c^onicas e equa˘c~oes quadr aticas - unesp · par abolas elipses hip erboles equa˘c~oes quadr...

ParabolasElipses

HiperbolesEquacoes quadraticas

Equacoes Parametricas

Conicas e Equacoes Quadraticas

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela

Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP

[email protected]

Araraquara, SP - 2017

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017

ParabolasElipses



1 Parabolas

2 Elipses

3 Hiperboles

4 Equacoes quadraticas

5 Equacoes Parametricas


ParabolasElipses



Introducao


ParabolasElipses



Parabolas

Conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto fixo (Foco)e de uma reta (reta diretriz) fixa no plano.


ParabolasElipses



Parabolas com vertices na origem: forma padrao

d(P,F ) =√

x2 + (y − p)2

d(P,Q) =√

(y + p)2

Igualando d(P,F ) = d(P,Q):

y =x2

4p⇔ x2 = 4py


ParabolasElipses



Parabolas com vertices na origem: forma padrao

Equacao Foco Diretriz Eixo Concavidade

x2 = 4py (0, p) y = −p y para cima

x2 = −4py (0,−p) y = p y para baixo

y2 = 4px (p, 0) x = −p x para a direita

y2 = −4px (−p, 0) x = p x para a esquerda


ParabolasElipses



Exemplo 1: Determinar o foco e a diretriz da parabola y 2 = 10x

Forma padrao: y2 = 4px .

Entao 4p = 10⇒ p =5

2

F = (5

2, 0) e x = −5

2


ParabolasElipses



Elipses

Distancia a dois pontos fixos (Focos) do plano tem soma constante.


ParabolasElipses



Elipses de centro na origem (0, 0)

E o lugar geometrico dos pontos do plano cujas distancias a doispontos fixos (Focos) do plano tem soma constante.

x2

a2+

y2

b2= 1

Focos sobre o eixo x : a > b, focos em (±c, 0), c =√a2 − b2

e vertices em (±a, 0) . Tem-se que a e o semi-eixo maior e b osemi-eixo menor.

Focos sobre o eixo y : b > a, focos em (0,±c), c =√a2 − b2

e vertices em (0,±b) . Tem-se que a e o semi-eixo menor e b osemi-eixo maior.


ParabolasElipses



Exemplo 2

Elipse com focosno eixo x

x2

16+

y2

9= 1


ParabolasElipses



Exemplo 3

Elipse com focosno eixo y

x2

9+

y2

16= 1


ParabolasElipses



Hiperbole de centro na origem


ParabolasElipses



Exemplo 4

Hiperbole com fo-cos no eixo x

x2

4− y2

5= 1


ParabolasElipses



Exemplo 5

Hiperbole com fo-cos no eixo y

y2

4− x2

5= 1


ParabolasElipses



Rotacao dos eixos coordenados

x = OM = OP cos(θ + α)y = MP = OP sen(θ + α)

x ′ = OM ′ = OP cos θy ′ = M ′P = OP senθ


ParabolasElipses



Rotacao dos eixos coordenados

x = OP cos θ︸︷︷︸x ′

cosα− OP senθ︸︷︷︸y ′

senα = x ′ cosα− y ′ senα

y = OP cos θ︸︷︷︸x ′

senα + OP senθ︸︷︷︸y ′

cosα = x ′ senα + y ′ cosα

ou x

y

=

cosα − senα

senα cosα

x ′

y ′


ParabolasElipses



Exemplo 6: hiperbole 2xy = 9

Rotacao dos eixos coordenadospor um angulo π/4 radianos:

x =

√2

2x ′ −

√2

2y ′

y =

√2

2x ′ +

√2

2y ′

2

√2

2(x ′ − y ′)

√2

2(x ′ + y ′) = 9

x ′2

32− y ′2

32= 1


ParabolasElipses



Angulo de rotacao para eliminar o termo misto

Quando aplicamos as equacoes de rotacao

x = x ′ cosα− y ′ senα e y = x ′ senα + y ′ cosα

a equacao quadratica Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx +Ey +F = 0 obtemosuma nova equacao A′x ′2 + B ′x ′y ′ + C ′y ′2 + D ′x ′ + E ′y ′ + F ′ = 0,onde o termo misto tem coeficiente dado por

B ′ = B cos 2α + (C − A) sen2α.

B ′ = 0⇔ tg2α =B

A− C,

sendo α o angulo de rotacao para eliminar o termo misto.


ParabolasElipses



Exemplo 7

Determinar o angulo de rotacao α para eliminar o termo misto daequacao quadratica 2x2 +

√3xy + y2 − 10 = 0.

