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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Lógica Matemática 1Semanas 4, 5 e 6

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadêmico de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Material previsto para três semanas

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Operações lógicas

1 Outras operações lógicasDisjunção exclusivaCondicionalBicondicional

2 ExemplosAlgumas tabelas-verdade

3 A linguagem usual e a linguagem simbólica

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Computadores e a lógica binária

Atualmente, todas as operações de uma máquina digital sãorealizadas por meio de simples operações aritméticas: somar,complementar (para fazer subtrações), comparar, mover.Fisicamente, estas operações são realizadas por circuitos eletrônicoschamados circuitos lógicos ou portas lógicas.

Os computadores são construídos associando-se vários circuitoseletrônicos, os quais podem ser acionados pela passagem ou não decorrente elétrica.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Computadores e a lógica binária

Atualmente, todas as operações de uma máquina digital sãorealizadas por meio de simples operações aritméticas: somar,complementar (para fazer subtrações), comparar, mover.Fisicamente, estas operações são realizadas por circuitos eletrônicoschamados circuitos lógicos ou portas lógicas.

Os computadores são construídos associando-se vários circuitoseletrônicos, os quais podem ser acionados pela passagem ou não decorrente elétrica.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Computadores e a lógica binária

Os primeiros computadores fabricados, como o ENIAC, trabalhavamem decimal. Entretanto, a utilização de circuitos eletrônicos queoperassem com 10 diferentes níveis de tensão (para possibilitar as10 diferentes grandezas representadas no sistema decimal)acarretavam uma grande complexidade ao projeto e construção doscomputadores, tendo por consequência um custo muito elevado.

Por outro lado, como um circuito elétrico admite dois estados -passagem de corrente elétrica ou não passagem de corrente elétrica- teve-se a ideia de utilizar na construção dos computadores aálgebra de chaveamentos, um ramo da álgebra moderna, cujasistematização fora realizada pelo matemático inglês George Boole(1815-1864). Daí, também ser denominada álgebra de Boole.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Computadores e a lógica binária

Os primeiros computadores fabricados, como o ENIAC, trabalhavamem decimal. Entretanto, a utilização de circuitos eletrônicos queoperassem com 10 diferentes níveis de tensão (para possibilitar as10 diferentes grandezas representadas no sistema decimal)acarretavam uma grande complexidade ao projeto e construção doscomputadores, tendo por consequência um custo muito elevado.

Por outro lado, como um circuito elétrico admite dois estados -passagem de corrente elétrica ou não passagem de corrente elétrica- teve-se a ideia de utilizar na construção dos computadores aálgebra de chaveamentos, um ramo da álgebra moderna, cujasistematização fora realizada pelo matemático inglês George Boole(1815-1864). Daí, também ser denominada álgebra de Boole.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Computadores e lógica binária

Boole em seu sistema teórico lógico utilizou símbolos,representando as expressões por letras, ligando-as através de outrossímbolos algébricos.

Mas como os conceitos da álgebra de Boole são aplicados aoscircuitos elétricos?

Para responder a essa pergunta, note que a álgebra de Booletrabalha com apenas dois estados, denotados por 0 e 1. Emcorrespondência, desconsiderando o estado transiente, os circuitoselétricos admitem também dois estados: não há corrente elétricapassando e há corrente elétrica (passando).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Computadores e lógica binária

Boole em seu sistema teórico lógico utilizou símbolos,representando as expressões por letras, ligando-as através de outrossímbolos algébricos.

Mas como os conceitos da álgebra de Boole são aplicados aoscircuitos elétricos?

Para responder a essa pergunta, note que a álgebra de Booletrabalha com apenas dois estados, denotados por 0 e 1. Emcorrespondência, desconsiderando o estado transiente, os circuitoselétricos admitem também dois estados: não há corrente elétricapassando e há corrente elétrica (passando).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

Chave Automática

O dispositivo ao lado é denominadocircuito chaveador. Ele é compostopor:(a) Uma fonte de alimentação quefornece energia para o circuito (e quenão aparece no símbolo).(b) um �o de controle que comandaa operação do circuito.(c) Um �o de saída.

A posição da chavepermanece a mesma -aberta ou fechada -enquanto não ocorrersinal 1 (passagem decorrente) no �o decontrole C .

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Chave automática

A chave automática foi inicialmente implementada com reléseletromecânicos e depois com válvulas eletrônicas. A partir demeados da década de 50, passaram a ser usados dispositivossemicondutores - os transistores, inventados em 1947. Os modernoscircuitos integrados e os microprocessadores são implementadoscom milhões de minúsculos transistores construídos no substrato daplaca semicondutora.

Leia mais em

http://idgnow.uol.com.br/galerias/transistor/

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Chave automática

A chave automática foi inicialmente implementada com reléseletromecânicos e depois com válvulas eletrônicas. A partir demeados da década de 50, passaram a ser usados dispositivossemicondutores - os transistores, inventados em 1947. Os modernoscircuitos integrados e os microprocessadores são implementadoscom milhões de minúsculos transistores construídos no substrato daplaca semicondutora.

Leia mais em

http://idgnow.uol.com.br/galerias/transistor/

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

A lâmpada possui apenasdois estados possíveis.Considere a seguintesimbologia:(a) 1 para indicar alâmpada ligada.(b) 0 para indicar alâmpada desligada.(c) Estes mesmos símbolospara indicar chave estáligada - 1 - ou desligada - 0.

Circuito em série

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

ChaveA B lâmpada

Circuito em série

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

ChaveA B lâmpada

Circuito em série

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

ChaveA B lâmpada

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Circuito em série

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

Conjunção

ChaveA B lâmpada

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Circuito em série

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

ChaveA B lâmpada

Circuito em paralelo

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

ChaveA B lâmpada

Circuito em paralelo

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

ChaveA B lâmpada

0 0 00 1 11 0 11 1 1

Circuito em paralelo

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de Boole

Disjunção

ChaveA B lâmpada

0 0 00 1 11 0 11 1 1

Circuito em paralelo

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Álgebra de BooleCircuitos elétricos

Exercício

Determine que tipo de circuito lógico deve ser acrescentado àinstalação quando uma campainha é para ser acionada:(a) Toda vez que o motorista acionar a ignição do carro sem eleestar com o cinto de segurança a�velado.(b) Sempre que fumaça for detectada por sensores de incêndio deum prédio.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Base binária

Desde épocas remotas o homem criou diversos métodos derepresentar as quantidades. O método ao qual estamosacostumados usa dez símbolos e a posição relativa deste símbolo narepresentação numérica. Trata-se, portanto, de um sistema decimalposicional.

