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Lógica Matemática 1

Semana 7, 8 e 9.

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadêmico de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Material Previsto para três semanas

Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 91

Operações lógicas

1 Possibilidades de tabelas-verdade

2 Tautologia, contradição e contingência

3 Um Sistema Lógico não pode contradizer-se

4 Princípios de Substituição

5 Convenções da linguagem simbólica

6 Conectivo principal

7 Outras simbologias para as operações lógicas

8 Exemplos

9 Implicação lógica e equivalência lógica

Indução e Dedução

Formulação de Aristóteles

Para o famoso estagirita, indução é um procedimento que vai do particularpara o geral e dedução é o movimento reverso. Neste sentido,(1) um processo indutivo começa pela observação de que um certofenômeno ocorre mediante determinadas condições.(2) Isso sugere ou indica a possibilidade da ocorrência do fenômenomediante condições similares mais gerais do que as da observação.Formula-se assim uma conjectura sobre o fenômeno. A conjectura é umasentença declarativa em que se a�rma:

se (tal condição mais geral) então (tal fenômeno é observado).

(3) A veracidade da conjectura é dada pela sua capacidade em produzirinformações novas verdadeiras, não previamente observadas, enquanto semantém em acordo com as observações que lhe deram origem.

No processo indutivo, ao realizar a generalização expressa na (hipótese da)conjectura, não se tem certeza absoluta da a�rmação feita (na conclusão),uma vez que não se observou o fenômeno mediante as condições maisgerais propostas.(a) Noutras palavras, a validade da conjectura não está assegurada em umprocesso indutivo.(b) Vale dizer, a conclusão (dada na conjectura) não decorre logicamenteda(s) hipótese(s).

Dedução

Quando a suposta verdade da(s) hipótese(s) conduz (necessária elogicamente) à verdade da conclusão, tem-se uma dedução.

No processo indutivo, ao realizar a generalização expressa na (hipótese da)conjectura, não se tem certeza absoluta da a�rmação feita (na conclusão),uma vez que não se observou o fenômeno mediante as condições maisgerais propostas.(a) Noutras palavras, a validade da conjectura não está assegurada em umprocesso indutivo.(b) Vale dizer, a conclusão (dada na conjectura) não decorre logicamenteda(s) hipótese(s).

Dedução

Quando a suposta verdade da(s) hipótese(s) conduz (necessária elogicamente) à verdade da conclusão, tem-se uma dedução.

Exemplo de processo indutivo

(a) Todos os corvos observados até agora são negros. Logo, todos oscorvos são negros.(b) Joguei uma pedra no lago e a pedra afundou.Joguei outra pedra no lago e ela também afundou.Joguei mais uma pedra no lago e também esta afundou.Logo, se eu jogar qualquer pedra no lago, ela afundará.

Nas ciências naturais, um processo indutivo pode ser forte ou fracodependendo do grau de apoio que a(s) hipótese(s) fornecem à conclusão. Eem Matemática?

Exemplo de processo indutivo

(a) Todos os corvos observados até agora são negros. Logo, todos oscorvos são negros.(b) Joguei uma pedra no lago e a pedra afundou.Joguei outra pedra no lago e ela também afundou.Joguei mais uma pedra no lago e também esta afundou.Logo, se eu jogar qualquer pedra no lago, ela afundará.

Nas ciências naturais, um processo indutivo pode ser forte ou fracodependendo do grau de apoio que a(s) hipótese(s) fornecem à conclusão. Eem Matemática?

Princípio(s) de Indução

Em Matemática, pode-se tentar utilizar o(s) Princípio(s) de Indução paraveri�car logicamente uma conjectura. Apesar da nomenclatura, este(s)princípio(s) são deduzidos, i. e., são provados usando argumentação lógicae resultados conhecidos como, e. g., os axiomas de Peano.

Exemplos

Considere x real positivo �xado e a expressão (1+ x)n ≥ 1+nx . Observeque é verdade que:(1+ x)1 ≥ 1+1 · x .(1+ x)2 ≥ 1+2 · x , uma vez que (1+ x)2 = 1+2x + x2 e x2 é positivo.(1+ x)3 ≥ 1+3 · x , uma vez que (1+ x)3 = 1+3x +3x2 +3x3.Uma conjectura possível é que:

Se n é natural então (1+ x)n ≥ 1+nx .

E sobre a veracidade desta a�rmação?Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 91

Princípio(s) de Indução

Em Matemática, pode-se tentar utilizar o(s) Princípio(s) de Indução paraveri�car logicamente uma conjectura. Apesar da nomenclatura, este(s)princípio(s) são deduzidos, i. e., são provados usando argumentação lógicae resultados conhecidos como, e. g., os axiomas de Peano.