Solucao:

A = 2, B =√

3 e C = 1⇒ tg2α =

√3

2− 1=√

3

2α =π

3⇒ α =

π

6 x

y

=

√3

2 −12

12

√3

2

x ′

y ′


ParabolasElipses



Continuacao do Exemplo 7

Substituindo

x =

√3

2x ′ − 1

2y ′ e y =

1

2x ′ +

√3

2y ′

na equacao quadratica dada obtem-se

5

2x ′2 +

1

2y ′2 − 10 = 0⇔ x ′2

4+

y ′2

20= 1


ParabolasElipses



Resumindo...

Quando aplicamos as equacoes de rotacao

x = x ′ cosα− y ′ senα e y = x ′ senα + y ′ cosα,

a equacao quadratica

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

obtemos uma nova equacao

A′x ′2 + B ′x ′y ′ + C ′y ′2 + D ′x ′ + E ′y ′ + F ′ = 0

Se tg 2α = BA−C , entao o termo misto tem coeficiente dado por

B ′ = 0.


ParabolasElipses



Analise da equacao quadratica

Obtida a nova equacao

A′x ′2 + C ′y ′2 + D ′x ′ + E ′y ′ + F ′ = 0

tem-se:

Parabola: A′ = 0 ou C ′ = 0, isto e A′C ′ = 0

Elipse: A′ e C ′ tem o mesmo sinal, isto e A′C ′ > 0

Hiperbole: A′ e C ′ tem o sinais opostos, isto e A′C ′ < 0


ParabolasElipses



Teste do discriminante

Pode ser verificado que para toda a rotacao de eixos tem-se

B2 − 4AC = B ′2 − 4A′C ′ = −4A′C ′

Portanto:

Parabola: B2 − 4AC = 0

Elipse: B2 − 4AC < 0

Hiperbole: B2 − 4AC > 0


ParabolasElipses



Exemplo 8

Determinar o tipo de conica representado pelas seguintes equacoes:

a) 3x2 − 6xy + 3y2 + 2x − 7 = 0

b) x2 + xy + y2 − 1 = 0

c) xy − y2 − 5y + 1 = 0

a) B2 − 4AC = (−6)2 − 4 · 3 · 3 = 36− 36 (parabola)b) B2 − 4AC = 1− 4 · 1 · 1 = −3 < 0 (elipse)c) B2 − 4AC = 1− 4(0)(−1) = 1 > 0 (hiperbole)


ParabolasElipses



Exemplo 8: continuacao


ParabolasElipses



Exemplo 9

Identifique a curva dada pela equacao parametrica x = t, y = t2,−∞ < t <∞.

Solucao:

Identificamos a curva eliminando t:

t = x ⇒ y = t2 = x2

Tem-se uma parabola.


ParabolasElipses



Exemplo 10

Identifique a curva dada por x = sec t, y = tgt, −π/2 < t < π/2.

Solucao:

Eliminando t:

sec2 t − tg2t = 1⇒ x2 − y2 = 1

Tem-se o ramo direito de uma hiperbole. Observe que x = sec t > 0no intervalo −π/2 < t < π/2.


ParabolasElipses



Exercıcios

1) A parabola y2 = 8x e transladada de 2 unidades para baixo e 1unidade para a direita. Determine a equacao, o foco, o vertice ea diretriz da nova parabola. Esboce as parabolas.

2) A elipsex2

16+

y2

9= 1 e transladada de 4 unidades para a direita

e 3 unidades para cima. Determine a equacao, os focos, o verticee o centro da nova elipse. Esboce as elipses.

3) A hiperbolex2

16− y2

9= 1 e transladada de 2 unidades para a

direita. Determine a equacao, o centro, os focos e as assıntotasda nova hiperbole. Esboce as hiperboles.


ParabolasElipses



Exercıcios

4) Esboce a regiao do plano xy cujas coordenadas satisfazem a desi-gualdade 9x2 + 16y2 ≤ 144

5) Esboce a regiao do plano xy cujas coordenadas satisfazem a desi-gualdade x2 + y2 ≥ 1 e 4x2 + 9y2 ≤ 36

6) Aplique uma rotacao nos eixos coordenados para mudar a equacaox2 + xy + y2 = 1 para uma equacao sem o termo misto xy .

7) Decida se a equacao x2 + 4xy + 4y2 + 6x + 12y + 9 = 0 representauma parabola, uma elipse ou uma hiperbole. Fatore a equacao em(x + 2y)(x + 2y + 6) = −9 para mostrar que o grafico e uma reta(Sugestao: faca z = x + 2y para obter a equacao da reta)


c^onicas e equa˘c~oes quadr aticas - unesp · par abolas elipses hip erboles equa˘c~oes quadr...

Documents