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Modelagem de Sistemas de Controle por Espaco de

Estados

A modelagem por espaco de estados possui diversas vantagens.

• Introduz a teoria conhecida como“Controle Moderno”;

• Adequada para sistemas de multiplas entradas e multiplas saıdas (MIMO);

• Possibilita o projeto de controladores usando tecnicas avancadas.

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil


Estados

Algumas definicoes:

• Estado: O estado de um sistema dinamico e o menor conjunto devariaveis (chamadas variaveis de estado) tal que o conhecimento destasvariaveis para t = t0 ,juntamente com a entrada para t ≥ t0, determinacompletamente o comportamento do sistema para qualquer instantet ≥ t0.

• Variaveis de estado: As variaveis de estado de um sistema dinamico saoo menor conjunto de variaveis que determinam o estado do sistemadinamico. Se pelo menos n variaveis x1(t), x2(t), . . . , xn(t) sao necessariaspara descrever completamente o comportamento de um sistema dinamico(tal que uma vez dada a entrada para t ≥ t0 e o estado inicial em t = t0, oestado futuro do sistema esta completamente determinado), entao as taisn variaveis x1(t), x2(t), . . . , xn(t) sao um conjunto de variaveis de estado.

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Estados

• Se n variaveis de estado sao necessarias para descrever completamente ocomportamento de um sistema, entao estas n variaveis de estado podemser consideradas como as n componentes de um vetor x(t). Tal vetor echamado de vetor de estados.

• O espaco n dimensional cujo eixos de coordenadas sao x1, x2, . . . , xn, echamado espaco de estados. Qualquer estado pode ser representado porum ponto no espaco de estados.

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Estados

Trabalhamos nesse curso com o sistema linear na forma

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (1)

y(t) = Cx(t) +Du(t), (2)

onde A e chamada de matriz de estado, B matriz de entrada, C matriz desaıda e D matriz de transicao direta. Uma representacao do diagrama deblocos deste sistema de equacoes lineares pode ser representado em diagramade blocos, como mostrado na Figura 1.

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Figura: Diagrama de blocos de um sistema linear de tempo contınuo representadono espaco de estados.

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Exemplo

Representar circuito RLC na forma

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

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Relembrando a lei da tensoes de Kirchhoff:

Ldi(t)

dt+ Ri(t) + eo(t) = ei (t) e

Cdeo(t)

dt= i(t)

Denomine x1(t) = i(t) [corrente no Indutor], x2(t) = eo(t) [tensao noCapacitor], u(t) = ei (t) [entrada de tensao] para escrever as duas equacoes:

Lx1(t) + Rx1(t) + x2(t) = u(t) Cx2(t) = x1(t)

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Podemos reescrever as duas equacoes anteriores de modo equivalente a:

[x1(t)x2(t)

]

=

[−RL

−1L

0 1C

] [x1(t)x2(t)

]

+

[1L

0

]

u(t) (3)

Se consideramos eo(t) a saıda, entao

y(t) = [0 1]

[x1(t)x2(t)

]

.

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Circuitos RLC

Para um circuito eletrico RLC, pode-se empregar o seguinte procedimentopara obtencao da representacao em espaco de estados:

1. Escolha cada tensao independente de capacitores e toda correnteindependente de indutor como variaveis de estado;

2. Encontre um conjunto de correntes de malha e expresse as variaveis deestado e suas respectivas derivadas primeiras em termos das correntes demalha;

3. Escreva as equacoes de malha e elimine todas as variaveis, exceto as deestado e suas primeiras derivadas, das equacoes encontradas nos passosanteriores.

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Circuitos RLC

Exemplo

Obtenha uma representacao em espaco de estados para o circuito da Figuraabaixo.

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Passo 1: Ha um capacitor e um indutor no circuito. Assim a corrente x1 noindutor e a tensao x2 no capacitor serao escolhidas como variaveis de estado.Passo 2: A relacao entre as correntes de malha e as variaveis de estado saodadas por:

x1 = i2 (4)

1

2x2 = i2 − i3 (5)

Passo 3: As equacoes de malha sao:

4i1 − 2i2 = v (6)

2 (i2 − i1) + x1 + x2 = 0 (7)

−x2 + 3i3 = 0 (8)

Eliminando i1, i2 e i3 das equacoes anteriores, segue que:

x1 = 2 (−i2 + i1)− x2 = −x1 +1

2v − x2, (9)

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E

x2 = 2x1 −2

3x2. (10)

Portanto,

[x1x2

]

︸︷︷︸

x

=

[−1 −12 −2/3

]

︸︷︷︸

A

[x1x2

]

︸︷︷︸

x

+

[1/20

]

︸︷︷︸

B

v . (11)

Considere que a saıda seja a tensao no resistor de 2Ω da malha mais a direita,ou seja,

y = 2i3 =2

3x2, (12)

ou seja,

y =[0 2/3

]