Exemplos

Considere x real positivo �xado e a expressão (1+ x)n ≥ 1+nx . Observeque é verdade que:(1+ x)1 ≥ 1+1 · x .(1+ x)2 ≥ 1+2 · x , uma vez que (1+ x)2 = 1+2x + x2 e x2 é positivo.(1+ x)3 ≥ 1+3 · x , uma vez que (1+ x)3 = 1+3x +3x2 +3x3.Uma conjectura possível é que:

Se n é natural então (1+ x)n ≥ 1+nx .

E sobre a veracidade desta a�rmação?Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 91

Princípio de Indução

(i) Para n = 1, tem-se(1+ x)1 ≥ 1+1 · x .

Para n = 2, tem-se(1+ x)2 ≥ 1+2 · x .

(ii) Suponha, por hipótese de indução, que a desigualdade se veri�que paran = k . Ou seja,

(1+ x)k ≥ 1+k · x .

Atenção

Agora, usando a hipótese de indução, precisamos de algum modo veri�carque a desigualdade vale para n = k +1, ou seja, que de fato ocorre

(1+ x)k+1 ≥ 1+ (k +1) · x .

(i) Para n = 1, tem-se(1+ x)1 ≥ 1+1 · x .

Para n = 2, tem-se(1+ x)2 ≥ 1+2 · x .

(1+ x)k ≥ 1+k · x .

Atenção

Agora, usando a hipótese de indução, precisamos de algum modo veri�carque a desigualdade vale para n = k +1, ou seja, que de fato ocorre

(1+ x)k+1 ≥ 1+ (k +1) · x .

Hipótese de indução

(1+ x)k ≥ 1+k · x .

(iii) Para n = k +1, segue que

(1+ x)k+1 = (1+ x)k · (1+ x)

≥ (1+kx) · (1+ x)

= 1+ (k +1)x +kx2

≥ 1+ (k +1)x

uma vez que kx2 é positivo. Pelo Princípio de Indução Matemática,conclui-se que a desigualdade é válida para todo n natural.

(1+ x)k ≥ 1+k · x .

(1+ x)k+1 = (1+ x)k · (1+ x)

≥ (1+kx) · (1+ x)

= 1+ (k +1)x +kx2

≥ 1+ (k +1)x

uma vez que kx2 é positivo. Pelo Princípio de Indução Matemática,conclui-se que a desigualdade é válida para todo n natural.

Dedução

Pelo fórmula binomial, pode-se escrever

(1+ x)n =n

∑j=0

(1+ x)n =

∑j=2

≥ 1+nx

uma vez que

)e x j são positivos. Assim, partindo da fórmula

binomial, deduzimos a desigualdade e o resultado está (logicamente)provado.

Exemplos

Considere a expressão n2 +n+41. Observe que:12 +1+41 = 43 é um número primo.22 +2+41 = 47 é um número primo.32 +3+41 = 53 é um número primo.92 +9+41 = 131 é um número primo.Uma conjectura possível é que:

Se n é natural então n2 +n+41 é um primo.

Essa proposição condicional também pode ser enunciada como:

n2 +n+41 é primo para todo n ∈ N.

E sobre a veracidade desta a�rmação?

A resposta é um tanto óbvia, não?

Exemplos

Considere a expressão n2 +n+41. Observe que:12 +1+41 = 43 é um número primo.22 +2+41 = 47 é um número primo.32 +3+41 = 53 é um número primo.92 +9+41 = 131 é um número primo.Uma conjectura possível é que:

Se n é natural então n2 +n+41 é um primo.

Essa proposição condicional também pode ser enunciada como:

n2 +n+41 é primo para todo n ∈ N.

A resposta é um tanto óbvia, não?

Conforme veri�cado por Euler em 1772

Para n = 40, tem-se n2 +n+41 = 40(40+1) +41 = 41 ·41.

Gauss (1777-1855)

Observe que:

1+2+3+4 =4 ·52

1+2+3+4+5 =5 ·62

1+2+3+4+5+6 =6 ·72

Uma conjectura possível é que:

Se n é natural então 1+2+3+ . . .+n =n(n+1)

Conforme veri�cado por Euler em 1772

Para n = 40, tem-se n2 +n+41 = 40(40+1) +41 = 41 ·41.

Gauss (1777-1855)

Observe que:

1+2+3+4 =4 ·52

1+2+3+4+5 =5 ·62

1+2+3+4+5+6 =6 ·72

Uma conjectura possível é que:

Se n é natural então 1+2+3+ . . .+n =n(n+1)

(i) Para n = 1, tem-se

1 =1 ·22

Para n = 2, tem-se

1+2 =2 ·32

(ii) Suponha, por hipótese de indução, que a igualdade se veri�que paran = k . Ou seja,

1+2+3+ . . .+k =k · (k +1)

1+2+3+ . . .+ (k +1) = 1+2+ . . .+k + (k +1)

=k · (k +1)

2+ (k +1)

=(k +1)(k +2)

Pelo Princípio de Indução Matemática, conclui-se que a igualdade é válidapara todo n natural.

