cálculo diferencial e integral - dma.ufv.br · cálculo diferencial e integral ii histÓrico de...

Kely Diana Villacorta VillacortaFelipe Antonio Garcia Moreno

Cálculo Diferencial e Integral

Editora da UFPBJoão Pessoa

2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

Reitora Vice-Reitor

Pró-reitora de graduação

MARGARETH DE FÁTIMA FORMIGA MELO DINIZEDUARDO RAMALHO RABENHORSTARIANE NORMA DE MENESES SÁ

Diretor da UFPB Virtual Diretor do CI

JAN EDSON RODRIGUES LEITEGUIDO LEMOS DE SOUZA FILHO

EDITORA DA UFPB

Diretora Supervisão de Editoração

Supervisão de Produção

IZABEL FRANÇA DE LIMAALMIR CORREIA DE VASCONCELLOS JÚNIORJOSÉ AUGUSTO DOS SANTOS FILHO

CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO A DISTÂNCIA

CoordenadorVice-coordenadora

LUCIDIO DOS ANJOS FORMIGA CABRALDANIELLE ROUSY DIAS DA SILVA

Conselho EditorialProf Dr. Lucídio Cabral (UFPB)Prof Dr. Danielle Rousy (UFPB)Prof. Ms. Eduardo de Santana Medeiros Alexandre (UFPB)

V712c VILLACORTA, Kely Diana Villacorta.

Cálculo diferencial e integral / Kely Diana Villacorta Villacorta, Felipe Antonio Garcia Moreno; editor: Eduardo de Santana Medeiros Alexandre. – 1ª Edição Revisada. João Pessoa: Editora da UFPB, 2014.

283. : il. – ISBN: 978-85-237-0908-2

Curso de Licenciatura em Computação na Modalidade à Distância. Universidade Federal da Paraíba.

1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. 3. Cálculo. 4. Análise matemática. I. Título.

CDU: 517.2/.3Todos os direitos e responsabilidades dos autores.

EDITORA DA UFPBCaixa Postal 5081 – Cidade Universitária João Pessoa – Paraíba – BrasilCEP: 58.051 – 970 http://www.editora.ufpb.br

Impresso no BrasilPrinted in Brazil

Cálculo Diferencial e Integral i

Cálculo Diferencial e Integral

Ed. v1.2.2

Cálculo Diferencial e Integral ii

HISTÓRICO DE REVISÕES

VERSÃO DATA MODIFICAÇÕES NOME

v1.2.1 3/10/2014 cap1 Atualização das Atividades 1.8;cap1 Revisão; cap2 Revisão;

Kely

v1.2.0 24/10/2014 Atualização da Ficha Técnica; Eduardo

v1.1.3 23/09/2014 Solicitando feedback ao final de cadacapítulo;

Eduardo

v1.1.2 22/09/2014 Adição de links no histórico de revisão;Correção de referência ao gráfico noExemplo 2.4;

Kely, Eduardo

v1.1.1 20/8/2014 Atualização do Exemplo 1.15; Kely

v1.1.0 12/8/2014 Atualização de exercícios no capítulo 7;Atualização de exercícios no capítulo 8;Atualização da seção 1.1 Sistema dosNúmeros Reais Inclusão de nota sobreElementos Neutros da adição emultiplicação; Atualização do Teorema1.3; Inclusão de nota sobre resolução deequação; Atualização de Método 3(Usando o Discriminante); Atualizaçãode Exemplo 1.16; Atualização deFórmulas elementares de integração;

Kely

v1.0.0 19/11/2013 Livro revisado por completo. Kely, Camyle,Eduardo

https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/48



























Cálculo Diferencial e Integral iii

Sumário

1 Números Reais 1

1.1 Sistema dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Resolvendo Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1.1 Inequações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1.2 Inequações de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1.3 Inequações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1.4 Inequações Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1.5 Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios . . . . . . . . . 18

1.4.1.6 Inequações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Funções 37

2.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Translações e reflexões de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2 Funções comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.3 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.4 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.5 Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.6 Função definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Cálculo Diferencial e Integral iv

2.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.1 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Limites 63

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Limites de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Leis do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.9 Limites infinitos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.10 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.11 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.12 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Continuidade 95

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Noção intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5 Propriedades de funções continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6 Continuidade de funções em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7 Teorema de valor intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.8 Funções inversas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.9 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Cálculo Diferencial e Integral v

5 A Derivada 115

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 A Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 A derivada como função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.5 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.7 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.8 A derivada da composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.9 Teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.10 Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.11 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.12 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6 Aplicações da Derivada 145

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2 Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3 Determinando Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.4 Determinando os Pontos de Inflexão e Concavidade da Curva y=f (x) . . . . . . . . . 153

6.5 Esboçando o gráfico de y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.6 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.7 Formas indeterminadas e a regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7 A Integral Indefinida 172

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.2 A Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.4 Integrais Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.6 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.6.1 Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado . . . . . . . . . . 189

7.6.2 Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . 192

Cálculo Diferencial e Integral vi

7.6.3 Integração por Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.6.4 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.6.6 Integrais de Funções Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8 A Integral Definida 226

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2.1 Propriedades do Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.3.1 Partição de um Intervalo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.3.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos . . . . . . . . 230

8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3.4 Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores . . . . . . . . . . . . . 235

8.4 Integrais Inferiores e Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.6 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.9 Mudança de Variável numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

8.10 Integração por Partes numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.11 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.11.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.11.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.12 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

8.12.1 Áreas de Regiões Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.12.2 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.12.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.12.4 Área de uma Superfície de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

9 Referências 268

9.1 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

10 Índice Remissivo 269

Cálculo Diferencial e Integral vii

Prefácio

SumárioPúblico alvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Como você deve estudar cada capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Caixas de diálogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Vídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Compreendendo as referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

BAIXANDO A VERSÃO MAIS NOVA DESTE LIVRO

Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases para ve-rificar se há uma versão mais nova deste livro (versão atual: v1.2.2). Você pode consultaro Histórico de revisões, na início do livro, para verificar o que mudou entre uma versão eoutra.

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciaturaem Computação a Distância um material didático de fácil entendimento dos fundamentos de umcurso de Cálculo Diferencial e Integral. Temos nos esforçado em apresentar o cálculo de forma nãotão rigorosa, isto é, neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e não nos aprofundamosnas demonstrações destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento teórico com exemplos e com umaquantidade razoável de atividades para uma fixação do conteúdo, de tal forma que resulte de máximoproveito aos estudantes.

A obra é composta por 8 capítulos contendo os principais tópicos abordados em uma disciplina básicade Cálculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de conteúdo, por isto reco-mendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada capítulo e resolva a máxima quantidadede atividades.

No primeiro capítulo se faz uma apresentação axiomática dos números reais e suas principais propri-edades; no segundo capítulo tratamos das relações e das funções que serão o principal objeto mate-mático tratado neste livro; no terceiro capítulo estudamos os conceito de limite, fundamental para ateoria subsequente; no quarto capítulo estudamos a continuidade de uma função; no quinto capítulointroduzimos a derivada de uma função e suas principais propriedades; no sexto capítulo apresenta-mos algumas aplicações da derivada; no sétimo capítulo tratamos da integral indefinida e os métodosde integração; e no oitavo e último capítulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamosde algumas das aplicações desta.

Sabemos que existem vários outros materiais e livros que abordam o mesmo conteúdo apresentadoaqui, alguns até mais abrangentes. Somos porém, realistas que em uma primeira abordagem demos

https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases

Cálculo Diferencial e Integral viii

prioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos básicos e interpretações, deixando aprova de todos esses resultados a posteriori.

Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes con-ceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicações práticas no mundo real.

João Pessoa, agosto de 2013.Kely D. V. VillacortaFelipe A. G. Moreno

Público alvo

O público alvo desse livro são os alunos de Licenciatura em Computação, na modalidade à distância.1

Como você deve estudar cada capítulo

• Leia a visão geral do capítulo

• Estude os conteúdos das seções

• Realize as atividades no final do capítulo

• Verifique se você atingiu os objetivos do capítulo

NA SALA DE AULA DO CURSO

• Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso

• Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados

• Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina

Caixas de diálogo

Nesta seção apresentamos as caixas de diálogo que poderão ser utilizadas durante o texto. Confira ossignificados delas.

NotaEsta caixa é utilizada para realizar alguma reflexão.

DicaEsta caixa é utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares.

1 Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraíba, o seu uso não se restringea esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB.

Cálculo Diferencial e Integral ix

ImportanteEsta caixa é utilizada para chamar atenção sobre algo importante.

CuidadoEsta caixa é utilizada para alertar sobre algo que exige cautela.

AtençãoEsta caixa é utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso.

Os significados das caixas são apenas uma referência, podendo ser adaptados conforme as intençõesdos autores.

Vídeos

Os vídeos são apresentados da seguinte forma:

Figura 1: Como baixar os códigos fontes: http://youtu.be/Od90rVXJV78

NotaNa versão impressa irá aparecer uma imagem quadriculada. Isto é o qrcode(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR) contendo o link do vídeo. Caso você tenhaum celular com acesso a internet poderá acionar um programa de leitura de qrcode paraacessar o vídeo.Na versão digital você poderá assistir o vídeo clicando diretamente sobre o link.

http://youtu.be/Od90rVXJV78

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR

Cálculo Diferencial e Integral x

Compreendendo as referências

As referências são apresentadas conforme o elemento que está sendo referenciado:

Referências a capítulosPrefácio [vii]

Referências a seções“Como você deve estudar cada capítulo” [viii], “Caixas de diálogo” [viii].

Referências a imagensFigura 2 [xi]

NotaNa versão impressa, o número que aparece entre chaves “[ ]” corresponde ao número dapágina onde está o conteúdo referenciado. Na versão digital do livro você poderá clicar nolink da referência.

Feedback

Você pode contribuir com a atualização e correção deste livro. Ao final de cada capítulo você seráconvidado a fazê-lo, enviando um feedback como a seguir:

Feedback sobre o capítuloVocê pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria desubmeter uma sugestão ou crítica?Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/new para re-alizar seu feedback. Lembre-se de incluir na mensagem a seção, capítulo (prefacio) e aversão do livro (v1.2.2) alvo de sua contribuição. Você receberá notificações sobre os en-caminhamentos que serão dados a partir do seu feedback. Para compreender melhor comofeedbacks funcionam consulte o guia do curso.

NotaA seção sobre o feedback, no guia do curso, pode ser acessado em: https://github.com/-edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-contribuicao.adoc.

https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/new?title=prefacio+%5BDigite+aqui+o+t%C3%ADtulo+da+sua+corre%C3%A7%C3%A3o%2C+sugest%C3%A3o+ou+cr%C3%ADtica%5D&body=Vers%C3%A3o+do+livro%3A+%60v1.2.2%60%0AP%C3%A1gina%3A+%60%3F%60%0ADescreva+sua+contribui%C3%A7%C3%A3o+abaixo%3A

https://github.com/edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-contribuicao.adoc




Cálculo Diferencial e Integral xi

Figura 2: Exemplo de contribuição

Cálculo Diferencial e Integral 1 / 269

Capítulo 1

Números Reais

Sumário1.1 Sistema dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Resolvendo Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

OBJETIVOS DO CAPÍTULO

Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:

• Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles e suasprincipais propriedades;

• Determinar as raízes de uma equação dada;

• Determinar o conjunto solução de uma inequação dada;

• Dominar o conceito de valor absoluto;

• Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntosque o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;

• Familiarizar-se com o Axioma do Supremo.

O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexões porparte do homem. Desde o início de nossa civilização já se conheciam os números inteiros positivos,

ou seja, 1,2,3, . . . Os números inteiros, tão grandes quanto 100000, já eram utilizados no Egito emépocas como 300 a. C.

Na aritmética de números inteiros positivos, que desenvolveram os antigos egípcios e babilônios,podiam efetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora essa última não tenha sido desen-volvida por completo. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os númerosracionais. Por outro lado, os Babilônios tiveram maior êxito no desenvolvimento da aritmética e daálgebra, e a notação que eles usavam também era superior a dos egípcios, com a diferença que elestrabalhavam na base 60 e não na base 10.

Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XII,mediante a tradução de textos árabes, porém, essa notação demorou para ter uma aceitação geral, emuito depois disso veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do séculoXVI, época em que eram descartadas as raízes negativas das equações.

Ainda que a necessidade dos números irracionais, tais como√

2 e π , já tinha se apresentado aos mate-máticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatóriosde construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemá-ticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagematualmente utilizada.

Embora seja muito interessante apresentar o construção do conjunto dos números reais passo a passo,o foco deste livro não é o construtivo, pois assumiremos que existam certos objetos, chamados denúmeros reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as propriedadesdos números reais que serão apresentadas aqui, ou estão entre estes axiomas, ou podem ser deduzidasa partir deles.

Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, equa-ções, inequações, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando ateoria apresentada.

1.1 Sistema dos Números Reais

Um conjunto não vazio de suma importância, para o bom entendimento de toda a teoria apresentadaneste livro, é o conjunto dos números reais, denotado por R. Cada elemento de R é chamado denúmero real.Os números reais são identificados por pontos numa reta. E essa identificação dá-se da seguintemaneira:

10 π-1 -2

5

-2 5

Dada uma reta (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fixamos o ponto 0da reta, logo, a cada número real x se identifica com o ponto que está situado a x unidades à direita do0, se x > 0, e com o ponto situado a −x unidades à esquerda do 0, se x < 0.

Essa correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, para cada númeroreal há um único ponto correspondente na reta, e para cada ponto na reta há um único número realcorrespondente. No decorrer deste livro, não faremos nenhuma diferenciação entre ambos elementos.

Logo, o sistema dos números reais, denotado por (R;+; ·;<), é o conjunto R fornecido de duasoperações, adição (+) e multiplicação (·), de uma relação de ordem (<) (lê-se menor que) e deum axioma chamado Axioma do Supremo. Para simplificar a notação usaremos somente R.


1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais

Embora as operações de adição e multiplicação sejam duas operações aritméticas com as quais esta-mos muito acostumados desde o início dos nossos estudos na escola, a adição e a multiplicação denúmeros reais são duas operações internas em R e são definidas, formalmente, como segue:

AdiçãoDados a e b ∈ R existe um único w ∈ R, chamado de soma de a e b, tal que w = a+b.

MultiplicaçãoDados a e b ∈ R existe um único z ∈ R, chamado de produto de a e b, tal que z = a ·b.

A adição e multiplicação de números reais são regidos pelos seguintes axiomas:

Axioma 1a+b = b+a, ∀a,b ∈ R.

Axioma 2(a+b)+ c = a+(b+ c), ∀a,b,c ∈ R.

Axioma 3Existe o número real zero, denotado por 0, tal que a+0 = 0+a = a, ∀a ∈ R.

Axioma 4Para cada número real a existe um real chamado de oposto de a, denotado por −a, tal quea+(−a) = 0.

Axioma 5a ·b = b ·a, ∀a,b ∈ R.

Axioma 6(a ·b) · c = a · (b · c), ∀a,b,c ∈ R.

Axioma 7Existe o número real um, denotado por 1, tal que a ·1 = 1 ·a = a, ∀a ∈ R.

Axioma 8Para cada número real a, diferente de zero, existe um número real chamado de inverso de a,

denotado por a−1 ou1a

, tal que a ·a−1 = a−1 ·a = 1.

Axioma 9a(b+ c) = a ·b+a · c, ∀a,b,c ∈ R

Nota

a. Os Axiomas 1 e 5 são conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multi-plicação, respectivamente;

b. Os Axiomas 2 e 6 são conhecidos como axiomas associativos para a soma e multi-plicação, respectivamente;

c. O Axioma 9 é conhecido como axioma distributivo e relaciona a adição e multiplica-ção de números reais.


O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operações.

Teorema 1.1Sejam a, b e c ∈ R. Então:

i. Os números 0, 1, −a e a−1 são únicos;

ii. a =−(−a);

iii. Se a 6= 0, então a = (a−1)−1;

iv. a ·0 = 0 ·a = 0;

v. −a = (−1) ·a;

vi. a · (−b) = (−a) ·b;

vii. (−a) · (−b) = a ·b;

viii. Se a+ c = b+ c, então a = b;

ix. Se a · c = b · c e c 6= 0, então a = b;

x. a ·b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0;

xi. a ·b 6= 0 se, e somente se, a 6= 0 e b 6= 0;

xii. a2 = b2 se, e somente se, a = b ou a =−b.

Nota0 e 1 também são conhecidos como elementos neutros para a adição e para a multiplica-ção, respectivamente;

1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais

SubtraçãoDados a e b ∈ R, a diferença de a e b é definida como a−b = a+(−b).

Divisão ou quocienteDados a e b ∈ R, com b 6= 0, a divisão ou quociente de a e b é definida como

ab= a · (b−1).

Teorema 1.2Sejam a, b, c e d ∈ R. Então:

i. a−b =−(b−a);

ii. a−b = c se, e somente se, a = b+ c;

iii. Se b 6= 0, então c =ab

se, e somente se, b · c = a;

iv. a · (b− c) = a ·b−a · c;

v. Se b 6= 0 e d 6= 0, entãoab± c

d=

a ·d±b · cb ·d

.

1.1.3 Relação de Ordem

Axioma 10Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R++, que satisfaz asseguintes propriedades:

i. Se a ∈ R, então a ∈ R++ ou −a ∈ R++ ou a = 0;

ii. Se a ∈ R++ e b ∈ R++, então a+b ∈ R++ e a ·b ∈ R++.

Definição 1.1Sejam a, b ∈ R. Diz-se que:

i. a é menor que b, denotado por a < b, se, e somente se, b−a ∈ R++;

ii. a é menor ou igual que b, denotado por a≤ b, se, e somente se, a a e leia-se “b é maior que a”;

b. Da mesma forma, a≤ b é equivalente a b≥ a e leia-se “b é maior ou igual que a”.

O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem.

Teorema 1.3Dados a, b, c e d ∈ R. Então:

i. a = b ou a b;

ii. a2 ≥ 0. Se a 6= 0, então a2 > 0;

iii. se a 0, então a · c b · c;

viii. Se 0 < a 0, então a−1 > 0,b. Se a < 0, então a−1 < 0;

x. Se 0 < a < b, então 0 < b−1 < a−1;

xi. Se a 0 se, e somente se, (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) ;

xiii. a ·b≥ 0 se, e somente se, (a≥ 0 e b≥ 0) ou (a≤ 0 e b≤ 0)

xiv. a ·b < 0 se, e somente se, (a < 0 e b > 0) ou (a > 0 e b < 0) ;

xv. a ·b≤ 0 se, e somente se, (a≤ 0 e b≥ 0) ou (a≥ 0 e b≤ 0)

xvi. Se a≥ 0 e b≥ 0, então a < b se, e somente se, a2 < b2;

xvii. a2 +b2 = 0 se, e somente se, a = 0 e b = 0.

NotaNo Teorema 1.3 temos que:

a. O item(i) é conhecido como Lei da tricotomia;

b. O item(iii) é conhecido como Lei transitiva;

c. O item(iv) é conhecido como Lei da monotonia para a soma.

Importante

a. Se a e b são dois números reias tais que a2 = b, diz-se que a é a raiz quadradade b, denotada por

√b. Por exemplo, 2 e −2 são raízes quadradas de 4, já que

(−2)2 = 22 = 4, e√

3 e −√

3 são raízes quadradas de 3, pois (−√

3)2 = (√

3)2 = 3.

b. Pelo item(ii) do Teorema 1.3, não existe a ∈ R e b < 0 tal que a2 = b. Em outraspalavras, no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de númerosnegativos;

c. Se a2 = 0, então deduz-se que a = 0. Portanto,√

0 = 0.

Definição 1.2Uma desigualdade é uma expressão algébrica que contém relações como <, ≤, >, ≥.

Desta forma temos que:

x < y < z significa que x < y e y < z;

x < y≤ z significa que x < y e y≤ z;

x≤ y < z significa que x≤ y e y < z;

x≤ y≤ z significa que x≤ y e y≤ z.

Mais ainda, sejam x, y e z ∈R tais que x < y < z. Então estas desigualdades são representadas na retareal da seguinte maneira:

Figura 1.1: Distância entre x e y, e distância entre y e z


Ou seja, x está à esquerda de y, a uma distância de y−x unidades e z está à direita de y, a uma distânciade z− y unidades.

1.2 Equações

Definição 1.3Uma equação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas medianteuma igualdade.

Exemplo 1.1 Tipos de Equações

• Equação de Primeiro grau

3x−4 = 2− x

• Equação de Segundo grau

x2−4x−5 = 0

• Equação Racional

x2−5x+4x2−4

= x+2

• Equação Irracional

√x+3+

√x+4 =−3

• Equação Exponencial

3√

3(5x+1)/3 =√

93(x+1)/5

Definição 1.4Dada uma equação. Diz-se que um número real a é uma raiz da equação, ou é um zero daequação se ao substituir a variável da equação por a, a igualdade for verdadeira. Além disso,resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes.


Exemplo 1.2Dada a equação

x2−4x−5 = 0

temos que:

a. Os números reais −1 e 5 são raízes da equação de segundo grau acima, pois (−1)2−4(−1)−5 = 0 e (5)2−4(5)−5 = 0;

b. Porém, o número real 4 não é uma raiz, pois (4)2−4(4)−5 =−5 6= 0.

NotaPara resolver uma equação é necessário por em evidência, de alguma forma, a variável, ouincógnita, da equação.

Exemplo 1.3 Resolvamos as seguintes equações

a. 5x+6 = 8.

Solução

5x+6 = 8 ⇔ 5x = 8−6 = 2 ⇔ x =25

. Portanto,25

é a raiz de 5x+6 = 8.

b. 5x+5 = 1−3x.

Solução

5x+ 5 = 1− 3x ⇔ 5x+ 3x = 1− 5 ⇔ 8x = −4 ⇔ x = −48⇔ x = −1

2. Portanto,

−12

é a raiz de 5x+5 = 1−3x

c. x2 +1 = 0.

Soluçãox2 + 1 = 0 ⇔ x2 = −1. Portanto, do item b do Importante posterior ao Teorema 1.3,para b =−1, podemos concluir que x2 +1 = 0 não tem solução em R.

d. 4x2− x−3 = 0.

SoluçãoMétodo 1 (Fatorando)

4x2−x−3= 0 ⇔ (4x+3)(x−1) = 0. Pelo item (x) do Teorema 1.1 para a= 4x+3

e b = x−1, temos que (4x+3)(x−1) = 0 ⇔ 4x+3 = 0 ou x−1 = 0 ⇔ x =−34

ou x = 1.Método 2 (Completando quadrados)

4x2−x−3= 0 ⇔ (2x)2−x+(−1

4

)2

−3=(−1

4

)2

⇔ (2x)2−x+(−1

4

)2

=4916

⇔(

2x− 14

)2

=4916⇔ 2x− 1

4=−7

4ou 2x− 1

4=

74⇔ 2x =−3

2ou 2x = 2 ⇔

x =−34

ou x = 1.

Método 3 (Usando a fórmula de Bhaskara ou o Discriminante ∆)Dada a equação 4x2− x− 3 = 0, temos que ∆ = (−1)2− 4(4)(−3) = 49 e ⇔ x =

−(−1)±√

∆

2(4). Então, x =

1±√

498

⇔ x =1±7

8⇔ x =

88

ou x =−68⇔ x = 1

ou x =−34

.

Portanto, −34

e 1 são as raízes de 4x2− x−3 = 0.

1.3 Desigualdades e Intervalos

Definição 1.5Dados a e b ∈ R, com a < b. Um intervalo é um subconjunto de R e podem ser classificadoem:

Intervalos Limitados1. Intervalo Aberto: (a,b) = {x ∈ R : a < x < b}

2. Intervalo Fechado: [a,b] = {x ∈ R : a≤ x≤ b}

3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a,b) = {x ∈ R : a≤ x < b}

4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a,b] = {x ∈ R : a < x≤ b}

Intervalos Ilimitados1. Intervalo Aberto:

i. (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}

ii. (−∞,a) = {x ∈ R : x < a}

2. Intervalo Fechado:i. [a,+∞) = {x ∈ R : a≤ x}

ii. (−∞,a] = {x ∈ R : x≤ a}

3. A Reta Real: (−∞,+∞) = R

NotaOs intervalos semiabertos [a,b) e (a,b] também podem ser referenciados como intervalossemifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.


Exemplo 1.4Dados os intervalos:A = [−5,2], B = (−2,3] e C = (2,6),

temos que:

a. A∩B = [−2,2]

b. A∩C = /0

c. B∩C = (2,3]

d. A∪B = [−5,3]

e. A∪C = [−5,6)

f. B∪C = (−2,6)

1.4 Inequações

Definição 1.6Uma inequação é uma afirmação que se estabelece entre duas expressões algébricas medianteuma desigualdade.

Exemplo 1.5 Tipos de Inequações

• Inequação de Primeiro grau

3x−4≤ 2− x

• Inequação de Segundo grau

x2−4x−5 < 0

• Inequação Racional

x2−5x+4x2−4

≥ x+2

• Inequação Irracional

√x+3+

√x+4 >−3

• Inequação Exponencial

3√

3(5x+1)/3 <√

93(x+1)/5

Definição 1.7Diz-se que um número real a é solução da inequação, ou satisfaz uma inequação, se aosubstituir a variável da expressão por a, a desigualdade se faz verdadeira.

Exemplo 1.6Seja a inequação

x2−4x−5 < 0

Então:

a. O número real 4 é uma solução da inequação de segundo grau acima, pois (4)2− 4(4)− 5 =−5 < 0;

b. Porém, os números reais −1 e 5 não são soluções, pois (−1)2− 4(−1)− 5 = 0 6< 0 e (5)2−4(5)−5 = 0 6< 0;

Definição 1.8O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado de conjunto solução, denotadopor C. S. Resolver uma inequação significa encontrar seu C. S..

NotaSe não existem soluções reais para a inequação, então diz-se que C. S. é vazio, e se escreve,C. S.= /0

1.4.1 Resolvendo Inequações

1.4.1.1 Inequações de Primeiro Grau

As inequações de primeiro grau numa variável são da forma:

ax+b > 0 ou ax+b < 0 ou ax+b≥ 0 ou ax+b≤ 0, com a 6= 0.

Então, para resolver estas inequações consideramos, sem perda de generalidade que, a > 0. Assim,

i. ax+b > 0 ≡ x >−ba ⇒ C. S.=

(−b

a ,+∞);

ii. ax+b < 0 ≡ x <−ba ⇒ C. S.=

(−∞,−b

a

);

iii. ax+b≥ 0 ≡ x≥−ba ⇒ C. S.=

[−b

a ,+∞);

iv. ax+b≤ 0 ≡ x≤−ba ⇒ C. S.=

(−∞,−b

a

].

Exemplo 1.7Resolvamos as seguintes inequações de primeiro grau:

a. 5x+6 < 8.

Solução

5x+6 < 8 ⇔ 5x < 8−6 = 2 ⇔ x <25

. Portanto, C. S.=(−∞,

25

).

b. 5x+5≥ 1−3x.

Solução

5x+5≥ 1−3x ⇔ 5x+3x≥ 1−5 ⇔ 8x≥−4 ⇔ x≥−48=−1

2.

Portanto, C. S.=[−1

2,+∞

).

c. 3x−4 < 2+ x.

Solução3x−4 < 2+ x ⇔ 3x− x < 2+4 ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3. Portanto, C. S.= (−∞,3).

1.4.1.2 Inequações de Segundo Grau

As inequações de segundo grau numa variável são da forma:

ax2+bx+c> 0 ou ax2+bx+c< 0 ou ax2+bx+c≥ 0 ou ax2+bx+c≤ 0, com a 6= 0.

Suponhamos, sem perda de generalidade, que a > 0. Antes de mostrar como resolver este tipo deinequação, devemos lembrar a fórmula de Bhaskara:

Se ax2 +bx+ c = 0, então x =−b±

√∆

2a,

onde ∆ = b2−4ac é conhecido como o discriminante. Assim:

• Se ∆ < 0, então esta equação não tem raízes em R;

• Se ∆≥ 0, então esta equação terá as seguintes raízes

r1 =−b−

√∆

2aou r2 =

−b+√

∆

2aem R.

Caso ISe ∆ = 0, então ax2 +bx+ c = 0 tem uma única raiz, isto é, r = r1 = r2. Portanto:

i. ax2 +bx+ c > 0 se, e somente, C. S.= R\{r};ii. ax2 +bx+ c < 0 se, e somente se, C. S.= /0;

iii. ax2 +bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= R;iv. ax2 +bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= {r}.

Caso IISe ∆ > 0, então ax2 +bx+ c = 0 tem duas raízes diferentes, com r1 < r2. Portanto:

i. ax2 +bx+ c > 0 se, e somente, C. S.= (−∞,r1)∪ (r2,+∞);ii. ax2 +bx+ c < 0 se, e somente se, C. S.= (r1,r2);

iii. ax2 +bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= (−∞,r1]∪ [r2,+∞);iv. ax2 +bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= [r1,r2].

Caso IIISe ∆ < 0, então ax2 +bx+ c = 0 não tem raízes em R. Portanto:

i. ax2 +bx+ c > 0 se, e somente, C. S.= R;ii. ax2 +bx+ c < 0 se, e somente se, C. S.= /0;

iii. ax2 +bx+ c≥ 0 se, e somente se, C. S.= R;iv. ax2 +bx+ c≤ 0 se, e somente se, C. S.= /0.

Exemplo 1.8Resolvamos as seguintes inequações:

a. x2−2 < 3x+2

Soluçãox2− 2 < 3x + 2 ⇔ x2− 3x− 4 < 0. Como ∆ = (−3)2− 4(1)(−4) = 25 > 0, entãox2−3x−4 = 0 tem duas raizes reais diferentes:

r1 =−(−3)−

√∆

2(1)=

3−√

252

=−22

=−1 e r2 =−(−3)+

√∆

2(1)=

3+√

252

=82= 4.

Aplicando o item(ii) do Caso II, pois r1 < r2, temos que C. S.= (−1,4).Embora já tenhamos encontrado o conjunto solução para a inequação dada, a seguir apre-sentamos métodos alternativos para determiná-lo.

Método 1 (Decompondo)x2−2 < 3x+2 ⇔ x2−3x−4 < 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0. Logo, pelo item(xiv) doTeorema 1.3 temos que (x−4)(x+1)< 0 ⇔ (x−4 < 0 e x+1 > 0) ou (x−4 > 0e x+ 1 < 0) ⇔ (x < 4 e x > −1) ou (x > 4 e x < −1) ⇔ −1 < x < 4 ou /0 ⇔x ∈ (−1,4).

Método 2 (Completando Quadrados)

x2 − 2 < 3x + 2 ⇔ x2 − 3x < 4 ⇔ x2 − 3x +94< 4 +

94⇔

(x− 3

2

)2

<

254⇔

(x− 3

2

)2

−(

52

)2

< 0 ⇔(

x− 32− 5

2

)(x− 3

2+

52

)< 0 ⇔(

x− 82

)(x+

22

)< 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0. Assim, trabalhando de forma analoga

ao Método 1 acima, temos que (x−4)(x+1)< 0 ⇔ x ∈ (−1,4).Método 3 (Encontrando o quadro de sinais)

x2−2 < 3x+2 ⇔ x2−3x−4 < 0 ⇔ (x+1)(x−4)< 0. Os valores de x para osque (x+1)(x−4) = 0 são x =−1 e x = 4 (raízes de cada fator). Logo,

Figura 1.2: Quadro de sinais

Nesta figura observamos que (x+1)(x−4)< 0, se x ∈ (−1,4).

Portanto, C. S.= (−1,4).

b. x2 +1 < 0

SoluçãoPara x2−1 < 0 temos que ∆ = (0)2−4(1)(1) =−16 < 0. Então, do Caso III item(ii), sesegue que x2 +1 = 0 não tem raízes em R. Portanto, C. S.= /0.

c. 4x2− x−3≥ 0.

SoluçãoPara 4x2− x− 3 ≥ 0 temos que ∆ = (−1)2− 4(4)(−3) = 49 > 0, então 4x2− x− 3 = 0tem duas raizes reais diferentes:

r1 =−(−1)−

√∆

2(4)=

1−√

498

=−34

e r2 =−(−1)+

√∆

2(4)=

1+√

498

=88= 1.

Portanto, aplicando o item(iii) do Caso II, pois r1 < r2, C. S.=(−∞,−3

4

]∪[1,+∞

).

1.4.1.3 Inequações Polinomiais

Seja o polinômio de grau n:P(x) = anxn + · · ·+a1x+a0

onde a0, a1, . . . ,an são contantes e an > 0, n ∈ N. Então, as inequações polinomiais numa variávelsão da forma:

P(x)> 0 ou P(x)< 0 ou P(x)≥ 0 ou P(x)≤ 0.

Assim como nos casos anteriores, este tipo de inequações são resolvidas de acordo com a naturezadas raízes da equação polinomial P(x) = 0. Desde que P(x) tem grau n, então esta equação pode terno máximo n raízes em R. Vamos denotar cada uma destas raízes por r1, r2, . . . ,rn.

