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Teoria de Sistemas Lineares I


Prof. Aguinaldo S.e Silva, Universidade Federal de SantaCatarina


Realizacoes Irredutıveis de Matrizes de Transferencia Racionais Proprias

Realizacoes Irredutıveis de Matrizes de Transferencia

Racionais Proprias

Neste capıtulo utilizaremos os conceitos de observabilidade econtrolabilidade para estudarmos caracterısticas de uma dadarealizacao. Vamos considerar realizacoes de matrizes de funcoes detransferencia racionais e proprias.

G(s) =⇒

{

x = Ax + Bu

y = Cx + Du

onde G(s) e a funcao de transferencia e a representacao de estadose a realizacao.



Grau de uma funcao de transferencia

Polinomios coprimosDois polinomios N(s) e D(s) sao coprimos se eles nao tem termosem comum.Seja a funcao de transferencia escalar

g(s) =N(s)

D(s)

O grau da funcao de transferencia g(s) e o grau de D(s) se N(s) eD(s) sao coprimos.



Funcao de transferencia propria

g(s) = g(∞) + gsp(s)

onde gsp(s) estritamente propria e g(∞) e uma constante(corresponde a D).Desde que D nao tem nenhum papel no que sera discutido,considera-se apenas funcoes de transferencia estritamente proprias.Na discussao a seguir sera considerada a funcao de transferencia

g(s) =N(s)

D(s)=

β1 s3 + β2 s2 + β3 s + β4

s4 + α1 s3 + α2 s2 + α3 s + α4



Forma canonica de controlabilidade

Sejay(s) = N(s)D−1(s) u(s)

Definindo-se uma nova variavel v(t) tal que

v(s) = D−1(s) u(s)

tem-seD(s) v(s) = u(s)

ey(s) = N(s) v (s)



Definindo-se as variaveis de estado

x(t) =

x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)

=

v (3)(t)v(t)v(t)v(t)

ou

x(s) =

x1(s)x2(s)x3(s)x4(s)

=

s3

s2

s

1

v(s)



Com estas definicoes tem-se

x2 = x1, x3 = x2, e x4 = x3

Usando-se x(s) em D(s) v(s) = u(s) tem-se

(s4 + α1 s3 + α2 s2 + α3 s + α4) v(s) = u(s)

ou ainda

sx1(s) = −α1 x1(s) + α2 x2(s) + α3 x3(s) + α4) x4(s) + u(s)

No domınio do tempo

x1(t) = [−α1 − α2 − α3 − α4] x(t) + 1 . u(t)

Usando-se x(s) em y(s) = N(s) v (s) tem-se

y(s) = (β1 s3 + β2 s2 + β3 s + β4) v(s)

= β1 x1(s) + β2 x2(s) + β3 x3(s) + β4 x4(s)

= [β1 β2 β3 β4] x(t)



Com as definicoes anteriores

x = Ax + b u =

−α1 −α2 −α3 −α4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

+

1000

u

y = c x = [β1 β2 β3 β4]x

Esta e a forma canonica de controlabilidade.A matriz de controlabilidade e dada por

C =

1 −α1 α21 − α2 −α3

1 + 2α1α2 − α3

0 1 −α1 α21 − α2

0 0 1 −α1

0 0 0 1

Portanto det C = 1 e o sistema e sempre controlavel.



Outra forma canonica controlavelSe for usada adicionalmente a transformacao de equivalenciax = Px onde

P =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

(note que P = P−1) tem-se que a forma canonica decontrolabilidade fica

x = Ax + b u =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−α4 −α3 −α2 −α1

+

0001

u

y = c x = [β1 β2 β3 β4]x

Esta e uma outra forma canonica de controlabilidade.



Teorema

A forma canonica controlavel e observavel se e somente D(s) eN(s) sao coprimos.Necessidade: Se observavel entao D(s) e N(s) sao coprimos.A demonstracao e por contradicao. Supondo que D(s) e N(s) naosao coprimos.Entao existe λ1 (raiz comum) tal que

N(λ1) = β1 λ31 + β2 λ2

1 + β3 λ1 + β4 = 0

D(λ1) = λ41 + α1 λ3

1 + α2 λ21 + α3 λ1 + α4 = 0

Sejav = [λ3

1 λ21 λ1 1]

Entaoc v = 0



Pode-se verificar que

Av =

−α1 −α2 −α3 −α4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

λ31

λ21

λ1

1

=

λ41

λ31

λ21

λ1

= λ1 v

Portanto:

O v =

c

cA

cA2

cA3

v =

c

cAv

cA2v

cA3v

=

cv

λ1 cv

λ21cv

λ31cv

= 0

o que implica que a matriz de observabilidade nao tem postocompleto por colunas, o que e uma contradicao.