1+2+3+ . . .+k =k · (k +1)

1+2+3+ . . .+ (k +1) = 1+2+ . . .+k + (k +1)

=k · (k +1)

2+ (k +1)

=(k +1)(k +2)

Pelo Princípio de Indução Matemática, conclui-se que a igualdade é válidapara todo n natural.

Dedução (de Gauss)

ConsidereS = 1+2+3+ . . .+ (n−2) + (n−1) +n .

Ora, pela comutatividade,

S = n+ (n−1) + (n−2) + . . .+3+2+1 .

Daí, pela associatividade,

2S = (n+1) + (n+1) + . . .+ (n+1) = n · (n+1) .

Deste modo,

S =n(n+1)

e o resultado está (logicamente) provado.

Exemplos

Considere a expressão 991n2 +1. Observe que:991 ·12 +1 = 992 não é um quadrado perfeito.991 ·22 +1 = 3965 não é um quadrado perfeito.991 ·32 +1 = 8920 não é um quadrado perfeito.Uma conjectura possível é que:

Se n é natural, então 991n2 +1 não é um quadrado perfeito.

É essa a�rmação verídica?

Exemplos

Considere a expressão 2n+2. Observe que:2 ·1+2 = 2+2 é a soma de dois números primos.2 ·2+2 = 3+3 é a soma de dois números primos.2 ·3+2 = 3+5 é a soma de dois números primos.2 ·4+2 = 3+7 é a soma de dois números primos.Uma conjectura possível é que:

Se n é natural, então 2n+2 é a soma de dois números primos.

É essa a�rmação verídica?

Exercícios

Uma fórmula fechada, grosso modo, é uma fórmula que depende dos dadosiniciais do problema e que permite calcular diretamente os valores doobjeto em estudo fazendo um número pequeno de contas. Dado oproblema, conjecture uma fórmula fechada e, em seguida, veri�que averacidade de sua conjectura.(a) A soma alternada, começando em 1, dos quadrados de númerosnaturais consecutivos

Exercícios

Uma fórmula fechada, grosso modo, é uma fórmula que depende dos dadosiniciais do problema e que permite calcular diretamente os valores doobjeto em estudo fazendo um número pequeno de contas. Dado oproblema, conjecture uma fórmula fechada e, em seguida, veri�que averacidade de sua conjectura.(a) A soma alternada, começando em 1, dos quadrados de númerosnaturais consecutivos, ou seja,

1−22 +32− . . .+ (−1)n−1n2

Exercícios

1−22 +32− . . .+ (−1)n−1n2

(b) A soma dos inversos de produtos de dois números naturais ímparesconsecutivos

Exercícios

1−22 +32− . . .+ (−1)n−1n2

(b) A soma dos inversos de produtos de dois números naturais ímparesconsecutivos, isto é,

11 ·3

3 ·5+ . . .+

1(2n−1)(2n+1)

O pensamento é algo incontido

Uma conjectura baseada em simples observação pode não ser algo tãosimples de ser realizado.

Johannes Kepler, por exemplo, demorou quase duas décadas paraestabelecer suas conclusões sobre a órbita dos planetas a partir dasobservações (e medições) feitas por Tycho Brahe.

Isso evidencia a necessidade da conjugação dos processos indutivo ededutivo na obtenção de resultado novo. O desenvolvimento da ciência temdependido, em grande parte, da habilidade em combinar os dois tipos deraciocínio.

Desigualdade de Bernoulli

Anteriormente, feitas algumas observações, conjecturamos que, sendo xreal e positivo, ocorre (1+ x)n ≥ 1+nx , para todo n natural. Depois,usando indução matemática, provamos a veracidade da a�rmação de que adesigualdade era verídica para todo n natural. Em seguida, partindo dafórmula binomial de Newton, deduzimos a desigualdade.Através da combinação desses racíocínios, outra conjectura possível é que

para x ≥−1, real,

se n é natural então(1+ x)n ≥ 1+nx ,

conjectura essa que não se insinuava a partir das observações iniciais.

Exercícios

Veri�que a veracidade da conjectura de que

tem-se(1+ x)n ≥ 1+nx ,

para todo n natural.

Exercícios

Encontre fórmulas fechadas para

13 +23 + . . .+n3

e12 +32 + . . .+ (2n−1)2

Exercícios

Veri�que a veracidade da conjectura de que

tem-se(1+ x)n ≥ 1+nx ,

para todo n natural.

Exercícios

Encontre fórmulas fechadas para

13 +23 + . . .+n3

e12 +32 + . . .+ (2n−1)2

Exercícios

Considere a expressão

1+2+ . . .+n =n2 +n+2

Mostre que:(a) Se a expressão vale para n = k , então ela vale para n = k +1.(b) A expressão é verídica? Discorra sobre a situação, fundamentando suaresposta.

