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8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - SoMat - Funes

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FUNES

O conceito de funo um dos mais importantes em toda a matemtica.

O conceito bsico de funo o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e

algum tipo de associao entre eles, que faa corresponder a todo elemento doprimeiro conjunto um nico elemento do segundo, ocorre uma funo.

O uso de funes pode ser encontrado em diversos assuntos. Por

exemplo, na tabela de preos de uma loja, a cada produto corresponde um

determinado preo. Outro exemplo seria o preo a ser pago numa conta de luz,

que depende da quantidade de energia consumida.

Observe, por exemplo, o diagrama das relaes abaixo:

A relao acima no uma funo, pois existe o elemento 1 no conjuntoA, que no est associado a nenhum elemento do conjunto B.

A relao acima tambm no uma funo, pois existe o elemento 4 noconjunto A, que est associado a mais de um elemento do conjunto B.

Agora preste ateno no prximo exemplo:


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A relao acima uma funo, pois todo elemento do conjunto A, estassociado a somente um elemento do conjunto B.

DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO:

O domnio de uma funo sempre o prprio conjunto de partida, ouseja, D=A. Se um elemento x A estiver associado a um elemento yB,dizemos que y a imagem de x (indica-se y=f(x) e l-se y igual a fde x).

Exemplo: se f uma funo de IN em IN (isto significa que o domnio eo contradomnio so os nmeros naturais) definida por y=x+2. Ento temosque:

A imagem de 1 atravs de f 3, ou seja, f(1)=1+2=3; A imagem de 2 atravs de f 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x atravs de f x+2, ou seja: f(x)=x+2.Numa funo f de A em B, os elementos de B que so imagens dos

elementos de A atravs da aplicao de fformam o conjunto imagem de f.

Com base nos diagramas acima, conclumos que existem 2 condies parauma relao fseja uma funo:

De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relao entre eles,dizemos que essa relao uma funo de A em B se e somente se, paratodo x A existe um nico y B de modo que x se relacione com y.

1) O domnio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja,todo elemento de A ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento

de A do qual no parta flecha, a relao no funo.


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Observaes:

Como x e y tm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem onome de variveis.

A varivel x chamada varivel independente e a varivel y, variveldependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.

Uma funo f fica definida quando so dados seu domnio (conjunto A),seu contradomnio (conjunto B) e a lei de associao y=f(x).

EXERCCIOS RESOLVIDOS:

1) Considere a funo f: A B representada pelo diagrama a seguir:

Determine:

a) o domnio (D) de f;b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);c) o conjunto imagem (Im) de f;d) a lei de associoResoluo:a) O domnio igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A.b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.

2) De cada elemento de A deve partir uma nica flecha. Se de umelemento de A partir mais de uma flecha, a relao no funo.


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c) O conjunto imagem formado por todas imagens doselementos do domnio, portanto: Im = {1,4,9}.

d)Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.2) Dada a funo f: IRIR (ou seja, o domnio e a contradomnio so os

nmeros reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

a) f(2), f(3) e f(0);b) o valor de x cuja imagem vale 2.Resoluo:a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0

f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0

f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equaof(x)=2, ou seja, x

2-5x+6=2. Utilizando a frmula de Bhaskara

encontramos as razes 1 e 4. Portanto os valores de x que tm imagem 2so 1 e 4.

OBTENO DO DOMNIO DE UMA FUNO:

O domnio o subconjunto de IR no qual todas as operaes indicadas emy=f(x) so possveis.

Vamos ver alguns exemplos:

1)(condio2seja,ou,02terdevemosentoraiz,dadentroest2-xcomo:numeradoroprimeiroanalisarVamos

3

2)()3

}1/{

:Ento.1seja,ou,01Portanto

zero).pordivisoexisteno(poisnuloserpodernoeler,denominado1Como

1

5)()2

}2/{

ento,,2seja,ou,042seIRempossvels42Como

42)()1

=

=

+

+

+=

=

=

xx

x

xxf

xIRxD

xx

xx

xf

xIRxD

xxx

xxf


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Agora o denominador: como 3-x est dentro da raiz devemos ter 3-x 0, mas almdisso ele tambm est no denominador, portanto devemos ter 3-x 0. Juntando as duascondies devemos ter: 3-x > 0, ou seja, x < 3 (condio 2).

Resolvendo o sistema formado pelas condies 1 e 2 temos:

Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condies ao mesmo tempo.

Portanto, D={x IR | 2 x < 3}.

