fundamentos matemÁticos da...

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

DA COMPUTAÇÃO

Notas de aula para o Curso de Tecnologia da Informação

Prof.a Paula Francis Benevides

2006

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Campus Curitiba

Gerência de Ensino e Pesquisa

Departamento Acadêmico de Matemática

Conteúdo

AULA 1 ............................................................................................................................. 9

1 - FUNÇÕES ..................................................................................................................... 9

1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO .................................................................................. 9

1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO .................................................................................................. 10

1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................... 11

1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ..................................................... 12

1.5 FUNÇÃO COMPOSTA ..................................................................................................... 13

1.6 FUNÇÃO INVERSA ......................................................................................................... 14

1.6.1 Determinação da Função Inversa ........................................................................ 14

AULA 2 ........................................................................................................................... 16

2. FUNÇÃO POLINOMIAL............................................................................................. 16

2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU ................................................................................... 16

2.1.1 Função linear........................................................................................................ 16

2.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1o grau ..................................................... 17

2.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico ............................................... 17

2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau ................. 18

2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................ 19 2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1

o grau .................................................................................................. 19

2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau ...................................................................................... 20

2.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU .............................................................................................. 20

2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ................................................................... 21

2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau ..................................................................... 21

2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 22

AULA 3 ........................................................................................................................... 25

2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU ................................................................................... 25

2.3.1 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................... 25

2.3.2 Concavidade ......................................................................................................... 25

2.3.3 Zeros de uma função quadrática ......................................................................... 26

2.3.4 Vértice da parábola ............................................................................................. 26

2.3.5 Gráfico de uma parábola ..................................................................................... 27

2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática ................................................................. 28

2.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU .............................................................................................. 28

2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ................................................................... 29

2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau ..................................................................... 30

2.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 31

AULA 4 ........................................................................................................................... 34

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................... 34

3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO ............................................................................................. 34

3.1.1 Potências com expoente natural ......................................................................... 34

3.1.2 Potências com expoente inteiro ........................................................................... 34

Fundamentos Matemáticos da Computação Prof a Paula Francis Benevides

3

3.1.3 Potências com expoente racional ........................................................................ 34

3.1.4 Potências com expoente real ............................................................................... 34 3.1.4.1 Propriedades ................................................................................................................................................. 34

3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS .............................................................................................. 35

3.2.1 Resolução de equações exponenciais .................................................................. 36

3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios ............................. 37

3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 37

3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano ........................................... 37

3.3.2 Características da função exponencial ................................................................ 38

3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS ............................................................................................ 39

3.4.1 Resolução de inequações exponenciais ............................................................... 39

AULA 5 ........................................................................................................................... 41

4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA........................................................................................... 41

4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO ............................................................................................. 41

4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO ....................................................................................... 41

4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS .................................................................................... 42

4.4 COLOGARITMO ............................................................................................................. 42

4.5 MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................... 42

4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................. 44

4.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano ............................................ 44

4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ........................................................................................... 45

AULA 6 ........................................................................................................................... 47

5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 47

5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO: ....................................................................................... 47

5.1.1 Conseqüências: .................................................................................................... 47

5.1.2 Função seno e função cosseno ............................................................................. 47

5.1.3 Gráfico das funções seno e cosseno..................................................................... 47 5.1.3.1 Função seno: .................................................................................................................................................. 47 5.1.3.2 Conclusões ..................................................................................................................................................... 48 5.1.3.3 Seno é função ímpar ..................................................................................................................................... 48 5.1.3.4 Função cosseno ............................................................................................................................................. 48 5.1.3.5 Conclusões ..................................................................................................................................................... 48 5.1.3.6 Cosseno é função par .................................................................................................................................... 49

5.2 TANGENTE DE UM ARCO ................................................................................................. 49

5.2.1 Conseqüências ..................................................................................................... 50

5.2.2 Função tangente .................................................................................................. 50

5.2.3 Gráfico da função tangente ................................................................................. 50

5.2.4 Conclusões ........................................................................................................... 50

5.2.5 Tangente é uma função ímpar ............................................................................. 51

5.3 COTANGENTE DE UM ARCO ............................................................................................. 51

5.3.1 Conseqüências ..................................................................................................... 51

5.3.2 Função cotangente .............................................................................................. 51

5.3.3 Gráfico da função cotangente ............................................................................. 52

5.3.4 Conclusões ........................................................................................................... 52

5.3.5 Cotangente é uma função ímpar ......................................................................... 52

5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO ............................................................................... 52

5.4.1 Função secante e cossecante ............................................................................... 53


4

5.4.2 Gráfico da função secante ................................................................................... 53

5.4.3 Conclusões ........................................................................................................... 53

5.4.4 Gráfico da função cossecante .............................................................................. 54

5.4.5 Conclusões ........................................................................................................... 54

5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 54

5.5.1 Usando o teorema de Pitágoras .......................................................................... 55

5.5.2 Usando semelhança entre triângulos .................................................................. 55

5.5.3 Identidades trigonométricas ................................................................................ 56 5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades........................................................................................................ 57

AULA 7 ........................................................................................................................... 60

6. POLINÔMIOS .......................................................................................................... 60

6.1 FUNÇÃO POLINOMIAL: ................................................................................................... 60

6.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO: .................................................... 61

6.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS: ................................................................................................ 61

6.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO: ............................................................................ 62

6.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:............................................................................ 62

6.5.1 Adição: ................................................................................................................. 62

6.5.2 Subtração: ............................................................................................................ 63

6.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS: ................................................................................... 63

6.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: .............................................................................................. 64

6.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes ......................... 64

6.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: .................................................. 66 6.7.2.1 Teorema do Resto: ........................................................................................................................................ 66 6.7.2.2 Teorema de D’Alembert ................................................................................................................................ 66 6.7.2.3 Divisão de P(x) por (ax + b), a 0 ............................................................................................................... 67

AULA 8 ........................................................................................................................... 69

6.7.2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: ............................................................................................................. 69

6.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS: .............................................................................................. 70

6.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau:..................................... 70

6.8.2 Raízes Múltiplas: .................................................................................................. 70

6.8.3 Teorema das Raízes Racionais: ............................................................................ 71

AULA 9 ........................................................................................................................... 73

7. MATRIZES ............................................................................................................... 73

7.1 DEFINIÇÃO: ................................................................................................................. 73

7.2 NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ ............................................................................................. 73

7.3 ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS ........................................................................................ 74

7.3.1 Matriz Retangular: é a matriz onde m n. ........................................................ 74

7.3.2 Matriz Coluna: é toda matriz do tipo mx1. .......................................................... 74

7.3.3 Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1xn. ............................................................. 74

7.3.4 Matriz Quadrada: ................................................................................................ 74

7.3.5 Matriz Diagonal ................................................................................................... 75

7.3.6 Matriz Escalar: ..................................................................................................... 75

7.3.7 Matriz Identidade: ............................................................................................... 75

7.3.8 Matriz Zero ou Nula: ............................................................................................ 76

7.3.9 Matrizes Iguais ..................................................................................................... 76


5

7.3.10 Matrizes Opostas: .............................................................................................. 76

7.3.11 Matriz Transposta: ............................................................................................. 76 7.3.11.1 Propriedades da matriz transposta ............................................................................................................ 76

7.3.12 Matriz Simétrica ................................................................................................. 76

7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES: ........................................................................................... 77

7.4.1 Adição e Subtração de Matrizes .......................................................................... 77 7.4.1.1 Propriedades: ................................................................................................................................................ 77

7.4.2 Produto de uma matriz por um escalar: .............................................................. 77 7.4.2.1 Propriedades: ................................................................................................................................................ 77

7.4.3 Produto de uma matriz por outra: ....................................................................... 77 7.4.3.1 Propriedades: ................................................................................................................................................ 77 7.4.3.2 Comutatividade de Multiplicação de duas matrizes:................................................................................... 78 7.4.3.3 Matriz Involutiva............................................................................................................................................ 78 7.4.3.4 Matriz anti-simétrica: .................................................................................................................................... 78

7.5 MATRIZ INVERSA .......................................................................................................... 79

7.5.1 Definição .............................................................................................................. 79

7.5.2 Propriedades ........................................................................................................ 79

7.6 MATRIZ ORTOGONAL: ................................................................................................... 79

7.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: ..................................................................................... 79

7.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: ...................................................................................... 79

7.9 POTÊNCIA DE UMA MATRIZ: ............................................................................................ 80

7.10 MATRIZ PERIÓDICA: ...................................................................................................... 80

7.11 MATRIZ IDEMPOTENTE: ................................................................................................. 80

7.12 MATRIZ NIHILPOTENTE: ................................................................................................. 80

AULA 10.......................................................................................................................... 71

8. DETERMINANTES .................................................................................................... 71

8.1 NOÇÃO: ...................................................................................................................... 71

8.2 NOTAÇÃO: .................................................................................................................. 71

8.3 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE: .................................................................................... 71

8.4 ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA: ...................................................... 72

8.4.1 Menor Complementar .......................................................................................... 72

8.4.2 Complemento Algébrico ou Cofator: ................................................................... 73

8.5 REGRA DE LAPLACE: ...................................................................................................... 73

8.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: .............................................................................. 74

8.7 REGRA DE CHIO: ........................................................................................................... 75

8.8 PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO: ........................................................................................ 75

8.9 MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS ................................................................................. 77

8.9.1 Matriz Singular: ................................................................................................... 77

8.9.2 Matriz Não-Singular: ............................................................................................ 77

8.9.3 Propriedades da Matriz Inversa: .......................................................................... 77

8.9.4 Operações elementares: ...................................................................................... 77

AULA 11.......................................................................................................................... 83

9. SISTEMAS LINEARES ................................................................................................ 83

9.1 EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 83

9.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................... 83

9.3 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: ................................................................................... 83

9.4 SISTEMA COMPATÍVEL: .................................................................................................. 83


6

9.4.1 Sistema Determinado: ......................................................................................... 83

9.4.2 Sistema Indeterminado: ....................................................................................... 84

9.5 SISTEMA INCOMPATÍVEL................................................................................................. 84

9.6 CLASSIFICAÇÃO:............................................................................................................ 84

9.7 SISTEMAS EQUIVALENTES: .............................................................................................. 84

9.7.1 Operações elementares e Sistemas Equivalentes: ............................................... 85

9.8 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:....................................................................................... 85

9.9 SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: ............................................................... 85

9.9.1 Regra de Cramer: ................................................................................................. 85

9.9.2 Resolução por escalonamento de matrizes: ........................................................ 87

AULA 12.......................................................................................................................... 71

10. LIMITES ................................................................................................................ 71

10.1 NOÇÃO INTUITIVA:........................................................................................................ 71

10.1.1 Propriedades: ..................................................................................................... 71

AULA 13.......................................................................................................................... 75

10.2 LIMITES INFINITOS: .................................................................................................. 75

10.2.1 Igualdades Simbólicas: ....................................................................................... 75 10.2.1.1 Tipo Soma: ................................................................................................................................................... 75 10.2.1.2 Tipo Produto: ............................................................................................................................................... 75 10.2.1.3 Tipo Quociente: ........................................................................................................................................... 75 10.2.1.4 Tipo Potência: .............................................................................................................................................. 75

AULA 14.......................................................................................................................... 78

10.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: .................................................................................. 78

AULA 15.......................................................................................................................... 81

10.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: ........................................... 81

AULA 16.......................................................................................................................... 84

10.5 LIMITES LATERAIS: ................................................................................................... 84

AULA 17.......................................................................................................................... 86

11. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS .............................................................. 86

11.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 86

11.2 ASSÍNTOTA VERTICAL .............................................................................................. 86

11.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL ........................................................................................ 86

12. FUNÇÕES CONTÍNUAS.......................................................................................... 87

12.1 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 87

AULA 18.......................................................................................................................... 90

13. DERIVADAS .......................................................................................................... 90

13.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 90

13.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE

UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: ................................................... 90

13.3 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 92

13.3.1 Outras notações para a função derivada: ......................................................... 93


7

13.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; ........................................................................ 93

13.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: .......................................................................................... 95

13.5.1 Derivada de função Algébrica: ........................................................................... 96

AULA 19.......................................................................................................................... 98

13.5.2 Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: .......................................... 98

AULA 20........................................................................................................................ 100

13.5.3 Derivada de Funções Trigonométricas: ........................................................... 100

AULA 21........................................................................................................................ 102

13.6 DERIVADAS SUCESSIVAS ........................................................................................ 102

13.7 REGRAS DE L’HOSPITAL ......................................................................................... 102

AULA 22........................................................................................................................ 105

13.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS.................................................................................. 105

13.8.1 Taxas de Variação Relacionadas ..................................................................... 105

13.8.2 Máximos e Mínimos ......................................................................................... 106 13.8.2.1 Introdução: ................................................................................................................................................ 106 13.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais: ....................................................................................... 108 13.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções: .............................................................................................. 108 13.8.2.4 Teste da Derivada Primeira: ...................................................................................................................... 109 13.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda: ............................................................................................ 109

AULA 23........................................................................................................................ 112

14. INTEGRAIS ......................................................................................................... 112

14.1 INTRODUÇÃO: ....................................................................................................... 112

14.1.1 NOTAÇÃO: ........................................................................................................ 112

14.2 INTEGRAIS IMEDIATAS ........................................................................................... 112

AULA 24........................................................................................................................ 120

14.3 INTEGRAIS POR PARTES ......................................................................................... 120

AULA 25........................................................................................................................ 123

14.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................ 123

AULA 26........................................................................................................................ 128

14.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS ................................................................... 128

AULA 27........................................................................................................................ 133

14.6 INTEGRAL DEFINIDA: ............................................................................................. 133

14.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: ...................................................................... 134

14.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS .................................................... 135

AULA 28........................................................................................................................ 137

14.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA............................................................... 137 14.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA .......................................................................................... 137 14.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: ................................................................................. 140

AULA 29........................................................................................................................ 143

14.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: .............................................................................................. 143


8

AULA 30........................................................................................................................ 145

15. VETORES ............................................................................................................ 145

15.1 NOÇÃO DE VETORES .................................................................................................... 145

15.1.1 Segmento orientado (A, A)............................................................................... 145

15.1.2 Propriedades: ................................................................................................... 145

15.2 ADIÇÃO DE VETORES .................................................................................................... 146 15.2.1.1 Regra do paralelogramo ............................................................................................................................ 146

15.3 EQUIPOLÊNCIA: .......................................................................................................... 146

15.3.1 Propriedades: ................................................................................................... 146

15.4 VETORES OPOSTOS ...................................................................................................... 147

15.5 VETORES NO PLANO CARTESIANO ................................................................................... 147

15.6 MÓDULO DE UM VETOR – NORMA - | V | ..................................................................... 147

15.7 OBSERVAÇÕES SOBRE ADIÇÃO DE VETORES ....................................................................... 148

15.8 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR ................................................................................. 148

15.8.1 Propriedades: ................................................................................................... 149

15.9 SOMA DE PONTO COM VETOR ....................................................................................... 149

15.9.1 Propriedades: ................................................................................................... 149

15.10 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES: ................................................................... 149

15.11 PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO: U . V............................................................. 150

15.11.1 Propriedades: ................................................................................................. 150

15.12 PRODUTO VETORIAL: U X V .......................................................................................... 150

15.13 PARALELISMO ........................................................................................................... 150

15.14 ORTOGONALISMO ..................................................................................................... 150


9

3210

1

2

3

4

5

6

y

x

7

8

9

10

AULA 1

1 - FUNÇÕES

1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO

Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável

independente.

Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da

variável dependente.

Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos

numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a

linguagem da teoria dos conjuntos.

Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois

conjuntos.

Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se

produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .

A B {( x , y )/ x A e y B }.

Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em

B a qualquer subconjunto de A B .

r é relação de A em B r A B .

Exemplo:

Sejam os conjuntos A{0,1,2,3}, B {0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y

2 x , x A e y B . Escrever os elementos dessa relação r .

Como x A :

x 0 y 0 (0,0) A B ;

x 1 y 2 (1,2) A B ;

x 2 y 4 (2,4) A B ;

x 3 y 6 (3,6) A B .

Então, r {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.

Representação da relação por diagrama. Representação da relação por sistema cartesiano.

0

0A B

1

2

3

2

4

6

8

10

r


10

0

A B

2

5

0

2

5

10

20

-2

Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos

pares ( x , y ) em que o elemento x A é associado ao elemento y B mediante uma lei de

associação (no caso, y 2 x ).

1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa

relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um

e apenas um elemento y do conjunto B .

Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique

sua resposta e apresente o diagrama da relação.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A{0,5,15} e B {0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B

expressa pela fórmula y x 5, com x A e y B .

x 0 y 5 (0,5) A B ;

x 5 y 10 (5,10) A B ;

x 15 y 20 (15,20) A B .

Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .

A cada elemento de A está associado um único elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y x 5 é uma função de A em B .

2) Dados os conjuntos A{2,0,2,5} e B {0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B

expressa pela fórmula y x , com x A e y B .

x 0 y 0 (0,0) A B ;

x 2 y 2 (2,2) A B ;

x 5 y 5 (5,5) A B .

O elemento 2 de A não está associado a nenhum elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .

0

0A B

5

15

5

10

15

20

25


11

3) Dados os conjuntos A{3,1,1,3} e B {1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa

pela fórmula 2xy , com Ax e By

x 3 y 9 (3,9) A B ;

x 1 y 1 (1,1) A B ;

x 1 y 1 (1,1) A B ;

x 3 y 9 (3,9) A B .


A cada elemento de A está associado um único elemento de B .

Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y 2x é uma função de A em B .

4) Dados os conjuntos A{16,81} e B {2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela

fórmula xy 4, com Ax e By .

x 16 y 2 ou y 2 (16,2) e (16,2) A B ;

x 81 y 3 (81,3) A B .


O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .

Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .

1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO

Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:

f : A B (lê-se: função de A em B )

x y (lê-se: a cada valor de x A associa-se um só valor y B )

A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.

Numa função g : R R , dada pela fórmula y 2x 8, podemos também escrever g ( x )2x 8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x 2 , ou g ( 2 )6.

A B

1

3

1

3

6

9

-3

-1

A B

81

-2

2

3

16


12

A B

0

2

0

1

2

3

4

-3

-1

-1

1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:

f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )

x y f ( x ) (a cada elemento x A corresponde um único y B )

O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da

função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir

em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .

O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no

contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.

Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de

y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são

imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o

conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.

f : A B

x y f ( x )

D A , CD B , Im { y CD / y é correspondente de algum valor de x }.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A{3,1,0,2} e B {1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem

da função f : A B definida por f ( x ) x 2.

f (3)(3)21

f (1)(1)21

f (0)(0)22

f (2)(2)24

Im {1,1,2,4}

2) Dada a função f : R R definida por f ( x ) a x b , com a ,b R , calcular a e b ,

sabendo que f (1)4 e f (1)2.

A lei de formação da função é f ( x ) a x b ou y a x b .

f (1)4 x 1 e y 4 4 a 1b (i)

f (1)2 x 1 e y 2 2 a (1)b (ii)

De (i) e (ii), temos:

b 1 e a 3

a 3 e b 1 f ( x )3 x 1.

a b 4

a b 2

2b 2


13

A B C

g

h

f

xy z

1.5 FUNÇÃO COMPOSTA

Tome as funções f : A B , definida por f ( x )2 x , e g : B C , definida por g ( x ) 2x .

Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .

f : A B : a cada x A associa-se um único y B , tal que y 2 x .

g : B C : a cada y B associa-se um único z C , tal que z 2y .

Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : AC , que faz a composição entre

as funções f e g :

h : AC : a cada x A associa-se um único z C , tal que z 2y

22 )( x 4 2x .

Essa função h de A em C , dada por h ( x ) 4 2x , é denominada função composta de g e

f .

De um modo geral, para indicar como o elemento z C é determinado de modo único pelo

elemento x A , escrevemos:

z g ( y ) g ( f ( x ))

Notação:

A função composta de g e f será indicada por g f (lê-se: g círculo f )

( g f )( x ) g ( f ( x ))

Exemplos:

1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por 1)( xxf e

32)( 2 xxg . Determine:

a) f ( g ( x )).

f ( g ( x )) f (2 2x 3)2 2x 312 2x 2

f ( g ( x )) 2 2x 2.

b) g ( f ( x )).

g ( f ( x )) g ( x 1)221)( x 32( 2x 2 x 1)32 2x 4 x 232 2x 4 x 1

g ( f ( x )) 2 2x 4 x 1.

c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x )) g ( f ( x )).

f ( g ( x )) g ( f ( x ))

2 2x 2=2 2x 4 x 1

2=4 x 1

4 x 12

x 4

1.


14

3210

1

2

3

4y

x-1

-2

-1-2 4

f

f

-1

2) Sendo f ( x )3 x 1 e f ( g ( x ))6 x 8, determine g ( x ).

Como f ( x )3 x 1, então f ( g ( x ))3 g ( x )1.

Como f ( g ( x )) 6 x 8, então 3 g ( x )16 x 8.

3 g ( x )1 6 x 8

3 g ( x ) 6 x 81

g ( x ) 3

96 x

g ( x ) 2 x 3.