Caso ISe P(x) = 0 tem n raízes diferentes em R, com r1 < r2 < · · · < rn−1 < rn, então alternamos osinal + e − nos intervalos consecutivos delimitados por estas raízes, começamos assinando osinal + ao intervalo mais a direita, isto é, aquele intervalo à direita da raiz rn, veja a figura aseguir:

Logo,

i. P(x)> 0 se, e somente, x pertence à união dos intervalos abertos com sinal +, isto é:

a. Se n é par, então C. S.= (−∞,r1)∪·· ·∪ (rn,+∞);b. Se n é ímpar, então C. S.= (r1,r2)∪·· ·∪ (rn,+∞);

ii. P(x)< 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos abertos com sinal −, isto é:

a. Se n é par, então C. S.= (r1,r2)∪·· ·∪ (rn−1,rn);b. Se n é ímpar, então C. S.= (−∞,r1)∪·· ·∪ (rn−1,rn);

iii. P(x)≥ 0 se, e somente, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal +, isto é:

a. Se n é par, então C. S.= (−∞,r1]∪·· ·∪ [rn,+∞);b. Se n é ímpar, então C. S.= [r1,r2]∪·· ·∪ [rn,+∞);

iv. P(x)≤ 0 se, e somente se, x pertence à união dos intervalos fechados com sinal −, isto é:

a. Se n é par, então C. S.= [r1,r2]∪·· ·∪ [rn−1,rn];b. Se n é ímpar, então C. S.= (−∞,r1]∪·· ·∪ [rn−1,rn];

Caso IISeja rk uma raiz de P(x) = 0 com multiplicidade maior ou igual que 2. Então:

i. Se a multiciplicidade de rk é par, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso Isem considerar rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.

ii. Se a multiciplicidade de rk é impar, então aplicaremos o mesmo procedimento do Caso Iconsiderando rk para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.

Caso IIISe alguma raiz de P(x) = 0 não é real, então ela não é consideradas na obtenção dos intervalosque definem C. S.. Em outras palavras, o C. S. será obtido seguindo os procedimentos dos casosanteriores com as raízes reais.



a. (x−1)4(x+2)(x+4)≤ 0

SoluçãoFazendo P(x) = (x−1)4(x+2)(x+4) = 0, temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 =−4,r2 = −2 e r3 = 1. Notemos que a multiciplicidade de r3 é 4. Então, aplicando o Caso IIitem(i), r3 = 1 não será considerada para a obtenção dos intervalos que definem o C. S.Mais ainda, como a inequação é da forma P(x)≤ 0, podemos aplicar o item iv(a) do CasoI, considerando, somente, as raízes r1 = −4, r2 = −2. Ou seja, x pertence à união dosintervalos com sinal (−). Veja a figura a seguir:

Portanto,C.S.= [−4,−2].

b. (x2−3)5(x2 +16)(x2−16)(x4 +1)> 0

SoluçãoDesde que:

x2 +16 = 0 e x4 +1 = 0 não tem raízes em R

temos que, pelo Caso III, x2 +16 e x4 +1 não serão consideradas na obtenção dos inter-valos que definem C. S. Além disso,

x2−3 = (x+√

3)(x−√

3) e x2−16 = (x−4)(x+4).

Assim,

(x2−3)5(x2 +16)(x2−16)(x4 +1)> 0 ⇔ (x+√

3)5(x−√

3)5(x−4)(x+4)> 0.

Fazendo P(x)= (x+√

3)5(x−√

3)5(x−4)(x+4)= 0, temos que as raízes de P(x)= 0 sãor1 =−4, r2 =−

√3, r3 =

√3 e r4 = 4. Note que tanto r2 como r3 têm multiciplicidade 5.

Do Caso II item(ii) r2 e r3 serão consideradas para a obtenção dos intervalos que definemo C. S. Mais ainda, como a inequação é da forma P(x) > 0, podemos aplicar o item(ia)do Caso I, para todas as raízes r1 = −4, r2 = −

√3, r3 =

√3 e r4 = 4. Ou seja, então x

pertence à união dos intervalos com sinal (+). Veja figura a seguir:

Portanto,C.S.= (−∞,−4)∪ (−

√3,√

3)∪ (4,+∞).

1.4.1.4 Inequações Racionais

Sejam os polinômios:

P(x) = anxn + · · ·+a1x+a0 e Q(x) = bmxm + · · ·+b1x+b0

onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm são contantes, an > 0 e bm > 0, n, m ∈ N e Q(x) é um polinômiodiferente de zero.

Então, as inequações racionais numa variável são da forma:

P(x)Q(x)

> 0 ouP(x)Q(x)

< 0 ouP(x)Q(x)

≥ 0 ouP(x)Q(x)

≤ 0.

Para resolver este tipo de inequações, devemos saber que:

i.P(x)Q(x)

> 0 ≡ P(x)Q(x)> 0;

ii.P(x)Q(x)

< 0 ≡ P(x)Q(x)< 0;

iii.P(x)Q(x)

≥ 0 ≡ P(x)Q(x)≥ 0 e Q(x) 6= 0;

iv.P(x)Q(x)

≤ 0 ≡ P(x)Q(x)≤ 0 e Q(x) 6= 0.

Logo, fazendo P(x) = P(x)Q(x), procedemos como nos casos anteriores para P(x) em ordem a obtero C.S.

NotaQ(x) 6= 0 implica que os intervalos que contêm alguma das raízes da equação Q(x) = 0devem ser abertos nesses extremos.

Exemplo 1.10Resolvamos a seguinte inequação:

a.x−2x−4

>x+2

x

Solução

x−2x−4

>x+2

x⇔ x+2

x− x−2

x−4< 0 ⇔ (x+2)(x−4)− x(x−2)

x(x−4)< 0

⇔ −8x(x−4)

< 0 ⇔ 1x(x−4)

> 0.

Logo, pelo item(i) acima,

1x(x−4)

> 0 ⇔ x(x−4)> 0.

Fazendo P(x) = x(x− 4), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = 0 e r2 = 4. Como ainequação é da forma P(x)> 0, podemos aplicar o item i(a) do caso I, pois consideraremostodas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (+), conforme a figuraa seguir:

Logo, C. S.= (−∞,0)∪ (4,+∞).

b.x(x+2)

x−1+

(x−1)(x+2)x

≤ 2x(x+2)x+1

Solução

x(x+2)x−1

+(x−1)(x+2)

x≤ 2x(x+2)

x+1⇔ x(x+2)

x−1+

(x−1)(x+2)x

− 2x(x+2)x+1

≤ 0

⇔ (x2(x+1)+(x−1)(x−1)(x+1)−2x2(x−1))(x+2)(x−1)x(x+1)

≤ 0

⇔ (2x2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)

≤ 0.

Logo, pelo item(iv) acima,

(2x2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)

≤ 0 ⇔ (2x2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0

Desde que 2x2− x+1 = 0 não tem raízes reais, esta expressão não será considerada paraa obtenção de C.S. Assim,

(2x2− x+1)(x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0

⇔ (x+2)(x−1)x(x+1)≤ 0 e (x−1)x(x+1) 6= 0

Fazendo P(x) = (x+2)(x−1)x(x+1), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 = −2,r2 = −1, r3 = 0 e r4 = 1. Pela nota acima (x− 1)x(x+ 1) 6= 0 implica que os intervalosque tenham r2 =−1, r3 = 0 e r4 = 1 devem ser abertos nestes extremos. Desde que a ine-quação é da forma P(x)≤ 0, podemos aplicar o item iii(a) do caso I, pois consideraremostodas as raízes. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−), veja figura aseguir:

Logo, C. S.= [−2,−1)∪ (0,1).

1.4.1.5 Inequações Exponenciais envolvendo Polinômios

Sejam f (x) e g(x) duas expressões que envolvem polinômios, na variável x. Então, as inequaçõesexponenciais envolvendo polinômios numa variável são da forma:

a f (x) > ag(x) ou a f (x) < ag(x) ou a f (x) ≥ ag(x) ou a f (x) ≤ ag(x),

onde a > 0, a 6= 1.

Para resolver este tipo de inequação, são considerados dois casos.

Caso ISe a > 1, então os expoentes da inequação preservam a mesma ordem, isto é:

i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);

ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);

iii. a f (x) ≥ ag(x) se, e somente se, f (x)≥ g(x);

iv. a f (x) ≤ ag(x) se, e somente se, f (x)≤ g(x).

Caso IISe 0 < a < 1, então os expoentes da inequação invertem a ordem, isto é:

i. a f (x) > ag(x) se, e somente se, f (x)< g(x);

ii. a f (x) < ag(x) se, e somente se, f (x)> g(x);

iii. a f (x) ≥ ag(x) se, e somente se, f (x)≤ g(x);

iv. a f (x) ≤ ag(x) se, e somente se, f (x)≥ g(x).

Logo, o conjunto solução de cada item é obtido resolvendo esta última inequação, usando os proce-dimentos vistos nos casos anteriormente.

Exemplo 1.11Resolver as seguintes inequações:

a. 2(5x+2)/4 >4√24(x+1)/5

Solução

2(5x+2)/4 >4√

24(x+1)/5 ⇔ 2(5x+2)/4 >(

24(x+1)/5) 1

4

⇔ 2(5x+2)/4 > 24(x+1)/(4·5) ⇔ 2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5

Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x), com a = 2 > 1, podemos aplicar o item i docaso I, isto é

2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5 ⇔ 5x+24

>x+1

5.

Assim, agora precisamos determinar o C.S. de5x+2

4>

x+15

. Desde que

5x+24

>x+1

5⇔ 5x+2

4− x+1

5> 0 ⇔ 5(5x+2)−4(x+1)

20⇔

21x+620

> 0 ⇔ 3(7x+2)20

> 0 ⇔ 7x+2 > 0 ⇔ x >−27.

Portanto, C.S.=(− 2

7 ,+∞).

b.((0,3)(3x+2)(x+1)

) 1x+2 ≥ (0,9)2x+5

32x+5

Solução ((0,3)(3x+2)(x+1)

) 1x+2 ≥ (0,9)2x+5

32x+5 ⇔ (0,3)(3x+2)(x+1)

x+2 ≥(

0,93

)2x+5

⇔ (0,3)(3x+2)(x+1)

x+2 ≥ (0,3)2x+5.

Como a inequação é da forma a f (x) > ag(x), com a = 0,3 < 1, podemos aplicar o item ivdo caso II, isto é

(0,3)(3x+2)(x+1)

x+2 ≥ (0,3)2x+5 ⇔ (3x+2)(x+1)x+2

≤ 2x+5.

Assim, agora precisamos determinar o C.S. de(3x+2)(x+1)

x+2≤ 2x+5. Desde que

(3x+2)(x+1)x+2

≤ 2x+5 ⇔ (3x+2)(x+1)x+2

−2x+5≤ 0

⇔ (3x+2)(x+1)− (2x+5)(x+2)x+2

≤ 0 ⇔ x2−4x−8x+2

≤ 0.

Como x2−4x−8 = (x−2−2√

3)(x−2+2√

3), então

x2−4x−8x+2

≤ 0 ⇔ (x−2−2√

3)(x−2+2√

3)x+2

≤ 0

Pelo item(iv) de Inequações Racionais temos que

(x−2−2√

3)(x−2+2√

3)x+2

≤ 0 ⇔ (x−2−2√

3)(x−2+2√

3)(x+2)≤ 0 e x+2 6= 0.

Fazendo P(x) = (x−2−2√

3)(x−2+2√

3)(x+2), temos que as raízes de P(x) = 0 sãor1 =−2, r2 = 2−2

√3, r3 = 2+2

√3. Como a inequação é da forma P(x)≤ 0, podemos

aplicar o item iv(b) do Caso I. Ou seja, x pertence à união dos intervalos com sinal (−),veja figura a seguir:

2 -2 3

Lembre que, pela nota acima, x+ 2 6= 0 implica que o intervalos que tenham r1 = −2devem ser abertos neste extremo. Portanto, C. S.= (−∞,−2)∪ [2−2

√3,2+2

√3].

1.4.1.6 Inequações Irracionais

Sejam os polinômios:

P(x) = anxn + · · ·+a1x+a0, Q(x) = bmxm + · · ·+b1x+b0 e R(x) = clxl + · · ·+ c1x+ c0

onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm,c0, c1, . . . ,cl são contantes, an > 0, bm > 0 e cl > 0, n, m e l ∈ N.Então, os casos particulares das inequações irracionais numa variável, que trabalaremos, são da forma:

Caso IPara as inequações da forma:

√P(x)> Q(x),

√P(x)≥ Q(x),

√P(x)< Q(x) e

√P(x)≤ Q(x).

Temos as seguintes equivalências:

i.√

P(x)> Q(x) ≡(

P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0)

ou(

P(x)≥ 0 e P(x)> Q2(x))

;

ii.√

P(x)≥ Q(x) ≡(

P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0)

ou(

P(x)≥ 0 e P(x)≥ Q2(x))

;

iii.√

P(x)< Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)> 0 e P(x)< Q2(x);

iv.√

P(x)≤ Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Q2(x).

Caso IIPara as inequações da forma:

√P(x)+

√Q(x)> 0,

√P(x)+

√Q(x)≥ 0,

√P(x)±

√Q(x)≥ k, k > 0,√

P(x)+√

Q(x)< 0 e√

P(x)+√

Q(x)≤ 0.


i.√

P(x)+√

Q(x)> 0 ≡(

P(x)≥ 0 e Q(x)> 0)

ou(

P(x)> 0 e Q(x)≥ 0)

;

ii.√

P(x)+√

Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0;

iii.√

P(x)±√

Q(x)≥ k, k > 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≥ (k∓√

Q(x))2;

iv.√

P(x)+√

Q(x)< 0 ≡ C.S.= /0;

v.√

P(x)+√

Q(x)≤ 0 ≡ P(x) = 0 e Q(x) = 0.

Caso IIIPara as inequações da forma:

√P(x)−

√Q(x)> 0 e

√P(x)−

√Q(x)≥ 0


i.√

P(x)−√

Q(x)> 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)> Q(x);

ii.√

P(x)−√

Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≥ Q(x).


a.√

x2− x−2 < 5− x

SoluçãoAplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x2− x−2 e Q(x) = 5− x, temos que:

√x2− x−2 < 5− x ⇔ x2− x−2≥ 0 e 5− x≥ 0 e x2− x−2 < (5− x)2

⇔ (x−2)(x+1)≥ 0 e 5≥ x e x2− x−2 < 25−10x+ x2

⇔ (x−2)(x+1)≥ 0 e 5≥ x e 9x < 27

Logo,(x−2)(x+1) ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−1]∪ [2,+∞);

5 ≥ x ⇔ x ∈ (−∞,5];9x < 27 ⇔ x ∈ (−∞,3).

Assim, x pertence à interceção destes intervalos, isto é

x ∈((−∞,−1]∪ [2,+∞)

)∩((−∞,5]

)∩((−∞,3)

)= (−∞,−1]∪ [2,3).

Portanto, C.S.= (−∞,−1]∪ [2,3).

b.√

x−8≤ 0

SoluçãoAplicando o item iv do Caso I, para P(x) = x−8 e Q(x) = 0, temos que:

√x−8≤ 0 ⇔ x−8≥ 0 e 0≤ 0 e x−8≤ 02 = 0

⇔ x≥ 8 e 0≤ 0 e x≤ 8.

Logo,x ≥ 8 ⇔ x ∈ (−∞,8];0 ≤ 0 ⇔ x ∈ R;x ≤ 8 ⇔ x ∈ [8,+∞).


x ∈((−∞,8]

)∩(R)∩([8,+∞)

)= {8}.

Portanto, C.S.= {8}.

c.√

x+5 < 0

SoluçãoAplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x+5 e Q(x) = 0, temos que:

√x+5 < 0 ⇔ x+5≥ 0 e 0 > 0 e x+5 < 02 = 0

⇔ x≥−5 e 0 > 0 e x <−5.

Logo,x ≥ −5 ⇔ x ∈ (−∞,−5];0 ≤ 0 ⇔ x ∈ R;x < −5 ⇔ x ∈ (5,+∞).


x ∈((−∞,−5]

)∩(R)∩((−5,+∞)

)= /0

Portanto, C.S.= /0.Note que não é necessário fazer as contas acima para obter C.S.= /0, pois

√x+5≥ 0, pela

definição da raiz quadrada, logo,√

x+5 < 0 é uma inequação não válida.

Caso IVPara as inequações da forma:

P(x) n√

Q(x)R(x)

≥ 0,P(x) n

√Q(x)

R(x)≤ 0,

P(x)

R(x) n√

Q(x)≥ 0,

P(x)

R(x) n√

Q(x)≤ 0 e n

√P(x)≤ n

√Q(x),

com n≥ 1 e impar. Temos as seguintes equivalências:

i.P(x) n

√Q(x)

R(x)≥ 0 ≡ P(x)Q(x)

R(x)≥ 0;

ii.P(x) n

√Q(x)

R(x)≤ 0 ≡ P(x)Q(x)

R(x)≤ 0;

iii.P(x)

R(x) n√

Q(x)≥ 0 ≡ P(x)

R(x)Q(x)≥ 0;

iv.P(x)

R(x) n√

Q(x)≤ 0 ≡ P(x)

R(x)Q(x)≤ 0;

v. n√

P(x)≤ n√

Q(x) ≡ P(x)≤ Q(x).

NotaSe a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso IV,porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤por > ou <, respectivamente.

Caso VPara as inequações da forma:

P(x) n√

Q(x)≥ 0, P(x) n√

Q(x)≤ 0,P(x)

R(x) n√

Q(x)≥ 0,

P(x)

R(x) n√

Q(x)≤ 0, n

√P(x)≥ Q(x) e n

√P(x)≤ n

√Q(x),

com n≥ 0 e par. Temos as seguintes equivalências:

i. P(x) n√

Q(x)≥ 0 ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0;

ii. P(x) n√

Q(x)≤ 0 ≡ P(x)≤ 0 e Q(x)≥ 0;

iii.P(x)

R(x) n√

Q(x)≥ 0 ≡ Q(x)> 0 e

P(x)R(x)

≥ 0;

iv.P(x)

R(x) n√

Q(x)≤ 0 ≡ Q(x)> 0 e

P(x)R(x)

≤ 0;

v. n√

P(x)≥Q(x) ≡(

P(x)≥ 0 e Q(x)≤ 0)

ou(

P(x)≥ 0 e P(x)≥Qn(x))

;

vi. n√

P(x)≤ Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Qn(x);

vii. n√

P(x)≤ n√

Q(x) ≡ P(x)≥ 0 e Q(x)≥ 0 e P(x)≤ Q(x).

NotaSe a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso V,porem ela é estrita, isto é, > ou <, então na sua inequação equivalente subtituímos ≥ ou ≤por > ou <, nas inequações que envolvam P(x), Q(x) e R(x), respectivamente.


a.x+5

(x−4) 7√

81− x2≤ 0

SoluçãoDesde que n = 7 é um número impar, podemos aplicar o item ii do Caso IV, para P(x) =x+5, Q(x) = 7

√81− x2 e R(x) = x−4. Assim, temos que:

x+5(x−4) 7

√81− x2

≤ 0 ⇔ x+5(x−4)(81− x2)

≤ 0

Por outro lado,

x+5(x−4)(81− x2)

≤ 0 ⇔ x+5(x−4)(9− x)(9+ x)

≤ 0

⇔ − x+5(x−4)(x−9)(x+9)

≤ 0 ⇔ x+5(x−4)(x−9)(x+9)

≥ 0

e pelo item(iii) de Inequações Irracionais temos que

x+5(x−4)(x−9)(x+9)

≥ 0 ⇔ (x+5)(x−4)(x−9)(x+9)≥ 0 e (x−4)(x−9)(x+9) 6= 0.

Fazendo P(x) = (x+5)(x−4)(x−9)(x+9), temos que as raízes de P(x) = 0 são r1 =−9,r2 = −5, r3 = 4 e r4 = 9. Pela nota acima (x− 4)(x− 9)(x + 9) 6= 0 implica que osintervalos que tenham r1 =−9, r3 = 4 e r4 = 9 devem ser abertos nestes extremos. Desdeque a inequação é da forma P(x) ≥ 0, podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, poisconsideraremos todas as raízes. Portanto, C.S.= (−∞,−9)∪ [−5,4)∪ (9,+∞)

b.x+5

(x−4) 6√

81− x2≥ 0

SoluçãoDesde que n = 6 é um número par, podemos aplicar Aplicando o item iii do Caso V, paraP(x) = x+5, Q(x) = 6

√81− x2 e R(x) = x−4, temos que:

x+5(x−4) 6

√81− x2

≥ 0 ⇔ 81− x2 > 0 ex+5x−4

≥ 0

Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que

x+5x−4

≥ 0 ⇔ (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0

Assim,

81− x2 > 0 ex+5x−4

≥ 0 ⇔ 81− x2 > 0 e (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0.

⇔ (x+9)(x−9)< 0 e (x+5)(x−4)≥ 0 e x−4 6= 0.

Logo,(x+9)(x−9) < 0 ⇔ x ∈ (−9,9);(x+5)(x−4) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−5,4];

x−4 6= 0 ⇔ x ∈ (−∞,4)∪ (4,+∞).


x ∈((−9,9)

)∩([−5,4]

)∩((−∞,4)∪ (4,+∞)

)= (−9,−5]∪ (4,9).

Portanto, C.S.= (−9,−5]∪ (4,9).

Caso VIPara as inequações da forma:

P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≥ 0 e

P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≤ 0

i. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . ,k. Temos as seguintes equivalências:

a.P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≥ 0 ≡

Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 eP(x)R(x)

≥ 0;

b.P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≤ 0 ≡

Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 eP(x)R(x)

≤ 0.

ii. Se ni ≥ 1 e impar, para todo i = 1, . . . ,k. Temos as seguintes equivalências:

a.P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≥ 0 ≡ P(x)

R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x)≥ 0;

b.P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≤ 0 ≡ P(x)

R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x)≤ 0.

iii. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . , l, e ni ≥ 1 e impar, para todo i = l +1, . . . ,k. Temosas seguintes equivalências:


a.P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≥ 0 ≡

Q1(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 eP(x)

R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x)≥ 0;

b.P(x)

R(x) n1√

Q1(x) n2√

Q2(x) . . . nk√

Qk(x)≤ 0 ≡

Q1(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 eP(x)

R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x)≤ 0.

NotaCaso os ni’s dos l primeiros radicais, não sejam pares, reodenamos os

n1√

Q1(x), n2√

Q2(x), . . . , nk√

Qk(x)

de tal forma que que isto seja verdadeiro.


a.x2−4

(x−13) 4√

x2−9√

x−1 6√

x−4≤ 0

SoluçãoDesde que n1 = 4, n2 = 2 e n3 = 6, ou seja todos pares, podemos aplicar o item i(b)do Caso VI, para P(x) = x2− 4, Q1(x) =

4√

x2−9, Q2(x) =√

x−1, Q3(x) = 6√

x−4 eR(x) = x−13. Assim, temos que:

x2−4(x−13) 4

√x2−9

√x−1 6

√x−4

≤ 0 ⇔ x2−9> 0 e x−1> 0 e x−4> 0 ex2−4x−13

≤ 0

Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que

x2−4x−13

≤ 0 ⇔ (x2−4)(x−13)≤ 0 e x−13 6= 0.

Assim,

x2−9 > 0 e x−1 > 0 e x−4 > 0 ex2−4x−13

≤ 0 ⇔

x2−9 > 0 e x−1 > 0 e x−4 > 0 e (x2−4)(x−13)≤ 0 e x−13 6= 0

⇔ (x+3)(x−3)> 0 e x> 1 e x> 4 e (x−2)(x+2)(x−13)≤ 0 e x 6= 13.

Logo,(x+3)(x−3) > 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3)∪ (3,+∞);

x > 1 ⇔ x ∈ (1,+∞);x > 4 ⇔ x ∈ (4,+∞);

(x−2)(x+2)(x−13) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−2]∪ [2,13];x 6= 13 ⇔ x ∈ (−∞,13)∪ (13,+∞).



x∈((−∞,−3)∪(3,+∞)

)∩((1,+∞)

)∩((4,+∞)

)∩((−∞,−2]∪[2,13]

)∩((−∞,13)∪(13,+∞)

)=(4,13).

Portanto, C.S.= (3,13).

b.x2−4

(x−13) 3√

x2−9 9√

x−1 5√

x−4≤ 0

SoluçãoDesde que n1 = 3, n2 = 9 e n3 = 5, ou seja todos impares, podemos aplicar o item ii(a)do Caso VI, para P(x) = x2− 4, Q1(x) =

3√

x2−9, Q2(x) = 9√

x−1, Q3(x) = 5√

x−4 eR(x) = x−13. Assim, temos que:

x2−4(x−13) 4

√x2−9

√x−1 6

√x−4

≤ 0 ⇔ x2−4(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4)

≤ 0

Por outro lado, pelo item(iii) de Inequações Irracionais, temos que

x2−4(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4)

≤ 0 ⇔

(x2−4)(x−13)(x2−9)(x−1)(x−4)≤ 0 e (x−13)(x2−9)(x−1)(x−4) 6= 0 ⇔

(x−2)(x+2)(x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4)≤ 0 e (x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4) 6= 0.

Fazendo P(x) = (x−2)(x+2)(x−13)(x−3)(x+3)(x−1)(x−4), temos que as raízes deP(x) = 0 são r1 = −3, r2 = −2, r3 = 1, r4 = 2, r5 = 3, r6 = 4 e r7 = 13. Desde que ainequação é da forma P(x) ≤ 0, pelo item iv(b) do Caso I de Inequações Polinomiais,temos que

x ∈ (−∞,−3)∪ [−2,1)∪ [2,3)∪ [4,13).

Portanto, C.S.= (−∞,−3)∪ [−2,1)∪ [2,3)∪ [4,13).

c.x2−4

(x−13) 7√

x2−9 6√

x−1 4√

x−4≤ 0

Solução

Reescrevendox2−4

(x−13) 6√

x2−9 7√

x−1 4√

x−4≤ 0 como

x2−4(x−13) 6

√x−1 4

√x−4 7

√x2−9

≤ 0

temos que n1 = 6, n2 = 4 e n3 = 7, ou podemos aplicar o item iii(b) do Caso VI, paral = 2 e k = 3 e P(x) = x2− 4, Q1(x) = 6

√x−1, Q2(x) = 4

√x−4, Q3(x) =

7√

x2−9 eR(x) = x−13. Assim, temos que:

x2−4(x−13) 6

√x2−9 4

√x−4 7

√x−1

≤ 0 ⇔ x−1> 0 e x−4> 0 ex2−4

(x−13)(x2−9)≤ 0

Por outro lado, pelo item(iv) de Inequações Irracionais, temos que

x2−4(x−13)(x2−9)

≤ 0 ⇔ (x2−4)(x−13)(x2−9)≤ 0 e (x−13)(x2−9) 6= 0.

Assim,

x−1 > 0 e x−4 > 0 ex2−4

(x−13)(x2−9)≤ 0⇔

x−1 > 0 e x−4 > 0 e (x2−4)(x−13)(x2−9)≤ 0 e (x−13)(x2−9) 6= 0

⇔ x> 1 e x> 4 e (x−2)(x+2)(x−13)(x+3)(x−3)≤ 0 e (x−13)(x+3)(x−3) 6= 0.

Logo,

x > 1 ⇔ x ∈ (1,+∞);x > 4 ⇔ x ∈ (4,+∞);

(x−2)(x+2)(x−13)(x+3)(x−3) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3]∪ [−2,2]∪ [3,13];(x−13)(x+3)(x−3) 6= 0 ⇔ x ∈ (−∞,−3)∪ (−3,3)∪ (3,13)∪ (13,+∞).


x∈((−∞,−3)∪(3,+∞)

)∩((1,+∞)

)∩((4,+∞)

)∩((−∞,−2]∪[2,13]

)∩((−∞,13)∪(13,+∞)

)=(4,13).

Portanto, C.S.= (4,13).

1.5 Valor absoluto

Definição 1.9O valor absoluto de um número real, denotado por |a|, é definido como:

|a|={

a, se a≥ 0−a, se a < 0.

Desde o ponto de vista geométrico |a| representa a distância entre o ponto da reta real a e a origem 0.

0 a

|a|

a_

|a|

Da mesma forma, |a−b|= |b−a| se interpreta como a distância entre os pontos a e b.

a b

|b-a|=|a-b|

Exemplo 1.15|7|= 7; |0|= 0; |−4.3|= 4.3; |− |−53.7||= |−53.7|= 53.7.

Teorema 1.4Sejam a e b ∈ R, então:

i. |a| ≥ 0 e |a|= 0 se, e somente se, a = 0;

ii. |ab|= |a||b|;iii. |a+b| ≤ |a|+ |b|.

A seguir, enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto de um número real verifica.

Teorema 1.5Sejam a, b e c ∈ R, então:

i. |a|2 = a2;

ii. Se b≥ 0, então |a|= b se, e somente se, a = b ou a =−b;

iii. |a|= |b| se, e somente se, a = b ou a =−b;

iv. |−a|= |a|=√

a2;

v. Se b 6= 0, então∣∣∣ab

∣∣∣= |a||b| ;vi. Se a < c < b, então |c|< max{|a|, |b|};

a. Se 0 < a, então a < |c|< b;b. Se b < 0, então −b < |c|<−a;

vii. Se b > 0, então |c| b se, e somente se, c > b ou c <−b;

x. |c| ≥ b se, e somente se, c≥ b ou c≤−b;

xi. |a| ≤ |b| se, e somente se, −a≤ |b| e a≤ |b|;xii. |a|< |b| se, e somente se, −a < |b| e a < |b|;

xiii. ||a|− |b|| ≤ |a−b| ≤ |a|+ |b|.

Exemplo 1.16Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto:

a. |3x−5|= 4.

SoluçãoPelo item(ii) do Teorema 1.5, para a = 3x−5 e b = 4, temos que:

|3x−5|= 4 ⇔ 3x−5 = 4 ou 3x−5 =−4 ⇔ x = 3 ou x =13.

Portanto, 13 e 3 são raízes de |3x−5|= 4.

b. ||7−4x|−3|= 9.

SoluçãoPelo item(ii) do Teorema 1.5, para a = |7−4x|−3 e b = 9, temos que:

||7−4x|−3|= 9 ⇔ |7−4x|−3 = 9 ou |7−4x|−3 =−9

⇔ |7−4x|= 12 ou |7−4x|=−6.

Porém pelo item(i) do Teorema 1.4 , |7− 4x| ≥ 0, assim e |7− 4x| = −6 < 0, é umaigualdade impossível, isto é, |7− 4x| = −6 não tem raízes. Então, só devemos analisar|7−4x|= 12.Novamente, pelo item(ii) do Teorema 1.5, para a = |7−4x| e b = 12, temos que:

|7−4x|= 12 ⇔ 7−4x = 12 ou 7−4x =−12

⇔ 7−12 = 4x ou 7+12 = 4x ⇔ −5 = 4x ou 19 = 4x

⇔ x =−54

ou x =194.

Portanto, −54 e 19

4 são raízes de ||7−4x|−3|= 9.

c. |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|.

SoluçãoDenotemos por E(x) a equação |x− 2|+ 3|x− 4| = 5|x+ 1|. Para determinar as raízesdesta equação, precisamos igualar cada valor absoluto a zero, pois precisamos aplicar adefinição do valor absoluto a cada termo. Fazendo isto, obtemos x = 2, x = 4 e x = −1.Agora, precisamos analisar os 4 casos a seguir:

Caso 1:Se x<−1, então x+1< 0 ⇒ |x+1|=−x−1, x−2<−3 ⇒ |x−2|=−x + 2 e x− 4 < −5 ⇒ |x− 4| = −x + 4. Logo, E(x) é equivalente a−x+2−3x+12 =−5x−5. Assim, x =−19 e −19 ∈ (−∞,−1).

Caso 2:Se −1 ≤ x < 2, então 0 ≤ x + 1 < 3 ⇒ |x + 1| = x + 1, −3 ≤ x− 2 <0 ⇒ |x−2|=−x+2 e −5≤ x−4 <−2 ⇒ |x−4|=−x+4. Logo,E(x) é equivalente a −x+2−3x+12 = 5x+5. Assim, x = 1 e 1 ∈ [−1,2).

Caso 3:Se 2 ≤ x < 4, então 3 ≤ x+ 1 < 4 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, 0 ≤ x− 2 < 2 ⇒|x−2|= x−2 e −2≤ x−4 < 0 ⇒ |x−4|=−x+4. Logo, E(x) é equiva-

lente a x−2−3x+12 = 5x+5. Assim, x =57

, porém576∈ [2,4).

Caso 4:Se 4 ≤ x, então 5 ≤ x+ 1 ⇒ |x+ 1| = x+ 1, 2 ≤ x− 2 ⇒ |x− 2| =x−2 e 0≤ x−4 ⇒ |x−4|= x−4. Logo, E(x) é equivalente a x−2+3x−12 = 5x+5. Assim, x =−19, porém −19 6∈ [4,+∞).