CONSTRUO DO GRFICO CARTESIANO DE UMA FUNO

Para construir o grfico de uma funo f, basta atribuir valores dodomnio varivel x e, usando a sentena matemtica que define a funo,calcular os correspondentes valores da varivel y. Por exemplo, vamosconstruir o grfico da funo definida por y=x/2. Escolhemos alguns valores

para o domnio. Por exemplo D={2,4,6,8}, e agora calculamos os respectivosvalores de y. Assim temos:

x=2 y=2/2 = 1 Ento montamos a seguinte tabela:

x=4 y=4/2 = 2 x yx=6 y=6/2 = 3 2 1

x=8 y=8/2 = 4 4 2

6 3

8 4

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:


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O grfico da funo ser uma reta que passar pelos quatro pontos

encontrados. Basta traar a reta, e o grfico estar construdo.Obs: para desenhar o grfico de uma reta so necessrios apenas dois

pontos. No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois

elementos do domnio, encontrar suas imagens, e logo aps traar a reta que

passa por esses 2 pontos.

RAZES DE UMA FUNO

Dada uma funo y=f(x), os valores, os valores de x para os quais

f(x)=0 so chamados razes de uma funo. No grfico cartesiano da funo,as razes so abscissas dos pontos onde o grfico corta o eixo horizontal.

Observe o grfico abaixo:

No grfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0.

Portanto x1, x2 e x3 so razes da funo.

PROPRIEDADES DE UMA FUNO

Essas so algumas propriedades que caracterizam uma funo f:AB:

a) Funo sobrejetora: Dizemos que uma funo sobrejetora se, e somentese, o seu conjunto imagem for igual ao contradomnio, isto , se Im=B. Emoutras palavras, no pode sobrar elementos no conjunto B sem receber

flechas.

b)Funo Injetora: A funo injetora se elementos distintos do domniotiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos no podem ter a mesma

imagem. Portanto no pode haver nenhum elemento no conjunto B que


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receba duas flechas. Por exemplo, a funo f:IRIR definida por

f(x)=3x injetora pois se x1 x2 ento 3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2).

c) Funo Bijetora: Uma funo bijetora quando ela sobrejetora einjetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a funo f: IRIR definida por

y=3x injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela tambm

sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta funo bijetora.

J a funo f: ININ definida por y=x+5 no sobrejetora, poisIm={5,6,7,8,...} e o contradomnio CD=IN, mas injetora, j que valores

diferentes de x tm imagens distintas. Ento essa funo no bijetora.

Observe os diagramas abaixo:

Essa funo sobrejetora, pois no sobraelemento em B

Essa funo no injetora, pois existem doiselementos com mesma imagem

Essa funo no bijetora, pois no injetora Essa funo injetora, pois elementos de B so

flechados s uma vez.

Essa funo no sobrejetora, pois existemelementos sobrando em B

Essa funo no bijetora, pois no sobrejetora Essa funo injetora, pois elementos de B so

flechados s uma vez.

Essa funo sobrejetora, pois no existemelementos sobrando em B

A funo bijetora, pois injetora e sobrejetora

FUNO PAR E FUNO MPAR

Dada uma funo f: AB, dizemos que f par se, e somente se,f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simtricos devem possuir a

mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo par:


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Por exemplo, a funo f: IR IR definida por f(x)=x2 uma funo par,

pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa funo observando o

seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe uma simetria em relao ao eixovertical. Elementos simtricos tm a mesma imagem. Os elementos 2 e 2,por exemplo, so simtricos e possuem a imagem 4.

Por outro lado, dada uma funo f: AB, dizemos que f mpar se, esomente se, f(-x)=-f(x) para todo x A. Ou seja: valores simtricos possuem

imagens simtricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo mpar:


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Por exemplo, a funo f: IR IR definida por f(x)=x3

uma funo

mpar, pois f(-x)=(-x)3=-x

3=-f(x). Podemos notar que a funo mpar

observando o seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe uma simetria em relao a origem 0.Elementos simtricos tm imagens simtricas. Os elementos 1 e 1, por

exemplo, so simtricos e possuem imagens 1 e 1 (que tambm so

simtricas).

Obs: Uma funo que no par nem mpar chamadafuno sem paridade.

EXERCCIO RESOLVIDO:

1) Classifique as funes abaixo em pares, mpares ou sem paridade:a) f(x)=2xf(-x)= 2(-x) = -2x f(-x) = -f(x), portanto f mpar.

b) f(x)=x2-1

f(-x)= (-x)

2

-1 = x

2

-1

f(x)=f(-x), portanto f par.

c) f(x)=x2-5x+6f(-x)= (-x)

2-5(-x)+6 = x

2+5x+6

Como f(x) f(-x), ento f no par.Temos tambm que f(x) f(-x), logo f no mpar.Por no ser par nem mpar, conclumos que f funo sem paridade.


