CC considere:

XDLSI−CCk = {(s, y) ∈ Rn+1

+ × 0, 1n : sk−1 + Ct∑

u=k

yu ≥ dkt, t = k, · · · , n}

com k fixado. Note que


XDLSI−CC1 = XDLSI e XWW−CC =

n⋂

k=1

XDLSI−CCk .

Segue portanto que conv(XWW−CC) ⊆ ⋂nk=1 conv(XDLSI−CC

k ). Diante disso toda inequa-

ção válida para XDLSI−CCk é válida para XWW−CC . Uma conclusão ainda mais significativa é

que

conv(XWW−CC) =n⋂

k=1

conv(XDLSI−CCk ).

Usando o Teorema 1.3 da Seção 1.3, tem-se:

Corolário 2.1 Todas a inequações que definem facetas não triviais do conv(XWW−CC) são da

forma

sk−1 ≥ Ct∑

τ=1

(fkiτ − fk

iτ−1)(bdkiτ

Cc+ 1−

iτ∑

j=k

yj)

e

sk − 1 ≥ Ct∑

τ=1

(fkiτ − fk

iτ−1)(bdkiτ

Cc+ 1−

iτ∑

j=k

yj) + C(1− fkit)(b

dki1

Cc −

i1∑

j=k

yj)

onde T = {i1, · · · , it} ⊂ {k, · · · , n}, fkiτ

= dkiτC −bdkiτ

C c para todo τ , 0 = fki0≤ fk

i1≤ · · · ≤

fkit

< 1 e 1 ≤ k ≤ n.

O número de inequações válidas que descrevem conv(XWW−CC) é muito grande, por isso

é necessário um algoritmo de separação para utilizá-las como planos de corte. Pochet e Wol-

sey (2006) afirmam a existência do algoritmo de separação que de acordo com eles pode ser

encontrado em Van Vyve (2003).

Usando a formulação estendida do conjunto do tipo MIX apresentada Seção1.3, é possível

obter a seguinte formulação estendida para o conjunto de solução viáveis do WW-CC:

sk−1 = C∑

t∈[k,n]

fkj δk

j + Cµk, ∀k = 1, · · · , n; (2.107)

t∑

u=k

yu ≥∑

τ∈{0}∩[k,n]

ddkt

C− fk

τ eδkτ − µk, ∀k = 1, · · · , n; t = k, · · · , n; (2.108)

n∑

j=0

δkj = 1, ∀k = 1, · · · , n; (2.109)

µk ≥ 0, δkt ≥ 0, ∀k = 1, · · · , n; t ∈ {0} ∩ [k, n]; (2.110)

y ∈ [0, 1]n. (2.111)


A formulação dada acima para o conjunto de soluções viáveis do WW-CC descreve o

conv(XWW−CC).

Existem outros resultados, podem ser encontrados em Pochet e Wolsey (2006) relacionados

com a descrição do envoltório convexo e inequações válidas para outros problemas que consideram

apenas um item e restrição de capacidade.

Capítulo 3

Reformulações e Inequações Válidas

para um LS com Seqüencimento

Integrado

O objetivo deste capítulo é o desenvolvimento de inequações válidas, que serão adicionadas

a priori nas formulações apresentadas, e uma reformulação estendida, baseada no Problema de

Localização de Facilidades, para um Problema de Dimensionamento Integrado e Seqüenciamento

de Lotes proposto em Araujo et al. (2007).

Como já foi mencionado na introdução deste trabalho, os Problemas de Dimensionamento

e Seqüenciamento de Lotes estão presentes no planejamento de produção de algumas indústrias e

muitos trabalhos na literatura propõem resolvê-los de forma integrada. Um Problema Integrado

de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes determina um planejamento da produção que

atenda a demanda dos itens e em qual seqüência os lotes devem ser produzidos. Nesse sentido,

modelos clássicos na literatura que consideram diferentes características de um processo de pro-

dução podem ser encontrados em Drexl e Kimms (1997), Meyr (2000) e Fleischmann e Meyr

(2001).

Drexl e Kimms (1997) fazem uma revisão de alguns modelos como o Discrete Lot Sizing

and Scheduling (DLSP), Continuous Setup Lot Sizing and Scheduling Problem (CLSP ), Propor-

tional Lot Sizing and Scheduling (PLSP) e o General Lot Sizing and Scheduling (GLSP) que se

diferenciam em alguns aspectos importantes como a quantidade de itens que podem ser produ-

zida em um determinado período e na forma como é definido o horizonte de planejamento entre

outros, mas todos integram as decisões de dimensionamento com as decisões de seqüenciamento

dos lotes.

62

63

O DLSP e o CLSP permitem apenas a produção de um item por período; no entanto, caso

haja produção de um item, o modelo DLSP exige com as restrições "tudo ou nada"que toda a

capacidade de produção do período seja utilizada, enquanto que o CLSP permite a utilização

parcial dessa capacidade. Estudos que envolvem o DLSP podem ser encontrados em Hoesel e

Kolen (1994), Fleishmann (1994) e Salomonn et al. (1997) e com relação ao CLSP podem ser

encontrados em Karmarkar e Schrage (1985). No caso do PLSP, onde é permitido a produção de

no máximo dois itens por período, estudos sobre ele podem ser encontrados em Drexl e Haase

(1995, 1996).

O GLSP para o qual foi apresentado um modelo na Seção 2.2 do Capítulo 2 permite a

produção de vários itens por período, pertencendo a classe de problemas Big Bucket. Estudos

sobre esse modelo podem ser encontrados em Drexl e Kimms (1997), Meyr (2000), Fleismann e

Meyr (1997) e Kolçar (2005).

Alguns trabalhos desenvolvem métodos heurísticos para a resolução dos problemas que in-

tegram o dimensionamento e seqüenciamento de lotes como ocorre em Gupta e Magnusson(2005).

Meyr (2000) e Fleischmann e Meyr (1997), além de discutirem vários aspectos do GLSP, pro-

põem método heurísticos para resolvê-lo. Outros trabalhos como Ferreira et al. (2007b) e Araújo

(2008) que usam variações do método relax and fix para resolver esse problema aplicado a situ-

ações reais.

Existem também trabalhos que estão voltados para o desenvolvimento de inequações vá-

lidas e reformulações. Fleischmann e Meyr (2001) também propõem algumas inequações para

uma reformulação a priori com a finalidade de reduzir o espaço das soluções viáveis sem per-

der as soluções ótimas do GLSP. Esse procedimento também é utilizado em Koçlar (2005), no

entanto, o GLSP considerado tem muitas diferenças se comparado ao GLSP de Fleischmann e

Meyr (2001). Além disso, Koçlar desenvolve inequações válidas e uma reformulação baseada no

Problema do Transporte que usa o mesmo príncipio das reformulações baseadas no Problema de

Localização de Facilidades.

Belvaux e Wolsey (2001) e Wolsey (2000) apresentam algumas discussões sobre reformula-

ções e inequações válidas para Problemas de Dimensionamento de Lotes small e big bucket com

variáveis de inicialização e troca. O testes realizados mostram que a reformulação a priori pode

melhorar os desempenho dos métodos de resolução. Em Magnant e Sastry (2002) é identificada

uma classe de inequações que definem facetas para um Problema de Dimensionamento de Lotes

que considera custos de troca.

Com relação ao Problema Integrado de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes apre-

sentado em Araujo et al. (2007), que será objeto de estudo neste capítulo, não foram encontrados

3.1. Definição do Problema e Modelagem Matemática 64

estudos relacionados com reformulações e inequações válidas.

3.1 Definição do Problema e Modelagem Matemática

Em alguns processos de produção é necessário a preparação de um material bruto que será

transformado em vários itens finais. Exemplos desse processo podem ser encontrados nas indús-

trias de refrigerantes, onde é necessário a preparação do xarope e a partir dele serão produzidos

refrigerantes distintos pela embalagem, e nas indústrias de fundição, onde geralmente é prepa-

rado uma liga de metal e a partir dela são produzidos alguns itens. Estudos detalhados sobre

esses processos de produção podem ser encontrados em Ferreira et al. (2007a) e em Ferreria et

al. (2007b) para o caso da indústria de refrigerantes e em Araújo et al. (2006) e em Santos-Meza

et al. (2002) no caso da indústria de fundição.

Diante disso, têm-se um Problema Integrado de Dimensionamento de Lotes e Seqüen-

ciamento de Lotes, que consiste em determinar a seqüência em que os materiais deverão ser

processados e o tamanho dos lotes dos itens que deverão ser produzidos a partir deles simulta-

neamente. Uma formulação matemática para esse problema com custos e tempos de preparo

dependentes da seqüência é encontrado em Araujo et al. (2007). Para a apresentação dessa for-

mulação matemática, serão destacadas a seguir algumas características do processo de produção

considerado.

Primeiramente, as decisões são tomadas para um horizonte de planejamento finito divididos

em períodos que por sua vez são divididos em subperíodos. Em cada subperíodo somente um

material poderá ser processado para a produção de determinados itens. Considerando 4 com 3

subperíodos cada um, o horizonte de planejamento pode ser representado através da Figura 3.1.

Período 1 Período 2 Período 3 Período 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 3.1: Horizonte de planejamento

Note que os círculos da Figura 3.1 representam os subperíodos. Para facilitar a visualização,

os círculos que correspondem aos primeiros subperíodos de cada período estão destacados.

É admitido que cada material processado será usado para a produção de diferentes itens,

mas cada item poderá ser feito a partir de apenas um material. Dessa forma os conjuntos de

itens que podem ser produzidos a partir dos materiais são disjuntos entre si. Além disso, a

quantidade de material processado é igual a quantidade total de itens fabricados a partir dele.


Os itens poderão ser produzidos em um determinado subperíodo somente se o material do qual

ele é feito é processado nesse mesmo subperíodo.

Com relação ao limite de produção, o material é processado em cada subperíodo, respei-

tando uma quantidade finita e fixa da capacidade de produção da máquina onde é preparado

o material. No entanto, a produção em cada subperíodo não precisa necessariamente utilizar

toda a capacidade disponível. Ainda com relação a capacidade, será considerada uma perda na

capacidade total da máquina caso houver necessidade de preparar a máquina para processar um

material diferente do material que estava sendo processado no subperíodo anterior. Além disso,

para a produção de uma unidade de cada item é exigida uma quantidade de material que por

sua vez exige determinada capacidade da máquina.

Serão considerados a perda de capacidade e custos de troca dependente da seqüência dos

materiais processados. Assim, o custo de processar um material j, posterior ao processamento

de um material k, pode não ser o mesmo se a ordem dos processamentos for invertida de modo

que o material k seja processado antes do material j. No entanto, se a máquina tiver que ser

preparada num determinado subperíodo para o processamento de um material que já havia sido

processado no último subperíodo anterior, o custo de preparo e a perda da capacidade serão nulos.

