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Diagramas de Bode

• Constituıdo de dois graficos: um do modulo em decibel (dB) outro do angulode fase;

• Ambos sao tracados em relacao a frequencia em escala logarıtmica;

• Lembre que o logaritmo do modulo de G(jω) e 20 log10|G(jω)|, com unidadeem dB;

• Vantagens: a multiplicacao dos modulos pode ser convertida em soma; hauma forma simples de esbocar a curva aproximada do modulo em dB, assimcomo a curva de angulo de fase;

• A expansao da escala de frequencias pelo uso da escala logarıtmica defrequencia e muito vantajosa;

• As relacoes de frequencia sao expressas “decadas”.

• Uma decada e o intervalo de frequencia de ω a 10ω, onde ω e qualquervalor de frequencia.

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

• Note que nao se pode tracar as curvas ate a frequencia zero, pois log10(0) =−∞, mas isso, de fato, nao significa nenhuma desvantagem;

• A determinacao experimental de uma funcao de transferencia de um sistemaLIT pode ser feita de forma simples a partir do diagrama de Bode.

• Fatores basicos: os fatores basicos que habitualmente ocorrem em qualquerfuncao de transferencia sao:

1. Ganho K ;2. Fatores integrativo e derivativo (jω)∓1;3. Fatores de primeira ordem (1 + jωT )∓1;

4. Fatores quadraticos[

1 + 2ξ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]∓1

;

Conhecendo a caracterıstica de resposta de cada um desses fatores isola-damente, e possıvel utiliza-los para a construcao do diagrama de Bode poruma soma simples de tais fatores.

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• Ganho K :

⋆ A curva do modulo em dB de um ganho constante K e uma reta horizontalde valor 20 logK decibeis. O angulo de fase de K e zero.

⋆ O efeito da variacao de K e o de deslocar para cima ou para baixo a curvade modulo em dB. Nao ha efeito na curva de angulo de fase.

⋆ Quando um numero aumenta por um fator de 10, o valor correspondenteem dB fica acrescido de 20, ou seja,

20 log10(K · 10) = 20 log10(K ) + 20,

ou ainda,20 log10(K · 10n) = 20 log10(K ) + 20 · n.

⋆ Observe que, quando expresso em decibeis, o recıproco de um numero diferede seu valor apenas no sinal, ou seja, 20 log10(K ) = −20 log10

(

1

K

)

.

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• Fatores integral e derivativo (jω)∓1:

⋆ O termo (jω)−1 em dB e:

20 log101

jω= −20 log10 ω dB

O angulo de fase de (jω)−1 e constante e igual a −90◦.

⋆ O grafico de −20 log10 ω em funcao de ω em escala logarıtmica, o resultadosera uma reta com inclinacao de −20 dB/decada (ou ≈ −6 dB/decada).

⋆ A inclinacao da curva de modulo em dB para o fator (jω)−n e −20ndB/decada. O angulo de fase desse fator e dado por −90◦ · n.

⋆ Similarmente, a inclinacao da curva de modulo em dB para o fator (jω)n e+20n dB/decada. O angulo de fase desse fator e dado por +90◦ · n.

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Diagramas de Bode: (a) G(s) = 1/s (b) G(s) = s.

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• Fatores de primeira ordem (1 + jωT )∓1:

⋆ O modulo em dB de (1 + jωT )−1 e:

20 log10|1

1 + jωT| = −20 log10

√

1 + ω2T 2 dB

Para baixas frequencias, ω << 1/T , o modulo em dB pode ser aproximadopor:

−20 log10√

1 + ω2T 2 ≈ −20 log10 1 = 0 dB

Para altas frequencias,

−20 log10√

1 + ω2T 2 ≈ −20 log10 ωT dB

Em ω = 1/T , o valor do modulo e 0 dB.⋆ O grafico do modulo de (1 + jωT )−1 em dB pode entao ser aproximadopor duas retas assıntotas, uma reta em 0 dB (para a faixa 0 < ω < 1/T ) eoutra com inclinacao igual a −20 dB/decada (para a faixa 1/T < ω < ∞).