A base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismosdisponível para representação.

Por razões (que agora deveriam ser) evidentes, os computadoresatuais utilizam em suas operações apenas a base binária ou 2.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Como qualquer quantidade pode ser escrita na base binária, decorreque todas as informações armazenadas ou processadas em umcomputador usam apenas duas grandezes, representadas pelossímbolos 0 e 1. Estes símbolos também identi�cam as quantidadeszero e um.

Pergunta

Como se transforma um número natural (na base 10) para a basebinária?

Resposta

Como todo número natural dividido por 2 somente pode deixarresto 0 ou 1, basta pegar o número e dividir por dois paradeterminar sua representação na base binária.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Como qualquer quantidade pode ser escrita na base binária, decorreque todas as informações armazenadas ou processadas em umcomputador usam apenas duas grandezes, representadas pelossímbolos 0 e 1. Estes símbolos também identi�cam as quantidadeszero e um.

Pergunta

Como se transforma um número natural (na base 10) para a basebinária?

Resposta

Como todo número natural dividido por 2 somente pode deixarresto 0 ou 1, basta pegar o número e dividir por dois paradeterminar sua representação na base binária.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Como qualquer quantidade pode ser escrita na base binária, decorreque todas as informações armazenadas ou processadas em umcomputador usam apenas duas grandezes, representadas pelossímbolos 0 e 1. Estes símbolos também identi�cam as quantidadeszero e um.

Pergunta

Como se transforma um número natural (na base 10) para a basebinária?

Resposta

Como todo número natural dividido por 2 somente pode deixarresto 0 ou 1, basta pegar o número e dividir por dois paradeterminar sua representação na base binária.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Exemplo

11 21 5 2

1 2 20 1

Deste modo,

11 = 2×5+1

= 2× (2×2+1) +1

= 2×22 +1×2+1

= (1×2+0)×22 +1×2+1

= 1×23 +0×22 +1×21 +1×20

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Exemplo

11 21 5 2

1 2 20 1

Deste modo,

11 = 2×5+1

= 2× (2×2+1) +1

= 2×22 +1×2+1

= (1×2+0)×22 +1×2+1

= 1×23 +0×22 +1×21 +1×20

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Exemplo

11 21 5 2

1 2 20 1

Deste modo,

11 = 1011

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Exemplo

11 21 5 2

1 2 20 1

Deste modo,

(11)10 = (1011)2

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Pergunta

Como se transforma um número fracionário (na base 10) para abase binária?

Resposta

Considere N um número fracionário na base 10. Admita que

N = b1×2−1 +b2×2−2 +b3×2−3 +b4×2−4 + . . .

= (0,b1b2b3b4 . . .)2

seja a representação binária de N, sendo b1, b2, b3, ... elementosde {0,1} a serem determinados.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Pergunta

Como se transforma um número fracionário (na base 10) para abase binária?

Resposta

Considere N um número fracionário na base 10. Admita que

N = b1×2−1 +b2×2−2 +b3×2−3 +b4×2−4 + . . .

= (0,b1b2b3b4 . . .)2

seja a representação binária de N, sendo b1, b2, b3, ... elementosde {0,1} a serem determinados.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Resposta

Segue que

N = b1×2−1 +b2×2−2 +b3×2−3 + . . .

2N−b1 = b2×2−1 +b3×2−2 +b4×2−3 + . . .

2(2N−b1)−b2 = b3×2−1 +b4×2−2 +b5×2−3 + . . .

2[2(2N−b1)−b2]−b3 = b4×2−1 +b5×2−2 +b6×2−3 + . . .

e assim por diante.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Exemplo

Considere N = 0,625 na base 10. Disto, tem-se que

1,25 = b1 +b2×2−1 +b3×2−2 +b4×2−3 +b5×2−4 + . . . ,

b1 = 1 e

0,25 = b2×2−1 +b3×2−2 +b4×2−3 +b5×2−4 + . . .

0,5 = b2 +b3×2−1 +b4×2−2 +b5×2−3 + . . .

Assim, b2 = 0,

1,0 = b3 +b4×2−1 +b5×2−2 + . . . ,

Logo, b3 = 1, b4 = b5 = . . . = 0 e (0,625)10 = (0,101)2.Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Lógica MatemáticaSistema binário

Exercício

Ache a representação na base binária de N dado na base 10.(a) N = 0,8.(b) N = 4/17.(c) N = 25,6.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Roteiro

1 Outras operações lógicasDisjunção exclusivaCondicionalBicondicional

2 ExemplosAlgumas tabelas-verdade

3 A linguagem usual e a linguagem simbólica

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Disjunção exclusivaP ou Q, mas não ambos

De�nição

A disjunção exclusiva das proposições P e Q, representada porP YQ, é a proposição cujo valor lógico é a falsidade quando P e Qsão ambas verdadeiras ou ambas falsas e a verdade nos demaiscasos.

P Q P YQ

V V FV F VF V VF F F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Disjunção exclusiva

Observação

Na linguagem usual, o termo�ou� possui dois sentidosdiversos. Na oração�Phil é advogado ou professor�considera-se que Phil estáhabilitado para pelo menosuma das pro�ssões,possivelmente ambas. Naoração,�Dil nasceu no Canadá ou naFrança�não há possibilidade de Dil sernatural dos dois países.

Observação

A palavra lativa �vel� exprimea disjunção no seu sentidodébil ou inclusivo, ao passo quea palavra latina �aut� exprimea disjunção no seu sentidoforte ou exclusivo.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Disjunção exclusiva

Observação

Na linguagem usual, o termo�ou� possui dois sentidosdiversos. Na oração�Phil é advogado ou professor�considera-se que Phil estáhabilitado para pelo menosuma das pro�ssões,possivelmente ambas. Naoração,�Dil nasceu no Canadá ou naFrança�não há possibilidade de Dil sernatural dos dois países.

Observação

A palavra lativa �vel� exprimea disjunção no seu sentidodébil ou inclusivo, ao passo quea palavra latina �aut� exprimea disjunção no seu sentidoforte ou exclusivo.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Roteiro

1 Outras operações lógicasDisjunção exclusivaCondicionalBicondicional

2 ExemplosAlgumas tabelas-verdade

3 A linguagem usual e a linguagem simbólica

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

CondicionalImplicação material

De�nição

A condicional das proposições P e Q, nesta ordem, representadapor P →Q, é a proposição cujo valor lógico é a falsidade quando Pé verdadeira e Q falsa e a verdade nos demais casos.