Portanto, −19 e 1 são as raízes de |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|.

Exemplo 1.17Resolvamos as seguintes inequações com valor absoluto:

a. |x+1|<∣∣x2 +2x+1

∣∣.Solução

Pelo item(xii) do Teorema 1.5 para a = x+1 e b = x2 +2x+1 temos que:

|x+1|<∣∣x2 +2x+1

∣∣ ⇔ −(x+1)<∣∣x2 +2x+1

∣∣ e (x+1)<∣∣x2 +2x+1

∣∣Caso 1

Encontremos o C.S. de −(x+1)<∣∣x2 +2x+1

∣∣Pelo item(ix) do {bf Teorema 1.5} para $b=-(x+1)$ e $c={xˆ2+2x+1}$ temos que:

−(x+1)<∣∣x2 +2x+1

∣∣ ⇔ x2+2x+1>−(x+1) ou x2+2x+1<−(−(x+1))

⇔ x2+2x+1>−x−1 ou x2+2x+1< x+1 ⇔ x2+3x+2> 0 ou x2+x< 0

⇔ (x+2)(x+1)> 0 ou x(x+1)< 0 ⇔ x ∈ (−∞,−2)∪ (−1,+∞)

Logo,C.S.1 = (−∞,−2)∪ (−1,+∞).

Caso 2Encontremos o C.S. de (x+1)<

∣∣x2 +2x+1∣∣

Novamente, pelo item(ix) do {bf Teorema 1.5} para $b=x+1$ e $c={xˆ2+2x+1}$ temosque:

(x+1)<∣∣x2 +2x+1

∣∣ ⇔ x2 +2x+1 > (x+1) ou x2 +2x+1 <−(x+1)

⇔ x2 + x > 0 ou x2 +3x+2 < 0 ⇔ x(x+1)> 0 ou (x+2)(x+1)< 0

⇔ x ∈ (−∞,−1)∪ (0,+∞)

Logo,C.S.2 = (−∞,−2)∪ (−1,+∞).

Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S.2 e C.S.2, isto é,((−∞,−2)∪ (−1,+∞)

)∩((−∞,−1)∪ (0,+∞)

)= (−∞,−2)∪ (0,+∞)

Portanto, C.S.= (−∞,−2)∪ (0,+∞).

b.∣∣∣∣x+3x+1

∣∣∣∣< 4x+3.

Solução

Pelo item(vii) do Teorema 1.5 para c =x+3x+1

e b = 4x+3 temos que:∣∣∣∣x+3x+1

∣∣∣∣< 4x+3 ⇔ 4x+3 > 0 e − (4x+3)<x+3x+1

< 4x+3

⇔ x >−34

e(−4x−3 <

x+3x+1

ex+3x+1

< 4x+3)

⇔ x >−34

e(

0 < 4x+3+x+3x+1

e 4x+3− x+3x+1

> 0)

⇔ x>−34

e(

0 <(4x+3)(x+1)+ x+3

x+1e

(4x+3)(x+1)− (x+3)x+1

> 0)

⇔ x >−34

e(

0 < 2(

2x2 +4x+3x+1

)e 2

(x(2x+3)

x+1

)> 0)

⇔ x >−34

e(

0 <2x2 +4x+3

x+1e

x(2x+3)x+1

> 0)

Caso 1

Encontremos o conjunto solução de 0 <2x2 +4x+3

x+1. Desde que 2x2 + 4x+ 3 = 0

não tem raízes reais, então C.S.1 = (−1,+∞).Caso 2

Encontremos o conjunto solução dex(2x+3)

x+1> 0. Daqui, r1 =−3

2 , r2 =−1 e r3 = 0,

então C.S.2 =(−3

2 ,−1)∪ (0,+∞).

Assim, o C.S. será obtido intersectando C.S.1, C.S.2 e x >−34 , isto é,(

(−1,+∞))∩((− 3

2,−1

)∪ (0,+∞)

)∩((−3

4,+∞

))= (0,+∞)

Portanto, C.S.= (0,+∞)

1.6 Axioma do Supremo

Antes de começar a falar sobre os limitantes de um conjunto A ⊂ R, vejamos alguns conjuntosimportantes em R:

• O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto

N= {1,2,3,4, . . .}.

Se n ∈ N, então n é dito de número natural.

• O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto

Z= {. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . .}.

Se z ∈ Z, então z é dito de número inteiro.

• O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto

Q={a

b: a ∈ Z e b ∈ Z, com b 6= 0

}.

Se q ∈Q, então q é dito de número racional.


• O conjunto dos números irracionais, denotado por I, é o conjunto

I= {x ∈ R : x 6∈Q}.

Se x ∈ I, então x é dito de número irracional.

Assim, verifica-se que:

Z=−N∪{0}∪N, N⊂ Z⊂Q⊂ R, R=Q∪ I e Q∩ I= /0.

Nota

a. Entre os números irracionais temos:

•√

2,√

3, 7√

4, −√

7, . . .

• π = 3,141592 . . .

• e = 2,71828182 . . .

b. Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que:

• Entre dois números racionais existe um número infinito de números irracionais;

• Entre dois números irracionais existe um número enumerável de números racionais.

Definição 1.10Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:

i. A é limitado superiormente se existe M ∈ R tal que

x≤M, ∀x ∈ A.

O número M é chamado de limitante superior de A.

ii. A é limitado inferiormente se existe m ∈ R tal que

m≤ x, ∀x ∈ A.

O número m é chamado de limitante inferior de A.

iii. A é limitado se existe L > 0 tal que

|x| ≤ L, ∀x ∈ A.

Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente.

Exemplo 1.18

a. Os conjuntos N e (−1,+∞) são conjuntos limitados inferiormente, em particular m = −1,m =−2 são limitantes inferiores. No entanto, estes conjuntos não limitados superiormente.

b. Os conjuntos (−∞,4] e −N são conjuntos limitados superiormente, em particular M = 4, M =20 são limitantes superiores. No entanto, estes conjuntos não limitados inferiormente.

c. Os conjuntos{

23z

: z ∈ Z\{0}}

e {x ∈ R : 2x− x2 ≥ −7} são conjuntos limitados, em parti-

cular por 4.

Definição 1.11Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:

i. s ∈ R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se:

a. s é limitante superior de A, isto é, x≤ s, ∀x ∈ A.b. Se b ∈ R e b < s, então existe x ∈ A tal que b < x≤ s.

Em outras palavras, o supremo de um conjunto é o menor de seus limitantes superiores.

ii. r ∈ R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se:

a. r é limitante inferior de A, isto é, r ≤ x, ∀x ∈ A.b. Se c ∈ R e r < c, então existe x ∈ A tal que r ≤ x < c.

Em outras palavras, o ínfimo de um conjunto é o maior de seus limitantes inferiores.

NotaSe o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses elementos sãochamados máximo de A, denotado por max(A), e mínimo de A, denotado por min(A),respectivamente.

Exemplo 1.19Dados os conjuntos

A =

(−1,

94

], B =

{1k

: k ∈ N}

e C = {x ∈Q :−20≤ x}

temos que:

a. Inf(A) =−1, Sup(A) =94= max(A). Portanto, A é limitado.

b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B é limitado.

c. Inf(C) = −20 = min(C). Porém, C não é limitado superiormente, logo, não tem supremo.Portanto, não é limitado.

O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos números reais.

Axioma 11 (Axioma do Supremo)Todo subconjunto B 6= /0 de R e limitado superiormente, possui um supremo s = Sup(B) ∈ R.

Teorema 1.6Seja A⊂ R com A 6= /0. Se A é limitado inferiormente, então este possui ínfimo.

Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele seráapenas enunciado.

O seguinte princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e para provar váriaspropriedades referentes aos números inteiros.

Teorema 1.7 (Princípio da boa ordem)Todo subconjunto não vazio de Z, limitado inferiormente, possui ínfimo.

1.7 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos as noções básicas sobre o conjunto dos Números Reais com o intuitode fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento nos próximos capítulos.

Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os axiomas que regem a adiçãoe multiplicação. Seguindo esse raciocínio, apresentamos dois teoremas que mostram as principaispropriedades da substração e divisão.

Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois ele-mentos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., esse conceito e suasprincipais propriedades foram revisadas.

Nas seções subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, equações, inequa-ções e valor absoluto, além de terem sido apresentados exemplos ilustrativos.

Por último, mas não menos importante, o axioma do supremo e o princípio da boa ordem foramapresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,supremo, ínfimo, máximo e mínimo.

No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre funções, já que esta teoria é fundamen-tal para, por exemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais.

1.8 Atividades

1. Encontre M tal que:

i. 2x− x2 ≤M, ∀x ∈ R. ii. −(x2 +4x+13

)≤M ∀x ∈ R.

iii.∣∣∣∣ x+62x+1

−3∣∣∣∣< M, ∀x ∈ (0,4). iv.

∣∣∣∣2x+7x2 − 1

2

∣∣∣∣< M, ∀x ∈ (2,5).

v.∣∣∣∣3x+4

x−1−2∣∣∣∣< M, ∀x ∈ (3,7). vi.

∣∣∣∣ x−2x2 +4x−5

∣∣∣∣< M, se |x−2|< 12

.

viii.∣∣∣∣ x2−5xx2 + x+10

∣∣∣∣< M, se |x+1|< 1.

2. Encontre as raízes reais das seguintes equações:

i. 12x−4 = 3x+9. ii. 2x2−11x−4 = 0. iii. x4−2x2−8 = 0.

iv.∣∣x2−4x

∣∣= 3x+4. v. |2x−1|= x−1.

3. Encontre o conjunto solução das seguintes inequações:

i. 3x−8 < 5x−2. ii. 3x2−5x−2 > 0.

iii. (x2 + x−6)(4x−4− x2)≤ 0. iv.x−2x+4

≤ x+5x+3

.

v.x2−2x+3x2−4x+3

>−2. vi.32

x2−4≥ x

x−2− 4

x+2.

vii.√

x2−2x−15 > x+1. viii.√

x2−11x+30 > 6− x.

ix.

√x2 +3x−4

4−√

x2 +6x> x−2. x.

∣∣∣∣x2 +3x−2x2−1

∣∣∣∣< 1.

xi. 3(|x+1|− 1

6

)2

≥ 1−2∣∣∣∣|x+1|− 1

6

∣∣∣∣.Feedback sobre o capítuloVocê pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria desubmeter uma sugestão ou crítica?Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/new para re-alizar seu feedback. Lembre-se de incluir na mensagem a seção, capítulo (cap1) e a versãodo livro (v1.2.2) alvo de sua contribuição. Você receberá notificações sobre os encaminha-mentos que serão dados a partir do seu feedback. Para compreender melhor como feed-backs funcionam consulte o guia do curso.

https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/new?title=cap1+%5BDigite+aqui+o+t%C3%ADtulo+da+sua+corre%C3%A7%C3%A3o%2C+sugest%C3%A3o+ou+cr%C3%ADtica%5D&body=Vers%C3%A3o+do+livro%3A+%60v1.2.2%60%0AP%C3%A1gina%3A+%60%3F%60%0ADescreva+sua+contribui%C3%A7%C3%A3o+abaixo%3A


Capítulo 2

Funções

Sumário2.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Translações e reflexões de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2 Funções comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.3 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.4 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.5 Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.6 Função definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.1 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59



• Determinar com precisão o domínio e a imagem de uma função real;

• Dado o gráfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma função;

• Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora;

• Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composi-ção de funções;

• Encontrar a inversa de uma função, se ela existir;

• Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemático relativo àsfunções definidas no conjunto dos números reais.


Ao relacionarmos o espaço em função do tempo a intensidade da fotossíntese realizada por uma plantaem função da intensidade da luz a que ela é exposta; ou uma pessoa em função da impressão digital,percebemos quão importante é o conceito de função, pois este nos permite compreender as relaçõesentre os fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc., presentes no nosso cotidiano. Portanto, nestecapítulo, revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Iniciaremos ocapítulo dando a definição formal deste objeto matemático, que é o objetivo de estudo deste capítuloe de todos os outros.

2.1 Funções

Em diversas situações, apresentam-se relações que existem entre um conjunto de objetos e outroconjunto de outros objetos, por exemplo: quando calculamos a área de um círculo, esta depende doraio do círculo; a distância que um objeto viaja a uma velocidade constante ao longo de um percursodepende do tempo; etc. Em cada caso, o valor da quantidade variável, denotada por y, depende dovalor de outra quantidade variável, denotada por x. Dizemos então que y é uma função de x e aescrevemos como y = f (x).

f(x)

x

f

Saída

Entrada

Definição 2.1Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B, denotada por f : A→ B, éuma regra que associa um único elemento f (x) ∈ B a cada elemento x ∈ A.

A B

f(x)x

f

Associados a uma função temos os conjuntos: domínio, imagem e gráfico de uma função, e a seguintedefinição estabelece estes conceitos.

Definição 2.2Seja a função f : A→ B. Então:


i. O domínio da função f é o conjunto {x ∈ A : f (x) ∈ B}, e é denotado por Dom( f ); istoé, o domínio de f é o subconjunto de A cujos elementos são todos os valores de entradapossíveis da função f .

ii. A imagem da função f é o conjunto { f (x) ∈ B : x ∈ A}, e é denotado por Im( f ); isto é, aimagem de f é o subconjunto de B cujos elementos são todos os valores de f (x) conformex varia ao longo do conjunto A.

iii. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da função f é o conjunto {(x,y) ∈ R×R : y = f (x)},e é denotado por Graf( f ).

NotaSeja uma função f : A→ B.

a. A notação y = f (x) (leia-se “y é igual a f de x”) expressa que y é o valorde f em x, neste caso, x é denominada variável independente e y variáveldependente.

b. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, seIm( f ) = B, diz-se que f é uma aplicação de A sobre B.

c. Se A e B são subconjuntos de R, então f é chamada de função real de variávelreal.

d. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondênciay = f (x), então:

i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior sub-conjunto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido eresulte em valores reais. Isso é denominado domínio natural da função.

ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 são as coordenadas x, para osquais o gráfico de f intersecta o eixo x. Estes valores são denominadoszeros de f , raízes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y = f (x) com oeixo x.

e. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma fun-ção. Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o gráficoda equação y = f (x). Os pontos do gráfico são da forma (x, f (x)), ou seja,a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o valor de f na coordenada xcorrespondente.

Exemplo 2.1Para f definida a seguir, determinemos o domínio, a imagem e seu gráfico:

a. Sejam A = {1,2,3,4}, B = {5,6,7,8,9} e f : A→ B definida por f (x) = x+2.

SoluçãoDesde que f (1) = 1+ 2 = 3, f (2) = 2+ 2 = 4, f (3) = 3+ 2 = 5, f (4) = 4+ 2 = 6,verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o gráfico de f é apresentado no item(a) da figura abaixo


b. Seja f : R→ R definida por f (x) =1x

.

SoluçãoA função f dada está definida para todo x ∈ R, exceto x = 0; assim Dom( f ) = R\{0}.Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente y:

y =1x.

Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de y não seja evidente nessa equação,o gráfico de f (veja o item (b) da figura abaixo) sugere que Im( f ) = R\{0}. Para provaristo, resolvamos a equação acima para x, em termos de y:

x 6= 0 ⇒ xy = 1 ⇔ x =1y.

Agora está evidente que essa expressão está definida para todo y ∈ R, exceto para y = 0.Portanto, Im( f ) = R\{0}.

0

Graf( )f

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

-

-

Graf( )f

x

y

x

y

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

x

y

5

-

6

-

10-

-

-

4

3

-

-

2

1

-

-

0

Dom( )f

Im( )f

(a) (b) (c)

Graf( )f

c. Seja f : (0,5]→ [1,10) definida por f (x) = (x−3)2 +1.

SoluçãoDa definição de f temos que Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, à medida que x varia sobreo intervalo (0,5], o valor de (x− 3)2 + 1 varia sobre o intervalo [0,9); assim, o valor def (x) varia sobre o intervalo [1,10). Portanto, Im( f ) = [1,10).Nesse caso, f é uma aplicação de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita comof ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima.

A próxima nota nos diz que nem toda curva no plano é o gráfico de uma função.

Teste da Reta VerticalUma relação f : R→ R com domínio localizado no eixo horizontal e a imagem localizadano eixo vertical é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico nomáximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que oitem (b) não corresponde a uma função.

x

y

0

y = f (x)

Graf( f ) x

y

0

L

P

Q

R

S

TGraf( f )

(a) (b)

2.1.1 Translações e reflexões de uma função

Esta seção se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções.Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funçõesrelacionadas.

Teorema 2.1 (Testes de simetria)

i. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x por−x em sua equação obtém-se uma equação equivalente;

ii. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y por−y em sua equação obtém-se uma equação equivalente;

iii. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se x por−x e y por −y em sua equação obtém-se uma equação equivalente.

Esboçando gráficosPara esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outrafunção já conhecida, y = f (x). Seja o gráfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figuraabaixo. Então o gráfico de:

• y =− f (x) é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) dafigura abaixo;

• y = f (−x) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) dafigura abaixo;

• y = | f (x)| é obtida transladando a parte do gráfico original que se encontra abaixo do eixo x( f (x)< 0) de forma simétrica a este último e mantendo a parte do gráfico que está por cimado eixo x ( f (x)≥ 0). Veja o item (d) da figura abaixo;


x

y

0

y = f (x)

x

f(x)

(a)

x

y

0

y = f (x)

y = - f (x)

(b) (d)

x

y

0

y = f (x) y = f (- x)

x

yy = |f (x)|

y = f (x)

(c)

0

Sejam k > 0 e h > 0. Então o gráfico de:

• y = f (x)+ k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para cima.Veja o item (a) da figura abaixo;

• y = f (x)− k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para baixo.Veja o item (a) da figura abaixo;.

• y = f (x + h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para aesquerda. Veja o item (b) da figura abaixo;

• y = f (x− h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para adireita. Veja o item (b) da figura abaixo;

• y = f (x−h)+ k se obtém efetuando uma dupla translação h unidades para a direita horizon-talmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaixo.

x

y

0

y = f (x)

(c)

y = f (x - h) + k

k

h

x

y

0

y = f (x)

x

y

0

y = f (x)

(a) (b)

y = f (x) + k

y = f (x) - k

y = f (x+h) y = f (x-h)

k

k

h h

Exemplo 2.2Dadas as seguintes funções:

a. f (x) = x2; b. f (x) =−x2; c. h(x) = x2 +1;

d. i(x) = (x+1)2; e. j(x) = (x−1)2−2; f. k(x) = |x2−2|.

Nas figuras abaixo encontramos, na sua respectiva letra, o esboço do gráfico de cada uma delas.


(b)

x

y

0

(a)

x

y

0

y = - x2

x

y

0

y = x2

y = x2 + 1

y = x2y = x21

(c)

(f)

x

y

0

(e)

x

y

0

y = x2

y = (x -1)2 - 2

1

y = |x 2 - 2|

y = x 2 - 2

x

y

0

y = (x +1)2

1

-2

(d)

y = x2

2.1.2 Funções comuns

Agora apresentaremos algumas funções reais de variável real que são de uso frequente em cálculo.

Função linearÉ a função definida por f (x) = mx+b, onde m e b são constantes. O domínio da função linearé Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R. Seu gráfico é a reta com coeficiente angular, ouinclinação, m que intersecta o eixo x em (0,b); veja o item (a) da figura abaixo.

Casos particularesa. Quando b = 0, a função f (x) = mx passa pela origem; no item (b) da figura abaixo

vemos a ilustração destas retas, para valores diferentes de m.b. Quando m = 1 e b = 0, a função f (x) = x é chamada de função identidade, também

denotada por Id(x), e seu gráfico é a reta diagonal do primeiro e do terceiro quadrante;veja o item (c) da figura abaixo.

c. Quando m = 0, a função f (x) = b é chamada de função constante e, nesse caso,Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaixo.

x

y

0

y = mx + b

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = b

Im( ) = {b}f

Dom( ) = f R

x

y

0

y = x

(a) (b) (c) (d)

y

y = x

y = - x

y = - 4x

3

2

5

2

y = 2x

y = x

b

Função valor absolutoÉ a função definida por f (x) = |x|, x ∈ R. Da definição de valor absoluto, temos:

|x|=√

x2 =

{x, se x≥ 0;−x, se x < 0.

O domínio da função valor absoluto é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja oitem (a) da figura abaixo.

Função raiz quadradaÉ a função definida por f (x) =

√x, x ≥ 0. O domínio da função raiz quadrada é Dom( f ) =

[0,+∞) e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja o item (b) da figura abaixo.

Função raiz cúbicaÉ a função definida por f (x) = 3

√x, x ∈ R. O domínio da função raiz cúbica é Dom( f ) = R e

sua imagem é Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaixo.

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8

Dom( ) = f R Dom( ) =

x0

f

Im( ) = f

y = 3 x

R

R

y

x

y

0

y = x

f

Im( ) = [0, + )f 88Dom( ) = [0, + )

(a) (b) (c)

Função polinomial de grau nÉ a função definida por f (x)= a0xn+a1xn−1+ · · ·+an, x∈R, onde a0,a1, . . . ,an são constantesreais, a0 6= 0 e n∈N∪{0}. O domínio da função polinomial é Dom( f )=R, porém, sua imagemdepende de n.

Casos particularesa. f (x) = xn, n ∈ N:

i. Se n é par, sua imagem é Im( f ) = [0,+∞), seu gráfico é simétrico em relação aoeixo y com formato geral de uma parábola, y = x2, embora não sejam realmenteconsideradas assim quando n > 2, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,1) e(1,1); veja o item (a) da figura abaixo.

ii. Se n é ímpar, sua imagem é Im( f ) = R, seu gráfico é simétrico à origem comformato geral de uma cúbica y = x3, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,−1)e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo.

iii. Quando n cresce, no intervalo (−1,1) os gráficos ficam mais achatados e nosintervalos (−∞,−1) e (1,+∞) cada vez mais próximos ao eixo y;

b. Função quadrática ou função polinomial de 2◦ grau: f (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. O

gráfico desta função é uma parábola de vértice(− b

2a,c− b2

4a

).

i. Se a > 0, a parábola se abre para cima e Im( f ) =[

c− b2

4a,+∞

); veja o item (c)

da figura abaixo.

ii. se a < 0, a parábola se abre para baixo e Im( f ) =(−∞,c− b2

4a

]; veja o item (d)

da figura abaixo.

iii. O valor máximo ou mínimo da função ocorre no vértice, isto é, f(− b

2a

)=

c− b2

4aé o valor máximo ou mínimo da função.

Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = x5

R

R

y = x3

Dom( ) =

x

y

0

f

f

y = x4

Ry = x2

8

(a) (b)

x

y

0 b2a

b2

4ac

x

y

0 b2a

b2

4ac

Im( ) = [0, + )

(c) (d)

y = x6

y = x7

Função racionalÉ a função definida por

f (x) =a0xn +a1xn−1 + · · ·+an

b0xm +b1xm−1 + · · ·+bm, x ∈ R.

Esta função é o quociente dos polinômios P(x) = a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an e Q(x) = b0xm +b1xm−1+ · · ·+bm, onde a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm são constantes reais, a0,b0 6= 0 e n,m∈N∪{0}. O domínio da função racional é Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) 6= 0} ≡ R\{x ∈ R : Q(x) = 0}.

Casos particulares

a. f (x) =1xn , n ∈ N:

i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) = R\{0}, sua imagem é Im( f ) =

R\{0}, seu gráfico é semelhante ao gráfico de y =1x

e cada gráfico passa pelos

pontos (−1,−1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaixo;ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem é Im( f ) =

[0,+∞) e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y =1x2 , e cada gráfico passa

pelos pontos (−1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo;


iii. O fato de 0 /∈Dom( f ) implica que o gráfico tem uma quebra na origem. Por essemotivo, zero é denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito será vistono Capítulo 4;

iv. Quando n cresce, nos intervalos (−∞,−1) e (1,+∞), os gráficos ficam mais acha-tados e nos intervalos (−1,0) e (0,1) cada vez mais próximos ao eixo y:

b. f (x) =1

1+ xn , n ∈ N:

i. Se n é ímpar, o domínio da função é Dom( f ) =R\{−1}, sua imagem é Im( f ) =R \ {0} e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada noitem (c) da figura abaixo;

ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R, sua imagem é Im( f ) = (0,1] eseu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (d) dafigura abaixo.

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = \ {0} f R

R

1x

(a)

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = [0, + )f

R

81x2

(b) (c) (d)

x

y

0

Dom( ) = \ { - 1} f

Im( ) = \ {0} f R

R

-1

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

Função algébricaÉ qualquer função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição,subtração, multiplicação, divisão ou extração de raízes). Todas as funções racionais são algébri-cas, porém existem outras funções mais complexas inclusas nesse conjunto. Os gráficos dessetipo de função variam amplamente e, assim sendo, é difícil fazer afirmações sobre elas, veja ositens (a), (b) e (c) da figura abaixo.

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = [0, + )f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x2/3(x+2)2

(c)

3

4

8

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x(1 - x)2/5

R

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = - 3 4, +f

R

1 2 3

5

10

-3 -2 -1

-5

y = 3x1/3(2+ x)

(b)

15

20

8

(a)

94[ )

Função trigonométricaExistem 6 funções básicas trigonométricas, sen(x), cos(x), tg(x), sec(x), cossec(x) e cotg(x).Os gráficos das funções seno e cosseno são mostrados na figura abaixo nos itens (a) e (b),respectivamente.

x

y

0

1

-1

y = sen(x)

(b)(a)

2

23

2

2

23

2

x

y

0

1

-1

y = cos(x)

2 23 2

2232

Dom( ) = f R Im( ) = [-1, 1]f

Função exponencialÉ da forma f (x) = ax, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Em todos os casos, odomínio é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = (0,+∞). Os gráficos para as bases 2, 3, 5, 7são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo.

Dom( ) = (0,+ )f 8

(a)

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = (0,+ )f

R

1

y = 7-x

y = 5-x

y = 3-x

y = 2-x

8

x

y

0

Im( ) = f R

1

y = log2 x

x

y

0

1

(b)

y = 7x

y = 5x

y = 3x

y = 2x

(c)

y = log3 x

y = log5 x

y = log7 x

Função logarítmicaÉ da forma f (x) = logax, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Esta função éa inversa das funções exponenciais. Em todos os casos, o domínio é Dom( f ) = (0,+∞) e suaimagem é Im( f ) =R. O item (c) da figura acima mostra os gráficos da função logarítmica paraa = 2, 3, 5, 7.

Função sinalÉ denotada por sgn(x), x ∈ R, leia-se sinal de x e está definida por

sgn(x) =

−1, se x < 0;0, se x = 0;1, se x > 0.

O domínio da função sinal é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = {−1,0,1}. Seu gráfico éapresentado no item (a) da figura abaixo.

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

-2

-3

y = x

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = {-1, 0, 1} f

R

y = sgn(x)

(a) (b)

Função maior inteiroÉ denotada por bxc, x ∈ R, leia-se maior inteiro de x e está definida por

bxc= n se, e somente se, n≤ x < n+1, n ∈ Z

Isto é, bxc representa o maior número inteiro que não supera x. O domínio da função maiorinteiro é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = Z. Seu gráfico é apresentado no item (b) dafigura acima.

Propriedades da função maior inteiroa. x−1 < bxc ≤ x, ∀x ∈ R;b. Se n ∈ Z ⇒ bx+nc= bxc+n, ∀x ∈ R;c. Se f (x) = baxc, com a 6= 0, a longitude do intervalo onde a função permanece cons-

tante é `=1|a|

.

Exemplo 2.3Dada a função maior inteiro bxc:

a. Se x = 3,1415⇒ bxc= 3; b. Se x = 3⇒ bxc= 3;

c. Se x =−1,25⇒ bxc=−2; d. Se x ∈ [−2,−1)⇒ bxc=−2;

e. Se x ∈ [−1,0)⇒ bxc=−1; f. Se x ∈ [0,1)⇒ bxc= 0;

g. Se x ∈ [1,2)⇒ bxc= 1.

Exemplo 2.4Esbocemos os gráficos das seguintes funções:

a. f (x) = b3xc

Solução

Pela definição, b3xc = n⇔ n ≤ 3x < n+ 1⇔ n3≤ x <

n3+

13

. O gráfico desta função éapresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função perma-

nece constante é `=13

.

b. f (x) =⌊−x

3

⌋Solução

Pela definição,⌊−x

3

⌋= n⇔ n ≤ −x

3< n+ 1⇔ −3n− 3 < x ≤ −3n. O gráfico desta

função é apresentado no item (b) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função

é constante é `=1∣∣∣∣−13

∣∣∣∣ = 3.

x

y

-1 3 3

0 1 2 1

-1

-2

-3

3 3

2 1

y = 3x

x

y

0

1

2

-9

-1

-2

-3

3 6

y =

9

-6 -3

x3

(a) (b)

1

2

2.1.3 Função par e função ímpar

Definição 2.3

i. Uma função f : R→R é chamada par se para todo x ∈Dom( f ) se verifica−x ∈Dom( f )e f (−x) = f (x).

x

y

0

y = xn

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8

Dom( ) = f R

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = [0, + )f

R

8

1xn

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

y = 1

xn+1

Figura 2.1: Em todos os gráficos de funções pares n é par.

ii. Uma função f : R→ R é chamada ímpar se para todo x ∈ Dom( f ) se verifica −x ∈Dom( f ) e f (−x) =− f (x).

x

y

0

y = x

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = n x

Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = xn

R

R

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = \ {0} f R

R

1xn

Figura 2.2: Em todos os gráficos de funções ímpares n é ímpar.

Nota

a. O gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eixo y, uma vez que f (−x) =f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,y) estiver nográfico. Uma reflexão através do eixo y não altera o gráfico;

b. O gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação à origem, uma vez que f (−x) =− f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,−y) estiver nográfico.

2.1.4 Função periódica

Definição 2.4Uma função f : R→ R é dita periódica se existe um número real t 6= 0 tal que para todox ∈ Dom( f ) se verifica:

i. x+ t ∈ Dom( f );

ii. f (x+ t) = f (x).

O menor valor de t tal que os itens acima sejam verificados é denominado de período de f .

Exemplo 2.5As seguintes funções são periódicas:

a. f (x) = x−bxc , x ∈R. De fato, notamos que f (x+1) = (x+1)−bx+1c= x+1− (bxc+1) =x−bxc= f (x) e desde que não existe outro número real t tal que 0 < t < 1 e que seja o períodode f , assim f é de período 1; veja o item (a) da figura abaixo.

x

y

1

-1

f(x) = |sen(2x)|

-2

-2

x

y

0

1

-3 1 2

f(x) = x x

3-2 -1-4 4

(a) (b)

-1

Dom( ) = f Im( ) = [0, 1] fR

b. f (x) = |sen(x)|, x ∈ R. Afirmamos que o período de f é t = π . De fato, f (x+π) = |sen(x+π)|= |− sen(x)|= |sen(x)|= f (x); veja o item (b) da figura acima.

2.1.5 Função crescente e função decrescente

Definição 2.5Seja f uma função definida em um intervalo I e x1 e x2 dois pontos em I.

i. Se f (x2)> f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é crescente em I; veja o item(a) da figura abaixo.

x

y

a bx1 x2

f(x1)

f(x2)

0

Ix

y

a bx1 x2

f(x2)

f(x1)

0

I

ii. Se f (x2) < f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é decrescente em I; veja oitem (b) da figura acima.

NotaUma função é crescente se seu gráfico é ascendente e é decrescente se seu gráfico é des-cendente, em ambos casos, da esquerda para a direita.

Exemplo 2.6A função f (x)= |x2−4|, veja gráfico abaixo, é crecente nos intervalos [−2,0] e [2,+∞), e decrescentenos intervalos (−∞,−2] e [0,2].

x

y

f(x) = | x2- 4 |

-2 2

4


2.1.6 Função definida por partes

Definição 2.6Uma função f : R→R é definida por partes se ela é descrita por funções diferentes em partesdiferentes de seu domínio.

f (x) =

f1(x), se x ∈ I1;f2(x), se x ∈ I2;

......

fn(x), se x ∈ In;

onde Ii ⊆ Dom( fi), ∀ i, Dom( f ) =⋃n

i=1 Ii e Ii∩ I j = /0, ∀ i, j ∈ {1,2, . . . ,n}, i 6= j.

Exemplo 2.7A função

f (x) =

(x+1)2 +1, se x ∈ (−∞,−1);|x|, se x ∈ [−1,1);1, se x ∈ [1,π);

−cos(x), se x ∈ [π,+∞);

é definida por partes, com Dom( f ) = (−∞,−1)∪ [−1,1)∪ [1,π)∪ [π,+∞) = R, e na figura abaixopodemos ver seu gráfico.

x

y

1

-1

f(x)

π-1 1

2.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora

Nesta seção, apresentamos três conceitos muito importantes para funções: injetividade, sobrejetivi-dade e bijetividade.