1.6 FUNÇÃO INVERSA

Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas

condições abaixo:

O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é

correspondente de algum elemento do domínio.

Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.

Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa 1f se for bijetora.

1.6.1 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA

Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa.

Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida “isolamos” o y ,

obtendo a lei que define a função inversa.

É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.

Exemplo:

1) Obter a lei da função inversa 1f da função f dada por y x 2.

y x 2 função .

x y 2 trocando a variável x por y e y por x .

y x 2 isolando y .

Então, y x 2 é a lei da função inversa da função dada por y x 2.

Logo:

f ( x ) x 2 e 1f ( x ) x 2

2) Construir os gráficos das funções f e 1f do exercício anterior, num mesmo sistema de

coordenadas.

f

x f ( x ) x 1f ( x ) Note que os gráficos

das funções f e 1f

são simétricos em

relação à reta que

contém as bissetrizes

do 1o e 3

o quadrantes.

1 1 1 1

0 2 2 0

1 3 3 1

2 4 4 2


15

3) Determinar a função inversa 1g da função g ( x )

32

5

x

x, cujo domínio é D R

2

3.

y 32

5

x

x função g .

x 32

5

y

y trocando a variável x por y e y por x .

(2 y 3) x y 5 isolando y .

2 x y 3 x y 5

y (2 x 1)3 x 5

y 12

53

x

x 2 x 10 x

2

1.

Logo, 1g : R

2

1 R

2

3 dada por y

12

53

x

x é a função inversa procurada.

AULA 1 - EXERCÍCIOS

1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0,

1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 – 4x +

3. Faça o diagrama de g e verifique se g é

uma função de A em B. Em caso

afirmativo escreva o conjunto imagem.

2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R

definida por f(x) = (x – 2)(x – 4).

Determine o seu conjunto imagem.

3) Sejam f e g funções reais definidas, para

todo o número real não nulo, por:

25

83)(

x

xxxf e

233

13

5)( 2

xx

xxg

Se a e b são números reais distintos tais

que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b

4) Considere a função f(x) real, definida por

f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine

o valor de f(0)

5) Determine o domínio das seguintes

funções:

a) 54)( xxf

b) 1

3)(

2

xxf

c) xy 21

d) 2

7

4

1

3

1)(

x

x

xx

xxf

6) Sendo 1

1)(

xxf , x 1 e 42)( xxg ,

ache o valor de

2

1))2(( fggf .

7) Se 1

1)(

xxf , qual o valor de x para que

f(f(x)) = 1?

8) Dada a função 5

62)(

x

xxf com x 5.

calcule:

a) f-1

(x)

b) f-1

(4)

Respostas: 1) sim, Im{0, 3}

2) Im = {-1, 0, 3}

3) 3

4) 29

5) a) D = R

b) D = R – {-1, 1}

c)

2

1| xRxD

d) 2,,43| xexRxD

6) – 9

7) 2

3x

8) a) 2

65

x

x b) 13


16

AULA 2

2. FUNÇÃO POLINOMIAL

Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é

aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.

2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O

GRAU

A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio

de grau 1.

Representação da função polinomial do 1o grau:

f ( x ) a b , com a ,b R ( a 0). a e b são os coeficientes e x a variável

independente.

Exemplo:

Em uma função polinomial do 1o grau, y f ( x ), sabe-se que f (1)4 e f (2)10. Escreva

a função e calcule f

2

1.

Se é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: b . Usando os dados do

problema:

f (1)4 1 e 4. Então, a 1b 4 a b 4 (i).

f (2)10 2 e 10. Então, a (2)b 10 2 a b 10 (ii).

Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):

(i) a 4 a b 4

(ii) 2 a b 10 (1) 2 a b 10

3 a 6 a 2

Se a 2, então 2b 4 b 6.

A função f é dada por f ( x )2 x 6.

Cálculo de f

2

1:

f

2

1 2

2

16 16 7

A função é f ( x ) 2 x 6 e f

2

17.

2.1.1 FUNÇÃO LINEAR

Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )a x b . No caso de b 0, temos f ( x )a x , e

ela recebe o nome especial de função linear.

x

f

f y a x

x y

x y

b


17

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

Obs.: Se, em uma função linear tivermos a 1, teremos f ( x ) x ou y x , que se dá o

nome de função identidade.

2.1.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O

GRAU

Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do

domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens.

Exemplo:

Construir o gráfico da função real f dada por y 2 x 1.

x y Par ordenado

2 5 (2,5)

1 3 (1,3)

0 1 (0,1)

1 1 (1,1)

2 3 (2,3)

3 5 (3,5)

Definição 9: O gráfico da função linear y a x ( a 0) é sempre uma reta que passa pela

origem do sistema cartesiano.

Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y a x b ( a 0) intercepta o eixo

das ordenadas no ponto (0,b ).

2.1.3 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO GRÁFICO

Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x ) a x b .

Exemplo:

1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5


18

Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:

x 1 e y 1 1 a (1)b a b 1 (i).

x 1 e y 3 3 a (1)b a b 3 (ii).

(i) a b 1

(ii) a b 3

2b 2 b 1

Se b 1, então a b 3 a 13 a 2

Logo:

A função é f ( x )2 x 1.

2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:

Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:

x 1 e y 1 1 a (1)b a b 1 (i).

x 2 e y 2 2a (2)b 2 a b 2 (ii).

(i) a b 1 (1) a b 1

(ii) 2 a b 2 2 a b 2

a 3 a 3

Se a 3, então 3b 1 b 4

Logo:

A função é f ( x )3 x 4.

2.1.4 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO

1O

GRAU

Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x ) a x b .

Podemos determinar que:

i) A função f é crescente se o coeficiente a 0;

ii) A função f é decrescente se o coeficiente a 0.

Exemplo:

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5


19

Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:

i) f ( x )2 x 1 ii) g ( x )2 x 1

i) Aumentando os valores atribuídos a

x , aumentam também os valores

correspondentes da imagem f ( x ).

ii) Aumentando os valores atribuídos a x ,

diminuem os valores correspondentes da

imagem g ( x ).

2.1.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O

GRAU

Definição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x

temos f ( x )0, f ( x )0 ou f ( x )0.

2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1o grau

Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x ) a x b o valor de x que anula a

função, isto é, torna f ( x )0.

Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )a x b , a

0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .

Exemplo:

Dada a lei de formação da função y 2 x 4, construir o gráfico e determinar os valores

reais de x para os quais: a) y 0; b) y 0 e c) y 0.

Podemos notar que a função é decrescente, pois a 0.

O zero da função é: 2 x 40 2 x 4 2 x 4

2x .

Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa

2x .

A solução do problema é:

a) f ( x )0 { xR ; x 2};

b) f ( x )0 { x R ; x 2};

c) f ( x )0 { xR ; x 2}.

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

5-3-4-5


20

2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau

f ( x ) a x b , a 0

Zero da função: a x b 0 x a

b

a 0 a 0

f ( x ) 0 x a

b f ( x ) 0 x

a

b

f ( x ) 0 x a

b f ( x ) 0 x

a

b

f ( x ) 0 x a

b f ( x ) 0 x

a

b

2.2 INEQUAÇÕES DO 1O

GRAU

Definição 14: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode

ser reduzida a uma das formas:

a x b 0;

a x b 0;

a x b 0;

a x b 0.

com a , b R e a 0.

Exemplo:

Verificar se 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação do 1o grau.

4( x 1) 2x 3 x x ( x 1)

4 x 4 2x 3 x 2x x

4 x 3 x x 40

2 x 40

Logo, 2 x 4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação

do 1o grau.

x

xf ( )>0xf ( )<0x

ab

ab

axb

xf ( )<0xf ( )>0x

ab


21

2.2.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O

GRAU

Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das

desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).

Exemplos:

1) Resolver a inequação seguinte: 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1). Represente a solução na reta real.

4( x 1) 2x 3 x x ( x 1)

4 x 4 2x 3 x 2x x

4 x 3 x x 40

2 x 4

x 2

S{ x R ; x 2}

2) Resolver a inequação seguinte: 3

1x

2

14 )( x

4

x

6

2 x. Represente a solução na reta real.

3

1x

2

14 )( x

4

x

6

2 x

Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:

12

242444 xx

12

243 xx

Simplificando:

20 x 20 x 4

20 x x 204

21 x 16

Multiplicando por (1):

21 x 16

x 21

16

S{ x R ; x 21

16}

2.2.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 1O

GRAU

Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela

intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.

Exemplo:

Resolver a inequação 12 x 3 x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta

real.

Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:

(i) 1 2 x 3 (i) x 1

(ii) 2 x 3 x (ii) x 3

x2

x1621


22

S{ x R ; 1 x 3}

2.2.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE

Uma inequação do 2o grau do tipo 2x 2 x 80 pode ser expressa por um produto de

inequações do 1o grau, fatorando o 1

o membro da desigualdade:

2x 2 x 8 0 ( x 2)( x 4) 0.

Definição 17:

RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos

o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal

do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de

números reais.

Exemplos:

1) Resolver a inequação ( 2x x 2)( x 2) 0.

( 2x x 2)( x 2)0 ( x 2)( x 1)( x 2) 0

f(x) x 2 f(x) 0 x 2 a 0

g(x) x 1 g(x) 0 x 1 a 0

h(x) x 2 h(x) 0 x 2 a 0

S{ x R ; 2 x 1 ou x 2}

2) Resolver a inequação 2

13

x

x 0.

f(x) 3 x 1 f(x) 0 1/3 a < 0

g(x) x 2 g(x) 0 x 2 a < 0

x

x

x1 3

(i)

(ii)(i)

(ii)

x

-2 2

( )g

x( )f

x( )h

x( )x( )x( )f g h1

x


23

S{ x R ; 3

1 x 2}


92

x

x 0.

2

92

x

x 0

2

33

x

xx )()( 0

f(x) x 3 f(x) 0 x 3 a 0

g(x) x 3 g(x) 0 x 3 a 0

h(x) x 2 h(x) 0 x 2 a 0

S{ x R ; x 3 ou 2 x 3}

4) Determine o domínio da função y 5

322

x

xx.

5

322

x

xx 0

5

13

x

xx )()( 0

f(x) x 3 f(x) 0 x 3 a 0

g(x) x 1 g(x) 0 x 1 a 0

h(x) x 5 h(x) 0 x 5 a 0

D{ x R ; 3 x 1 ou x 5}

x

2

( )g

x( )f

x( )

x( )f

g 13

x

-3 3

( )g

x( )f

x( )h

x( )

x( )x( )f g

h 2

x

-3 5

( )g

x( )f

x( )h

x( )

x( )x( )f g

h 1


24

AULA 02 – EXERCÍCIOS

1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine:

a) f(2)

b) o valor de x para que f(x) = 0

2) Em uma função polinomial do 1o grau, y =

f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escreva

a função f e calcule

2

1f

3) Um vendedor recebe mensalmente um

salário composto de duas partes: uma parte

fixa, no valor de R$900,00 e uma variável,

que corresponde a uma comissão de 8% do

total de vendas que ele fez durante o mês.

a) Expressar a lei da função que representa

seu salário mensal

b) Calcular o salário do vendedor que

durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em

produtos

4) Num determinado país, o gasto

governamental com educação, por aluno em

escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de

1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo

que o gráfico do gasto por aluno em função

do tempo seja constituído de pontos de uma

reta:

a) Obtenha a lei que descreve o gasto por

aluno (y) em função do tempo (x),

considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1

para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987

e assim por diante.

b) Em que ano o gasto por aluno será o

dobro do que era em 1985?

5) Considere as funções f e g definidas em R

por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x

a) Ache as raízes das funções f e g

b) Sabendo que os gráficos de f e g são

retas concorrentes, calcule as coordenadas do

ponto de intersecção.

6) Resolver a inequação 0)31(214 xx

7) Determinar o conjunto verdade da

inequação: 6

2

42

)1(4

3

1 xxxx

8) Resolver o sistema

03

512

x

x

9) João possui um terreno de 1000m2, no qual

pretende construir uma casa. Ao engenheiro

responsável pela planta, ele impõe as

seguintes condições: a área destinada ao lazer

(piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m2, e

a área interna da casa mais a área de lazer

devem ultrapassar 50% da área total do

terreno; além disso, o custo para construir a

casa deverá ser de, no máximo, R$

200.000,00. Sabendo que o metro quadrado

construído nessa região custa R$ 500,00, qual

é a área interna da casa que o engenheiro

poderá projetar?

10) Determinar o domínio da função

3

1

x

xy

Respostas:

1) a) 8

b) 2/5

2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7

3) a) y = 900 + 0,08x

b) R$ 4900,00

4) a) y = 75x + 3000

b) 2025

5) a) 8 e 0

b) (2, 6)

6)

2

1| xRxS

7)

21

16| xRxS

8) 3| xRxS

9) entre 300m2 e 400m

2

10) 31| xRxD


25

AULA 3

2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O

GRAU

Definição 18: A função f : R R dada por f ( x ) a 2x b x c , com a , b e c reais e a

0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por

a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a 0 temos uma função do 1o grau ou uma

função constante.

Exemplo:

Considere a função f do 2o grau, em que f (0)5, f (1)3 e f (1)1. Escreva a lei de

formação dessa função e calcule f (5).

Resolução

Tome f ( x ) a 2x b x c , com a 0.

f (0) 5 a (0)2b (0) c 5 c 5 5

f (1) 3 a (1)2b (1) c 3 a b 2 ( i)

f (1) 1 (1)2b (1) c 1 a b 4 ( ii)

Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):

(i) a b 2

(ii) a b 4

(i)(ii) 2a

6 a 3 b 1

A lei de formação da função será f ( x ) 3 2x x 5

f (5)3(5)2(5)5

f (5)65.

2.3.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada

parábola.

Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa

representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função

quadrática:

(i) Concavidade (ii) Zeros ou raízes (iii) Vértice

2.3.2 CONCAVIDADE

A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( x )a 2x b x c

do 2o grau depende do sinal do coeficiente a :

c

a


26

a 0: concavidade para CIMA a 0: concavidade para BAIXO

CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

2.3.3 ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x ) a 2x b x c são as raízes da

equação do 2o grau a 2x b x c 0, ou seja:

Raízes: x a

acbb

2

42 .

Considerando 2b 4 a c , pode-se ocorrer três situações:

i) 0 as duas raízes são reais e diferentes: 1x a

b

2

e 2x

a

b

2

.

ii) 0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): 1x 2x a

b

2.

iii) 0 não há raízes reais.

Obs.: Em uma equação do 2o grau a 2x b x c 0, a soma das raízes é S e o produto é P tal

que: S 1x 2x a

b e P 1x 2x

a

c.

Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau

são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .

2.3.4 VÉRTICE DA PARÁBOLA

Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( Vx , Vy ) em cada uma:

VÉRTICE DE PARÁBOLAS (0 PARA AS DUAS).

x

y

x

y

x2x1

x1 x2

V( ),xV yV

V( ),xV yV

Eixo de simetria


27

Uma forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é:

Vx 2

21 xx , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;

Vy a 2Vx b Vx c , já que o Vx foi obtido acima.

Outra forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é aplicando as fórmulas:

Vx a

b

2 e Vy

a4

.

2.3.5 GRÁFICO DE UMA PARÁBOLA

Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com

mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.

Exemplos:

1) Construir o gráfico da função y 2x 2 x , determinando sua imagem.

a 10 concavidade voltada para cima.

Zeros da função: 2x 2 x 0 x ( x 2)0 1x 0 e 2x 2.

Ponto onde a

parábola corta o

eixo y : x 0 y 0 (0,0)

Vértice da

parábola: Vx a

b

2

2

21

V (1,1)

Vy a4

4

41

Imagem: y 1 para todo x Real Im { y R ; y 1}

2) Construir o gráfico da função y 2x 4 x 5, determinando sua imagem.

a 1 0 concavidade voltada para baixo.

Zeros da função: 2x 4 x 50 4. zeros reais. Ponto onde a

parábola corta o

eixo y : x 0 y 5 (0,5)

Vértice da

parábola: Vx a

b

2

2

4

2

V (2,1)

Vy a4

4

4

1

Imagem: y 1 para todo x Real Im { y R ; y 1}

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

5-3-4-5

V

3210

1

2

3

4

y

x-1

-2

-1-2 4

5

-3

-4

-5

5-3-4-5

V


28

2.3.6 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser

dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.

f ( x ) a 2x b x c com ( a , b e c R e a 0)

a 0 a 0

f ( x )0 para x 1x ou x 2x f ( x )0 para x 1x ou x 2x

f ( x )0 para 1x x 2x f ( x )0 para 1x x 2x

f ( x )0 para x 1x ou x 2x ( x )0 para x 1x ou x 2x

f ( x )0 para x 1x f ( x )0 para x 1x

f ( x )0 x real f ( x )0 x real

f ( x )0 para x 1x 2x f ( x )0 para x 1x 2x




2.4 INEQUAÇÕES DO 2O

GRAU

Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode

ser reduzida a uma das formas:

a 2x b x c 0;

a 2x b x c 0;

xx2x1

x

x1 x2

f

xx2x1

x

x2x1

x

x


29

a 2x b x c 0;

a 2x b x c 0.

com a , b , c R e a 0.

2.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2O

GRAU

Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das

desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).

Exemplo:

1) Resolver a inequação 2x 3 x 20.

Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 3 x 2.

a 10 Concavidade para cima.

2x 3 x 20

10 Duas raízes reais diferentes.

x

2

13

1x 1

2x 2

S{ x R ; x 1 ou x 2}. Obs: somente valores positivos.

2) Resolver a inequação 2x 10 x 250.

Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 10 x 25.

10 Concavidade para cima.

2x 10 x 250

0 Raiz dupla (única).

1x 2x

2

10

x 5

S R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.

3) Resolver a inequação 2 2x 5 x 60.

Resolução

Estudar a variação do sinal da função f ( x )2 2x 5 x 6.

a 20 Concavidade para

baixo.

2 2x 5 x 6 0

23 0 Não possui zeros reais.

x real

S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.

x21

a

x5

x


30

2.4.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2O

GRAU

Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela

intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.

Exemplo:

1) Resolver o sistema de inequações

05

682 22

x

xxx.

Resolução

(i) 2 2x 8 2x 6 x 2 2x 8 2x 6 x 0 2x 6 x 80.

(ii) x 50.

Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 6 x 8.

a 1 0 Concavidade para cima.

2x 6 x 80

4 0 Duas raízes reais

diferentes.

x

2

26 1x 4

2x 2

S(i){ x R ; x 4 ou x 2}. Reta real:

Resolução de (ii): x 50 x 5.

S(ii){ x R ; x 5}. Reta real:

Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):

S{ x R ; x 5}.

2) Resolver a inequação x 4 2x 4 x 2.

Resolução

(i) x 4 2x 4 x 4 2x 40 (1) 2x x 0.

(ii) 2x 4 x 2 2x 4 x 20 2x x 60.

Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x x .


2x x 0 x ( x 1)0 Zeros{0,1}.

1 0 Duas raízes reais diferentes.

x

2

11

1x 0

2x 1

S(i){ x R ; x 0 ou x 1}. Reta real:

x-2-4

x-2-4

x-5

x-5

x-5

x-2-4(i)

(ii)

(i) (ii)

x10

x10


31

Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x ) 2x x 6.


2x x 60

25 0 Duas raízes reais diferentes.

x

2

51

1x 2

2x 3

S(ii){ x R ; 2 x 3}. Reta real:

Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):

S{ x R ; 2 x 0 ou 1 x 3}.

2.4.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE

Definição 24:

RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos

o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto

ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números

reais.

Exemplos:

1) Resolver a inequação ( 2x 2 x 3)( 2x 3 x 4)0.

Resolução

S{ x R ; 4 x 1 ou 1 x 3}.

x3-2

x3-2

x-2

x

x10(i)

(ii)

(i) (ii)

3

-2 0 1 3

x

-4

( )g

x( )f

x( )x( )f g1 3-1

f(x) 2x 2 x 3 a 0 16 0 1x 1 e 2x = 3

g(x) 2x 3 x 4 a 0 25 0 1x 4 e 2x = 1

f(x) g(x)

x3-1x1-4

x3-1 x1-4


32


652

2

x

xx0.

Resolução

f(x) 2x 5 x 6 a 0 1 0 1x 2 e 2x 3

g(x) 2x 16 a 0 64 0 1x 4 e 2x 4

f(x) g(x)

S{ x R ; x 4 ou 2 x 3 ou x 4}.

3) Determine o domínio da função f ( x )6

1032

x

xx.

Resolução

f só representa um número real se 6

1032

x

xx0.

f(x) 2x 3 x 10 a 0 49 0 1x 2 e 2x 5

g(x) x 6 a 0 g(x) = 0 x 6

f(x) g(x)

D { x R ; 2 x 5 ou x 6}.


x32 x4-4

x32 x4-4

x

-4

( )g

x( )f

x( )

x( )f

g 3 42

x5-2 x6

x5-2 x6

x

-2

( )g

x( )f

x( )

x( )f

g 5 6


33

1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0)

= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de

formação dessa função e calcule f(5).

2) Determine o valor de m para que a

parábola que representa graficamente a

função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto

(1, 6).