Além disso, para esse sistema de produção considerado é admitido a validade da desigualdade

triangular, garantindo que é mais vantajoso processar um material e depois outro do que passar

pelo processamento de um terceiro entre os dois.

Referente às condições de atendimento da demanda, serão permitidos estoque e produção

em atraso que terão um custo no fim de cada período. O objetivo de otimização será minimizar

a soma total dos custos referentes ao estoque, à produção em atraso e às trocas efetuadas. Final-

mente serão considerados a seguir os índices, dados e variáveis para a descrição da formulação

matemática do problema.

Índices:

• j, k = 1, · · · ,K: indicam os materiais, onde K é o número total de materiais.

• p = 1, ..., P : indica os itens, onde P é o número total de itens.

• t = 1, · · · , T : indica os períodos, onde T é o número total de períodos.

• n = 1, .., LT : indica os subperíodos, onde LT é o número total de subperíodos.

Dados:

• C: capacidade disponível da máquina em cada subperíodo para o preparo do material.


• ρp: capacidade exigida da máquina para a preparo do material necessário para produzir

uma unidade do item p.

• dpt: demanda do item p no período t

• S(k): conjunto de itens p que são produzidos a partir do material k.

Note que {1, · · · , P} = S(1)∪ · · ·∪S(K) e S(k)∩S(j) = ∅ para todos materiais j e k com

j 6= k, já que cada item é produzido a partir de apenas um material.

• h+pt: custo por estocar uma unidade do item p no fim período t.

• h−pt: custo por atrasar a produção de uma unidade do item p no fim do período t.

• sjk: custo com preparo da máquina pela troca do material j para o material k.

Note que sjj = 0 para todo j = 1, · · · ,K.

• stjk: perda da capacidade da máquina se houver a troca do material j para o material k.

Note que stjj = 0 para todo j = 1, · · · ,K.

Variáveis:

• xpn: quantidade do item p a ser produzida no subperíodo n.

• I+pt: quantidade do item p a ser estocada no fim do período t.

• I−pt: quantidade em atraso do item p no período t .

• ykn =

1 , se a máquina é preparada para processar o material k no subperíodo n ;


• zjkn =

1 , se houver a troca do material j para o material k no subperíodo n ;


Para facilitar indexação na descrição do modelo serão feitas algumas definições com relação

aos subperíodos, baseado no GLSP definido em Drexl e Kimms (1997).

• ηt: indica o número de subperíodos do período t. Note que η =∑T

t=1 ηt, onde η é o número

total de subperíodos.

• Ft = 1 +∑t−1

τ=1 ηt: indica o índice do primeiro subperíodo do período t. Note que F1 = 1.

• Lt = Ft + ηt − 1: indica o índice do último subperíodo do período t.


Com as considerações e notações anteriores, uma formulação para o PDLSM será dada

a seguir considerando um horizonte de planejamento com T períodos. Essa formulação pode

ser encontrada em Araujo et al. (2007) a qual será feita referência pela sigla FO (Formulação

Original).

Min

P∑

p=1

T∑

t=1

(h+ptI

+pt + h−ptI

−pt) +

K∑

j=1

K∑

k=1

LT∑

n=F1

sjkzjkn . (3.1)

sujeito à:

h+p,(t−1) − h−p,(t−1) +

Lt∑

n=Ft

xpn − h+pt + h−pt = dpt, ∀p = 1, · · · , P, t = 1, · · · , T ; (3.2)

∑

p∈S(k)

ρpxpn + stjkzjkn ≤ Cyk

n, ∀j, k = 1, · · · , K, n = 1, · · · , LT ; (3.3)

zjkn ≥ yj

(n−1) + ykn − 1, ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 1, · · · , LT ; (3.4)

K∑

k=1

ykn = 1, ∀n = 1, · · · , LT ; (3.5)

K∑

j=1

K∑

k=1

zj,kFt

= 1, ∀t = 1, · · · , T ; (3.6)

ykn ∈ {0, 1} com yk

0 = 0, ∀k, n = 1, · · · , LT ; (3.7)

zjkn ≥ 0, ∀j, k, n = 1, · · · , LT ; (3.8)

I+pt, I

−pt ≥ 0, ∀p = 1, · · · , P, t = 1, · · · , T. (3.9)

xpn ≥ 0 e inteiro, ∀p = 1, · · · , P, n = 1, · · · , LT . (3.10)

A função objetivo (3.1) minimiza a soma dos custos gerados pela produção estocada e

atrasada e pelas trocas efetuadas no seqüenciamento dos preparos. O conjunto de restrições

(3.2) determina o balanço entre o estoque, a produção em atraso e a produção total de cada

período t. As restrições (3.3) junto com a restrições (3.5) determinam que a quantidade de

material processado em um subperíodo não deverá ultrapassar a capacidade da máquina, que

deverá ser subtraída de uma determinada quantidade de capacidade necessária para o preparo

da máquina. Além disso, essas restrições garantem que se um material k for processado num

subperíodo n, somente serão produzidos os itens que são feitos a partir desse material k.

As restrições (3.4) indicam a troca de materiais processados. Assim, se no subperíodo

n− 1 houve o processamento de um material j (yjn−1 = 1) e no subperíodo n, para o material k

(ykn = 1), então a variável zjk

n será forçada a receber o valor 1 indicando a troca do material j para

o material k no subperíodo n. Observe que não é necessário definir zjkn como variável binária,

pois como ykn e yj

n são variáveis binárias, devido às restrições (3.7). Note que as restrições (3.7)

3.2. Reformulação Estendida 68

fixam um valor nulo para as variáveis yj0 com j variando de um até K. Assim, considerando a

função objetivo de minimização, zjkn sempre tomará o menor valor não negativo maior ou igual

a ykn−1 + yj

n − 1.

As restrições (3.5) garantem que apenas um material seja processado por subperíodo. O

conjunto (3.6) de restrições assegura a realização de uma troca no primeiro subperíodo de cada

período. A inclusão dessas restrições se justifica pela necessidade de garantir que haja produção

no primeiro subperíodo do horizonte de planejamento. No entanto, elas não seriam necessárias

para os outros subperíodos para os quais foram definidas. A inclusão dessas restrições se deve

ao fato de que elas foram consideradas nos testes computacionais em Araujo et al. mesmo não

estando presentes na formulação. As restrições (3.8) e (3.9) definem a não negatividade das

variáveis que indicam as trocas, o estoque e a produção em atraso. Por fim, as restrições (3.10)

definem a não negatividade e a integralidade das variáveis de produção.

Observe que as variáveis que representam os lotes foram definidas como variáveis intei-

ras diferente da maioria dos Problemas de Dimensionamento de Lotes ou Dimensionamento e

Seqüenciamento de Lotes Integrado. Isso foi assim determinado, pois o problema considerado

neste trabalho podem assumir valores baixos para a capacidade e a demanda e, conseqüente-

mente, para as variáveis de produção. Neste caso, se fossem definidas como variáveis contínuas,

um arredondamento poderia levar a uma solução inviável.

3.2 Reformulação Estendida

Nesta seção, será apresentada uma formulação estendida para o Problema Integrado de

Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes apresentado na Seção 3.1 baseada no problema de

Localização de Facilidades que é descrito na Seção 2.3 e usado para a reformulação do LS-U.

Em alguns textos da literatura, onde também são desenvolvidas formulações estendidas

para os Problemas de Dimensionamento de Lotes, são encontradas reformulações baseadas nos

Problemas do Transporte e de Localização de Facilidades, mas nos dois casos é usado o mesmo

princípio para a reformulação que é a desagregação da variável de produção. Para a reformulação,

serão consideradas definições de índices, dados e variáveis da Seção 3.1. Porém, novas definições

serão feitas na medida que forem necessárias.

O raciocínio será análogo ao desenvolvido para a reformulação do LS-U na Seção 2.3 do

Capítulo 2, mas deve-se considerar as diferenças entre os modelos, tais como a definição do

horizonte de planejamento e a possibilidade de satisfazer a demanda com produção em atraso.

Assim, os subperíodos representam as facilidades de maneira que a produção desses subperíodos


poderão ser destinadas para os períodos que representam os clientes. Diante disso, serão definidas

as seguintes variáveis.

• Qpnt: indica a quantidade do item p produzida no subperíodo n para satisfazer a demanda

no período t.

Dessa forma, a produção de um determinado subperíodo pode ter vários destinos como

mostra a Figura 3.2, considerando um horizonte de planejamento com 4 períodos com 3 subpe-

ríodos cada.

Período 1 Período 2 Período 3 Período 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 3.2: Destinos possíveis da produção do subperíodo 6

Note que se uma produção de um subperíodo n pertencente a um período t for destinada a

um período t′ posterior a t (t

′> t), então essa produção deverá ser estocada até o fim do período

t′ − 1, e por isso deverão ser contabilizados os custos de estoque nos períodos t, · · · , t

′ − 1.

Por outro lado, se a produção for destinada a um período t′′ anterior a t, então essa é uma

produção em atraso e por isso deverá também incluir os custos da produção em atraso nos

períodos t′′, · · · , t− 1 .

Considerando que τn indica o período ao qual um subperíodo n pertence, os custos para o

estoque e a produção em atraso deverão ser redefinidos da seguinte maneira:

• CQ+pnt: indica o custo de produção do produto p no subperíodo n para satisfazer a demanda

no período t posterior a τn.

Note que CQ+pnt =

t−1∑

l=τn

h+pl (τn ≤ t).

• CQ−pnt: indica o custo de produção do produto p no subperíodo n para satisfazer a demanda

no período t anterior a τn.

Note que CQ−pnt =

τn−1∑

l=t

h−pl (τn ≥ t).

