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Cálculo Diferencial e Integral 2Semana 14

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadêmico de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Material Previsto para uma aula

CDI 2 (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 33

Integração Múltipla

1 Integração múltipla em Rn

Mudança de variáveis em integral dupla

Mudança de variáveis em integral tripla

2 Aplicações

Momento de inércia

Centro de massa


Cálculo de integral (dupla e tripla)fórmula de mudança de variável

Uma aplicação T : U → D é uma transformação de U ⊂ Rn em D ⊂ Rn.

Se T é bijetiva, então T−1 é a transformação inversa de T , que associa

cada(x1,x2, . . . ,xn

)∈ D ao ponto

(u1,u2, . . . ,un

)∈ U. Sendo T

diferenciável, ca bem denido o jacobiano∂(x1,x2, . . . ,xn

)∂ (u1,u2, . . . ,un)

.

Se as derivadas direcionais de x i(u1,u2, . . . ,un

)são funções contínuas,

então, para toda função contínua f : D→ R vale a

Fórmula de mudança de variáveis∫∫. . .∫

U

f(x1,x2, . . . ,xn

)dx1 dx2 . . .dxn =

∫∫. . .∫

D

f(x1(u1, . . . ,un

), . . . ,xn

(u1, . . . ,un

))∣∣∣∣∣∂(x1, . . . ,xn

)∂ (u1, . . . ,un)

∣∣∣∣∣du1 du2 . . .dunCDI 2 (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 33



U

f(x1,x2, . . . ,xn

)dx1 dx2 . . .dxn =

∫∫. . .∫

D

f(x1(u1, . . . ,un

), . . . ,xn

(u1, . . . ,un

))∣∣∣∣∣∂(x1, . . . ,xn

)∂ (u1, . . . ,un)

∣∣∣∣∣du1 du2 . . .dunObservação

(i) Para n = 2, usando x1 = x , x2 = y , u1 = u , u2 = v , obtém-se∫∫U

f (x ,y)dx dy =∫∫D

f (x (u,v) ,y (u,v))

∣∣∣∣∂ (x ,y)

∂ (u,v)

∣∣∣∣du dv




U

f(x1,x2, . . . ,xn

)dx1 dx2 . . .dxn =

∫∫. . .∫

D

f(x1(u1, . . . ,un

), . . . ,xn

(u1, . . . ,un

))∣∣∣∣∣∂(x1, . . . ,xn

)∂ (u1, . . . ,un)

∣∣∣∣∣du1 du2 . . .dun(ii) Para n = 3, sendo x1 = x , x2 = y , x3 = z , u1 = u , u2 = v , u3 = w ,

tem-se ∫∫∫U

f (x ,y ,z)dx dy dz =

∫∫∫D

f (x (u,v ,w) ,y (u,v ,w) ,z (u,v ,w))

∣∣∣∣ ∂ (x ,y ,z)

∂ (u,v ,w)

∣∣∣∣du dv dw .



Exemplo

Ache∫∫

D

(x2− y2

)dA, onde D é região cuja fronteira é formada pelas

retas y =−x , y = 1− x , y = x e y = x +2.



Exemplo

Ache∫∫

D

(x2− y2

)dA, onde D é região cuja fronteira é formada pelas

retas y =−x , y = 1− x , y = x e y = x +2.

Sejam u = x + y , v = y − x e T (x ,y) = (u,v).

Segue que T é bijetiva, x =u− v

2, y =

u + v

2,

∂ (x ,y)

∂ (u,v)=

∣∣∣∣ xu xvyu yv

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 1/2 −1/21/2 1/2

∣∣∣∣= 1/2 e∫∫D

(x2− y2

)dA =

∫∫U

(−uv) · 12du dv

=−1

2

∫ 1

0

∫ 2

0uv dv du =−1

2

∫ 1

0u du ·

∫ 2

0v dv =−1

2

x

y

y + x = 1

y+x=0

y - x = 0

y - x = 2

u

v

1

2

U

D

T x,y = u,v( ) ( )



Um resultado importante

Em coordenadas polares, tem-se x = r cosθ , y = r senθ . Daí,

∂ (x ,y)

∂ (r ,θ)=

∣∣∣∣ xr xθ

yr yθ

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ cosθ −r senθ

senθ r cosθ

∣∣∣∣= r

e, por conseguinte,∫∫U

f (x ,y)dx dy =∫∫D

f (r cosθ , r senθ) · r ·dr dθ

Exemplo

Seja U a região anular localizada entre os dois circulos x2 + y2 = 1 e

x2 + y2 = 5. Calcule

∫∫U

(x2 + y

)dx dy .