3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x

– 5.

4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo

que essa função possui dois zeros reais

iguais, determine o valor real de k.

5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas

raízes reais, m e n, de modo que

12

511

nm. Determine o valor de f(-1)

nessa função.

6) Determinar as coordenadas do vértice V da

parábola que representa a função

135)( 2 xxxf .

7) Determinar a e b de modo que o gráfico da

função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha

o vértice no ponto (4, - 25).

8) Determinar o conjunto imagem da função

f(x) = x2 – 3x + 2.

9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor

máximo ou valor mínimo? Qual é esse

valor?

10) Considerar todos os possíveis retângulos

que possuem perímetro igual a 80 cm.

Dentre esses retângulos, determinar aquele

que terá área máxima. Qual será essa área?

11) Determinar p de modo que a função

f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores

positivos para todo x real.

12) Resolver a inequação –x2 + 1 0.

13) Determinar o conjunto solução da

inequação x2 – 10x + 25 0.

14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 x +

2.


12

x

x

Respostas

1) f(x) = - 3x2 + x + 5

f(5) = - 65

2) 4

3) 5 e -1

4) 1/3

5) 52

6)

20

11,

10

3V

7) a = 1 e b = - 8

8)

4

1/Im yRy

9) O valor mínimo da função é y = - 25/4

10) O retângulo que terá a maior área será o

de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será

de 400cm2.

11)

4

1/ pRp

12) 1,,1| xouxRxS

13) S = R

14) 02| xRxS ou }31 x

15) S = {x R| x < - 3 ou -1< x <2}


34

AULA 4

3. FUNÇÃO EXPONENCIAL

3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO

3.1.1 POTÊNCIAS COM EXPOENTE NATURAL

Sendo a um número real e n um número natural, com n 2, definimos: na

fatores n

aaaa .

Para n 1 e n 0 são definidos: 1a a . 0a 1 ( a 0).

3.1.2 POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO

Se a é um número real não-nulo ( a 0) e n um número inteiro e positivo, definimos:

na na

1.

3.1.3 POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL

Se a é um número real positivo e n

m um número racional, com n inteiro positivo,

definimos:

nm

a n ma .

3.1.4 POTÊNCIAS COM EXPOENTE REAL

Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos

números reais. Temos, por exemplo: 210 25,954553519470080977981828375983.

3.1.4.1 Propriedades

Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:

ma na nma .

ma na nma ( a 0).

nma )( nma .

nba )( na nb .

n

b

a

n

n

b

a (b 0).


35

Exemplos

1) Dê o resultado mais simples de ( 35 65 ) 105 .

Resolução

Usando as propriedades, temos:

( 35 65 ) 105 ( 635 ) 105 95 105 1095 15 5

1.

2) Calcule o valor da expressão

2

3

2

3

2

1

06 .

Resolução 2

3

2

3

2

1

06

2

2

3

3

2

1

1

4

9

8

11

8

8118

8

11.

3) Simplifique x

xx

2

22 25 .

Resolução

x

xx

2

22 25

x

xx

2

2222 25

x

x

2

222 25 )( 52 22 28.

4) Calcule 34

8 .

Resolução

Primeira resolução: 34

8 3 48 3 4096 16.

Segunda resolução: 34

8 34

32 )( 343

2 42 16.

5) Determine o valor de 7081 , 2081 , .

Resolução 7081 , 2081 , 207081 ,, 5081 ,

5043 ,)( 23 9.

6) Qual o valor de 2210 )( 510 ),( ?

Resolução

2210 )( 510 ),(

2210

5110 )(

210 510 )( 5210 710 10000000.

3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no

expoente.

Exemplo:

x2 16.

13 x 23 x 9.

13 x 27.

10 x22 5 x22 10.


36

3.2.1 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências

de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e

propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:

Definição 26: Se a 0, a 1 e x é a incógnita, a solução da equação xa pa é x p .

Exemplos:

1) Resolver a equação x4 512.

Resolução

Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2

o membros da equação em

potências de mesma base:

x4 512 x

)(22 92 x22 92 2 x 9 x

2

9.

S

2

9.

2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um

aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:

a)Qual a produção P dessa empresa t anos depois?

b)Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?

Resolução

a) Obs: 50%100

500,5

Um ano depois: 80000,580008000(10,5)80001,5

Dois anos depois: (80001,5)1,58000251 ),(

Três anos depois: (8000251 ),( )1,58000

351 ),(

Produção P, t anos depois: P8000t

),( 51

b)Fazendo P40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:

405008000t

),( 51

Resolvendo a equação:

405008000t

),( 51

t

),( 51 8000

40500. Obs: 1,5

2

3.

t

2

3

16

81

t

2

3

4

4

2

3

t

2

3

4

2

3

t 4.

Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.

3) Determine o conjunto solução da equação 281 x 1 no universo dos números reais.

Resolução

Sabendo que 081 1, temos: 281 x 1 281 x 081 x 20 x 2.

S{2}.


37

3.2.2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM O USO DE ARTIFÍCIOS

Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas

transformações e artifícios.

Exemplos:

1) Resolver a equação x4 5 x2 40.

Resolução

Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: x4 5 x2 40

x)(

22 5 x2 40 22 )(

x5 x2 40.

Fazendo x2 y , temos a equação do 2o grau em y :

2y 5 y 40 y 2

16255 1y 4 e 2y 1.

Voltando à igualdade x2 y :

1y 4:

x2 y x2 4 x2 22 x 2.

2y 1:

x2 y x2 1 x2 02 x 0.

S{0,2}.

2) Determine o conjunto solução da equação x5 x25 24.

Resolução

Preparando a equação, temos:

x5 x25 24 x5 25 x5 24 x5 25x5

124 x5

x5

2524.

Fazendo x5 y , temos:

y y

2524

2y 2524 y 2y 24 y 250

1

25

2

1

y

y

Voltando à igualdade x5 y :

1y 25: x5 y x5 25 x5 25 x 2.

2y 1: x5 y x5 1 Esta equação não tem raiz em R , pois x5 0, para todo x real.

S{2}.

3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL

Definição 27: A função f : R R dada por f ( x ) xa (com a 0 e a 1) é denominada

função exponencial de base a .

3.3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NO PLANO CARTESIANO

Dada a função f : R R , definida por f ( x ) xa (com a 0 e a 1), temos dois casos para

traçar seu gráfico: (i) a 1 e (ii) 0a 1.

(i) a 1.


38

1) Traçar o gráfico de f ( x ) x2 .

x

f ( x ) x2

2 4

1

1 2

1

0 1

1 2

2 4

3 8

Obs.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência xa , ou seja, se a 1 a função xasf )( é crescente.

(ii) 0 a 1.

2) Traçar o gráfico de f ( x )

x

2

1.

x

f ( x )

x

2

1

3 8

2 4

1 2

0 1

1 2

1

2 4

1

Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência xa , ou seja, se 0a 1 a função xaxf )( é decrescente.

Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:

3.3.2 CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Seja f : R R , definida por f ( x ) xa (com a 0 e a 1).

Domínio da função f são todos os números reais D R .

Imagem da função f são os números reais positivos Im R .

A curva da função passa pelo ponto (0,1).

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5


39

A função é crescente para a base a 1.

A função é decrescente para a base 0a 1.

3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.

3.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:

Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

Verificar a base da exponencial, a 1 ou 0 a 1, aplicando as propriedades

abaixo.

Caso (i): a 1 Caso (ii): 0 a 1

ma na m n ma na m n

As desigualdades têm mesmo sentido As desigualdades têm sentidos diferentes

Exemplos:

1) Resolva a inequação x2 32.

Resolução

Como 52 32, a inequação pode ser escrita: x2 52 Caso (i): a 1.

x 5.

S{ x R ; x 5}.

2) Resolva a inequação xx 23 2

3 )( 1.

Resolução

xx 23 2

3 )( 1 xx 23 2

3 )(

03)( Caso (i): a 1.

3 2x 2 x 0

Tome f ( x )3 2x 2 x

f ( x )0 3 2x 2 x 0

0

3

2

2

1

x

x

S{ x R ; x 2/3 ou x 0}.

3) Resolva a inequação

3

2

1

x

72

2

1

x

.

Resolução 3

2

1

x

72

2

1

x

Caso (ii): 0 a 1.

x 32 x 7 x 10 (1) x 10.

S{ x R ; x 10}.

x023


40


1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão

celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.

a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?

b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias?

2) Resolva as equações:

a) 72821 x

b) 081

34 4

xx

3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:

a) 0273.2832 xx

b) xx 2.123222

c) 14

5

6416 x

x

4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3

x, determine x para que f(g(x)) = 2.

5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m3

e, inicialmente, esta cheio.

a) Após o 5o golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no

tanque?

b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n

golpes?

6) Resolva as inequações:

a) 43

552

xx

b)

513

3

1

3

1

xx

c) 1275,02 222 xX

7) Determine o domínio da função 12 2 xy

Respostas:

1) a) 800 bactérias

b) 9 horas

2) a) 3/2

b) 4

3) a) {0, 3}

b) {2, 3}

c) {1, 2}

4) x = 0

5) a) 0,59m3

b) f(n) = 1 . (0,9)n

6) a) }4,,1/{ xouxRx

b) }3/{ xRx

c) }0/{ xRx

7) }2/{ xRx


41

AULA 5

4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a 1, existe um único

número real x de modo que xa b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e

indica-se balog .

Podemos então, escrever: xa b x balog (1 a 0 e b 0).

Na igualdade x balog , temos:

a é a base do logaritmo;

b é o logaritmando ou antilogaritmo;

x é o logaritmo.

Exemplos:

Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:

1) 32log2 x .

x2 32 x2 52 x 5.

2) 16log4 x . x4 16 x4 24 x 2.

3) x8log 1.

18 x x 8.

4) 81log3 x .

x3 81 x3 43 x 4.

5) 1log5 x .

x5 1 x5 05 x 0.

Obs.1: blog significa b10log . Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 10.

4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Tome 1 a 0, b 0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se

verificar que:

O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.

1loga 0, pois 0a 1.

O logaritmo da própria base é igual a 1.

aalog1, pois

1a a .


42

O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. m

a alog m , pois ma ma .

O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . baa

logb , pois xa b x balog .

4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Logaritmo de produto

)(log yxa xalog yalog (1 a 0, x 0 e y 0).

Logaritmo de quociente

y

xalog xalog yalog (1 a 0, x 0 e y 0).

Logaritmo de potência m

a xlog m xalog (1 a 0, x 0 e m R ).

4.4 COLOGARITMO

Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1 a 0) é o logaritmo do inverso

desse número b na base a .

bco alog

ba

1log bco alog balog (1 a 0 e b 0).

Exemplo:

Sabendo que log 3 a e log 5b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .

log 15

log 15 log (35) log 3 log 5 a b .

log 675

log 675 log ( 33 25 ) log 33 log 25 3 log 32 log 53 a 2b .

log 2

log 2 log5

10 log 10 log 5 1b .

4.5 MUDANÇA DE BASE

As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em

muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única

base.

A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.

Seja:

balog x xa b .

Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:

x

c alog bclog x aclog bclog x a

b

c

c

log

log, mas x balog .

Então:


43

balog a

b

c

c

log

log (1 a 0, 1 c 0 e b 0).

Exemplos:

1) Sendo log 20,3 e log 30,4, calcule 6log2.

6log2

2log

6log

2log

)32log(

2log

3log2log

30

4030

,

,,

30

70

,

,

3

7.

2) Resolva a equação x2log x4log x16log 7.

A condição de existência é x 0.

Transformando para a base 2:

x2log x4log x16log 7

x2log 4log

log

2

2 x

16log

log

2

2 x7

x2log 2

log2 x

4

log2 x7

4

loglog2log4 222 xxx

4

28

7 x2log 28

x2log 4 42 x

x 16 16 satisfaz a condição de existência.

Logo, o conjunto solução é:S{16}.

3) Resolva a equação 2log ( x 2) 2log ( x 2)5.

Condições de existência são: x 20 e x 20 x 2 e x 2. Então: x 2.

2log ( x 2) 2log ( x 2)5

2log [( x 2)( x 2)]5

( x 2)( x 2) 52 2x 432 2x 36 2x 6 6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.

Logo, o conjunto solução é: S{6}.


44

4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função exponencial g : R R definida por g ( x ) xa (com 1 a 0) é bijetora. Nesse

caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.

Definição 30: A função f :R R definida por f ( x ) xalog (com 1a 0) é chamada

função logarítmica de base a .

4.6.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NO PLANO CARTESIANO

Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes

ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico

da função exponencial.

Seja f :R R , tal que y xalog e

1f : R R , tal que y xa . Os gráficos de f e

1f

serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.

(i) a 1.

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a 1).

(ii) 0 a 1.

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0 a 1).

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5

=y x

log xa=y

=y xa

3210

6

7

8

y

x-1-2 4-3-4

1

2

3

4

5

=y xa

=y x

log xa=y


45

4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a

incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos:

1) Resolva a inequação 21log ( x 3)

21log 4.

Condição de existência:

x 30 x 3 (i).

Base: (0 a 1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e

o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.

x 34 x 3 (ii).

A solução da inequação deve satisfazer as duas condições:

S{ x R ; 3 x 7}.

2) Resolva a inequação 4log ( 2x x ) 4log (2 x 10).

1a Condição de existência: 2x x 0 x 0 ou x 1 (i).

2a Condição de existência:

2 x 100 x 5 (ii).

Base: ( a 1). 2x x 2 x 10 2x x 2 x 100 2x 3 x 100 x 2 ou x 5 (iii).

A solução da inequação deve satisfazer as três condições:

S{ x R ; 5 x 2 ou x 5}.

3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto

tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use

10log 20,3).

p 0p (10,2) t p 0p (0,8) t p 0p

t

10

8

Procura-se p 2

0p, logo:

x

x

x

7

3(i)

(ii)

(i) (ii)

73

x

x

x(i)

(ii)

(iii)

x(i) (ii)

-2

(iii)

-5 0 1

5

-5

-2

0 1


46

2

0p 0p

t

10

8 ( 0p 0)

2

1

t

10

23

12 t32 t10

Aplicando 10log em ambos os membros, temos:

10log 12 10log ( t32 t10 )

10log 12 10log ( t32 t10 )

10log 12 10log t32 10log t10

10log 23 t 10log 2 t 10log 10

0,33 t 0,3 t

0,30,9 t t

0,30,1 t

t 3

O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos.


1) Resolva as seguintes equações:

a) log2 (x – 4) = 3

b) logx (3x2 – x) = 2

c) (log3x)2 – log3x – 6 = 0

d) log5(log3x) = 1

2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477,

calcule:

a) log 6 b) log 5

c) log 2,5 d) log 3

3) Qual o conjunto solução da equação

a) 2

1)1(log)13(log 42 xx

b) 2loglog 10010 xx

4) Determine o campo de existência da função

)2510(log)12(log)( 2

3

2

3 xxxxxf

5) Resolva as inequações:

a) log3(5x – 1) > log3 4

b) log2(x – 4) > 1

c) log12(x – 1) + log12(x – 2) 1

Respostas:

1) a) 12 b) ½

c) {1/9, 27} d) 243

2) a) 0,778 b) 0,699

c) 0,398 d) 0,2385

3) a) 1 b) 100

4) }5,,4,,3/{ xexouxRx

5) a) }1/{ xRxS

b) }6/{ xRxS

c) }52/{ xRxS


47

AULA 6

5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO:

Tome o arco dado na figura abaixo:

Arco para o conceito de seno e cosseno.

Seno de um arco é a ordenada do ponto P.

senON MP .

Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.

cos OM NP .

5.1.1 CONSEQÜÊNCIAS:

Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que 1

nem maiores que 1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre 1 e

1, o que nos permite concluir:

1 sen 1 e 1 cos 1

5.1.2 FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO

Função seno é a função que associa a cada arco x R o número senx R , ou y senx.

Função cosseno é a função que associa a cada arco xR o número xcos R , ou y xcos .

5.1.3 GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO

Para estudar a função seno ( y sen x ) e a função cosseno ( y cos x ) vamos variar x no

intervalo [0,2].

5.1.3.1 Função seno:

y sen x

GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.

A

P

O

N

M

AO O 2

3

4

6

2

32

1

1y

x


48

5.1.3.2 Conclusões

O domínio da função y sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .

A imagem da função y sen x é o intervalo [1,1], isto é, 1sen x 1.

Toda vez que somamos 2 a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor.

Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sen x é

p 2.

Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o

arco x .

Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a

função seno é periódica de período 2.

sen x sen( x 2 k ), k Z (Inteiros).

5.1.3.3 Seno é função ímpar

No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens

simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o

mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen( x )sen x .

Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que

f é uma função ímpar.

Como sen( x ) sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.

5.1.3.4 Função cosseno

y cos x

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO.

5.1.3.5 Conclusões

O domínio da função y cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .

A imagem da função y cos x é o intervalo [1,1], isto é, 1cos x 1.

O período da função y cos x é p 2.

Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o

arco x .

Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a

função cosseno é periódica de período 2.

cos x cos ( x 2 k ), k Z (Inteiros).

AO O 2

3

4

6

2

32

1

1y

x


49

5.1.3.6 Cosseno é função par

No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens

simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa.

Então, cos ( x ) cos x .

Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que

f é uma função par.

Como cos ( x ) cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.

Exemplos:

1) Construa o gráfico da função y 2 sen x , dando o domínio, a imagem e o período.

x sen x 2 sen x y

0 0 20 0

2

1 21 2

0 20 0

2

3 1 2(1) 2

2 0 20 0

Observando o gráfico, temos:

D R , Im [2,2], e p 2.

2) Construa o gráfico da função y cos2

x, dando o domínio, a imagem e o período.

2

x x cos

2

x y

0 0 1 1

2

0 0

2 1 1

2

3 3 0 0

2 4 1 1

Observando o gráfico, temos:

D R , Im[1,1], e p 4.

5.2 TANGENTE DE UM ARCO


O 2

2

32

1

1

y

x

2

2

O

23 4

1

1y

x


50

A

P

O

N

M

T

eixo das tangentes

ARCO PARA O CONCEITO DE TANGENTE.

Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).

tan AT .

5.2.1 CONSEQÜÊNCIAS

O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes.

Podemos dizer que tan só é definida se R e 2

k ( k Z ).

5.2.2 FUNÇÃO TANGENTE

Função tangente é a função que associa a cada arco xR , com x 2

k ( k Z ), o

número Rxtan , ou xy tan .

5.2.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE

Para estudar a função tangente ( y tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

Gráfico da função tangente.

5.2.4 CONCLUSÕES

O domínio da função y tan x é o conjunto dos números reais x R , com x 2

k ( k Z ),

isto é, D { x R / x 2

k , k Z }.

A imagem da função y tan x é o conjunto dos números reais.

AO O 2

3

4

6

2

32

1

1

y

x

0,58

1,73

1,73

0,58


51

Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função tangente assume o

mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

xy tan é p .

tan ( x k ) tan x , k Z .

5.2.5 TANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR

Como xx tan)tan( , para todo x real, com x 2

k ( k Z ), podemos afirmar que a

função tangente é ímpar.

5.3 COTANGENTE DE UM ARCO


Arco para o conceito de cotangente.

Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).

cot BC .

5.3.1 CONSEQÜÊNCIAS

O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes.

Podemos dizer que cot só é definida se R e k ( k Z ).

5.3.2 FUNÇÃO COTANGENTE

Função cotangente é a função que associa a cada arco x R , com x k ( k Z ), o número

cot x R , ou y cot x .

A

P

O

N

M

Ceixo dascotangentes

B


52

5.3.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE

Para estudar a função cotangente ( y cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE.

5.3.4 CONCLUSÕES

O domínio da função y cot x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ), isto

é, D { x R / x k , k Z }.

A imagem da função y cot x é o conjunto dos números reais.

Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função cotangente assume o mesmo

valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

xy cot é p .

cot ( x k ) cot x , k Z .

5.3.5 COTANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR

Como xx cot)cot( , para todo x real, com x k ( k Z ), podemos afirmar que a

função cotangente é ímpar.

5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO


Arco para o conceito de secante e cossecante.

AO O 2

3

4

6

2

3 2

1

1

y

x

0,58

1,73

1,73

0,58

A

P

O

N

M S

D


53

Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das

abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.

sec OS .

seccos OD .

5.4.1 FUNÇÃO SECANTE E COSSECANTE

Função secante é a função que associa a cada arco x R , com x 2

k ( k Z ), o

número sec x R , ou y sec x

Função cossecante é a função que associa a cada arco xR , com x k ( k Z ), o número

seccos x R , ou y seccos x .

5.4.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE

Para estudar a função secante ( y sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

Gráfico da função secante.

5.4.3 CONCLUSÕES

O domínio da função y sec x é o conjunto dos números reais Rx , com

)(2

Zkkx

, isto é, D { x R / x 2

k , k Z }.

A imagem da função y sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou

menores ou iguais a 1, isto é, Im{ y R / y 1 ou y 1}.

Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função secante assume o

mesmo valor. Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

y sec x é p 2.

sec ( x 2 k ) sec x , k Z .

