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Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Modelagem no Domínio do Tempo

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Modelagem no Domínio da Frequência

� A equação diferencial de um sistema é convertida em função de transferência, gerando um modelo matemático de um sistema que algebricamente relaciona a entrada e a saída� Desvantagem: O sistema deve ser linear e invariante no

tempo� Vantagem: Conseguem estabilidade rapidamente e

informação quanto à resposta do transiente

� Problema: Muitos sistemas não são LTI



� Aproximação Estado-Espaço� Método para modelagem, análise e projeto de uma

grande variedade de sistemas:� Sistemas não lineares, condições iniciais não-nulas,

variantes no tempo (como mísseis que podem ter variações nos níveis de combustível a ser usado), sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas (como um carro que tem direção e velocidade como entrada e saída)

� Problema: uso não é tão intuitivo



� Passos para Modelagem no Domínio do Tempo1. Definimos um subconjunto das variáveis do sistema

para serem as variáveis de estado2. Para um sistema de n-ésima ordem, escrevemos n

equações diferenciais de primeira ordem simultâneas (equações de estado)

3. Resolvemos as equações diferenciais para t ≥ t0, se conhecemos as condições iniciais para todas as variáveis de estado para t0 e t ≥ t0

4. Combinamos as variáveis de estado com a entrada do sistema e encontramos todas as outras variáveis para t≥t0 (isso gera a equação de saída)

5. Representação estado-espaço: equações de estado + equações de saída



� Exemplo: Rede RL� Selecionamos a corrente i(t) para a qual escreveremos e

resolveremos equações diferenciais usando transf. de Laplace� 1. Escrevemos a equação de laço:

� 2. Usando a transformada de Laplace agora considerando as condições iniciais temos:

� 3. Assumindo a entrada v(t) como um degrau unitário cuja transf. é V(s) = 1/s, encontramos I(s):



� Exemplo: Rede RL� 3. (cont.)

Onde:

Logo:



� Exemplo: Rede RL (cont.)� 3. (cont.): A função i(t) é um subconjunto de todas as possíveis

variáveis de rede que podemos encontrar de sua equação se soubermos sua condição inicial, i(0), e a entrada v(t)

� Assim, i(t) é uma variável de estado e a equação diferencial inicial:

� é uma equação de estado



� Exemplo: Rede RL (cont.)� 4. Podemos agora resolver para todas as variáveis da rede

algebricamente em termos de i(t) e da tensão v(t)� Por exemplo

� A tensão através do resistor é: vR(t) = Ri(t)� A tensão através do indutor é: vL(t) = v(t) – vR(t) = v(t) – Ri(t)� A derivada da corrente (a carga) é: di/dt = (1/L)vL(t) = (1/L)[v(t) – Ri(t)]

� Assim, conhecendo a variável de estado i(t) e a entrada v(t), podemos encontrar o valor, ou o estado, de qualquer variável da rede em qualquer tempo t ≥ t0

� Com isso, as equações de vR(t), vL(t) e di/dt são equações de saída� 5. A Representação Estado-Espaço corresponde à equação de

estado e às equações de saída



� Exemplo: Rede RL (cont.)� A representação do sistema não é única. Por exemplo,

para a mesma rede RL, se fizermos i = vR/R, temos:

� que pode ser resolvida sabendo que a condição inicial para vR(0) é vR(0) = Ri(0) e sabendo v(t)



� Exemplo: Rede RLC� 1. A equação de laço gera:

� Considerando i(t) = dq/dt, onde q é a carga, temos:



� Exemplo: Rede RLC (cont.)� 2. Como o sistema é de 2ª ordem, duas equações

diferenciais de 1ª ordem simultâneas são necessárias para as duas variáveis de estado (i(t) e q(t))

� 3. De:

� e sabendo que i = dq/dt ⇒ ∫i dt = q, temos:



� Exemplo: Rede RLC (cont.)� 3. (cont.) As equações:

� são as Equações de Estado e podem ser resolvidas para as variáveis de estado i(t) e q(t), se soubermos as condições iniciais e a entrada v(t), usando a transf. de Laplace



� Exemplo: Rede RLC (cont.)� 4. Usando as duas variáveis de estado, podemos

resolver para todas as variáveis da rede. Por exemplo, a voltagem através do indutor (vL(t)) pode ser escrita em termos das variáveis de estado e da entrada como:

Equação de saída: vL(t) é uma combinação linear das variáveis de estado, q(t) e i(t), e da entrada, v(t)



� Exemplo: Rede RLC (cont.)� 5. A combinação das equações de estado e da equação

de saída formam a representação da rede que chamamos de Representação Estado-Espaço

� Novamente, diferentes representações seriam possíveis dependendo da escolha das variáveis de estado (vR(t) e vC(t) seriam outra possibilidade):

Equações de estado para vR(t) e vC(t) como

variáveis de estado



� O número de variáveis de estado deve ser, no mínimo, igual à ordem do sistema� Se a equação diferencial que descreve o

sistema for de ordem 2, então precisamos de, no mínimo, 2 variáveis de estado

� Podemos escolher mais variáveis de estado do que o mínimo, mas essas variáveis devem ser linearmente independentes

� Por exemplo, se escolhemos vR(t) como variável, não podemos escolher i(t), já que vR(t) = Ri(t) (são variáveis linearmente dependentes)



� Definições:� Uma combinação linear de n variáveis xi, para

i=1 até n, é dada pela soma S = k1x1 + k2x2 + .... + knxn, com cada ki sendo uma constante

� Um conjunto de variáveis é dito linearmente independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como combinação linear das outras

� Ou seja, k1x1 + k2x2 + .... + knxn = 0, sse, ki = 0, para todo i, com xi ≠ 0, para todo xi



� As variáveis de estado devem ser linearmente independentes, ou seja, nenhuma variável pode ser expressa como combinação linear das outras variáveis� Do contrário, podemos não ter informação

suficiente para resolver para todas as outras variáveis do sistema



� No exemplo anterior, tínhamos:

� As equações de estado podem ser escritas como:� x' = Ax + Bu

� onde:

Equações de estado



� Da mesma forma, a equação de saída:

� pode ser escrita como:� y = Cx + Du

� onde:



� A combinação de x’ e y também é chamada de Representação Estado-Espaço da rede

� Sumarizando, a representação estado-espaço consiste de:� (1) Equações diferenciais de primeira ordem

simultâneas para as quais as variáveis de estado podem ser resolvidas

� (2) Equação de saída para a qual todas as outras variáveis do sistema podem ser encontradas

� Observamos novamente que a representação estado-espaço não é única, dependendo da escolha das variáveis de estado


Modelagem no Domínio do TempoRepresentação Estado-Espaço Geral

� Definições:� Variável de Sistema: Qualquer variável que

responde a uma entrada ou condições iniciais em um sistema

� Variáveis de Estado: O conjunto de variáveis de sistema linearmente independentes tal que os valores das variáveis do conjunto no tempo t0junto com funções conhecidas determinam completamente os valores de todas as variáveis do sistema para todo t >= t0



� Definições:� Equações de Estado: Um conjunto de n

equações diferenciais de primeira ordem simultâneas, onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado

� Equação de Saída: Equação que expressa as variáveis de saída como uma combinação linear das variáveis de estado e as entradas



� Um sistema é representado no estado-espaço pelo conjunto de equações:� x' = Ax + Bu (Equação Estado)� y = Cx + Du (Equação Saída)

� para t ≥ t0 e condições iniciais x(t0), onde:x = vetor estado; y = vetor saídax’ = derivada do vetor estado em relação ao tempou = entrada;A = Matriz Sistema; B = Matriz Entrada;C = Matriz Saída; D = Matriz de Transmissão Direta

(Feedforward)



� Exemplo: Considere o circuito:

� Vamos achar a representação estado-espaço, considerando como saída a corrente através do resistor (iR(t))



� Exemplo: (cont.) � Passo 1: Identificar as correntes no circuito

� Feito na figura anterior

� Passo 2: Escolhemos as variáveis de estado� Como temos um indutor e um capacitor, o sistema

será de 2ª ordem, implicando que precisamos de 2 variáveis, pelo menos

� Como a saída procurada está relacionada com o resistor, seus elementos estarão na equação de saída. Assim, vamos usar como variáveis de estado os elementos do indutor e capacitor. Nesse caso, poderíamos escolher iC, vC, iL, ou vL



� Exemplo: (cont.) � Passo 2 (cont.):

� Lembrando que precisamos de equações diferenciais de primeira ordem, nossa escolha é:

� Assim, as variáveis de estado são vC e iL. Precisamos agora escrever iC e vL como combinação linear das variáveis de estado e da entrada (v(t))




� Exemplo: (cont.) � Passo 3: Aplicando as leis de circuitos, temos,

pela lei de Kirchoff de voltagem e corrente:� No nó 1, temos:

� Na malha externa:



� Exemplo: (cont.) � Passo 4: Vamos agora substituir as equações

de estado nos resultados anteriores:



� Exemplo: (cont.) � Passo 5: Encontrar a equação de saída,

considerando a saída, como pedido, iR(t)� Assim:

� Com isso:

Representação Estado-Espaço



� Exercício:� Encontre a representação estado-espaço para o circuito

abaixo. A saída é v0(t).



� Exercício (cont.):� 1º Passo: Legendar correntes, malhas, etc

Nó 1

Malha 1 Malha 2

ic1

ic2

iL

iR

Nó 2



� Exercício (cont.):� 2º Passo: Estabelecer relações derivativas:

vC1, vC2 e iL são as variáveis de estado




� Exercício (cont.):� 3º Passo: Precisamos escrever iC1, iC2 e vL como

combinação linear das variáveis de estado e da entrada� Usando as leis de Kirchhoff:

Nó 1:

Malha 1:

Nó 2:



� Exercício (cont.):� 4º Passo: Substituindo nas equações de estado:

Com equação de saída:



� Exercício (cont.):� 5º Passo: Na forma de matriz:


Modelagem no Domínio do TempoConvertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço

� Uma das vantagens de representação estado-espaço é que podemos usá-la para simulação em computador de sistemas físicos

� Assim, para simular um sistema a partir de uma função de transferência, precisamos primeiro convertê-la para representação estado-espaço

� Primeiro, selecionamos um conjunto de variáveis de estado, chamadas variáveis de fase, onde cada variável de estado subsequente é definida como a derivada da variável de estado anterior



� Considere a seguinte equação diferencial:

� Uma forma simples de proceder é escolher a saída y(t) e suas (n – 1) derivadas como variáveis de estado� Escolha das Variáveis de Fase



� Seja xi as variáveis de estado, temos então:



� Ou na forma de matriz:

Forma de variáveis de fase das equações de estado Observe a forma da matriz do sistema

quase como uma matriz identidade antes da última linha e essa última linha com o negativo dos coeficientes da equação diferencial escritos na ordem reversa



� Finalmente, desde que a solução da equação diferencial é y(t), ou x1, a equação de saída é:



� Resumindo, para converter uma função de transferência para representação estado-espaço na forma de variáveis fase, primeiro convertemos a função de transferência para a forma de equação diferencial por multiplicação cruzada e tomando o inverso da transformada de Laplace, assumindo condições iniciais nulas

� Então, representamos as equações diferenciais no estado-espaço na forma de varáveis fase

� Caso 1: Apenas uma constante no numerador da função de transferência....



� Exemplo 1:� Encontre a representação estado-espaço na forma de

variável fase para a função de transferência abaixo:

� Passo 1: Encontrar a equação diferencial:

Função de transferência



� Exemplo 1 (cont.):� Passo 1 (cont.):� Fazendo a multiplicação cruzada dos dois lados:

� A equação diferencial correspondente é encontrada tomando a transformada inversa de Laplace, assumindo nulas as condições iniciais:



� Exemplo 1 (cont.):� Passo 2: Selecionar as variáveis de estado.� Escolhendo as variáveis como as derivadas sucessivas,

temos:x1 = cx2 = c’x3 = c’’

� Diferenciando ambos os lados:x1’ = c’ = x2

x2’ = c’’ = x3

x3’ = c’’’ = -24x1 – 26x2 – 9x3 + 24ry = c = x1



� Exemplo 1 (cont.):� Passo 2 (cont.): Na forma de matriz:



� Caso 2: Um polinômio no numerador da função de transferência

� Numerador e denominador podem ser separados e colocados em cascata....



� Numerador e denominador podem ser separados e colocados em cascata....

NumeradorDenominador

Estando em cascata, os dois são multiplicados gerando a função de transferência original

Variáveis internas:X2(s), X3(s)



O primeiro bloco é tratado como no exemplo anterior, gerando a representação variável

fase com saída x1 (outras variáveis de estado são internas a ele apenas – X2(s) e X3(s)).