Definição 2.7Seja f : A→ B uma função. Diz-se que:

i. f é injetora se f (x1) = f (x2), implica que x1 = x2 para todo x1,x2 ∈ Dom( f ). Ou equi-valentemente, ∀x1,x2 ∈ Dom( f ), com x1 6= x2, temos que f (x1) 6= f (x2).

ii. f é sobrejetora ou sobre se para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y. Em outraspalavras, f : A→ B é sobrejetora se Im( f ) = B.

iii. f é bijetora se, e somente se, f é injetora e sobrejetora.


Nota

a. A função injetora também é conhecida como função univalente ou um a um, já queexiste uma correspondência um para um entre os elementos do domínio e a imagem.

b. Geometricamente, uma função definida por y = f (x) é injetora se, ao traçar retasparalelas ao eixo x, essas intersectam o seu gráfico em não mais de um ponto; vejafigura a seguir.

x

y

0

y

Exemplo 2.8

a. A função f : R→ R definida por f (x) = 3x+ 2, é injetora. De fato, se f (x1) = f (x2) ⇒3x1 +2 = 3x2 +2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2. Além disso, f é sobrejetora desde que se y ∈ R,

existe x =y−2

3tal que f (x) = f

(y−2

3

)= 3

(y−2

3

)+ 2 = y. Portanto, podemos concluir

que f é bijetora.

b. A função f : R→ [0,+∞) definida por f (x) = x2 é sobrejetora pois Im( f ) = [0,+∞). Porém,não é injetora, pois x1 = −2 e x2 = 2 geram a mesma imagem, isto é, f (−2) = 4 = f (2).Portanto, f não é bijetora.

2.2.1 Operações com funções

Da mesma forma que fazemos operações aritméticas com números, podemos realizar este tipo deoperações entre funções, produzindo outras novas.

Definição 2.8Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais com domínios Dom( f ) e Dom(g). Diz-se quef e g são iguais se:

i. Dom( f ) = Dom(g);

ii. f (x) = g(x), ∀x ∈ Dom( f ) = Dom(g).


Exemplo 2.9As funções

a. f (x) = 4x3−6 e g(x) =−(6−4x3) são iguais desde que Dom( f ) =Dom(g) =R e f (x) = g(x).

b. f (x) =√

(x−2)(x−5) e g(x) =√

x−2√

x−5 são diferentes, pois Dom( f ) = (−∞,2] ∪[5,+∞) e Dom(g) = [5,+∞), ou seja, Dom( f ) 6= Dom(g).

Definição 2.9Sejam f e g duas funções reais de variável real com domínios Dom( f ) e Dom(g), respectiva-mente. Define-se:

A função soma

( f +g)(x) := f (x)+g(x), x ∈ Dom( f +g) = Dom( f )∩Dom(g).

A função diferença

( f −g)(x) := f (x)−g(x), x ∈ Dom( f −g) = Dom( f )∩Dom(g).

A função produto

( f ·g)(x) := f (x) ·g(x), x ∈ Dom( f ·g) = Dom( f )∩Dom(g).

A função quociente(fg

)(x) :=

f (x)g(x)

, x ∈ Dom(

fg

)= Dom( f )∩ (Dom(g)\{x : g(x) = 0}) .

A função valor absoluto

| f |(x) := | f (x)|, x ∈ Dom(| f |) = Dom( f ).

A função produto de uma constante por uma função

(c f )(x) := c f (x), x ∈ Dom(c f ) = Dom( f ),

onde c ∈ R é uma constante real .

Exemplo 2.10

Sejam f (x) =√

9− x2 e g(x) =√

x2− 14 . Encontremos as regras de correspondência das funções:

f +g, f −g, f ·g, −8g,(

fg

), |g|.

SoluçãoCaculemos os domínios:

Dom( f ) ={

x ∈ R : 9− x2 ≥ 0}= [−3,3];

Dom(g) ={

x ∈ R : x2− 14≥ 0}=

(−∞,−1

2

]∪[

12,+∞

);

Dom( f )∩Dom(g) =[−3,−1

2

]∪[

12,3]


a. ( f +g)(x) = f (x)+g(x) =√

9− x2 +√

x2− 14 , x ∈ [−3,−1

2 ]∪ [12 ,3];

b. ( f −g)(x) = f (x)−g(x) =√

9− x2−√

x2− 14 , x ∈ [−3,−1

2 ]∪ [12 ,3];

c. ( f ·g)(x) = f (x) ·g(x) =√

9− x2 ·√

x2− 14 , x ∈ [−3,−1

2 ]∪ [12 ,3];

d. (−8g)(x) =−8g(x) =−8√

x2− 14 , x ∈ (−∞,−1

2 ]∪ [12 ,+∞);

e.(

fg

)(x) =

f (x)g(x)

=

√9− x2√x2− 1

4

, x ∈ [−3,−12)∪ (

12 ,3];

f. |g|(x) = |g(x)|=∣∣∣∣√x2− 1

4

∣∣∣∣=√x2− 14 , x ∈ (−∞,−1

2 ]∪ [12 ,+∞).

2.3 Composição de funções

A composição é outra forma de combinar funções, esta operação não tem analóga direta na aritméticausual.

Definição 2.10Sejam f : A→ B e g : B→C duas funções reais tais que Im( f )∩Dom(g) 6= /0. A composiçãode g com f , denotada por g◦ f , é a função g◦ f : A→C definida por:

(g◦ f )(x) := g( f (x)).

O domínio da função composta g◦ f é dado por

Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)} .

Na seguinte figura, ilustramos a função composta g◦ f

A B C

Dom( f )

g f °

Dom( g )

f (g(x))

f g

NotaFalando de forma informal, a operação de composição de duas funções é a operação desubstituir a variável dependente da sua definição pela função que a precede.

Exemplo 2.11Sejam as funções f (x) = 2x−6 e g(x) =

√x. Encontremos g◦ f e f ◦g.

Solução

a. (g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(2x−6) =√

2x−6,logo, o domínio da g◦ f é

Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)}= {x ∈ R : x ∈ R e 2x−6≥ 0}= [3,+∞)

b. ( f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = 2√

x−6,logo, o domínio da f ◦g é

Dom( f ◦g) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g) e g(x) ∈ Dom( f )}= {x ∈ R : x≥ 0 e

√x ∈ R}

= [0,+∞)

A seguinte figura ilustra cada uma destas composições.

x

y

0

-4

-6

-2

1 5 6 9

x

(g f )(x) = 2x-6

y

3 540

°

(f g )(x) = 2 x - 6°

2

2

NotaDeste exemplo, podemos concluir que a composição de funções não é comutativa, isto é,g◦ f e f ◦g, em geral, são diferentes.

Exemplo 2.12Sejam as funções

f (x) ={

x2 se x < 1;−x3 se x≥ 2;

g(x) ={−x se x < 2;2x se x≥ 4.

Encontremos f ◦g.

SoluçãoNeste caso cada uma das funções é definida por partes:

f (x) ={

f1(x) se x ∈ Dom( f1);f2(x) se x ∈ Dom( f2);

g(x) ={

g1(x) se x ∈ Dom(g1);g2(x) se x ∈ Dom(g2).

Logo, o domínio de f ◦g será obtido analisando todas as combinações possíveis de f1, f2, g1 eg2, isto é:


a. f1 ◦g1:

Dom( f1 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f1)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ (−∞,1)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−1,+∞)}= (−1,2)

Então, ( f ◦g)(x) = f1(g1(x)) = f1(−x) = x2, ∀x ∈ (−1,2).

b. f1 ◦g2:

Dom( f1 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f1)}= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ (−∞,1)}

=

{x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ (−∞,

12)

}= /0

Portanto, neste caso a composição f1 ◦g2 não esta definida.

c. f2 ◦g1:

Dom( f2 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f2)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ [2,+∞)}= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−∞,−2]}= (−∞,−2)

Então, ( f ◦g)(x) = f2(g1(x)) = f2(−x) = x3, ∀x ∈ (−∞,−2).

d. f2 ◦g2:

Dom( f2 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f2)}= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ [2,+∞)}= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ [1,+∞)}= [4,+∞)

Então, ( f ◦g)(x) = f2(g2(x)) = f1(2x) =−8x3, ∀x ∈ [4,+∞). Portanto,

( f ◦g)(x) =

x2, se x ∈ (−∞,−2);x3, se x ∈ (−1,2);−8x3, se x ∈ [4,+∞).

Propriedades da composição de funçõesSejam f ,g e h funções reais com domínios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Entãose verifica que:

a. ( f ◦g)◦h = f ◦ (g◦h)

b. f ◦ Id = f = Id◦ f

c. ( f +g)◦h = f ◦h+g◦h

d. ( f −g)◦h = f ◦h−g◦h

e. ( f ·g)◦h = ( f ◦h) · (g◦h)

f.(

fg

)◦h =

f ◦hg◦h


2.4 Função inversa

Dada uma função f : A→ B, gostaríamos de saber como o efeito de uma função pode ser invertidopara enviar o resultado de volta e obter o valor de onde veio. Nossa resposta seria: se f (x) = y, entãox = f−1(y), mas não necessariamente sempre obtemos uma função.

De fato, sempre temos alguma das duas possibilidades: f é injetora ou f não é injetora.

• Se f não é injetora, existem pelo menos dois elementos x1,x2 ∈ A tais que:

f (x1) = y e f (x2) = y então x1 = f−1(y) e x2 = f−1(y).

Portanto, a (relação) inversa de f , f−1, não é uma função de B em A.

• Se f : A→ B é injetora, então a inversa f−1 : B→ A é uma função injetora e é chamada de funçãoinversa de f

Ambos casos são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo, respectivamente. No item (c) éapresentada a interpretação da função inversa.

f

(a) (b)

x1

x2

y

f -1

A Bf

x1

x2

f -1

A B

y1

y2

(c)

Bf

f -1(y) = x

f -1

A B

y = f(x)

Propriedades da função inversaSeja f uma função. Então:

a. f tem inversa se, e somente se, f for injetora;b. Se f−1, a inversa de f , existe. Então:

i. Dom( f−1) = Im( f );ii. Im( f−1) = Dom( f );

iii. ( f−1 ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ Dom( f );iv. ( f ◦ f−1)(y) = y, ∀y ∈ Dom( f−1);v. os gráficos de y = f (x) e y = f−1(x) são simétricos com respeito à reta L : y = x;

veja o item (a) da figura abaixo.c. Sejam as funções f e g injetoras. Se existe g◦ f , então (g◦ f )−1 = f−1 ◦g−1.

y = f -1(x)

y = f (x)0

L: x=y

x

y

y = f -1(x)

y = f (x)

0

L: x=y

x

y

(a) (b)


NotaSeja f uma função real definida por y = f (x) a qual tem função inversa f−1. Para encontrara regra de correspondência da f−1, colocamos x em evidência em termos da variável y.Assim, obtemos x = f−1(y); porém a convenção de representar a variável independentepor x e a variável dependente por y, faz com que escrevamos f−1 em função de x, isto é,trocando as variáveis x e y em x = f−1(y), para obter y = f−1(x).

Exemplo 2.13Encontremos a função inversa da função f (x) = 5x−3, se x ∈ [0,6].

SoluçãoVerificamos que f (x1) = f (x2)⇒ 5x1−3 = 5x2−3⇒ x1 = x2, assim, f é injetora. Por outrolado, desde que y = f (x), então y = 5x−3, x ∈ [0,6]. Pondo em evidência a variável x obtemos

que x =y+3

5, para x ∈ [0,6], logo, determinamos a variação da variável y

x =y+3

5∈ [0,6]⇒ 0≤ y+3

5≤ 6⇒ 0≤ y+3≤ 30⇒−3≤ y≤ 27⇒ y ∈ [−3,27]

Assim, x =y+3

5, para y ∈ [−3,27], permutamos x por y, isto é, y =

x+35

, para x ∈ [−3,27].

Portanto, f−1(x) =x+3

5, para x ∈ [−3,27].

No item (b) da figura acima podemos ver os gráficos de f e f−1.

2.5 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos o importante conceito de função com o intuito de fazer com que o alunodetermine com precisão o domínio, a imagem e o gráfico de uma função real dada; estes conceitostambém foram abordados e foram apresentados diversos exemplos ilustrando esses tópicos.

Nas seções subsequentes, apresentamos alguns casos particulares de funções, com as quais vamos alidar no decorrer deste livro, assim como as operações aritméticas e composições que as envolvem.Por último, e não menos importante, a teoria sobre a inversa de uma função foi apresentada.

No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre limites, o qual nos permitirá definircom prescisão a noção de continuidade, a qual é uma das ideias mais importantes e mais fascinatesde toda a matemática.

2.6 Atividades

1. Seja f a função definida por:

i. f (x) = x2−5x+3. ii. f (x) =√

2x2 +1.

iii. f (x) =x3−3x2 + x−2

4x2− x−5. iv. f (x) =

|x|x, se x 6= 0;

1, se x = 0.

Em cada caso, calcule f (0), f (−2), f(1

3

).

2. Se f (x) = ax+b é tal que f (3) = 1 e f (−3) = 6, encontre f (x).

3. Sejam f e g funções definidas por:

f (x) ={

1, se 0≤ x≤ 1,2, se 1 < x≤ 2; e g(x) = f (2x)+ f (x−2).

Encontre Dom(g).


f (x) ={

x2, se |x|< 1x, se |x| ≥ 1.

e g(x) ={

1− x, se |x| ≥ 2x, se |x|< 2.

Encontre ( f +g)(x),(

fg

)(x) e esboce seus respectivos gráficos.

5. Seja f : Dom( f )→ [0,1] definida por:

i. f (x) =|x|x

. ii. f (x) = 2+ x− x2. iii. f (x) =x−1x−3

.

Em cada caso, determine Dom( f ).

6. Seja f : Dom( f )→ (−2,6] definida por f (x) = x2−4x+1. Determine Dom( f ), e verifique sef é injetora e sobrejetora.

7. Determine Dom( f ) das seguintes funções:

i. f (x) =√

x− x3. ii. f (x) = 3√

x−bxc.

iii. f (x) = 4√

x2 +4x−12+3x2

4√

20+ x− x2.

8. Seja a função f definida por:

i. f (x) =

x2−4x−2

, se x 6= 2;

3, se x = 2.ii. f (x) =

{|4− x2|, se |x|< 3;

5, se |x| ≥ 3.

iii. f (x) =

(x−1)3, se 0≤ x < 2;10− x2, se 2≤ x≤ 3;−2, caso contrário .

iv f (x) = (x−bxc)2.

Em cada caso esboce o gráfico de f , determine Dom( f ) e Im( f ).

9. Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares:

i. f (x) =−x3 + x. ii. f (x) = |x|+4x2.iii. f (x) =− x

|x|. iv. f (x) =−x3−2x2.

10. Sejam f (x) = x3 +2 e g(x) = x+a, determine o valor de a tal que ( f ◦g)(3) = (g◦ f )(a−1).

11. Sejam f e g duas funções, determine f (x) se:

i. g(x) = 1− x2 e f (g(x)) =√

1− x2. ii. g(x) = 2x+3 e f (g(x)) = 4x2 +12x+9.


f (x) ={

x+2, se x| ≤ 1x−1, se x > 1. e g(x) =

{x2, se x < 0

1− x, se x≥ 0.

Encontre ( f ◦g)(x).

13. Se f (x) = 2x+ c e f (c) = 2 f−1(c2), determine o valor de:

i. f (0) · f−1(0). ii.f (1)

f−1(1).

14. Dada a função f (x) =9− x2

4− x2 , x≥ 0.

i. Prove que f é injetora. ii. Determine a função f−1. iii. Determine Dom( f−1).

15. Determine a função inversa, caso ela exista, das seguintes funções:

i. f (x) =√

x2−4, x ∈ (−∞,−2). ii. f (x) =√

2− x− x2, x ∈ [−2,1].

16. Sejam as funções definidas por:

f (x) =x4−1

16− x4 , se x≥ 0 e x 6= 2; g(x) = 4√

16− x2, se x ∈ [0,4];

h(x) =√

x+1, se x ∈ [−1,+∞); i(x) =√

x2−1, se x ∈ [1,+∞).

i. Determine:

a. ( f ◦g)−1 e Dom(( f ◦g)−1).

b. h−1 · ( f ◦g)−1 e Dom(h−1 · ( f ◦g)−1).

c. i · ( f ◦g)−1 e Dom(i · ( f ◦g)−1).

d. i◦ ( f ◦g)−1 e Dom(i◦ ( f ◦g)−1).

ii. Verifique se h · ( f ◦g)−1 é injetora.iii. Esboce o gráfico de ( f ◦g)−1.

Feedback sobre o capítuloVocê pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria desubmeter uma sugestão ou crítica?Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/new para re-alizar seu feedback. Lembre-se de incluir na mensagem a seção, capítulo (cap2) e a versãodo livro (v1.2.2) alvo de sua contribuição. Você receberá notificações sobre os encaminha-mentos que serão dados a partir do seu feedback. Para compreender melhor como feed-backs funcionam consulte o guia do curso.


Capítulo 3

Limites

Sumário3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Limites de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Leis do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.9 Limites infinitos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.10 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.11 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.12 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



• Interpretar geometricamente a definição de limite de uma função;

• Interpretar adequadamente a propriedade de unicidade do limite;

• Determinar o valor de limites de funções elementares;

• Conhecer as indeterminações da forma00

,∞

∞, entre outras;

• Aplicar os teoremas sobre limites de funções na resolução dos exercícios.

3.1 Introdução

Neste capítulo, trataremos a teoria dos limites de uma função, uma das ideias mais importantes efascinantes da Matemática, a qual é indispensável conhecer por ser um dos pilares dos conceitos decontinuidade, derivada, integral, etc.

3.2 Vizinhança

Embora a definição de vizinhança, no sentido topológico, seja muito abstrata, é necessário ter al-guma noção sobre este conceito. Neste livro, o espaço em que trabalhamos é R, portanto, a seguintedefinição é suficiente para cumprir nossos objetivos.

Definição 3.1Dados a, δ , δ1, δ2 ∈ R, com δ , δ1, δ2 > 0:

i. Chama-se vizinhança aberta do ponto a ao intervalo (a−δ1,a+δ2);

ii. Chama-se bola aberta de centro a e raio δ ao intervalo (a−δ ,a+δ );

iii. A bola aberta de centro a e raio δ é denotada por B(a;δ ), isto é, B(a;δ ) = (a−δ ,a+δ ).

NotaToda bola aberta é uma vizinhança, a recíproca não necessariamente é verdade.

O item (a) da figura a seguir ilustra uma vizinhança, enquanto que o item (b) ilustra uma bola decentro a e raio δ .

Exemplo 3.1

a. Os intervalos seguintes são vizinhanças abertas do ponto a = 5:

(5−3,5+2)= (2,7), δ1 = 3 e δ2 = 2;(

5− 13,5+4

)=

(143,9), δ1 =

13

e δ2 = 4.

b. Os intervalos seguintes são bolas abertas do ponto a = 5:

B(5;2)= (5−2,5+2)= (3,7), δ = 2, B(

5;13

)=

(5− 1

3,5+

13

)=

(143,163

), δ =

13.

Propriedades das vizinhançasDados a, δ , δ1, δ2 ∈ R, com δ , δ1, δ2 > 0, verifica-se que:

a. B(a;δ ) = {x ∈ R : |x−a|< δ};b. A interseção de duas vizinhanças de centro a é uma vizinhança de centro a, ou seja:

B(a;δ1)∩B(a;δ2) = B(a;δ )

onde δ = min{δ1,δ2}.

3.3 Limites de uma função

Antes de definir o conceito de limite, apresentaremos a noção intuitiva do mesmo no exemplo abaixo.

Exemplo 3.2Sejam as funções f e g definidas pelas regras de correspondências:

f (x) = x+1, se x 6= 1 e g(x) ={

x2 +1 se x 6= 1;3 se x = 1.

Das respectivas definições, observamos que para x = 1, f (x) não está definida, ou seja, f (1) nãoexiste, enquanto que g(1) = 3. Porém, o comportamento de ambas funções é exatamente o mesmonuma vizinhança de 1 excluindo o ponto 1 dessa vizinhança, e pode ser descrito da seguinte forma:

• Para valores de x próximos a 1, com x 6= 1, os valores de f (x) e g(x) se aproximam do númeroL = 2.

• No caso de f , dizemos que 2 é o limite de f (x) quando x tende (ou se aproxima) a 1;

• De forma semelhante, no caso de g, dizemos que 2 é o limite de g(x) quando x tende a 1.

Notamos que o limite de f , quando x tende a 1, não depende de f (1), pois este valor não existe, e simdos valores que a função f toma quando x está próximo de 1.

Definição 3.2Sejam f : R → R uma função, L ∈ R e a um ponto que não, necessariamente, pertence aDom( f ), porém, toda vizinhança de a contém pontos de Dom( f ). Se para cada ε > 0 é possívelencontrar um δ > 0 que depende de a e ε , tal que

x ∈ Dom( f ), x 6= a e 0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε,

então diz-se que f se aproxima do limite L quando x se aproxima de a, e escreve-se:

limx→a

f (x) = L,

leia-se L é o limite de f (x) quando x tende a a ou o limite de f quando x tende a a é L.

Nota

a. A definição acima pode ser reescrita usando a notação de vizinhanças: limx→a

f (x) = L,

se e somente se,

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ Dom( f )∩B(a;δ ), x 6= a ⇒ f (x) ∈ B(L;ε);

b. O conceito de limite implica na ideia de f (x) poder ser tão próximo de L quanto qui-zermos sempre que x for escolhido suficientemente próximo de a.

Exemplo 3.3Seja f (x) = 4x−5. Se lim

x→2f (x) = 3. Quão próximo de 2 deve estar x para que | f (x)−3|< 0,001?

SoluçãoFazendo ε = 0,001, queremos que | f (x)− 3| < ε . Para encontrar um δ adequado, notamosque | f (x)− 3| = |4x− 5− 3| = 4|x− 2| < 0,001. Dessa última desigualdade, obtemos que|x− 2| < 0,00025. Portanto, se x está distante de 2 em menos de 0,00025, então f (x) estádistante de 3 em menos de 0,001.

Passos para determinar um δ para dados f , L, a e ε > 0Os passos para determinar um δ tal que para todo x

0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−L|< ε

são:

1. Decompor o termo | f (x)−L| numa expressão onde apareça o termo |x−a|, isto é,

| f (x)−L|= |x−a||g(x)|;

2. Encontrar um δ1 > 0, valor inicial para δ , com o intuito de limitar a expressão |g(x)|, istoé,

0 < |x−a|< δ1 ⇒ ∃ K > 0 : |g(x)|< K;

i. Se 0 < |x−a|< δ1, então,

| f (x)−L|= |x−a||g(x)|< |x−a|K;

ii. Se |x−a|< ε

K, então,

|x−a|K < ε ⇒ | f (x)−L|< ε;

3. Fazer δ = min{

δ1,ε

K

}.

Portanto, 0 < |x−a|< δ implica que | f (x)−L|= |x−a||g(x)|< ε , o que prova que

limx→a

f (x) = L.

Algumas recomendações

a. Ao considerar valores para δ1, tais que 0 < |x−a|< δ1:

i. podemos considerar δ1 = 1 ou números menores.

ii. devemos verificar que g(x) exista ∀x ∈ (a−δ1,a+δ1).

b. Ao limitar g(x), dado δ1, devemos lembrar algumas propriedades de desigualdades evalor absoluto:

i. se 0 < |x−a|< δ1, então a−δ1 < x < a+δ1;

ii. se a < y < b, então |y|< max{|a|, |b|};iii. se a < y < b, então y2 < k2 onde k = max{|a|, |b|};

c. Dados 0 < δ < δ . Se δ verifica a definição de limite, então δ também verifica adefinição de limite.

Exemplo 3.4

a. Se f (x) = 2x2−5x+2, provemos que limx→3

f (x) = 5.

SoluçãoDado ε > 0, devemos encontrar um δ tal que

0 < |x−3|< δ ⇒ | f (x)−5|< ε.

Dos passos passos estabelecidos acima, temos que:

| f (x)−5|= |2x2−5x+2−5|= |2x2−5x−3|= |x−3||2x+1|.

Para δ1 = 1, busquemos K > 0 : 0 < |x−3|< 1⇒ |2x+1|< K. De fato:

|x−3|< 1⇒ 2 < x < 4⇒ 4 < 2x < 8⇒ 5 < 2x+1 < 9⇒ |2x+1|< 9,

multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela expressão |x−3| obtemos:

|x−3||2x+1|< 9|x−3|.

Logo, deduzimos que 9|x− 3| < ε quando |x− 3| < ε

9. Em resumo, dado ε > 0, ∃δ =

min{

1,ε

9

}tal que

0 < |x−3|< δ ⇒ | f (x)−5|= |x−3||2x+1|< 9|x−3|< ε.

Portanto, limx→3

f (x) = 5.

b. Se f (x) =x+3x−3

, provemos que limx→5

f (x) = 4.

SoluçãoDado ε > 0, devemos encontrar um δ tal que:

0 < |x−5|< δ ⇒ | f (x)−4|< ε.

De forma análoga ao exemplo do item anterior, temos que

| f (x)−4|=∣∣∣∣x+3x−3

−4∣∣∣∣= ∣∣∣∣−3(x−5)

x−3

∣∣∣∣= 3|x−5||x−3|

.

Por outro lado, se consideramos δ1 = 1 obtemos

0 < |x−5|< 1⇒ 4 < x < 6⇒ 1 < x−3 < 3⇒ 13<

1x−3

< 1⇒ 1|x−3|

< 1.

Multiplicando ambos lados dessa desigualdade pela expressão 3|x−5| obtemos:

3|x−5||x−3|

< 3|x−5|< ε ⇒ |x−5|< ε

3.

Em resumo, dado ε > 0, ∃δ = min{

1,ε

3

}tal que

0 < |x−5|< δ ⇒ | f (x)−4|= 3|x−5||x−3|

< 3|x−5|< 3ε

3= ε.

Portanto, limx→5

f (x) = 4.

3.4 Propriedades dos limites

A primeira propriedade que apresentamos é uma das mais utilizadas dos números reais.

Propriedade 3.1Seja x ∈ R. Se |x|< ε para todo ε > 0, então x = 0.

Na sequência, os resultados apresentados são importantes para o domínio da teoria dos limites.

Teorema 3.1 (Unicidade do limite)Se o limite de uma função existe, então este limite é único. Em outras palavras, se existem L1e L2 ∈ R tal que:

limx→a

f (x) = L1 e limx→a

f (x) = L2,

então L1 = L2.

É natural esperar que sejam verificados os seguintes resultados:

Teorema 3.2 (Teorema da comparação)Sejam f e g duas funções tais que:

i. f (x)≤ g(x), ∀x ∈ B(a;δ ) com x 6= a;

ii. limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = M.

Então, L≤M, isto é, limx→a

f (x)≤ limx→a

g(x).

O teorema seguinte é uma consequência do Teorema da comparação.

Teorema 3.3 (Teorema do confronto)Sejam f , g e h três funções tais que:

i. f (x)≤ g(x)≤ h(x), ∀x ∈ B(a;δ ), com x 6= a;

ii. limx→a

f (x) = limx→a

h(x) = L.

Então, limx→a

g(x) = L.

Teorema 3.4Sejam f e g duas funções tais que:

i. limx→a

f (x) = 0;

ii. Existe M > 0 tal que |g(x)|< M, ∀x ∈ B(a;δ ), com x 6= a.

Então, limx→a

f (x)g(x) = 0.

3.5 Leis do limite

Para calcular limites de funções que são combinações aritméticas de funções que pussuem limitesconhecidos, podemos utilizar as seguintes regras simples.

Teorema 3.5Sejam c ∈ R uma constante, f e g duas funções tais que lim

x→af (x) = L e lim

x→ag(x) = M, então:

i. limx→a

c = c;

ii. Regra da soma:

limx→a

( f (x)+g(x)) = limx→a

f (x)+ limx→a

g(x) = L+M;

iii. Regra da diferença:

limx→a

( f (x)−g(x)) = limx→a

f (x)− limx→a

g(x) = L−M;

iv. Regra da multiplicação por uma constante:

limx→a

(c f (x)) = c(

limx→a

f (x))= cL;

v. Regra do produto:

limx→a

( f (x) ·g(x)) = limx→a

f (x) · limx→a

g(x) = L ·M;

vi. Regra do quociente:Se M 6= 0, então

limx→a

1g(x)

=1

limx→a

g(x)=

1M

e limx→a

f (x)g(x)

=limx→a

f (x)

limx→a

g(x)=

LM.

Os seguintes corolários são consequências diretas do teorema anterior.

Corolário 3.1Se lim

x→afi(x) = Li, para i = 1,2, . . . ,n, então:

i. limx→a

( f1(x)+ f2(x)+ . . .+ fn(x)) = L1 +L2 + . . .+Ln;

ii. limx→a

( f1(x) · f2(x) · . . . · fn(x)) = L1 ·L2 · . . . ·Ln.

Corolário 3.2Se lim

x→af (x) = L e n ∈ Z, então

limx→a

[ f (x)]n =[

limx→a

f (x)]n

= Ln.

Se n≤ 0, então para que limx→a

[ f (x)]n exista, L deve ser diferente de zero.

Corolário 3.3Se f (x) = b0xn +b1xn−1 + . . .+bn, onde b0, b1, . . . , bn são constantes, então:

limx→a

(b0xn +b1xn−1 + . . .+bn) = b0an +b1an−1 + . . .+bn = f (a).

Teorema 3.6Se lim

x→af (x) = L e uma das condições seguintes é verificada:

i. L≥ 0 e n é qualquer inteiro positivo ou

ii. L < 0 e n é qualquer inteiro positivo ímpar;

então limx→a

n√

f (x) = n√

limx→a

f (x) = n√

L.


Exemplo 3.5Calculemos os seguintes limites:

a. limx→2

(5x2−3x+4

)Solução

Do Teorema 3.5, temos que:

limx→2

(5x2−3x+4

)= 5

(limx→2

x2)−3(

limx→2

x)+

(limx→2

4)= 5(4)−3(2)+4 = 18.

Ou de forma alternativa, do Corolário 3.3, temos que:

limx→2

f (x) = f (2) = 5(4)−3(2)+4 = 18.

b. limx→18

4√

x−2

SoluçãoDesde que lim

x→18(x−2) = (18)−2 = 16 > 0 e n = 4 > 0, do Teorema 3.6, temos que:

limx→18

4√

x−2 = 4√

limx→18

(x−2) = 4√

16 = 2.

c. limx→2

3

√2x5−4x−2

x3−6


x→2(2x5− 4x− 2) = 54, lim

x→2(x3− 6) = 2 e n = 3 > 0, do Teorema 3.5, do

Teorema 3.6 e da regra do quociente, temos que:

limx→2

3

√2x5−4x−2

x3−6=

3

√limx→2

2x5−4x−2x3−6

= 3

√√√√√ limx→2

(2x5−4x−2)

limx→2

(x3−6)=

3

√542

=3√

27 = 3.


Nota

a. Dado um limite da forma limx→a

f (x)g(x)

, com limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = 0, não é possível

aplicar a regra do quociente do Teorema 3.5. Neste caso, diz-se que o limite é um

limite indeterminado da forma00

.

b. Em geral, as formas indeterminadas são:

00,

∞

∞, ∞−∞, 0 ·∞, 00, 1∞ e ∞

0

c. Em todos esses casos, devemos usar alguns artifícios que permitam eliminar a inde-terminação. Um dos artifícios mais usados é fatorar no numerador e no denominador,se possível, o termo (x− a), para depois simplificá-lo e obter uma nova expressãoque não seja indeterminada. Por último, calcular o limite da nova expressão. Isto seráilustrado no seguinte exemplo.


a. limx→−4

x2−163x+12

SoluçãoAo analisar o numerador e o denominador desse quociente, observamos que temos uma

indeterminação da forma00

, pois limx→−4

(x2−16) = 0 e limx→−4

(3x+12) = 0.

Porém, observamos que o termo (x+4) pode ser fatorado de cada um deles, pois

x2−16 = (x+4)(x−4) e 3x+12 = 3(x+4).

Logo,

limx→−4

x2−163x+12

= limx→−4

��(x+4)(x−4)3��(x+4)

= limx→−4

x−43

=13

limx→−4

(x−4) =13(8) =−8

3.

b. limx→0

√x+3−

√3

x

Solução

Da mesma forma que o item acima, esse limite tem uma indeterminação da forma00

. Pararesolver tal problema, precisamos racionalizar o numerador, isto é, multiplicar tanto onumerador quanto o denominador por

√x+3+

√3:

limx→0

√x+3−

√3

x= lim

x→0

(√

x+3−√

3)(√

x+3+√

3)x(√

x+3+√

3)= lim

x→0

x+3−3x(√

x+3+√

3)=

limx→0

�x

�x(√

x+3+√

3)= lim

x→0

1√x+3+

√3=

1√3+√

3=

12√

3.