︸︷︷︸

C

[x1x2

]

︸︷︷︸

x

+ 0︸︷︷︸

D

v . (13)

Vale lembrar que a forma de representacao em espaco de estados nao e unica.12 of 42


Representacao em Espaco de Estados de Sistemas de

EDO Lineares com derivadas na entrada

Considere um sistema dinamico descrito pela equacao diferencial

(n)y +a1

(n−1)y + · · · an−1y + any = b0

(n)u +b1

(n−1)u + · · ·+ bn−1u + bnu, (14)

ou, equivalentemente, pela funcao de transferencia

T (s) =Y (s)

U(s)=

b0sn + b1s

n−1 + · · ·+ bn−1s + bn

sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s + an(15)

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Uma das possıveis representacoes em espaco de estados que pode ser obtida,neste caso, consiste em definir as n variaveis de estado da seguinte forma:

x1 = y − β0u

x2 = x1 − β1u

x3 = x2 − β2u...

xn = xn−1 − βn−1u

onde,β0 = b0

β1 = b1 − a1b0β2 = b2 − a1β1 − a2b0

...βn = bn − a1βn−1 − · · · − an−1β1 − anb0

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Com tal escolha, pode-se mostrar que:

x1 = x2 + β1u

x2 = x3 + β2u...

xn−1 = xn + βn−1u

xn = −anx1 − an−1x2 − · · · − a1xn + βnu

Em termos de vetor e matriz, tem-se:

x1x2...

xn−1

xn

︸︷︷︸

x

=

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1−an −an−1 −an−2 · · · −a1

︸︷︷︸

A

·

x1x2...

xn−1

xn

︸︷︷︸

x

+

β1

β2

...βn−1

βn

︸︷︷︸

B

u

(16)

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y =[1 0 . . . 0

]

x1x2...xn

+ β0u (17)

Em seguida serao vistas algumas outras formas de representacao da Equacao(14) no espaco de estados.

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Sistemas lineares

No espaco de estados, e possivel determinar G(s) = Y (s)U(s) . Note que

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (18)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (19)

Aplicando a transformada de Laplace na equacao anterior e considerandocondicoes iniciais nulas, tem-se que

sX (s) = AX (s) + BU(s) (20)

Y (s) = CX (s) + DU(s) (21)

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Da primeira equacao, tem-se que

(sI− A)X (s) = BU(s) ⇒ X (s) = (sI − A)−1BU(s) (22)

Substituindo X (s) na segunda equacao, tem-se que

Y (s) =[C(sI− A)−1B+ D

]U(s) (23)

Portanto,Y (s)

U(s)= C(sI− A)−1B+ D = G(s) (24)

Como o termo (sI − A)−1 aparece na expressao de G(s), verifica-se que

G(s) =Q(s)

det (sI− A), (25)

onde Q(s) e um polinomio em s e det(·) e o determinante de uma matriz.Note que os polos de G(s) sao os autovalores de matriz A.

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Solucao de Equacoes de Estado Homogeneas

A solucao de uma equacao diferencial homogenea do tipo

x(t) = ax(t), (26)

e dada por

x(t) = eatx(0) (27)

Analogamente para uma equacao de estado homogenea do tipo

x(t) = Ax(t), (28)

tem-se a seguinte solucao:

x(t) = eAtx(0) (29)

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O termo eAt e chamado de matriz exponencial. Pode-se mostrar que

eAt =

∞∑

k=0

Aktk

k!(30)

Algumas propriedades:

•ddteAt = AeAt;

• eAte−At = eA(t−t) = I;• e(A+B)t = eAteBt, se AB = BA;• e(A+B)t 6= eAteBt, se AB 6= BA;• eA(t+τ ) = eAteAτ .

A solucao da equacao de estados homogenea tambem pode ser feitautilizando a transformada de Laplace. Aplicando-se a transformada naequacao x = Ax , verifica-se que

sX(s)− x(0) = AX(s) ⇒ (sI− A)X(s) = x(0) (31)

Portanto,

X(s) = (sI − A)−1

x(0) (32)20 of 42


Aplicando a transformada inversa de Laplace, tem-se:

x(t) = L−1

[

(sI− A)−1

]

x(0) (33)

Portanto, tem-se que:

L−1

[

(sI− A)−1]

= eAt (34)

Exemplo

Considere o sistema linear[x1(t)x2(t)

]

=

[0 −11 −2

] [x1(t)x2(t)

]

com condicoes iniciais x0 = [1 1]′. Determine x(t).

Solucao:

Precisamos determinar eAt para usar a expressao x(t) = eAtx0 .