AO O

2

3

4

6

2

3

2

1

1

y

x

1,151,41

2

1,151,41

2


54

5.4.4 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE

Para estudar a função cossecante ( y seccos x ) vamos variar x no intervalo [0,2].

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE.

5.4.5 CONCLUSÕES

O domínio da função y seccos x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ),

isto é, D { x R / x k , k Z }.

A imagem da função y seccos x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou

menores ou iguais a 1, isto é, Im{ y R / y 1 ou y 1}.

Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função cossecante assume o

mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função

y seccos x é p 2.

seccos ( x 2 k ) seccos x , k Z .

5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm

muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como

base o ciclo trigonométrico e um ângulo dado.

Funções trigonométricas no ciclo.

Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo :

O 2

3

4

6

2

32

1

1

y

x

1,151,41

2

1,151,41

2

AO

A

P

O

N

M S

D

Ceixo dascotangentesB

T

eixo das tangentes


55

senON ; cos OM ; tan AT ; cot BC ; sec OS e seccos OD .

Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo , podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas:

Funções adaptadas no ciclo.

Com as novas adaptações, temos as seguintes funções:

sen AB ; cos OA ; tanCD ; cot OE ; secOD e seccos OF .

Daí tiram-se três triângulos semelhantes:

OABOCDOEF .

Triângulos semelhantes.

5.5.1 USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

sen2 cos 2

1;

tan 21 sec 2

;

cot 21 seccos 2

.

5.5.2 USANDO SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS

Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os

triângulos:

Razões do triângulo para :

1

sec

cos

1 sec

cos

1;

1

tan

cos

sen tan

cos

sen.

C

B

O

A E

F

D

cos

cot

tansen

sec

cosse

c

1unidade

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

2 1


56


1

seccos

sen

1 seccos

sen

1;

1

cot

sen

cos cot

sen

cos.


1

seccos

tan

sec seccos

tan

sec;

1

cot

tan

1 cot

tan

1.

Exemplos:

Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que

seguem abaixo:

1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .

sen

sec

tan;

cos sec

1.


senseccos

1;

cos

seccos

cot.


sec

cot

seccos;

tancot

1.

5.5.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

A igualdade sen2 cos 2

1 é verdadeira para qualquer pertencente aos domínios das

funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica.

Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou

seja, após uma demonstração.

Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas

acima, que são identidades.

3 1

3 2

1 2

1 3

2 3


57

5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades

Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão

equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma

mesma expressão.

Exemplos:

Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:

1) tan2 sen

2 tan

2 sen

2

Levar do triângulo para :

tan2 sen

2 tan

2 sen

2

2

2

cos

sen sen

2

2

2

cos

sen sen

2

2

4

cos

sen

2

222

cos

cossensen

2

4

cos

sen

2

22

cos

)(sensen

2

4

cos

sen

2

4

cos

sen C.Q.D. (como queríamos demonstrar).

2) (1 cot )2(1 cot )

22 seccos 2

Todas as funções já se encontram no triângulo , basta desenvolver:

(1 cot )2(1 cot )

22 seccos 2

(1 cot )2(1 cot )

22 seccos 2

12 cot cot212 cot cot

22 seccos 2

22 cot22 seccos 2

2(1cot2)2 seccos 2

2 seccos 22 seccos 2

C.Q.D.

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

2 1

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

3


58

3) sec2 seccos

2 sec

2 seccos

2

Levar do triângulo para :

sec2 seccos

2 sec

2 seccos

2

sec 2

2

2

tan

sec sec 2

2

2

tan

sec

2

222

tan

sectansec

2

4

tan

sec

2

22

tan

)1(tansec

2

4

tan

sec

2

22

tan

)(secsec

2

4

tan

sec

2

4

tan

sec

2

4

tan

sec C.Q.D.

4)

seccos

sen1

sec

cos

Levar dos triângulos e para :

seccos

sen1

sec

cos

sen

sen

11

cos

1

cos

sen21 cos 2

sen2 sen

2 C.Q.D.

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

3 2

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

3 2 1


59

5)

cossec

seccos

sen cot

3

Levar dos triângulos e para :

cossec

seccos

sencot 3

seccos

cot

cot

seccosseccos

1seccos

cot 3

seccoscot

cotseccos

seccos

1seccos

22

2

cot 3 Obs: seccos 2

1 cot 2

seccos

cot 2

22 cotseccos

seccoscot

cot 3

seccos

seccoscot3

22 cotcot1

1

cot 3

cot 3

01

1

cot 3

cot 3 cot 3

C.Q.D.


1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< /2,

calcular cos x.

2) Para que valores de a temos,

simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a?

3) Dado 3

3cos x , com

x2

, calcule tg x.

4) Simplifique a expressão

g

gtg

cotsec

cot

.

5) Demonstre as seguintes identidades:

a) (1 + cotg2x)(1 – cos

2x) = 1

b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x

c) 2cos1

cos

2cos1

2 xtg

x

x

x

xsen

Respostas:

1) 4

7cos x

2) a = 0 ou a = -1

3) 2tgx

4) sec

CO

D

tansec

B

O

Acos

sen1

1 O

E

F

cot

cossec

1

21 3

1 2 3


60

AULA 7

6. POLINÔMIOS

6.1 FUNÇÃO POLINOMIAL:

Definição: Dados os números reais na, a n – 1, ... , a2, a1, a0, chamamos de polinômio na

variável x toda expressão da forma:

NnaxaxaxaxaxP nnn ,...)( 01

2

2

11

0

onde anxn, an-1x

n-1,...,a2x

2, a1x e a0 são os termos e an, an-1, ..., a2, a1 e a0 são os coeficientes do

polinômio.

Observações:

Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P) = n

Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.

Exemplos:

1) Assinale as expressões que representam polinômios?

( ) 3x3 + x + 1

( ) x-1

+ x

1 + 3

( ) 53 23 xx

( ) x5 + 3x – 7

( ) xx 4

2) Em função das variáveis k, m ou a, determinar os graus dos seguintes polinômio:

a. P(x) = kx2 + 3x + 7

b. P(x) = kx3 + mx

2 + 6x + 4

c. P(x) = (a2 – 1)x

3 + (a – 1)x

2 + 3x


61

6.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO:

É qualquer polinômio 01

2

2

11

0 ...)( axaxaxaxaxP nnn em que todos os

coeficientes são nulos.

0,...,0,00)( 11 aaaxP nn e 00 a

Notação: 0)( xP

6.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS:

Dados os polinômios 01

2

2

11

01 ...)( axaxaxaxaxP nnn e

01

2

2

11

02 ...)( bxbxbxbxbxP nnn , dizemos que P1(x) é idêntico a P2(x) se, e somente se,

an = bn, an-1 = bn-1,..., a1 = b1 e a0 = b0.

Assim:

111121 ,...,,)()( bababaxPxP nnnn e 00 ba

Exemplos:

1) Determinar a e b para que o polinômio P(x) = (a2 – 1).x

2 + (a – 1)x + b – a seja identicamente

nulo.

2) Determinar m, n e p para que P(x) = (m + n – 3)x2 + (m – n -1)x + n – p seja identicamente nulo.

3) Calcular os valores de m e n, de modo que x2 + x – 3 (m – n)x

2 + x – (m + n)


62

6.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:

O valor numérico do polinômio 01

2

2

11

01 ...)( axaxaxaxaxP nnn , para x igual

a um número qualquer é: 01

2

2

1

1 ...)( aaaaaP n

n

n

n

.

Na prática, para obter )(P , basta substituir x por em P(x).

Observações:

Quando P( ) = 0 é raiz de P(x).

Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de P(x) = x2 – 5x + 6

Como (1)n = 1, n N, P(1) é a soma dos coeficientes de P(x).

Exemplo: Se P(x) = 5x4 + 3x

3 – 2x

2 – 4x + 1, então P(1) =_______________ é a

soma dos coeficientes de P(x).

P(0) é igual ao termo independente de P(x)

Exemplo: Sendo P(x) = ax3 + ax

2 + ax + c e P(0) = - 7, determine a para que 1 seja

raiz de P(x).

6.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:

6.5.1 ADIÇÃO:


2

2

11


01

2

2

11

0 ...)( bxbxbxbxbxQ nnn , a soma de P(x) com Q(x) é dada por:

)()(...)()()()( 0011

1

11 baxbaxbaxbaxQxP n

nn

n

nn


63

6.5.2 SUBTRAÇÃO:


2

2

11


01

2

2

11

0 ...)( bxbxbxbxbxQ nnn , a diferença entre P(x) e Q(x) é dada por:

)()(...)()()()( 0011

1

11 baxbaxbaxbaxQxP n

nn

n

nn

Observação:

Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser necessariamente do mesmo grau.

Exemplos:

1) Dado os poliômios P(x) = x3+ 3x

2 – 7x + 8 e Q(x) = 2x

3 – x

2 + 6x – 7, determine 2P(x)+3Q(x)

2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações:

( ) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 5, então P(x) + Q(x) tem sempre grau 5.

( ) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 3, então P(x) – Q(x) tem sempre grau 3

( ) Se P(x) tem grau 5 e Q(x) tem grau 3, então P(x) + Q(x) tem grau 5

6.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:

O produto dos polinômios P(x) e Q(x) é o polinômio P(x).Q(x), obtido multiplicando-se

cada termo de P(x) por todos os termos de Q(x) e efetuando a redução dos termos semelhantes.

Exemplos:

1) Se P(x) = x3 + x

2 + x + 1 e Q(x) = x – 1, então P(x).Q(x) =

2) Dados P(x)= x2 – x + 1 e Q(x) = ax + b, determine a e b para que P(x).Q(x)2x

3-x

2 +x+1


64

3) Dados P(x) = x3 – 1 e Q(x) = ax

2 + b, determinar a e b, sendo P(0).Q(0) = 3 e Q(1) = 5.

6.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:

Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é obter

os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:

A(x) | B(x) .

R(x) Q(x)

A(x) B(x).Q(x) + R(x) e R(x) 0 ou gr(R) < gr(B)

Observações:

A(x) é o dividendo

B(x) é o divisor

Q(x) é o quociente

R(x) é o resto

Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata

Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B)

Exemplo: Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de

43)( 23 xxxA por 1)( 2 xxB

6.7.1 MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR – MÉTODO DE DESCARTES

Já vimos que, na divisão A(x) por B(x):

A(x) | B(x) .

R(x) Q(x)

Temos:

)()(

)()()(

)()().()(

BgrRgr

BgrAgrQgr

xRxQxBxA

Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes de um

polinômio em uma divisão.


65

Exemplos:

1) Determinar o quociente e o resto da divisão de A(x)=x3 + 2x

2 – 3x + 2 por B(x)=x

2 + x + 1

Temos:

O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:

gr(Q) = gr(A) – gr(B) = _________________________________

Logo:

Q(x) = _______________________________________________

Como gr(R) < gr(B), sendo o divisor B(x) = x2 + x + 1, então gr(B) = ______ e

gr(R)<____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________:

R(x) = __________________________

Como A(x) B(x).Q(x) + R(x), podemos escrever.

Comparando ambos os membros, temos:

Logo:

Q(x) =___________________________________ e R(x) = _______________________

2) Determinar k, de modo que x3 + kx + 3 seja divisível por x – 1

3) Determinar k e m de modo que x4 + 3x

3 + mx

2 + x + k seja divisível por x

2 + 3x


66

6.7.2 DIVISÃO DE POLINÔMIO POR BINÔMIOS DO 1O

GRAU:

6.7.2.1 Teorema do Resto:

O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a):

P(x) = (x – a).Q(x) + R

Fazendo x = a, vem:

P(a) = (a – a). Q(a) + R

P(a) R

6.7.2.2 Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0

P(x) = (x – a).Q(x) + 0

Fazendo x = a, vem:

P(a) = (a – a). Q(a) + o

P(a) = 0

Exemplos:

1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de P(x) = x3 + 3x

2 – kx + 4 por x – 2 seja 10.

2) Calcular a e b, de modo que os polinômios P(x) = x2 + ax – 3b e Q(x) = - x

3 + 2ax – b sejam

divisíveis por x – 1


67

6.7.2.3 Divisão de P(x) por (ax + b), a 0

Temos:

P(x) | ax + b

R Q(x)

Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante.

Fazendo a

bx em P(x) (ax + b).Q(x) + R, vem:

Ra

bQb

a

ba

a

bP

Ra

bP

Logo, o resto da divisão de P(x) por (ax + b) é

a

bPR

Exemplo:

Determinar k, de modo que P(x) = x3 + x

2 + kx – 2 seja divisível por 2x + 1


68


1) Calcule m R de modo que o polinômio

P(x)=(m3 – 1)x

4 + (m

2 – 1)x

2 + 5x – 7 seja do 1

o

grau em relação a x.

2) Determine m R, para que o polinômio

P(x)=(m2 – 16)x

2 + (m + 4)x + 4 seja de grau 2.

3) Calcule os valores de m, n e l para os quais

P(x)=(2m- 1)x3 – (5n -2)x

2 + (3 – 2l) seja

identicamente nulo.

4) Dados A(x) = (a + 1)x2 + (b – 1)x + c e B(x) =

ax2 + bx – 3c, calcule a, b e c para que A(x) +

B(x) 0

5) Determine os valores de m, n e p, de modo que

sejam idênticos os polinômios: P1(x) = (m + n +

p)x4 – (p + 1)x

3 + mx

2 + (n – p)x + n e P2(x) =

2mx3 + (2p + 7)x

2 + 5mx + 2m.

6) Determine os valores de a, b, c e d para que o

polinômio a(x – c)3 + b(x + d) seja idêntico ao

polinômio x3 + 6x

2 + 15x + 14.

7) Dado o polinômio P(x)=4x3 – x

2 + x – 1,

calcule:

a) )2(P

b) )0(

)1()1(

P

PP

c)

2

12

)0(3

1

P

PP

8) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em x,

sabendo que admite 2 como raiz e P(1) = - 2 e

P(3) = 4

9) Se P(x) = x6 – 12x

5 – 45x

4 + 2x

3 -32x

2 + 31x –

18, então P(15) é igual a :

10) Dados os polinômios P1(x) = 2x3 + mx

2 + nx +

3 e P2(x) = x2 + x – 3, se P1(x) é divisível por

P2(x), então m – n é igual a:

11) Dividindo um polinômio P(x) por (x – 3),

resulta um resto – 7 e um quociente de x – 4. Qual

é P(x)?

12) A divisão do polinômio P(x) por x – a fornece

quociente Q(x) = x3 + x

2 + x + 1 e resto P(a) = 1.

Sabendo-se que P(0) = - 15, o valor de a é:

13) Dados os polinômios P(x) = (m – 3)x3 + 3x –

2m e Q(x) = (m – 1)x3 + (m – 2)x

2 + (2m – 3)x,

determine P(x).Q(x) de modo que gr(P + Q) = 1.

14) Sabendo-se que 43

105

14 2

xx

x

x

B

x

A

, calcular A e B.

15) Se 64242

12

x

B

x

A

xx

x, então 2A

+ B é igual a:

16) Efetue a decomposição da fração, em soma de

frações com denominadores do 1o grau.

a) 65

132

xx

x

b) xxx

xx

23

416923

2

17) Um polinômio P(x) = x3 + ax

2 + bx + c que

satisfaz as condições: P(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0,

qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?

18) O resto da divisão do polinômio P(x) = x243

+

x81

+ x27

+ x9 + x

3 + x, por x – 1 é:

RESPOSTAS:

1) m = 1

2) m 4

3) 5

2;

2

1 nm e

2

3l

4) 2

1;

2

1 ba e c = 0

5) m = 1; n = 2 e p = - 3

6) a = 1, b = 3, c = - 2 e d = 2

7) a) 329

b) - 10

c) 27

140

8) P(x) = x2 – x – 2

9) – 3

10) 8

11) x2 – 7x + 5

12) 16

13) – x6 + 2x

4 – 4x

3 + 3x

2 – 4x

14) A = 2 e B = 3

15) 2

3

16) 3

10

2

7)

xxa

2

4

1

32)

xxxb

17) P(2) = 6

18) 6


69

AULA 8

6.7.2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:

O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o resto da

divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a)

Exemplos:

1) Obter o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x5 + 4x

4 + 3x

3 – 7x

2 – 2x + 3 por (x– 1)

Q(x)=_____________________________ e R(x)=________________________________

2) Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x4 + 5x

3 – 2x – 5 por (x + 3).

Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos.

Q(x) =_____________________________ e R(x) =________________________________

3) Dividir P(x) = - 2x3 – x

2 + 12x – 4 por (2x – 3)

Q(x) =_____________________________ e R(x) = _______________________________

R(x)

Repetir o primeiro coeficiente

valor de a

Coeficiente de P(x)


70

6.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS:

Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma:

0... 01

2

2

1

1

axaxaxaxa n

n

n

n

Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial P(x) = 0 todo o número , tal que

P( )=0

6.8.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM FATORES DO 1O

GRAU:

Se P(x) = 0 é de grau n (n 1) e tem raízes n ,...,, 21 , então P(x) pode ser decomposto

em n fatores do 1o grau, sendo an (an a1) o fator em evidência:

))...()((... 2101

2

2

1

1 nn

n

n

n

n xxxaaxaxaxaxa

6.8.2 RAÍZES MÚLTIPLAS:

As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.

Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto é, será

uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla e

assim sucessivamente.

Se o número for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado raiz

simples ou raiz de multiplicidade 1.

Exemplos:

1) Determinar a multiplicidade das raízes 1, 2 e – 3 na equação

01244593224 23456 xxxxxx

2) Mostrar que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equação x4 – 5x

3 + 0x

2 – 7x + 2 = 0


71

6.8.3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS:

Dada a equação polinomial com coeficientes inteiros

0... 01

2

2

1

1

axaxaxaxa n

n

n

n se o número racional q

p(com p Z e q Z

*, p e q primos

entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an

Exemplos:

1) Resolver a equação x3 + 4x

2 + x – 6 = 0

Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________

Se p, é divisor de a0, então p {________________________________________}

Se q, é divisor de an, então q {________________________________________}

Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão q

p, logo:

q

p{______________________________________________________________}

Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima.

2) Resolver a equação 043 23 xx .


72

3) Resolver a equação 2x4 – 5x

3 – 4x

2 + 15x – 6 = 0


1) Dados os polinômios

A(x) = 2x3 + x

2 – 10x + 5, B(x) = x

3 – 4x + 4,

C(x) = x – 3 e D(x) = x – 2, determine o valor

de:

)(

)()(2)(

xC

xDxbxA

2) Determine o valor de a para que o resto da

divisão do polinômio P(x)=ax3-2x+1 por (x-

3) seja 4.

3) Qual é o número real que se deve adicionar

a P(x)= x3 – 2x

2 + x, para se obter um

polinômio divisível por x – 3?

4) Aplicando o dispositivo prático de Briot-

Ruffini, calcule o quociente e o resto da

divisão de:

a) P(x)=x4–5x

3 + 2x

2 + 3x – 1 por (x-2)

b) P(x) = 2x3 – x

2 – 1 por (x – 1)

c) P(x) = 5x2 – 3x + 2 por (x + 3)

d) P(x) = 4x5 – 5x

4 + 1 por (x – 1)

e) P(x) = 2x3 – 3x

2 + x + 2 por (2x – 1)

f) P(x) = x2 – 2x + 1 por (2x – 3)

5) No esquema abaixo, foi aplicado o

dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule

P(x):

6) Resolver as equações algébricas abaixo:

a) x3 + 2x

2 – 13x + 10 = 0

b) x4 – 7x

3 + 13x

2 + 3x – 18 = 0

c) x4 – 5x

2 + 4 = 0

d) 2x3 – x

2 – 2x + 1 = 0

e) 3x3 – 13x

2 + 13x – 3 = 0

f) x(x – 4)2 + 10x(x – 2) – 8 = 0

g) xxx

xx

4

822

2

h) x6 – 6x

5 + 11x

4 – 6x

3 = 0

7) Determine todas as raízes da equação

0)( xP , sendo P(x) = 9x3 – 36x

2 + 29x – 6.

Sabe-se que é divisível por (x – 3).

8) Uma raiz da equação x3 – 4x

2 + x + 6 = 0 é

igual a soma das outras duas. As raízes dessa

equação são:

9) Determine o produto das raízes da equação

x3 – 6x

2 + 11x – 6 = 0

Respostas: 1) x

2 – x - 2

2) 3

1

3) – 12

4) a) Q(x)= x3-3x

2-4x-5 e R(x)= - 11

b) Q(x)=2x2 + x + 1 e R(x) = 0

c) Q(x)= 5x – 18 e R(x) = 56

d) Q(x)= 4x4 – x

3 – x

2 – x – 1 e R(x) = 0

e) Q(x)= 2x2 – 2x e R(x) = 2

f) Q(x) = 2

1x e R(x) =

4

1

5) P(x) = 2x4 – 7x

3 + 4x

2 – 5x + 7

6) a) {-5; 1; 2}

b) {-1,; 2; 3}

c) {-2; -1; 1; 2}

d) {-1; ½; 1}

e) {1/3; 1; 3}

f) {-2; 2}

g) {2}

h) {0; 1; 2; 3}

7)

3;3

2;

3

1

8){2, 3, -1}

9) S = 6 e P = 6

a b c d e

2 -1 1 -2 1


73

AULA 9

7. MATRIZES

7.1 DEFINIÇÃO:

São números dispostos em linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais), formando

uma tabela.

Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n

colunas (filas verticais).

Gastos de uma família (aproximadamente) - Renda Familiar R$

Descrição Outubro Novembro Dezembro Média

Supermercado 350 360 640 450

Saúde 80 40 12 44

Transporte 200 244 300 248

Vestiário 50 60 400 170

Higiene Pessoal 40 50 30 40

Lazer 20 60 10 30

Poupança 120 30 0 50

Totais 860 844 1392 1032

A tabela que você acabou de ver, podemos transformá-la numa matriz: onde os nomes

supermercado, saúde, transporte, vestiário, higiene pessoal, lazer e poupança são as linhas (7) e

outubro, novembro, dezembro e Média são as colunas (4). Assim você terá a matriz

74737271

64636261

54535251

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

, de ordem 7x4, que forma uma matriz com 28 elementos. Veja também:

a32=244, isso significa que 244 está ocupando a posição na 3ª. Linha e 2ª. coluna ; a44=170,

podemos dizer que 170 está na 4ª. Linha e 4ª. Coluna, etc.

7.2 NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ

1. Uma matriz de ordem 2x3:

232221

131211

aaa

aaaB .

Exemplo:

615

2

034D é uma matriz 2x3, com 6 elementos, onde a11=4, a12=-3, a21=2/5,

a13=0, a22=1, a23=6.


74

2. Uma matriz genérica de ordem nxn:

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

...............

...

...

...

321

3333231

22322`21`

1131211

A matriz A também pode ser indicada por mxnij )a(A

Exemplo:

Escreva a matriz 3x2ij )a(A tal que aij = 2i + j .

7.3 ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS

7.3.1 MATRIZ RETANGULAR: É A MATRIZ ONDE M N.

7.3.2 MATRIZ COLUNA: É TODA MATRIZ DO TIPO MX1.

Exemplo:

3

10M , matriz de ordem 2x1, isto é, 2 linhas e uma coluna.

7.3.3 MATRIZ LINHA: É TODA MATRIZ DO TIPO 1XN.

Exemplo:

8103C , matriz de ordem 1x4, isto é, uma linha e 4 colunas.

7.3.4 MATRIZ QUADRADA:

Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Assim, uma

matriz quadrada nxn é chamada de: matriz quadrada de ordem n

Diagonal Principal: seja a matriz quadrada )a(A ij de ordem n.

Os elementos aij com i = j, constituem a diagonal principal.

Diagonal Secundária - seja a matriz quadrada )a(A ij de ordem n.

Os elementos aij em que i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária.


75

Exemplo:

1.

20

71A é uma matriz quadrada de ordem 2x2;

2.

308

529

104

B é uma matriz quadrada de ordem 3x3.

7.3.5 MATRIZ DIAGONAL

É a matriz quadrada )a(A ij que tem os elementos aij = 0 quando i # j, ou seja, onde os

elementos fora da diagonal principal são nulos.

Exemplos:

800

070

002

A ;

10000

0300

0040

0009

B e

000

000

000

C

7.3.6 MATRIZ ESCALAR:

A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar.

7.3.7 MATRIZ IDENTIDADE:

Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n (indicada por In )

onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero.

Exemplos:

10

012I , matriz identidade de ordem 2;

100

010

001

3I , matriz identidade de ordem 3;

1000

0100

0010

0001

4I , matriz identidade de ordem 4, e etc


76

7.3.8 MATRIZ ZERO OU NULA:

Uma matriz zero é a matriz cujos elementos aij são todos nulos.

Exemplos:

00

00A e

000

000

000

B , etc.

7.3.9 MATRIZES IGUAIS

Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são

iguais, ou seja, os elementos correspondentes são iguais.

Exemplo:

30

15D e

30

15E logo D=E.

7.3.10 MATRIZES OPOSTAS:

Dada uma matriz A, chamamos de matriz oposta de A (indicamos por A) a matriz que é

obtida invertendo-se o sinal de cada um de seus elementos.

Exemplo:

13

07A a sua oposta é:

13

07A

7.3.11 MATRIZ TRANSPOSTA:

Dada uma matriz A de ordem m n , denominamos transposta de A (indicamos por At ) a

matriz de ordem n x m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas coluna de A.

Exemplo:

0110

864

752

A a sua transposta é

087

165

1042tA .

Diz-se que uma matriz A de ordem n é matriz simétrica, se ela é igual a sua transposta.

7.3.11.1 Propriedades da matriz transposta

i. AAtt

ii. tttBABA

iii. ttAA ..

7.3.12 MATRIZ SIMÉTRICA

É uma matriz quadrada nxnijaA , diz-se simétrica quando jiij aa para todo i, ni 1 ,

para todo j, nj 1 .


77

7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES:

7.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

A soma de duas matrizes ijaA e

ijbB é a matriz ijij baBA , ambas do

mesmo tipo mxn .

7.4.1.1 Propriedades:

i. A + (B + C) = (A + B) + C

ii. A + 0 = 0 + A = A

iii. –A + A = A – A = 0

iv. A + B = B + A

7.4.2 PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR:

Dados um número real e uma matriz A, mxn, o produto de por A é uma matriz B,

mxn, obtida multiplicando-se todos os elementos de A por .

Então: B = A onde bij = aij, i, i{1, 2,...,m) e j, j {i, 2, ...,n}


i. ( )A = ( A)

ii. ( + )A = A + A

iii. (A + B) = A + B

iv. 1 A = A

7.4.3 PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA:

Dada a matriz A = (aij)mxn e a matriz B = (bjk)nxp o produto A x B é a matriz (cik)mxp, tal que

o elemento cik é calculado multiplicando-se, ordenadamente, os elementos da linha i de A pelos

elementos da coluna k de B e somando-se os produtos assim obtidos.

Obs.: O produto de duas matrizes será compatível se o número de colunas da primeira for

igual ao número de linhas da segunda matriz. Na matriz produto, o número de linhas é igual ao

número de linhas da primeira matriz e o número de colunas é igual ao número de colunas da

segunda matriz, isto é: Se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp, então AxB é do tipo mxp.


i. A multiplicação de matrizes não é comutativa.

ii. A multiplicação de matrizes é associativa: (A.B).C=A.(B.C)

iii. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B+C)=A.B+A.C

iv. Multiplicação de um número real por uma matriz: BABA ....

v. Multiplicação pela matriz identidade: AAIIA nn ..

vi. nIA 0 , se A 0

vii. A1=A

viii. ,.1 AAA pp para pN

ix. AP=A.A.A.….A, p fatores

x. tttABBA ..


78

7.4.3.2 Comutatividade de Multiplicação de duas matrizes:

Em geral a existência do produto AB não implica a existência do produto BA.

Exemplo:

A (3,5) X B (5,6)

Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos são , em

geral, diferentes.

Existem matrizes A e B tais que AB = BA, porém essa não é a regra.

1º Caso:

75

23A e

10

01I

A.I = I.A = A

2º Caso:

27

311A e

117

32B

AB = BA = I

A matriz B é a inversa da matriz A e indicamos A -1

Assim, para saber se, dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, uma é inversa

da outra, basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I.

7.4.3.3 Matriz Involutiva

Uma matriz A quadrada é involutiva quando IA 2

7.4.3.4 Matriz anti-simétrica:

É uma matriz quadrada nxnijaA , diz-se anti-simétrica quando jiij aa para todo i,

ni 1 , para todo j, nj 1 .

Obs: Se A é simétrica então tAA ; os elementos da diagonal principal são todos

nulos.


79

7.5 MATRIZ INVERSA

7.5.1 DEFINIÇÃO

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma

inversa de A, se e somente se: nIABBA .. .

A inversa de uma matriz A existe se o 0det A .

7.5.2 PROPRIEDADES

i. 111..

ABBA

ii. tt AA 11

iii. 11.

1.

AA

iv. pp AA 11

7.6 MATRIZ ORTOGONAL:

Uma matriz M cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal.

M-1

= M T , isto é, M . M

T = M

T . M = I

Exemplo:

2

1

2

32

3

2

1

M e

2

1

2

32

3

2

1

TM fazendo a multiplicação da matriz M pela sua

transposta, obtemos a matriz Identidade, portanto, M é uma matriz ortogonal.

7.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:

A matriz quadrada ijaA , que tem os elementos aij = 0 para i j, é uma matriz triangular

superior.

7.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:

A matriz quadrada ijaA , que tem os elementos aij = 0 para i j, é uma matriz triangular

inferior.

Exemplos:

300

750

212

A

242

051

003

B A é uma matriz triangular superior e B inferior.


80

7.9 POTÊNCIA DE UMA MATRIZ:

Uma matriz quadrada ijaA , pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que

se resulta dessas operações, e que representa por An, é chamada potência n da matriz A.

7.10 MATRIZ PERIÓDICA:

Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se An = A, sendo n 2.

Se n é o menor inteiro para o qual An = A, diz-se que o período de A é n – 1.

7.11 MATRIZ IDEMPOTENTE:

Dada uma matriz periódica A, tal que A2 = A, diz-se que A é uma matriz idempotente. O

período da matriz idempotente é 2 – 1 = 1.

7.12 MATRIZ NIHILPOTENTE:

Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que Ap= 0,

diz-se que a é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que Ap= 0, diz que A é

uma matriz nihilpotente de “índice”p.

Exemplos:

1) Seja

455

343

112

A

455

343

112

455

343

112

455

343

1122 xA A matriz A é idempotente.

2) Seja

444

333

111

B

000

000

000

444

333

111

444

333

1112 xB B é nihilpotente de índice 2.

3) Seja

312

625

311

C

311

933

000

312

625

311

312

625

3112 xC


81

000

000

000

312

625

311

311

933

00023 xxCCC C é nihilpotente de índice 3


1) Sendo as matrizes

nmyx

nmyxA

32

e

101

68B , achar os valores de x, y,

m e n para que se tenha A=B.

2) Determine x e y, sabendo que as matrizes

yx

yx 52=

1

9são iguais.

3) Se

bayx

bayx=

31

15 , determine x,

y, a e b.

4) Sendo as matrizes

112

52A e

152y

yxyxB , calcule x e y de

modo que tBA .

5) Sejam as matrizes

16

40

323

24

tz

yx

z

yx

A e

136

140

323

245

B .

Se tt BA , determine x, y, z e t.

6) Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem

mxn. Demonstre que: tttBABA .

7) Dadas as matrizes

108

62A ,

01

23B e

42

63C , calcular:

a) CBA b) CBA

8) Determinar x, y e z sabendo que:

31

42

y

x+

13

321 z=

42

3 z.


413

121A e

12

34

52

B , o produto determine

AxB.


10

11A e

11

00B , calcule as matrizes

produtos:

a) A.B b) B.A c) A.B=B.A?

11) Se

21

11A , determine a matriz X tal

que 2. IXA .

12) Seja a matriz

114

131

211

A , determine

a matriz polinomial, IAA .5.3.2 2 .


71


4x9

24yA

2e

539

212B , calcular y e x de modo que

A seja igual a B.


47

59A e

9m

n4B calcular m e n para que a

matriz B seja inversa de A.

15) Uma matriz diagonal, de ordem 2, é

involutiva. Determine-a. (Sugestão: Faça

b

aA

0

0).

16) Determine o número bR, para que a

matriz

bb

bA

2

23, seja simétrica.

17) Seja a matriz 44xijaA , para a qual

4,1,

0

jisejia

a

ij

ii. Determine A e

At. A é simétrica?

18) Seja a matriz A, quadrada de ordem n.

Demonstre que A+At é simétrica.

19) Determine os números reais a, b, c, x, y e

z para que a matriz

cz

ybx

a

A

4

421

32

seja anti-

simétrica.

20 Dadas as matrizes:

147

695

832

A ,

490

524

173

B e

159

234

387

C ,

calcule:

a) A + B

b) C – A

c) 3A – 2B + 4C

21) Calcular o produto das matrizes:

a)

3752

1648A e

83

51

22

40

B .

b)

274

453

432

A e

z

y

x

X


311

110

011

A e

121

131

132

B , verificar se B é

inversa de A.

23) Calcule os valores de m e n para que as

matrizes A e B sejam iguais:

a)

312

158

m

nA e

36

758B

b)

36

440 22 nmA e

36

1341B

c)

24

87

xA e

25104

87

xB


614

832A ,

140

975B e

641

890C ,

calcular:

a) A + B

b) B + C

c) A + C

d) A – B

e) A – C

f) B – C

g) X = 4A – 3B + 5C

h) X = 2B – 3A – 6C

i) X = 4C + 2A – 6B


72

25) Dadas as matrizes:

95

47

13

21

A ,

3826

7531B ,

53

42C e

3235

0914

3113

8371

D , calcular:

a) AB

b) (AB)D

c) A(BD)

d) BA

e) (BA)C

f) B (AC)

26) Verifique se a matriz B é inversa de A.:

a)

125,0

5,05,25,0

15,15,0

A e

422

202

14412

B

b)

244

664

642

A e

5,011

5,15,22

5,125,1

B

27) Determine a matriz inversa da matriz

03

21A .

28) Seja a matriz

00

11A . Determine A

-1,

se existir.

29) Para cada matriz a seguir, determine A-1

,

se existir:

a)

32

11A

b)

211

12B


11

12A e

43

21B . Resolva a equação matricial

BXA . .


121

012A

e

246

200B , determine as matrizes X e

Y, de ordem 2x3, tais que

Byx

AYX2

32) Sendo

b

aA

2

1 com a+b=4, a.b=3 e

,ba 1 AB ,

y

xX e

1

2C ,

é verdade que:

(01) detA=1

(02) B=

11

23

(04) detA.detB=1

(08) Se A.X=C, então

5

7X

(16) Se B.X=

0

0, então

3

2X

(32) det(A+5.B)t=96


73

Respostas:

1) x=5; y=3; m=4 e n= -2

2) 4/7 e 11/7

3) 3, 2, 1 e –2

4) 7 e 5

5) x=2, y=3, z=1 e t=4

6) (A-B)t = (A + (-B))

t = A

t + (-1).B

t = A

t –

Bt .

7) a)

149

22 b)

65

142

8) 4, -1 e 4

9)

166

24

10)

11

11 e

21

00

11)

3

1

3

13

1

3

2

12)

281930

153619

161528

13) x = +/- 7 e y = 8

14) m = -7 e n = -5

15)

10

01,

10

01,

10

01,

10

01

16) 0 ou 2

17)

0765

7054

6503

5430

A , sim A é uma matriz

simétrica.

18) 19) a=b=c=0; x=-1 , y=0 e z=3

20) a)

3137

1119

9101

b)

292

8129

5115

c)

72657

20119

343740

21) a)

76

25, b)

zyx

zyx

zyx

274

453

432

22) Sim.

23) a) m = -6 e n = 5

b) m = +/- 9 e n = +/-3

c) x = 5

24) Verificar se houver dúvidas.

25) Verificar se houver dúvidas.

26) Se A.B = I, é inversa, caso contrário, não

é inversa.

27)

6

12

13

10

28) Não existe, pois a matriz é singular.

29)

12

131A , B

-1 não existe.

30)

65

22X

31)

123

13

23

13

2X

123

113

43

13

2Y

32) V, F,V,V,F,V, total: 45


71

AULA 10

8. DETERMINANTES

8.1 NOÇÃO:

Determinante de uma matriz quadrada M é um número associado a esta matriz, obtido

seguindo-se regras previamente estabelecidas.

8.2 NOTAÇÃO:

Representa-se o determinante de uma matriz

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

M por

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

ou

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

ou ainda det M.

8.3 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE:

Neste estudo o determinante será calculado através de regra prática. Para o cálculo do

determinante de uma matriz M de ordem n, temos:

a) Se M for de ordem 1, ou seja, M = (a11), então det M = |a11| = a11

Exemplo:

M = [-5], então det M = | -5| = -5

b) Se M for de ordem 2, ou seja,

2221

1211

aa

aaM , então det M = a11.a22 - a12, a21 (produto

dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal

secundária)

Exemplo:

2345254

32det

54

32

MM

c) Se M for de ordem 3, calcula-se o determinante de terceira ordem através da regra de

Sarrus, que consiste em:

1) Repetir as duas primeira colunas à direita da matriz ou as duas primeiras linhas

abaixo da matriz;

2) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os que aparecem dispostos

paralelamente em grupos de 3;

3) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e os que aparecem dispostos

paralelamente em grupos de 3;

4) Determinar a diferença da soma dos produtos do item (2) pela soma dos produtos

do intem (3).


72

Então, para:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

M , temos det M =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

=

= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 –

- a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33

Exemplo:

Calcular o determinante da matriz

353

642

101

M

8.4 ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA:

8.4.1 MENOR COMPLEMENTAR

Menor complementar de um elemento aij da matriz M, é o determinante que se obtém de

M eliminando a linha e a coluna que contém o elemento aij. Representa-se por: Dij.

Exemplo:

Determine o Menor Complementar, D22, D23 e D12 da matriz m, sendo:

534

213

421

M

Então: D32 =

23

41 2 + 12 = 14

D23 = 34

213 – 8 = - 5

D12 = 54

2315 – 8 = 7


73

8.4.2 COMPLEMENTO ALGÉBRICO OU COFATOR:

Complemento algébrico ou Cofator de um elemento aij, é o número que se obtém

multiplicando-se o menor complementar pelo fator (- 1)i + j

ij

ji

ij DC )1(

Então,para:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

M , o cofator C23,, será: 3231

121132

23 )1(aa

aaC

Exemplo:

Determine o Complemento Algébrio, C23, C31 e C12 da matriz M, sendo:

312

523

321

M

Então: C23 = (-1)2 + 3

. 12

21-1(1 – 4) = 3

C31 = (-1)3 + 1

.

12

231.(3 + 4) = 7

C12 = (-1)1 + 2

. 32

53-1.(-9 -10) = 19

8.5 REGRA DE LAPLACE:

O determinante de uma matriz quadrada M é igual á soma dos produtos dos elementos de

qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores.

Exemplos:

1) Desenvolva o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à primeira coluna, sendo:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

M

Então:

Det M = a11.(-1)1+1

.3332

2322

aa

aa + a21.(-1)

2+1.

3332

1312

aa

aa + a31.(-1)

3+1.

2322

1312

aa

aa


74

2) Calcular o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à segunda coluna, sendo:

1203

1435

3204

0321

M

8.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:

O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas

colunas; isto é, det M = det Mt

Exemplo:

2935

72 29

37

52

Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o

determinante é nulo.

Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo.

Se na matriz A duas linhas (ou colunas) tem seus elementos correspondentes

proporcionais, o determinante é nulo.

O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior), é igual ao produto

dos elementos da diagonal principal.

Exemplo:

122116

2000

3100

5310

7456

det xxxA

Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de

sinal, isto é, fica multiplicado por –1.

Exemplo:

8

1240

200

531

det A 8

200

1240

531

det A


75

Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou uma

coluna) da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número.

8

200

1240

531

det A .

Dividindo a segunda linha por 4, temos:

2

200

620

531

det 1 A , o resultado do determinante também fica dividido por 4.

824

200

620

531

4det xxA

Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna)

da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente

multiplicados por um número real diferente de zero.

Exemplo:

34

975

12104

421

det A se multiplicarmos a 1ªL por –4 e somar com a 2ªL, temos:

34

975

420

421

det A o determinante de A continua o mesmo.

8.7 REGRA DE CHIO:

A Regra de Chio consiste em eliminar as filas que se interceptam no elemento aij = 1, caso

exista, e:

a) Fazemos a diferença de cada elemento restante na matriz pelo produto dos elementos que

se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas do elemento considerado à linha

e coluna elimidadas;

b) Obteremos assim uma nova matriz cujo determinante, multiplicado por (-1)i+j

, é igual ao

da matriz inicial.

Exemplo:

Calcule, aplicando a regra de Chio, o determinante:

D =

10153

692

241

= (-1)1+1

6101215

4689

= 2

43

21

8.8 PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO:

Se M é uma matriz “Triangular”, isto é, quando todos os elementos acima ou abaixo da

diagonal principal são nulos, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, e


76

das propriedades sabemos que um determinante não se altera quando se somam aos elementos de

uma linha (coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente

multiplicados por um número real diferente de zero. Então, podemos deixar a matriz de forma

“Triangular”

Exemplo:

1)

127

895

642

det A resposta: - 128

2)

1322

1413

2101

2132

det

A resposta: - 55


77

8.9 MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS

8.9.1 MATRIZ SINGULAR:

Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é nulo, é uma matriz singular.

A matriz singular não tem inversa.

8.9.2 MATRIZ NÃO-SINGULAR:

Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é diferente de zero, é uma matriz não-

singular ou regular.

A matriz não-singular ou regular sempre tem inversa.

8.9.3 PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA:

i. Se a matriz A admite inversa (det A 0), esta é única.

ii. Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1

também é. A matriz inversa de A-1

é A.

iii. A matriz A é não-singular, sua transposta At também é. A matriz inversa de A

t é (A

-1)T.

iv. Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz

não-singular. A matriz inversa de AB é a matriz B-1

A-1

.