P Q P → Q

V V VV F FF V VF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Condicional de P e QSe P então Q

A notação P → Q também pode ser lida de uma das seguintesmaneiras:

P é condição su�ciente para Q.

Q é condição necessária para P .

Ademais, na condicional de P e Q, diz-se que P é oantecedente e que Q é o consequente da implicação (material).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Condicional de P e QSe P então Q

A notação P → Q também pode ser lida de uma das seguintesmaneiras:

P é condição su�ciente para Q.

Q é condição necessária para P .

Ademais, na condicional de P e Q, diz-se que P é oantecedente e que Q é o consequente da implicação (material).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Condicional de P e QSe P então Q

A notação P → Q também pode ser lida de uma das seguintesmaneiras:

P é condição su�ciente para Q.

Q é condição necessária para P .

Ademais, na condicional de P e Q, diz-se que P é oantecedente e que Q é o consequente da implicação (material).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

Page 44: Lógica Matemática 1 - Páginas Pessoaispaginapessoal.utfpr.edu.br/.../ma71e/Semana2_LogicaMatematica.pdf · Outras operações lógicas Exemplos A linguagem usual e a linguagem

Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Condicional de P e QSe P então Q

A notação P → Q também pode ser lida de uma das seguintesmaneiras:

P é condição su�ciente para Q.

Q é condição necessária para P .

Ademais, na condicional de P e Q, diz-se que P é oantecedente e que Q é o consequente da implicação (material).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Roteiro

1 Outras operações lógicasDisjunção exclusivaCondicionalBicondicional

2 ExemplosAlgumas tabelas-verdade

3 A linguagem usual e a linguagem simbólica

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

Page 46: Lógica Matemática 1 - Páginas Pessoaispaginapessoal.utfpr.edu.br/.../ma71e/Semana2_LogicaMatematica.pdf · Outras operações lógicas Exemplos A linguagem usual e a linguagem

Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

BicondicionalBi-implicação

De�nição

A bicondicional das proposições P e Q, denotada por P ↔ Q, é aproposição cujo valor lógico é a verdade quando P e Q são ambasverdadeiras ou ambas falsas e a falsidade nos demais casos.

P Q P ↔ Q

V V VV F FF V FF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Bicondicional de P e QP se, e somente se, Q

A bi-implicação P ↔ Q também pode ser lida de uma dasseguintes maneiras:

P é condição necessária e su�ciente para Q.

Q é condição necessária e su�ciente para P .

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Bicondicional de P e QP se, e somente se, Q

A bi-implicação P ↔ Q também pode ser lida de uma dasseguintes maneiras:

P é condição necessária e su�ciente para Q.

Q é condição necessária e su�ciente para P .

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

ou P ou Qse P então QP se, e somente se, Q

Bicondicional de P e QP se, e somente se, Q

A bi-implicação P ↔ Q também pode ser lida de uma dasseguintes maneiras:

P é condição necessária e su�ciente para Q.

Q é condição necessária e su�ciente para P .

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Roteiro

1 Outras operações lógicasDisjunção exclusivaCondicionalBicondicional

2 ExemplosAlgumas tabelas-verdade

3 A linguagem usual e a linguagem simbólica

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

Page 51: Lógica Matemática 1 - Páginas Pessoaispaginapessoal.utfpr.edu.br/.../ma71e/Semana2_LogicaMatematica.pdf · Outras operações lógicas Exemplos A linguagem usual e a linguagem

Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplo

Exemplo

Construa uma tabela-verdadepara a proposição ¬[P ∧ (¬Q)].

Solução

É possível a construção devárias modelos detabelas-verdade.

P Q ¬[P ∧ (¬Q)]

V VV FF VF F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

¬ [P ∧ (¬ Q)]

V V F F VF V V V FV F F F VV F F V F

Solução

Compare esse resultado com atabela-verdade da condicionalP → Q.

P Q P → Q

V V VV F FF V VF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

¬ [P ∧ (¬ Q)]

V V F F VF V V V FV F F F VV F F V F

Solução

Compare esse resultado com atabela-verdade da condicionalP → Q.

P Q P → Q

V V VV F FF V VF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Exemplo

Construa uma tabela-verdadepara a proposição (¬P)∨Q ecompare o resultado obtidocom a condicional P → Q.

Solução

É possível a construção devários modelos detabelas-verdade.

P Q (¬P)∨QV VV FF VF F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Exemplo

Construa uma tabela-verdadepara a proposição (¬P)∨Q ecompare o resultado obtidocom a condicional P → Q.

Solução

É possível a construção devários modelos detabelas-verdade.

P Q (¬P)∨QV VV FF VF F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

(¬ P) ∨ Q

F V V VF V F FV F V VV F V F

Solução

A tabela-verdade dacondicional P → Q.

P Q P → Q

V V VV F FF V VF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

(¬ P) ∨ Q

F V V VF V F FV F V VV F V F

Solução

A tabela-verdade dacondicional P → Q.

P Q P → Q

V V VV F FF V VF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição

(P ∧Q)∨ [(¬P)∧ (¬Q)].

Compare o resultadoobtido com as váriasde�nições e a�rmaçõesvistas anteriormente.

Solução

É possível a construção de váriasmodelos de tabelas-verdade.

P Q (P ∧Q)∨ [(¬P)∧ (¬Q)]

V VV FF VF F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição

(P ∧Q)∨ [(¬P)∧ (¬Q)].

Compare o resultadoobtido com as váriasde�nições e a�rmaçõesvistas anteriormente.

Solução

É possível a construção de váriasmodelos de tabelas-verdade.

P Q (P ∧Q)∨ [(¬P)∧ (¬Q)]

V VV FF VF F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

(P ∧ Q) ∨ [(¬ P) ∧ (¬ Q)]

V V V V F V F F VV F F F F V F V FF F V F V F F F VF F F V V F V V F

Solução

A tabela-verdade da bicondicional P ↔ Q.

P Q P ↔ Q

V V VV F FF V FF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

(P ∧ Q) ∨ [(¬ P) ∧ (¬ Q)]

V V V V F V F F VV F F F F V F V FF F V F V F F F VF F F V V F V V F

Solução

A tabela-verdade da bicondicional P ↔ Q.

P Q P ↔ Q

V V VV F FF V FF F V

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição(P ∨Q)∧ [¬(P ∧Q)].Compare o resultadoobtido com as váriasde�nições e resultadosvistos anteriormente.

Solução

É possível a construção de váriasmodelos de tabelas-verdade.