Exercícios

Observe que

1!≤ 131

2!≤ 132

3!≤ 133

(a) Elabore uma conjectura a respeito da desigualdade entre n! e 13n.(b) Prove, usando indução matemática, a veracidade de sua conjectura.

Exercícios

Em seu livro Naive Set Theory (Teoria Ingênua dos Conjuntos), PaulHalmos considera conjunto um conceito primitivo sobre o qual o leitorpossui uma compreensão humana, intuitiva, ordinária, e sobre o qual ésu�ciente delinear algumas coisas que se pode fazer corretamente com ele.Analise criticamente a seguinte argumentação em que se deseja provar quetodo número natural é pequeno.

�Evidentemente, 1 é um número pequeno. Além disso, se n for pequeno,n+1 também o será, pois não se torna grande um número pequenosimplesmente somando-lhe uma unidade. Logo, por indução, todo númeronatural é pequeno.�

Exercícios

Em seu livro Naive Set Theory (Teoria Ingênua dos Conjuntos), PaulHalmos considera conjunto um conceito primitivo sobre o qual o leitorpossui uma compreensão humana, intuitiva, ordinária, e sobre o qual ésu�ciente delinear algumas coisas que se pode fazer corretamente com ele.Analise criticamente a seguinte argumentação em que se deseja provar quetodo número natural é pequeno.

�Evidentemente, 1 é um número pequeno. Além disso, se n for pequeno,n+1 também o será, pois não se torna grande um número pequenosimplesmente somando-lhe uma unidade. Logo, por indução, todo númeronatural é pequeno.�

Exercícios

Analise criticamente a seguinte argumentação em que se deseja demonstrarque todas as pessoas têm a mesma idade.

�Seja X o conjunto de todas as pessoas. Por indução, mostraremos oselementos de X têm a mesma idade. Com efeito, para n = 1 a a�rmação éverdadeira, pois se X é um conjunto formado por um única pessoa, todosos elementos de X têm a mesma idade. Suponha agora que a a�rmaçãoseja verdadeira para todos os conjuntos de n elementos. Considere umconjunto com n+1 pessoas, {a1,a2, . . . ,an,an+1}. Ora, {a1,a2, . . . ,an} éum conjunto de n pessoas, logo a1, a2, . . ., an têm a mesma idade. Mas,{a2, . . . ,an,an+1} também é um conjunto de n elementos, logo todos osseus elementos, em particular an e an+1, têm a mesma idade. Mas, tendoa1, a2, . . ., an a mesma idade e tendo an e an+1 a mesma idade, todos oselementos de {a1,a2, . . . ,an,an+1} têm as mesma idade, conformequeríamos demonstrar.�

Exercícios

Analise criticamente a seguinte argumentação em que se deseja demonstrarque todas as pessoas têm a mesma idade.

�Seja X o conjunto de todas as pessoas. Por indução, mostraremos oselementos de X têm a mesma idade. Com efeito, para n = 1 a a�rmação éverdadeira, pois se X é um conjunto formado por um única pessoa, todosos elementos de X têm a mesma idade. Suponha agora que a a�rmaçãoseja verdadeira para todos os conjuntos de n elementos. Considere umconjunto com n+1 pessoas, {a1,a2, . . . ,an,an+1}. Ora, {a1,a2, . . . ,an} éum conjunto de n pessoas, logo a1, a2, . . ., an têm a mesma idade. Mas,{a2, . . . ,an,an+1} também é um conjunto de n elementos, logo todos osseus elementos, em particular an e an+1, têm a mesma idade. Mas, tendoa1, a2, . . ., an a mesma idade e tendo an e an+1 a mesma idade, todos oselementos de {a1,a2, . . . ,an,an+1} têm as mesma idade, conformequeríamos demonstrar.�

Tautologia, contradição e contingênciaou uma ou outra

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição[(p→ q)∧p]→ q.

Solução

Um modelo de tabela-verdadepossível é o seguinte:

[(p → q) ∧ p] → q

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição[(p→ q)∧p]→ q.

Solução

[(p → q) ∧ p] → q

V V V V V V V

V F F F V V F

F V V F F V V

F V F F F V F

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição(p→ q)→ (q→ p).

Solução

(p → q) → (q → p)

Exemplo

Construa umatabela-verdade para aproposição(p→ q)→ (q→ p).

Solução

(p → q) → (q → p)

V V V V V V V

V F F V F V V

F V V F V F F

F V F V F V F

Exemplo

Faça uma tabela-verdade para [p∨ (¬q)]∧ [¬(q→ r)]∧ (p→ r).