Suficiencia: Se D(s) e N(s) sao coprimos entao o sistema eobservavel.Supondo que o sistema nao e observavel. Entao existe umautovalor λ1 de A e um vetor nao nulo v tal que (ver teorema decondicoes de controlabilidade)

[

A − λ1 I

c

]

v = 0

entaoAv = λ1 v e cv = 0

Portanto v e um autovetor de A. Mas foi mostrado quev = [λ3

1 λ21 λ1 1] e um autovetor de A.



Substituindo-se v e c em cv = 0 segue que

N(λ1) = β1 λ31 + β2 λ2

1 + β3 λ1 + β4 = 0

e portanto λ1) e uma raiz de N(s). Como λ1 tambem e uma raizde D(s) seque que N(s) e D(s) nao sao coprimos o que e umacontradicao.



Forma canonica de observabilidadeConsidere a primeira forma canonica de controlabilidade de

g(s) = c(sI − A)b

Tomando a transposta

g ′(s) = g(s) = [c(sI − A)b]′ = b′(sI − A′)−1c′

Portanto

x = A′ + c′u =

−α1 1 0 0−α2 0 1 0−α3 0 0 1−α4 0 0 0

x +

β1

β2

β3

β4

u

y = b′ x = [1 0 0 0] x

e uma outra realizacao de funcao de transferencia g(s).



Outra forma canonica observavelUsando a mesma transformacao de equivalencia usada para aforma canonica de controlabilidade x = Px onde

P =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

obtem-se

0 0 0 −α4

1 0 0 −α3

0 1 0 −α2

0 0 1 −α1

x +

β1

β2

β3

β4

u

y = b′ x = [1 0 0 0] x

que e uma outra forma canonica de observabilidade.



Teorema

A equacao

x =

−α1 1 0 0−α2 0 1 0−α3 0 0 1−α4 0 0 0

x +

β1

β2

β3

β4

u

y = b′ x = [1 0 0 0] x

e controlavel se e somente se D(s) e N(s) sao coprimos.



TeoremaSeja um sistema linear invariante no tempo, monovariavel econtrolavel. Entao existe uma transformacao de equivalencia quecoloca o sistema na forma:

˙x =

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 1

−αn −αn−1 −αn−2 · · · −α2 −α1

x +

00...001

u

y =[

βn βn−1 βn−2 · · · β2 β1

]

x + du

onde α1, α2, . . . , αn sao os coeficientes do polinomiocaracterıstico de A e β1, β2, . . . , βn sao calculados a partir daequacao do sistema (S).



A representacao anterior e conhecida como Forma CanonicaControlavel e a funcao de transferencia do sistema e dada por:

g(s) =β1s

n−1 + β2sn−2 + · · · + βn

sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn

+ d



Prova

Vamos definir:

qn , b

qn−1 , Aqn + α1qn = Ab + α1b

qn−2 , Aqn−1 + α2qn = A(Ab + α1b) + α2q

n = A2b + α1Ab + α2b

...

q1 , Aq2 + αn−1qn = An−1b + α1A

n−2b + · · · + αn−1b

mas,QA = AQ = A

[

q1 q2 · · · qn]



Aq1 = A(

An−1b + α1An−2b + · · · + αn−1b

)

= Anb + α1An−1b + · · · + αn−1Ab

= Anb + α1An−1b + · · · + αn−1Ab + αnb − αnb

=(

An + α1An−1 + · · · + αn−1A + αnI

)

b − αnb

Aq1 = −αnb

Aq1 =[

q1 q2 · · · qn−1 qn]

00...0

−αn



Aq2 = A(

An−2b + α1An−3b + · · · + αn−2b

)

= An−1b + α1An−2b + · · · + αn−2Ab

= An−1b + α1An−2b + · · · + αn−2Ab + αn−1b − αn−1b

=(

An−1 + α1An−2 + · · · + αn−2A + αn−1I

)

b − αn−1b

Aq2 = q1 − αn−1b = q1 − αn−1qn

Aq2 =[

q1 q2 · · · qn−1 qn]