P Q (P ∨Q)∧ [¬(P ∧Q)]

V VV FF VF F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição(P ∨Q)∧ [¬(P ∧Q)].Compare o resultadoobtido com as váriasde�nições e resultadosvistos anteriormente.

Solução

É possível a construção de váriasmodelos de tabelas-verdade.

P Q (P ∨Q)∧ [¬(P ∧Q)]

V VV FF VF F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

(P ∨ Q) ∧ [¬ (P ∧ Q)]

V V V F F V V VV V F V V V F FF V V V V F F VF F F F V F F F

Solução

A tabela-verdade da disjunção exclusiva P YQ.

P Q P YQ

V V FV F VF V VF F F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólicaProposições compostas

Exemplos

Solução

(P ∨ Q) ∧ [¬ (P ∧ Q)]

V V V F F V V VV V F V V V F FF V V V V F F VF F F F V F F F

Solução

A tabela-verdade da disjunção exclusiva P YQ.

P Q P YQ

V V FV F VF V VF F F

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Marcos é inteligente, mas preguiçoso. João pulou do edifício emorreu.

Solução

u : �Marcos é inteligente�v : �Marcos é preguiçoso�.α : �João pulou do edifício�.β : �João morreu�.P(u,v) : �Marcos é inteligente, mas preguiçoso�.Γ(α,β ) : �João pulou do edifício e morreu�.

P(u,v) = u∧ v

Γ(α,β ) = α ∧β

Observação

Apesar da conexão de modo ou temporal, as nuanças de sentidoque distinguem �mas� de �e� �cam, feliz ou infelizmente, perdidas.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Marcos é inteligente, mas preguiçoso. João pulou do edifício emorreu.

Solução

u : �Marcos é inteligente�v : �Marcos é preguiçoso�.α : �João pulou do edifício�.β : �João morreu�.P(u,v) : �Marcos é inteligente, mas preguiçoso�.Γ(α,β ) : �João pulou do edifício e morreu�.

P(u,v) = u∧ v

Γ(α,β ) = α ∧β

Observação

Apesar da conexão de modo ou temporal, as nuanças de sentidoque distinguem �mas� de �e� �cam, feliz ou infelizmente, perdidas.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Marcos é inteligente, mas preguiçoso. João pulou do edifício emorreu.

Solução

u : �Marcos é inteligente�v : �Marcos é preguiçoso�.α : �João pulou do edifício�.β : �João morreu�.P(u,v) : �Marcos é inteligente, mas preguiçoso�.Γ(α,β ) : �João pulou do edifício e morreu�.

P(u,v) = u∧ v

Γ(α,β ) = α ∧β

Observação

Apesar da conexão de modo ou temporal, as nuanças de sentidoque distinguem �mas� de �e� �cam, feliz ou infelizmente, perdidas.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Marcos não é nem alto e nem elegante. É falso que Phil é baixo ouque não é elegante.

Solução

u : �Marcos é alto�.v : �Marcos é elegante�.P(u,v) : �Marcos não é nem alto e nem elegante�.α : �Phil é baixo�.β : �Phil é elegante�.Γ(α,β ) : �É falso que Phil é baixo ou que não é elegante�.

P(u,v) = (¬u)∧ (¬v)

Γ(α,β ) = ¬[α ∨ (¬β )]

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Marcos não é nem alto e nem elegante. É falso que Phil é baixo ouque não é elegante.

Solução

u : �Marcos é alto�.v : �Marcos é elegante�.P(u,v) : �Marcos não é nem alto e nem elegante�.α : �Phil é baixo�.β : �Phil é elegante�.Γ(α,β ) : �É falso que Phil é baixo ou que não é elegante�.

P(u,v) = (¬u)∧ (¬v)

Γ(α,β ) = ¬[α ∨ (¬β )]

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Se x é menor do que 6 e maior do que 3, então x é igual a 4.

Solução

u : �x é menor do que 6�.v : �x é maior do que 3�.w : �x é igual a 4�.P(u,v ,w) : �Se x é menor do que 6 e maior do que 3, então x éigual a 4�.

P(u,v ,w) = (u∧ v)→ w

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Se x é menor do que 6 e maior do que 3, então x é igual a 4.

Solução

u : �x é menor do que 6�.v : �x é maior do que 3�.w : �x é igual a 4�.P(u,v ,w) : �Se x é menor do que 6 e maior do que 3, então x éigual a 4�.

P(u,v ,w) = (u∧ v)→ w

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Jogaremos bola, contanto que Tommy venha. Não é o caso que serum peixe seja condição necessária para Miau ser um gato.

Solução

u : �Jogaremos bola�.v : �Tommy vem�.P(u,v) : �Jogaremos bola, contato que Tommy venha�.α : �Miau é um peixe�.β : �Miau é um gato�.Γ(α,β ) : �Não é o caso que ser um peixe seja condição necessáriapara Miau ser um gato�.

P(u,v) = v → u, Γ(α,β ) = ¬(β → α).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Da linguagem corrente para a linguagem simbólica

Exemplo

Jogaremos bola, contanto que Tommy venha. Não é o caso que serum peixe seja condição necessária para Miau ser um gato.

Solução

u : �Jogaremos bola�.v : �Tommy vem�.P(u,v) : �Jogaremos bola, contato que Tommy venha�.α : �Miau é um peixe�.β : �Miau é um gato�.Γ(α,β ) : �Não é o caso que ser um peixe seja condição necessáriapara Miau ser um gato�.

P(u,v) = v → u, Γ(α,β ) = ¬(β → α).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Exemplo

Se a chuva continuar caindo, então o rio vai transbordar.p q p→ qV V VV F FF V V V F FF F V F V F

1 2 3 4pos- sibi- lida- des.

Observação

p : �A chuva continua caindo�. q : �O rio vai transbordar�. Se fosse2, a condicional e o consequente teriam os mesmos valoreslógicos,sem dependência do antecedente - o que é desarrazoado.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Exemplo

Se a chuva continuar caindo, então o rio vai transbordar.p q p→ qV V VV F FF V V V F FF F V F V F

1 2 3 4pos- sibi- lida- des.

Observação

p : �A chuva continua caindo�. q : �O rio vai transbordar�. Se fosse2, a condicional e o consequente teriam os mesmos valoreslógicos,sem dependência do antecedente - o que é desarrazoado.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Exemplo

Se a chuva continuar caindo, então o rio vai transbordar.p q p→ qV V VV F FF V V V F FF F V F V F

1 2 3 4pos- sibi- lida- des.