⋆ A frequencia na qual as assıntotas se encontram e chamada de frequencia decorte , ω = 1/T , essa frequencia divide a resposta em duas regioes: regiaode baixa frequencia e regiao de alta frequencia.

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⋆ O angulo de fase exato de (1 + jωT )−1 e

φ = − tan−1(ωT ).

Na frequencia zero, o angulo de fase e zero. No infinito, ele se torna −90◦.Na frequencia de corte , tem-se

φ = − tan−1(T/T ) = −45◦

⋆ O erro maximo entre as curvas assıntotas e a curva real ocorre na frequenciade corte e e aproximadamente igual a −3 dB.

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Diagrama de Bode de G(s) = 1

1+sT.

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⋆ Note que para fatores recıprocos (inversa da funcao), as curvas de moduloem dB e do angulo de fase necessitam trocar apenas o sinal.

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• Fatores quadraticos[

1 + 2ξ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]∓1

:

⋆ O modulo e a fase do fator quadratico dependem tanto da frequencia decorte (ωn) como do coeficiente de amortecimento ξ;

⋆ As aproximacoes assintoticas para as curvas de resposta em frequencia naosao precisas para um fator com baixos valores de ξ;

⋆ O modulo em dB de[

1 + 2ξ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]∓1

e:

20 log10|1

1 + 2ξ(

j ω

ωn

)

+(

j ω

ωn

)2| = −20 log10

√

(

1−ω2

ω2n

)

+

(

2ξω

ωn

)2

⋆ Para baixas frequencias, ω << ωn, o modulo passa a ser −20 log10 1 = 0dB;

⋆ Para altas frequencias, ω >> ωn, o modulo passa a ser

−20 log10ω2

ω2n

= −40 log10ω

ωn

dB

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⋆ A assıntota de baixa frequencia e uma reta horizontal em 0 dB, ao passo quea assıntota de alta frequencia e uma reta com inclinacao de −40 dB/decada;

⋆ As assıntotas se cruzam em ω = ωn. Logo, ωn e denominada frequencia decorte .

⋆ As duas assıntotas sao independentes de ξ. Proximo a ω = ωn ocorre umpico de ressonancia. ξ determina o pico dessa ressonancia. O erro entre acurva real e as assıntotas depende de ξ e sera maior para valores pequenosde ξ.

⋆ O angulo de fase do fator quadratico e dado por:

φ = − tan−1

2ξ ω

ωn

1−(

ω

ωn

)2

⋆ Em ω = 0 φ = 0◦. Em ω = ωn, φ = −90◦, independentemente de ξ. Emω → ∞, φ = −180◦.

⋆ Para 1 + 2ξ(jω/ωn) + (jω/ωn)2, as curvas de resposta em frequencia do

modulo em dB e do angulo de fase sao obtidas simplesmente pela inversaodo sinal.

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Quadro resumo das assintotas do Diagrama de Bode

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Exemplo

Desenhe o diagrama de bode assintotico de modulo da seguinte funcao detransferencia:

G(jω) =10

(jω)(1 + jω/2)(1 + jω/5)

Os fatores basicos sao analisados separadamente:

1. 20 log10|10| = 20 dB;

2. 20 log10|(jω)−1| = −20 dB/dec;

3. 20 log10|(1 + jω/2)−1

| =

{

≈ 0dB , ω << 2≈ −20 dB/dec , ω >> 2

4. 20 log10|(1 + jω/5)−1

| =

{

≈ 0dB , ω << 5≈ −20 dB/dec , ω >> 5

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Exemplo

No Matlab, o diagrama de Bode e obtido atraves do comando bode. Noteque no exemplo anterior,

G(s) =10

s (1 + s/2) (1 + s/5)=

100

s (s + 2) (s + 5)

num = 100;den = [1 7 10 0];sys = tf(num, den); %G(s)bode(sys); % sys pode ainda estar na forma ss ou zpk

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Exemplo - Desenho do Diagrama de Bode

Considere a funcao de transferencia

G(jω) =5(1 + j0.1ω)

jω(1 + j0.5ω)(1 + j0.6(ω/50) + (jω/50)2

Note que os fatores da funcao acima sao:

1. Um ganho constante K = 5.

2. Um polo na origem.

3. Um polo em ω = 2.

4. Um zero em ω = 10.

5. Um par de polos complexo-conjugados em ω = ωn = 50.

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Construcao dos termos no diagrama de Modulo (escala em dB).