Exemplo

Seja U a região anular localizada entre os dois circulos x2 + y2 = 1 e

x2 + y2 = 5. Calcule

∫∫U

(x2 + y

)dx dy .

Para x = r cosθ , y = r senθ , θ ∈ [0,2π] e 1≤ r ≤√5,

T (x ,y) = (θ , r) é bijetiva. Como∂ (x ,y)

∂ (r ,θ)= r , segue que∫∫

U

(x2 + y

)dA =

∫∫D

(r2 cos2 θ + r senθ

)· r ·dr dθ

=∫ 2π

0

∫ √51

(r3 cos2 θ + r2 senθ

)dr dθ

=∫ 2π

0

(6cos2 θ +

5√5−1

3senθ

)dθ = . . . = 6π

x

y

eixo polar

r = 1

q

U

D

T x,y = ,r( ) ( )q

polo

x + y2 2

=1

x + y2 2

=5

r = 5½



Exercício 1

Considere U ⊂ R2 a região cuja fronteira é formada por xy = π, xy = 2π,

xy4 = 1 e xy4 = 2. Ache

∫∫U

sen(xy)dA.

Exercício 2

Use coordenadas polares para calcular o volume da região sólida, Ω,

limitada acima pelo hemisfério z =√16− x2− y2 e abaixo pela região

circular R dada por x2 + y2 ≤ 4.



Outro resultado importante

Em coordenadas cilíndricas, tem-se x = r cosθ , y = r senθ , z = z

Daí,

∂ (x ,y ,z)

∂ (r ,θ ,z)=

∣∣∣∣∣∣xr xθ xzyr yθ yzzr zθ zz

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣cosθ −r senθ 0

senθ r cosθ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣= r

e, por conseguinte,∫∫∫U

f (x ,y ,z)dx dy dz =∫∫∫D

f (r cosθ , r senθ ,z) · r ·dz dr dθ

Exemplo

Ache o volume do sólido, Ω, cortado da esfera x2 + y2 + z2 = 4 pelo

cilindro r = 2senθ .CDI 2 (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 33


Exemplo


cilindro r = 2senθ .

Note que (x ,y ,z) ∈ Ω se, e só se,

−(4− x2− y2

)1/2 ≤ z ≤(4− x2− y2

)1/2,

(x ,y) ∈ U ⊂ R2.



Exemplo




−(4− x2− y2

)1/2 ≤ z ≤(4− x2− y2

)1/2,

(x ,y) ∈ U ⊂ R2. Em coordenadas cilíndricas,

T (x ,y ,z) = (θ , r ,z), com x = r cosθ , y = r senθ .



Exemplo




−(4− x2− y2

)1/2 ≤ z ≤(4− x2− y2

)1/2,



T é bijetiva quando θ ∈ [0,π] e 1≤ r ≤ 2senθ .



Exemplo




−(4− x2− y2

)1/2 ≤ z ≤(4− x2− y2

)1/2,



T é bijetiva quando θ ∈ [0,π] e 1≤ r ≤ 2senθ . Como∂ (x ,y ,z)

∂ (r ,θ ,z)= r , segue que V =

∫∫∫Ω

dV

=∫∫U

∫ √4−r2−√4−r2

r ·dz dθ dr



Exemplo




−(4− x2− y2

)1/2 ≤ z ≤(4− x2− y2

)1/2,





∫∫∫Ω

dV

=∫∫U

∫ √4−r2−√4−r2

r ·dz dθ dr=∫

π

0

∫ 2senθ

0

∫ √4−r2−√4−r2

r ·dz dr dθ



Exemplo




−(4− x2− y2

)1/2 ≤ z ≤(4− x2− y2

)1/2,





∫∫∫Ω

dV

=∫∫U

∫ √4−r2−√4−r2

r ·dz dθ dr =∫

π

0

∫ 2senθ

0

∫ √4−r2−√4−r2

r ·dz dr dθ .