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Note que

(sI − A)−1 =

[s 1−1 s + 2

]−1

=1

(s + 1)2

[s + 2 −11 s

]

Aplicando tecnica de expansao por fracoes parciais chega-se a:

1

(s + 1)2

[s + 2 −11 s

]

⇒ exp(At) =

[(1 + t) exp(−t) −t exp(−t)

t exp(−t) (1− t) exp(−t)

]

Entao[x1(t)x2(t)

]

=

[(1 + t) exp(−t) −t exp(−t)

t exp(−t) (1− t) exp(−t)

] [11

]

=

[exp(−t)exp(−t)

]

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Solucao do Sistema Linear

Considere o sistema linear

x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0.

Dada a condicao inicial x(0) e a entrada u(t) para todo o instante de tempot ≥ 0, a solucao do sistema e:

x(t) = eAtx(0) +

∫ t

0

eA(t−τ )Bu(τ)dτ

Homework:Considere o sistema linear

[x1(t)x2(t)

]

=

[0 −11 −2

] [x1(t)x2(t)

]

+

[10

]

u(t)

com condicoes x0 = [1 1]′ e u(t) = 1, ∀t ≥ 0. Determine x(t).23 of 42


Realimentacao completa de estados

Considere o sistema a controlar representado no espaco de estados por:

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (35)

Supondo a existencia de sensores ou medidores de todas as variaveis deestado em x(t) = [x1(t), . . . , xn(t)]

′, podemos entao usar elementosx1(t), . . . , xn(t) para implementar a realimentacao de estados.

• A saıda y(t) = Cx(t) pode ser reescrita com C igual a matriz identidade.Isso significa que y(t) = x(t).

• Se cada uma das variaveis de estado xi (t) for empregada no controleatraves de um ganho ki , havera n ganhos ki , representados pelo vetorK = [k1 · · · kn] que podem ser ajustados para produzir os valores desejadosdos polos de malha fechada atraves da formula

u(t) = Kx(t) + r(t),

no qual r(t) representa a entrada de referencia (pode ser degrau, rampa,senoide, ou outra entrada qualquer).

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Com a realimentacao estados, tem-se que:

x = Ax+ B (Kx+ r) = (A+ BK) x+ Br (36)

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• No problema de rastreamento consideramos r(t) 6= 0 qualquer (degrau,rampa, etc).

• No problema de regulacao consideramos r(t) = 0 (sempre nulo).

Vamos supor que desejamos trabalhar a regulacao. Disto a equacaocaracterıstica do sistema descrito em (36) e dada por

det (sI− [A+ BK]) (37)

Suponha que desejamos alocar os polos da malha fechada em p1, . . . , pn.Entao

pc(s) = (s − p1) · (s − p2) · · · (s − pn) , (38)

e por isso o vetor K pode ser obtido como

det (sI− [A+ BK]) = (s − p1) · (s − p2) · · · (s − pn) (39)

Se o sistema dinamico x(t) = Ax(t) + Bu(t) e controlavel, entao sempreexiste K = [k1 k2 · · · kn], tal que

det (sI− [A+ BK]) = pc(s)

para qualquer polinomio pc(s) de grau n especificado.26 of 42


Controlabilidade

• Conceito importante: Controlabilidade.

• Dizemos que um sistema linear x(t) = Ax(t) + Bu(t) e controlavel se amatriz

C =[B AB A2B · · · An−1B

]

possui rank(C)=n. Isso significa que todas as linhas de C obrigatoriamentedevem ser linearmente independentes entre si.

Exemplo

Considere o sistema descrito por

x(t) =

0 1 00 0 1−1 −5 −6

x(t) +

101

u(t)

E possıvel alocar os polos de malha fechada do sistema controlado ems = −2 + j4, s = −2− j4 e s = −10? Se sim determine K tal queu(t) = Kx(t) realiza essa tarefa.

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Solucao:

O Sistema e controlavel pois n = 3,

C =

1 0 10 1 −7−1 −7 37

e o rank(C)=3 pois todas as linhas de C sao linearmente independentes.Portanto a resposta e sim.

Projeto do controle: defina K = [k1 k2 k3]

A+ BK =

k1 k2 + 1 k30 0 1

k1 − 1 k2− 5 k3− 6

tem-se que:

det (sI− [A+ BK]) =

s −1 00 s −1

1− k1 5− k2 s + 6− k3

= k2 − 6k1 + 5s − 6k1s − k2s + k3s − k1s2 − k3s

2 + 6s2 + s3 + 1

= s3 + (6− k1 − k3) s2 + (5− 6k1 + k3 − k2) s + (1 + k2 − 6k1)

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Usando os polos em s = −2 + j4, s = −2− j4 e s = −10 podemos escrever

(s − (−2 + j4))(s − (−2− j4))(s + 10) = s3 + 14s2 + 60s + 200

Logo,

s3 + (6− k1 − k3) s2 + (5− 6k1 + k3 − k2) s + (1 + k2 − 6k1)