Os custos CQ+pnt indicam os custos de estoques e os custos CQ−

pnt indicam os custos de

atraso na formulação estendida. Observe que os custos de estoque de um item p, associados à

produção originada em qualquer subperíodo n de um determinado período, são iguais se essa


produção for destinada a um mesmo período. Dessa forma, pode-se dizer que CQ+pnt é o custo

de produção do item p gerada no período τn para satisfazer a demanda do período t. Diante

disso, será usado uma notação equivalente escrita como CQ+pτnt. Note que essa notação continua

associada ao índice do subperíodo e com ela será necessário a definição de apenas um custo de

produção que estará associado a todos os subperíodos de um determinado período. O mesmo é

válido para os custos com a produção em atraso. Logo, a formulação estendida para o problema

apresentado na Seção 3.1 baseado no Problema de Localização de Facilidades, denotada por FL,

pode ser escrita como:

MinP∑

p=1

LT−1∑

n=1

T∑t=τn+1

CQ+pτntQpnt +

p=1∑

P

LT +1∑

n=F2

τn−1∑

t=1

CQ−pτntQpnt +

K∑

j=1

K∑

k=1

LT∑

n=F1

sjkzjkn (3.11)

sujeito à:LT +1∑

n=1

Qpnt = dpt, ∀p = 1, · · · , P, t = 1, · · · , T ; (3.12)

∑

p∈S(k)

ρp(T∑

t=1

Qpnt) + stjkzjkn ≤ Cyk

n, ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 1, · · · , LT ; (3.13)

zjkn ≥ yj

n−1 + ykn − 1, ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 1, · · · , LT ; (3.14)

P∑

k=1

ykn = 1, ∀k = 1, · · · ,K, n = 1, · · · , LT ; (3.15)

K∑

j=1

K∑

k=1

zj,kFt

= 1, ∀t = 1, · · · , T ; (3.16)

ykn ∈ {0, 1} com yk

0 = 0, ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 1, · · · , LT ; (3.17)

zjkn ≥ 0 ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 1, · · · , LT ; (3.18)

Qpnt ≥ 0 e inteiro, ∀p, t, n = 1, · · · , LT + 1; (3.19)

A função objetivo (3.11) minimiza a soma dos custos com a produção estocada, em atraso

e com as trocas efetuadas. As restrições (3.12) garantem que a demanda de um período t seja

atendida pela produção originada de todos os possíveis subperíodos. Observe que para permitir a

produção em atraso no último período foi necessário definir mais um subperíodo que pertencerá

a um período T + 1 fictício. A definição do período fictício foi feita para facilitar a descrição da

formulação FL. Note também que, igualmente à formulação FO, a formulação FL considera o

estoque inicial nulo. As restrições (3.19) definem a não negatividade e integralidade das variáveis

de produção. As outras restrições continuam com as mesmas interpretações e funcionalidades

descritas para a formulação FO.

Deve-se destacar que é possível escrever as variáveis de produção, estoque e de produção

em atraso da formulação FO em função das variáveis de produção da formulação FL.

3.3. Inequações Válidas 71

xpn =T∑

t=1

Qpnt, ∀p = 1, · · · , P, n = F1, · · · , FT .

I+pt =

Lt∑

n=Ft

T∑

l=t+1

Qpnl, ∀t = 1, · · · , T.

I−pt =T+1∑

n=Ft+1

Qpnt, ∀t = 1, · · · , T.

Alguns resultados da literatura mostram que a formulação baseada no Problema de Loca-

lização de Facilidades é mais forte; no entanto, os problemas para os quais foram desenvolvidas

não apresentavam a possibilidade do atraso. Observe que na formulação FL o número de variá-

veis inteiras aumenta, se comparado com a formulação FO. No entanto, o número de restrições

permanece o mesmo. A Tabela 3.1 mostra o número das variáveis presentes nas formulações FO

e FL em função do número total de períodos (T ), de subperíodos (N), de materiais (K) e de

produtos (P ).

Formulação

Variáveis FO FL

Inteiras produção P × (T + 1) P ×N × (T + 1)

preparo K ×N K ×N

Contínuas atraso P × T —∗

estoque P × (T + 1) —

troca P × P ×N P × P ×N

∗—Indica ausência de variáveis do tipo especificado.

Tabela 3.1: Número de variáveis para as formulações FO e FL

3.3 Inequações Válidas

Nesta seção, serão apresentadas inequações válidas para as formulações FO e FL (base-

ada no Problema de Localização de Facilidades). Essas inequações estão relacionadas com as

variáveis de troca e preparo e o objetivo é adicioná-las a priori nas duas formulações. O desen-

volvimento das inequações válidas a seguir teve como base alguns trabalhos na literatura, tais

como Wolsey(2002), Belvaux e Wolsey(2000), Belvaux e Wolsey(2001) e Koçlar (2005).

As inequações válidas propostas neste trabalho não tem como objetivo a descrição do

envoltório convexo, já que para o problema apresentado encontrar o envoltório convexo trata-se de


uma tarefa muito difícil. Portanto, o desenvolvimento das inequações válidas tem como objetivo

melhorar os limites obtidos pela relaxação linear e os limites fornecidos pelas soluções viáveis, de

forma que a eficiência do método exato utilizado para resolver o problema seja aumentada.

Será apresentado um exemplo de um problema pequeno e, a partir desse exemplo, algumas

análises sobre a sua relaxação linear serão feitas. Além disso, na medida em que as inequações

válidas forem apresentadas, será mostrado através desse exemplo o efeito da inclusão dessas

inequações.

Exemplo 3.3.1 Considere uma instância do Problema Integrado de Dimensionamento e Seqüen-

ciamento de Lotes apresentado na Seção 3.1 com 3 materiais, 6 itens e um horizonte de plane-

jamento com 2 períodos, com cada período contendo 3 subperíodos. A partir de cada material

podem ser produzidos exatamente dois itens. As demandas de cada item são iguais a 2 no pri-

meiro período e iguais a 1 no segundo período. A capacidade de produção de cada subperíodo é

igual a 2. Os tempos de troca (stjk) entre os materiais estão indicados na Tabela 3.2.

Materiais 1 2 3

1 0 1 2

2 2 0 1

3 2 2 0

Tabela 3.2: Tempos de troca para o problema do Exemplo 3.3.1

Os custos de trocas serão considerados iguais aos tempos, ou seja, stjk = sjk para todo

j, k = 1, 2, 3. Além disso, os custos de estoque nos dois período são unitários para todos os itens.

Os custos de atraso no primeiro subperíodo são iguais a dois para os itens produzidos a partir

do material 2 e para os outros itens são unitários. Os custos de atraso no segundo período são

unitários para todos os itens.

A solução ótima para o problema do Exemplo 3.3.1 apresenta a seqüência de processamento

de materiais 1 → 2 → 2 → 2 → 3 → 3 como ilustra a Figura 3.3.

Na Figura 3.3 está representado o horizonte de planejamento do problema do Exemplo

3.3.1. Os três círculos alinhados verticalmente contém o valor da variável de preparo para cada

subperíodo indicado no topo. Para os seis subperíodos, os círculos representam respectivamente o

material 1, 2 e 3 como está indicado na figura. Dessa forma, os círculos alinhados horizontalmente

estão associados a um mesmo material. As setas em negrito indicam as trocas realizadas e sobre

elas está o valor da respectiva variável de troca. Note que as setas horizontais não implicam

custos maiores que zero, já que representam o preparo de um mesmo material em subperíodos


1 2 3 4 5 6

1

1 1 1

1 1

Problema Inteiro Misto Solução ótima: 11

1

1

1 11

1

material 1

material 2

material 3

subperíodos

0

0 0

0

00

0

0 0

0

0

0

Figura 3.3: Seqüenciamento da solução ótima do problema do Exemplo 3.3.1

sucessivos. As setas na diagonal implicam em custos maiores que zero, pois representam a troca

de materiais. Assim, é possível concluir da Figura 3.3 que deverão haver preparos para o material

1 no subperíodo 1, para o material 2 nos subperíodos 2, 3 e 4 e para o material 3 nos subperíodos

5 e 6. Além disso, o valor ótimo da função objetivo é 11 e está indicado no canto superior direito

da tabela. Do total deste valor, 9 é devido à produção em atraso e 2 é devido às trocas efetuadas.

Para visualizar o efeito da adição das famílias de inequações válidas, será usada a for-

mulação FO. A solução da relaxação linear do Exemplo 3.3.1 usando a formulação FO (Puro),

ou seja, sem adição de inequações válidas, está ilustrada na Figura 3.4. A Figura 3.4, assim

como as outras que serão apresentadas para ilustrar a solução da relaxação linear, terá a mesma

interpretação da Figura 3.3, no entanto, os valores para as variáveis de preparo e troca podem

ter valores não inteiros.

1 2 3 4 5 6

FO ( Puro ) R.L.: 3

1

0,08 1

0 0,08 0,50 0,410,33 0,67

0,42 0,42 0,50 0,33 0,33 0

0,58 0,50 0 0,33 0,25 0,33

0,08

Figura 3.4: Solução da relaxação linear

Pela solução da relaxação linear, observe que as variáveis de preparo e troca têm uma

ligação fraca. Com exceção do primeiro subperíodo, veja que é possível as variáveis de preparo

assumirem valores diferentes de zero, permitindo a produção, sem que as variáveis de troca

assumam valores diferentes de zero. Para exemplificar, note que as variáveis de preparo para o


material 1 no subperíodo 3 é 0, 50 e a variável de preparo para o material 2 no subperíodo 4 é

0, 33. Porém, a variável que corresponde a essa troca é nula pois,

z124 ≥ y1

3 + y24 − 1 ⇒ z12

4 ≥ 0, 50 + 0, 33− 1 ⇒ z124 ≥ −0, 17.

E como problema de é de minimização, z124 tomará o menor valor possível não negativo

maior ou igual a −0, 17 que é zero. Diante disso, os valores das variáveis de troca nas solução da

relaxação linear assumem geralmente valores baixos fazendo com que o valor da função objetivo

também seja baixo e, conseqüentemente, dos limitantes inferiores. Observe que o valor ótimo da

função objetivo da relaxação linear é 3 e esse valor não inclui nenhum custo de troca. No caso

dos subperíodos 1 e 4, as variáveis de troca z111 e z33

4 recebem o valor 1 devido às restrições (3.5),

definidas na formulação FO, que têm o objetivo de forçarem a troca no primeiro subperíodo.

3.3.1 Equações de Fluxo (V-1)

a)K∑

j=1

zjkn = yk

n, ∀k = 1, · · · ,K, n = 2, · · · , LT

b)K∑

k=1

zjkn = yj

n−1, ∀j = 1, · · · ,K, n = 3, · · · , LT

A família de equações estabelecerá uma ligação entre as variáveis de preparo e troca,

de maneira que a troca de um determinado material j para um material k no período n será

considerada quando tiverem os preparos do material k no período n e do material j no período

n − 1. As equações V-1 determinam uma situação óbvia para o problema, por isso, poderiam

naturalmente fazer parte da formulação.

Como yj0 foi definido igual a zero para todo j nas duas formulações, então as equações

V-1 foram definidas a partir do segundo subperíodo. Porém, elas poderiam ser definidas a partir

do primeiro subperíodo. O mesmo acontece na definição da família de inequações V-2 que será

apresentada na próxima subseção. A seguir segue a demonstração da validade de V-1.

Demonstração:

A prova será feita para V-1a, pois a prova para V-1b pode ser feita de forma análoga.

Considere as restrições (3.4) da formulação FO que determinam as trocas:

zjkn ≥ yj

n−1 + ykn − 1,∀j, k = 1, · · · ,K, n = F1, · · · , FT .