Assim,CDI 2 (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 33


Exemplo



o volume de Ω é

V =∫∫∫Ω

dV=∫∫U

∫ √4−r2−√4−r2

r ·dz dθ dr=∫

π

0

∫ 2senθ

0

∫ √4−r2−√4−r2

r ·dz dr dθ

=∫

π

0

∫ 2senθ

02r√4− r2 dr dθ=

4

3

∫π

0

(4− r2

)3/2∣∣∣02senθ

dθ

=32

3

∫π

0

[1− cosθ

(1− sen2 θ

)]dθ

=32

3

(θ − senθ +

sen3 θ

3

)∣∣∣∣π0

= ... =16

9(3π−4).



Mais um resultado importante

Em coordenadas esféricas, tem-se x = ρ senφ cosθ , y = ρ senφ senθ ,

z = ρ cosφ . Daí,∂ (x ,y ,z)

∂ (ρ,θ ,φ)=

∣∣∣∣∣∣xρ xθ xφ

yρ yθ yφ

zρ zθ zφ

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣senφ cosθ −ρ senφ senθ ρ cosφ cosθ

senφ senθ ρ senφ cosθ ρ cosφ senθ

cosφ 0 −ρ senφ

∣∣∣∣∣∣= cosφ ·

(−ρ2 senφ cosφ

)−ρ senφ · (ρ senφ senφ) =−ρ2 senφ

e, por conseguinte, ∫∫∫U

f (x ,y ,z)dx dy dz =∫∫∫D

f (ρ senφ cosθ ,ρ senφ senθ ,ρ cosφ) ·ρ2 senφ ·dρ dφ dθ



Exemplo

Considere Ω⊂ R3 o sólido limitado pela folha superior do cone

z2 = x2 + y2 e acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 9. Use coordenadas

esféricas para calcular

∫∫∫Ω

z dV .

(x ,y ,z) ∈ Ω⇔(x2 + y2

)1/2 ≤ z ≤(9− x2− y2

)1/2,

(x ,y) ∈ U ⊂ R2.



Exemplo




∫∫∫Ω

z dV .

(x ,y ,z) ∈ Ω⇔(x2 + y2

)1/2 ≤ z ≤(9− x2− y2

)1/2,

(x ,y) ∈ U ⊂ R2. Em coordenadas esféricas,

T (x ,y ,z) = (ρ,θ ,φ), com x = ρ cosθ senφ ,

y = ρ senθ senφ , z = ρ cosφ .



Exemplo




∫∫∫Ω

z dV .

(x ,y ,z) ∈ Ω⇔(x2 + y2

)1/2 ≤ z ≤(9− x2− y2

)1/2,



y = ρ senθ senφ , z = ρ cosφ . T é bijetiva quando

θ ∈ [0,2π], φ ∈[0,

π

4

]e 0≤ ρ ≤ 3.



Exemplo




∫∫∫Ω

z dV .

(x ,y ,z) ∈ Ω⇔(x2 + y2

)1/2 ≤ z ≤(9− x2− y2

)1/2,



y = ρ senθ senφ , z = ρ cosφ . T é bijetiva quando

θ ∈ [0,2π], φ ∈[0,

π

4

]e 0≤ ρ ≤ 3. Como

∂ (x ,y ,z)

∂ (r ,θ ,z)=−ρ2 senφ ,

∫∫∫Ω

z dV =∫∫∫D

ρ cosφ dφ dθ dρ



Exemplo




∫∫∫Ω

z dV .

(x ,y ,z) ∈ Ω⇔(x2 + y2

)1/2 ≤ z ≤(9− x2− y2

)1/2, (x ,y) ∈ U ⊂ R2. Em

coordenadas esféricas, T (x ,y ,z) = (ρ,θ ,φ), com x = ρ cosθ senφ ,

y = ρ senθ senφ , z = ρ cosφ . T é bijetiva quando θ ∈ [0,2π], φ ∈[0,

π

4

]e

0≤ ρ ≤ 3. Como∂ (x ,y ,z)

∂ (r ,θ ,z)=−ρ2 senφ ,

∫∫∫Ω

z dV =∫∫∫D


=∫ 3

0

∫ 2π

0

∫π/4

0ρ cosφ ·ρ2 senφ dφ dθ dρ . Assim,



Exemplo




∫∫∫Ω

z dV .