Solução

[p ∨ (¬ q)] ∧ [¬ (q → r)] ∧ (p → r)

Exemplo

Solução

[p ∨ (¬ q)] ∧ [¬ (q → r)] ∧ (p → r)

Exemplo

Solução

[p ∨ (¬ q)] ∧ {[¬ (q → r)] ∧ (p → r)}V V F V F F V V V F V V V

V V F V F V V F F F V F F

V V V F F F F V V F V V V

V V V F F F F V F F V F F

F F F V F F V V V F F V V

F F F V F V V F F V F V F

F V V F F F F V V F F V V

F V V F F F F V F F F V F

Exemplo

Solução

{[p ∨ (¬ q)] ∧ [¬ (q → r)]} ∧ (p → r)

V V F V F F V V V F V V V

V V F V V V V F F F V F F

V V V F F F F V V F V V V

V V V F F F F V F F V F F

F F F V F F V V V F F V V

F F F V F V V F F F F V F

F V V F F F F V V F F V V

F V V F F F F V F F F V F

De�nição

Uma tautologia é uma proposição (composta) cujo valor lógico é sempre averdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simplesque a constituem.

Observação

Uma tautologia também é chamada proposição tautológica ou proposiçãologicamente verdadeira.

Observação

Uma vez que a verdade de uma tautologia é independente dos valores deverdade de seus componentes mais elementares, pode-se dizer que uma talfórmula é verdadeira apenas em função do signi�cado dos operadores(lógicos) que nela ocorrem.

De�nição

Observação

De�nição

Observação

De�nição

Uma contradição é uma proposição (composta) cujo valor lógico é semprea falsidade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simplesque a constituem.

Observação

Uma contradição também é chamada proposição contraválida ouproposição logicamente falsa.

Observação

A negação de uma contradição é uma tautologia e a negação de umatautologia é uma contradição.

De�nição

Observação

De�nição

Observação

De�nição

Uma contigência (ou proposição contingente ou proposição indeterminada)é uma proposição que não é tautologia nem contradição.

Observação

Contingências são proposições cuja verdade ou falsidade não pode serdeterminada apenas por meio de uma análise lógica: é necessário recorrer aobservação para isso. Ou seja, elas fazem uma descrição do mundo. Porisso, costuma-se dizer que o conteúdo informacional de tautologias econtradições é vazio - sendo verdadeiras ou falsas independentemente darealidade, elas não dizem nada sobre o mundo real, ao contrário dascontingências.

De�nição

Uma contigência (ou proposição contingente ou proposição indeterminada)é uma proposição que não é tautologia nem contradição.

Observação

Contingências são proposições cuja verdade ou falsidade não pode serdeterminada apenas por meio de uma análise lógica: é necessário recorrer aobservação para isso. Ou seja, elas fazem uma descrição do mundo. Porisso, costuma-se dizer que o conteúdo informacional de tautologias econtradições é vazio - sendo verdadeiras ou falsas independentemente darealidade, elas não dizem nada sobre o mundo real, ao contrário dascontingências.

Um Sistema Lógico não pode contradizer-se(e esse é um problema que precisa ser investigado)

Exemplo

Mostre que asproposições

¬[p∧ (¬p)]

ep∨ (¬p)

são tautologias.

Solução

Um modelo de tabela-verdade possível é oseguinte:

¬ [p ∧ (¬ p)] p∨ (¬p)

Exemplo

Mostre que asproposições

¬[p∧ (¬p)]

ep∨ (¬p)

são tautologias.

Solução

Um modelo de tabela-verdade possível é oseguinte:

¬ [p ∧ (¬ p)] p∨ (¬p)V V F F V VV F F V F V

Observação

¬ [p ∧ ¬ p)] p∨ (¬p)V V F F V VV F F V F V

Seja p o átomo dado por p : �Uma proposição é verdadeira.�

Princípio da não-contradição

É uma tautologia.

�Não pode ocorrer de que uma proposição seja verdadeira e não sejaverdadeira� (ao mesmo tempo).Admitindo, como é o caso da lógica bivalente, que a falsidade signi�canão ser verdadeiro.�Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa�.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

Princípio do terceiro excluído

É uma tautologia.

�Uma proposição (ou) é verdadeira ou não é verdadeira�.

Admitindo, como é o caso da lógica bivalente, que a falsidade signi�canão ser verdadeiro.

�Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa�.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

Seja p o átomo dado por p : �Σ é um objeto.�

p p→ p p↔ pV V VF V V

Princípio da identidade

É uma tautologia.

�Se Σ é um objeto, então Σ é um objeto.�

�Σ é um objeto se e, somente se, Σé um objeto.�

Noutras palavras, o objeto Σ é idêntico a si próprio.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Observação

É uma tautologia.

Princípio de Substituiçãopara tautologias

Teorema

Se Γ(α,β ,γ, ...) é uma tautologia e P , Q, R , ... são proposições quaisquer,então

Γ(P,Q,R, ...)

também é uma proposição logicamente verdadeira.

V (Γ) = V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que aconstituem.Decorre que substituindo α , β , γ , ... por P , Q, R , ... o valor lógico de Γcontinuará sendo a verdade, independentemente dos valores lógicos de P ,Q, R , ...

