sistemas no espaço de estados controle dinâmico. 2 projeto no espaço de estados: b.12.1, 2, 3, 5,...
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Sistemas no Espaço de Estados
Controle Dinâmico
2
Projeto no Espaço de Estados:
B.12.1, 2, 3, 5, 6 e 8
Lista de Exercícios (Ogata 4ed )Modelagem: B.3.9 a B.3.12, B.3.15Controlabilidade e Observabilidade: B.11.13-17
3
Representação de um sistema no espaço de estadosSistema causal
uy
u
DCx
BAxx
4
Representação em espaços de Estados equação dinâmica:
)()()()()( 321 tutyatyatyaty
x
xx
001
),(
1
0
0
100
010
)(
123
y
tu
aaa
t
yxxyxxyx 23121 , ,com
pode ser escrita como
5
Forma canônica controlável
)()()()()(
)()()()(
1)2(
2)1(
1)(
0
1)1(
1)(
tubtubtubtubtub
tyatyatyaty
nnnnn
nnnn
)(
),(
1
0
0
0
100
0100
0010
)(
00110110
11
tbbabbabbaby
t
aaa
t
nnnn
nn
ux
uxx
6
representação em diagrama de blocos
Forma canônica controlável
7
)( 100
),(
100
00
10
001
000
)(
0
011
011
0
1
1
tby
t
bab
bab
bab
a
a
a
tnn
nn
n
n
ux
uxx
Forma canônica observávelTranspondo a forma canônica controlável
8
Forma canônica observável
9
Forma canônica diagonalSe a função de transferência G(s) tem raízes distintas
n
n
ps
c
ps
c
ps
cbsG
...)(
2
2
1
10
ubcccy
u
p
p
p
n
n
021
2
1
,
1
1
x
xx
10
Forma canônica diagonal
11
Exemplo: Formas canônicas Considere um sistema definido pela
equação dinâmica:
uuuyyyy 15738147
Obter realizações no espaço de estado nas formas:1)Canônica controlável2)Canônica observável3)Canônica diagonal
12
A partir deuuuyyyy 15738147
Exemplo: Formas canônicas
x
xx
3715
,
1
0
0
7148
100
010
y
u
Por inspeção obtemos diretamente a forma canônica controlável:
8147
1573)(
23
2
sss
sssGOu de
13
Transpondo a forma canônica controlável, obtemos a forma canônica observável
x
xx
100
,
3
7
15
710
1401
800
y
u
Exemplo: Formas canônicas
14
expandindo G(s) em frações parciais:
4
6
35
.2
2
13
1
3
11
)(
sss
sG
)4( )2( )1(
1573
8147
1573)(
2
23
2
sss
ss
sss
sssG
x
xx
6
35
2
13
3
11
,
1
1
1
400
020
001
y
u
Exemplo: Formas canônicas
15
x
xx
6
35
2
13
3
11
,
1
1
1
400
020
001
y
u
4
6
35
.2
2
13
1
3
11
)(
sss
sG
Exemplo: Formas canônicas
Obtemos a forma diagonal
16
Não unicidade
A realização no espaço de estados não é única:
x
xx
Cy
tBuAt
),()(
x
xx
CTy
tBuTATTt
),()( 11
BAsICsG 1
17
Note que no entanto, o polinômio característico não muda
AsITAsIT
ATTTsTATTsI
detdetdetdet
detdet1
111
18
Teorema de Cayley-Hamilton
Toda matriz A satisfaz a sua própria equação característica
0...det 11
1
nnnn asasasAsIs
Se
0... 11
1 IaAaAaAA nnnn
então
19
Controlabilidade Definição O sistema
é dito de estado completamente controlável se para qualquer estado inicial , e qualquer estado existe uma entrada que transfere para em um intervalo de tempo finito. Caso contrário o sistema é dito não-controlável.
nxtx 00nx 1
x
xx
Cy
tBuAt
),()(
20
21
22
23
Exemplo•Em que condições para k1, k2, b1 e b2 a posição (x1,x2) da plataforma não é controlável?
24
Solução
25
26
Exercício
x
xx
010
, 1
11
13
y
ub
Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável
,
03
0
24
400
020
011
ub
xx
27
Resposta_Exercício
21
para lcontroláve é não 1
11
13sistema O
b
ub
xx
Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável
0para apenas lcontroláve não
,
03
0
24
400
020
011
b
ubxx
28
29
Observabilidade
Se o estado inicial pode ser determinado, com o conhecimento de u(t) podemos reconstruir/deduzir toda a trajetória x(t).
30
Observabilidade
31
Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
tDutCty
tButAt
x
xx ),()(
Sabemos que a solução geral de
É da forma
tDudBueCxCetyt
tAAt
0
0
medido desconhecidoconhecido
32
descAt
ttA
medobsAt xCetDudBueCtyxCe ,0
0
,0
0,0,0 descobsAt xxCe
Como observação de x0 fazemos
Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se
0*0 ,0* xtxCe At
Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
33
0*0*0
CxxCet
At
0*0*0*0
0
CAxxCAexCedt
dt
At
t
At
0*0*0
xCAxCedt
d k
t
Atk
k
0*0* 2
02
2
xCAxCedt
d
t
At
Derivando
Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
34
k
k
CA
CA
CA
C
1
Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se
Pelo Teorema de Cayley Hamilton precisamos apenas considerar até k=n-1
Ou seja, devemos ter
0*0*1
xx
CA
CA
CA
C
k
k
posto coluna pleno
Pseudo-prova_Teorema Observabilidade
35
ExemploConhecendo-se a entrada u(t) e medindo-se a saída y(t) por um período de tempo suficiente, pode-se determinar o valor de x2(0)?
36
Solução
Sistema observável
37
Exercício