ufop controle de processos por computador. modelagem no domínio do tempo representação no espaço...

UFOP

Controle de Processos por Computador

Modelagem no Domínio do Tempo

• Representação no espaço de estados– Modelagem de um sistema físico (planta ou

processo industrial, por exemplo) no domínio do tempo

– Modelagem de sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas

– Simulação em computador do comportamento dinâmico do sistema

Modelagem no Domínio do Tempo• Procedimento

– Selecionar um subconjunto de variáveis de interesse, as quais são chamadas de variáveis de estado

– Para um sistema de ordem “n”, escrever n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas em termos das variáveis de estado

– Sabendo-se as condições iniciais das variáveis de estado e a entrada do sistema, pode-se resolver tais equações diferenciais em função das variáveis de estado

– A combinação algébrica das variáveis de estado com as entradas pode ser utilizada para a determinação das demais variáveis do sistema, cada qual correspondendo a uma equação de saída

– As equações de estado e as equações de saída constituem a representação de um sistema físico no espaço de estados


• Exemplo: Dado o sistema abaixo, obtenha uma representação no espaço de estados, utilizando i(t) como variável de estado

Dados: condições iniciais nulas e entrada em degrau


– 1 – Selecionar a variável de estados i(t), por exemplo

– 2 – Para um sistema de ordem 1, necessita-se de uma equação diferencial (equação de estado)

– 3 – Resolver a equação diferencial em função da condição inicial e entrada dadas

0di t

v t L Ri tdt


– 4 – Podem-se obter todas as outras variáveis do sistema em função de i(t) e da entrada

Continuação 0L sI s i RI s V s

01 1 1 iI s R RR s s s

L L

1 0R Rt tL Li t u t e i e

R


e ou• vR e vL são as equações de saída

– 5 – As equações de estado e de saída constituem uma representação do comportamento do sistema analisado no espaço de estados

Continuação Rv t Ri t Lv t v t Ri t 1di tv t Ri t

dt L


• Exercício: repita o exemplo anterior, utilizando vR(t) como variável de estado

• Exemplo: Dado o sistema abaixo, determine a representação no espaço de estados utilizando i(t) e q(t) como variáveis de estado

Modelagem no Domínio do Tempo– 1 – Escolher as variáveis de estado

• i(t) e q(t)– 2 – Escrever as equações de estado

• Sistema de 2ª ordem requer 2 equações de estado

e, a partir da equação acima, obtém-se as equações de estado

as quais podem ser resolvidas no domínio da

transformada e posteriormente calculadas no tempo (transformada inversa de Laplace) durante o passo 3

1 0di t

v t Ri t L i t dtdt C

Usando a definição

de corrente

dq ti t

dt

2

2

1 0dq t d q t

v t R L q tdt dt C

1 1di t R i t q t v tdt L LC L

dq ti t

dt


e Continuação 2

1

1LI s Rs s

L LC

2

111

LQ s Rs s sL LC

Modelagem no Domínio do Tempo– 4 – A partir das funções obtidas no passo 3, pode-se

calcular as demais variáveis do sistema, como por exemplo a tensão sobre o indutor (equação de saída)

– 5 – As equações de estado e as equações de saída constituem a representação do sistema no espaço de estados

– Observação:• Uma equação diferencial de ordem “n” pode ser convertida

em “n” equações diferenciais de 1ª ordem

1Lv t q t Ri t v t

C


• Exercício: Represente as equações de estado e as equações de saída do exercício anterior na forma matricialx = Ax+Bu

dq tdt

di tdt

x

q ti t

x

0 11 RLC L

A

01L

B

u t v t y Du Cx

Ly v t

1 RC C

q ti t

x

1D

u t v t


• Exercício: repita o exemplo anterior utilizando vR(t) e vc(t) como variáveis de estado


• Resumidamente– O espaço de estados é aquele cujos eixos são as

variáveis de estado, sendo definido, pois, pelas equações de estado e de saída

– As variáveis de estado devem ser linearmente independentes

– O número mínimo de variáveis de estado é, em geral, igual a ordem da equação diferencial que descreve o comportamento do sistema.

• Entretanto, pode-se também utilizar na representação em espaço de estados um número de variáveis de estado maior do que o mínimo necessário

Modelagem no Domínio do Tempo• Conversão da representação em função de

transferência para o espaço de estados– Selecionar um conjunto de variáveis de estado de

modo que cada variável seja a derivada da variável subseqüente (variáveis de fase)

– Dada uma equação diferencial na forma

uma forma conveniente de selecionar as variáveis consistem em definir a saída y(t) e as (n-1) derivadas como variáveis de estado (serão chamadas de variáveis de fase)