Princípio de Substituiçãopara tautologias

Teorema

Se Γ(α,β ,γ, ...) é uma tautologia e P , Q, R , ... são proposições quaisquer,então

Γ(P,Q,R, ...)

também é uma proposição logicamente verdadeira.

V (Γ) = V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que aconstituem.Decorre que substituindo α , β , γ , ... por P , Q, R , ... o valor lógico de Γcontinuará sendo a verdade, independentemente dos valores lógicos de P ,Q, R , ...

Princípio de Substituiçãopara contradições

Teorema

Se Γ(α,β ,γ, ...) é uma contradição e P , Q, R , ... são proposiçõesquaisquer, então

Γ(P,Q,R, ...)

também é uma proposição logicamente falsa.

V (Γ) = F quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que aconstituem.Decorre que substituindo α , β , γ , ... por P , Q, R , ... o valor lógico de Γcontinuará sendo a falsidade, independentemente dos valores lógicos de P ,Q, R , ...

Simpli�cando a notaçãoo uso de parênteses

O uso de parênteses, colchetes, chaves evita ambiguidades, porémtorna a simbologia muito carregada.

Convenção 1

Os conectivos seguem aseguinte ordem deprecedência:

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

em que aparecem.3 →4 ↔

Convenção 2

Faz-se a associação a partir da esquerda,inclusive quando um mesmo conectivoaparece sucessivamente repetido.

Exemplo

A proposição ¬¬(p∧q)∨¬ptem o mesmo signi�cado que{¬[¬(p∧q)]}∨ (¬p)

Convenção 1

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

Convenção 2

Exemplo

Convenção 1

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

Convenção 2

Exemplo

Convenção 1

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

Convenção 2

Exemplo

Convenção 1

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

Convenção 2

Exemplo

Convenção 1

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

Convenção 2

Exemplo

Convenção 1

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

Convenção 2

Exemplo

Convenção 1

1 ¬2 ∧ , ∨, Y na ordem

Convenção 2

Exemplo

Conectivo principal

De�nição

O conectivo principal de uma proposição composta Φ é a última operaçãológica realizada na determinação de seu valor lógico. Um proposiçãocomposta é classi�cada em negação, conjunção, disjunção, disjunçãoexclusiva, condicional ou bicondicional de acordo com seu conectivoprincipal.

Exemplo

Classi�que a proposição composta Φ = p∨q→¬r ∨¬q∧ r ∧q.

Conectivo principal

De�nição

O conectivo principal de uma proposição composta Φ é a última operaçãológica realizada na determinação de seu valor lógico. Um proposiçãocomposta é classi�cada em negação, conjunção, disjunção, disjunçãoexclusiva, condicional ou bicondicional de acordo com seu conectivoprincipal.

Exemplo

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Φ = p∨q→¬r ∨¬q∧ r ∧q

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Φ = p∨q→ (¬r)∨ (¬q)∧ r ∧q

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Φ = (p∨q)→ (¬r)∨ (¬q)∧ r ∧q

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Φ = (p∨q)→ ((¬r)∨ (¬q))∧ r ∧q

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Φ = (p∨q)→ (((¬r)∨ (¬q))∧ r)∧q

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Φ = (p∨q)→ ((((¬r)∨ (¬q))∧ r)∧q)

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Porque Φ = (p∨q)→ ((((¬r)∨ (¬q))∧ r)∧q), tem-se que Φ é umacondicional.

Conectivo principal

Exemplo

Classi�que a proposição compostaΨ = p→ r →¬q∨p∧¬r Yp→ q∧ r Y¬p.

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = p→ r →¬q∨p∧¬r Yp→ q∧ r Y¬p

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = p→ r → (¬q)∨p∧ (¬r)Yp→ q∧ r Y (¬p)

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = p→ r → ((¬q)∨p)∧ (¬r)Yp→ q∧ r Y (¬p)

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = p→ r → (((¬q)∨p)∧ (¬r))Yp→ q∧ r Y (¬p)

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = p→ r → ((((¬q)∨p)∧ (¬r))Yp)→ q∧ r Y (¬p)

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = p→ r → ((((¬q)∨p)∧ (¬r))Yp)→ (q∧ r)Y (¬p)

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = p→ r → ((((¬q)∨p)∧ (¬r))Yp)→ ((q∧ r)Y (¬p))

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = (p→ r)→ ((((¬q)∨p)∧ (¬r))Yp)→ ((q∧ r)Y (¬p))

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Ψ = ((p→ r)→ ((((¬q)∨p)∧ (¬r))Yp))→ ((q∧ r)Y (¬p))

Conectivo principal

Exemplo

Solução

Porque Ψ = ((p→ r)→ ((((¬q)∨p)∧ (¬r))Yp))→ ((q∧ r)Y (¬p)),tem-se que Ψ é uma condicional.