O segundo bloco tem função de transf:Y(s)=C(s)=(b2s2 + b1s + b0)X1(s)

cuja transf. inversa de Laplace gera:y(t) = b2x1’’ + b1x1’ + b0x1⇒ y(t) = b0x1 + b1x2 + b2x3

A separação tem que ser assim!!!



� Exemplo 2: Encontre a representação estado-espaço para a função de transferência abaixo:



� Exemplo 2 (cont.): � Passo 1: Como mostrado na figura anterior, o passo 1 é

separar o sistema em dois blocos em cascata. O primeiro bloco contém o denominador e o segundo bloco, o numerador

� Passo 2: Encontrar as equações para o bloco contendo o denominador. Neste exemplo, apenas para simplificar, é o mesmo denominador do exemplo anterior, mas com 1 e não 24 no numerador. Assim, a representação será a mesma a menos do termo multiplicando a saída r



� Exemplo 2 (cont.): � Passo 2 (cont.):

� Passo 3: Introduz o segundo bloco que contém o numerador. Pelo segundo bloco:

Pela transf. inversa de Laplace



� Exemplo 2 (cont.): � Passo 3 (cont.): Mas:

x1 = x1

x1’ = x2

x1’’ = x3

� Assim: y = c(t) = b2x3 + b1x2 + b0x1 = x3 + x2 + 2x1

� Com isso, o segundo bloco simplesmente coleta derivadas que foram calculadas no primeiro bloco



� Exercício: Encontre as equações de estado e a equação de saída para a representação em variável fase da função de transferência:

R(s) C(s)



� Exercício (cont.):� Passo 1: Separar a função:

� Passo 2: Equações do bloco do denominador:

R(s) C(s)X1(s)



� Exercício (cont.):� Passo 2 (cont.):

� x1 = x1

� x2 = x1’� Diferenciando os dois lados:� x1’ = x1’ = x2

� x2’ = x1’’ = -7x1’ – 9x1 + r = -7x2 – 9x1 + r



� Exercício (cont.):� Passo 3: Introdução do segundo bloco que contém o

numerador. Pelo segundo bloco:� C(s) = (2s + 1)X1(s)� Pela Transformada Inversa de Laplace:� c = 2x1’ + x1

� y = c = 2x1’ + x1 = 2x2 + x1



� Exercício (cont.):� Solução Final: Equações de Estado e Equação de Saída



� Exercício (cont.): No MatLab:


Modelagem no Domínio do TempoConvertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência

� Dadas as equações de estado e a equação de saída:

x’ = Ax + Bu

y = Cx + Du

� calcule a transformada de Laplace considerando nulas as condições iniciais:

sX(s) = AX(s) + BU(s)Y(s) = CX(s) + DU(s)

� Resolvendo para X(s), temos:� (sI – A)X(s) = BU(s) ⇒ X(s) = (sI – A)-1BU(s)

� onde I é a matriz identidade



� Assim, como:� Y(s) = CX(s) + DU(s)

� e� X(s) = (sI – A)-1BU(s)

� então:� Y(s) = CX(s) + DU(s) = Y(s) = C(sI – A)-1BU(s) + DU(s)� = [C(sI – A)-1B + D]U(s)

Matriz função de transferência, pois relaciona a entrada U(s) com a saída Y(s).



� Se U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s), escalares, então temos a função de transferência



� Exemplo 1: Dado o sistema definido na forma abaixo, ache a função de transferência, T(s) = Y(s)/U(s), onde U(s) é a entrada e Y(s) é a saída do sistema



� Exemplo 1 (cont.):� É preciso encontrar (sI – A)-1:



� Exemplo 1 (cont.):� T(s) = C(sI – A)-1B + D, onde:

� T(s)=



� Exemplo 1 (cont.): No MatLab (numerador):



� Exemplo 1 (cont.): No MatLab (solução completa):



� Relembrando:



� Exercício 1: Converta a equação de estado e a de saída para uma função de transferência:

A = B =

C = D = 0



� Exercício 1 (cont.):� É preciso encontrar (sI – A)-1:

� T(s) = C(sI – A)-1B + D:



� Exercício 1 (cont.): No MatLab


Exercícios Sugeridos (Nise)

� Cap. 3, Problemas:� 1, 2, 3, 9, 11, 14

� No MatLab:� 10, 12, 15


A Seguir....

� Resposta no Tempo

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