NotaPara racionalizar, precisamos lembrar que:

(an−bn) = (a−b)(an−1 +an−2b+an−3b2 + . . .+abn−2 +bn−1)︸︷︷︸fator racionalizante

(an +bn) = (a+b)︷︸︸︷(an−1−an−2b+an−3b2− . . .−abn−2 +bn−1)


a. limx→4

3−√

5+ x1−√

5− x

Solução

Esse limite tem uma indeterminação da forma00

, nesse caso, devemos fazer uma duplaracionalização:

limx→4

3−√

5+ x1−√

5− x= lim

x→4

(3−√

5+ x)(3+√

5+ x)(1+√

5− x)(1−√

5− x)(1+√

5− x)(3+√

5+ x)

= limx→4

−��(x−4)(1+√

5− x)(3+√

5+ x)��(x−4)=− lim

x→4

1+√

5− x3+√

5+ x

= −1+13+3

=−26=−1

3.

b. limx→0

√1+ x2− 4

√1+ x4

x2

Solução

Aqui temos a indeterminação da forma00

, e observamos que

√1+ x2− 4

√1+ x4 = 4

√(1+ x2)2− 4

√1+ x4

=(1+ x2)2− (1+ x4)√

(1+ x2)3 +(1+ x2)4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√(1+ x4)3

=2x2√

(1+ x2)3 +(1+ x2)4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√(1+ x4)3

.

Logo, calcular o limite acima é equivalente a calcular

limx→0

2��x2

��x2[√

(1+ x2)3 +(1+ x2)4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√(1+ x4)3

] =


limx→0

2[√(1+ x2)3 +(1+ x2)

4√

1+ x4 +√

1+ x2√

1+ x4 + 4√

(1+ x4)3] = 2

1+1+1+1=

12.

Portanto,

limx→0

√1+ x2− 4

√1+ x4

x2 =12.

c. limx→64

√x−8

3√

x−4

Solução

Assim como nos casos anteriores, a indeterminação é da forma00

e poderíamos fazer umadupla racionalização, porém, os cálculos se tornariam muito complicados. Por outro lado,observando as quantidades sub-radicais, notamos que elas são iguais, o que será útil sefizermos uma mudança de variável com o intuito de simplificar a expressão.Escolhe-se uma variável que seja igual à quantidate sub-radical e o expoente desta variávelé o minimo múltiplo comum dos índices dos radicais. Em nosso caso:Como m.m.c(2,3) = 6 fazemos y6 = x, notemos que x→ 64 implica que y→ 2, e quandosubstituímos no limite acima, obtemos:

limx→64

√x−8

3√

x−4= lim

y→2

y3−8y2−4

= limy→2

��(y−2)(y2 +2y+4)��(y−2)(y+2)

= limy→2

y2 +2y+4y+2

=4+4+4

2+2= 3.

d. limx→0

x 3√

x+1+ 4√

x+1−1x2 3√

x+1+ 4√

x+1−1

Solução

Novamente, a indeterminação é00

e precisamos fazer uma mudança de variável para eli-

minar os radicais. Como m.m.c.(3,4) = 12 e desde que x + 1 ≥ 0, fazemos x + 1 =ym.m.c.(3,4) = y12, logo x→ 0 implica que y→ 1,

x+1 = y12, ⇒ x = y12−1, 3√

x+1 = 3√

y12 = y4 4√

x+1 = 4√

y12 = y3,

e quando substituímos no limite acima obtemos:

limx→0

x 3√

x+1+ 4√

x+1−1x2 3√

x+1+ 4√

x+1−1= lim

y→1

(y12−1)2y4 + y3−1(y12−1)y4 + y3−1

.

Porém,

y12−1 = (y−1)(y11 + y10 + · · ·+ y+1) e y3−1 = (y−1)(y2 + y+1).

Assim,

limy→1

(y12−1)2y4 + y3−1(y12−1)y4 + y3−1

= limy→1

��(y−1)(y11 + y10 + . . .+1)y4 +��(y−1)(y2 + y+1)

(y−1)�2(y11 + y10 + . . .+1)2y4 +��(y−1)(y2 + y+1)

= limy→1

(y11 + y10 + . . .+1)y4 + y2 + y+1(y−1)(y11 + y10 + . . .+1)2y4 + y2 + y+1

=11+3

3=

143.

3.6 Limites laterais

Quando calculamos limx→a

f (x) = L, o problema real é determinar um número L para o qual os valores

de f (x) se aproximam quando x tende a a. Porém, em R, ao dizer que x tende a a é necessário analisardois casos:

i. x tende a a por meio de valores menores que a, isto é, x tende a a pela esquerda; e

ii. x tende a a por meio de valores maiores que a, isto é, x tende a a pela direita.

Veja o item (a) da figura abaixo.

Quando precisamos calcular os limites laterais o problema é mais simples, já que este depende docomportamento da função f (x) quando x se aproxima de a somente pela esquerda ou somente peladireita; veja o item (b) da figura acima.

Definição 3.3Seja f uma função definida no intervalo (c,a), com c < a. Diz-se que o número L1 é o limitelateral de f (x), quando x tende a a pela esquerda, denotado por lim

x→a−f (x) = L1, se

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < a− x < δ ⇒ | f (x)−L1|< ε.

Definição 3.4Seja f uma função definida no intervalo (a,d), a< d. Diz-se que o número L2 é o limite lateralde f (x) quando x tende a a pela direita, denotado por lim

x→a+f (x) = L2, se

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < x−a < δ ⇒ | f (x)−L2|< ε.

Teorema 3.7Se f é uma função definida numa vizinhança do ponto a, e L ∈ R, então

limx→a

f (x) = L se, e somente se, limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) = L.

Em outras palavras, o limite de uma função existe se, e somente se, os limites laterais existeme são iguais.

Nota

a. O limx→a

f (x) não existe nos seguintes casos:

i. algum dos limites laterais não existe;

ii. os limites laterais existem, porém, são diferentes.

b. Se a função f é definida por partes para x < a e para x > a, para encontrar o limx→a

f (x)é necessário calcular os seus respectivos limites laterais.

Exemplo 3.8

a. Seja a função f definida por:

f (x) =

x2, se x < 2;4, se x = 2;

8−2x, se x > 2.

Calculemos limx→2

f (x), caso exista.

SoluçãoComo f tem diferentes regras de correspondência para x < 2 e x > 2, precisamos calcularos limites laterais:

• Limite lateral quando x tende a 2 pela direita, isto é, 2 < x:

limx→2+

f (x) = limx→2+

(8−2x) = 8−4 = 4;

• Limite lateral quando x tende a 2 pela esquerda, isto é, x < 2:

limx→2−

f (x) = limx→2−

x2 = 22 = 4.

Comparando estes limites laterais, além deles existirem, ambos são iguais. Portanto, olimx→2

f (x) existe e

limx→2

f (x) = 4.

b. Seja a função f definida por:

f (x) = x

√1

4x2 −16

Calculemos limx→0

f (x), caso exista.

SoluçãoAnalisando f , temos que

f (x) = x

√1

4x2 −16 = x

√1−64x2

4x2 =x√

1−64x2

2|x|.

Logo, f pode ser reescrita por partes em 0 :

f (x) =

−√

1−64x2

2, se x < 0;

√1−64x2

2, se x≥ 0.

Então, para calcular limx→0

f (x), precisamos calcular os limites laterais:

• Limite lateral quando x tende a 0 pela esquerda, isto é, x < 0:

limx→0−

−√

1−64x2

2=−1

2;

• Limite lateral quando x tende a 0 pela direita, isto é, x > 0:

limx→0+

√1−64x2

2=

12.

Comparando estes limites laterais, observamos que embora eles existam, não são iguais.Portanto, o lim

x→2f (x) não existe.

c. Seja a função f definida por:

f (x) =√|x|+ b3xc

Calculemos limx→ 7

3

f (x), caso exista.

SoluçãoDesde que o máximo inteiro forma parte desta função, precisamos analisar os limiteslaterais numa vizinhança de 7

3 , porém 2 < 73 < 3, então analisemos:

• Limite lateral quando x tende a 73 pela esquerda e 2≤ x, ou seja, 2≤ x < 7

3 :Logo, 6≤ 3x < 7⇒ b3xc= 6 e |x|= x, daqui

limx→ 7

3−

√|x|+ b3xc= lim

x→ 73−

√x+6 =

5√

33

• Limite lateral quando x tende a 73 pela direita, e x < 3, ou seja, com 7

3 ≤ x < 3:Logo, 7≤ 3x < 8⇒ b3xc= 7 e |x|= x, daqui

limx→ 7

3+

√|x|+ b3xc= lim

x→ 73+

√x+7 =

√283.

Comparando esses limites laterais, observamos que embora eles existam, não são iguais.Portanto, o lim

x→ 73

f (x) não existe.

3.7 Limites no infinito

Antes de apresentar a definição exata desse conceito, consideremos a função f (x) = 1+1

x−2e seu

respectivo gráfico:

Analisando essa função, notamos que quando x cresce ilimitadamente, denotado por x→+∞, o valorde f (x) se aproxima de 1, ou seja,

limx→+∞

f (x) = 1,

e quando x decresce ilimitadamente, denotado por x→−∞, o valor de f (x) se aproxima também de1, ou seja,

limx→−∞

f (x) = 1.

Esses limites são conhecidos como limites no infinito.

Definição 3.5Sejam a, L ∈ R.

i. Se f : (a,+∞)→ R, diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende a +∞, denotado porlim

x→+∞f (x) = L, se

∀ε > 0, ∃N > 0 : x > N ⇒ | f (x)−L|< ε;

ii. Se f : (−∞,a)→ R, diz-se que L é o limite de f (x) quando x tende a −∞, denotado porlim

x→−∞f (x) = L, se

∀ε > 0, ∃M > 0 : x <−M ⇒ | f (x)−L|< ε.

A seguir apresentaremos propriedades aritméticas que nos ajudam com os cálculos de limites noinfinito.

Teorema 3.8Seja n ∈ N. Então:

limx→+∞

1xn = 0 e lim

x→−∞

1xn = 0.


Teorema 3.9Sejam c ∈ R uma constante, f e g duas funções definidas nos intervalos (a,+∞) e (b,+∞),respectivamente, com a, b ∈ R. Se

limx→+∞

f (x) = L e limx→+∞

g(x) = M,

então:

i. limx→+∞

c = c;

ii. limx→+∞

[c f (x)] = c[

limx→+∞

f (x)]= cL;

iii. limx→+∞

f (x)+g(x) = limx→+∞

f (x)+ limx→+∞

g(x) = L+M;

iv. limx→+∞

f (x)−g(x) = limx→+∞

f (x)− limx→+∞

g(x) = L−M;

v. limx→+∞

f (x) ·g(x) = limx→+∞

f (x) · limx→+∞

g(x) = L ·M;

vi. Se M 6= 0, então:

limx→+∞

1g(x)

=1

limx→+∞

g(x)=

1M

e limx→+∞

f (x)g(x)

=lim

x→+∞f (x)

limx→+∞

g(x)=

LM.

Nota

a. Quando x→−∞ as propriedades são estabelecidas de forma análoga às apresenta-das no resultado anterior.

b. Quando temos que calcular os limites no infinito de uma função racional na prática,podemos dividir tanto o numerador como o denominador pela maior potência de x dodenominador que aparecer na expressão dada. Logo, é aplicado o critério do Teorema3.8.

Exemplo 3.9Calculemos os seguintes limites no infinito:

a. limx→+∞

7x2−8x+25x2 +3x−3

SoluçãoPela observação anterior, dividimos o numerador e o denominador por x2 (maior potênciado denominador) e obtemos:

limx→+∞

7x2−8x+25x2 +3x−3

= limx→+∞

7− 8x+

2x2

5+3x− 3

x2

=

limx→+∞

(7− 8

x+

2x2

)lim

x→+∞

(5+

3x− 3

x2

) =7−0+05+0−0

=75.

b. limx→−∞

12−3x+6x4

1+ x6


SoluçãoNesse caso, dividimos o numerador e o denominador por x6 e obtemos:

limx→−∞

12−3x+6x4

1+ x6 = limx→−∞

12x6 −

3x5 +

6x2

1x6 +1

=

limx→−∞

(12x6 −

3x5 +

6x2

)lim

x→−∞

(1x6 +1

) =0−0+0

0+1= 0.

c. limx→+∞

12x+63−4x

SoluçãoDividimos o numerador e o denominador por x e obtemos:

limx→+∞

12x+63−4x

= limx→+∞

12+6x

3x−4

=

limx→+∞

(12+

6x

)lim

x→+∞

(3x−4) =

12+00−4

=−3.

d. limx→−∞

√x2−2x+4+ x

SoluçãoPara que possamos aplicar a metodologia dos exemplos anteriores, precisamos expressara função como um quociente e, para isso, devemos racionalizar, isto é:

limx→−∞

√x2−2x+4+ x = lim

x→−∞

(√x2−2x+4+ x

)(√x2−2x+4− x

)√

x2−2x+4− x

= limx→−∞

x2−2x+4− x2√

x2−2x+4− x= lim

x→−∞

−2x+4√x2−2x+4− x

.

Desde que, x considera valores negativos que tendem para −∞, podemos dividir por x =−√

x2, e obteremos:

limx→−∞

−2x+4√x2−2x+4− x

= limx→−∞

−2+4x

−√

1− 2x+

4x2 −1

=−2+0

−√

1−0+0−1= 1.

Portanto, limx→−∞

√x2−2x+4+ x = 1.

e. limx→+∞

√x+√

x+√

x+3√

x+3

SoluçãoObservamos que x considera valores positivos, assim, dividimos o numerador e o denomi-nador por

√x e obtemos:

limx→+∞

√x+√

x+√

x+3√

x+3= lim

x→+∞

√√√√1+

√1x+

√1x3 +

3x4√

1+3x

=

√1+√

0+√

0+0√

1+0= 1.

3.8 Limites infinitos

Antes de apresentar a definição exata desse conceito, consideremos novamente a função f (x) = 1+1

x−2e seu respectivo gráfico:

Analisando essa função, notamos que quando x tende a 2 pela direita, f (x) cresce ilimitadamente, ouseja,

limx→2+

f (x) = +∞,

e quando x tende a 2 pela esquerda, f (x) decresce ilimitadamente, ou seja,

limx→2−

f (x) =−∞.

Esses tipos de limites são conhecidos como limites infinitos.

Definição 3.6Sejam a ∈ R e uma função f :

i. Diz-se que o limite de f (x) é +∞ quando x tende ao ponto a, denotado por limx→a

f (x) =+∞,se

∀K >> 0, ∃δ > 0 : 0 < |x−a|< δ ⇒ f (x)> K.

ii. Diz-se que o limite de f (x) é−∞ quando x tende ao ponto a, denotado por limx→a

f (x) =−∞,se

∀M >> 0, ∃δ > 0 : 0 < |x−a|< δ ⇒ f (x)<−M.

Neste caso, também são definidos os seguintes limites laterais:

limx→a+

f (x) = +∞, limx→a−

f (x) = +∞, limx→a−

f (x) =−∞, limx→a+

f (x) =−∞.

Nota

a. Desde que os símbolos +∞ e −∞ não são números reais, nenhum dos limites infini-tos existem.

b. O termo o limite existe será usado somente quando o limite é um número real.

Teorema 3.10Seja n ∈ N. Então:

limx→0+

1xn =+∞ e lim

x→0−

1xn =

{−∞, se n é ímpar;+∞, se n é par.

Exemplo 3.10Alguns casos particulares do Teorema 3.10 são:

limx→0+

1x5 =+∞, lim

x→0+

1x4 =+∞, lim

x→0−

1x3 =−∞, lim

x→0+

1x6 =+∞.

O seguinte resultado apresenta algumas propriedades que nos permitem calcular limites infinitos.

Propriedades dos limites infinitosSejam a, M ∈ R, com M 6= 0, tal que:

limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = M.

a. Se M > 0 e f (x) tende a 0, através de valores positivos, então,

limx→a

g(x)f (x)

= +∞;

b. Se M > 0 e f (x) tende a 0, através de valores negativos, então,

limx→a

g(x)f (x)

=−∞;

c. Se M < 0 e f (x) tende a 0, através de valores positivos, então,

limx→a

g(x)f (x)

=−∞;

d. Se M < 0 e f (x) tende a 0, através de valores negativos, então,

limx→a

g(x)f (x)

= +∞.

Exemplo 3.11Seja a função f definida por:

f (x) =4x3−1

2− x− x2 .

Calculemos limx→1−

f (x) e limx→1+

f (x).

Solução

Quando avaliamos f (x) para x = 1, observamos que f (1) =30

. Das propriedades vistas acima,podemos concluir que os dois limites desejados são infinitos. Porém, precisamos estabelecer osinal de cada um deles. Para determinar isto, fatoramos o denominador e analisamos se f (x) seaproxima a 0 por valores positivos ou negativos. Assim:

• limx→1

(4x3−1) = 3 > 0.

• limx→1

(2− x− x2) = limx→1

(1− x)(x+2), porém:

i. Se x→ 1− (muito próximo a 1), então x < 1: 1− x > 0 e x+ 2 > 0. Logo, limx→1−

(1−

x)(x+2) = 0+, ou seja, (1− x)(x+2)→ 0 por valores positivos.ii. Se x→ 1+ (muito próximo a 1), então 1 < x: 1− x < 0 e x+ 2 > 0. Logo, lim

x→1+(1−

x)(x+2) = 0−, ou seja, (1− x)(x+2)→ 0 por valores negativos. Portanto,

limx→1−

4x3−12− x− x2 =

30+

=+∞ e limx→1+

4x3−12− x− x2 =

30−

=−∞.


a. limx→2+

x+2x2−4

Solução

limx→2+

x+2x2−4

= limx→2+

��x+2(x−2)��(x+2)

= limx→2+

1x−2

=+∞.

b. limx→4−

√16− x2

x−4

Solução

limx→4−

√16− x2

x−4= lim

x→4−

16− x2

(x−4)√

16− x2= lim

x→4−

(4− x)(4+ x)

(x−4)√

16− x2

= − limx→4−

4+ x√16− x2

=− 80+

=−∞.

c. limx→4−

bxc−4x−4

SoluçãoDesde que x→ 4−, temos x ∈ [3,4)⇒ bxc= 3, logo,

limx→4−

bxc−4x−4

= limx→4−

3−4x−4

= limx→4−

−1x−4

=− 10−

=+∞.

3.9 Limites infinitos no infinito

Da mesma forma que os limites em números reais, os limites no infinito podem deixar de existir,por exemplo, quando valores de f (x) crescerem ou descrescerem ilimitadamente quando x→+∞ oux→−∞. Para formalizar esse conceito, temos a seguinte definição.

Definição 3.7Seja f uma função. Se Dom( f ) contém algum intervalo da forma (a,+∞), então:

i. limx→+∞

f (x) = +∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f (x)> K;

ii. limx→+∞

f (x) =−∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x > M ⇒ f (x)<−K;

iii. limx→−∞

f (x) = +∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x <−M ⇒ f (x)> K;

iv. limx→−∞

f (x) =−∞ ⇔ ∀K� 0, ∃M > 0 : x <−M ⇒ f (x)<−K.

O item i dessa definição significa que para valores de x grandes suficiente (positivos), os valorescorrespondentes a f (x) também serão grandes (positivos). Os itens ii, iii e iv são interpretados deforma análoga.

Agora, apresentamos as seguintes propriedades de limites infinitos no infinito.

Teorema 3.11Sejam f e g duas funções, onde f verfica:

limx→±∞

f (x) =±∞

i. Se limx→±∞

g(x) =±∞, então,

limx→±∞

( f (x)+g(x)) =±∞ e limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =±∞;

ii. Se limx→±∞

g(x) =∓∞, então,

limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =∓∞.

iii. Se limx→±∞

g(x) = L, então,

limx→±∞

( f (x)+g(x)) =±∞;

iv. Se limx→±∞

g(x) = L, L > 0, então,

limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =±∞ e limx→±∞

f (x)g(x)

=±∞;

v. Se limx→±∞

g(x) = L, L < 0, então,

limx→±∞

( f (x) ·g(x)) =∓∞ e limx→±∞

f (x)g(x)

=∓∞;

NotaO Teorema 3.11 pode ser resumido da seguinte forma, dada uma constante k, temos que:

a. k+(+∞) = +∞ b. k+(−∞) =−∞

c. (+∞)+(+∞) = +∞ d. (−∞)+(−∞) =−∞

e. (+∞)(+∞) = +∞ f. (−∞)(−∞) = +∞

g. (+∞)(−∞) =−∞ h.k±∞

= 0

i. (+∞)n =+∞, n ∈ Z+ j. (−∞)n=

{+∞, se n é par positivo;−∞, se n é ímpar positivo;

k. k(+∞) =

{+∞, se k > 0;−∞, se k < 0; l. k(−∞) =

{−∞, se k > 0;+∞, se k < 0.

NotaSejam P(x) = a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an e Q(x) = b0xm + b1xm−1 + · · ·+ bm dois polinômiosde grau n e m, respectivamente, então:

a. limx→±∞

P(x) = limx→±∞

(a0xn +a1xn−1 + · · ·+an) = limx→±∞

a0xn;

b. limx→±∞

P(x)Q(x)

= limx→±∞

a0xn +a1xn−1 + · · ·+an

b0xm +b1xm−1 + · · ·+bm=

∞ se n > m;

a0

b0se n = m;

0 se n < m.


a. limx→+∞

(−8x12 +5x7−5x3 +2x−67)

Soluçãolim

x→+∞(−8x12 +5x7−5x3 +2x−67) = lim

x→+∞(−8x12) =−∞.

b. limx→−∞

7x9−456x5−67001000x3−1

Solução

limx→−∞

7x9−456x5−67001000x3−1

= limx→−∞

7x9

1000x3 = limx→−∞

7x6

1000=+∞.

c. limx→+∞

√x2 +9x+4

SoluçãoO limite é da forma ∞/∞. Dividimos o numerador e o denominador por x =

√x2, x > 0 ,

obtemos limx→+∞

√x2 +9x+4

= limx→+∞

√x2 +9√

x2

x+4x

= limx→+∞

√1+

9x2

1+4x

= 1.

d. limx→−∞

√x2 +9x+4

SoluçãoEsse limite é da forma ∞/∞. Logo, precisamos dividir o numerador e o denominador porx =−

√x2, x < 0, obtendo

limx→−∞

√x2 +9x+4

= limx→−∞

√x2 +9

−√

x2

x+4x

= limx→−∞

−√

1+9x2

1+4x

=−1.

e. limx→−∞

(√

4x2−3x−2x)

SoluçãoDevido ao fato que lim

x→−∞

√4x2−3x = lim

x→−∞4√

x2 =+∞ e limx→−∞

2x =−∞, temos que

limx→−∞

(√

4x2−3x−2x) = (+∞)− (−∞) = +∞.

f. limx→+∞

(√

4x2−3x−2x)

SoluçãoEsse limite é da forma ∞−∞, logo, precisamos racionalizá-lo.

limx→+∞

(√

4x2−3x−2x) = limx→+∞

−3x√4x2−3x+2x

= limx→+∞

−3√4− 3

x+2

=−34.

3.10 Assíntotas

Definição 3.8Diz-se que a reta L é uma assíntota do gráfico y = f (x) se a distância entre a reta L e o pontoA que se movimenta ao longo do gráfico y = f (x), tende a zero quando A tende ao infinito. Emoutras palavras,

limA→∞

Dist(L,A) = 0.


Proposição 3.1A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico y = f (x) se alguma das seguintes condições forverificada:

i. limx→a

f (x) =±∞;

ii. limx→a+

f (x) =±∞;

iii. limx→a−

f (x) =±∞.

Proposição 3.2A reta y = c é uma assíntota horizontal do gráfico y = f (x) se uma das seguintes condições forverificada:

i. limx→+∞

f (x) = c;

ii. limx→−∞

f (x) = c.


Proposição 3.3A reta y = mx+b, m 6= 0 é uma assíntota oblíqua do gráfico y = f (x) se, e somente se, uma dasseguintes condições for verificada:

i. limx→+∞

f (x)x

= m e limx→+∞

( f (x)−mx) = b;

ii. limx→−∞

f (x)x

= m e limx→−∞

( f (x)−mx) = b.

Nota

a. Se ao calcular os valores de m e b (quando x→+∞) um dos limites não existe, a curvanão apresenta assíntotas oblíquas à direita. De forma análoga, se m ou b não existe,quando x→−∞, então a curva não apresenta assíntotas oblíquas à esquerda.

b. Se m = 0 e b é finito, a assíntota é horizontal.

c. Se uma função f (x) é fracionária, as possíveis assíntotas verticais são obtidas nosvalores de x que anulam o denominador de f (x). Se esses valores existem, devemoscomprovar se o seu limite é infinito.

Exemplo 3.14Encontremos as assíntotas, da função f definida por:

a. f (x) =x2 +9x−3

Soluçãoi. Assíntotas verticais: observamos que x = 3 é um zero do denominador, e

limx→3−

x2 +9x−3

=−∞ e limx→3+

x2 +9x−3

=+∞.

Logo, x = 3 é uma assíntota vertical.


ii. Assíntotas horizontais: encontremos c ∈ R tal que c = limx→±∞

f (x).

limx→±∞

x2 +9x−3

=±∞

Porém, +∞ e −∞ não são números reais, então não existem assíntotas horizontais.iii. Assíntotas oblíquas: dada a reta y = mx+b encontremos m e b definidos na proposi-

ção acima, ou seja,

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→±∞

x2 +9x2−3x

= 1

b = limx→±∞

( f (x)−mx) = limx→±∞

x2 +9x−3

− x = limx→±∞

3x+9x−3

= 3.

Logo, a assíntota oblíqua é a reta y = x+3.

b. f (x) =x2 +1x−1

+ 3√

x

Soluçãoi. Assíntotas verticais: observamos que x = 1 é um zero do denominador, e

limx→1−

(x2 +1x−1

+ 3√

x)=−∞. e lim

x→1+

(x2 +1x−1

+ 3√

x)=+∞.

Então, x = 1 é uma assíntota vertical.ii. Assíntota horizontal: encontremos c ∈ R tal que c = lim

x→±∞f (x).

limx→±∞

(x2 +1x−1

+ 3√

x)=±∞.

Portanto, f não tem assíntotas horizontais.iii. Assíntotas oblíquas:

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→±∞

(x2 +1x2− x

+3√

xx

)= 1;

b = limx→±∞

( f (x)−mx) = limx→±∞

(x2 +1x−1

+ 3√

x− x)=±∞.

Logo, não existe assíntota oblíqua.

Exemplo 3.15Encontremos as assíntotas e o gráfico da função f definida por:

a. f (x) =2x2−5x−3

x−1

Solução

Fatorando os termos de f , temos que f (x) =(2x−1)(x−3)

x−1. Logo, Dom( f ) = R\{1}.

i. Interseção com os eixos:1. Eixo y : x = 0 então f (0) = 3, assim, (0,3) é um ponto de interseção.


2. Eixo x : f (x) = 0, então x1 =−12 , x2 = 3, assim, (−1

2 ,0), (3,0) são os pontos deinterseção.

ii. Assíntotas verticais: x = 1 é um zero do denominador e

limx→1−

2x2−5x−3x−1

=+∞ e limx→1+

2x2−5x−3x−1

=−∞.

Portanto, a reta x = 1 é assíntota vertical e Dom( f ) = R\{1}.

iii. Assíntotas horizontais: não existem devido a que

limx→±∞

2x2−5x−3x−1

=±∞.

iv. Assíntotas oblíquas:

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→±∞

2x2−5x−3x(x−1)

= 2.

Por outro lado,

f (x)−mx =2x2−5x−3

x−1−2x =

2x2−5x−3−2x2−3x−1

=−3x−3

x−1.

Assim,

b = limx→±∞

( f (x)−mx) = limx→±∞

−3x−3x−1

=−3.

Portanto, a reta y = 2x−3 é uma assíntota oblíqua do gráfico de y = f (x). O gráficoé apresentado no item (a) da figura abaixo.

b. f (x) = 3√

x3−3x2−9x+27

SoluçãoFatorando os termos dentro da raiz, temos que f (x) = 3

√(x−3)2(x+3). Logo, Dom( f ) =

R.

i. Interseções com os eixos:1. Eixo y : x = 0 então f (0) = 3, assim (0,3) é um ponto de interseção.2. Eixo x : f (x) = 0 então x1 = −3, x2 = 3, assim (−3,0), (3,0) são os pontos de

interseção.ii. Assíntotas verticais: desde que f não possui denominador, então não existem assín-

totas verticais.


iii. Assíntotas horizontais: não existem, devido a que

limx→±∞

3√

x3−3x2−9x+27 =±∞.

iv. Assíntotas oblíquas:

m = limx→±∞

f (x)x

= limx→±∞

3√

x3−3x2−9x+27x

= 1;

b = limx→±∞

( f (x)−mx) = limx→±∞

3√

x3−3x2−9x+27− x =−1.

Portanto, a reta y = x− 1 é uma assíntota oblíqua do gráfico y = f (x). O gráfico éapresentado no item (b) da figura acima.

3.11 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos o conceito de limite com o intuito de que o aluno entenda a importânciado assunto e, assim, dar continuidade ao nosso estudo. Porém, para definir o limite foi necessárioconhecer a definição de vizinhanças e bolas abertas, por tal motivo o capítulo foi iniciado com essesconceitos.

Nas seções subsequentes, as principais propriedades e leis sobre limites foram apresentadas. Desdeque a obtenção de um limite não é sempre direta, isto é, avaliando a função no ponto em questão, adefinição de limites laterais foi introduzida.

Dando continuidade ao nosso estudo, também foram considerados os casos onde o ponto em questãocresce ou decresce ilimitadamente, tal assunto é conhecido como limites ao infinito. O conceito delimites infinitos foi apresentado para definir o fato em que o limite solicitado tende a +∞, ou −∞

quanto mais próximo se esteja do ponto em questão.

Desde que essa teoria analisa os pontos onde a função estudada tem um comportamento crítico, foinecessário complementá-la com a introdução da definição das assíntotas verticais, horiozontais e/ouoblíquas, já que esse conceito estabelece, caso elas existam, o comportamento da função próximadelas.

Diversos exemplos foram apresentados ilustrando todos esses conceitos.

No próximo capítulo, apresentaremos as noções básicas de continuidade, uma teoria totalmente de-pendente do domínio de limites. A continuidade é uma das ideias mais importantes e mais fascinantesde toda a matemática, pois apesar da palavra contínua parecer intuitivamente clara, não é fácil ima-ginar uma boa definição para tal ideia.

3.12 Atividades

1. Aplicando a definição de limite, demonstre os seguintes limites:

i. limx→2

(3x2− x−2) = 8. ii. limx→3

4x−2

= 4. iii. limx→7

x+19x−60

=83

.

iv. limx→1

x+1√x

= 2. v. limx→−7

3xx+8

=−21. vi. limx→1

|2− x|3x−1

=12

.


vii. limx→64

√x−1

3√

x+3= 1. viii. lim

x→ 12

bxcx+1

= 0. ix. limx→0

√4x2 +1 = 1.

x. limx→−1

4x2 +13x+2

=−5. xi. limx→−3

√−4x−3x+2

=−3. xii. limx→5

4xx+3

= 10.

2. Calcule os seguintes limites:

i. limx→4

3x2−17x+204x2−25x+36

. ii. limx→1

x5−1x6−1

.

iii. limx→1

2x2n +1−3x−2n

3x2n−5+2x−2n . iv. limx→2

3x−61−√

4x−7.

v. limx→4

3−√

5+ x1−√

5− x. vi. lim

x→64

√x−8

3√

x−4.

vii. limx→8

√2+ 3√

x−2x−8

. viii. limx→5

2−√

x−1

1− 3√

3−√

x−1.

ix. limx→20

2 4√

x−4−45√

x+12−2. x. lim

x→2

x2 + 3√

x−2−43√

4− x√

3x−2.

xi. limx→1

|x3−1||x−1|+ |x−1|2

. xii. limx→3

2x3−5x2−2x−34x3−13x2 +4x−3

.

xiii. limx→2

23x−6

− 22x2−5x+2

. xiv. limx→−3

x3 +6x2 +9xx3 +5x2 +3x−9

.

xv. limx→3

√x2−2x+6−

√x2 +2x−6

x2−4x+3. xvi. lim

x→−3

√−x+6−3

x2−√−x−2− 3

√x2−1+2x

.

xvii. limx→1

3√

3x2+x+4+√

x2+5x+10−6x2

3√√

x+3+6+√

x+8−5x2. xviii. lim

x→1

3√

(x2 +1)2−2 3√

2x2 +2+ 3√

4(x−1)2 .

xix. limx→1

√x3 +3

√x−3x−1

x+3 3√

x−3 3√x2−1.

3. Se f (x) =x2−mx+3x−3m

x−m, encontre os valores de m, de modo que lim

x→mf (x) = m2−17.

4. Se limx→1

f (x)1− x3 = 4 e lim

x→1

g(x)1− x2 =−6, calcule lim

x→1

f (x)g(x)

.