Outras notaçõespara as operações lógicas

Outras simbologias para os conectivos

1 Negação: −2 Conjunção: · , &

3 Disjunção: +

4 Disjunção exclusiva: ≡�, ⊕5 Condicional: ⊃6 Bicondicional: ≡

3 Disjunção: +

Da linguagem usual para a linguagem simbólicanegação, conjunção, disjunção, condicional, bicondicional

Exemplo

�Se a Ciência é a base da evolução humana, embora a humanidade evoluaatravés da Lógica, então a Lógica não determina a Matemática e/ou aMatemática é o ideal da Ciência.�

Exemplo

Solução

Proposições simples

1 p : �A Ciência é a base da evoluçãohumana.�

2 q : �A humanidade evolui através daLógica.�

3 u : �A Lógica determina a Matemática.�

4 v : �A Matemática é o ideal da Ciência.�

Proposição composta

A sentença dada ésimbolicamenterepresentada por

(p∧q)→ ((¬u)∨ v)ou, eliminando osparêntesis,

p∧q→¬u∨ vImplicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 91

Exemplo

Solução

Exemplo

Solução

Exemplo

Solução

Exemplo

Solução

Exemplo

Solução

Exemplo

Solução

Exemplo

Solução

Exemplo

Exercício

Suponha que seja verdade que a Ciência é a base da evolução humana eque seja falso que a humanidade evolua através da Lógica. Nessascondições, a sentença dada acima é logicamente verdadeira?

Exemplo

Exercício

Exemplo

Exercício

Solução

Como V (p) = V e V (q) = F , sendo Γ = p∧q→¬u∨ v , tem-se queV (p∧q) = F e V (Γ) = V .

Exemplo

Exercício

Solução

Como V (p) = V e V (q) = F , sendo Γ = p∧q→¬u∨ v , tem-se queV (p∧q) = F e V (Γ) = V .

Exemplo

�Uma �or não é uma pedra vegetal, sem levar em conta que uma pedra éuma �or mineral; ou não apenas pedras são �ores como também �ores nãosão pedras.�

Exemplo

�Uma �or não é uma pedra vegetal, sem levar em conta que uma pedra éuma �or mineral; ou não apenas pedras são �ores como também flores nãosão pedras.�

Exemplo

�Uma �or não é uma pedra vegetal, sem levar em conta que uma pedra éuma �or mineral; ou não apenas pedras são �ores como também flores nãosão pedras.�

Exemplo

Solução

1 p : �Uma �or é uma pedra vegetal.�

2 q : �Uma pedra é uma �or mineral.�

3 u : �Pedras são �ores.�

4 v : �Flores são pedras.�

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Solução

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Solução

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Solução

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Solução

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Solução

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Solução

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Solução

(¬p∧q)∨ (u∧¬v)

Exemplo

Exercício

Suponha que seja verdade que pedras são �ores e que seja falso que �oressão pedras. Nessas condições, a sentença dada acima é logicamenteverdadeira?

Exemplo

Exercício

Exemplo

Exercício

Solução

Como V (u) = V e V (v) = F , sendo Γ = (¬p∧q)∨ (u∧¬v), tem-se queV (¬v) = V e V (Γ) = V .

Exemplo

Exercício

Solução

Como V (u) = V e V (v) = F , sendo Γ = (¬p∧q)∨ (u∧¬v), tem-se queV (¬v) = V e V (Γ) = V .

Implicação lógica

De�nição

Diz-se que uma proposição P(q, r ,s, ...) implica (logicamente) umaproposição Γ(q, r ,s, ...) se V (Γ) = V sempre que V (P) = V .

Notação

Indica-se que a proposição P(q, r ,s, ...) implica a proposição Γ(q, r ,s, ...),escrevendo-se

P(q, r ,s, ...)⇒ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Qualquer proposição implica (logicamente) uma tautologia.

Corolário 2

Somente uma contradição pode implicar em uma contradição.

De�nição

Notação

P(q, r ,s, ...)⇒ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Corolário 2

De�nição

Notação

P(q, r ,s, ...)⇒ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Corolário 2

De�nição

Notação

P(q, r ,s, ...)⇒ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Corolário 2

Equivalência lógica

De�nição

Diz-se que uma proposição P(q, r ,s, ...) é (logicamente) equivalente a umaproposição Γ(q, r ,s, ...) se V (Γ) = V , quando V (P) = V e V (Γ) = F ,quando V (P) = F

Notação

Indica-se que a proposição P(q, r ,s, ...) equivalente a proposiçãoΓ(q, r ,s, ...), escrevendo-se

P(q, r ,s, ...)⇔ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Duas proposições tautológicas são equivalentes.

Corolário 2

Duas contradições são sempre equivalentes.Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 83 / 91

De�nição

Notação

P(q, r ,s, ...)⇔ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Corolário 2

De�nição

Notação

P(q, r ,s, ...)⇔ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Corolário 2

De�nição

Notação

P(q, r ,s, ...)⇔ Γ(q, r ,s, ...)