10...0

−αn−1



Aqn = qn−1 − α1qn =

[

q1 q2 · · · qn−1 qn]

00...1

−α1

b = Pb =⇒ Qb = b =⇒[

q1 q2 · · · qn−1 qn]

b = b =⇒

b =

00...01

c = cP−1 = c[

q1 q2 · · · qn−1 qn]

,[

βn βn−1 · · · β2 β1

]



Teorema

Se um sistema linear invariante no tempo e observavel, entao existeuma transformacao de equivalencia que coloca o sistema na forma:

˙x =

0 0 · · · 0 0 −αn

1 0 · · · 0 0 −αn−1

0 1 · · · 0 0 −αn−2...

.... . .

......

...0 0 · · · 1 0 −α2

0 0 · · · 0 1 −α1

x +

βn

βn−1

βn−2...

β2

β1

u

y =[

0 0 · · · 0 0 1]

x + du

Esta forma e denominada Forma Canonica Observavel.



Exemplo

x =

1 2 03 −1 10 2 0

x +

211

u

y =[

0 0 1]

x

Solucao:

∆(λ) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

λ − 1 −2 0−3 λ + 1 −10 −2 λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 =⇒ (λ−1)(λ+1)λ−2(λ−1)−6λ = 0

∆(λ) = λ3 − 9λ + 2 = 0 =⇒ α3 = 2 ; α2 = −9 ; α1 = 0



U =

2 4 161 6 81 2 12

∼

1 2 80 4 00 0 4

=⇒ rank(U) = 3

q3 = b =

211

; q2 = Ab+α1b =

462

+0

211

=

462

q1 = A2b+α1Ab+α2b =

16812

+0

462

−9

211

=

−2−1

3



Q =

−2 4 2−1 6 1

3 2 1

[

β3 β2 β1

]

= cQ =[

0 0 1]

−2 4 2−1 6 1

3 2 1

=[

3 2 1]

Forma Canonica Controlavel:

˙x =

0 1 00 0 1

−2 9 0

x +

001

u

y =[

3 2 1]

x



Forma Canonica Observavel:

˙x =

0 0 −21 0 90 1 0

x +

321

u

y =[

0 0 1]

x

Funcao de Transferencia:

g(s) =s2 + 2s + 3

s3 − 9s + 2



Particularidades da Forma Canonica Observavel (FCO)

˙x =

0 0 · · · 0 0 −αn

1 0 · · · 0 0 −αn−1

0 1 · · · 0 0 −αn−2...

.... . .

......

...0 0 · · · 1 0 −α2

0 0 · · · 0 1 −α1

x +

βn

βn−1

βn−2...

β2

β1

u

y =[

0 0 · · · 0 0 1]

x + du


g(s) =β1s

n−1 + · · · + βn−1s + βn

sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn

+ d



V =

0 0 · · · 0 0 10 0 · · · 0 1 −α1

0 0 · · · 1 −α1 ∗...

.... . .

......

...0 1 · · · ∗ ∗ ∗1 −α1 · · · ∗ ∗ ∗

det(V ) 6= 0 ∀ αi

U : necessario calcular



Particularidades da Forma Canonica Controlavel (FCC)

˙x =

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 1

−αn −αn−1 −αn−2 · · · −α2 −α1

x +

00...001

u

y =[

βn βn−1 βn−2 · · · β2 β1

]

x + du


g(s) =β1s

n−1 + · · · + βn−1s + βn

sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn

+ d



U =

0 0 · · · 0 0 10 0 · · · 0 1 −α1

0 0 · · · 1 −α1 ∗...

.... . .

......

...0 1 · · · ∗ ∗ ∗1 −α1 · · · ∗ ∗ ∗

det(U) 6= 0 ∀ αi

V : necessario calcular



Exemplo:

Encontrar a FCC e a FCO a partir da seguinte funcao detransferencia:

g(s) =4s3 + 25s2 + 45s + 34

2s3 + 12s2 + 20s + 16

Solucao:

Problema: grau do numerador = grau do denominador =⇒ ∃termo de transmissao direta =⇒ divisao de polinomios.

g(s) =s2 + 5s + 2

2s3 + 12s2 + 20s + 16+2 =⇒ g(s) =

0, 5s2 + 2, 5s + 1

s3 + 6s2 + 10s + 8+2



Forma Canonica Controlavel:

˙x =

0 1 00 0 1−8 −10 −6

x +

001

u

y =[

1 2, 5 0, 5]

x + 2u

Forma Canonica Observavel:

˙x =

0 0 −81 0 −100 1 −6

x +

12, 50, 5

u

y =[

0 0 1]

x + 2u



Exemplo:

Vamos considerar o sistema multivariavel:

G (s) =

[

s(s+1)(s+2)

s+2(s+1)2

]

Encontrar uma realizacao para G(s).