8.9.4 OPERAÇÕES ELEMENTARES:

i. Permutação de duas linhas (ou de duas colunas)

ii. Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real

diferente de zero.

iii. Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos

correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente

de zero.

Exemplos:

1) Encontrar a matriz inversa A-1

da matriz

41

20A .

Solução:

10

01.

41

20

dc

ba

10

01

.4.14.1

.202.0

dbca

dbca

10

01

.4.1.4.1

.22

dbca

dc

resolvendo os sistemas:

04

12

ca

c e

14

02

db

d ,

encontramos a matriz inversa

02/1

121A .


78

2) Determinação da matriz inversa usando o determinante e a matriz transposta dos cofatores:

Encontrar a matriz inversa A-1

da matriz

41

20A .

Solução:

Cálculo do determinante de A:

detA= 0.4-2.(-1)=2

Determinação da matriz dos cofatores da matriz A:

02

14

0.12.1

1.14.14

22

3

21

3

12

2

11

aa

aa

Dividir todos os elementos da matriz transposta formada pelos cofatores pelo detA:

2/02/1

2/22/4

Matriz inversa de A é:

02/1

121A

3) Usando o escalonamento: coloca-se à direita da matriz dada, a matriz identidade; faz-se o

escalonamento de modo que a matriz identidade passe a ocupar a posição da matriz dada.

A posição da matriz A será ocupada pela matriz identidade e na posição da matriz identidade

encontraremos a matriz inversa.

Exemplo:

352

224

312

A


79


1) Resolva as equações:

a) 60

123

312

132

xxx

b) 12

131

15

23

x

x

c) 8

12

21

23

x

x

x

d) 56

513

431

122

x

x

x

2) Encontrar a matriz inversa da matriz,

usando a matriz transposta dos cofatores .

a)

42

21A

b)

60

24B

3) Determinar a matriz inversa das matrizes:

(usar o escalonamento)

a)

435

231

712

A

b)

063

102

201

B

4) Determine a matriz inversa das matrizes:

35

712A

121

131

132

B

2113

3214

2213

2012

C

d)

152

224

132

D

Respostas:

1) a) x = 10

b) x = 2 ou 3

c) x = 4

d) x = 8

2) a) A-1

não existe! Det A = 0

b)

6/10

12/14/11B

3) a)

66/566/166/12

22/122/911/1

66/1966/1766/61A

b)

05/15/2

6/115/110/1

05/25/11B

4) a)

125

731A

b)

311

110

0111B

c)

2101

1010

0221

2011

1C

d) 1D não existe! Just. det D = 0.

Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides

83

AULA 11

9. SISTEMAS LINEARES

9.1 EQUAÇÕES LINEARES:

Entendemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a

equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b , onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais

ou complexos. a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Exemplos de equações lineares:

2x1 + 3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2, coeficientes 2 e 3,e termo independente 7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).

9.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

A um conjunto de equações lineares dá o nome de sistema de equações lineares:

mnmn3m32m21m1

3n3n333232131

2n2n323222121

1n1n313212111

b xa ... xa xa xa

.................................................................

.................................................................

b xa ... xa xa xa

b xa ... xa xa xa

b xa ... xa xa xa

9.3 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR:

Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema

linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução.

Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares.

9.4 SISTEMA COMPATÍVEL:

Um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem

raízes.

9.4.1 SISTEMA DETERMINADO:

Um sistema compatível é determinado quando admite uma única solução.

Exemplo:

2543

1832

yx

yx, é compatível e determinado, pois tem como raízes x = 3 e y = 4.


84

9.4.2 SISTEMA INDETERMINADO:

Um sistema compatível é indeterminado quando admite mais de uma solução (infinitas

soluções).

Exemplo:

20048

10024

yx

yx, é compatível e indeterminado, pois admite infinitas soluções.

(25,0), (24,2), (23,4), (22,6)...

9.5 SISTEMA INCOMPATÍVEL

Um sistema de equações lineares é incompatível quando não admite solução.

Exemplo:

1593

1293

yx

yx, é incompatível, pois a expressão 3x + 9y não pode ser simultaneamente

igual a 12 e igual a 15 para os mesmos valores de x e y.

9.6 CLASSIFICAÇÃO:

9.7 SISTEMAS EQUIVALENTES:

Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando admitem a mesma solução.

Exemplo:

1242

4263

yx

yx e

62

142

yx

yx

são equivalentes, pois admitem a mesma solução x = 10 e y =2

Sistema

Possível ou compatível, admite solução:

Determinado: admite um única

solução.

Indeterminado: admite mais de

uma solução

0.x = 0

Incompatível ou Impossível: não admite solução


85

9.7.1 OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES:

Existe um conjunto de operações que podemos realizar entre as equações de um sistema

linear para transformá-lo em um outro sistema equivalente.

i. Permuta de duas equações;

ii. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;

iii. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por

um número real diferente de zero.

9.8 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:

Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos, o

sistema é chamado homogêneo.

0839

0583

0427

0352

zyx

zyx

zyx

zyx

Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução; essa solução denominada

solução trivial, é, qualquer que seja o sistema, xi = 0, xi representando as variáveis e i = 1, 2, 3,...,

m.

9.9 SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:

9.9.1 REGRA DE CRAMER:

Dado o sistema:

mnmn3m32m21m1

3n3n333232131

2n2n323222121

1n1n313212111

b xa ... xa xa xa

.................................................................

.................................................................

b xa ... xa xa xa

b xa ... xa xa xa

b xa ... xa xa xa

onde m é o número de equações e n o número de incógnitas.

A resolução desse sistema, quando m = n, se faz através da regra prática de Cramer, que

consiste em:

1o) Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes.

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

D

...

...............

...

...

...

321

3333231

22322`21`

1131211

2o) Se D 0, o sistema é determinado – admite uma única solução, dada por:


86

D

Dxx 1

1 , D

Dxx 2

2 , D

Dxx 3

3 , . . . , D

Dxx n

n , onde

nnnnn

n

n

n

aaab

aaab

aaab

aaab

Dx

...

...............

...

...

...

32

333323

22322`2

113121

1 ;

nnnnn

n

n

n

aaba

aaba

aaba

aaba

Dx

...

...............

...

...

...

31

333331

223221`

113111

2 , . . .

ou seja, Dx é o determinante que se obtém substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a

coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes das respectivas equações.

3o) Se D = 0 e todos os Dx forem nulos, o sistema é indeterminado.

4o) Se d = 0 e existir pelo menos um Dx 0, o sistema é impossível

Exemplos:

1) Resolva, pela regra de Cramer

245

1223

yx

yx

2)

423

432

132

zyx

zyx

zyx


87

9.9.2 RESOLUÇÃO POR ESCALONAMENTO DE MATRIZES:

Método de Gauss ou Escalonamento – aplicação a forma matricial. Ele consiste em:

a) Anular os coeficientes da 1a incógnita comparando a 1

a equação com as demais.

b) Anular os coeficientes da 2a incógnita comparando a 2

a equação com as restantes, exceto a

1a.

c) Anular os coeficientes da 3a incógnita comparando a 3

a equação com as restantes, exceto a

1a e 2

a.

E assim sucessivamente.

Exemplos:

1) Resolva o sistema

123

23

3232

zyx

zyx

zyx


88

2) Resolva o sistema

622

623

4

zyx

zyx

zyx


89

3) Resolver o sistema

123

922

32

zyx

zyx

zyx


90

4) Resolver o sitema

1

5

0

3

zyx

zyx

yx

zyx


91


1)

623

622

4

zyx

zyx

zyx

2)

02

2072

4754

zyx

zyx

zyx

3)

12

0

02

ty

yx

tx

4)

0652

088

023

zyx

zyx

zyx

5)

523

223

22

1

zyx

zyx

zyx

zyx

6)

82

1

5

yx

yx

yx

7)

12

32

2

zyx

yx

zyx

8)

33

62

12

0

tyx

tzy

tyx

tzyx

9)

243

52

0

zyx

zyx

zyx

10)

065

043

02

02

zyx

zyx

zyx

zyx

11)

13

5

0

3

zyx

zyx

yx

zyx

Respostas:

1) {3; 2; 1}

2)

12;3

32;

3

100

3)

5

2;

5

1;

5

1

4) indeterminado

5) impossível

6) {3;2}

7) {1;-1;2}

8) {2; -1; 1; -2}

9) impossível

10) {0; 0; 0}

11) {1; -1; 3}


71

AULA 12

10. LIMITES

10.1 NOÇÃO INTUITIVA:

Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita

(valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor

correspondente de y.

x y = 2x + 1 x y = 2x + 1

1,01 0,6

1,02 0,7

1,03 0,9

1,04 0,95

1,1 0,98

1,2 0,99

Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando

x tende para 1 (x1), y tende para _____ (y_____), ou seja:

3)12(lim 1 xx

De forma geral, escrevemos:

bxfax )(lim

10.1.1 PROPRIEDADES:

1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax

2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax

3. )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

axax

4. *

0 ,)(lim)(lim Nnxfxfn

ax

n

ax

5. *,)(lim)(lim Nnxfxf nax

nax

6. )(lim))((lim xfsenxfsen axax

Exemplos:

1) )3(lim 32

1 xxx

2) )cos(lim 3 xxx


72

3)

10

coslim

20x

xx

4)

22

1 )3(lim xx

5) 1lim 23

2 xxx

6) )3(lim 2

1 xxsenx

7) )432(lim 2

2 xxx

8)

2

4lim

2

2x

xx

9)

9

34lim

2

2

3x

xxx

10)

1

45lim

2

1x

xxx

11)

1

23lim

2

3

1x

xxx

12)

x

xx

33lim 0

13) )43(lim 3

1 xxx


73

14) )(coslim 0 senxxx

15)

4

8lim

2

3

2x

xx

16)

1

1lim 1

h

hh

17)

t

tt

5325lim 0

18)

t

tt

16)4(lim

2

0

19)

1

23lim

2

2

1x

xxx

20)

x

xxx

11lim 0

21)

1

1lim

5

4

1x

xx


74


1) )15(lim 23

1 xxxx

2) )342(lim 23

1 xxxx

3)

)1224(lim 23

2xxx

x

4)

5

45lim

2

2

2x

xxx

5)

2

107lim

2

2x

xxx

6)

3

32lim

2

3x

xxx

7)

12

34lim

5

3

1xx

xxx

8)

6

36lim

2

6x

xx

9)

2

32lim

5

2x

xx

10)

27543610

27188lim

234

234

3xxxx

xxxx

11)

42

2lim 2

x

xx

12)

2

4lim 4

x

xx

13)

x

xx

42lim 0

14)

1

32lim 1

x

xx

15)

11

lim 0x

xx

16)

2

321lim 4

x

xx

17)

1153

2232lim

2

2

2

xx

xxx

Respostas

1) 8

2) 4

3) 526

4) -10

5) -3

6) -4

7) 3

1

8) 12

9) 80

10) 2

11) 0

12) 4

13) 4

14) 4

1

15) 2

16) 3

4

17) 14

5


75

AULA 13

10.2 LIMITES INFINITOS:

Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grande

quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito.

xxlim ou xxlim

10.2.1 IGUALDADES SIMBÓLICAS:

10.2.1.1 Tipo Soma:

a. (3) + ( ) =

b. (+ ) + (+ ) = +

c. - + (- ) = -

d. - = indeterminado

10.2.1.2 Tipo Produto:

a. 5 x ( ) =

b. (-5) x ( ) =

c. (+ )x(+ ) = +

d. (+ )x(- ) = -

e. x 0 = indeterminado

10.2.1.3 Tipo Quociente:

a. 0

c

b.

c

c. 00

d.0

0 e

indeterminado

10.2.1.4 Tipo Potência:

a. c (c>1)

b. 0c (0<c<1)

c. 00

d. 0c

e. )(

f. c)( (se c for ímpar)


76

g. c)( (se c for par)

h. 0)(

i. 0)( c

j. 00 = indeterminado

k. 0)( indeterminado

l. 1 indetermindado

Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de

maior grau.

Exemplos:

1) )13(lim 2 xxx

2)

432

1245lim

2

2

xx

xxxx

3)

3

543lim

2

2

xx

xxx

4) xlim

34

5

6

2

x

x

5)

132

18lim

4

4

xx

xxx

6) )11(lim 22 xxxxx


77


1) )1235(lim 23 xxxx

2) )122(lim 245 xxxx

3) )123(lim 24 xxx

4) )853(lim 24 xxx

5) )235(lim 3 xxx

6) )23(lim 2 xxx

7)

3

132lim

2

23

xx

xxxx

8)

1

12lim

2

2

x

xx

9)

3

3lim

2x

xx

10)

359

1253lim

23

23

xxx

xxxx

11)

784

852lim

5

23

xx

xxx

12)

7

125lim

23

x

xxx

13)

33

2

)1(

1lim

xx

xxx

14)

1

1lim

2

x

xxx

15)

1

1lim

2

x

xxx

16)

1

532lim

4

2

x

xxx

17)

1

532lim

4

2

x

xxx

18) )43(lim 2 xxxx

19) )43(lim 2 xxxx

Respostas:

1) +

2) -

3) -

4) +

5) +

6) -

7) +

8) 2

9) 0

10) 3

1

11) 0

12) +

13) 3

1

14) 1

15) -1

16) 2

17) 2

18) 2

3

19) +


78

AULA 14

10.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS:

1lim 0 x

senxx

Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que:

Usando valores de x 0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próximos.

Exemplos:

1) x

xsenx

3lim 0

2)

20

cos1lim

x

xx

3) xsen

xsenx

2

5lim 0

4)

xsenxsen

senxxsenx

42

5lim 0

x Senx

0,008 0,008

0,006 0,006

0,004 0,004

0,002 0,002

0,001 0,001


79

5)

xsenx

xsenxx

9

23lim 0

6) x

tgxx 0lim

7)

x

xx

cos1lim 0

8) )(

)(lim 0

nxsen

mxsenx


80


1) x

xsenx

2

3lim 0

2) x

senxx

4lim 0

3) x

xtgx

3

2lim 0

4) xsen

xsenx

3

4lim 0

5) xtg

xtgx

5

3lim 0

6)

xsenx

xx

cos1lim 0

7)

20

sec1lim

x

xx

8)

x

senxtgxx 0lim

9)

tgx

xsenxx

1

coslim 0

10)

xsen

senxtgxx 20lim

11)

senxx

senxxx 0lim

12)

xsen

xxx

4

3cos5coslim 0

13)

senx

xsenxsenx

23lim 0

14)

x

senaaxsenx

)(lim 0

15)

203

2cos1lim

x

xx

Respostas:

1) 3/2

2) ¼

3) 2/3

4) 4/3

5) 3/5

6) ½

7) – ½

8) 2

9) -1

10) 0

11) 0

12) 0

13) 1

14) cos a

15) 2/3


81

AULA 15

10.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:

ex

x

x

11lim (1)

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número

irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818

Nota-se que a medida que x ,

x

x

11 e

De forma análoga, efetuando a substituição yx

1 e

yx

1

temos:

ey y

y

1

0 )1(lim (2)

Ainda de forma mais geral, temos:

(3) kly

l

y eky )1(lim 0

(4) kl

lx

x ex

k

1lim

(5) ax

a x

x ln1

lim 0

(6) 11

lim 0

x

e x

x

Exemplos:

1)

x

xx

43

1lim

X

x

x

11

1 2

2 2,25

3 2,3703

10 2,5937

100 2,7048

1000 2,7169

10000 2,7181

100000 2,7182


82

2) x

x x3

0 )21(lim

3)

x

x

x2

13lim 0

4)

xsen

e x

x2

1lim 0

5)

x

xx

25

1lim

6) x

x x2

0 21lim

7)

x

x

x

12lim 0

8)

1

3lim 0 xx

e

xsen

9)

xsen

e x

x4

1lim

3

0

10)

xsen

x

x2

13lim

5

0

11)

26

413loglim 2

x

xx


83


1)

2

4

2

2

3lim x

x

x

2)

1

1

1lim x

x

x e

3)

2

45

4

2

1lim

x

xx

xe

4)

45

23loglim

2

2

31xx

xxx

5)

21

3lnlim 3

x

xx

6)

xx

xxx 2

3

0 loglim

7)

x

xx

21

1lim

8)

311lim

x

xx

9)

21

1lim

x

xx

10)

31

1lim

x

xx

11)

x

xx

41lim

12)

x

xx

32

1lim

13)

x

xx

32

1lim

14) x

x x1

0 )41(lim

15) x

x x2

0 )31(lim

16)

3

1

4lim

x

xx

x

17)

2

3

1lim

2

2x

xx

x

18)

x

xx

x

12

32lim

19)

x

xx

2

)1ln(lim 0

20)

x

xx

3

)21ln(lim 0

Respostas

1) 81

2) e2

3) e-12

4) -1

5) ln4

6) 0

7) e2

8) e1/3

9) e

10) e

11) e4

12) e6

13) e-6

14) e4

15) e-6

16) e-3

17) e4

18) e

19) ½

20) 2/3


84

AULA 16

10.5 LIMITES LATERAIS:

Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para x

tendendo a a, ou seja, queremos calcular:

Limite lateral à direita

?)(lim xfax

Limite lateral à esquerda

Vejamos como proceder em cada caso:

Limite a direita (quando x a+)

Fazemos a seguinte troca de variável:

x = a + h, com h > 0

x a, devemos ter h 0

Exemplo:

)43(lim 2 xx

Limite a esquerda (quando x a-)

Fazemos a seguinte troca de variável:

x = a – h, com h > 0

x a devemos ter h 0

Exemplo:

)43(lim 2 xx

O Limite de uma função existe quando )(lim)(lim xfxf axax

?)(lim xfax


85


1) )13(lim 2

2xx

x

2)

2

43lim

3 x

xx

3)

13

235lim

2

1 x

xxx

4)

23

105lim

2

2

3 xx

xxx

5) )31(lim

3x

x

6)

2lim

2 x

xx

7) )3(lim 2

2xx

x

8) )3(lim 2

2xx

x

9)

2

3lim

2 x

xx

10)

2

3lim

2 x

xx

11)

x

x

1

02lim

12)

x

x

1

02lim

13)

x

x 10

21

4lim

14)

x

x 10

21

4lim

15) Calcule os limites laterais solicitados.

a)

1x se14x

1x se 2

x se x

xf

123

)(

)(lim1

xf x

, )(lim1

xf x

, )(lim1

xfx

b)

2 x se1-x

2x se 0

x se x

xf

21

)(

2

)(lim2

xf x

e )(lim2

xf x

c)

2 x se7-6xx-

2x se 1

x se 1-3x-x

xf

2

22

)(

2

)(lim2

xf x

e )(lim2

xf x

Respostas:

1) 9

2) 1

3) 2

4) 26

5) 1

6)

7) 10

8) 10

9) -

10) +

11) 0

12) +

13) 4

14) 0

15) a) 1 e 5

b) 1 e -3

c) 1 e 1


86

AULA 17

11. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS

11.1 INTRODUÇÃO:

Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas

horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.

Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função,

onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta,

pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função

11.2 ASSÍNTOTA VERTICAL

Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

i. )(lim xf

ax

ii. )(lim xf

ax

iii. )(lim xf

ax

iv. )(lim xf

ax

11.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL

Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

i. bxfx )(lim

ii. bxfx )(lim

Exemplos:

1) Seja a função)1(

2)(

xxf . Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela existirem.


87

2) Considere a função 2)2(

43)(

xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se

ela existirem.

12. FUNÇÕES CONTÍNUAS

12.1 DEFINIÇÃO:

Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições:

i. )(af

ii. )(lim xfax

iii. )()(lim afxfax

Exemplos:

Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:

1) xxxf 352)( em x = 4


88

2) 2

|2|)(

xxf em x = 2

3)

33

32

31

)(

2

xsex

xse

xsex

xf em x = 3


89


Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo, faça um esboço do gráfico da função:

1) 3

5

xy

2) 1

13

x

xy

3) x

y2

4) 2)1(

2

xy

5) 2

31

xy

Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados

6)

31

33

|3|

)(

xse

xsex

x

xf em x = 3

7) 3

9)(

2

x

xxf em x = 3

8) 53)( xxf em x = 2

9)

23

215)(

2

xsex

xsexxxf em x = 2

Respostas

1) x = 3 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assintota horizontal

2) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 3 é a assintota horizontal

3) x = 0 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal

4) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal

5) x = 2 é a equação da assíntota vertical e y = - 1 é a assíntota horizontal

6) a função não é contínua

7) a função é continua

8) a função é contínua

9) a função não é contínua


90

AULA 18

13. DERIVADAS

13.1 INTRODUÇÃO:

O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo

de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à

Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências

naturais como humanas.

O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da

realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução

de problemas cotidianos.

13.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO:

Seja f uma função representada no gráfico abaixo:

Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado

ponto, vamos supor P(x, f(x)).

Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos

encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)).

y

xx

f x( )

y

xx

f x( )


91

Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre

as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de

trigonometria no triângulo retângulo.

Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q.

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

R

Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr

PR

QRtgmm sPQ

h

xfhxfms

)()( (i) inclinação da reta secante

Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta

s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero.

y

x

Q

P

x x + h

f x( )

f x+h( )

f x( )

s

RQ3

Q2

Q1

Logo:

h

xfhxfm

mm

xt

sxt

)()(lim

lim

0

0

onde m representa o coeficiente angular da reta tangente.

Esse limite quando existe é chamado Derivada de t


92

13.3 DEFINIÇÃO:

Seja uma função f: D R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x).

Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ R tal que:

x

xfxxfxf x

)()(lim)(' 0

Exemplo:

1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2

2) Seja a função f: R R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f:

3) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x3


93

13.3.1 OUTRAS NOTAÇÕES PARA A FUNÇÃO DERIVADA:

y’ (lê-se: derivada de y)

y’x (lê-se: derivada de y em relação a x)

dx

dy (derivada de y em relação a x)

Df (derivada de f)

13.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA;

A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um

instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressão que nos dá o

espaço (posição) em função do tempo, s=f(t).

Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao

tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um

espaço S em um intervalo de tempo t , a velocidade é dada pelo quociente t

Sv

, que é uma

razão constante.

Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em

tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea.

Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que sua

velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro

constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a

velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos em percorrê-los

é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro

do veículo denominamos velocidade instantânea.

Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória

retilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe uma

posição S2.


94

Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é 12 SSS ou

)()( 12 tftfS e que o tempo gasto para percorrê-lo é 12 ttt .

Logo, sua velocidade média neste percurso é:

12

12

12

12 )()(

tt

tftf

tt

SS

t

SVm

Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero

podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1, dada por:

12

120

)()(limlim

tt

tftf

t

SV t

Mas tttttt 1212 e considerando t1 um instante genérico t, temos ttt 2 ,

logo:

t

tfttfV t

)()(lim 0

que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja:

Se S = f(t) então S’(t) = v

Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= f(t), o

que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante

qualquer, isto é:

Se v = f(t) então v’(t) = a

Onde a é a aceleração instantânea do móvel.


95

13.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO:

Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas.

1) f(x) = c f’(x) = 0

2) f(x) = xn f’(x) = n.x

n-1

3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’

4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’

5) v

uxf )(

2

'')('

v

uvvuxf

6) f(x) = un f’(x) = n.u

n-1.u’

7) f(x) = au f’(x) = a

u.ln a.u’

8) f(x) = eu f’(x) = e

u.u’

9) f(x) = ln u u

uxf

')('

10) f(x) = log a u au

uxf

ln.

')('

11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u

12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u

13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u

14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u

15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u

16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u

17) f(x) = uv f’(x) = v.u

v-1.u’ + u

v.v’.ln u

)'.ln'()(' uu

vuvuxf v

18) f(x) = arc sen u 21

')('

u

uxf

19) f(x) = arc cos u 21

)('u

uxf

20) f(x) = arc tg u 21

')('

u

uxf


96

13.5.1 DERIVADA DE FUNÇÃO ALGÉBRICA:

Exemplos:

1) y = 4x2 – 2x

2) 7

3

5

7 2

x

y

3) 3 2xy

4) 1

2

x

xy

5) )1)(32( 2xxxy

6) 52 )3( xy

7) 21 xy

8) 34

2

xy


97


1) y = 5X4 – 3X

3 + 2X

2 + 3X + 5

2) y = 7x4 -2x

3 + 8x

3) xxx

y 42

5

3

2 23

4) 3

7

xy

5) 5

4

xy

6) xxy 2

7) 44 35 2 xxxy

8) xxy 612 3

9) 53

1

xy

10) 72

53

x

xy

11) 55

322

xx

xy

12) 2

232

2

xx

xxy

13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x

2)

14) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x

2)

15) y = (2x2 – 4x + 8)

8

16) y = (3a- 2bx)6

17) 3 3bxay

18) 3 22 )52( xy

19) xaxay )(

20) 45 xxy

21) 56

52

3

x

xy

22) 42

1

2

xx

xy

23) x

xy

1

1

24) xa

xay

Respostas:

1) y’ = 20x3 – 9x

2 + 4x + 3

2) y’ = 28x3 – 6x

2 + 8

3) y’ = 2x2 + 5x – 4

4) 4

21'

xy

5) 6

20'

xy

6) x

xxy

2

4'

2

7) 3

45 34

4

3

5

2' x

xxy

8) x

xy3

18'

9) 25309

3'

2

xxy

10) 2)72(

31'

xy

11) 22

2

)55(

2562'

xx

xxy

12) 22

2

)2(

42'

xx

xy

13) y’ = 40x4 + 12x

2 + 4x

14) y’ = 30x4 – 12x

3 – 24x

2 + 8x + 2

15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)

7

16) y’ = -12b(3ª-2bx)5

17) 3 23

2

)('

bxa

bxy

18) 3 2523

20'

x

xy

19) xa

xay

2

3'

20) 452

815'

x

xy

21) 32

23

)56(

10456'

x

xxy

22) 32 )42(

3'

xxy

23) )1(1

1'

2 xxy

24) 2)(

'xax

ay


98

AULA 19

13.5.2 DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS:

Exemplos:

1) xy 3

2) xey

3) xxey 22

4) axexy 2

5) 1

1

x

x

e

ey

6) xy 3log

7) )1(log 2 xy a

8) xx

xx

ee

eey


99


1) y = 3x

2) y = e – x

3) 8xey

4) 12 xxey

5) xxy 22

7

6) x

ey

x

7) xxy )1(

8) 13

)1( xxy

9) xy 3ln

10) 3log4 xy

11) 2

2

1ln

x

xy

12) x

xy

1

1ln

13) 229ln xy

14) xx

yln

1

15) xey x ln

16) 22 ln xxy

17) x

xy

ln

Respostas:

1) 3ln3' xy

2) xey '

3) 8

.8' 7 xexy

4) )12.(' 12

xey xx

5) )22.(7ln.7' 22

xy xx

6) 2

)1('

x

xey

x

7) )1ln()1()1(' 1 xxxxy xx

8) )1ln(.3.)1()1)(1(' 213 33

xxxxxy xx

9) x

xy

2ln3'

10) 10ln

12'

xy

11) )1(

2'

2xxy

12) 2)1(

2'

xy

13) 229

2'

x

xy

14) 2)ln(

1ln'

xx

xy

15)

xxey x 1

ln'

16) )1(ln2' 2 xxy

17) 2

ln1'

x

xy


100

AULA 20

13.5.3 DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

Exemplos:

1) y = sen 5x

2) y = 3cos 2x

3) y = tg 3x

4) y = sec 4x

5) y = tg x3

6) y = tg2 x

7) y = cotg(1 – 2x2)

8) y = x2cosx

9) y = sen2x.cosx

10) x

xy

cos

11) x

xy

2arccos


101

AULA20 - EXERCÍCIOS

1) y = cossec 7x

2) y = sen3x + cos2x

3) y = sen5x

4) y = 5sen3x

5) 3 3xtgy

6) 12 xseny

7) xxe

xy

cos

8) xxy )(cos

9) x

senxy

cos

10) 34xsenxey x

11) xy 3sec

12) xesenxxy .2

13) xarcseny 3

14) x

arctgy1

15) )23( xarcseny

16) 22xarctgy

17) )25( 3xarcseny

18) )1(cot 2xgarcy

19) 3sec xarcy

20) )1sec(arccos xy

21) arcsenxxy 2

22) arctgxxy .

23) xy arccosln

Respostas

1) y’ = -7cossec7x.cotg7x

2) y’ = 3cos3x-2sen2x

3) y’ = 5sen4x.cosx

4) y’ = 15sen2x.cosx

5) xsenx

xtgy

3.3cos

3'

3

6) 12

12cos'

x

xy

7) xex

xxsenxxy

2

cos)cos('

8) )cos(ln)(cos' xtgxxxy x

9) xy 2sec'

10) 212)cos(' xxsenxey x

11) xtgxx

y .sec2

3' 3

12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx)

13) 291

3'

xy

14) 1

1'

2

xy

15) 3129

3'

2

xxy

16) 441

4'

x

xy

17) 24204

6'

36

2

xx

xy

18) 4222

2'

xx

xy

19) 1

3'

6

xxy

20) xxx

y2)1(

1'

2

21) 21

12'

xxy

22) 21

'x

xarctgxy

23) 21.arccos

1'

xxy


102

AULA 21

13.6 DERIVADAS SUCESSIVAS

Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A I. Vimos que

a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B A, a esta derivada

de f’ denotamos por f” denominamos derivada segunda de f.

Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas.

Exemplo:

1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x

5 – 3x

3

2) Dada a função f(x) = x4 – 2x

3 + 4x

2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f

(6)(15)

13.7 REGRAS DE L’HOSPITAL

Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 0

0 ou

.

Esse método é dado pelas regras de L’Hospital.

Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos

que g’(x) 0 para todo x a em I.

i). Se 0)(lim)(lim xgxf axax e Lxg

xfax

)('

)('lim então:

Lxg

xf

xg

xfaxax

)('

)('lim

0(

)(lim


103

ii). Se )(lim)(lim xgxf axax e Lxg

xfax

)('

)('lim então:

Lxg

xf

xg

xfaxax

)('

)('lim

)(

)(lim

Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se )('

)('lim

xg

xfax ou

)('

)('lim

xg

xfax .

Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.

Exemplos:

Determinar

1) 1

2lim 0

xx

e

x

2) x

senxx 0lim

3) x

xx

cos1lim 0

4) 4

2lim 4

x

xx

5) 23

6lim

2

2

2

xx

xxx


104


1) 1

1lim

2

1

x

xx

2) 1

23lim

23

3

1

xxx

xxx

3) xx

e

x3

lim

4) 1

lnlim 1

x

xx

5) 20

3lim

x

senxxx

6) 32

1lim

x

ex x

x

7) 3

lim3

3

x

ee x

x

8) senxx

xtgxx

0lim

9) senxx

xee xx

x

2

lim2

0

10) xsen

xx

2

1

1lim

11) x

xsen

x

2

1

lim

12) 30lim

x

senxxx

13) x

ba xx

x

0lim

14)

2

1lim

3

2

x

xsenx

15) 1cos

1lim

2

0

x

e x

x

16) Obter a derivada terceira das seguintes

funções:

a) f(x) = x3 + 2x

2 + 1

b) f(x) = 5x2 – 3x +2

c) 12

1)(

xxf

d) f(x) = 2x-3

e) f(x) = sen3x

f) f(x) = e2x

17) Obter a derivada segunda das seguintes

funções:

a) xa

xy

2

b) y = ex.cosx

Respostas

1) 2

2) 2

3

3) 0

4) 1

5) 0

6) 0

7) e3

8) 2

9) 2

10)

2

11) 0

12) 6

1

13) b

aln

14) 0

15) -2

16) a) 6 b) 0 c) 0

d) -120x-6

e) -27cos3x f) 8e2x

17) a) 3

2

)(

2"

xa

ay

b) y” = -2exsenx


105

AULA 22

13.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS

13.8.1 TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS

Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma

terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem

também estarão.

Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos: dt

dx

dx

dy

dt

dy

Exemplos:

1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação

de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm.

2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de variação

de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm.


106

3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base.

Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a

altura do monte é de 4m?

13.8.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS

13.8.2.1 Introdução:

Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado para

medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x

representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x).

Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão,

corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto

químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc.

Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é

decrescente.

y

xa b c d e

M

N

P

A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c,

d[ e decrescente de ]d, e[.


107

Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu

seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c.

Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.

O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passa

de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b,

ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função

assume para valores de x, próximos de b.

Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais

alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”.

Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O

ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente

e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos.

Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor

de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b.

Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.

Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então:

i). f(x) é máximo de f em l se f(x) f(c) para todo x em l

ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) f(c) para todo x em l

Definição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f

i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)

para todo x em (a,b)

ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)

para todo x em (a,b)

Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não

existe.

Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em

cada ponto, conforme o gráfico abaixo.

No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta

horizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a

derivada da função no ponto.

Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista, dizemos que x0 é

um ponto crítico da função f.

Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma

função ocorrem em pontos críticos da função.

A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x,

mas não é suficiente.


108

Seja por exemplo a função f(x) = x3. Derivando temos: f’(x) = 3x

2, logo f’(x) = 0 e o ponto

de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função.

Definição 3: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou

f’(c)=0 ou f’(c) não exista.

Exemplo:

Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x2 – 3x + 2

13.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais:

1o) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0, cujas raízes são as

abscissas dos pontos críticos de f.

2o) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de extremo ou

não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.

13.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções:

Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no

intervalo aberto (a, b).

i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b]

ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]


109

13.8.2.4 Teste da Derivada Primeira:

Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito

próximos de x0 tais que a<x0<b, então:

i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a

decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da função.

ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a

crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da função.

Exemplos:

1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se

existirem.

2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x

2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de

inflexão se existirem.

13.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda:


110

Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c,

então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é:

i). Côncavo para cima se f”(c) > 0

ii). Côncavo para baixo se f”(c) <0

Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e

f’(c)=0.

i). Se f”(c) < 0, então f tem máximo local em c

ii). Se f”(c) > 0, então f tem mínimo local em c

Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua

no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.

Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f”(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para x

próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é um mínimo local de f.

Se f”(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f tem

concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f.

Resumindo:

Mínimo Local:

0)("

0)('

0

0

xf

xf

Máximo Local:

0)("

0)('

0

0

xf

xf

Exemplo:

Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x

2 + 9x – 5, se

existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.


111


1) Ao aquecer um disco circular de metal,

seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min.

Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que

taxa esta variando a área de uma face?

2) Um tanque em forma de cone com vértice

para baixo mede 12 m de altura e tem no topo

um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água à taxa

de 4m3/min. Ache a taxa com que o nível da

água sobe:

a) quando a água tem 2 m de

profundidade.

b) quando a água tem 8 m de

profundidade.

3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca

uma série de ondulações concêntricas. Se o

raio r da onda exterior cresce uniformemente

à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a

área de água perturbada está crescendo:

a) quando r = 3m

b) quando r = 6m

4) Determine as abscissas dos pontos críticos

das funções abaixo:

a) s(t) = 2t3 + t

2 – 20t +4

b) f(x) = 4x3 – 5x

2 – 42x + 7

c) g(w) = w4 – 32w

5) Determine os pontos de máximo, de

mínimo e de inflexão das seguintes funções se

existires, UTILIZANDO O TESTE DA

DERIVADA PRIMEIRA.

a) y = 6x3 + 15x

2 – 12x -5

b) 887

4)( 2 xxxf

c) f(x) = - 9x2 + 14x +15

6) Determine as abscissas dos pontos

máximos ou mínimos das seguintes funções,

UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA

SEGUNDA.

a) f(x) = x3 – 12x

2 + 45x +30

b) y = 8x3 – 51x

2 -90x +1

c) y = -x3 – 9x

2 + 81x – 6

7) Imagine que a trajetória de uma pedra

lançada ao ar seja um trecho da parábola dada

por y = 5x2 – 20x (x e y em metros),

determine o ponto máximo da função.

Respostas:

1) min/2

5 2cm

2)

min/4

1)

min/4

)

mb

ma

3) smb

sma

/6,21)

/8,10)

2

2

4)

2)

37

23)

23

5)

wc

exb

eta

5) a) máx x = -2 e min x = 1/3

b) máx x = 7

c) máx x = 7/9

6) a) máx x = 3 e min x = 5

b) máx x = -3/4 e min x = 5

c) máx x = 3 e min x = - 9

7) P(2,- 20)


112

AULA 23

14. INTEGRAIS

14.1 INTRODUÇÃO:

Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de

agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada?

A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou

anti-derivada.

Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se

F’(x) = f(x) para todo x em l

Exemplo:

Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x

4 + x

2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 = f(x).

Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x4 + x

2 + x + 5 também é uma

anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0

Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x

2 + x + c onde x é uma constante

qualquer, será uma integral de f.

14.1.1 NOTAÇÃO:

A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma

função encontrada. O símbolo denota a operação de integral, e escrevemos:

CxFdxxf )()( onde )()(' xfxF

A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a expressão

antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração

Indefinida.

Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas

regras, que veremos a seguir.

14.2 INTEGRAIS IMEDIATAS

cn

xdxx

nn

1

1

1) dxx5

2) 2x

dx


113

3) 3 2x

dx

4) dxxx)1(

5)

dx

xx

2

3

2 1

6)

dxx

xx2

23 )45(

cn

vdvv

nn

1

1

7) dxxx 223 3.)2(

8) xdxxba .222

cvv

dvln

9) )32( x

dx


114

10) 3

2

21 x

dxx

ca

adva

vv

ln cedve vv

11) dxx

e x

2

1

12) dxexx3

13)

dx

ba

baxx

xx 2


115

cvdvtgv cosln. ou cvdvtgv secln.

14) xdxtg2

cgvvvdv )cotsecln(cosseccos

15) xdxseccos

ctgvvdv2sec

16) dxxx 322 sec

ctgvvvdv )ln(secsec

17) x

dxxsec

cxdxtgxx sec..sec

18) dxx

senx2cos

cgxxdx cotseccos 2


116

19) x

dx

cos1

ca

varcsen

va

dv

22

ou ca

v

va

dv

arccos

22

20) 2916 x

dx

ca

varctg

ava

dv

1

22 ou c

a

varc

ava

dv

cot1

22

21) 94 2x

dx

ca

varc

aavv

dv

sec

1

22 ou c

a

v

aavv

dv

secarccos

1

22

22) 94 2xx

dx

cva

va

ava

dv

ln

2

1

22


117

23) 19 2x

dx

c

av

av

aav

dvln

2

122

cavvav

dv)ln( 22

22

24) 743 2 xx

dx


118


1) dx

x

x33

2

)2(

8

2)

dx

xx

x

31

2 )6(

)3(

3) dxxx 42 2

4) dxx

x

)ln2(

5)

dxx

x 2)1(

6) dxee xx .)1( 3

7) dxxxsen .2cos.2 2

8)

dx

tgx

x2

1

sec

9) dx

xcb

ax222

3

10) xx

dx

ln.

11) dxxtg .2

12) 22 )( xe

dx

13) dxx

xsenx

cos

cos

14) dxxsen

gx2

cot

15) dxx 2)14(sec

16) dx

xba

tgxx

sec

.sec

17) dxxsen

x4

3cos

18) dxxtg .4

19) dxxxtg 2)2sec2(

20) dxgxtgx 2)cot(

21) dx

bx

ax44

22) 294 t

dt

23)

24

.cos

sen

d

24) 14xx

dx

25)

dxx

x

2

2

1

arccos

26) dx

x

x6

2

5

27) arctgxx

dx

)1( 2

28) xx ee

dx

29) dx

x

tgxx2sec49

.sec

30) 522 xx

dx

31) 23 2xx

dx

32) 2)12(

3

2 xxx

dx

33)

dx

x

xx

21

arccos

34) dxxx

x

743

322

35) 2627 xx

xdx

36) 21 xx

dx

37)

dx

x

x

94

13

2

38)

dx

xx

x

8129

322

39)

dxxsen

xsen

21

2

40) x

x

e

dxe2

2

2

41) xx

dx

2ln1

42) xxsen

dx22 cos32

43) dxxx 3 23.

Respostas:

1) cx

23 )2(3

4


119

2) 4

)6(3 32

2 xx + c

3) cx

6

)21( 23

2

4) cx

2

)ln2( 2

5) cxx

x 5

2

3

42

25

23

21

6) cex

4

)1( 4

7) cx

6

)2(cos 3

8) ctgx

1

1

9) cxcbc

a

)ln(

2

3 222

2

10) ln(lnx) + c

11) cx )2ln(sec2

1

12) ce x

44

1

13) cxx )ln(sec l

14) cgx

2

)(cot 2

15) cxxtgxxtg )44ln(sec2

14

4

1

16) cxbab

)secln(1

17) csensenx x

33

11

18) cxtgxxtg

3

3

19) cxxxtg 2sec2

20) ctgxgx cot

21) cb

xarctg

b

a

2

2

22

22) ct

t

32

32ln

12

1

23) csen

sen

2

2ln

4

1

24) cxarc 2sec2

1

25) cx

3

arccos3

26) cx

x

3

3

5

5ln

56

1

27) carctgx )ln(

28) carctgex

29) cx

arctg

3

sec2

6

1

30) cx

arctg

2

1

2

1

31) cxarcsen )32(

32)

cx

arc

3

12sec

33) cxx

22

12

arccos

34) cx

xxx

73

33ln

30

13)743ln(

3

1 2

35)

cx

arcsenxx

6

33627 2

36) cxxx )12

1ln( 2

37) cxxx )942ln(2

194

4

3 22

38) cx

arctgxx

2

23

2

1.

9

13)8129ln(

9

1 2

39) cxsen 212

40) ce

arctgx

22

1

41) cx

arcsen 1

ln

42) ctgxarctg

3

2

6

1

43) 34

37

236

1)23(

21

1 xx


120

AULA 24

14.3 INTEGRAIS POR PARTES

duvvudvu ...

1) dxex x.