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Construcao da assintota final resultante da soma dos termos parciais. Ografico tambem mostra a curva real, e ambas (aproximada via assintotas ereal) sao muito parecidas.

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Construcao dos termos no diagrama de fase.

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Diagrama da fase final resultante.

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Frequencia de Ressonancia ωB e Pico de Ressonancia

Mpω

Frequencia de Ressonancia e Pico de Ressonancia: O modulo da funcaode transferencia de 2a. ordem

G(s) =ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

e dado por

|G(jω)| =1

√

(

1− ω2

ω2n

)2

+(

2ξ ω

ωn

)2

Se |G(jω)| apresentar algum valor de pico em alguma frequencia, talfrequencia e denominada frequencia de ressonancia, ωr .

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Note que o valor de pico ocorrera quando

g(ω) =

(

1−ω2

ω2n

)2

+

(

2ξω

ωn

)2

for um mınimo. Tal mınimo ocorre em

ωr = ωn

√

1− 2ξ2, 0 ≤ ξ ≤ 0, 707

Conforme ξ → 0, ωr → ωn. Para 0 ≤ ξ ≤ 0, 707, tem-se ωr < ωd =ωn

√

1− ξ2. Observe ainda que para ξ > 0, 707, nao ha pico de ressonancia.O valor do pico de ressonancia e dado por

Mr = |G(jω)|ω=ωr⇒ Mr =

1

2ξ√

1− ξ2, 0 ≤ ξ ≤ 0, 707

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• Para ξ > 0, 707, tem-se Mr = 1.

• Quando ξ → 0, temos Mr → ∞. Isso e crıtico em termos de estabilidade.

O angulo de fase de G(jω) na frequencia em que ocorre o pico de ressonanciae dado por

φ(ωr ) = ∠G(jω)|ω=ωr

= arctan

(

√

1− 2ξ2

ξ

)

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Perceba no grafico indicado os valores ωr , Mr (igual a Mpw ), e ωB .

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Largura de banda Observe no grafico da pagina anterior o valor denotado porωB . Esse indica a largura de banda (bandwidth), que em termos praticosindica uma medida do quanto o sistema (saıda) consegue reproduzir o sinal deentrada.

• Largura de banda (bandwidth) e a frequencia ωB na qual a amplitudedecresce 3 dB em relacao a amplitude de baixa frequencia.

• Para uma funcao de transferencia de 2a. ordem

G(s) =ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

temos que ωB e dado por

ωB

ωn

= −1.19ξ + 1.85, (0.3 ≤ ξ ≤ 0.8)

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Projeto frequencial de sistema de segunda ordem

HomeworkConsidere

G(s) =2

s2 + 1s + 2

Suponha que G(s) acima e excitada com entrada senoidal u(t) = 2sen(ωr t).(a) Determine a frequencia de ressonancia ωr .(a) Determine a saıda y(t) correspondente.(c) Determine a largura de banda ωB .

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Projeto frequencial de sistema de segunda ordem

Exemplo

Considere

G(s) =ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

Determine ωn, a frequencia e pico de ressonancia, para ξ = 0.52 e largura debanda de 1 Hertz.

Solucao: Note que ωB = 2π × 1 = 6.28 rad/s. Usando ξ = 0.52 na formula

ωB

ωn

= −1.19ξ + 1.85

obtemos ωn = 5.11 rad/s. Agora usamos

Mr =1

2ξ√

1− ξ2ωr = ωn

√

1− 2ξ2

para obter os valores Mr = 1.15 e ωr = 3.46 rad/s.30 of 31


Dica de atividades

DicaFazer os Exercıcios apresentados no Cap. 8 do livro “Sistemas de ControleModernos” - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop.

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