Solucao:

G (s) =

[

s(s+1)(s+1)2(s+2)

(s+2)2

(s+1)2(s+2)

]

G(s) =1

(s + 1)2(s + 2)

[

s(s + 1)(s + 2)2

]

=



1

s3 + 4s2 + 5s + 2

[

s2 + s

s2 + 4s + 4

]

˙x =

0 1 00 0 1

−2 −5 −4

x +

001

u

y =

[

0 1 14 4 1

]

x



Realizacoes mınimas

N(s)

D(s)e uma fracao polinomial ou simplesmente uma fracao.

Como

g(s) =N(s)

D(s)=

N(s)Q(s)

D(s)Q(s)

para qualquer polinomio Q(s), as fracoes nao sao unicas.Seja R(s) o maior divisor de N(s) e D(s). Isto significa queN(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s) com N(s) e D(s) coprimos.Entao toda funcao racional g(s) pode ser reduzida a

g(s) =N(s)

D(s)

que e uma fracao coprima.O polinomio D(s) e o polinomio caracterıstico de g(s).



Exemplo

g(s) =s2 − 1

4(s3 − 1)

O termo comum e s − 1. A fracao coprima e dada por

g(s) =s + 1

4(s2 + s + 1)

O polinomio caracterıstico e 4s2 + 4s + 4.Grau da funcao racional e 2.



Teorema

Uma equacao de estado (A,b, c, d) e uma realizacao mınima dafuncao racional g(s) se e somente se (A,b) e controlavel e (A, c) eobservavel ou se e somente se

dim A = grau g(s)

Necessidade: (A,b) deve ser controlavel e (A, c) deve serobservavel, para ser realizacao mınima.Se (A,b) nao for controlavel ou se (A, c) nao for observavel, entaoexiste uma realizacao com dimensao menor com a mesma funcaode transferencia (teoremas anteriores sobre decomposicao).



Suficiencia: Se (A,b) e controlavel e (A, c) e observavel entao arealizacao e mınima.Seja o sistema de dimensao n controlavel e observavel

x = Ax + b u

y = c x + d u

Entao as matrizes de controlabilidade

C =[

B AB A2B · · · An−1B]

e de observabilidade

O =

C

CA...

CAn−1

tem posto n.



Por contradicao, supondo que exista uma realizacao de g(s) comdimensao n com n < n:

˙x = A x + b u

Entao d = d e

cAm B = c Am b para m = 0, 1, 2, . . .



Seja o produto

OC =

C

CA...

CAn−1

[

B AB A2B · · · An−1B]

=

cb cAb cA2b . . . cAn−1b

cAb cA2b cA3b . . . cAnb

cA2b cA3b cA4b . . . cAn−1b...

......

...

cAn−1b cAnb cAn+1b . . . cA2(n−1)b

Substituindo-se cAm b por c Am b tem-se que

OC = On Cn

com Cn = [B AB An−1B] e On definida de maneira similar.



Como o sistema original e controlavel e observavel segue queρ(C) = n e ρ(O) = n. Entao ρ(OC) = n.Por outro lado a matriz O tem dimensao n × n e C tem dimensaon × n. Portanto o posto maximo de OC e n. Isto contradiz aafirmacao anterior e portanto (A,b, c, d) e mınima.

Segunda parte do teorema: ver C.T Chen



Realizacoes Irredutıveis de Funcoes (Matrizes) RacionaisProprias

Definicao: O polinomio caracterıstico de uma matriz G(s)(racional e propria) e definido como o mınimo multiplo comum detodos os menores de G (s). O grau de G (s) (denotado por δG (s))e definido como o grau do polinomio caracterıstico de G(s)(Chamado de grau de McMillan).