2) dxxx .ln.2

3) dxxx3 23


121

4) dxxx )1ln( 2

5) xdxsenesenx 2


122

AULA 24 - EXERCICIOS

1) arcsenxdx

2) xdxsen2

3) xdx3sec

4) dxsenxx ..2

5) dxex x ..23

6) dxex x.. 23

7) dxarctgxx ..

8)

321

.

x

xdxarcsenx

9) dxxxtg .sec. 32

10) dxxarctgx 1. 2

11) 2)1(

.ln

x

dxx

12)

dxx

xarcsen

1

Respostas:

1) cxarcsenxx 21.

2) cxsenx

4

2

2

3) ctgxxtgxx )ln(sec2

1.sec

2

1

4) cxxsenxxx cos22cos.2

5) cxex )1(2

1 22

6) cxxxe x

122

3

4..

8

3 232

7) cxxarctgx )1( 2

8) cx

x

x

arcsenx

1

1ln

2

1

1 2

9) ctgxxxtgxxtgx )ln(sec8

1sec

8

1sec

4

1 3

10) cxxarctgx 12

11

2

1 222

11) cx

x

x

x

1ln

)1(

ln

12) cx

arctgxx

xxarcsen

1


123

AULA 25

14.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES

TRIGONOMÉTRICAS

As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do

presente capítulo:

i). 1cos22 xxsen

ii). xxtg 22 sec1

iii). xxg 22 seccoscot1

iv). )2cos1(2

12 xxsen

v). )2cos1(2

1cos 2 xx

vi). xsenxsenx 22

1cos

vii). )()(2

1cos yxsenyxsenysenx

viii). )cos()cos(2

1yxyxsenysenx

ix). )cos()cos(2

1coscos yxyxyx

x). xsenx2

12cos1 2

xi). xx2

1cos2cos1 2

xii).

xsenx

2

1cos11

Exemplos:

1) xdxsen2

2) xdx3cos 2


124

3) xdxsen3

4) xdx6cos

5) xdxxsen 22 cos


125

6) xdxsenxsen 2.3

7) dxxxsen .5cos.3

8) dxxx .2cos.4cos

9) dxx .3cos1 23


126

10) dxxcos1

11) xsen

dx

21

12) dxxtg .4

13) xdxg 2cot 3


127


1) xdx5cos

2) xdxsen4

3) dxxsenx .2.2cos 34

4) xdxxsen 3cos.3 53

5) xdxxsen 44 cos.

6) dxx

xsen

3 4

3

cos

7) xdxtg 5

8) xdx2sec4

9) xdxtgx 34 .sec

10) xdxxtg 2sec.2 33

11) xdxxtg 44 sec.

12) xdxg 3cot 4

Respostas:

1) Cxsenxsensenx 53

5

1

3

2

2) Cxsenxsenx 432

12

4

1

8

3

3) Cxx 2cos10

12cos

14

1 57

4) Cxx 3cos18

13cos

24

1 68

5)

C

xsenxsenx

8

843

128

1

6) Cxx

35

31

cos5

3cos3

7) Cxxtgxtg

secln24

24

8) Cxtgxtg 22

12

6

1 3

9) Cxtgxtg

64

64

ou Cxx

4

sec

6

sec 46

10) Cxx 2sec6

12sec

10

1 35

11) Cxtgxtg

75

75

12) Cxxgxg 3cot3

13cot

9

1 3


128

AULA 26

14.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma

)(

)()(

xq

xpxR , onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia é

desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser

integradas.

É fácil verificar que:

1

1

1

1

1

22

xxx

A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de 1

22 x

.

Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de 1

22 x

.

Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo:

dx

xdx

xdx

x 1

1

1

1

1

22

O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes:

CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1o grau.

Neste caso, a cada fator da forma (ax + b), *a e , b , que aparece no denominador,

corresponde uma fração da forma )( bax

A

.

Exemplos:

)1)(1(

2

)1(

22

xxxxx

)1()1()1(

22

x

C

x

B

x

A

xx

Calcule

dx

xxx

xx

32

913423

2


129

CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1o grau. A

cada fator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n

frações da forma:

n

n

bax

A

bax

A

bax

A

)(...

)( 2

21

Exemplos:

22222 ])1)[(1)(1(

1

)12()1(

1

xxx

x

xxx

x

4222 )1)(1(

1

)12()1(

1

xxxxx

x

4

5

3

4

2

321

222 )1()1()1()1()1()12()1(

1

x

A

x

A

x

A

x

A

x

A

xxx

x

Calcule

dx

xx

xxx3

23

)2)(1(

429183


130

CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da

forma q(x) = ax2 +bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1

o grau. A

cada fator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma )(xq

BAx

Exemplo:

)1()1()1)(1(

12

22

2

11

22

x

BxA

xx

BxA

xxx

Calcule

dx

xxx

xx

482

2123

2


131

CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da

forma q(x) = ax2 + bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1

o grau. A

cada fator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da

forma n

nn

xq

BxA

xq

BxA

xq

BxA

)]([...

)]([)( 2

2211

Calcule

dx

x

xxx22

23

)1(

3735


132

AULA 26 - EXERCICIOS

1)

dx

xx

x

)4(

125

2)

dx

xxx

x

)3)(2)(1(

1137

3)

dx

x

x2)1(

116

4)

dx

xx

x

82

162

5)

dx

xx

xx

4

81053

2

6)

dx

xx

xx

)5()1(

332522

2

Respostas:

1) Cxx |4|ln2||ln3

2) Cxxx |3|ln|2|ln5|1|ln4

3) Cx

x

1

5|1|ln6

4) Cxx |2|ln3|4|ln2

5) Cxxx |2|ln4|2|ln||ln2

6) Cxx

x

|5|ln31

1|1|ln5


133

AULA 27

14.6 INTEGRAL DEFINIDA:

Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal

que g’(x) = f(x) para todo x [a, b]. Então b

aagbgdxxf )()()( .

A expressão b

adxxf )( é chamada de Integral Definida de f de a até b.

Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a

integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a).

Os valores de a e b são chamados de limites de integração.

Exemplos:

1) Calcule 3

1

2dxx

2) Calcule 3

15dx

3) Calcule 7

0xdx


134

x=1 x=3

14.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA:

Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3.

1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.

Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por:

A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2)

2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas

x = 0 e x = 7.

Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por auA .2

49

2

772

.

Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0

para x [a,b], então b

adxxf )( nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e o eixo

x.

1 3 7 x

y

1

f(x)=x

7

3


135

3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b]

1

3)1( dxx

2)3(

2

3)1(

2

1

2

221

3

2

x

x

A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentada

abaixo:

Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, ..2

223 auA

Assim, vemos que

1

33 )( dxxfA .

Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b é

dada por b

adxxfA )( .

14.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS

1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer,

então:

b

a

b

adxxfkdxxfk )()(.

Exemplo:

Calcule o valor da integral 3

05xdx

1

-1

-

- 2

-

- 3 1

x

y


136

2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é

integrável em [a, b] e:

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

Exemplo:

Calcule o valor da integral

5

3

2 1dx

xx

3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então:

b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

Exemplo:

Calcule o valor da integral 3

2xdx

AULA 27 - Exercícios

Encontre o valor das integrais definidas

abaixo:

1) 2

0

2dxx

2) 2

1

3dxx

3) 4

1

2 )54( dxxx

4) 2

2

3 )1( dxx

5)

1

1

31

34

4 dxxx

6) 4

3)2( dxx

7)

5

1 13x

dx

8) 3

3

6 )3( dttt

9)

4

0 2 9x

xdx

10) 5

04dxx

11) 1

0

3 78 dxx

Respostas:

1) 3

8

2) 4

15

3) 66

4) 4

5) 7

6

6) 2

35

7) 173

22

8) 7

4374

9) 2

10) 3

38

11) 5

3


137

AULA 28

14.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA

14.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA

Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) 0 para todo x em [a,

b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e

as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas:

b

adxxfA )(

Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b.

y

x

a b

Exemplos:

1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.

x x=1 x=2

y

Área = R


138

4

x

y

-2 2

2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2

3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3.

- 10

10

3 -1

A1

A2


139

4) Calcule a área da região definida pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas x = - 4 e x = 2

y

2

4

- 2 -4

12

x

A2

A1


140

a b

g(x)

14.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES:

Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções.

Se f e g são contínuas em f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da região R,

limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o

gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R):

b

a

b

adxxgxdxxfA )()(

ou

b

adxxgxf )]()([

Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x) e as retas

x = a e x = b, como ilustra a figura abaixo:

Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2

Sendo b

adxxfA )(1 e

b

adxxgA )(2

A = A1 – A2

A b

adxxf )(

b

adxxg )(

b

adxxgxfA )]()([

Assim verificamos que é válido o teorema a seguir:

a b

f(x)

g(x)

f(x)

a b


141

Teorema: se f e g são contínuas e f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da

região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é:

b

adxxgxfA )]()([

Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções:

Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a fronteira

inferior.

Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações)

Calcular a integral b

adxxgxfA )]()([

Exemplos:

1) Encontre a área A limitada pela curva f(x) = x2 + 2 e g(x) = 1 no intervalo de [-2, 3]


142

2) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x2 e y = -x

2 + 4x.

AULA 28 – Exercícios

Encontre a área delimitada pelas

curvas e as retas dadas.

1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x

= 1 e x=3.

2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x=

0 e x=4.

3) y = x2 + 1 e y =5

4) y = x2 e y = 4x

5) y = 1 – x2 e y = x – 1

6) y = senx, o eixo x, x = 0 e

radx2

7) y = senx, o eixo x, x = 0 e x =

2 rad

8) y = cosx, o eixo x, x = 0 e x =

2 rad

9) y = x e y = x2 com 0 2 x

10) y = x2 e y = x

Respostas:

1) au.3

22 2) ...

3

128au

3) au.3

32 4) au.

3

32

5) au.2

9 6) 1 u.a.

7) 4 u. a 8) 4 u. a

9) 1 u. a. 10) ..3

1au


143

AULA 29

14.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:

Definição 1: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do

plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução.

Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo y, obtemos um cone de

revolução.

Definição 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido

pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x

= b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então:

b

adxxfV 2)]([

Exemplo:

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva 2xy

e as retas x = 2 e x = 3 em torno do eixo x.

y

x

y

x


144

Definição 3: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e pelos

gráficos de duas funções contínuas f e g, com f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b]. Então o

volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x é dado por:

b

adxxgxfV 22 )()(

Exemplo:

Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada

pela parábola y = x2 + 1 e a reta y = x + 3

AULA 29 – Exercícios

1) Seja f(x) = x2 + 1, determine o volume do

sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,

da região do plano limitada por f(x), pelo eixo

x e as retas x = -1 e x = 1.

2) Seja x

xf1

)( , determine o volume do

sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,

da região limitada por f(x), pelo eixo x e as

retas x = 1 e x = 3.

3) Seja f(x) = x2 – 4x, determine o volume

do sólido gerado pela rotação em torno do

eixo x, da região do plano limitada por f(x) e

pelo eixo x.

4) Em cada um dos exercícios abaixo esboce

a região R delimitada pelos gráficos das

equações dadas e determine o volume do

sólido gerado pela rotação de r em torno do

eixo x.

a) y = x2, y = 4 – x

2

b) y = 2x, y = 6, x = 0

c) 2

xy , y = 4, x = 1

Respostas:

1) ..15

56vu

2) ..3

2vu

3) ..15

512vu

4) a) ..3

264vu

b) 72 u.v.

c) ..12

833vu


145

AULA 30

15. VETORES

15.1 NOÇÃO DE VETORES

- módulo A = origem

- direção B= extremo

- sentido

Representante (A, B)

OBS: (A, B) # (B, A)

15.1.1 SEGMENTO ORIENTADO (A, A)

A segmento nulo


1) Dois segmentos têm o mesmo comprimento, se os módulos forem iguais.

2) Dois segmentos têm a mesma direção se forem paralelos

3) Dois segmentos têm o mesmo sentido se:

AC BD = Ø


146

4) Dois segmentos têm sentidos opostos se:

AC BD # Ø

15.2 ADIÇÃO DE VETORES

CBBA

CA

Quando ocorrer coincidência de extremo com extremo, é necessário fazer algumas

mudanças:

15.2.1.1 Regra do paralelogramo

Propriedades:

i. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w)

ii. Comutativa: u + v = v + u

iii. Elemento Neutro: v + 0 = 0 + v = v

iv. Qualquer que seja o vetor v, existe só um vetor –v (vetor oposto de v) tal

que: v + (-v) = -v + v = 0

15.3 EQUIPOLÊNCIA:

( A, B) e (C, D) são eqüipolentes se tem o mesmo módulo, direção e sentido.

Indicamos ( A, B) ~ (C, D)


Reflexiva: ( A, B) ~ (A, B)

Simétrica: ( A, B) ~ (C, D) ( C, D) ~ (A, B)

Transitiva: ( A, B) ~ (C, D) e ( C, D) ~ (E, F) (A, B) ~(E, F)

B

A C

u

v

u + v

A B

C


147

15.4 VETORES OPOSTOS

BA

é oposto de AB

BA

anula AB

15.5 VETORES NO PLANO CARTESIANO

15.6 MÓDULO DE UM VETOR – NORMA - | V |

| v | = vv.

| v | = ),).(,( yxyx

| v | = 22 yx

A partir de cada vetor v # 0, é possível obter um vetor unitário fazendo u = || v

v

.

Exemplo: v = ( 3, -4 ):

A A

B B

x

y Seja A (1, -1) e B ( 5,1)

O vetor u , tem origem em A e extremo em B.

A coordenada (4,2) nos mostra a

posição do vetor u se transferirmos a origem

do plano para a origem do vetor.


148

Obs: dado um vetor BA

com extremidades nos pontos a (xa, ya) e B (xb, yb), o

módulo desse vetor será:

| BA

|= 2

)()( 2 yaybxaxb

15.7 OBSERVAÇÕES SOBRE ADIÇÃO DE VETORES

Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que:

i. a soma u + v ou v + u tem origem no ponto u (u + v) ou v (v + u)

ii. a diferença u – v tem por origem na extremidade de v.

15.8 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

Dado um vetor v # 0 e um número real k 3 0, chama-se produto do número real

k pelo vetor v o vetor p = kv, tal que:

i. módulo: p = |kv| = |k|.|v|

ii. direção: a mesma de v

iii. sentido: o mesmo de v, se k > 0; e contrário ao de v, se k < 0.

OBS:

1) se k = 0 ou v = 0, o vetor kv é o vetor 0;

2) se k = -1, o vetor (-1)v é o oposto de v, isto é, (-1)v = -v.

kv

A C

B D

u

v

u + v

v + u A

C

B D

u

- v

u

v

u - v

v

- kv


149


i. a ( bu ) = ( ab )u

ii. ( a + b ) u = au + bu

iii. a ( u + v ) = au + av

iv. 1u = u

15.9 SOMA DE PONTO COM VETOR

P


i. Elemento Neutro: P + 0

= P

ii. Cancelamento do Ponto: P + u = P + v u = v

iii. Associativa: (P + u) + v = P + ( u + v)

iv. Cancelamento do Vetor: A + u = b + u A = B

v. Soma com o oposto: (P – v) + v = P P = P

15.10 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES:

Lei do cosseno:

||.||

.cos

vu

vu

Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores u = ( -2, -2 ) e v = ( 0, -2 ).

Q

Seja P E3 e v V

3

P + v = Q

V =


150

15.11 PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO: U . V

Seja u

= ( x1, y1, z1) e v

= (x2, y2, z2). O produto escalar de dois vetores , onde

representamos por vu

. , é o número real:

vu

. = x1.x2 + y1.y2+z1.z2

Ex. Se u = (3, 2 , -4)

v

= (5, 0, 1)


i. u . u 0 e u . u = 0 se, e somente se, u = 0 = (0,0)

ii. u . v = v . u ( comutativa )

iii. u . ( v + w ) = u .v + u . w ( distributiva )

iv. (mu) . v = m (u.v) = u . (m.v)

v. u . u = |u2|

vi. | u + v |2 = |u

2 |+ 2uv + |v

2|

vii. | u - v |2 = |u

2 | - 2uv + |v

2|

15.12 PRODUTO VETORIAL: U X V

Seja u

= ( x1, y1, z1) e v

= (x2, y2, z2). O produto vetorial de dois vetores , é o

vetor w = ( i, j, k):

222

111

zyx

zyx

kji

Exemplo: u = (1,3,2) e v = (2,4,5)

u x v =

15.13 PARALELISMO

u

// v

se e somente se 2

1

x

x=

2

1

y

y=

2

1

z

z = k

15.14 ORTOGONALISMO

u v

se, e somente se, vu

. =0


151


1) Calcule a adição dos vetores abaixo:

a.

b.

c.

d.

e.

C

A B

D E

F O

B C

D

E F

O A G

H

B

C

E F

A

C D

G H

B C

D


152

2) Se u

é representado por (A, B) e u

= - v

, então qual é a origem de v

? (origem em B) 3) Se v é representado por (A, B) e w por (B, C), como é representado o vetor (v + w)? (AC)

4) Dados os segmentos orientados (A, B) e (C, D), quais as condições para que tenham:

a. Mesmo módulo –

b. Mesma direção –

c. Mesmo sentido –

5) Resolver o sistema nas incógnitas x

e y

vuyx

uyx

23

2

6) Mostre que BCCABA

7) Resolva o produto interno sendo u

=(4, 7 , 3), v

=(2 , 2 , 1) e w

=(0 ,-5, 2)

a. u.v

b. v.w

c. (u + v) .w

d. u ( v – 2w )

8) Ache x de modo que u v

nos casos:

a. u

= (x, 0 , 3) e v

= (1, x, 3)

b. u

= (x, x , 4) e v

= (4, x, 1)

c. u

= (-1, 1, x) e v

= (1, 1, 1)

9) Ache u

tal que || u

|| = 33 e u

é ortogonal a v

= (2, 3 ,-1) e a w

(2, -4, 6).

10) Ache u

ortogonal a v

= (4, -1, 5) e a w

(1, -2, 3) e que satisfaz u

. (1, 1, 1) =

11) Ache a medida do ângulo entre os vetores:

a. u

= (1,0,1) e v

= (-2, 10, 2)

b. u

= (3, 3, 0) e v

= (2, 1, -2)

c. u

= (-1, 1, 1) e v

= (1, 1, 1)

12) Ache u

tal que || u

|| = 2 , a medida em graus do ângulo entre u

e (1, -1, 0) seja 45º

e u (1, 1, 0)

13) Dados u

= (1, 1, 2), v

= (3, 1, -1) e w

(0, 2, 1), calcular:

a. u

x w

B

x= 5/7 u +2/7 v y = 1/7 u – 1/7 v

A


153

b. w

x v

c. v

x ( w

- u

)

d. ( u

+ v

) x ( v

- w

)

14) Dados A(1 , 0, 0), B(0, 1, 0) e C (0, 0, 1), calcular BA

x CA

15) Determine o vetor BA

e seu módulo nos casos:

a. A (2,1) B (4,6)

b. A (-2,0) B(3,-1)

c. A(4,3) B (4,5)

d. A(3,-1) B(10,-1)

16) Dados A (2,1) B(5,-1) e C ( -4,0) calcular o vetor soma dos vetores BA

e CA

.

17) Se v

= BA

; A (3,2) e v

(5,8), determine o ponto B.

18) Dados A (3,7) e B (11,19). Determine o ponto C tal que BACA

4

1

19) Os vetores u

(3,4) , v

(2a, 7) e w

(1, 3b), satisfazem a equação 2 u

- v

+ 3 w

= 0

Calcule a e b.

20) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores u

= (1 , 10 , 200) e v

= ( -10 , 1,

0 )

21) Sabe-se que o vetor u

é ortogonal a ( 1, 1 , 0 ) e a ( -1 , 0 , 1) e tem norma 3 .

Calcule o vetor u

.

22) Sejam os vetores do R3 u

= ( -1 , 0 , -5), v

= ( -1, 4 , 3 ) e w

= ( -3, 2 , -1). Ache:

a. 3 u

– 4 v

b. 2 w

– u

c. ( u

+ 2 w

) x v

d. ( u

+ v

+ w

) . u


154

REFERÊNCIAS

ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Vol. 1 e 2. Porto Alegre: Ed.Bookman, 2000.

COELHO, F.U. Curso Básico de Cálculo. Editora Saraiva, 2005.

GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI JR, J.R. Mátematica Fundamental, Uma

Nova Abordagem. Volume Único. Editora FTD, 2001

GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. Vol1 e Vol 2. 5a ed. Editora LTC, 2001.

KOLMAN, B. Introdução à álgrebra linear: com aplicações. 6 ed. Rio de Janeiro: Prentice-

Hall do Brasil, 1998.

MEDEIROS, V.Z.M; CALDEIRA, A.M; SILVA, L.M.O; MACHADO, M.A.S. Pré-Cálculo.

Editora Thomson, 2006

PAIVA, M.R. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. 1 ed. Vol. 1, 2 e 3. São Paulo:

Moderna, 2002.

STEWART, James. Cálculo. 4 ed. Vol. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2005.

fundamentos matemÁticos da...

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