Somando as restrições sobre o índice j para todos os valores que j pode assumir, obtém-se:

K∑

j=1

zjkn ≥

K∑

j=1

yjn−1 + Kyk

n −K. (3.20)

A inequação (3.20) deverá valer para todo k. A formulação FO permite que apenas um

preparo ocorra em cada subperíodo. Assim, a soma de todos os possíveis preparos no período

n− 1( K∑

j=1

yjn−1

)deverá ser igual a 1. Logo:

K∑

j=1

zjkn ≥ 1 + K(yk

n − 1)

Agora, será analisado as possibilidades de preparos no período n, ou seja, os valores pos-

síveis para ykn. Diante disso, têm-se os seguintes casos:

I) Se houver preparo para o material k no subperíodo n (ykn = 1), então

K∑

j=1

zjkn ≥ 1. Já

que é permitido apenas um preparo em cada subperíodo e deverá ter uma troca no subperíodo

n de qualquer outro item para o material k. Como o problema é de minimização e os custos de

troca são maiores ou igual a zero, então pode-se afirmar queK∑

j=1

zjkn é igual a 1 na otimalidade.

II) Se não houver preparo para o material k no subperíodo n (ykn = 0), então existe um

material i com i 6= k para qual foi preparado (yin = 1), pois pela formulação do problema deverá

haver com certeza um preparo em cada subperíodo, ou seja, o somatório de todos os possíveis

preparos de um subperíodo deverá ser igual a 1.

Dessa forma,K∑

j=1

zjin = 1, ou seja, deverá haver uma troca para o material i de qualquer

outro material no subperíodo n.

Logo,K∑

j=1

zjkn = 0 ≥ 1−K = 1 + K(yk

n − 1), já que somente uma troca será feita em cada

subperíodo.

Portanto, a equações V1 não eliminam nenhuma solução inteira do problema e por isso são

inequações válidas. ¥

Observe na Figura 3.5 que valor ótimo da função objetivo da relaxação linear com a adição

das equações V-1 aumenta e elas estabelecem uma ligação entre as variáveis de preparo e troca.

De acordo com a solução, fica claro que a estrutura poliédrica do problema foi modificada.

O valor ótimo da função objetivo da relaxação linear com a adição das equações V-1 é

3, 22, sendo uma parte de 0, 11 desse valor é devido a troca do material 2 para o material 3 no

subperíodo 4 e o restante devido aos custos de atraso.

Note que as variáveis de troca, que representam o preparo de um mesmo material em

subperíodos consecutivos, recebem valores maiores que zero como ilustram as setas horizontais,


1 2 3 4 5 6

FO + V-1 R.L.: 3,22

0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33

0,67 0,33 0,33 0,22 0,22 0,22

0 0,33 0,33 0,44 0,44 0,44

0,33 0,33 0,330,330,33

0,33 0,220,220,220,33

0,11

1

0,33 0,33 0,440,33 0,44

Figura 3.5: Solução da relaxação linear com V-1

mas o custo associado a essas variáveis são nulos e, por isso, elas não implicam em custos

adicionais. Isso ocorre porque as equações V-1 determinam que, para que uma variável de

preparo de um material k num subperíodo n assuma um valor maior que zero, o somatório dos

valores de todas as variáveis que indicam as possíveis trocas no subperíodo n para o material k

deverá ter o mesmo valor. Além disso, elas determinam também que o somatório dos valores de

todas as variáveis que indicam as possíveis trocas no subperíodo n, dado que um material j foi

preparado no subperíodo n− 1, deverá ter o mesmo valor da variável de preparo do material j.

Diante disso, as equações V-1 forçam que as variáveis de troca tenham valores maiores do que

zero dependendo dos valores das variáveis de preparo. Tomando como exemplos as variáveis de

preparo do material 3 no subperíodo 4 e do material 2 no subperíodo 3, observe que:

3∑

j=1

zj34 = y3

4 ⇒ z134︸︷︷︸0

+ z234︸︷︷︸

0,11

+ z334︸︷︷︸

0,33

= 0, 44

3∑

k=1

z2k4 = y2

3 ⇒ z214︸︷︷︸0

+ z224︸︷︷︸

0,22

+ z234︸︷︷︸

0,11

= 0, 33

Observe que a solução da relaxação linear, sem a adição de inequações, não é factível

quando as equações V-1 são adicionadas. As equações V-1 determinam um balanço do fluxo se

a Figura 3.5 for vista como um grafo, onde os círculos seriam os nós e as setas que representam

as possíveis trocas seriam as arestas.

3.3.2 Inequações Desagregadas de Fluxo (V-2)

a)zjkn ≤ yk

n, ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 2, · · · , LT .

b)zjkn ≤ yj

n−1,∀j, k = 1, · · · ,K, n = 3, · · · , LT .


O conjunto de inequações V-2 tem função de permitir que uma variável de troca de um

material j para um material k assuma valores maiores que zero somente quando as variáveis de

preparo para o material k no subperíodo n e do material j no subperíodo n− 1 tiverem também

valores maiores que zero. Além disso, o valor da variável de troca não pode ser maior que o valor

da variável de preparo.

A demonstração da validade do conjunto de inequações V-2 segue da validade do conjunto

V-1. Note que:

I)K∑

j=1

zjkn = yk

n−1 ⇒K∑

j=1

zjkn ≤ yk

n−1 ⇒ zjkn ≤ yk

n−1, ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 2, · · · , LT .

II)K∑

k=1

zjkn = yj

n ⇒K∑

j=1

zjkn ≤ yj

n ⇒ zjkn ≤ yj

n, ∀j, k = 1, · · · ,K, n = 3, · · · , LT .

Logo, as inequações V-2 são válidas.

1 2 3 4 5 6

FO + V-2 R.L.: 3,0

0 0,17 0,50 0,50 0,33 0,50

00,42 0,42 0,50 0,50 0,17

0,58 0,41 0 0 0,50 0,50

0,5

0,5

1


Observe, na solução da relaxação linear na Figura 3.4, que no subperíodo 4 a variável

de troca, que indica o preparo para o processamento do material 4, recebe o valor 1 sem ter

tido preparo para o material 3 no subperíodo anterior. Como já foi dito na subseção anterior,

isso ocorre porque na formulação são definidas restrições que forçam o preparo nos primeiros

subperíodos de cada período. Neste caso, a adição das inequações V-2 elimina esse tipo de

ocorrência na solução, pois as inequações V-2 permitirão a troca de um material j para um

material k somente se houver o preparo para o material j e, posteriormente, para o material k.

Considerando apenas as possíveis trocas do material 1 para ele mesmo e para o material 3 no

subperíodo 4, observe que na solução da relaxação linear com as inequações V-2 adicionadas a

priori na formulação FO, tem-se que:

z114 ≤ y1

4 ⇒ 0, 5 ≤ 0, 5.


z114 ≤ y1

3 ⇒ 0, 5 ≤ 0, 5.

z134 ≤ y3

4 ⇒ 0 ≤ 0.

z134 ≤ y1

3 ⇒ 0 ≤ 0, 5.

Apesar do valor da relaxação linear não ter sido alterado com a adição das inequações V-2,

elas foram suficientes para alterar a solução como mostra na Figura 3.6. Novamente, a solução

da relaxação linear sem a das inequações válidas não é factível quando as inequações V-2 são

adicionadas.

Se fossem adicionadas as restrições que forçam a troca em todos os subperíodos, como foi

feito para todos os primeiros subperíodos de cada período, o efeito da adição das inequações V-2

poderia ser maior.

3.3.3 Inequações de Preparo e Trocas (V-3)

yin−1 +

K∑

j=1|j 6=i

zjin +

K∑

j=1|j 6=i

(yjn −

K∑

k=1|k 6=j

zkjn ) ≤ 1, i = 1, · · · ,K, n = 1, · · · , LT .

As inequações V-3 aparecem em Belvaux e Wolsey (2001), mas elas são escritas para um

único item considerando variáveis de inicialização e preparo. As inequações V-3 consideram as

trocas de itens diferentes para subperíodos sucessivos. Note que se yin−1 for 1, então necessa-

riamenteK∑

j=1|j 6=i

zjin será igual a 0 e, se yi

n−1 for 0, entãoK∑

j=1|j 6=i

zjin será igual a 0 ou 1. Assim,

quando yin−1 = 1, tem-se que:

K∑

j=1|j 6=i

yjn ≤

K∑

j=1|j 6=i

K∑

k=1|k 6=j

zkjn .

Neste caso, as inequações V-3 evitam que as variáveis de preparo assumam valores maiores

que zero quando as trocas forem nulas. O mesmo ocorre para o caso quando yin−1 = 0 e

K∑

j=1|j 6=i

zjin = 1. No caso em que yi

n−1 = 0 eK∑

j=1|j 6=i

zjin = 0, não há nenhuma implicação sobre as

outras variáveis.

Para facilitar a demonstração da validade de V-3, ela será escrita da seguinte forma:

yin−1︸︷︷︸

preparo de i em n− 1

+K∑

j=1|j 6=i

zjin

︸︷︷︸troca para i em n

+K∑

j=1|j 6=i

yjn

︸︷︷︸preparo de j em n

−K∑

j=1|j 6=i

K∑

k=1|k 6=j

zkjn

︸︷︷︸troca para j em n

≤ 1


A demonstração será feita considerando todos os casos possíveis.

Demonstração:

I) Se houver preparo para o material i nos subperíodos n− 1 e n, então tem-se necessari-

amente uma troca do material i para ele mesmo no período n (ziin = 1). Assim,tem-se que:

yin−1 = 1,

K∑

j=1|j 6=i

zjin = 0,

K∑

j=1|j 6=i

yjn = 0,

K∑

j=1|j 6=i

K∑

k=1|k 6=j

zkjn = 0

Logo, a inequação é satisfeita.

II) Se houver preparo para o material i no subperíodo n−1 (yin−1 = 1) e um preparo para

um outro material j com j 6= i no subperíodo n( K∑

j=1|j 6=i

yjn = 1

), então necessariamente haverá

uma troca do item i para o item j.

Logo,K∑

j=1|j 6=i

K∑

k=1|k 6=j

zkjn = 1 e

K∑

j=1|j 6=i

zjin = 0, satisfazendo a inequação.

III) Considere o caso em que o preparo para o material i no período n−1 não ocorre, mas

ocorre o preparo para o material i no período n. Assim, deve ocorrer a troca de um material j

(j 6= i) para o material i no subperíodo n. Neste caso, tem-se que:

yin−1 = 0 e

∑Kj=1|j 6=i z

jin = 1 ⇒ ∑K

i=1|j 6=i yjn = 0 e

K∑

j=1|j 6=i

K∑

k=1|k 6=j

zkjn

︸︷︷︸não inclui a troca para i

= 0

Neste caso, a inequação também é satisfeita.