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FUNO CRESCENTE E FUNO DECRESCENTE

Dada uma funo f: AB, dizemos que f crescente em algumconjunto A A, se, e somente se, para quaisquer x1 A e x2 A, com

x1-x2+1 => f(x1)>f(x2). Ou seja: quando

os valores do domnio crescem, suas correspondentes imagens decrescem.

Esse um exemplo de funo crescente. Podemos

notar no grfico que medida que os valores de xvo aumentando, suas imagens tambm vo

aumentando.

Esse um exemplo de funo decrescente.Podemos notar no grfico que medida que os

valores de x vo aumentando, suas imagens vodiminuindo.

FUNO COMPOSTA


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Vamos analisar um exemplo para entender o que uma funo

composta.

Consideremos os conjuntos A={-2,-1,0,1,2}, B={-2,1,4,7,10} e

C={3,0,15,48,99}, e as funes f:AB definida por f(x)=3x+4, e g:BC

definida por g(y)=y2-1.

Como nos mostra o diagrama acima, para todo x A temos um nico y

B tal que y=3x+4, e para todo y B existe um nico z C tal que z=y2-1,

ento conclumos que existe uma funo h de A em C, definida por h(x)=z ouh(x)=9x

2+24x+15, pois:

h(x)=z h(x)= y2-1

E sendo y=3x+4, ento h(x)=(3x+4)2

-1 h(x)= 9x2

+24x+15.A funo h(x) chamada funo composta de g com f. Podemos

indic-la por g o f(lemos g composta com f) ou g[f(x)] (lemos g de fdex). Vamos ver alguns exerccios para entender melhor a idia de funocomposta.

EXERCCIOS RESOLVIDOS:

1) Dadas as funes f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)].Resoluo:f[g(x)] = f(2x) = (2x)

2-1 = 4x

2-1

g[f(x)] = g(x2-1) = 2(x

2-1) = 2x

2-2

2) Dadas as funes f(x)=5x e f[g(x)]=3x+2, calcule g(x).Resoluo:Como f(x)=5x, ento f[g(x)]= 5.g(x).

Porm, f[g(x)]=3x+2; logo 5.g(x)=3x+2, e da g(x)=(3x+2)/5


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3) Dadas as funes f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine f[g(3)].Resoluo: g(3)=3.3-4=5 f[g(3)]= f(5)= 52+1 = 25+1= 26.

FUNO INVERSA

Consideremos os conjuntos A={0,2,4,6,8} e B={1,3,5,7,9} e a funo

f:AB definida por y=x+1. A funo f est representada no diagramaabaixo:

A funo f uma funo bijetora. A cada elemento x de A estassociado um nico elemento y de B, de modo que y=x+1.

Porm, como f bijetora, a cada elemento y de B est associado umnico elemento x de A, de modo que x=y-1; portanto temos uma outra funog:BA, de modo que x=y-1 ou g(y)=y-1. Essa funo est representada no

diagrama abaixo:

Pelo que acabamos de ver, a funo fleva x at y enquanto a funo gleva y at x. A funo g:BA recebe o nome de funo inversa de f e indicada por f-1.

O domnio de f o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f odomnio de g. Quando queremos, a partir da sentena y=f(x), obter a sentenade f

-1(x), devemos dar os seguintes passos:

1) Isolamos x na sentena y=f(x)2) Pelo fato de ser usual a letra x como smbolo da varivel

independente, trocamos x por y e y por x.

Por exemplo, para obter a funo inversa de f:IRIR definida por

y=2x+1, devemos:


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1) isolar x em y=2x+1. Assim y=2x+1 y-1=2x x=(y-1)/2

2) trocar x por y e y por x: y=(x-1)/2.

Portanto a funo inversa de f: f-1(x)=(x-1)/2.

Observao: Para que uma funo fadmita a inversa f-1 necessrio queela seja bijetora. Se fno for bijetora, ela no possuir inversa.

EXERCCIO RESOLVIDO:

.2

1

11

21

)1(1

)1(21)1()1(devalorO

.

1

21)(sejaou,

1

21:obtemospor x,yeyporxTrocando

1

21

1

)21()21()1(

21.12.1)2(2

1:Ento

igualdadenessaisolar xdevemose2

1queSabemos

:Resoluo

).1(calcule,)2(,2

1)(funoaDada)1

11

1

1

=

+

=

+=

+=

+=

+=

+=+=

==+=++

=

+

=

+

=

ffx

xxf

x

xy

y

yx

y

yxyyx

yxxyxyxyxxyx

xy

x

xy

fxx

xxf


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Esse documento foi criado por Juliano Zambom Niederauer.

Os grficos e diagramas utilizados no documento foram retirados do livro:Matemtica Volume nico. FACCHINI. Ed.Saraiva.

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