Observação

p : �A chuva continua caindo�. q : �O rio vai transbordar�. Se fosse3, o antecedente e o consequente poderiam ser permutados, semalteração do valor lógico da condicional, o que parece desarrazoado.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Exemplo

Se a chuva continuar caindo, então o rio vai transbordar.p q p→ qV V VV F FF V V V F FF F V F V F

1 2 3 4pos- sibi- lida- des.

Observação

p : �A chuva continua caindo�. q : �O rio vai transbordar�. Se fosse3, o antecedente e o consequente poderiam ser permutados, semalteração do valor lógico da condicional, o que parece desarrazoado.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Exemplo

Se a chuva continuar caindo, então o rio vai transbordar.p q p→ qV V VV F FF V V V F FF F V F V F

1 2 3 4pos- sibi- lida- des.

Observação

p : �A chuva continua caindo�. q : �O rio vai transbordar�. Se fosse4, a condicional não seria distinta da conjunção.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Exemplo

Se a chuva continuar caindo, então o rio vai transbordar.p q p→ qV V VV F FF V V V F FF F V F V F

1 2 3 4pos- sibi- lida- des.

Observação

p : �A chuva continua caindo�. q : �O rio vai transbordar�. Se fosse4, a condicional não seria distinta da conjunção.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Tabela-verdade da condicional

p q p→ q

V V VV F FF V VF F V

Observação

A lógica clássica, seguindo análise feita por Philo de Mégara (IV a.C.), adota a possibilidade (de escolha) dada em 1. Essainterpretação material foi usada pelos estóicos, por alguns lógicosmedievais, por G. Frege (1879) e Ch. S. Pierce (1885).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Uma razão para a lógica clássicaconsiderar que se o antecedente for falso, a condicional é verdade

Tabela-verdade da condicional

p q p→ q

V V VV F FF V VF F V

Observação

A lógica clássica, seguindo análise feita por Philo de Mégara (IV a.C.), adota a possibilidade (de escolha) dada em 1. Essainterpretação material foi usada pelos estóicos, por alguns lógicosmedievais, por G. Frege (1879) e Ch. S. Pierce (1885).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

�Se 2+2=5, então a Lua é feita de queijo� é uma implicação(material) verdadeira.

1 Certamente, não estamos dispostos a concordar que 2+2=5implica (logicamente) que a Lua é feita de queijo, pois umacoisa não tem nada a ver com a outra.

2 Essa, contudo, não é uma crítica tão severa, conforme vê-se naseguinte condicional:

3 �Se isto é uma obra de arte, então sou mico de circo�.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

�Se 2+2=5, então a Lua é feita de queijo� é uma implicação(material) verdadeira.

1 Certamente, não estamos dispostos a concordar que 2+2=5implica (logicamente) que a Lua é feita de queijo, pois umacoisa não tem nada a ver com a outra.

2 Essa, contudo, não é uma crítica tão severa, conforme vê-se naseguinte condicional:

3 �Se isto é uma obra de arte, então sou mico de circo�.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

�Se 2+2=5, então a Lua é feita de queijo� é uma implicação(material) verdadeira.

1 Certamente, não estamos dispostos a concordar que 2+2=5implica (logicamente) que a Lua é feita de queijo, pois umacoisa não tem nada a ver com a outra.

2 Essa, contudo, não é uma crítica tão severa, conforme vê-se naseguinte condicional:

3 �Se isto é uma obra de arte, então sou mico de circo�.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

�Se 2+2=5, então a Lua é feita de queijo� é uma implicação(material) verdadeira.

1 Certamente, não estamos dispostos a concordar que 2+2=5implica (logicamente) que a Lua é feita de queijo, pois umacoisa não tem nada a ver com a outra.

2 Essa, contudo, não é uma crítica tão severa, conforme vê-se naseguinte condicional:

3 �Se isto é uma obra de arte, então sou mico de circo�.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

Nesta mesma linha de raciocínio, os dois condicionais seguintestambém são considerados verdadeiros:

1 �Se o califa Omar não queimou a Biblioteca de Alexandria,então alguma outra pessoa o fez.�

2 �Se o califa Omar não tivesse queimado a Biblioteca deAlexandria, então alguma outra pessoa o teria feito.�

Observação

Intuitivamente, o primeiro é verdadeiro, enquanto o segundo éconsiderado falso. Condicionais como esses são chamadoscontrafactuais, pois seus antecedentes são falsos em virtude dosfatos. Porém, pela tabela-verdade acima, qualquer condicional comantecedente falso é verdadeira.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

Nesta mesma linha de raciocínio, os dois condicionais seguintestambém são considerados verdadeiros:

1 �Se o califa Omar não queimou a Biblioteca de Alexandria,então alguma outra pessoa o fez.�

2 �Se o califa Omar não tivesse queimado a Biblioteca deAlexandria, então alguma outra pessoa o teria feito.�

Observação

Intuitivamente, o primeiro é verdadeiro, enquanto o segundo éconsiderado falso. Condicionais como esses são chamadoscontrafactuais, pois seus antecedentes são falsos em virtude dosfatos. Porém, pela tabela-verdade acima, qualquer condicional comantecedente falso é verdadeira.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

Nesta mesma linha de raciocínio, os dois condicionais seguintestambém são considerados verdadeiros:

1 �Se o califa Omar não queimou a Biblioteca de Alexandria,então alguma outra pessoa o fez.�

2 �Se o califa Omar não tivesse queimado a Biblioteca deAlexandria, então alguma outra pessoa o teria feito.�

Observação

Intuitivamente, o primeiro é verdadeiro, enquanto o segundo éconsiderado falso. Condicionais como esses são chamadoscontrafactuais, pois seus antecedentes são falsos em virtude dosfatos. Porém, pela tabela-verdade acima, qualquer condicional comantecedente falso é verdadeira.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

Nesta mesma linha de raciocínio, os dois condicionais seguintestambém são considerados verdadeiros:

1 �Se o califa Omar não queimou a Biblioteca de Alexandria,então alguma outra pessoa o fez.�

2 �Se o califa Omar não tivesse queimado a Biblioteca deAlexandria, então alguma outra pessoa o teria feito.�

Observação

Intuitivamente, o primeiro é verdadeiro, enquanto o segundo éconsiderado falso. Condicionais como esses são chamadoscontrafactuais, pois seus antecedentes são falsos em virtude dosfatos. Porém, pela tabela-verdade acima, qualquer condicional comantecedente falso é verdadeira.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

A origem desta confusão é a troca indevida da condicional pelaimplicação (lógica). Considere os enunciados:

1 �Se Saturno é um planeta, então Paris é a capital da França.�2 �Saturno é um planeta� implica em �Paris é a capital da

França�

Observação

O enunciado 1 é uma condicional verdadeira; o enunciado 2 é umaimplicação (lógica) falsa.O que uma condicional a�rma é simplesmente uma relação entre osvalores lógicos do antecedente e do consequente de acordo comatabela-verdade anterior.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

A origem desta confusão é a troca indevida da condicional pelaimplicação (lógica). Considere os enunciados:

1 �Se Saturno é um planeta, então Paris é a capital da França.�2 �Saturno é um planeta� implica em �Paris é a capital da

França�

Observação

O enunciado 1 é uma condicional verdadeira; o enunciado 2 é umaimplicação (lógica) falsa.O que uma condicional a�rma é simplesmente uma relação entre osvalores lógicos do antecedente e do consequente de acordo comatabela-verdade anterior.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

A origem desta confusão é a troca indevida da condicional pelaimplicação (lógica). Considere os enunciados:

1 �Se Saturno é um planeta, então Paris é a capital da França.�2 �Saturno é um planeta� implica em �Paris é a capital da

França�

Observação

O enunciado 1 é uma condicional verdadeira; o enunciado 2 é umaimplicação (lógica) falsa.O que uma condicional a�rma é simplesmente uma relação entre osvalores lógicos do antecedente e do consequente de acordo comatabela-verdade anterior.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

A implicação material ou condicional

Exemplo

A origem desta confusão é a troca indevida da condicional pelaimplicação (lógica). Considere os enunciados:

1 �Se Saturno é um planeta, então Paris é a capital da França.�2 �Saturno é um planeta� implica em �Paris é a capital da

França�

Observação

O enunciado 1 é uma condicional verdadeira; o enunciado 2 é umaimplicação (lógica) falsa.O que uma condicional a�rma é simplesmente uma relação entre osvalores lógicos do antecedente e do consequente de acordo comatabela-verdade anterior.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência lógica

O exposto a seguir ilustra as situações que se encontramespalhadas ao longo da aprendizagem da lógica.

Para começar, tente resolver o(s) seguinte(s) problema(s) .

Pense um pouco a respeito do(s) problema(s) e tente colocarsuas idéias por escrito.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência lógica

O exposto a seguir ilustra as situações que se encontramespalhadas ao longo da aprendizagem da lógica.

Para começar, tente resolver o(s) seguinte(s) problema(s) .

Pense um pouco a respeito do(s) problema(s) e tente colocarsuas idéias por escrito.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência lógica

O exposto a seguir ilustra as situações que se encontramespalhadas ao longo da aprendizagem da lógica.

Para começar, tente resolver o(s) seguinte(s) problema(s) .

Pense um pouco a respeito do(s) problema(s) e tente colocarsuas idéias por escrito.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Problema 1

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Problema 2

Sete amigos traçaram umtriângulo, um quadrado e umcírculo. Cada um marcou seulugar com um número:

Ana: �Eu não falarei nada.�

Bento: �Eu estou dentro de uma única�gura.�

Celina: �Eu estou dentro das três�guras.�

Diana: �Eu estou dentro do triângulo,mas não do quadrado.�

Elisa: �Eu estou dentro do triângulo edo círculo.�

Fábio: �Eu não estou dentro de umpolígono.�

Guilherme: �Eu estou dentro docírculo.�

Encontre o lugar de cada um.Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Problema 3

No Planeta Nérdia, existem trêsespécies de nerds: ET-nerds,UFO-nerds e OVNI-nerds. Aprimeira mente quando chove ediz a verdade quando não chove;a segunda sempre mente; aterceira sempre diz a verdade.Certo dia Bruberson, um nerdmuito camarada, se encontra comquatro nerds. E eles falam:

X : �Hoje está chovendo.�

Y : �O nerd que acabou de falar estámentindo.�

Z : �Hoje não está chovendo.�

W : �O primeiro nerd mentiu ou eu souum ET-nerd.�

Com quantos ET-nerds Brubersonfalou no máximo?

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência lógica

O que aconteceu enquanto você tentava resolver cadaproblema?

Há vários pontos de partida que você pode ter tomado e várioscaminhos que pode ter seguido.

Seja como for, em algum lugar de seu cérebro, ocorreu umprocesso que fez com que você acreditasse numa certaconclusão.

A esse processo, chamamos raciocínio ou processo deinferência.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência lógica

O que aconteceu enquanto você tentava resolver cadaproblema?

Há vários pontos de partida que você pode ter tomado e várioscaminhos que pode ter seguido.

Seja como for, em algum lugar de seu cérebro, ocorreu umprocesso que fez com que você acreditasse numa certaconclusão.

A esse processo, chamamos raciocínio ou processo deinferência.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência lógica

O que aconteceu enquanto você tentava resolver cadaproblema?

Há vários pontos de partida que você pode ter tomado e várioscaminhos que pode ter seguido.

Seja como for, em algum lugar de seu cérebro, ocorreu umprocesso que fez com que você acreditasse numa certaconclusão.

A esse processo, chamamos raciocínio ou processo deinferência.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência lógica

O que aconteceu enquanto você tentava resolver cadaproblema?

Há vários pontos de partida que você pode ter tomado e várioscaminhos que pode ter seguido.

Seja como for, em algum lugar de seu cérebro, ocorreu umprocesso que fez com que você acreditasse numa certaconclusão.

A esse processo, chamamos raciocínio ou processo deinferência.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência.

Basicamente, raciocinar ou fazer inferências, consiste emmanipular a informação disponível - aquilo que sabemos ousupomos ser verdadeiro, aquilo em que acreditamos - e extrairconsequências disso, obtendo informação nova.

O resultado de um processo (bem sucedido) de inferência éque você �ca sabendo (ou, ao menos acreditando em) algoque você não sabia antes.

É claro que este processo também pode terminar num fracasso- raciocina-se em vão e não se chega a lugar algum -, mas issoé outra história.

Por outro lado, é importante notar que nem sempre o pontode partida do processo são coisas sabidas, ou em que seacredita: muitas vezes raciocinamos a partir de hipóteses -a�rmações que assumimos como válidas.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência.

Basicamente, raciocinar ou fazer inferências, consiste emmanipular a informação disponível - aquilo que sabemos ousupomos ser verdadeiro, aquilo em que acreditamos - e extrairconsequências disso, obtendo informação nova.