Determinantes Menores: Exemplo 1

1) Seja M =

[

M11 M12 M13

M21 M22 M23

]

Menores [1 × 1]: sao os elementos de M: M11, M12, . . . , M23

Menores [2 × 2]:

∣

∣

∣

∣

M11 M12

M21 M22

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

M11 M13

M21 M23

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

M12 M13

M22 M23

∣

∣

∣

∣



Determinantes menores: Exemplo 2

2) Seja M =

M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

Menores [1 × 1]: M11, . . ., M33

Menores [2 × 2]:

∣

∣

∣

∣

M11 M12

M21 M22

∣

∣

∣

∣

, . . . ,

∣

∣

∣

∣

M22 M23

M32 M33

∣

∣

∣

∣

Menores [3 × 3]: |M|Menores Principais:

|M11|;

∣

∣

∣

∣

M11 M12

M21 M22

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

M22 M23

M32 M33

∣

∣

∣

∣

; |M22|; |M33|; |M|

Menores Lıderes:

|M11|;

∣

∣

∣

∣

M11 M12

M21 M22

∣

∣

∣

∣

; |M|



Exemplo

Determinar a ordem das seguintes matrizes de funcoes detransferencia:

a) G1(s) =

[ 1s+1

1s+1

1s+1

1s+1

]

Menores [1 × 1]: 1s+1 ; 1

s+1 ; 1s+1 ; 1

s+1Menores [2 × 2]: 0

∆(s) = s + 1 =⇒ δG1(s) = 1

OBS: Nao existem menores [2 × 2].



b) G2(s) =

[ 2s+1

1s+1

1s+1

1s+1

]

Menores [1 × 1]: 2s+1 ; 1

s+1 ; 1s+1 ; 1

s+1

Menores [2 × 2]: 1(s+1)2

∆(s) = (s + 1)2 =⇒ δG2(s) = 2

OBS: No caso escalar, G (s) : [1 × 1], o polinomio caracterıstico deG (s) e o proprio denominador.



Exemplo:

Caso de G (s) nao quadrada:

G (s) =

[

ss+1

1(s+1)(s+2)

1s+3

−1s+1

1(s+1)(s+2)

1s

]

∆(s) = s(s + 1)(s + 2)(s + 3) =⇒ δG (s) = 4



Exemplo

Achar uma realizacao irredutıvel para:

G(s) =

[

5s(s+1)(s+3)

2s(s+4)

3s+1(s+2)(s+3)2

3s2

]

Solucao: Realizacoes possıveis:a) A partir de cada elemento de G(s), funcoes de transferenciaescalares:

5s

(s + 1)(s + 3);

2

s(s + 4);

3s + 1

(s + 2)(s + 3)2;

3

s2



b) Por linhas:

G(s) =

[

g1(s)g2(s)

]

b) Por colunas:

G(s) =[

g1(s) g2(s)]



Ordem das realizacoes irredutıveis:Menores [1 × 1]: Elementos de G (s)Menores [2 × 2]:

|G (s)| =15s

s2(s + 1)(s + 3)−

2(3s + 1)

s(s + 2)(s + 3)2(s + 4)

|G (s)| =15(s3 + 9s2 + 26s + 24) − 2(3s2 + 4s + 1)

s(s + 1)(s + 2)(s + 3)2(s + 4)

∆(s) = s2(s + 1)(s + 2)(s + 3)2(s + 4) =⇒ δG (s) = 7



Realizacao tomando-se G(s) =[

g1(s) g2(s)]

g1(s) =

[

5s(s+1)(s+3)

3s+1(s+2)(s+3)2

]

g1(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)2

[

5s(s + 2)(s + 3)(3s + 1)(s + 1)

]

g1(s) =1

s4 + 9s3 + 29s2 + 39s + 18

[

5s3 + 25s2 + 30s3s2 + 4s + 1

]



g2(s) =

[

2s(s+4)

3s2

]

g2(s) =1

s2(s + 4)

[

2s3(s + 4)

]

g2(s) =1

s3 + 4s2)

[

2s3s + 12

]



A representacao de estados e dada por:

x = Ax + Bu

y = Cx

A =

0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0

−18 −39 −29 −9 0 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 −4



B =

0 00 00 01 00 00 00 1

C =

[

0 30 25 5 0 2 01 4 3 0 12 3 0

]

teoria de sistemas lineares i - labspot.ufsc.braguinald/ensino/eel6001/sl10.pdf · realiza¸c˜oes...

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