5. Se limx→−2

f (x+2)√−2x−2

= 8 e limx→−2

g(x+2)x2−4

= 3, calcule limx→0

f (x)g(x)

.

6. Se limx→1

k√

x−1x−1

= L 6= 0, encontre limx→0

√x+1−1

k√

x+1−1.

7. Calcule os limites indicados, se existirem:

i. limx→2

f (x), onde

f (x) =

x2−4x−2

, se x 6= 2;

5, se x = 2.

ii. limx→0

f (x) e limx→1

f (x), onde f (x) =x+ |1− x|

x2 +1.

iii. limx→2

f (x), onde

f (x) ={

x2, se x≤ 2;8−2x, se x > 2.

iv. limx→2

f (x), onde

f (x) =

6x− x2, se x < 2;

6, se x = 2;2x2− x−3, se x > 2.

v. limx→1+

( 36√

x−1− 9√

x−13x2−3+ 36

√x−1

)(x3/2−1+

√x−1√

x2−1

).

vi. limx→−1−

5 5√

x+2−4 4√−1−2x+3

√2+ x−2

√−1−2x+5x+3

x2 + x.

vii. limx→ 5

3

√|x|+ b3xc+4.

viii. limx→ 5

3

√b9+ x2c.

ix. limx→1

x3− x2 +3x−3|x−1|

.

x. limx→6

x2−⌊x

3

⌋b2xc+10

.

xi. limx→−1+

√−9x+ 3

√x−2

x+1.

8. Calcule os seguintes limites no infinito:

i. limx→+∞

4x3 +2x2−5x+2−8x3 . ii. lim

x→+∞

2x+3x+ 3√

x.

iii. limx→+∞

√4+ x+ x2− x

x2 . iv. limx→−∞

(√x2−2x+4+ x

).

v. limx→+∞

(√x2−5x+6− x

). vi. lim

x→+∞

(√16x2+8x+6−

√16x2−8x−6

).

vii. limn→+∞

1+2+3+ . . .+nn2 . viii. lim

x→+∞

5

√(5−√

x)(√

x+3)243x−11

.

ix. limx→−∞

(√x2 + x−

√x2 +5

). x. lim

x→+∞

(√4x+

√4x+

√4x−2

√x)

.

xi. limx→−∞

(3√

x3− x2 +1+ 3√

x4− x3 +1)

. xii. limx→+∞

3√

x3 +6x2−16− x√x2 +2x+1−

√x2− x

.

9. Calcule os seguintes limites infinitos:

i. limx→2+

x+2x2−4

. ii. limx→4−

√16− x2

x−4.

iii. limx→−2−

3x2−7x+6x2 + x−6

. iv. limx→2

(1

x−2− 3

x2−4

).

10. Calcule o limite indicado:

i. limx→1

[1

1− x− 1

x2−2x−1

]. ii. lim

x→−∞

(x√

x2 +1− x2)

.

iii. limx→2−

√4− x2

x2 +1. iv. lim

x→+∞

[x3 +1x2 +1

+√

x2 +2−2x]

.

v. limh→0

√h2 +2h+4+ 3

√h3 +3h2 +3h−8+6h

h√

h+1−h

11. Encontre as assíntotas do gráfico da função f , e trace o gráfico mostrando as assíntotas.

i. f (x) =√

1+ x2 +2x. ii. f (x) =1− x2

x2−4.

iii. f (x) =x−5

x2−7x+10. iv. f (x) =

√x2 + x− x.

v. f (x) =

√9x2−6x−8

16x2 +4x−6. vi. f (x) = 4

√x4− x3−9x2 +9x.

vii. f (x) =3x3 +3x+1x2 + x−6

+√

x2 +4. viii. f (x) =

x

√2+ x2− x

, se |x|< 2;

2x2

x2 + x, se |x| ≥ 2.

ix. f (x) =

x2

√1− x2

, se |x|< 1;

3x2x+1

+3x, se |x| ≥ 1.x. f (x) =

√

x2 + x− x, se |x| ≥ 9;x2−81x2−9x

, se |x|< 9 e x 6= 0.

12. Calcule as constantes a e b, de modo que se verifique a condição:

i. limx→+∞

(x2−3 3

√x2 +1+3

x−3−ax−b

)= 0 ;

ii. limx→−∞

(x2 +3 3

√x2 +1+5

x+3−ax−b

)= 0 ;

iii. limx→+∞

(5x3− 4

√x8 +1− 3

√x6 +1+1

x2−4−ax−b

)= 0.


Capítulo 4

Continuidade


4.2 Noção intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5 Propriedades de funções continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6 Continuidade de funções em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7 Teorema de valor intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.8 Funções inversas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.9 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110



• Interpretar geometricamente a definição de continuidade de uma função;

• Compreender o conceito de continuidade de uma função em um ponto;

• Determinar a partir do gráfico de uma função se esta é contínua ou não;

• Provar se una função é contínua ou não em um ponto dado, e no seu domínio todo.

4.1 Introdução

O conceito de continuidade em matemática é o que utilizamos no nosso cotidiano, isto é, continuidadeimplica numa ligeira variação da função, sem saltos bruscos que desequilibrem o gráfico. Geometri-camente, uma função f é contínua no seu domínio quando seu gráfico não tem quebras ou espaçosem nenhum ponto que pertença ao domínio. Isto é, seu gráfico pode ser traçado sem tirar o lápis dopapel.

Quando o cálculo começou a ser desenvolvido, a maioria das funções eram contínuas e, portanto, nãose sentia a necessidade de se aprofundar quanto ao significado exato de continuidade. Foi em meados


do século XVIII que se apresentaram algumas funções descontínuas em conexão com os problemasda física, fato que obrigou os matemáticos no início do século XIX a examinar cuidadosamente osignificado dos conceitos de função e continuidade. Embora o significado de “continuidade” pareçaclaro atualmente, não era fácil imaginar uma boa definição naquela época. Somente em 1821, foiapresentada uma definição satisfatória de continuidade usando o conceito de limite. Esta abordageme suas principais propriedades serão expostas a seguir.

4.2 Noção intuitiva

Consideremos uma função f e um ponto c∈R. Intuitivamente, quando falamos de uma função contí-nua podemos entender que o gráfico da função f pode ser descrito como uma curva contínua que nãoapresenta quebras ou espaços. Para tornar essa ideia mais precisa, necessitamos compreender em quecasos poderiam acontecer essas quebras ou espaços. Na figura a seguir esses casos são apresentados.

• A função f não está definida em a. Veja o item (a);

• O limite de f (x) não existe quando x tende a a. Veja os itens (b) e (c);

• O valor da função e o valor do limite em a são diferentes. Veja o item (d).

(a) (b) (c) (d)

a

y

x

y = f(x)

Agora, apresentamos a definição formal desse conceito.

4.3 Definição formal

Definição 4.1Sejam f : R→ R uma função, A ⊂ R e a ∈ A. Diz-se que f é contínua em a se as seguintescondições são verificadas:

i. f (a) existe, ou seja, a ∈ Dom( f );

ii. limx→a

f (x) existe;

iii. limx→a

f (x) = f (a).

Diz-se que f é descontínua em a se alguma dessas condições não é verificada em a.Além disso, diz-se que f é contínua em A se ela é contínua para todo a ∈ A.

Nota

a. Diz-se que f é contínua no ponto a ∈ Dom( f ) quando é possível tornar f (x) arbitrari-amente próxima de f (a), desde que se tome x suficientemente próximo de a.

b. Ao contrário da definição de limite (veja o capítulo anterior), só faz sentido indagar sef é contínua no ponto a quando a ∈ Dom( f ).

c. Ao investigar a continuidade de uma função f em um ponto ou em um conjunto, éfundamental ter sempre em conta o domínio de f .

Exemplo 4.1

a. Seja a função

f (x) ={

3x−4, se x 6= 3;5, se x = 3.

Determinemos se f é contínua em 3.

Soluçãoi. Da definição de f temos que f (3) = 5. Logo, f (3) existe, isto é, 3 ∈ Dom( f );

ii. Lembremos que limx→3

f (x) existe se, e somente se, limx→3−

f (x) = limx→3+

f (x). Então, ana-

lisemos esses limites laterais:

limx→3−

f (x) = limx→3−

(3x−4) = 5 e limx→3+

f (x) = limx→3+

(3x−4) = 5.

Assim, limx→3

f (x) existe e é igual a 5.

iii. Logo, limx→3

f (x) = 5 = f (3).

Portanto, pela Definição 4.1, f é contínua em 3; veja o item (a) da seguinte figura.

y y

x x x

(a) (b) (c)

y = f(x)y = f(x) y = f(x)

43 3

5

8

3

4

2

b. Seja a função

f (x) =

2x2−32

x2−2x−8, se −1 < x < 10 e x 6= 4;

83, se x = 4.

Determinemos se f é contínua em 4.

Solução

i. Da definição de f temos que f (4) =83

. Então, f (4) existe;

ii. limx→4

f (x) = limx→4

2x2−32x2−2x−8

= limx→4

2��(x−4)(x+4)(x+2)��(x−4)

= 2(

limx→4

x+4x+2

)=

83

;

iii. Assim, limx→4

f (x) =83= f (4).

Portanto, pela Definição 4.1, f é contínua em 4; veja o item (b) da figura acima.

c. Dada a função

f (x) =

x2−2, se −2 < x≤ 1;

x+1, se 1 < x≤ 3;

2√

x−3+4, se 3 < x.

Determinemos se f é contínua em 1 e 3.

Solução• Analisemos a continuidade em 1:

i. Da definição de f , vemos que f (1) =−1. Assim, f (1) existe;ii. Para afirmar que lim

x→1f (x) existe, analisemos os limites laterais neste ponto:

limx→1−

f (x) = limx→1−

(x2−2) =−1 e limx→1+

f (x) = limx→1+

(x+1) = 2.

Embora esses limites laterais existam, eles não são iguais, logo, concluímos quelimx→1

f (x) não existe.

Portanto, f não é contínua em 1 ou, em outras palavras, f é descontínua em 1.• Analisemos a continuidade em 3:

i. Da definição de f , vemos que f (3) = 4. Assim, f (3) existe;ii. Para afirmar que lim

x→3f (x) existe, analisemos os limites laterais:

limx→3−

f (x) = limx→3−

(x+1) = 4 e limx→3+

f (x) = limx→3+

(2√

x−3+4) = 4.

Desde que ambos limites laterais existem e são iguais, concluímos que existelimx→3

f (x) e é igual a 4.

iii. Dos resultados prévios, concluímos que limx→3

f (x) = 4 = f (3).

Portanto, pela Definição 4.1, a função f é contínua em 3; veja o item (c) da figura acima.

4.4 Tipos de descontinuidade

No caso de uma função não ser contínua em um determinado ponto, podemos classificar esta situaçãocomo:


Descontinuidade evitável ou removívelDiz-se que a função f : R→ R tem descontinuidade evitável ou removível em a se:

i. o número limx→a

f (x) existe;

ii. a 6∈ Dom( f ). Veja o item (a) da figura a seguir;

iii. a ∈ Dom( f ), porém limx→a

f (x) 6= f (a). Veja o item (b) da figura a seguir.

(b)

x

y

a

y = f(x)

Logo, podemos evitar ou remover a descontinuidade de f definindo a nova função:

F(x) =

{f (x), se x 6= a;

limx→a

f (x), se x = a.

Notemos que essa função está definida em x = a e limx→a

F(x) = F(a). Portanto, ela é uma função

contínua. F é chamada de extensão contínua de f em a.

Descontinuidade não evitável ou irremovível

Descontinuidade de primeira espécieDiz-se que a função f : R→R tem descontinuidade de primeira espécie em a se os limiteslaterais

limx→a−

f (x) e limx→a+

f (x)

existem, ou seja, são finitos, porém, diferentes; veja o item (a) da figura a seguir.

(b)

x

y

a

y = f(x)

(a)

x

y

a

y = f(x)

Descontinuidade de segunda espécieDiz-se que a função f : R→R tem descontinuidade de segunda espécie em a, se lim

x→af (x)

não existe, ou seja, se algum dos limites laterais é ±∞; veja o item (b) da figura acima.

Exemplo 4.2Determinemos os valores de x para os quais a função f é descontínua, e verifiquemos se nesses pontosa descontinuidade é removível ou não.

a. f (x) =x4−81x2−9

SoluçãoDa definição de f , observamos que ela pode ser reescrita como x2 +9, isto é,

f (x) =x4−81x2−9

=(x2 +9)��(x+3)��(x−3)

��(x+3)��(x−3)= x2 +9, com x 6=±3,

Porém, quando x→−3 e x→ 3 temos que:

limx→−3

f (x) = limx→−3

(x2 +9

)= 18 e lim

x→3f (x) lim

x→3

(x2 +9

)= 18.

Logo, x = −3 e x = 3 são pontos de descontinuidade evitáveis da função f . Portanto,podemos definir uma função contínua em todo ponto a partir da função f :

F(x) ={

x2 +9, se x 6=±3;18, se x =±3.

b. f (x) =x3−2x2−11x+12

x2−5x+4

SoluçãoNovamente, da definição de f , notamos que ela pode ser reescrita como x+3, ou seja,

f (x) =x3−2x2−11x+12

x2−5x+4=

��(x−4)��(x−1)(x+3)��(x−4)��(x−1)

= x+3, com x 6= 1, x 6= 4,

Porém, quando x→ 1 e x→ 4 temos que:

limx→1

f (x) = limx→1

(x+3) = 4 e limx→4

f (x) = limx→4

(x+3) = 7.

Então, x = 1 e x = 4 são pontos de descontinuidade evitável de f . Logo, podemos definiruma função contínua em todo ponto a partir da função f :

F(x) =

x+3, se x 6= 1, x 6= 4;

4, se x = 1;7, se x = 4.

c. f (x) =

2x+3, se x≤ 1;8−3x, se 1 < x < 3;x+3, se x≥ 3.

SoluçãoDesde que, f é uma função definida por partes, e todas essas partes são funções lineares,os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os pontos x = 1 e x = 3. Analisemosse f realmente é descontínua em algum destes pontos, e o tipo de descontinuidade:

• Para x = 1:i. f (1) = 5;

ii. limx→1

f (x) = 5. De fato:

limx→1−

f (x) = limx→1−

2x+3 = 5 e limx→1+

f (x) = limx→1+

(8−3x) = 5.

iii. limx→1

f (x) = 5 = f (1).

• Para x = 3:i. f (3) = 6;

ii. limx→3

f (x) não existe. De fato, analisando os limites laterais:

limx→3−

f (x) = limx→3−

(8−3x) =−1 e limx→3+

f (x) = limx→3+

(x+3) = 6.

notamos que, embora eles existam, são diferentes.

Portanto, a função f é contínua em x = 1 e tem descontinuidade de primeira espécie noponto x = 3.

d. f (x) =

x3−27sgn(x−1)

x3 +3x2 +3x−9⌊x

9

⌋ , se −5 < x < 0 e x 6=−3;

x2−9x2−2x−3

, se 0≤ x < 5 e x 6= 3;

94, se x =−3;

32, se x = 3.

SoluçãoExaminando a função f (x) para −5 < x < 0 temos que:

⌊x9

⌋=−1 e sgn(x−1) =

1, se x > 1;0, se x = 1;−1, se x < 1.

Assim, ela pode ser reescrita como:

f (x) =

x3 +27x3 +3x2 +3x+9

, se −5 < x < 0 e x 6=−3;

x2−9x2−2x−3

, se 0≤ x < 5 e x 6= 3;

94, se x =−3;

32, se x = 3.

Porém,

x3 +27x3 +3x2 +3x+9

=(x+3)(x2 +3x+9)

(x+3)(x2 +3)=

x2 +3x+9x2 +3

, com x 6=−3,

x2−9x2−2x−3

=(x−3)(x+3)(x−3)(x+1)

=x+3x+1

, com x 6= 3.

Então,

f (x) =

x2 +3x+9x2 +3

, se −5 < x < 0 e x 6=−3;

x+3x+1

, se 0≤ x < 5 e x 6= 3;

94, se x =−3;

32, se x = 3.

Agora, analisemos a continuidade de f em x =−3, x = 0 e x = 3.

• Para x =−3:

i. f (−3) =94

;

ii. limx→−3

f (x) existe. De fato,

limx→−3

f (x) =x3 +27

x3 +3x2 +3x+9=

94

;

iii. limx→−3

f (x) =94= f (−3).

• Para x = 0:i. f (0) = 3;

ii. limx→0


limx→0+

f (x) = limx→0+

x2−9x2−2x−3

= 3 e limx→0−

f (x) = limx→0−

x3 +27x3 +3x2 +3x+9

= 3;

iii. limx→0

f (x) = 3 = f (0).

• Para x = 3:

i. f (3) =32

;

ii. limx→3


limx→3

f (x) =x2−9

x2−2x−3=

32

;

iii. limx→3

f (x) =32= f (3).

Portanto, f é contínua em cada x ∈ (−5,5).

Embora a Definição 4.1 seja de fácil entendimento, devemos ressaltar que para as demostrações deresultados teóricos, precisamos usar a definição de continuidade em relação de ε e δ , isto é:

Definição 4.2Seja f : R→R uma função e um conjunto A⊂Dom( f ). Diz-se que f é contínua em a ∈ A se:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : x ∈ A e |x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|< ε.

Além disso, a função f é contínua em A, quando f é contínua para todo a ∈ A.

Exemplo 4.3

a. Dada a função f : R→ R definida por f (x) = k, onde k é uma constante. Provemos que f écontínua em R.

SoluçãoConsideremos a ∈ R arbitrário e ε > 0. Para qualquer δ > 0 e x ∈ R se tem:

|x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|= |k− k|= 0 < ε.

Logo, f é contínua no ponto a (veja a Definição 4.2). Como a foi escolhido arbitraria-mente, f é contínua em R.

b. Dada a função f : R→ R definida por f (x) = x2. Provemos que f é contínua em R.

SoluçãoConsideremos a ∈ R arbitrário e ε > 0. Precisamos resolver a desigualdade

| f (x)− f (a)|= |x2−a2|= |x−a||x+a| ≤ |x−a|(|x|+ |a|)< ε.

Considerando δ1 = 1, obtemos que |x−a|< δ1 = 1 implica que |x|< |a|+1. Substituindona desigualdade acima obtemos

| f (x)− f (a)| ≤ |x−a|(|x|+ |a|)≤ |x−a|(2|a|+1)< ε

assim obtemos que |x−a|< ε

2|a|+1= δ2. Logo

dadoε > 0, existe δ = min{

1,ε

2|a|+1

}> 0 tal que |x−a|< δ ⇒ | f (x)− f (a)|= ε.

Logo, f é contínua em R (veja a Definição 4.2).

4.5 Propriedades de funções continuas

O cálculo da continuidade pode ser simplificado com frequência usando o seguinte teorema, pois estenos proporciona as regras básicas das operações aritméticas envolvendo funções contínuas.


Teorema 4.1Sejam f e g duas funções reais contínuas no ponto a. Então

i. k · f é contínua em a, onde k é uma constante;ii. f ±g é contínua em a;

iii. f ·g é contínua em a;

iv.fg

é contínua em a, sempre que g(a) 6= 0;

v.1g

é contínua em a, sempre que g(a) 6= 0;

vi. | f | é contínua em a.

NotaDo Teorema 4.1, obtemos:

a. Toda função polinomial f (x) = a0xn +a1xn−1 + · · ·+an, a0 6= 0 é contínua em R.

b. Toda função racional g(x) =a0xn +a1xn−1 + · · ·+an

b0xm +b1xm−1 + · · ·+bmé contínua em Dom(g).

c. As afirmações recíprocas do Teorema 4.1 não necessariamente são verdadeiras. Porexemplo, pode acontecer de f + g ser contínua em a, sem que as funções f e g osejam. De fato, se considerarmos as funções f ,g,h : R→ R definidas por:

f (x) ={

0, se x≤ 0;1, se x > 0; g(x) =

{1, se x≤ 0;0, se x > 0; h(x) =

{−1, se x≤ 0;1, se x > 0;

não é difícil provar que são descontínuas em x = 0. Porém as funções

f (x)+g(x) = 1, f (x) ·g(x) = 0 |h(x)|= 1, ∀x ∈ R

são funções contínuas em R.

Os próximos resultados nos dizem que a propriedade da continuidade é conservada na composição defunções contínuas.

Teorema 4.2Sejam as funções reais f : A→ B⊆R e g : B→R. Se f é contínua em a ∈ A e g é contínua emb = f (a) ∈ B, então g◦ f é contínua em a.

Teorema 4.3Sejam as funções reais f : A→ B⊆ R e g : B→ R, com

i. Im( f )⊂ B;ii. lim

x→af (x) = b;

iii. g é contínua em b.

Então limx→a

g( f (x)) = g(

limx→a

f (x))= g(b).


Exemplo 4.4

a. Calculemos limx→3

√5x2 +4

SoluçãoConsiderando g(x) =

√x e f (x) = 5x2 + 4, temos que g( f (x)) =

√5x2 +4. Como

limx→3

f (x) = 49 e g é contínua no ponto x = 49, pelo Teorema 4.3 temos que:

limx→3

√5x2 +4 = lim

x→3g( f (x)) = g

(limx→3

f (x))= g(49) =

√49 = 7.

b. Demonstremos que para todo n ∈ N, limx→±∞

1xn = 0.

Solução

Considerando f (x) =1x

e g(x) = xn, verificamos que limx→±∞

f (x) = 0. Além disso, g é uma

função contínua para todo n ∈ N e (g◦ f )(x) = g( f (x)) =1xn , então, pelo Teorema 4.3,

temos que:

limx→±∞

1xn = lim

x→±∞g( f (x)) = g

(lim

x→±∞f (x)

)= g(0) = 0.

4.6 Continuidade de funções em intervalos

Ao consideramos o conjunto A sendo um intervalo aberto, obtemos a seguinte equivalência das Defi-nições 4.1 e 4.2:

Definição 4.3Seja a função f : (a,b)→ R. Diz-se que f é contínua em (a,b) se f é contínua em todox ∈ (a,b).

Desde que na Definição 4.1 se exige a existência dos limites laterais no ponto em questão, esta nãopode ser provada nos pontos extremos de um intervalo semiaberto ou fechado. Para contornar talsituação, precisamos dos conceitos de continuidade nos pontos da fronteira.

Definição 4.4

i. A função f é contínua pela direita em a se limx→a+

f (x) = f (a);

ii. A função f é contínua pela esquerda em a se limx→a−

f (x) = f (a).

Definição 4.5Seja a função f : (a,b]→ R. Diz-se que f é contínua em (a,b] se:

i. f é contínua em (a,b);

ii. f é contínua pela esquerda em b.


Definição 4.6Seja a função f : [a,b)→ R. Diz-se que f é contínua em [a,b) se:


ii. f é contínua pela direita em a.

Definição 4.7Seja a função f : [a,b]→ R. Diz-se que f é contínua em [a,b] se:


ii. f é contínua pela direita em a;

iii. f é contínua pela esquerda em b.

Exemplo 4.5

a. Seja f (x) = bxc, x ∈ R. Demonstremos que f é contínua pela direita em todo n ∈ Z e que nãoexiste lim

x→nf (x).

SoluçãoFixando um n ∈ Z, temos que provar que:

limx→n+

f (x) = f (n) e limx→n+

f (x) 6= limx→n−

f (x) =

Da definição de f (x) = bxc, temos que, para todo x ∈ [n,n+1):

bxc= n e limx→n+

f (x) = limx→n+bxc= lim

x→n+n = n.

Além disso, f (n) = n, o que implica que f (x) = bxc é contínua pela direita em n. Poroutro lado, para x ∈ [n−1,n) temos que

bxc= n−1 e limx→n−

f (x) = limx→n−bxc= lim

x→n−(n−1) = n−1.

Notamos que, embora esses limites laterais existam no ponto n, eles são diferentes. Por-tanto, lim

x→nf (x) não existe.

b. Seja f (x) =

√9− x2

x2−4, determinemos os intervalos onde f é contínua.

SoluçãoDa definição de f temos que Dom( f ) = [−3,−2) ∪ (2,3], logo, f é contínua em(−3,−2)∪ (2,3). Agora, analisemos a continuidade nos pontos x =−3 e x = 3. Como

limx→−3+

f (x) = 0 = f (−3) e limx→3−

f (x) = 0 = f (3),

podemos concluir que f é contínua em Dom( f ).

c. Seja

f (x) =

√9− x2

x2−4, se 2 < |x| ≤ 3;

sgn(x2−16)√|x|−

⌊x2

⌋ , se |x| ≤ 2 e x 6= 0;

4

√x2−9|2− x|

, se |x|> 3;

determinemos os intervalos onde f é contínua.

SoluçãoDa definição de f podemos reescrevê-la como:

f (x) =

4

√x2−92− x

, se x ∈ (−∞,−3);

√9− x2

x2−4, se x ∈ [−3,−2)∪ (2,3];

− 1√1− x

, se x ∈ [−2,0);

− 1√x, se x ∈ (0,2);

−1, se x = 2;

4

√x2−9x−2

, se x ∈ (3,+∞).

Daqui, temos que Dom( f ) = (−∞,−3)∪ [−3,−2)∪ [−2,0)∪ (0,2)∪{2}∪ (2,3]∪ (3,+∞) =R \ {0} e como f é definida por partes, devemos analisar a continuidade nos pontos x =−3, x = −2, x = 2 e x = 3. Nos outros pontos do domínio, ou seja, nos intervalos(−∞,−3),(−3,−2),(−2,0),(0,2),(2,3) e (3,+∞), a função f é contínua.

i. Para x =−3, temos que:

f (−3) = 0, limx→−3+

f (x) = limx→−3+

√9− x2

x2−4= 0 e lim

x→−3−f (x) = lim

x→−3−4

√x2−92− x

= 0.

Assim, f é contínua em x =−3. Portanto, f é contínua em (−∞,−2).

ii. Para x =−2, temos que:

f (−2) =− 1√3, lim

x→−2+f (x) = lim

x→−2+− 1√

1− x=− 1√

3e

limx→−2−

f (x) = limx→−2−

√9− x2

x2−4=+∞.

Assim, concluímos que f não é contínua em x =−2 pela esquerda, porém é contínua emx =−2 pela direita, portanto é contínua em [−2,0).

iii. Para x = 2, temos que:

f (2) =−1, limx→2+

f (x) = limx→2+

√9− x2

x2−4=+∞ e lim

x→2−f (x) = lim

x→2−− 1√

x=− 1√

2.

Assim, concluímos que f não é contínua no ponto x = 2 nem pela direita, nem pela es-querda.

iv. Para x = 3, temos que:

f (3) = 0, limx→3−

f (x) = limx→3−

√9− x2

x2−4= 0 e lim

x→3+f (x) = lim

x→3+4

√x2−92− x

= 0.

Assim, concluímos que f é contínua no ponto x = 3. Portanto, f é contínua em (2,+∞).

Portanto, f é contínua nos intervalos: (−∞,−2), [−2,0), (0,2) e (2,+∞).

4.7 Teorema de valor intermediário

As funções contínuas em intervalos possuem propriedades que as tornam particularmente úteis namatemática e em suas aplicações. A principal propriedade é conhecida como Teorema de Bolzanoou do Valor Intermediário.

Teorema 4.4 (Teorema de Bolzano ou do Valor Intermediário)Sejam f : R→ R uma função contínua no intervalo fechado [a,b] com a < b e w um valorqualquer estritamente compreendido entre f (a) e f (b). Então existe, no mínimo, um c ∈ (a,b)tal qual f (c) = w.

A interpretação geométrica pode ser vista na figura a seguir. O Teorema 4.4 diz que qualquer retahorizontal y = w que intersecta o eixo y entre os valores f (a) e f (b), intersectará a curva y = f (x)pelo menos uma vez no intervalo [a,b]. Em outras palavras, uma função contínua em um intervalonão passa de um valor a outro sem assumir todos os valores intermédios.

y

xbca

f(b)

w

f(a)

y = f(x)

xa

b

0

f(b) < 0

f(a) > 0

y = f(x)

y

(a)

0

f(a) < 0

f(b) > 0

xa

b

y = f(x)

y

(b) (c)

c

c

Corolário 4.1Sejam f :R→R uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f não se anula em nenhumponto de [a,b], então, f (x) tem o mesmo sinal em todo x ∈ [a,b].

O item (a) da figura acima ilustra o Corolário 4.1. Nessa figura, podemos observar que f (x)> 0 emtodo x ∈ [a,b]. Porém, no item (b) podemos ver que f (x) > 0 em todo x ∈ [a,c) e f (x) < 0 em todox ∈ (c,b], e no item (c) temos que f (x) < 0 em todo x ∈ [a,c) e f (x) > 0 em todo x ∈ (c,b], isto é,devido a f (c) = 0, ou seja, existe um ponto em [a,b] no qual f se anula.

Corolário 4.2Seja f : R→ R uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f (a) e f (b) são diferentesde zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para f (x) = 0 no intervalo(a,b).

Os itens (b) e (c) da figura acima mostram a interpretação geométrica do Corolário 4.2 nos casos emque f (a)> 0 e f (b)< 0, e f (a)< 0 e f (b)> 0, respectivamente.

Em algumas problemas é importante saber se em um intervalo existe o máximo ou o mínimo de umafunção. O próximo resultado nos garante tal fato.

Teorema 4.5 (Teorema de Weierstrass)Se f é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b], então f atinge tanto umvalor máximo M quanto um valor mínimo m neste intervalo. Isto é, existem x1, x2 ∈ [a,b] taisque:

f (x1) = m, f (x2) = M e m≤ f (x)≤M para qualquer x ∈ [a,b].

NotaEm qualquer um destes resultados, as condições são apenas condições suficientes, não sãocondições necessárias.

4.8 Funções inversas e continuidade

Desde que o gráfico de qualquer função inversa f−1 é o reflo do gráfico de f ao longo da reta y = x, eo gráfico de f , quando ela é uma função contínua, não pode ter interrupções, então f−1 deve tambémser uma função contínua. O seguinte teorema estabelece formalmente esse resultado.

Teorema 4.6 (Teorema da continuidade da função inversa)Seja f :R→R uma função contínua e injetora em Dom( f ). Então f−1 é contínua em Dom( f−1);em outras palavras, f−1 é contínua em cada ponto de Im( f ).

Na figura seguinte podemos ver uma ilustração do Teorema 4.6.


y

x

y = f(x)

y = f -1(x)

Corolário 4.3Seja f : R→R uma função contínua e estritamente crescente ou decrescente no intervalo [a,b].Então:

i. f é invertível em [a,b];

ii. f−1 é estritamente crescente, ou descrescente, em [a,b];

iii. f−1 é contínua em [a,b].

Notaf estritamente crescente ou decrescente implica que f é injetora em [a,b].

4.9 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos o conceito de continuidade em etapas, partindo de uma noção informale intuitiva para uma definição matemática precisa. Percebemos que o conceito de limite é fundamentalpara o bom entendimento e desenvolvimento desta teoria. O conceito de descontinuidade e os tiposde descontinuidade de uma função foram apresentados, pois é necessário saber reconhecer, dadauma função, se esta é contínua ou descontínua. Também aprendemos como evitar, ou remover, umadescontinuidade, caso seja possível.

A definição de continuidade em intervalos foi apresentanda, isto é, envolvendo intervalos da forma:(a,b), [a,b], [a,b) e (a,b]. Diversos teoremas foram vistos para nos ajudar a mostrar se uma funçãoé ou não contínua. E concluímos o capítulo mostrando como a continuidade de uma função estárelacionada com a sua inversa. Exemplos foram desenvolvidos tentando ilustrar todos esses itens.

Desde que já estudamos limites e continuidade, podemos no proxímo capítulo avançar para as noçõesbásicas sobre derivada, conceito muito utilizado para resolver uma ampla gama de problemas, taiscomo determinação de retas tangentes e valores extremos de uma função dada, entre outras aplicações.

4.10 Atividades

1. Demostre, usando ε e δ , que as seguintes funções são contínuas em a:

i. f (x) =−8x+7, a = 1. ii. f (x) = x3, a =−1.

2. Determine se a função é contínua ou descontínua em a. Caso seja descontínua, indique o tipode descontinuidade:

i. f (x) ={

5x−3, se x 6= 1;1, se x = 1; ii. f (x) =

{x2, se x≥−1;

1−|x|, se x <−1;a = 1. a =−1.

iii. f (x) =

x+2, se −2≤ x≤−1;

1, se −1 < x < 1;2− x, se 1≤ x≤ 2;

iv. f (x) =

−1, se −3 < x≤ 0;

x−1, se 0 < x < 2;5− x2, se 2≤ x≤ 2

√3;

a =−1, a = 1. a = 0, a = 2.