IV ) O último caso considera ocorridos os preparos para itens diferentes de i nos subperíodos

n− 1 e n. Neste caso, não ocorrerão trocas para o item i nos subperíodos n− 1 e n. No entanto,

podem ocorrer trocas de itens diferentes de i no período n. Assim,

yi(n−1)=0,

K∑

j=1|j 6=i

zjin = 0 e

K∑

j=1|j 6=i

yjn = 1 ⇒

K∑

j=1|j 6=i

K∑

k=1|k 6=j

zkjn = 0 ou 1.

Logo, a inequação satisfeita em todo os casos. Portanto, as inequações V-3 são válidas.

¥

Como mostra a Figura 3.7 a adição das inequações V-3 determinam um aumento do valor

ótimo da função objetivo da relaxação linear, sendo que do total de 3, 44, tem-se 0, 22 devido

ao custo da troca do material 2 para o material 4 no subperíodo 4. Além disso, a solução da

relaxação linear não é factível quando as inequações V-3 são adicionadas.

Considerando os valores das variáveis de preparo do material 2 no subperíodo 3 e dos

materiais 1 e 3 no subperíodo 4 e a inequação válida V-3 para i = 2 e n = 4 , observe que:


1 2 3 4 5 6

FO + V-3 R.L.: 3,44

0,44 0,44 0,44 0,22 0,22

1

0,32 0,32 0,32 0,320,320,32

0,22

0,23 0,23 0,23 0,46 0,46 0,46

0,78

0,22


y23 +

3∑

j=1|j 6=2

zj24 +

3∑

j=1|j 6=2

yj4 −

3∑

j=1|j 6=2

3∑

k=1|k 6=j

zkj4 ≤ 1 ⇒

y23︸︷︷︸

0,44

+(z124 + z32

4 ) + (y14 + y3

4︸︷︷︸0,32+0,46

)− (z214 + z31

4 + z134 + z23

4 ) ≤ 1 ⇒

(z124 + z32

4 )− (z214 + z31

4 + z134 + z23

4 ) ≤ −0, 22

Assim, as variáveis de troca z214 , z31

4 , z134 e z23

4 deverão assumir valores, cuja soma não

poderá ser menor que 0, 22. Neste caso, z234 assume o valor 0, 22.

3.3.4 Inequações de Troca para i = j (V-4)

yin−1 + yi

n +K∑

j=1|j 6=i

zjjn ≤ 1 + zii

n , ∀i = 1, · · · , K, n = 1, · · · , LT .

As inequações V-4 são uma versão das restrições de troca (3.4) da formulação FO para

i = j. Em Belvaux e Wolsey (2001) essas inequações aparecem definidas para problemas small

bucket, que permitem produção de no máximo dois itens por períodos. A demonstração da

validade das inequações V-4 é desenvolvida sobre as possibilidades de valores que yin e yi

n−1

podem assumir.

Demonstração:

I) Se houver preparo para o item i em subperíodos consecutivos (yin−1 = yi

n = 1), entãoK∑

j=1|j 6=i

zjjn é igual a zero.

Dessa forma, a variável ziin , que indica a troca do material i para ele mesmo no subperíodo

n, é forçada a receber o valor 1. Portanto, as inequações V-4 são satisfeitas.


II) Se yin−1 + yi

n é igual a 1, ou seja, o preparo para o item i ocorrerá no subperíodo n− 1

ou no subperíodo n. Logicamente, ziin e

K∑

j=1|j 6=i

zjjn é igual a zero, pois neste caso deverá ocorrer

a troca de um material j (j 6= i) para o material i ou a troca do material i para um material j

(j 6= i).

III)Se yin−1 + yi

n é igual a zero, ou seja, não há preparo para o item i nos subperíodos n

e n − 1, então ziin é igual a zero. Portanto, a inequação resulta em

K∑

j=1|j 6=i

zjj ≤ 1 que é válida,

pois somente uma troca por subperíodo pode ocorrer.

Assim, prova-se a validade das inequações V-4. ¥

1 2 3 4 5 6

FO + V-1 + V-4 R.L.: 3,44

0,32 0,32 0,32 0,32 0,32 0,32

0,44 0,44 0,44 0,22 0,22 0,22

0,23 0,23 0,23 0,45 0,45 0,45

0,32 0,32 0,320,320,32

0,44 0,220,220,220,44

0,22

1

0,23 0,23 0,450,23 0,45

Figura 3.8: Solução da relaxação linear com V-1+V-4

A adição das inequações V-4 não teve efeito sobre a solução da relaxação linear do Exemplo

3.3.1, por isso elas foram adicionadas junto com as equações V-1. A adição da família V-1+V-4

de inequações provocou mudanças na solução da relaxação linear mostrada na Figura 3.5 com a

adição apenas das equações V-1.

Na solução da relaxação linear com apenas as equações V-1, considerando os valores para

as variáveis presentes na restrição V-4 com i = 1 e n = 2, observe que:

y21 + y2

2 +3∑

j=2

zjjn ≤ 1 + z11

n ⇒ y21 + y2

2 + (z112 + z22

2 ) ≤ 1 + z112 ⇒

0, 67 + 0, 33 + (0, 33 + 0, 33) ≤ 1 + 0, 33 = 1, 66 ≥ 1, 33.

Portanto, a solução da relaxação linear com a adição das equações V-1 mostrada na Figura

3.5 não factível quando a família de inequações V-1+V-4 é adicionada. Note que a situação

exemplificada acima é a única encontrada na solução apresentada que não satisfaz todas as

inequações da família V-4. Neste caso, a inclusão das inequações V-4 determinou principalmente

uma mudança nas variáveis de preparo do material 4 nos subperíodos 1 e 2, que pela conservação

do fluxo através das inequações V-1 provocaram mudanças para as outras variáveis.


3.3.5 Inequações de Eliminação (E-1)

K∑

j=1|j 6=k

Lt∑

n=Ft

zjkn ≤ 1, ∀k = 1, · · · ,K, t = 1, · · · , T.

As inequações E-1 não permitem que a troca de um material j para um material k, dado

que j seja diferente de k, ocorra mais de uma vez. O objetivo dessas restrições é forçar que

os preparos sejam sucessivos para um determinado material, caso haja necessidade de mais de

um preparo. O espaço de soluções viáveis é reduzido com a adição dessas inequações, já que

algumas seqüências não serão permitidas. No entanto, as soluções ótimas são preservadas o que

será justificado a seguir.

As inequações E-1 são definidas de acordo com identificação de uma propriedade da solução

ótima a partir da desigualdade triangular, que garante que não será mais vantajoso,considerando

custos e tempos de preparo da máquina, processar um material e depois outro passando pelo

processamento de um terceiro. De qualquer forma, essa propriedade levará a um resultado

descrito a seguir sobre o processamento de materiais iguais dentro de um período.

Uma análise será feita para uma seqüência de subperíodos que pertença a um período

qualquer. Para facilitar essa análise, será considerado uma instância do problema com 3 materiais

denotados por 1, 2 e 3. Lembre-se que os custos para troca de um material j para um material

i é denotado por sij para j, i = 1, 2, 3.

Suponha que uma solução para esse problema tenha em um dos seus períodos uma seqüên-

cia na qual dois materiais sejam processados em dois subperíodos, que não são sucessivos, como

ilustra a Figura 3.9. Cada círculo da figura representa um subperíodo e abaixo dele está indicado

o material processado e o custo pela troca efetuada.

. . . . . .n-2 n n+1 n+2n-1

2 1 23 1

s s s ssk2 21 13 32 21

Figura 3.9: Seqüência parcial de uma solução

Observe que k refere-se ao material processado no subperíodo anterior a n−2 podendo ser

qualquer um dos três materiais, o que será irrelevante para a análise. No intervalo do subperíodo

de n− 2 até o subperíodo n + 2 da Figura 3.9, o custo total pelos preparos é:

C1 = sk2 + s21 + s13 + s32 + s21.


Observe que uma outra solução pode ser obtida redefinindo a seqüência como a ilustrada

na Figura 3.10.

. . . . . .n-2 n n+1 n+2n-1

2 3 1

s s s ss

2 1

k2 22 21 13 31

Figura 3.10: Seqüência parcial redefinida 1

Para a nova seqüência, o custo total com as trocas no intervalo considerado é:

C2 = sk2 + s22 + s21 + s13 + s31.

Note que sjj = 0 para j = 1, 2, 3 pela definição do problema. Assim o custo total na última

seqüência pode ser escrita como:

C2 = sk2 + s21 + s13 + s31.

Pela desigualdade triangular, tem-se que:

sij ≤ sik + skj , ∀j, i, k = 1, 2, 3.

Usando a desigualdade triangular, note que:

C2 = sk2 + s21 + s13 + s31︸︷︷︸≤s32+s12

≤ sk2 + s21 + s13 + s32 + s21 = C1.

Logo, C2 <= C1

De forma análoga, pode-se obter uma outra solução redefinindo a última seqüência, consi-

derando os subperíodos nos quais foram preparados para o material 1. A nova seqüência obtida

está ilustrada na Figura 3.11

. . . . . .n -2 n n+1 n+2n -1

2 1 3

s s s ss

2 1

k2 22 21 11 13

Figura 3.11: Seqüência parcial redefinida 2

As redefinições das seqüências não influenciam na capacidade disponível, já que a desi-

gualdade triangular é igualmente válida para as perdas de capacidades com as trocas efetuadas.


Ou seja, stij ≤ stik + stkj , para todo i, j, k = 1, 2, 3, lembrando que stij é a capacidade perdida

com a troca do item i para o item j. Note que com a redefinição do seqüenciamento quando

dois materiais iguais passam a ser processados em subperíodos consecutivos, há um ganho na

capacidade disponível, já que stjj = 0 para todo j = 1, 2, 3.

Diante dessa análise, pode-se afirmar que existe uma solução ótima onde se houver a

necessidade do preparo de um material mais de uma vez, os preparos ocorrerão em subperíodos

consecutivos.

Diante disso, observa-se que as restrições E-1 não permitem que preparos para um mesmo

material em subperíodos não consecutivos ocorram dentro de um determinado período. Note

também que elas são válidas para no dimensionamento de lotes, já que em uma solução a rede-

finição das seqüência permite a manutenção dos lotes determinados.

Fleischamann and Meyr (1997) propõem inequações com o mesmo propósito, reduzir o

espaço de soluções viáveis para um modelo do GLSP. Koçlar (2005) estende as inequações para

um modelo do GLSP diferente do modelo apresentado em Fleischamann and Meyr (1997).

Através do problema do Exemplo 3.3.1 não é possível visualizar o efeito da adição das

inequações E-1. Mas no Capítulo 4 serão apresentados testes computacionais com diferentes

instâncias do Problema de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes apresentado na Seção

3.1 e com exemplares maiores.