= s3 + 14s2 + 60s + 200

Da igualdade acima obtemos (Homework: determine k1, k2, k3)

K = [k1 k2 k3]

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Realimentacao de saıda

Considere o sistema a controlar representado no espaco de estados por:

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (40)

Suponha que exista somente alguns sensores ou medidores disponıveis. Issoquer dizer que nao temos sensores simultaneamente para x1(t), . . . , xn(t).Equivalentemente, a matriz C e “deitada”, ou seja, rank(C ) e menor que n.Adotamos

u(t) = Fy(t) = FCx(t)

• Problema: determinar F = [f1, . . . , fq] de modo que os polos de malhafechada de A+ BFC satisfacam especificacoes de projeto

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Realimentacao de saıda

HomeworkConsidere o sistema linear descrito por

x =

4 2 41 0 00 1 0

x +

100

u

y =

[1 0 10 1 0

]

x

(a) Encontre (se possıvel; se nao for possıvel, justifique) uma realimentacaode estados u = Kx , K ∈ R

1×3, que aloque os autovalores do sistema emmalha fechada A+ BK em −1,−2,−3.(b) Encontre (se possıvel; se nao for possıvel, justifique) uma realimentacaode saıda u = Fy , F ∈ R

1×2, que aloque os autovalores do sistema em malhafechada A+ BFC em −1,−2,−3.

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Conversor DC-DC buck

Conversor DC-DC buckEste conversor e muitıssimo utilizado em aplicacoes de Eletronica. Suacaracterıstica basica e prover na saıda (ou seja em vo(t)) uma tensao inferioraquela da entrada vg (t). Determine a representacao em Espaco de Estados.

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Solucao

O conversor DC-DC opera em dois modos: ON ou OFF. Note na Figura que oDriver envia ao MOSFET um sinal PWM que liga-desliga o MOSFET. Talcomportamento faz o MOSFET atuar como uma chave“fechada”ou“aberta”.

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• CASO 1: MOSFET no modo ON:MOSFET se comporta como chavefechada e o diodo nao conduz. Entaoo circuito do conversor DC-DC buckpode ser reescrito na forma da figuraacima. [Considere sempre iinj(t) = 0].Escreva RON = RL + Rt

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• CASO 2: MOSFET no modo OFF:MOSFET se comporta como chaveaberta e o diodo conduz. Entao ocircuito do conversor DC-DC buckpode ser reescrito na forma da figuraacima. [Considere sempre iinj(t) = 0].Escreva Roff = RL + Rd

Observacao: Neste Caso 2as equacoes sao as mesmasdo Caso 1, exceto que deve-se fazer alı vg (t) = 0 e tro-car RON por Roff para re-cuperar as expressoes exa-tas para o Caso 2.

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Importante

Observe que obtemos dois sistemas distintos, o primeiro valido para ON e osegundo para OFF. Qual deles devemos adotar?

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• Qual dos sistemas devemos adotar? Resposta: Sistema medio obtido comocombinacao linear de ambos.

Fato: Quando a frequencia do PWM e superior a 10 KHz, a representacaomedia apresenta-se muito adequada para capturar o comportamento real doconversor buck.

0 ≤ δ(t) ≤ 1

δ(t) representa a porcentagem do tempo ON do Duty-cycle do PWM.

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Representar media do Conversor DC-DC buck

O sistema medio do conversor buck e

dx(t)

dt= δ(t)[A1x(t) + B1u(t)] + (1 − δ(t))[A2x(t) + B2u(t)]

Lembrando que iinj(t) = 0 e que A1 = A2 temos

dx(t)

dt= A1x(t) + B1Vg (t)δ(t)

y(t) = C1x(t)

Normalmente supomos a entrada Vg (t) um valor constante, entao δ(t) passaa ser a entrada de controle restrita a assumir valores somente no intervalo[0, 1].

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Exercıcio do conversor DC-DC buck

ExercıcioConsidere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:

Rt = RL = RC = 1mΩ L = 20mH C = 100µF R = 10Ω Vg (t) = 25V

1. Determine a equacao de espaco de estados do conversor.

2. Determine se o sistema e controlavel.

3. Determine o ganho K = [k1 k2] de modo que a matriz do sistema emmalha fechada A+ BK seja estavel.

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Exercıcio do conversor DC-DC buck

ExercıcioConsidere o conversor buck da figura acima e adote valores abaixo:

Rt = RL = RC = 0 L = 2H C = 1F R = 2Ω Vg (t) = 4V

(a) Determine a solucao de x(t) considerando x(0) = [0 0]′ e δ(t) = 0.5,∀t ≥ 0.(b) Determine a corrente e tensao do conversor quando o tempo tende ainfinito.

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Dica de atividades

Dica

1. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia deControle Moderno”.

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