∫∫∫Ω

z dV =∫∫∫D


=∫ 3

0

∫ 2π

0

∫π/4

0ρ cosφ ·ρ2 senφ dφ dθ dρ

=∫ 3

0

∫ 2π

0ρ3 sen

2 φ

2

∣∣∣∣π/40

dθ dρ=1

4

∫ 3

0

∫ 2π

0ρ3 dθ dρ

=π

2

∫ 3

0ρ3 dρ=

81π

8CDI 2 (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 33


Exercício 3

Considere Ω⊂ R3 o sólido limitado pelo parabolóide z = x2 + y2 e pelo

plano z = 4. Use coordenadas cilíndricas para calcular∫∫∫Ω

(x2 + y2

)√x2 + y2 dV

Exercício 4



esféricas para calcular o volume de Ω.


Momento de inércia e centro de massapara integral tripla

Considere dm o elemento de massa de um sólido Ω⊂ R3, dV o elemento

de volume do elemento de massa, ρ (x ,y ,z) a densidade (volumétrica) de

Ω no ponto (x ,y ,z). A massa total, m, do sólido Ω é dada por

m =∫∫∫Ω

dm =∫∫∫Ω

ρ (x ,y ,z)dV . Nestas condições, dene-se:

(i) o momento de inércia de um sólido (determinado por

uma região Ω) em relação a reta s por Is =∫∫∫Ω

r2 dm,

onde r é a distância do elemento de massa à reta s.

U

( , , )x y z

(0, ,0)y

( ,0,0)x

(0,0, )z

Em particular, Ix =∫∫∫Ω

(y2 + z2

)dm =

∫∫∫Ω

(y2 + z2

)ρ (x ,y ,z)dV






m =∫∫∫Ω

dm =∫∫∫Ω




r2 dm,


U

( , , )x y z

(0, ,0)y

( ,0,0)x

(0,0, )z

Em particular, Iy =∫∫∫Ω

(x2 + z2

)dm =

∫∫∫Ω

(x2 + z2

)ρ (x ,y ,z)dV






m =∫∫∫Ω

dm =∫∫∫Ω




r2 dm,


U

( , , )x y z

(0, ,0)y

( ,0,0)x

(0,0, )z

Em particular, Iz =∫∫∫Ω

(x2 + y2

)dm =

∫∫∫Ω

(x2 + y2

)ρ (x ,y ,z)dV






m =∫∫∫Ω

dm =∫∫∫Ω


(ii) o centro de massa de Ω como o ponto (x ,y ,z) dado por

x =

∫∫∫Ω

xρ (x ,y ,z)dV

∫∫∫Ω

ρ (x ,y ,z)dV, y =

∫∫∫Ω

yρ (x ,y ,z)dV

m, z =

1

m

∫∫∫Ω

zρ (x ,y ,z)dV


Momento de inércia e centro de massapara integral dupla

Observação

Se a densidade é constante , o centro de massa de Ω⊂ R3 é chamado

centróide.

Exercício 5

Considere U ⊂ R2 um objeto plano de densidade (supercial) ρ (x ,y),(x ,y) ∈ U. Dena:

(a) Is , o momento de inércia de U em relação a uma reta s do plano. Em

particular, escreva expressões para Ix e Iy , os momentos de inércia de U em

relação aos eixos x e y , respectivamente.

(b) (x ,y), o centro de massa de U.

Exercício 6

Seja U ⊂ R2 a lâmina de densidade ρ (x ,y) = y , limitada pela parábola

x = 1− y2 e os eixos coordenados. Determine (x ,y ,), Ix e Iy .CDI 2 (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 33

Momento de inércia e centro de massapara integral dupla

Denição

O raio de rotação de uma lâmina em torno de um eixo é um número R tal

que mR2 = I , onde m é massa (total) da lâmina e I é o momento de

inércia em torno do eixo dado.

Exercício 7

Determine o raio de rotação da lâmina do exercício 6 em relação aos eixos

x e y .

Exercício 8

Seja Ω⊂ R3 o cone circular reto de altura h e raio de base a. Determine o

centróide e o momento de inércia de Ω em relação ao seu eixo de simetria.


Leitura Recomendada I

GUIDORIZZI, H. L.

Um curso de cálculo. v. 1 e 2.

Rio de Janeiro: LTC, 2002.

STEWART, J.

Cálculo. v. 1 e 2. 6. ed.

São Paulo: Thomson Learning, 2006.

LEITHOLD, L.

O cálculo com geometria analítica. v. 1 e 2.

São Paulo: Harbra, 1994.

ANTON, H.

Cálculo: um novo horizonte. v. 2.

Porto Alegra: Bookman, 2006.


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