Capítulo 4

Testes Computacionais

Neste capítulo serão relatados os testes computacionais realizados com as inequações vá-

lidas e as duas formulações apresentadas no Capítulo 3, a Formulação Original (FO) e a For-

mulação baseada no Problema de Localização de Facilidades (FL). Na Seção 4.1 será explicado

o processo geração dos dados baseado em Araújo et al. (2007). Na Seção 4.2 são apresentados

alguns testes preliminares com o objetivo de escolher uma família de inequações que melhore o

desempenho do método de resolução usado. Na Seção 4.3 são mostrados os resultados conside-

rando as duas formulações sem a adição de inequações válidas a priori e com a adição de uma

família de inequações válidas escolhida após os testes preliminares.

Os exemplares do problema foram modelados pelo AMPL e resolvidos pelo Branch-and-Cut

do pacote computacional CPLEX 10.0 no seu default, utilizando um computador AMD Athlon

(2, 81 GHz) com 1, 87 GB de memória RAM, sob a plataforma Windows XP.

4.1 Geração de Dados

Para a realização dos testes foram gerados exemplares para três instâncias do Problema

de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes, que configuram três diferentes tamanho do

problema. Para cada uma dessas instâncias será considerado uma combinação de três variações

da capacidade de produção com duas variações do custo de preparo, totalizando dezoito diferentes

instâncias. A capacidade de produção poderá ser apertada, normal ou relaxada, enquanto que,

o custo de preparo poderá ser baixo ou alto. A Tabela 4.1 resume a geração de dados.

Observe na Tabela 4.1 que as três combinações do número de itens com o número de ma-

teriais determinam três problemas de tamanhos diferentes: problema pequeno, médio e grande.

O horizonte de planejamento é igual para todos e contém 5 períodos com cada um dividido em

10 subperíodos.

85

4.1. Geração de Dados 86

Geração dos Dados

Parâmetros Valores

Problema Pequeno: (10, 2)

Número de itens e materiais : (P, K) Problema Médio: (50, 10)

Problema Grande: (100, 20)

Número de períodos (T ) 5

Custo de estoque (h+pt) [2, 10]

Custo de atraso (h−pt) [20, 100]

Capacidade para produção de uma unidade do item p (ρp) [0, 1, 3]

Tempo de preparo (stjk) [5, 10]

Custo de preparo (sjk) Baixo: 50× stjk

Alto: 500× stjk

Demanda (dpt) [40, 60]

Relaxada: CAP/0.6

Capacidade (C) Normal: CAP/0, 8

Apertada: CAP/1, 0

Tabela 4.1: Resumo da geração de dados

Os custos de atraso e estoque, a capacidade necessária para preparar a quantidade de

material necessária para a produção de uma unidade de cada item, o tempo de preparo e a de-

manda do itens são gerados aleatoriamente através de uma distribuição uniforme nos respectivos

intervalos como mostra a Tabela 4.1.

Dois tipos de custos de preparo (sjk), definidos como baixo e alto, são respectivamente

obtidos multiplicando por 50 e 500 os tempos de preparo sjk. A capacidade é gerada calculando

inicialmente o valor CAP como sendo a média da capacidade necessária para a produção da

demanda sem considerar o tempo de preparo. Assim, CAP é dado da seguinte forma:

CAP =

∑Pp=1

∑Tt=1 dptρp

T × L,

onde L é a quantidade de subperíodos que é igual para todos os períodos no horizonte de

planejamento considerado. Logo, T × L é o total de subperíodos do horizonte de planejamento.

A partir do valor de CAP, são geradas três variações associadas com a capacidade de

produção definidas da seguinte maneira:

I) Capacidade relaxada: C = CAP0,6 .

II) Capacidade normal: C = CAP0,8 .

III) Capacidade apertada: C = CAP1,0 .

4.2. Testes Preliminares 87

Para cada combinação envolvendo o tamanho do problema, o custo e a capacidade de

produção, foram gerados os dados para 10 exemplares. Por exemplo, para uma instância do

problema com 10 itens e 2 materiais (P = 10,K = 2), capacidade relaxada (C = CAP0,6 ) e baixo

custo de preparo são gerados 10 exemplares.

4.2 Testes Preliminares

Nesta seção serão apresentados alguns testes para avaliar o efeito da adição a priori de

cada uma das famílias de inequações válidas, apresentadas na Seção 3.3 do Capítulo 3, e de

algumas combinações dessas famílias nas formulações FO e FL.

Os testes preliminares foram realizados considerando os problemas com capacidade normal

e com baixo custo de preparo para os problemas com 10, 50 e 100 itens. Para cada instância

considerada, foram resolvidos 5 problemas.

Os resultados estão organizados em três tabelas apresentadas a seguir nesta seção para

os problemas com 10 itens, para os problemas com 50 itens e para os problemas com 100 itens

respectivamente. As tabelas mostram a média (em valores brutos) de cinco exemplares dos

limites superiores, dos limitantes inferiores, dos gaps, dos números de nós (Nós) analisados e dos

números de planos de corte (Planos de Corte) durante o desenvolvimento do Branch-and-Cut. O

tempo de resolução foi limitado em uma hora e o GAP é dado em porcentagem e é calculado da

seguinte maneira:

Gap =Limite Superior − Limite Inferior

Limite Superior

Cabe lembrar que a reformulação a priori será usada para melhorar o desempenho do

Branch-and-Cut com a diminuição do tempo computacional, quando a solução ótima é encon-

trada, ou com a diminuição do gap obtido para os problemas, quando solução ótima não é

encontrada no tempo limite. No caso dos problemas para os quais são encontradas soluções óti-

mas, a diminuição do tempo pode ocorrer através da diminuição dos nós analisados até encontrar

a solução ótima ou com a aceleração da obtenção dos limites superiores e inferiores, que podem

ser obtidos respectivamente pelas soluções viáveis e pelas soluções das relaxações lineares do

problema. No caso da diminuição do gap, ela está relacionada principalmente com a obtenção

de bons limites superiores e inferiores. Assim, para um problema de minimização, o objetivo é

obter melhores soluções viáveis e maiores valores para as relaxações lineares, o que implicaria na

diminuição dos limites superiores e no aumento dos limites inferiores.

No caso dos problemas com 10 itens, as soluções ótimas foram encontradas dentro do tempo


limite. Assim as tabelas mostram o tempo médio gasto para resolver os 5 exemplares ao invés

de mostrar as médias dos limitantes superiores, dos limitantes inferiores e dos gaps, já que estes

parâmetros não trariam informações importantes neste caso para a análise desejada.

Em geral, as mudanças nos parâmetros analisados com a adição das inequações válidas

variam bastante, sendo positivas em alguns casos e negativas em outros.

10 itens

Inequações Válidas Formulação Nós Planos de Cortes Tempo (s)

Puro FO 2.234 122 2,91

FL 1.426 219 4,84

V-1 FO 914 127 2,13

FL 1.247 377 7,55

V-2 FO 2.210 248 5,20

FL 750 511 6,17

V-3 FO 2.520 135 2,29

FL 5.715 243 14,98

V-4 FO 1.689 150 2,34

FL 1.469 232 4,86

E-1 FO 1.411 110 1,99

FL 1.357 231 4,59

V-1+V-2 FO 914 107 2,29

FL 1.247 377 7,52

V-1+V-2+V-3+V-4 FO 1.030 127 1,98

FL 299.119 388 724,76∗

E-1+V-1 FO 3.157 119 3,89

FL 935 348 5,32

E-1+V-1+V-2 FO 3.157 119 3,59

FL 935 349 5,24

E-1+V-1+V-2+V-3+V4 FO 2.875 152 3,40

FL 57.044 388 88,14∗∗

∗ Apenas para um exemplar não foi provada a otimalidade dentro do tempo limite de uma hora.

∗∗ Apenas um exemplar teve um tempo resolução alto de 415,14 s.

Tabela 4.2: Testes com as inequações válidas para exemplares com 10 itens

A Tabela 4.2 mostra os resultados dos problemas com 10 itens. Observa-se que a adição de

algumas famílias de inequações válidas provocam uma diminuição dos nós analisados e em alguns

casos um aumento do número de planos de cortes, como acontece nos casos quando as equações

V-1 são adicionadas na formulação FO e quando as equações V-1 são adicionadas juntamente

as inequações E-1 na formulação FL. Porém, nem sempre a redução do número de nós está

associado com a diminuição do tempo médio de resolução. Por exemplo, a adição das inequações

V-3 determinam um aumento do número de nós e do número de planos de corte, mesmo assim

no caso da formulação FO o tempo médio de resolução diminuiu.


O efeito de algumas inequações varia de acordo com a formulação na qual são adicionadas.

Por exemplo, a adição da família V-1 determina uma redução do tempo médio quando são

adicionadas na formulação FO, enquanto que, o tempo médio aumenta quando são adicionadas

na formulação FL. Observe também que a adição das inequações E-1 reduzem o tempo e número

de nós nas duas formulações.

50 itens

Inequações Válidas Formulação Limite Superior Limite Inferior Gap(%) Nós Planos de Corte

Puro FO 51.564 4.846 90,49 5.751 4.656

FL 32.971 1.456 95,38 24.350 2.992

V-1 FO 33.700 2.723 92,04 12.255 2.463

FL 32.516 10.054 69,08 12.714 2.848

V-2 FO 40.820 4.746 88,33 3.363 4.464

FL 49.904 75 100,00 13.398 2.933

V-3 FO 41.123 2.104 94,86 5.291 3.401

FL 35.707 8.649 75,86 8.787 3.004

V-4 FO 48.222 4.969 89,58 5.126 4.552

FL 34.636 296 99,09 22.023 2.941

E-1 FO 67.691 4.753 91,67 4.023 4.118

FL 35.946 587 97,98 23.115 2.989

V-1+V-2 FO 34.687 2.955 91,55 5.515 2.903

FL 32.707 9.994 69,43 9.897 2.829

V-1+V-2+V-3+V-4 FO 36.613 2.882 92,13 5.019 3.185

FL 31.509 9.735 69,10 9.213 2.885

E-1+V-1 FO 33.403 3.018 90,97 6.587 3.043

FL 31.452 10.072 67,90 10.997 2.881

E-1+V-1+V-2 FO 34.276 3.046 90,89 6.806 3.019

FL 31.452 10.072 67,90 10.997 2.881

E-1+V-1+V-2+V-3+V4 FO 35.566 2.781 92,19 4.297 3.125

FL 32.742 9.849 69,85 6.722 2.879


No caso dos problemas com 50 itens, é notável um efeito positivo da adição de algumas

famílias de inequações válidas, especialmente na formulação FL como mostra a Tabela 4.3. Ob-

serve que a adição da maioria das combinações de famílias de inequações válidas têm um efeito

bastante positivo na formulação FL, provocando uma expressiva redução do gap e também do

número de nós analisados. A redução do gap nesses casos está associada com a obtenção de

melhores limites inferiores. Apenas nos casos em foram adicionadas separadamente as famílias

V-2, V-4 e E-1, o efeito não foi positivo, pois tanto os limites superiores e quanto os limites

inferiores se tornam piores. Para todos os casos envolvendo a formulação FL, não houve variação

significativa do número de planos de corte.