1

1 1 0 01

n n

nn n

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dt dt dt


1

2

2

3 2

1

1

n

n n

x ydy t

xdtd yxdt

d yxdt

1

2

2 2

3

3 3

n

n n

dy tx

dtd y t

xdtd yxdt

d yxdt

Derivando ambos os lados

1 2

2 3

1

0 0 1 1 2 1

n n

n n n

x xx x

x xx b u t a x a x a x


que na forma matricial pode ser escrita como

e a saída y pode ser escrita na forma matricial por

Continuação

1

2

3

1

1 0 0 0 0

n

n

xxx

y

xx

1 1

2 2

3 3

1 1

0 1 2 3 4 5 1 0

0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0n n

n n n

x xx xx x

u

x xx a a a a a a a x b


• Exercício: Determinar a representação no espaço de estados da seguinte função de transferência

• Exercício: Determinar a representação no espaço de estados da seguinte função de transferência

3 2

249 26 24

C sR s s s s


• Conversão da representação no espaço de estados para função de transferência– Dadas as equações de estados e de saída

abaixo, determina-se inicialmente a transformada de Laplace de cada equação

x Ax Buy = Cx +Du Transformada de Laplace

s s s s

s s s

X AX BU

Y = CX +DU

1s s s s s s I A X BU X I A BU

1 1s s s s s s s Y = C I A BU +DU Y = C I A B D U

1s

ss

Y

= C I A B DU

Resposta no Domínio do Tempo

• Inicialmente deve-se estudar a resposta transitória de sistemas físicos– Análise de pólos (raízes do denominador) e

zeros (raízes do numerador)• Determinam as características da resposta

temporal transitória do sistema– Serão analisados sistemas de primeira e de segunda

ordem


• Motivação: – efeito dos pólos e

zeros de um sistema de primeira ordem sobre a resposta transitória (natural) e forçada


• Um pólo real produz o efeito de decaimento exponencial na resposta transitória


• Sistemas de primeira ordem


– Parâmetros• Constante de tempo

– É o tempo 1/a, necessário para atingir exp(-1) ≈ 63% do valor final de regime permanente

• Tempo de subida Tr

– É o tempo gasto pela resposta do sistema entre 10% e 90% do valor final

• Tempo de assentamento Ts

– É o tempo necessário para que a resposta do sistema permaneça em torno de 2% do valor final de regime permanente


• Exercício: para o sistema indicado na figura abaixo, determine a resposta transitória (natural) e a forçada (de regime permanente), dada uma entrada em degrau. Na seqüência, calcule a constante de tempo, Tr e Ts


• Sistemas de segunda ordem– A forma da resposta transitória dependerá da

localização dos pólos e zeros no plano “s” (plano complexo ou de Argand-Gauss)

= jω

= σ

σ + j ω

Resposta no Domínio do Tempo• Resposta superamortecida

– Dois pólos reais puros em -σ1 e -σ2– Reposta natural da forma

• Resposta subamortecida– Dois pólos complexos em -σd ± jωd– Resposta natural da forma

• Resposta sem amortecimento– Dois pólos imaginários puros em ± jω1– Resposta natural na forma

• Resposta criticamente amortecida– Dois pólos reais e iguais a -σ1– Resposta natural na forma

1 21 2

t tc t k e k e

cosd tdc t Ae t

1cosc t A t

1 11 2

t tc t k e k te


• Especificações quantitativas de sistemas de segunda ordem– Freqüência natural ωn

• É a freqüência de oscilação do sistema – Relação de amortecimento ζ

• ζ = freqüência exponencial de decaimento |σ| / freqüência natural ωn


• A forma geral da função de transferência de segunda ordem pode ser escrita como

cujas raízes do denominador (pólos) são

2

2 22n

n n

H ss s

2 2

21,2

2 2 41

2n n n

n ns


• Para o sistema subamortecido, define-se:– Instante de pico Tp

• Primeiro valor de pico (máximo)– Ultrapassagem porcentual (%UP)

• O quanto (porcentual) o valor de pico ultrapassa o valor de regime estacionário

– Tempo de assentamento• Tempo necessário para que as oscilações do

regime transitório permaneçam no interior de uma faixa de valores de ±2% em torno do valor de estado estacionário

21p

n

T

max% 100final

final

c cUP

c

2ln 0,02 1s

n

T


– Tempo de subida Tr

• Intervalo de tempo da forma de onda da resposta do sistema gasto entre 0,1 e 0,9 da amplitude final de regime estacionário

• Resumindo


• Exemplo: efeito da localização dos pólos sobre a resposta transitória de sistemas subamortecidos


• Resposta do sistema com pólos adicionais– No caso de um sistema com dois pólos

complexos e um real (no semi-plano “s” negativo), pode-se desprezar o efeito do pólo real quando o mesmo se encontra mais de 5 vezes distante do pólo dominante (convencionado arbitrariamente)


Caso 1:15r d

Caso 2:

Caso 3:

15r d

1r

2 2cosn rtn d tLaplace

d drn d

B s CA DC s c t Au t e B t Csen t Des ss


• Resposta de sistema com zeros– Podem resultar no cancelamento de pólos,

caso estejam muito próximos– Podem resultar em uma simples mudança de

amplitude na resposta, caso o zero esteja bastante distante dos pólos (à esquerda)

b a c as a b c c bA BT s

s b s c s b s c s b s c

1 1b c c b aT s a

s b s c s b s c

a b e a c sendo

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