3. Encontre, se possível, um número L∈R para que a função f seja contínua no ponto a. Justitiquesua resposta.

i. f (x) =

x2−3x−4x−4

, se x 6= 4;

L, se x = 4;ii. f (x) =

1− x2, se |x|< 1;|x|−1, se |x|> 1;

L, se |x|= 1;a = 4. a =±1.

iii. f (x) =

|x|−2, se |x|< 2;4− x2, se |x|> 2;

L, se |x|= 2;iv. f (x) =

|x2−2x−3|

x−3, se x 6= 3;

L, se x = 3;a =±2. a = 3.

v. f (x) ={

4− x2, se |x|< 2;L, se x≥ 2;

a =±2.

4. Sejam as funções f e g. Determine se as funções f , g, f +g, f −g, f ·g efg

são contínuas no

ponto x = 0:

i. f (x) =

1x

(1√

x+1−1), se x 6= 0;

−12, se x = 0;

g(x) =

√

2+ x−√

22x

, se x 6= 0;

14√

2, se x = 0.

ii. f (x) =

4√

x4 +1−√

x2 +1x

, se x 6= 0;

−12, se x = 0;

g(x) =

x√

1−4x−2, se x 6= 0;

2, se x = 0.

5. Determine os pontos de descontinuidade das seguintes funções:

i. f (x) =

x3−1x−1

, se x 6= 1;

8, se x = 1.

ii. f (x) =

−|x|+ x

2, se x < 0;

2, se x = 0.

iii. f (x) =2x−|x|3x+ |x|

. iv. f (x) =

3x2−7x+2

x−2, se x 6= 0;

3, se x = 0.

v. f (x) =

x2−9, se x≤ 3;

x, se x > 2.vi. f (x) =

8− x3√

x−2, se x < 8;

3−2x, se x≥ 8.

vii. f (x) =

√

4− x4+ x

, se |x|< 4;

2x2−16

, se |x|> 4.

viii. f (x) =

x√

1+4x−2, se x < 0;

2x−1, se x≥ 0.

ix. f (x) =

|x||x−1|

, se x >−1, x 6= 1;

sgn(|x2−1|−1), se x <−1.

x. f (x) =

sgn(x2−3x−10), se x≤−3;

|x2−9|, se −3 < x≤ 2;

−x2 +4x+3, se 2 < x < 5;

− 2(x−4)2 , se x > 5.

6. Determine a continuidade nos intervalos que se indicam:

i. f (x) =

|16− x4|4− x2 , se x 6=±2;

−8, se x =−2;

8, se x = 2;em (−∞,−2), (−∞,−2], (−2,2], [−2,2], [−2,2), [2,+∞) e (2,+∞).

ii. f (x) =

|x3 + x2− x−1|x2−3x+2

, se x 6= 1, 2;

−4, se x = 1;

4, se x = 2;

em (−∞,1), (−∞,1], (1,2), [1,2], [2,+∞) e (2,+∞).

iii. f (x) = (x−1)bxc em [0,2].

7. Indique se a função é ou não contínua no intervalo onde tem sido definida.

i. f (x) =x+2

x2−3x−10, 2 < x < 4.

ii. f (x) =

x+4x2−16

, se −5 < x < 5, x 6=±4;

−18, se x =−4;

2, se x = 4;

.

iii. f (x) =

(x−1)|x+2||x2−1|

, se 0 < x < 4, x 6= 1;

12, se x = 1.

.

8. Determine os valores de a e b de forma que a função dada seja contínua no seu domínio.

i. f (x) =

x+2a, se x <−2;

3ax+b, se −2≤ x≤ 1;

6x−2b, se x > 1.

ii. f (x) =

3− 3√

3x+3a( 3√

x−2), se x < 8;

ab, se x = 8;

2|2x−7|b

, se x > 8.

9. Determine os intervalos onde a função f é contínua.

i. f (x) =

√x2−16x−6

. ii. f (x) = 3√

4−√

x−2.

iii. f (x) = 1− x+ bxc−b1− xc. iv. f (x) =|4x−3|−1b3−4xc

.

v. f (x) =

x3 +3x+3, se x≤−1;

|x−2|, se −1 < x≤ 4;

8x− x2−15, se x > 4.

10. Analise a continuidade da função h

i. h = f ·g−1 onde

f (x) =

√

16x2−17x+1, se x≥ 2;

√x2−3x+2, se x≤ 1;

g(x) =x2−1

x2−16, x≥ 0, x 6= 4.

ii. h = f ◦g e g◦ f onde

f (x) = sgn(x); g(x) = x− x3.

iii. h = f ◦g onde

f (x) =x+ |x|

2; g(x) =

x, se x < 0;

x2, se x≥ 0.

iv. h = g−1 ◦ f−1 onde

f (x) =

2x+1, se x≥ 1;

x2−2, se x≤ 0;g(x) =

3x+1, se x≤ 8;

2x3, se x > 10.


Capítulo 5

A Derivada


5.2 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 A Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 A derivada como função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.5 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6 Reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.7 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.8 A derivada da composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.9 Teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.10 Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.11 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.12 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140



• Calcular a derivada de uma função como limite do quociente de incremento quando oincremento na variável independente tende a zero;

• Interpretar geometricamente o conceito da derivada;

• Determinar a equação da reta tangente e normal em um ponto dado de uma curva;

• Aplicar os teoremas, para encontrar as derivadas de funções polinomiais e radicais;

• Calcular a derivada da composição de funções e a da inversa de uma função;

• Deduzir as fórmulas para encontrar as derivadas trigonométricas, logarítmicas, expo-nenciais e trigonométricas inversas;

• Derivar uma função dada implicitamente.


5.1 Introdução

A derivada de uma função é mais um dos conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral. A ideiada derivada originou-se de um problema geométrico: encontrar a reta tangente em um ponto de umacurva. Porém, o conceito da derivada foi formulado apenas no século XVII, quando o matemáticoFermat estudou como determinar os máximos e mínimos de determinadas funções.

x1 x2

A ideia de Fermat foi muito simples e pode ser entendida com o auxílio da figura acima. Dada umacurva, suponha que em cada um de seus pontos há uma direção definida que pode ser dada pelatangente. Cada uma dessas tangentes é indicada na figura por um segmento de reta tracejada. Fermatobservou que nos pontos onde a curva alcança um ponto máximo ou mínimo, x1 e x2 na figura, a retatangente é horizontal. Portanto, o problema para encontrar esses valores extremos se reduz a localizartangentes horizontais.

Isso nos conduz à questão mais geral da determinação da direção da reta tangente e normal em umponto arbitrário da curva. A tentativa de resolver este problema foi o que levou Fermat a descobriralgumas das ideias primárias referentes à derivada.

Naquela época, não se tinha uma conexão entre o problema de encontrar a área de uma região limitadapor uma curva e o problema de encontrar a tangente em um ponto de uma curva. O primeiro a uniressas ideias foi Newton. No entanto, Newton e Leibniz, de forma independente, foram os primeirosque compreenderam a verdadeira importância dessa relação e a exploraram para desenvolver as ideiasbásicas do Cálculo Diferencial e Integral até conseguir que problemas, até então sem solução, fossemresolvidos facilmente utilizando os novos métodos e, assim, inauguraram uma etapa sem precedenteno desenvolvimento da matemática.

Neste capítulo, apresentamos o conceito de derivada, a relação que existe entre ela e as retas tangentee normal, as principais regras de derivação, derivadas de funções elementares e derivação implícita.

5.2 Definição formal

Na seguinte definição apresentamos o conceito mais importante deste capítulo:

Definição 5.1Sejam f : R→ R uma função e um ponto a ∈ Dom( f ). Diz-se que:

i. f é derivável (ou diferenciável) em a se o limite

f ′(a) := limh→0

f (a+h)− f (a)h

existe;


ii. f ′(a) é a derivada de f em a;

iii. f é derivável (ou diferenciável) em A, se A ⊆ Dom( f ) e f é derivável em a para todoa ∈ A.

Nota

a. Ao fazer a mudança de variável x= h+a na Definição 5.1, obtemos que h→ 0 implicax→ a, o qual resulta na forma equivalente de f ′(a):

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)x−a

;

b. A notação f ′(a) deve-se ao matemático Lagrange, mas também são usadas as se-

guintes notações: Dx f (a),d f (x)

dx

∣∣∣∣x=a

, f (a) e estas se devem ao matemáticos Cauchy,

Leibniz e Newton, respectivamente.

Exemplo 5.1Encontremos a derivada das seguintes funções no ponto x = 9:

a. f (x) = x2

SoluçãoDa definição da derivada e de f , temos que

f ′(9) = limh→0

f (9+h)− f (9)h

= limh→0

(9+h)2−92

h= lim

h→0(18+h) = 18.

b. f (x) =√

x


f ′(9)= limh→0

f (9+h)− f (9)h

= limh→0

√9+h−3

h= lim

h→0

√9+h2−32

h(√

9+h+3)= lim

h→0

1√9+h+3

=16.

c. f (x) =1x


f ′(9) = limh→0

f (9+h)− f (9)h

= limh→0

19+h

− 19

h= lim

h→0

−h9h(9+h)

=− limh→0

19(9+h)

=− 181

.


5.3 A Reta Tangente

A ideia básica para obter a reta tangente à curva f no ponto a ∈ Dom( f ) é se aproximar com retassecantes à curva que passam pelo ponto (a, f (a)). Veja isso na figura abaixo. Prova-se que quando os

pontos d0, d1, . . . ,dn vão se aproximando do ponto d, as inclinações das retas secantesf (xi)− f (a)

xi−avariam cada vez menos quando nos aproximamos do ponto a, isto é, tendendo ao valor limite cons-tante f ′(a).

a x0x1xn

dn

d

d1

d0

x

f(x)

f(xn)

f(a)

f(x1)

f(x0)

LT

Pelo exposto anteriormente, podemos definir a reta tangente em um ponto.

Definição 5.2Sejam f : R→ R uma função derivável em A⊆ Dom( f ) e um ponto a ∈ A. A reta tangente àcurva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é a reta de equação:

LT : y− f (a) = f ′(a)(x−a).

De forma mais simples, diz-se que LT é a reta tangente a y = f (x) em a.

a

y

x

f(a)

LT

f

Exemplo 5.2Encontremos a equação da reta tangente LT à curva:

a. y = x2 no ponto (9,81)

SoluçãoDo exemplo anterior, temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) = 18. Assim, aequação de LT em (9,81) é

y−81 = 18(x−9) ou de forma equivalente y = 18x−81.


b. y =√

x no ponto (9,3)

Solução

Do exemplo anterior, temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) =16

. Assim, a

equação de LT em (9,3) é

y−3 =16(x−9) ou de forma equivalente y =

16

x− 32.

c. y =1x

no ponto(

9,19

)Solução

Do exemplo anterior, temos que a inclinação de LT em x = 9 é f ′(9) = − 181

. Assim, a

equação de LT em(

9,19

)é

y− 19=− 1

81(x−9) ou de forma equivalente y =− 1

81x+

29.

5.4 A derivada como função

Na seção anterior, obtivemos a derivada de y = f (x) no ponto x = a. Agora, definiremos a derivadacomo uma função deduzida de f .

Definição 5.3Seja f : R→ R uma função. Então, a função f ′ é definida por

f ′(x) := limh→0

f (x+h)− f (x)h

,

se este limite existir, e será denominada de função derivada de f . O domínio dessa função édenotado por Dom( f ′) e definido por

Dom( f ′) ={

x ∈ Dom( f ) : f ′(x) existe}.

Além disso, as notações mais comuns para a derivada de y = f (x) são:

f ′(x),d f (x)

dx,

dydx

, y′, Dx f (x), f (x).

A notaçãod f (x)

dx, leia-se derivada de f (x) com respeito a x.


Exemplo 5.3

a. Seja c ∈ R. Provemos que a função constante f (x) = c, é derivável e f ′(x) = 0, ∀x ∈ R.

SoluçãoDa definição da derivada e de f , temos que:

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

c− ch

= limh→0

0 = 0.

Portanto, f é derivável e f ′(x) = 0, ∀x ∈ R.

b. Seja a, b ∈ R, a 6= 0. Provemos que a função f (x) = ax+b é derivável e f ′(x) = a, ∀x ∈ R.

SoluçãoDa definição da derivada e de f , temos que:

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

a(x+h)+b− (ax+b)h

= limh→0

ahh

= a.

Portanto, f é derivável e f ′(x) = a, ∀x ∈ R.

c. Seja n ∈ N. Provemos que a função f (x) = xn é derivável e f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R.

SoluçãoPara n = 1, a prova é trivial. Assumamos que n≥ 2:

f ′(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

(x+h)n− xn

h

= limh→0

[(x+h)− x][

n−vezes︷︸︸︷(x+h)n−1 +(x+h)n−2x+ · · ·+ xn−1]

h

= limh→0

[

n−vezes︷︸︸︷(x+h)n−1 +(x+h)n−2x+ · · ·+(x+h)xn−2 + xn−1] = nxn−1.

Portanto, f é derivável e f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R.

d. Provemos que a função f (x) = |x| não é derivável no ponto x = 0.

SoluçãoDa definição de f e analisando o limite:

limh→0

f (0+h)− f (0)h

= limh→0

f (h)− f (0)h

= limh→0

|h|h,

notamos que este limite não existe, pois limh→0+

|h|h

= 1 e limh→0−

|h|h

=−1. Portanto, f não é

derivável no ponto x = 0.


5.5 Derivadas laterais

Desde que a derivada é um limite, é importante saber o que acontece quando nos aproximamos pormeio de valores menores e maiores do ponto analisado, na expressão da derivada.

Definição 5.4Seja f : R→ R uma função e a ∈ Dom( f ).

i. A derivada pela esquerda de f no ponto a, denotada por f ′−(a), é definida por

f ′−(a) = limh→0−

f (a+h)− f (a)h

se este limite existe.

ii. A derivada pela direita de f no ponto a, denotada por f ′+(a), é definida por

f ′+(a) = limh→0+

f (a+h)− f (a)h

se este limite existe.

NotaAo fazer a mudança de variável x = h+ a na Definição 5.4, obtemos que h→ 0− implicax→ a−; e h→ 0+ implica x→ a+. Assim, obtemos as formas equivalentes da definição dasderivadas laterais:

f ′−(a) := limx→a−

f (x)− f (a)x−a

e f ′+(a) := limx→a+

f (x)− f (a)x−a

.

Analisando as Definições 5.1 e 5.4, obtemos o seguinte critério de diferenciabilidade.

Proposição 5.1A função f : R→ R é derivável no ponto a ∈ Dom( f ) se, e somente se, as derivadas lateraisf ′−(a) e f ′+(a) existem e são iguais.

O próximo resultado mostra que funções não são diferenciáveis em pontos de descontinuidade

Proposição 5.2Se a função f : R→ R é derivável no ponto a ∈ Dom( f ), então f é contínua no ponto a.

Nota

a. A recíproca da Proposição 5.2 não é necessariamente verdadeira. Se consideramosa função f (x) = |x|, sabemos que ela é contínua em x = 0. Porém, pelo item (iv) doexemplo anterior, ela não é derivável em x = 0.

b. Para encontrar as derivadas laterais das funções definidas por partes nos pontos ondea função muda de regra de correspondência é útil ter em mente as seguintes proprie-dades:

i. Se f é derivável para todo x< a, limx→a−

f (x) = f (a) e limx→a−

f ′(x) = L existe, então,

f ′−(a) = L.

ii. Se f é derivável para todo x> a, limx→a+

f (x) = f (a) e limx→a+

f ′(x) = L existe, então,

f ′+(a) = L.

Exemplo 5.4

a. Seja a função f definida por:

f (x) ={

x2, se x < 1;ax+b, se x≥ 1.

Determinemos os valores de a e b para que f ′(1) exista.

SoluçãoConsiderando que f ′(1) existe, então f é contínua no ponto x = 1. Logo, obtemoslim

x→1−f (x) = lim

x→1+f (x) e, assim, obtemos que 1 = a+b.

Por outro lado,

f ′(x) ={

2x, se x < 1;a, se x > 1.

Pela nota anterior, temos que

f ′(1−) = limx→1−

f (x) = 2 e f ′(1+) = limx→1+

f (x) = a,

e como f ′(1) existe, resulta a= 2. Finalmente, da condição a+b= 1 obtemos que b=−1.

b. Determinemos se a função f definida por:

f (x) ={

x, se x≤ 0;x2, se x > 0;

é derivável no ponto x = 0.

SoluçãoDa definição de f , temos que


f ′(0−) = limh→0−

f (0+h)− f (0)h

= limx→h−

hh= 1,

f ′(0+) = limh→0+

f (0+h)− f (0)h

= limx→h+

h2

h= lim

h→0+h = 0.

Portanto, a função não é derivável no ponto x = 0, porém, é contínua no ponto x = 0.

c. Seja a função f definida por:

f (x) ={

x2, se xé racional;0, se xé irracional.

Provemos que f é derivável no ponto x = 0.

SoluçãoDa definição da derivada no ponto x = 0, obtemos que

f ′(0) = limh→0

f (h)− f (0)h

= limh→0

f (h)−02

h= lim

h→0

f (h)h

Agora, analisemos f (h) ef (h)

h. Como

f (h) ={

h2, se hé racional;0, se hé irracional,

então,f (h)

h=

{h, se hé racional;0, se hé irracional,

Assim, em qualquer um dos dois casos, limh→0

f (h)h

= 0. Portanto, f ′(0) = 0.

Dada uma função f definida em um intervalo aberto, dizemos que f será derivável no intervalo abertoquando houver derivadas em cada ponto do intervalo. Porém, quando lidamos com um intervalo queé semi-aberto, fechado ou ilimitado, f ′ não está definida nos extremos desse intervalo, já que asderivadas são limites bilaterais. Nesta situação, dizemos que f é diferenciável se f for diferenciávelem cada ponto do interior do intervalo e se existir a derivada lateral apropriada em cada extremo dointervalo.

5.6 Reta normal

Ao considerar a interpretação geométrica da derivada em um ponto, entendemos como a equação dareta tangente, denotada por LT é obtida. Agora vamos a analisar a reta perpendicular a esta.

Definição 5.5Seja f : R→R uma função derivável no ponto x = a. A reta que passa pelo ponto (a, f (a)) e éperpendicular à reta tangente da curva y = f (x) no ponto (a, f (a)) é chamada de reta normalda curva y = f (x) no ponto (a, f (a)), denotada por LN , e se:


i. f ′(a) 6= 0, então a equação da reta normal é

LN : y− f (a) =− 1f ′(a)

(x−a);

ii. f ′(a) = 0, então a equação da reta normal é

LN : x−a = 0.

a

y

x

f(a)

LT

f

LN

Exemplo 5.5

a. Seja f (x) = x2− 2x+ 3, encontremos as equações da reta tangente LT e da reta normal LN àcurva y = f (x) no ponto (2,3).

SoluçãoDesde que as equações de LT e LN no ponto (2,3) dependem de f ′(2), calculemos estevalor

f ′(2) = limh→0

f (2+h)− f (2)h

= limh→0

(h+2) = 2.

Assim, as equações das retas tangente e normal à curva y = f (x) no ponto (2,3) são:

LT : y−3 = 2(x−2) ⇔ LT : 2x− y−1 = 0;

LN : y−3 =−12(x−2) ⇔ LN : x+2y−8 = 0.

b. Determinemos (a, f (a)) e as equações das retas tangente e normal à curva y= f (x) = 2−x−x2,sendo que a reta tangente é paralela à reta x− y−4 = 0.

SoluçãoO nosso problema aqui é encontrar o ponto (a, f (a)) no qual a reta esta definida. Porém,a reta paralela x− y−4 = 0 nos dará essa informação.Calculando a derivada

f ′(a) = limh→0

f (a+h)− f (a)h

= limh→0

(−1−2a−h) =−1−2a.

Como as inclinações de x− y−4 = 0 e LT são iguais, então f ′(a) = 1. Logo, destas duasequações, obtemos que a =−1. Portanto, o ponto de tangência é (−1, f (−1)) = (−1,2),e as equações das retas tangente e normal são:

LT : y = x+3 e LN : y =−x+1,

respectivamente.


c. Dada a reta LN , normal à curva y = f (x) = x2− 4 no ponto (a, f (a)). Se LN passa pelo ponto(33,0), determinemos o valor de a e as equações de LT e LN .

SoluçãoComo f ′(x) = 2x, a inclinação de LT no ponto (a, f (a)) é f ′(a) = 2a. Por outro lado, ainclinação da reta LN que passa pelos pontos (33,0) e (a, f (a)) é

− 1f ′(a)

=f (a)−0a−33

=a2−4a−33

Logo,2a3−7a−33 = 0 ⇒ (a−3)(2a2 +6a+11) = 0.

Em consequência, a = 3, pois é a única raiz real da equação acima, e as equações das retastangente e normal são:

LT : y = 6x−13 e LN : y =−16

x+112,

respectivamente.

5.7 Regras de derivação

Nesta seção apresentamos algumas regras que nos possibilitarão calcular derivadas de diversos tiposde funções de forma mais eficiente, sem ter que aplicar a definição a qual envolve limites.

Teorema 5.1Sejam f e g duas funções deriváveis em x e seja k uma constante. Então, as funções

k f , f ±g, f ·g, 1g

efg

são deriváveis em x. Além disso,

i. (k f )′(x) = k[ f ′(x)]

ii. ( f ±g)′(x) = f ′(x)±g′(x)

iii. ( f ·g)′(x) = f ′(x) ·g(x)+ f (x) ·g′(x)iv. Se g(x) 6= 0, então,

a.(

1g

)′(x) =− g′(x)

[g(x)]2;

b.(

fg

)′(x) =− f ′(x) ·g(x)− f (x) ·g′(x)

[g(x)]2.

Teorema 5.2Se f1, f2, . . . , fn são funções deriváveis em x, então:

i. f1 + f2 + . . .+ fn é derivável em x e

( f1 + f2 + . . .+ fn)′(x) = f ′1(x)+ f ′2(x)+ . . .+ f ′n(x)


ii. f1 · f2 · . . . · fn é derivável em x e

( f1 · f2 · . . . · fn)′(x) = f ′1(x) f2(x) . . . fn(x)+ f1(x) f ′2(x) f3(x) . . . fn(x)+ . . .

. . .+ f1(x) f2(x) . . . f ′n−1(x) fn(x)+ f1(x) f2(x) . . . fn−1(x) f ′n(x).

Exemplo 5.6Calculemos f ′(x) da função f definida por:

a. f (x) = 6x5 + x4−3x3 +2

SoluçãoDo Teorema 5.2, aplicando a propriedade da soma de derivadas, temos que:

f ′(x) = (6x5 + x4−3x3 +2)′

= (6x5)′+(x4)′− (3x3)′+(2)′

= 6(x5)′+4x3−3(x3)′+0= 30x4 +4x3−9x2.

b. f (x) = (x2 + x+1)x3

SoluçãoDo Teorema 5.2, aplicando a propriedade do produto de derivadas, temos que:

f ′(x) = (x2 + x+1)′x3 +(x2 + x+1)(x3)′

= (2x+1)x3 +(x2 + x+1)3x2

= x2(5x2 +4x+3).

c. f (x) = x−n, com x 6= 0 e n ∈ N

Solução

Da definição de f notamos que ela pode ser reescrita como f (x) =1xn . Logo, do Teorema

5.1, temos que

f ′(x) =(

1xn

)′=−nxn−1

x2n =−nx−n−1, ∀x ∈ R\{0}.

d. f (x) =x+32− x

, x 6= 2

SoluçãoAplicando a regra da derivada para a divisão, Teorema 5.1, obtemos que

f ′(x) =(x+3)′(2− x)− (x+3)(2− x)′

(2− x)2 =(1)(2− x)− (x+3)(−1)

(2− x)2 =5

(2− x)2 .

e. f (x) =ax5 +bx4 + c√

a2 +b2 + c2


SoluçãoDa definição de f observamos que ela pode ser reescrita como f (x) =

1√a2 +b2 + c2

(ax5 + bx4 + c), onde1√

a2 +b2 + c2é uma constante. Logo, pelo

Teorema 5.1

f ′(x) =1√

a2 +b2 + c2(ax5 +bx4 + c)′ =

1√a2 +b2 + c2

(5ax4 +4bx3).

Nota

a. Se f (x) = xn, n ∈ Z, obtemos que f ′(x) = nxn−1.

b. Se c é uma constante em R e f (x) = xc, então f ′(x) = cxc−1. Por exemplo, se f (x) =

x2/3 então f ′(x) =23

x−1/3.

5.8 A derivada da composição de funções

Nesta seção apresentamos uma expressão a qual representa a derivada de uma composição de funçõesem termos das derivadas das funções que a compõem, o qual é de grande ajuda quando queramosderivar funções mais complicadas usando funções mais simples.

Teorema 5.3 (Regra da cadeia)Sejam f : A→ R e g : B→ R duas funções tais que Im( f ) ⊂ B. Se f é derivável no pontoa ∈ Dom( f ) e g é derivável no ponto b = f (a) ∈ B, então g◦ f é derivável em a e a derivada é:

(g◦ f )′(a) = g′ ( f (a)) · f ′(a).

Corolário 5.1Seja f uma função derivável em a e h(x) = [ f (x)]n, onde n é uma constante, então a função h éderivável em a e

h′(a) = n[ f (a)]n−1 f ′(a).


NotaEm particular, dos resultados anteriores, obtemos que:

a. Se y = y(t) e t = t(x) são duas funções deriváveis, então,

dydx

=dydt· dt

dx, onde

dydt

= y′(t) edtdx

= t ′(x).

b. Se y = f (x) é uma função derivável comdydx6= 0 e possui inversa x = f−1(y), então,

dxdy

=1

dy/dx;

c. Se y = y(t) e x = x(t) são duas funções deriváveis comdxdt6= 0, então,

dydx

=dy/dtdx/dt

;

d. Se f (x) = [u(x)]n e u(x) é derivável, então,

f ′(x) = n[u(x)]n−1 ·u′(x);

e. Se f (x) =√

u(x) e u(x) é derivável, com u(x)> 0, então,

f ′(x) =u′(x)

2√

u(x);

f. Se f (x) = |u(x)| e u(x) é derivável, com u(x) 6= 0, então,

f ′(x) =u(x)|u(x)|

·u′(x).

Exemplo 5.7

a. Encontremos f ′ usando o item (d) da nota acima, onde f é definida por:

i. f (x) = (x4 +1)3

Soluçãof ′(x) = 3(x4 +1)2(x4 +1)′ = 3(x4 +1)2(4x3) = 12x3(x4 +1)2.

ii. f (x) = (x3 +12x−4)300

Soluçãog′(x) = 300(x3 +12x−4)299(x3 +12x−4)′ = 900(x2 +4)(x3 +12x−4)299.

iii. f (x) =[

x+2x−2

]18

Solução

h′(x) = 18[

x+2x−2

]17(x+2x−2

)′= 18

[x+2x−2

]17[(x−2)− (x+2)(x−2)2

]=−72(x+2)15

(x−2)17 .


b. Sejam y = t4− t2 + t e t = (x2 +1)4, calculemosdydx

.

SoluçãoDo item (a) da nota anterior, temos que:

dydx

=dydt· dt

dx= [4t3−2t +1][4(x2 +1)3][2x].

Substituindo t por (x2 +1)4, obtemos que

dydx

= [4(x2 +1)3−2(x2 +1)+1][8x(x2 +1)3] = 8x[(x2 +1)6−2(x2 +1)4 +(x2 +1)3].

c. Se f (x) = 7√

(5x2−3x+2)3, determinemos f ′(x).

SoluçãoObservamos que f (x) = (5x2−3x+2)3/7. Assim

f ′(x) =37(5x2−3x+2)−4/7(5x2−3x+2)′ =

3(10x−3)

7 7√(5x2−3x+2)4

.

d. Seja f (x) =√

5+ |3x2−8|, determinemos f ′(x).

SoluçãoDo item (f) da nota acima, temos que:

f ′(x) =(5+ |3x2−8|)′√

5+ |3x2−8|=

1√5+ |3x2−8|

(3x2−8|3x2−8|

· (3x2−8)′)

=1√

5+ |3x2−8|

(3x2−8|3x2−8|

· (6x))=

3x(3x2−8)

|3x2−8|√

5+ |3x2−8|.

e. Sejam f (x+1) = 2x2 +8 e g(x+1) = f (x−2), determinemos g′(4).

SoluçãoFazendo z = x+1, temos que x = z−1, f (z) = 2(z−1)2 +8 e g(z) = f (z−3). Logo,

f ′(z) = 4(z−1).

Aplicando a regra da cadeia, temos que

g′(z) = f ′(z−3)(z−3)′ = 4((z−3)−1) = 4(z−4).

Portanto, para z = 4( ou x = 3), obtemos que g′(4) = 4(4−4) = 0.

f. Sejam f ′(x) =x

x−1e y = f

(x−1x+1

), determinemos

dydx

.

Solução

Fazendo z =x−1x+1

, temos que y = f (z). Aplicando a regra da cadeia, obtemos que

dydx

=dydz· dz

dx= f ′(z) · 2

(x+1)2 =z

z−1· 2(x+1)2 .

Substituindo z porx−1x+1

, temos quedydx

=1− x

(x+1)2 .


5.9 Teorema da função inversa

No Capítulo 2, estudamos a função inversa e como ela modifica o efeito da função da qual é inversa.Esse resultado é um dos teoremas fundamentais da matemática, pois garante, dada uma função deri-vável, a existência da inversa e a derivabilidade desta. No teorema seguinte, analisaremos a relaçãode reciprocidade entre as derivadas de f e f−1.

Teorema 5.4Seja f definida e derivável em um intervalo aberto I. Se f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, então fpossui inversa f−1, derivável e

( f−1)′(x) =1

f ′( f−1(x)).

Exemplo 5.8

a. Seja f (x) = x3−7. Determine o valor de ( f−1)′ em x = 20.

SoluçãoAplicamos o Teorema 5.4 para obter o valor de ( f−1)′ em x = 20. De fato, observamosque 20 = f (3), o que resulta em f−1(20) = 3 e

f ′(x) = 3x2 ⇒ f ′(3) = 3(3)2 = 27.

Portanto, (f−1)′ (20) =

1f ′ ( f−1(20))

=1

f ′(3)=

127

.

b. Seja f (x) = x2 + 2x+ 3 com dominio Dom( f ) = [−1,+∞). Determine o valor de ( f−1)′ emx = 6.

SoluçãoAplicamos o Teorema 5.4 para obter o valor de ( f−1)′ em x = 6. De fato, devemosidentificar a f−1(6)

6 = f (x) = x2 +2x+3 ⇒ x2 +2x−3 = 0 obtemos x =−3, x = 1;

porém como somente deve existir uma única solução, descartamos x = −3, pois −3 6∈Dom( f ) = [−1,+∞). Assim 1 = f−1(6), alem disso

f ′(x) = 2x+2 ⇒ f ′(1) = 2(1)+2 = 4.

Portanto, (f−1)′ (6) = 1

f ′ ( f−1(6))=

1f ′(1)

=14.

5.10 Derivadas de funções elementares

Na sequência apresentamos algumas fórmulas de derivadas que correspondem a certos tipos de fun-ções.

Função ExponencialSejam f ,g : R→ R, u(x) uma função derivável, e a ∈ R, com 0 < a 6= 1. Se f (x) = ax eg(x) = au(x), então,

f ′(x) = ln(a)ax e g′(x) = ln(a)au(x)u′(x).

Função LogarítmicaSejam f ,g : R++→ R, u(x) uma função derivável, e a ∈ R, com 0 < a 6= 1. Se f (x) = loga(x)e g(x) = loga(u(x)), então,

f ′(x) =loga(e)

xe g′(x) =

loga(e)u′(x)

u(x).

Se a = e, então loge(x) = ln(x) e f ′(x) =1x

.

Funções TrigonométricasSejam f ,g : R→ R, e u(x) uma função derivável.

Função SenoSe f (x) = sen(x) e g(x) = sen(u(x)), então,

f ′(x) = cos(x) e g′(x) = cos(u(x))u′(x);

Função CosenoSe f (x) = cos(x) e g(x) = cos(u(x)), então,

f ′(x) =−sen(x) e g′(x) =−sen(u(x))u′(x);

Função TangenteSe f (x) = tg(x) e g(x) = tg(u(x)), então,

f ′(x) = sec2(x) e g′(x) = sec2(u(x))u′(x);

Função CotangenteSe f (x) = cotg(x) e f (x) = cotg(u(x)), então,

f ′(x) =−cossec2(x) e g′(x) =−cossec2(u(x))u′(x);

Função SecanteSe f (x) = sec(x) e g(x) = sec(u(x)), então,

f ′(x) = tg(x)sec(x) e g′(x) = tg(u(x))sec(u(x))u′(x);

Função CossecanteSe f (x) = cossec(x) e g(x) = cossec(u(x)), então,

f ′(x) =−cotg(x)cossec(x) e g′(x) =−cotg(u(x))cossec(u(x))u′(x);

Funções Trigonométricas InversasSejam f ,g : R→ R, e u(x) uma função derivável.