Observando os resultados com a adição das famílias de inequações válidas na formulação


FO, conclui-se que na maioria dos casos foram obtidos limitantes superiores bem melhores,

mas reduções dos gaps ocorreram apenas nos casos que as famílias de inequações V-2 e V-4

foram adicionadas separadamente, mesmo assim, a diminuição foi pouco significativa. Isso ocorre

porque os limites inferiores ficaram bem piores. Além disso, em geral na formulação FO houve

uma redução no número de nós e planos de cortes com com a adição das inequações válidas,

exceto para alguns casos.

100 itens

Inequações Válidas Formulação Limite Superior Limite Inferior Gap(%) Nós Planos de Corte

Puro FO 4.276.025 65.642 98,43 179 2.451

FL 561.577∗∗∗ 0 100,00 3.165 7.232

V-1 FO 4.583.651 56.327 98,77 44 2.482

FL —∗ 66.182 — 257 3.168

V-2 FO 4.583.941 65.739 98,57 8 2.368

FL 1.002.967∗∗ 0 100,00 1.703 6.610

V-3 FO — 0 — 0 2.737

FL — 11.721 — 86 2.113

V-4 FO 4.345.118 64.908 98,49 111 2.463

FL 584.109∗∗∗ 0 100,00 3.130 6.899

E-1 FO — 12.035 — 71 2.459

FL 1.029.905∗∗ 0 — 2.448 7.262

∗ — Indica que não foi encontrada solução viável para os exemplares no tempo limite.

∗∗ Indica foram encontradas soluções viáveis somente para um exemplar no tempo limite.

∗ ∗ ∗ Indica que foram encontradas soluções viáveis somente para dois exemplares no tempo limite.


Para os problemas com 100 itens, não foi possível obter soluções viáveis para alguns exem-

plares dentro do tempo limites como mostra a Tabela 4.4. Nestes casos, o número de inequações

válidas adicionadas a priori e o número de variáveis no caso da formulação FL é bem maior, tor-

nando o problema mais difícil de ser resolvido. Diante disso, foram colocados na tabelas apenas

os casos em que as famílias de inequações são adicionadas separadamente.

Note que quando são encontradas soluções viáveis usando as duas formulações, a solução

viável fornecida pela formulação FL é bem melhor, porém os seus limites inferiores são muito

ruins. Além disso, com a formulação FL o número de nós analisados é bem maior se comparado

com o número de nós analisados com a formulação FO.

No caso dos problemas com 100 itens, não é possível obter muitas conclusões sobre a adi-

ção das inequações válidas. Dessa forma, levando em consideração principalmente os resultados

obtidos no caso dos problemas com 50 itens, a família E-1+V-1 de inequações válidas foram esco-

lhidas para a realização dos testes que serão apresentados na próxima seção com uma variedade

maior de exemplares e instâncias do problemas.

4.3. Testes Finais 91

4.3 Testes Finais

Nesta seção serão apresentados resultados dos testes computacionais realizados para com-

parar o desempenho Branch-and-Cut com o pacote computacional CPLEX 10.0 com as reformu-

lações a priori. Os problemas foram resolvidos com as duas formulações FO e FL sem a adição a

priori de inequações válidas e com a adição conjunta a priori das famílias E-1 e V-1 escolhidas

com os testes preliminares.

Da mesma forma como foram organizados os resultados na Seção 4.2, aqui os resultados

também serão divididos em três tabelas, sendo uma para os problemas com 10, uma para os

problemas com 50 e outra para os problemas com 100 itens. No entanto, cada tabela está mais

detalhada contendo variações na capacidade e nos custos de preparos, conforme descrito na Seção

4.1 que explica a geração de dados.

Cada tabela tem quatro partes que apresentam a média (em valores brutos) de dez exem-

plares dos limites superiores, dos limites inferiores, dos gaps, dos números de nós (Nós) e dos

números de planos de corte (Planos de Corte) de dez exemplares resolvidos no tempo limite

de uma hora para os problemas com 10 e 50 itens e para os com problemas com 100 o tempo

limite foi aumentado para duas horas devido às dificuldades com a obtenção de soluções viáveis

verificadas nos testes preliminares. Além disso, abaixo de cada parte é mostrada uma média dos

parâmetros considerando todas as instâncias com relação a capacidade e custo de preparo.

As quatro partes da tabela estão dispostas verticalmente e correspondem aos problemas

resolvidos com as formulações FO e FL sem adição de inequações válidas a priori (Puro) e com

a adição. O gap é calculado da mesma maneira como foi definido na Seção 4.2 e, no caso dos

problemas com 10 itens, quando a solução ótima dos 10 exemplares é encontrada dentro do

tempo limite, ao lado do gap é colocado entre parênteses o tempo médio gasto para resolver os

exemplares.

A Tabela 4.5 mostra os resultados considerando os problemas com 10 itens. Comparando-

se as duas primeiras partes da tabela, os resultados mostram que, usando apenas a formulações

FO e FL sem adição de inequações válidas, são obtidos gaps um pouco menores no caso da

formulação FL, exceto para os problemas com capacidade relaxada e alto custo de preparo.

Nos casos em que a solução ótima foi encontrada para os 10 exemplares, observa-se que

o tempo médio em segundos gasto para resolvê-los é menor com a formulação FO e, quando

adicionadas as inequações válidas, o tempo aumenta com as duas formulações. Por outro lado, a

formulação FL apresenta uma pequena vantagem sobre a formulação FO, quando são adicionadas

as inequações válidas, nos casos dos problemas com capacidade relaxada e alto custo de preparo

e dos problemas com capacidade apertada e baixo custo de preparo.


10itens

Problema Formulação FO (Puro)

Capacidade Custo de preparo Limite Superior Limite Inferior Gap(%) Nós Planos de Corte.

relaxada baixo 1.961 1.961 0,00 (4,59)∗ 6.536 118

alto 13.883 12.961 0,68 2.605.419 109

normal baixo 1.961 1.961 0,00 (2,72) 2.221 132

alto 14.405 14.382 0,16 7.656.824 149

apertada baixo 6.340 6.023 5,22 7.212.994 194

alto 22.576 22.388 1,04 7.723.037 184

Média 10.187 9.946 1,18 4.201.172 148

Problema Formulação FL (Puro)

Capacidade Custo de preparo Limite Superior Limite Inferior Gap(%) Nós Planos de Corte

relaxada baixo 1.961 1.961 0,00 (21,48) 8.731 402

alto 13.040 13.033 0,05 753.505 496

normal baixo 1.961 1.961 0,00 (4,84) 1.373 298

alto 14.409 14.383 0,18 2.007.652 186.375

apertada baixo 6.654 6.013 9,15 1.472.995 300

alto 22.824 21.731 1,95 1.495.188 286

Média 10.141 9.847 1,89 956.574 31.359

Problema Formulação FO + V-1 + E-1


relaxada baixo 1.961 1.961 0,00 (5,11) 4.507 114

alto 13.040 13.015 0,20 2.470.218 131

normal baixo 1.961 1.961 0,00 (189,24) 300.094 151

alto 14.416 14.373 0,26 4.852.745 151

apertada baixo 6.253 6.017 3,65 5.875.738 209

alto 22.609 22.359 1,10 5.688.255 169

Média 10.040 9.948 0,87 3.198.593 154

Problema Formulação FL + V-1 + E-1


relaxada baixo 1.961 1.961 0,00 (20,37) 5.919 469

alto 13.040 13.033 0,05 836.071 512

normal baixo 1.961 1.961 0,00 (10,20) 3.392 365

alto 14.416 14.373 0,28 4.852.745 141

apertada baixo 6.366 6.019 5,45 1.425.233 382

alto 22.622 22.362 1,12 1.933.979 353

Média 10.061 9.952 1,15 1.509.556 370

∗ O tempo médio gasto para resolver os 10 exemplares.

Tabela 4.5: Testes com FO, FL, V-1 e E-1 para instâncias com 10 itens


Analisando a Tabela 4.6 com os resultados para os problemas com 50 itens, observa-se que

nas duas primeiras partes, onde não são adicionadas inequações válidas, a formulação FL em

geral é melhor que a formulação FO para obter boas soluções viáveis dentro do tempo limite com

exceção dos problemas com capacidade apertada, nos quais os limites superiores são um pouco

maiores se comparados aos limites superiores encontrados com a formulação FO.

Como ocorreu nos testes preliminares, a adição a priori da família E-1+V-1 na formulação

FO contribuiu para a obtenção de soluções viáveis bem melhores dentro do tempo limite, exceto

para os problemas com capacidade relaxada. Observa-se na primeira e terceira parte da Tabela

4.6 que os limites inferiores aumentaram somente nos casos dos problemas com capacidade rela-

xada e dos problemas com capacidade normal e alto custo de preparo. Além disso, percebe-se

uma pequena redução na médio dos gaps com a adição da inequações válidas para maioria das

instâncias.

A adição a priori das inequações válidas E-1+V-1 na formulação FL contribui para a

obtenção dos menores gaps em todas dos exemplares dos problemas com 50 itens como pode ser

observado na segunda e quarta parte da Tabela 4.6.

Em geral, a adição das inequações válidas nas duas formulações reduzem a média dos

números de nós analisados no tempo limite, pois as relaxações lineares ficaram mais difíceis de

serem resolvidas. Essa redução foi maior no caso da formulação FL. Mesmo assim, foram obtidos

gaps melhores na maioria dos casos. A média dos números de planos de corte é reduzida para a

maioria das instâncias no caso da formulação FO, enquanto que, no caso da formulação FL, não

há grandes variações dessa média.

Devido a dificuldade encontrada obter soluções viáveis para os exemplares dos problemas

com 100 itens, o tempo limite de resolução para eles foi alterado para duas horas. Ainda sim,

para algumas instâncias não foi possível encontrar soluções viáveis no tempo de duas horas, no

entanto, alguns resultados obtidos são mostrados na Tabela 4.7.

Inicialmente, comparando-se as duas formulações sem a adição de inequações válidas, onde

para a maioria do exemplares foram obtidas soluções viáveis, percebe-se que as melhores soluções

viáveis são encontradas com a formulação FL, enquanto que, os limites inferiores são bem mais

baixos para a formulação FL. Apenas para os problemas com capacidade apertada, o uso da

formulação FL determinou limites superiores maiores que os obtidos com a formulação FO,

porém, os limites inferiores são melhores.