O resultado de um processo (bem sucedido) de inferência éque você �ca sabendo (ou, ao menos acreditando em) algoque você não sabia antes.

É claro que este processo também pode terminar num fracasso- raciocina-se em vão e não se chega a lugar algum -, mas issoé outra história.

Por outro lado, é importante notar que nem sempre o pontode partida do processo são coisas sabidas, ou em que seacredita: muitas vezes raciocinamos a partir de hipóteses -a�rmações que assumimos como válidas.

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência.

Basicamente, raciocinar ou fazer inferências, consiste emmanipular a informação disponível - aquilo que sabemos ousupomos ser verdadeiro, aquilo em que acreditamos - e extrairconsequências disso, obtendo informação nova.

O resultado de um processo (bem sucedido) de inferência éque você �ca sabendo (ou, ao menos acreditando em) algoque você não sabia antes.

É claro que este processo também pode terminar num fracasso- raciocina-se em vão e não se chega a lugar algum -, mas issoé outra história.

Por outro lado, é importante notar que nem sempre o pontode partida do processo são coisas sabidas, ou em que seacredita: muitas vezes raciocinamos a partir de hipóteses -a�rmações que assumimos como válidas.

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio ou inferência.

Basicamente, raciocinar ou fazer inferências, consiste emmanipular a informação disponível - aquilo que sabemos ousupomos ser verdadeiro, aquilo em que acreditamos - e extrairconsequências disso, obtendo informação nova.

O resultado de um processo (bem sucedido) de inferência éque você �ca sabendo (ou, ao menos acreditando em) algoque você não sabia antes.

É claro que este processo também pode terminar num fracasso- raciocina-se em vão e não se chega a lugar algum -, mas issoé outra história.

Por outro lado, é importante notar que nem sempre o pontode partida do processo são coisas sabidas, ou em que seacredita: muitas vezes raciocinamos a partir de hipóteses -a�rmações que assumimos como válidas.

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Não é de interesse da lógica investigar como o processo mentaldo raciocínio ocorre. A lógica não é parte da psicologia.A lógica se interessa primeiramente pela questão de se aquelascoisas que sabemos ou em que acreditamos - o ponto departida do processo - de fato constituem uma boa razão paraaceitar a conclusão alcançada.Noutras palavras, se a conclusão é uma consequência daquiloque sabemos.Se a conclusão está adequadamente justi�cada em vista dainformação disponivel.Se a conclusão pode ser a�rmada a partir da informação quese tem.Justi�car uma a�rmação que se faz, ou dar as razões para umacerta conclusão obtida, é algo de bastante importância emmuitas situações.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Não é de interesse da lógica investigar como o processo mentaldo raciocínio ocorre. A lógica não é parte da psicologia.A lógica se interessa primeiramente pela questão de se aquelascoisas que sabemos ou em que acreditamos - o ponto departida do processo - de fato constituem uma boa razão paraaceitar a conclusão alcançada.Noutras palavras, se a conclusão é uma consequência daquiloque sabemos.Se a conclusão está adequadamente justi�cada em vista dainformação disponivel.Se a conclusão pode ser a�rmada a partir da informação quese tem.Justi�car uma a�rmação que se faz, ou dar as razões para umacerta conclusão obtida, é algo de bastante importância emmuitas situações.

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Não é de interesse da lógica investigar como o processo mentaldo raciocínio ocorre. A lógica não é parte da psicologia.A lógica se interessa primeiramente pela questão de se aquelascoisas que sabemos ou em que acreditamos - o ponto departida do processo - de fato constituem uma boa razão paraaceitar a conclusão alcançada.Noutras palavras, se a conclusão é uma consequência daquiloque sabemos.Se a conclusão está adequadamente justi�cada em vista dainformação disponivel.Se a conclusão pode ser a�rmada a partir da informação quese tem.Justi�car uma a�rmação que se faz, ou dar as razões para umacerta conclusão obtida, é algo de bastante importância emmuitas situações.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Não é de interesse da lógica investigar como o processo mentaldo raciocínio ocorre. A lógica não é parte da psicologia.A lógica se interessa primeiramente pela questão de se aquelascoisas que sabemos ou em que acreditamos - o ponto departida do processo - de fato constituem uma boa razão paraaceitar a conclusão alcançada.Noutras palavras, se a conclusão é uma consequência daquiloque sabemos.Se a conclusão está adequadamente justi�cada em vista dainformação disponivel.Se a conclusão pode ser a�rmada a partir da informação quese tem.Justi�car uma a�rmação que se faz, ou dar as razões para umacerta conclusão obtida, é algo de bastante importância emmuitas situações.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Não é de interesse da lógica investigar como o processo mentaldo raciocínio ocorre. A lógica não é parte da psicologia.A lógica se interessa primeiramente pela questão de se aquelascoisas que sabemos ou em que acreditamos - o ponto departida do processo - de fato constituem uma boa razão paraaceitar a conclusão alcançada.Noutras palavras, se a conclusão é uma consequência daquiloque sabemos.Se a conclusão está adequadamente justi�cada em vista dainformação disponivel.Se a conclusão pode ser a�rmada a partir da informação quese tem.Justi�car uma a�rmação que se faz, ou dar as razões para umacerta conclusão obtida, é algo de bastante importância emmuitas situações.

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Não é de interesse da lógica investigar como o processo mentaldo raciocínio ocorre. A lógica não é parte da psicologia.A lógica se interessa primeiramente pela questão de se aquelascoisas que sabemos ou em que acreditamos - o ponto departida do processo - de fato constituem uma boa razão paraaceitar a conclusão alcançada.Noutras palavras, se a conclusão é uma consequência daquiloque sabemos.Se a conclusão está adequadamente justi�cada em vista dainformação disponivel.Se a conclusão pode ser a�rmada a partir da informação quese tem.Justi�car uma a�rmação que se faz, ou dar as razões para umacerta conclusão obtida, é algo de bastante importância emmuitas situações.