Corolário 1

Corolário 2

Exemplos

Tabela-verdade

¬ (P ∧ ¬ Q)

V V F F V

F V V V F

V F F F V

V F F V F

Lema 1

Para quaisquer proposições P eQ, tem-se¬(P ∧¬Q)⇔ P → Q.

A condicional

Compare esse resultado com atabela-verdade da condicionalP → Q.

P Q P → Q

Exemplos

Tabela-verdade

¬ (P ∧ ¬ Q)

V V F F V

F V V V F

V F F F V

V F F V F

Lema 1

A condicional

P Q P → Q

Exemplos

Tabela-verdade

¬ (P ∧ ¬ Q)

V V F F V

F V V V F

V F F F V

V F F V F

Lema 1

A condicional

P Q P → Q

Exemplos

Tabela-verdade

¬ P ∨ Q

F V V V

F V F F

V F V V

V F V F

Lema 2

Para quaisquer proposições P eQ, tem-se ¬P ∨Q⇔ P → Q.

A condicional

P Q P → Q

Exemplos

Tabela-verdade

¬ P ∨ Q

F V V V

F V F F

V F V V

V F V F

Lema 2

A condicional

P Q P → Q

Exemplos

Tabela-verdade

¬ P ∨ Q

F V V V

F V F F

V F V V

V F V F

Lema 2

A condicional

P Q P → Q

Exemplos

Tabela-verdade

(P ∧ Q) ∨ [(¬ P) ∧ (¬ Q)]

V V V V F V F F V

V F F F F V F V F

F F V F V F F F V

F F F V V F V V F

Lema 3

Para quaisquer proposições P e Q, tem-se(P ∧Q)∨ (¬P ∧¬Q)⇔ P ↔ Q.

A bicondicional

Compare esseresultado com atabela-verdade dabicondicional P ↔ Q.

P Q P ↔ Q

Exemplos

Tabela-verdade

(P ∧ Q) ∨ [(¬ P) ∧ (¬ Q)]

V V V V F V F F V

V F F F F V F V F

F F V F V F F F V

F F F V V F V V F

Lema 3

A bicondicional

P Q P ↔ Q

Exemplos

Tabela-verdade

(P ∧ Q) ∨ [(¬ P) ∧ (¬ Q)]

V V V V F V F F V

V F F F F V F V F

F F V F V F F F V

F F F V V F V V F

Lema 3

A bicondicional

P Q P ↔ Q

Exemplos

Tabela-verdade

(P ∨ Q) ∧ ¬ (P ∧ Q)

V V V F F V V V

V V F V V V F F

F V V V V F F V

F F F F V F F F

Lema 4

Para quaisquer proposições P e Q, tem-se(P ∨Q)∧¬(P ∧Q)⇔ P YQ .

A disjunçãoexclusiva

Compare esseresultado com atabela-verdade dadisjunção exclusivaP YQ.

P Q P YQ

Exemplos

Tabela-verdade

(P ∨ Q) ∧ ¬ (P ∧ Q)

V V V F F V V V

V V F V V V F F

F V V V V F F V

F F F F V F F F

Lema 4

P Q P YQ

Exemplos

Tabela-verdade

(P ∨ Q) ∧ ¬ (P ∧ Q)

V V V F F V V V

V V F V V V F F

F V V V V F F V

F F F F V F F F

Lema 4

P Q P YQ

Indução e Deduçãoresposta de uma pergunta feita

Exemplos

Não é verdade que

se n é natural, então 991n2 +1 não é um quadrado perfeito.

O menor número natural n para o qual 991n2 +1 é um quadrado perfeito é

12055735790331359447442538767.

Indução e Deduçãoresposta de outra pergunta feita

Conjectura de Goldbach (1742)

Sobre a a�rmação de que

se n é natural, então 2n+2 é a soma de dois números primos,

ninguém, até o momento, encontrou um número que tornasse a sentençafalsa e ninguém, até hoje, sabe demonstrar que a sentença é verdadeira.

Resolva os exercícios Idos capítulos de 1 até 7 do livro de Edgard de Alencar Filho

Dewey, John.Logic The Theory of Inquiry.New York: Henry Holt and Company, 1939.

Filho, Edgard de Alencar.Iniciação à Lógica Matemática.São Paulo: Nobel, 2002.

Halmos, Paul R.Naive Set Theory.New York: Van Nostrand Reinhold Company, 1960.

Hefez, Abramo.Indução Matemática.Rio de Janeiro: [s. n.], 2009.

Resolva os exercícios IIdos capítulos de 1 até 7 do livro de Edgard de Alencar Filho

Lima, Elon L. et al.A Matemática do Ensino Médio. v. 1.Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

Mortari, Cezar A.Introdução à Lógica.São Paulo: editora UNESP, 2001.

Pinho, Antonio A.Introdução à Lógica Matemática .Rio de Janeiro: [s. n.], 1999.

lógica matemática 1 - páginas...

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