50itens

Problema Formulação FO


relaxada baixo 20.574 113 99,41 107.798 609

alto 118.504 495 99,00 79.880 618

normal baixo 46.277 4.555 89,11 13.413 4.305

alto 189.900 5.983 96,88 9.581 4.406

apertada baixo 113.906 33.898 69,82 5.778 4.878

alto 258.274 35.071 86,39 5.243 4.910

Média 124.572 13.352 90,10 36.949 3.287

Problema Formulação FL


relaxada baixo 19.850 1.896 90,45 37.137 2.792

alto 118.472 2.125 98,17 30.035 3.048

normal baixo 33.198 1.421 95,63 24.289 2.999

alto 156.594 2.512 98,01 18.085 3.161

apertada baixo 113.923 19.155 77,86 13.095 3.361

alto 278.921 19.493 92,77 10.577 3.356

Média 120.160 7.767 92,15 22.203 3.119



relaxada baixo 22.004 1.961 96,04 27.973 705

alto 115.263 13.015 93,52 25.851 721

normal baixo 32.976 1.961 91,64 8.076 2.823

alto 138.472 14.382 90,31 7.678 2.582

apertada baixo 99.810 30.526 66,53 4.634 3.332

alto 204.359 52.361 74,28 4.702 3.043

Média 102.148 19.034 85,39 13.152 2.201



relaxada baixo 19.924 3.088 84,69 21.405 2.899

alto 119.115 9.157 92,25 13.706 3.016

normal baixo 30.588 10.223 66,43 11.311 2.869

alto 133.498 22.923 82,74 5.434 3.064

apertada baixo 93.944 44.605 52,44 5.319 3.231

alto 200.860 65.125 67,54 4.012 3.357

Média 99.655 25.853 74,35 10.198 3.073



100itens

Problema Formulação FO


relaxada baixo 3.168.824 34.289 96,39 407 2.733

alto 4.013.845 35.373 99,12 192 2.620

normal baixo 1.724.305 62.179 87,46 763 3.021

alto 3.024.839 62.108 94,61 735 2.755

apertada baixo 425.144 219.685 47,96 2.862 217.057

alto 613.137 217.057 64,44 2.167 3.485

Média 2.161.682 105.115 81,66 1.188 38.612

Problema Formulação FL


relaxada baixo 223.639∗ 3 100,00 5.021 7.151

alto 333.348∗ 17 99,99 4.348 7.130

normal baixo 287.835∗∗ 0 100,00 3.620 7.864

alto 613.531∗ 0 100,00 3.493 7.785

apertada baixo 560.825 258.825 48,81 3.457 8.135

alto 778.874 258.733 63,55 3.316 8.152

Média 466.342 86.263 85,39 3.876 7.703



relaxada baixo 186.098 227 99,87 6.448 879

alto 410.161∗∗ 144 99,82 611 777

normal baixo —∗∗∗ 0 — 48 2.456

alto — 6.110 — 0 2.688

apertada baixo — 2.755 — 0 23.317

alto — 23.317 — 34 1.912

Média 321.297 5.693 94,14 2.228 5.382



relaxada baixo 132.762 91.869 30,77 2.894 7.345

alto 293.448∗ 96.072 63,17 2.493 7.488

normal baixo 275.127∗∗ 97.227 63,95 1.009 6.573

alto 399.695∗ 130.613 67,15 1.481 7.409

apertada baixo — 196.689 — 248 2.153

alto 530.846 283.110 50,64 502 3.761

Média 326.376 149.263 55,14 1.438 5.788

∗ Indica que somente para 6 exemplares entre os 10 foram encontradas soluções viáveis.

∗∗ Indica que somente para 2 exemplares foram encontradas soluções viáveis

∗ ∗ ∗ — Indica que não foi encontrada solução viável para os exemplares no tempo limite.



A adição a priori das inequações válidas na formulação FL contribuiu nitidamente para

a obtenção de melhores limites superiores e inferiores como pode ser observado na segunda

e na quarta parte da Tabela 4.7. Além disso, observe que para o caso dos problemas com

baixa capacidade e com baixo custo de preparo as inequações válidas possibilitaram encontrar

soluções viáveis para todos os exemplares, enquanto que, usando a formulação FL sem a adição

de inequações válidas apenas foram encontradas soluções viáveis para 6 exemplares. Para a

formulação FO, a adição a priori das inequações válidas tornou dificultou encontrar soluções

viáveis dentro do tempo limite. No entanto, para os casos em que são encontradas soluções

viáveis, os limites superiores são bem melhores.

Em geral, verificou-se que as inequações válidas adicionadas a priori tiveram um efeito

positivo na obtenção dos limites superiores e inferiores, principalmente quando adicionadas na

formulação FL. Esse efeito foi mais evidente para os problemas com 50 e 100 itens, já que

esses problemas consideram uma quantidade maior de materiais incluídos no seqüenciamento e

as inequações válidas estão associadas essencialmente com as variáveis de preparo e troca que

determinam o seqüenciamento. Além disso, a utilização da formulação FL para a resolução

dos problemas favoreceu a obtenção de melhores soluções viáveis. No caso da formulação FO,

a obtenção de melhores soluções viáveis ocorre com a adição das inequações válidas, porém os

limites inferiores ficaram piores.

Capítulo 5

Conclusão e Trabalhos Futuros

Neste trabalho, foi desenvolvido inicialmente um estudo sobre a teoria básica associada às

inequações válidas e formulações, apresentado no Capítulo 1.

A primeira parte do Capítulo 2, apresenta uma classificação do Problemas de Dimensiona-

mento de Lotes baseada em Belvaux e Wolsey (2001), em Wolsey (2002) e em Pochet e Wolsey

(2006). Nessa classificação consta de forma resumida diversas características que os Problemas

de Dimensionamento de Lotes podem apresentar e alternativas de modelagem. A classificação

foi importante para apresentação e organização dos resultados encontrados na literatura relacio-

nados com a descrição do envoltório convexo e inequações válidas para alguns problemas que são

citados no decorrer do capítulo. Além disso, o estudo da teoria poliédrica aplicada aos Proble-

mas de Dimensionamento de Lotes com um único item no Capítulo 2 foi de muita importância

para a identificação de alguns procedimentos relacionados ao desenvolvimento de inequações e

reformulações estendidas.

No Capítulo 3, foi desenvolvida uma formulação estendida para um Problema Integrado

de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes, baseado no Problema de Localização de Fa-

cilidade, e propostas algumas inequações válidas associadas às decisões de seqüenciamento. O

problema definido neste trabalho considera um processo de produção em que é necessário a

preparação de um material bruto que será transformado em vários itens finais e com custos de

preparo dependentes da seqüência. A formulação matemática integra as decisões de seqüencia-

mento, que estão associadas com a ordem em que os materiais serão processados, com as decisões

de dimensionamento do lotes do itens. Diante disso, foi dado ao problema um nome mais espe-

cífico, Problema Integrado de Dimensionamento e Seqüenciamento de Lotes apresentado nesta

dissertação. Aplicações do problema podem ser encontradas nos planejamentos de produção de

indústrias de fundição e refrigerantes.

Um formulação para o problema, descrita no Capitulo 3, é apresentada em Araujo et

97

98

al. (2007). Diante da dificuldade resolução desse problema através de pacotes computacionais

observado em Araujo et al. (2007), no mesmo foram propostos métodos heurísticos para resolver

esse problema. Nessa dissertação, foram desenvolvidas com sucesso uma formulação estendida e

inequações válidas para melhorar o desempenho do pacote computacional CPLEX 10.0.

A formulação estendida desenvolvida foi baseada no Problema de Localização de Facilida-

des e teve como motivação alguns trabalhos na literatura que apresentam formulações estendidas

e inequações válidas para Problemas de Dimensionamento de Lotes com características diferentes

do problema apresentado neste trabalho.

Os testes computacionais foram realizados usando Branch-and-Cut do pacote computa-

cional CPLEX 10.0 no seu default e o recurso da reformulação a priori. Observou-se que a

reformulação a priori, através da adição de inequações válidas e da reformulação estendida,

provocou diferentes alterações no desempenho do Branch-and-Cut.

Para os exemplares maiores do problema, que consideram 100 itens, em alguns casos o

número muito grande de variáveis, quando é usada a formulação estendida, ou de inequações

válidas adicionadas a priori dificultaram a obtenção de soluções viáveis no tempo limite. Porém,

para os outros problemas, especialmente os que consideram 50 itens, a adição de inequações

válidas determinaram uma melhora nos limites superiores e inferiores principalmente quando foi

usada a formulação estendida.

Com o desenvolvimento desse trabalho, notou-se que encontrar uma formulação ou inequa-

ções válidas que descrevam o envoltório convexo é uma tarefa difícil, porém, o desenvolvimento

de formulações e inequações válidas fortes é interessante para o melhor desempenho dos métodos

exatos. Além disso, é notório que a identificação de características da solução ótima e análise da

relaxação linear são fundamentais para o desenvolvimento de inequações válidas. Diante disso,

uma proposta futura seria o desenvolvimento de outras inequações válidas.

Um outra proposta futura, relacionada com a propriedade da solução ótima do problema,

seria o desenvolvimento de um modelo relaxado que considere o preparo para o processamento de

um material antecipado pelo preparo de um outro diferente apenas uma vez, e se for necessário

mais de um preparo para um mesmo material num mesmo período, eles serão sucessivos. Neste

caso, dependendo de como forem definidas as variáveis que determinam os lotes, seria necessário

uma heurística de factibilização tornar a solução do modelo relaxado viável para o problema.

Analisando o seqüenciamento de algumas soluções, observou-se que apenas com uma reordenação

é possível melhorar a solução. Diante disso, pode-se desenvolver uma heurística que melhore a

solução viável fornecida pelo pacote computacional.

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Lista de Figuras

1.1 Formulações F 1 e F 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Formulações P 1 e P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Envoltório Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Representação de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Representação de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Representação de X com inequações válidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Representação de X com a inequação SMIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Representação do LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Estrutura da solução ótima do LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Rede do LS-U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Grafo do LS-U (n=4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5 Conservação do fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1 Horizonte de planejamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Destinos possíveis da produção do subperíodo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3 Seqüenciamento da solução ótima do problema do Exemplo 3.3.1 . . . . . . . . . 73

3.4 Solução da relaxação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Solução da relaxação linear com V-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76



3.8 Solução da relaxação linear com V-1+V-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.9 Seqüência parcial de uma solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.10 Seqüência parcial redefinida 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.11 Seqüência parcial redefinida 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

103

Lista de Tabelas

3.1 Número de variáveis para as formulações FO e FL . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 Tempos de troca para o problema do Exemplo 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1 Resumo da geração de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Testes com as inequações válidas para exemplares com 10 itens . . . . . . . . . . 88



4.5 Testes com FO, FL, V-1 e E-1 para instâncias com 10 itens . . . . . . . . . . . . 92



104

Autorizo a reprodução xerográfica para fins de pesquisa

São José do Rio Preto, / /

Assinatura

reformulação e inequações válidas para um problema integrado

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