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Há contextos nos quais uma a�rmação só pode ser aceitacomo verdadeira se muito bem justi�cada: na ciência de ummodo geral, por exemplo, ou em um tribunal.Precisamos comumente de algum tipo de suporte para asconclusões atingidas, uma certa garantia daquilo que estamosa�rmando.É claro que nem toda a�rmação ou conclusão necessita serjusti�cada: nossos amigos podem ser dar por satisfeitos com oque dizemos, sabendo que não temos o hábito de mentir oupode acontecer que estejamos a�rmando algo evidente por simesmo.Contudo, em muitas situações, você se encontra diante danecessidade de explicar por que você chegou a uma talconclusão, ou com base em que você está a�rmando tal ouqual coisa.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Há contextos nos quais uma a�rmação só pode ser aceitacomo verdadeira se muito bem justi�cada: na ciência de ummodo geral, por exemplo, ou em um tribunal.Precisamos comumente de algum tipo de suporte para asconclusões atingidas, uma certa garantia daquilo que estamosa�rmando.É claro que nem toda a�rmação ou conclusão necessita serjusti�cada: nossos amigos podem ser dar por satisfeitos com oque dizemos, sabendo que não temos o hábito de mentir oupode acontecer que estejamos a�rmando algo evidente por simesmo.Contudo, em muitas situações, você se encontra diante danecessidade de explicar por que você chegou a uma talconclusão, ou com base em que você está a�rmando tal ouqual coisa.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Há contextos nos quais uma a�rmação só pode ser aceitacomo verdadeira se muito bem justi�cada: na ciência de ummodo geral, por exemplo, ou em um tribunal.Precisamos comumente de algum tipo de suporte para asconclusões atingidas, uma certa garantia daquilo que estamosa�rmando.É claro que nem toda a�rmação ou conclusão necessita serjusti�cada: nossos amigos podem ser dar por satisfeitos com oque dizemos, sabendo que não temos o hábito de mentir oupode acontecer que estejamos a�rmando algo evidente por simesmo.Contudo, em muitas situações, você se encontra diante danecessidade de explicar por que você chegou a uma talconclusão, ou com base em que você está a�rmando tal ouqual coisa.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

Há contextos nos quais uma a�rmação só pode ser aceitacomo verdadeira se muito bem justi�cada: na ciência de ummodo geral, por exemplo, ou em um tribunal.Precisamos comumente de algum tipo de suporte para asconclusões atingidas, uma certa garantia daquilo que estamosa�rmando.É claro que nem toda a�rmação ou conclusão necessita serjusti�cada: nossos amigos podem ser dar por satisfeitos com oque dizemos, sabendo que não temos o hábito de mentir oupode acontecer que estejamos a�rmando algo evidente por simesmo.Contudo, em muitas situações, você se encontra diante danecessidade de explicar por que você chegou a uma talconclusão, ou com base em que você está a�rmando tal ouqual coisa.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

A justi�cativa consiste em uma listagem organizada das razõesque o/a levam a crer em uma determinada conclusão. Elamostra como a conclusão decorre dos dados do problema.

A justi�cativa contém argumentos a favor da conclusão.

Assim, ao se deparar com qualquer problema não basta apenasacertar sua resposta, pois isso poderia ter ocorrido por meio deum palpite feliz ou por sorte.

É preciso convencer o outro de que realmente se sabe aresposta. Para isso é obrigatório expor as razões que oconduziram à conclusão - a a�rmação �nal. É necessáriojusti�car as assertivas feitas.

Noutras palavras, a partir dos dados do problema, a conclusãoé deduzida ou demonstrada. Para dizer isso em outros termos,faz-se a dedução ou demonstração (da conclusão).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

A justi�cativa consiste em uma listagem organizada das razõesque o/a levam a crer em uma determinada conclusão. Elamostra como a conclusão decorre dos dados do problema.

A justi�cativa contém argumentos a favor da conclusão.

Assim, ao se deparar com qualquer problema não basta apenasacertar sua resposta, pois isso poderia ter ocorrido por meio deum palpite feliz ou por sorte.

É preciso convencer o outro de que realmente se sabe aresposta. Para isso é obrigatório expor as razões que oconduziram à conclusão - a a�rmação �nal. É necessáriojusti�car as assertivas feitas.

Noutras palavras, a partir dos dados do problema, a conclusãoé deduzida ou demonstrada. Para dizer isso em outros termos,faz-se a dedução ou demonstração (da conclusão).

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

A justi�cativa consiste em uma listagem organizada das razõesque o/a levam a crer em uma determinada conclusão. Elamostra como a conclusão decorre dos dados do problema.

A justi�cativa contém argumentos a favor da conclusão.

Assim, ao se deparar com qualquer problema não basta apenasacertar sua resposta, pois isso poderia ter ocorrido por meio deum palpite feliz ou por sorte.

É preciso convencer o outro de que realmente se sabe aresposta. Para isso é obrigatório expor as razões que oconduziram à conclusão - a a�rmação �nal. É necessáriojusti�car as assertivas feitas.

Noutras palavras, a partir dos dados do problema, a conclusãoé deduzida ou demonstrada. Para dizer isso em outros termos,faz-se a dedução ou demonstração (da conclusão).

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

A justi�cativa consiste em uma listagem organizada das razõesque o/a levam a crer em uma determinada conclusão. Elamostra como a conclusão decorre dos dados do problema.

A justi�cativa contém argumentos a favor da conclusão.

Assim, ao se deparar com qualquer problema não basta apenasacertar sua resposta, pois isso poderia ter ocorrido por meio deum palpite feliz ou por sorte.

É preciso convencer o outro de que realmente se sabe aresposta. Para isso é obrigatório expor as razões que oconduziram à conclusão - a a�rmação �nal. É necessáriojusti�car as assertivas feitas.

Noutras palavras, a partir dos dados do problema, a conclusãoé deduzida ou demonstrada. Para dizer isso em outros termos,faz-se a dedução ou demonstração (da conclusão).

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Outras operações lógicasExemplos

A linguagem usual e a linguagem simbólica

Raciocínio e inferência

A justi�cativa consiste em uma listagem organizada das razõesque o/a levam a crer em uma determinada conclusão. Elamostra como a conclusão decorre dos dados do problema.

A justi�cativa contém argumentos a favor da conclusão.

Assim, ao se deparar com qualquer problema não basta apenasacertar sua resposta, pois isso poderia ter ocorrido por meio deum palpite feliz ou por sorte.

É preciso convencer o outro de que realmente se sabe aresposta. Para isso é obrigatório expor as razões que oconduziram à conclusão - a a�rmação �nal. É necessáriojusti�car as assertivas feitas.

Noutras palavras, a partir dos dados do problema, a conclusãoé deduzida ou demonstrada. Para dizer isso em outros termos,faz-se a dedução ou demonstração (da conclusão).

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Apêndice Leitura recomendada

Leitura Recomendada I

Filho, Edgard de Alencar.Iniciação à Lógica Matemática.São Paulo: Nobel, 2002.

Mortari, Cezar A.Introdução à Lógica.São Paulo: editora UNESP, 2001.

Conectivos, interpretação Luiz Claudio Pereira