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Estabilidade

• Estabilidade e um comportamento desejado em qualquer sistema fısico.

• Sistemas instaveis tem comportamento, na maioria das vezes, imprevisıvel;por isso e desejavel sempre garantirmos a estabilidade do sistema.

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

Nyquist

• Nos anos 1940, Nyquist desenvolveu um metodo para determinar aestabilidade de sistemas em malha-fechada analisando-se a malha aberta.

• O metodo de Nyquist baseia-se no Grafico Polar.

R(s) Y (s)E(s)

+

−

G(s)

H(s)

O Metodo de Nyquist e capaz de determinar a estabilidade do sistemamalha-fechada acima somente analisando-se o Grafico Polar da funcao detransferencia de malha-aberta resultante do produto G(s)H(s).

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Criterio da Estabilidade de Nyquist

Criterio de Nyquist

Se um contorno A, que envolve todo o semiplano direito do plano-s, for ma-peado atraves da funcao de transferencia de malha aberta, G(s)H(s), entaoo numero de polos de malha fechada, Z , no semiplano da direita e igual aonumero de polos de malha aberta, P , no semiplano da direita menos o numerode rotacoes no sentido antihorario, N, do contorno mapeamento, isto e,

Z = P − N

Esse mapeamento e chamado de Diagrama de Nyquist de G(s)H(s).

Trabalhamos com a analise de F (s) = G(s)H(s) em vez de F (s) = 1 +G(s)H(s), e por isso deve-se contar as rotacoes do contorno mapeado emtorno do ponto −1 (ponto de analise).

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Criterio da Estabilidade de Nyquist

Criterio de Nyquist

• O valor P representa o numero de Polos de L(s) = G(s)H(s) no semiplanodireito (P equivale a quantidade de Polos com parte real positiva).

• O valor N e o numero de voltas completas em torno do ponto −1; essasvoltas sao realizadas por uma reta que liga o ponto −1 ao Diagrama deNyquist fazendo-o variar desde ω = −∞ ate ω = +∞. N e positivo nosentido counter-clock-wise ccw e negativo no sentido clock-wise cw.

• O sistema sera estavel quando Z = 0. Qualquer outro valor de Z

diferente de zero implica em Instavel.

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Na figura a seguir, o sistema da parte (a) e estavel pois P = 0 e N = 0; e osistema da parte (b) nao e estavel pois P = 0 e N = −2.

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Exemplo

Considere a funcao de transferencia

L(s) =1

s(1 + τs).

Determine a frequencia ω1 em que a fase e φ(ω1) = 45o . Baseando-se nografico, pode-se afirmar que o sistema sera estavel para qualquer τ > 0?

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Exemplo


L(s) =K

s(τ1s + 1)(τ2s + 1).

Baseando-se no grafico, pode-se afirmar que o sistema sera estavel para todosos valores τ1 > 0, τ2 > 0,K > 0?

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Exemplo


L(s) =K

s2(τs + 1).

Baseando-se no grafico, pode-se afirmar que o sistema sera estavel?

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Exemplo

No sistema abaixo, para quais valores do ganho K o sistema e estavel?

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Solucao:• Percebemos que P = 2 (dois polos no semiplano direito).

• Note que se −1/k estiver no intervalo (0,−1.33) entao N = +2 pois haduas rotacoes no sentido ccw. Concluımos que o sistema e estavel quando−1/k ∈ (0,−1.33).

• Se −(1/k) < −1.33 entao N = 0 e o sistema sera instavel.10 of 20


Sistemas de Fase Mınima e de Fase Nao-Mınima

• Sistemas que nao possuem zeros e polos no semiplano direito sao denomi-nados sistemas de fase mınima.

• Sistemas que possuem zeros e/ou polos no semiplano direito sao denomi-nados sistemas de fase nao mınima.

• Em ambos os tipos de sistema, a inclinacao da curva de modulo em dBquando ω → ∞ tende a −20(q − p) dB/decada, onde p e q sao os grausdos polinomios do numerador e do denominador da funcao de transferencia,respectivamente.

• Em sistemas de fase mınima, o angulo de fase quando ω → ∞ tende a−90◦(q − p). Em sistemas de fase nao mınima isso nao ocorre.

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• A analise seguinte e considerada para sistemas de fase mınima.

• Margem de Ganho (Kg ): Mudanca no valor do ganho a malha aberta noponto com fase de 180◦ necessaria para tornar instavel o sistema a malhafechada. Em outras palavras, e o recıproco de |G(jω)| na frequencia ω1 emque o angulo e −180◦, ou seja, quando φ(ω1) = −180o temos

Kg =1

|G(jω1)|.

Expressa em dB, a margem de fase sera positiva se o sistema (de fasemınima) for estavel e sera negativa para sistema (de fase mınima) instavel.

Kg = 20 log10

[

1

|G(jω1)|

]

dB = −20 log10|G(jω1)| dB

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• Margem de Fase (φpm): Mudanca no valor de fase de malha aberta noponto com ganho unitario, necessaria para tornar instavel o sistema a malhafechada. Em outras palavras, e o atraso de fase adicional, na frequenciade cruzamento de ganho, necessaria para que o sistema atinja o limiar deinstabilidade.

φpm = 180◦ + φ,

onde φ e o angulo de fase da funcao de transferencia de malha aberta nocruzamento de ganho. Para sistemas de fase mınima estaveis, φpm deve serpositiva.

• As margens de fase e de ganho sao medidas da proximidade do diagramapolar em relacao ao ponto −1+ j0. Tais margens podem ser utilizadas comocriterios de projeto;

• Para um sistema de fase mınima, as margens de ganho e de fase devem serpositivas para que o sistema seja estavel;

• Margens de ganho e de fase apropriados protegem contra variacoes no com-portamento do sistema;

• Para um desempenho satisfatorio, a margem de fase deve estar situada entre30◦ e 60◦ e a margem de ganho deve ser superior a 6 dB;

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• No grafico do meio, a margem de ganho e o inverso da distancia d , ou seja1/d .

• A margem de fase e o angulo que deveria ser incrementado de modo que ografico assumisse −180o, e no grafico central e φ2.

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• A margem de fase e o valor que, se for adicionada ao sistema, torna-oinstavel.

• A margem de fase positiva garante a estabilidade. Em projetos,costuma-se escolher margem de fase entre +30o e +60o.

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Note que se a Margem de Ganho for maior que 1 (ou Margem de Fase fornegativa), entao o sistema sera instavel.

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Considere os graficos acima e suponha que x = 0.5 e PM = 25o . Determine aMargem de Ganho e Margem de Fase.

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Relacao: fator de amortecimento ξ e Margem de fase

R(s) Y (s)E(s)

+

−

G(s)

H(s)

Considerando o sistema em malha fechada acima, suponha que definimosL(s) = G(s)H(s) e que L(s) tenha a forma-padrao de 2a. ordem

L(s) =ω2n

s(s + 2ξωn)

Pode-se mostrar que

ξ = 0.01φpm, 0 < ξ < 0.707

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Dica de atividades

Dica

1. Fazer os Exercıcios apresentados no Cap. 9 do livro “Sistemas de ControleModernos” - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop.

2. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA, “Engenharia deControle Moderno”.

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