Função Arco SenoSe f (x) = arcsen(x) e g(x) = arcsen(u(x)), então,

f ′(x) =1√

1− x2, com |x|< 1, e g′(x) =

u′(x)√1−u2(x)

, com |u(x)|< 1;

Função Arco CosenoSe f (x) = arccos(x) e g(x) = arccos(u(x)), então,

f ′(x) =− 1√1− x2

, com |x|< 1, e g′(x) =− u′(x)√1−u2(x)

, com |u(x)|< 1;

Função Arco TangenteSe f (x) = arctg(x) e g(x) = arctg(u(x)), então,

f ′(x) =1

1+ x2 , com x ∈ R, e g′(x) =u′(x)

1+u2(x), com u(x) ∈ R;

Função Arco CotangenteSe f (x) = arccotg(x) e g(x) = arccotg(u(x)), então,

f ′(x) =− 11+ x2 , com x ∈ R, e g′(x) =− u′(x)

1+u2(x), com u(x) ∈ R;

Função Arco SecanteSe f (x) = arcsec(x) e g(x) = arcsec(u(x)), então,

f ′(x) =1

|x|√

x2−1, com |x|> 1, e g′(x) =

u′(x)

|u(x)|√

u2(x)−1, com |u(x)|> 1;

Função Arco CossecanteSe f (x) = arccossec(x) e g(x) = arccossec(u(x)), então,

f ′(x) =− 1|x|√

x2−1, com |x|> 1, e g′(x) =− u′(x)

|u(x)|√

u2(x)−1, com |u(x)|> 1.

5.11 Derivadas de ordem superior

Nesta seção, abordaremos a situação de derivar sucessivamente uma função (sempre que for possível).

Definição 5.6Seja f : R→ R uma função derivável.


i. Se f ′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada segunda de f eé denotada por

( f ′)′ = f ′′(x), D2x f (x),

d2 f (x)dx2 , f (x);

ii. Se f ′′ é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada terceira de f eé denotada por

( f ′′)′ = f ′′′(x), D3x f (x),

d3 f (x)dx3 ,

...f (x);

iii. Desta forma, derivando sucessivamente a função f , se a derivada de ordem (n− 1) def é uma função derivável, então sua derivada é chamada de derivada n−ésima de f e édenotada por

( f (n−1))′ = f (n), Dnx f (x),

dn f (x)dxn .

Proposição 5.3 (Fórmula de Leibniz)Suponhamos que as funções u(x) e v(x) têm derivada de ordem n no mesmo conjunto A ⊆ R.Então, y = u · v é derivável até a ordem n em A e

y(n) = (u · v)(n) =(

n0

)u(n) · v+

(n1

)u(n−1) · v′+ · · ·+

(nk

)u(n−k) · v(k)+ · · ·+

(nn

)u · v(n)

onde u(0) = u, v(0) = v, u(1) = u′, v(1) = v′, u(2) = u′′, v(2) = v′′, etc.

Exemplo 5.9Sejam as funções f ,g : R→ R e h : [4,+∞)→ R definidas por:

f (x) =√

x4 +1, g(x) =|x|

1+2x4 e h(x) = (3x5 + x2 +7)√

3x−12

Encontremos f ′′(x), g′′(x) e h′′(x).

Solução

a. f (x) =√

x4 +1 implica que f ′(x) =2x3√

x4 +1. Logo, f ′′(x) = ( f ′(x))′, isto é,

f ′′(x) =2x2(x4 +3)

(x4 +1)32.

b. g(x) =3|x|

1+2x4 implica que g′(x) =3x−18x5

|x|(1+2x4)2 , com x 6= 0. Logo g′′(x) = (g′(x))′, isto

é,

g′′(x) =6x3(−30x5 +54x4−11x−9)

|x|(1+ x4)3 , com x 6= 0.

c. h(x) = (3x5+x2+7)√

3x−12 implica que h′(x) =(93x5−360x4 +13x2−48x+7)

2√

3x−12, com

x > 4. Logo h′′(x) = (h′(x))′, isto é,

h′′(x) =2511x5−18720x 4+34560x3 +117x2−912x+1152

4(3x−12)32

, com x 6= 4.

Exemplo 5.10Sejam as funções f ,g : R→ R definidas por:

f (x) = |x|3 e g(x) ={

x4, se x≥ 0;−x4, se x < 0.

Encontremos

a. f ′(x), f ′′(x) e f ′′′(x);

b. g′(x), g′′(x) e g′′′(x);

se existem, para todo x ∈ R.

Solução

a. Da definição de f (x), podemos reescrevê-la como:

f (x) ={

x3, se x≥ 0;−x3, se x < 0.

Logo,

f ′(x) ={

3x2, se x > 0;−3x2, se x < 0;

f ′′(x) ={

6x, se x > 0;−6x, se x < 0;

f ′′′(x) ={

6, se x > 0;−6, se x < 0;

Analisando as derivadas laterais, para x = 0, temos que:

f ′(0) = f ′′(0) = 0, f ′′′(0−) =−6 e f ′′′(0+) = 6.

Portanto, f ′′′(x) não existe para todo x ∈ R.

b. Usando o mesmo raciocínio do item acima, temos que:

g′(x) ={

4x3, se x≥ 0;−4x3, se x < 0;

g′′(x) ={

12x2, se x > 0;−12x2, se x < 0;

g′′′(x) ={

24x, se x > 0;−24x, se x < 0;

Analisando as derivadas laterais, para x = 0, temos que:

g′(0) = g′′(0) = g′′′(0) = 0.

Portanto, g′′′(x) existe para todo x ∈ R.


Exemplo 5.11Calculemos a n−ésima derivada de f , definida por:

a. f (x) = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0, com an 6= 0;

SoluçãoNotemos que f (x) é um polinômio de grau n. Logo

f ′(x) = annxn−1 +an−1(n−1)xn−2 + · · ·+2a2x+a1;f ′′(x) = ann(n−1)xn−2 +an−1(n−1)(n−2)xn−3 + · · ·+2a2;

...f (n)(x) = an n!.

Além disso,f (k)(x) = 0, ∀x ∈ R e k ≥ n+1.

b. f (x) =1

1+ x, com x 6=−1.

SoluçãoDa definição de f , podemos reescrevê-la como f (x) = (1+ x)−1. Logo, derivando suces-sivamente f , temos que:

f ′(x) = −1(1+ x)−2 = − 1(1+ x)2 ;

f ′′(x) = (−1)(−2)(1+ x)−3 =(−1)22!(1+ x)3 ;

...

f (n)(x) =(−1)nn!(1+ x)n+1 .

c. f (x) =x

1+2x, com x 6=−1

2.

Solução

Da definição de f , podemos reescrevê-la como f (x) = x(2x+1)−1, com x 6= −12

. Logo,derivando sucessivamente f , temos que:

f ′(x) = (2x+1)−2;

f ′′(x) = −2 ·2(2x+1)−3;

f ′′′(x) = 22 ·2 ·3(2x+1)−3;

...

f (n)(x) = (−1)n+1 2n−1n!(2x+1)n+1 .


d. f (x) =6x+5

x2 + x−6, com x 6= 2 e x 6=−3.

SoluçãoDa definição de f , podemos reescrevê-la como a soma de frações:

f (x) =175(x−2)−1 +

135(x+3)−1,

com x 6= 2 e x 6=−3. Logo, derivando sucessivamente f , temos que:

f ′(x) =175(−(x−2)−2)+ 13

5(−(x+3)−2) ;

f ′′(x) =175(2(x−2)−3)+ 13

5(2(x+3)−3) ;

...

f (n)(x) =(−1)n

5

(17

(x−2)n+1 +13

(x+3)n+1

).

e. f (x) =√

1+ x, com x≥−1.

SoluçãoDa definição de f , podemos reescrevê-la como f (x) = (1+ x)

12 para x >−1. Logo, deri-

vando sucessivamente f , temos que:

f ′(x) =12(1+ x)−

12 =

12√

1+ x;

f ′′(x) = −12· 1

2(1+ x)

−32 =− 1

22√

(1+ x)3;

f ′′′(x) =323 (1+ x)

−52 =

3

23√

(1+ x)5;

f (4)(x) =3 ·524 (1+ x)

−72 =

3 ·524√

(1+ x)7;

...

f (n)(x) = (−1)n+1 3 ·5 . . .(2n−5) · (2n−3)

2n√(1+ x)2n−1

.

5.12 Derivação Implícita

Funções definidas explícita e implicitamente


Até o momento, trabalhamos apenas com funções descritas pela equação y = f (x). Esse tipo defunção é chamada de explícita, pois y é expressa explicitamente em termos de x. Porém, existemoutras situações nas quais será necessário lidar com equações como

y2− x+1 = 0, y7−3y5 +7y2− xcos(x) = 0 ou y2 + x4 +15 = 0,

que são denotadas por E(x,y) = 0, e definem uma relação implícita entre as variáveis x e y. Em algunscasos, seremos capazes de expressar a variável y explicitamente em termos de x. Por exemplo, dada aequação

E(x,y) : y2− x+1 = 0

temos que E(x,y) = 0 define de forma implícita as funções f1 e f2 onde

f1(x) =√

x−1 e f2(x) =−√

x−1,

ou seja,y = f1(x) e y = f2(x).

Se nosso objetivo é derivá-la, então aplicamos as regras de derivação conhecidas. Porém, dada umaequação E(x,y) = 0 muitas vezes não é simples encontrar as funções explicitamente definidas por ela,por exemplo:

E(x,y) : y7−3y5 +7y2− xcos(x) = 0.

Contudo, y ainda é definida como uma função de x. Assim, diz-se que E(x,y) = 0 define y implici-tamente como uma função de x, e para obter a derivada de forma usual, devemos determinar dy/dxpor intermédio de Derivação Implícita, que será descrita nesta seção. No entanto, existem tambémcasos que E(x,y) = 0 não define nenhuma função, por exemplo:

y6 + x4 +5 = 0.

Por esta razão precisamos estabelecer uma definição deste assunto.

Definição 5.7Diz-se que E(x,y) = 0 define a função f implicitamente se o gráfico de y = f (x) coincide comalguma porção do gráfico da equação E(x,y) = 0.

Exemplo 5.12Seja E(x,y) : x = y4, ressaltemos que esta equação não define nenhuma função em y, pois umareta vertical corta em dois pontos o seu gráfico (veja o item (a) da figura abaixo). No entanto, seresolvemos E(x,y) = 0 para y em termos de x, obtemos as equações

y = 4√

x e y =− 4√

x,

x

y E(x,y) = 0Ly = f1(x)

y = f2(x)

(a) (b)

x

y L


cujos gráficos são porções do gráfico de E(x,y) = 0. Veja também o item (b) da figura acima. Assim,E(x,y) = 0 define implicitamente as funções

f1(x) = 4√

x e f2(x) =− 4√

x.

Derivação Implícita

Felizmente, dada a equação E(x,y) = 0 não é necessário resolvê-la, ou seja, colocando y em termosde x a fim de obter as derivadas das funções definidas implicitamente por ela.

Para ilustrar esse fato, calcularemos as derivadas de f1 e f2, do exemplo anterior, de duas formas.

Exemplo 5.13

Primeira formaDo exemplo anterior, temos que

f1(x) = 4√

x e f2(x) =− 4√

x.

Então,

f ′1(x) =1

4 4√x3e f ′2(x) =−

1

4 4√x3.

Segunda formaUsando derivação implícita para obter a derivada podemos diferenciar ambos lados da equaçãoE(x,y) : x = y4, ou seja,

ddx

[x] =ddx

[y4]

1 = 4y3y′1

4y3 = y′.

Logo, se nesta última expressão substituímos y =± 4√

x, obtemos

y′ =1

4 4√x3e y′ =− 1

4 4√x3,

o que está de acordo com as derivadas obtidas para f1 e f2.

Exemplo 5.14Usando derivação implícita, encontremos y′ se:

a. y2− x+1 = 0

Solução

ddx

[y2− x+1

]=

ddx

[0]

2yy′−1+0 = 02yy′ = 1.

Logo,

y′ =12y

.


b. y2 + x4−9 = 0.

Solução

ddx

[y2 + x4−9

]=

ddx

[0]

2yy′+4x3−0 = 02yy′ = −4x3.

Logo,

y′ =−2x3

y.

c. y7−3y5 +7y2− xcos(x) = 0.

Solução

ddx

[y7−3y5 +7y2− xcos(x)

]=

ddx

[0]

7y6y′−15y4y′+14yy′− cos(x)+ xsen(x) = 0(7y6−15y4 +14y)y′ = cos(x)− xsen(x).

Logo,

y′ =cos(x)− xsen(x)7y6−15y4 +14y

.

NotaNo último exemplo, as respostas apresentadas envolvem tanto x quanto y. A fim de obteruma solução que envolva somente x, teríamos de resolver a equação original, ou seja, obtery de forma explícita e, então substituir em cada uma das soluções dadas. Fazendo isto paraos itens (i) e (ii), temos que:

(i) y2− x+1 = 0 ⇒ y =±√

x−1 ⇒ y′ =± 12√

x−1.

(ii) y2 + x4−9 = 0 ⇒ y =±√

9− x4 ⇒ y′ =∓ 2x3√

9− x4

Porém, para o item (iii) isto é impossível de ser feito, assim, somos forçados a deixar afórmula de y′ em termos de x.

5.13 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos o conceito da derivada. Novamente, percebemos que esse conceito,assim como o de continuidade, depende da teoria de limites, e este limite é tão importante quepossui a notação específica y′. As definições da derivada e da reta tangente foram estabelecidaspara um ponto dado. De certa forma, a derivada pode ser interpretada como a inclinação da retatangente à curva y = f (x) em um ponto dado. Além disso, diferente do conceito de continuidade,podemos pensar na derivada como uma função.


Desde que a definição da derivada depende da obtenção de um limite, quando a variável se aproximado ponto analisado, os conceitos de derivadas laterais são estabelecidos. Além disso, a definição dareta normal à curva dada é apresentada. Depois disso, apresentamos as regras de derivação para asoperações aritméticas, a derivada da composição de funções e o teorema da função inversa.

Tendo a teoria necessária para a obtenção da derivada, as derivadas de funções elementares foramapresentadas. Como a derivada de uma função é uma outra função, podemos recorrer repetidamenteà obtenção da derivada destas novas funções, e a isto dá-se o nome derivadas de ordem superior.

Por fim, apresentamos a derivação implícita, teoria que lida com a obtenção da derivada de equações,na qual a função a ser derivada não necessariamente tem uma representação explícita. Exemplosforam desenvolvidos tentando ilustrar todos esses assuntos.

No próximo capítulo, apresentaremos algumas aplicações da derivada . Por exemplo, com ajuda daderivada de primeira e segunda ordem, aprenderemos métodos para analisar o comportamento de umafunção em um conjunto dado e obteremos com uma maior precisão o seu gráfico.

5.14 Atividades

1. Usando a definição, calcule a derivada no ponto indicado:

i. f (x) =√

1+9x, a = 7. ii. f (x) =1√

2x+3, a = 3.

iii. f (x) =1x+ x+ x2, a = 3. iv. f (x) =

1√1−3x

, a =−8.

v. f (x) = |x−3|3, a = 3. vi. f (x) =2√x−1, a = 4.

vii. f (x) = 3−√

5+ x, a = 4. vii. f (x) =√

x2−9, a = 5.

ix. f (x) =x+3

2x−5, a = 2.

2. Encontre f ′(x) e indique o seu domínio da função definida por:

i. f (x) =2x+33x−2

. ii. f (x) =1√

x+2.

iii. f (x) = x√

x+1. iv. f (x) = 3√

2x+3.

v. f (x) =√

3−2x. vi. f (x) =x2−1x2 +1

.

vii. f (x) =ax+bcx+d

. viii. f (x) =√

ax+a√ax

.

ix. f (x) =

√a2 + x2

x. x. f (x) =

x√a2− x2

.


xi. f (x) =√

x+√

x+√

x. xii. f (x) = 3√

1+ 3√

1+ 3√

x.

3. Determine a derivada de f definida por:

i. f (x) =arccos(x)

x2 +12

ln

(1−√

1− x2

1+√

1− x2

). ii. f (x)= ln(x+1−

√x2−1)− x

1−√

x2−1.

iii. f (x) =120

sen(5x2)− 1

4sen(x2). iv. f (x) =

√arctg(x)− (arcsen(x))3.

v. f (x) =sen(x)− cos(x)sen(x)+ cos(x)

. vi. f (x) = (1+ ln(sen(x)))n.

vii. f (x) =(

sen(x

2

)− cos

(x2

)). viii. f (x) =

√x+1−

√x−1√

x+1+√

x−1.

ix. f (x) = x6 (1− cos(2x))2. x. f (x) = ln

(√1− sen(x)1+ sen(x)

).

xi. f (x) = ln

(√x2 +a2 + x√x2 +a2− x

). xii. f (x) = arctg

(sen(x)+ cos(x)sen(x)− cos(x)

).

xiii. f (x) = tg(

eln(arctg(x1/3)))

. xiv. f (x) =1√x

ex2arctg(x)+ 12 ln(x)+1.

xv. f (x) =14

ln(

1+ x1− x

)− 1

2arctg(x). xvi. f (x) = ln

(x+√

x2 +1)

.

xvii. f (x) = sen(cos2(x)

)cos(sen2(x)

). xviii. f (x) = sen3 (sen2(sen(x))

).

xvii. f (x) = ln

(√4tg(x)+1−2

√tg(x)√

4tg(x)+1+2√

tg(x)

). xviii. f (x) = ln

(2ln2(sen(x))+32ln2(sen(x))−3

).

xxi. f (x) = ln

(1−√

sen(x)

1+√

sen(x)

)+2arctg

√sen(x).

xxii. f (x) =x2

√x2 +a2 +

a2

2ln(

x+√

x2 +a2)

.

xxii. f (x) = ln(√

2sen(x)+1+√

2sen(x)−1)

.

4. Determine se f , definida a seguir, é derivável no ponto dado:

i. f (x) = |x−3|3(x−3)+x3⌊x−3

2

⌋, a = 3. ii. f (x) = |x2−4|, a = 2, −2.

iii. f (x) =√|x|, a = 0. iv. f (x) =

√|x|−bxc, a = 1,

32,

52

.

v. f (x) ={ √

1− x, x < 1;(1− x)2, x≥ 1;

a = 1. vi. f (x) ={ √

|x|, x < 1;x2, x≥ 1;

a = 1.

vii. f (x)={

x2, x <−1;−1−2x, x≥−1;

a =−1. viii. f (x) ={

x2−4, x < 2;√x−2, x≥ 2;

a = 2.

ix. f (x) =

|x+2|, x < 0;2−2x2, 0≤ x < 2;x2−4x+2, x≥ 2;

a = 0, 2.

5. Encontre os valores de b e c da função f para que a derivada exista no ponto dado.

i. f (x) ={−3x2, x≤ 2;bx+ c, x > 2;

a = 2. ii. f (x) ={

x2, x < 1;bx+ c, x≥ 1;

a =−1.

iii. f (x) ={

bx+ c, x < 2;2x2−1, x≥ 2;

a = 2. iv. f (x) ={

x2 +bx+3, x≤ 1;−4bx+ c, x > 1;

a = 1.

6. Encontre os valores de b e c tal que a função f , definida a seguir, seja diferenciável em todo seudomínio.

i. f (x) ={

x2, x < 1;bx+ c, x≥ 1.

ii. f (x) =

bx2 + c, x≤ 1;1|x|

, x > 1.

7. Obtenha a equação ou equações das retas tangentes à curva

i. y = x3 +3x2−5 e perpendicular à reta 2x−6y+1 = 0.

ii. y = (7x−6)−1/3 e perpendicular à reta 12x−7y+2 = 0

iii. 3√

xy = 14x+ y no ponto (2,−32).

iv. x2(x+ y) = a2(x− y) na origem de coordenadas.

v. y = x4−6x e perpendicular à reta x−2y+6 = 0.

vi. y = x− 1x

nos pontos onde esta curva se intersecta com o eixo x.

vii. y =x+9x+5

que passam pela origem de coordenadas.

viii.x2

2− y2

7= 1 e perpendiculares à reta 2x+4y−3 = 0.

ix. x2 +4y2−4x−8y+3 = 0 que passam pelo ponto (−1,3).

x. y2 +4a = 0 que passa pelo ponto (2,1).

1. Encontre a equação ou equações das retas normais à curva:

i. y = x ln(x) e paralela à reta 2x−2y+3 = 0.

ii. y = x√

16+ x2 na origem.

iii. 4x2− y2 = 36 paralelas à reta 2x+5y = 4.


iv. x− y =√

x+ y no ponto (3,1).

2. Obtenha o gráfico de f e determine f ′−(a), f ′+(a) e f ′(a), se existem, onde f e a são definidosa seguir:

i. f (x) = (x−1)bxc, x ∈ [0,2], a = 1. ii. f (x) = (5− x)bxc, x ∈ [4,6], a = 5.

3. Determinedydx

, usando derivação implícita:

i. ey = x+ y. ii. ln(y)+xy= k.

iii. arctg(y

x

)=

12

ln(x2 + y2). iv. y3 =

x− yx+ y

.

v. xy = arctg(y

x

). vi. xsen(y)− cos(y)+ cos(2y) = 0.

vii. ysen(x)− cos(x− y) = 0. viii. sen(xy)+ cos(xy) = tg(x+ y).

ix. x3 +ax2y+bxy2 + y3 = 0. x. x4 + y4 = x2y2.

xi. x− y = arcsen(x)− arcsen(y). xii. x2−a√

xy+ y2 = a.

xiii. 2x4y2−4x2y4 + x2y2 = 6. xiv. y5−2x2y3 +3x4y− x5 = 5.

xv.√

y+ 3√

y+ 4√

y3 = x. xvi.√

xy+2a =√

y.

xvii. x− y = arcsen(x)− arcsen(y). xviii. y = x+ arctg(y).

xix. x3 +2x2y− xy2 +2y3 = 2. xx. x3−3axy+ y3 = a3.

xxi.x3

y2 +x2

y3 =78

. xxii. (x+ y)3 +(x− y)3 = x4 + y4.

xxii. (x+ y)2 +(x− y)2 = x3 + y3. xxiv. (x+ y)y3 = x− y.

xxv. ya = xy.

4. Em cada um dos exercícios do item (11) acima, determinedxdy

usando derivação implícita em

relação de y, ou seja, a = g(y).

5. Encontre a derivada de y = ( f (x))g(x) onde:

i. f (x) = x2 +1, g(x) = sen(x). ii. f (x) = 1+ x2, g(x) = arctg(x).

iii. f (x) = ex, g(x) = xxx. iv. f (x) = 2x, g(x) =

√x.

v. f (x) = x, g(x) = sen(x). vi. f (x) = x, g(x) = ln(x).


vii. f (x) = ln(x), g(x) = x. viii. f (x) = sen(x), g(x) = cos(x).

ix. f (x) = cos(x), g(x) = x. x. f (x) = x, g(x) = x2.

xi. f (x) = ex + ln(x)−8, g(x) =

√x+√

yx−√y

.





Capítulo 6

Aplicações da Derivada


6.2 Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.3 Determinando Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.4 Determinando os Pontos de Inflexão e Concavidade da Curva y=f (x) . . . . . . 153

6.5 Esboçando o gráfico de y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.6 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.7 Formas indeterminadas e a regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168



• Estabelecer se uma função é crescente ou decrescente em um intervalo;

• Determinar os valores extremos, se existirem, de uma função dada;

• Determinar os pontos de inflexão, se existirem, e os intervalos de concavidade paracima e concavidade para baixo de uma função dada;

• Esboçar o gráfico de uma função dada;

• Conhecer o Teorema de Valor Medio e suas generalizações;

• Aprender a regra de L’Hôpital para determinar os valores de limites indeterminados daforma 0/0, ∞/∞, ∞ ·0, ∞−∞, 1∞, 00 e ∞0.

6.1 Introdução

Neste capítulo, estudaremos várias aplicações da derivada. Uma das aplicações mais importantes eúteis da derivada está na determinação dos valores máximos e mínimos de uma função, pois existemmuitos problemas práticos envolvendo esta teoria.


De fato, conheceremos os critérios da primeira e da segunda derivada de uma função para determinarseus valores extremos, seus pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cimae côncava para baixo. Logo, com a ajuda desta teoria e dos conteúdos apresentados nos capítulosanteriores, poderemos esboçar o gráfico de uma função com maior precisão. Depois, apresentaremoso Teorema do Valor Médio e suas generalizações, o qual é útil quando queremos garantir a existênciade determinados pontos com certas propriedades envolvendo a derivada.

Além disso, usaremos a teoria das derivadas para calcular tipos específicos de limites indeterminados,esta técnica é conhecida como a Regra de L’Hôpital.

6.2 Valores Extremos de uma Função

Já sabemos que as funções contínuas sobre um intervalo fechado alcançam seu valor máximo e seuvalor mínimo em pontos deste intervalo. Porém, até o momento não dispúnhamos de um método paraencontrá-los. Nesta seção resolveremos esse problema.

Definição 6.1Seja a função f : R→ R. Diz-se que:

i. f tem um valor máximo relativo, em um ponto x◦ ∈ Dom( f ) se existe uma vizinhançaB(x◦;δ1), de x◦, tal que

f (x◦)≥ f (x), ∀x ∈ B(x◦;δ1)∩Dom( f );

ii. f tem um valor mínimo relativo, em um ponto x◦ ∈ Dom( f ), se existe uma vizinhançaB(x◦;δ2), de x◦, tal que

f (x◦)≤ f (x), ∀x ∈ B(x◦;δ2)∩Dom( f );

iii. f tem um valor máximo absoluto, em um ponto x∗ ∈ Dom( f ), se

f (x∗)≥ f (x), ∀x ∈ Dom( f );

iv. f tem um valor mínimo absoluto, em um ponto x∗ ∈ Dom( f ), se

f (x∗)≤ f (x), ∀x ∈ Dom( f ).

Na figura abaixo podemos ver esses conceitos ilustrados:

f

x( )

x

( )x°

°

x

x**


Nota

a. Máximos e mínimos relativos podem também ser chamados de máximos e mínimoslocais;

b. Máximos e mínimos absolutos podem também ser chamados de máximos e mínimosglobais;

c. Os valores máximos (absolutos ou relativos) e mínimos (absolutos ou relativos) sãochamados de valores extremos.

d. Todo máximo absoluto é um máximo relativo e, de forma análoga, todo mínimo abso-luto é um mínimo relativo;

e. Uma função pode ter infinitos valores extremos;

f. Se o domínio de uma função for ilimitado ou um intervalo aberto ou semiaberto, elapode não ter valores extremos. Este fato é ilustrado no próximo exemplo.

Exemplo 6.1Dada a função f (x) = x3, determinemos seus valores extremos, caso existam, para os diferentesdomínios:

a. Dom( f ) = R

Soluçãof não tem valores extremos, pois f é ilimitada neste domínio. Veja o item (a) da figuraabaixo.

b. Dom( f ) = [−2,2]

Soluçãof tem valores extremos em −2 e 2, com valor mínimo absoluto f (−2) = −8 e valormáximo absoluto f (2) = 8. Veja o item (b) da figura abaixo.

y = f(x)

x

y

(a)

y = f(x)

x

y

(b)

y = f(x)

x

y

(d)

y = f(x)

x

y

(c)

c. Dom( f ) = (−2,2]

Soluçãof não tem valores mínimos relativos, pois −2 /∈ Dom( f ), porém tem um valor extremoem 2, com f (2) = 8. Veja o item (c) da figura acima.

d. Dom( f ) = (−2,2).

Soluçãof não tem valores extremos, pois −2,2 /∈ Dom( f ). Veja o item (d) da figura acima.

Teorema 6.1 (Teorema do Valor Extremo)Se f é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b], então f atinge tanto umvalor máximo absoluto M quanto um valor mínimo absoluto m neste intervalo. Isto é, existemx1, x2 ∈ [a,b] tais que:

f (x1) = m, f (x2) = M e m≤ f (x)≤M para qualquer x ∈ [a,b].

A seguinte Nota ilustra algumas possíveis localizações dos valores extremos de uma função contínuaem um intervalo fechado [a,b]

Nota

y = f(x)

x

(a)

y = f(x)

x

(b)

y = f(x)

x

(d)

y = f(x)

x

(c)

a. No item (a), f tem valores extremos em x2 e x1, e estão no interior de [a,b];

b. No item (b), f tem valores extremos nas extremidades do intervalo a e b;

c. No item (c), f tem valores extremos em x3, ponto interior de [a,b], e na extremidade a;

d. No item (d), f tem valores extremos em x4, ponto interior de [a,b], e na extremidade b.

No Teorema 6.1, as hipóteses do intervalo ser fechado e limitado, e a função ser contínua,são hipóteses fundamentais, sem estas, as conclusões não são válidas. Por exemplo, afunção f (x) = ln(x) é contínua no intervalo aberto (0,1), porém, não tem valores extremos.

6.3 Determinando Valores Extremos de uma Função

Teorema 6.2Seja f : R→ R uma função contínua em um intervalo [a,b] e derivável em (a,b).

i. Se f ′(x)> 0, para todo x ∈ (a,b), então f é crescente em [a,b];

ii. Se f ′(x)< 0, para todo x ∈ (a,b), então f é decrescente em [a,b].

Proposição 6.1 (Condição suficiente da derivada primeira para valores extremos)Sejam f : R→R uma função e B(c;δ ) = (c−δ ,c+δ )⊆Dom( f ), uma vizinhança, de c. Se fé contínua em B(c;δ ) e derivável em B(c;δ ), exceto talvez em c.

i. Se f ′(x) > 0, para todo x ∈ (c− δ ,c), e f ′(x) < 0, para todo x ∈ (c,c+ δ ), então f (c) éum valor máximo relativo de f ;

ii. Se f ′(x) < 0, para todo x ∈ (c− δ ,c), e f ′(x) > 0, para todo x ∈ (c,c+ δ ), então f (c) éum valor mínimo relativo de f .

Teorema 6.3 (Condição necessária da derivada primeira para valores extremos)Sejam f : R→ R uma função e c um ponto interior de Dom( f ). Se f possui um valor máximoou um mínimo relativo em c e se f ′ esta definida em c, então

f ′(c) = 0.

Nota

a. O Teorema 6.3 nos diz que a primeira derivada de uma função é sempre zero em umponto interior do seu domínio em que a função tenha um valor extremo e a derivadaseja definida. Assim, os únicos pontos em que f pode ter valores extremos são:

1. pontos interiores em que f ′ = 0;

2. pontos interiores em que f ′ não existe;

3. extremidades do domínio de f .

b. f ′(c) = 0 implica que a reta tangente à curva y = f (x), no ponto P = (c, f (c)), éuma reta horizontal. A figura a seguir ilustra esse fato nos pontos P1 = (x◦, f (x◦)),P2 = (x∗, f (x∗)), P3 = (x∗, f (x∗)) e P4 = (x◦, f (x◦)).

f

xxx°°

x

x**

Proposição 6.2 (Condição suficiente da derivada segunda para valores extremos)Sejam f : R→ R uma função e B(c;δ )⊆ Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponhamos que f éduas vezes diferencíavel em B(c;δ ).

i. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)< 0, então f (c) é um valor máximo local de f ;

ii. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c)> 0, então f (c) é um valor mínimo local de f ;

iii. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, então não temos nenhuma conclusão, isto é, f (c) pode ser umvalor extremo ou não.

A definição apresentada a seguir resume essas informações.

Definição 6.2um ponto interior do domínio de uma função f em que f ′ é zero ou indefinida é um pontocrítico de f .

A Proposição 6.1, o Teorema 6.3 e a Definição 6.2 nos permitem estabelecer o seguinte critério paradeterminar os valores extremos de uma função contínua:

Critério da derivada primeira para encontrar valores extremos

1. Determinar os pontos críticos da função f ;

2. Se c é um ponto crítico, devemos determinar o sinal de f ′(x), primeiro para x < c, sufici-entemente próximos, e depois para c < x, suficientemente próximos:

i. Se o sinal muda de − para +, então f (c) é um valor mínimo relativo;ii. Se o sinal muda de + para −, então f (c) é um valor máximo relativo;

iii. Se não existe variação do sinal, então f não existem valores extremos em c.

Determinando os intervalos de crescimento e decrescimento de fDo Teorema 6.2 e da Proposição 6.1, podemos concluir que para determinar os intervalos decrescimento e decrescimento de uma função f é suficiente determinar os pontos críticos de fe os pontos onde f não esteja definida. Logo, com estes pontos definimos intervalos abertos, eanalisamos se f ′ é positiva ou negativa em cada um destes intervalos.

A Proposição 6.2 e a Definição 6.2 nos permitem estabelecer o seguinte critério para determinar osvalores máximos e/ou mínimos relativos de uma função contínua:

Critério da derivada segunda para encontrar valores extremos

1. Determinar os pontos críticos da função f ;

2. Se c é um ponto crítico, calcular f ′′(c):

i. Se f ′′(c)> 0, então f (c) é um valor mínimo relativo;ii. Se f ′′(c)< 0, então f (c) é um valor máximo relativo;

iii. Se f ′′(c) = 0 ou f ′′(c) não existe, então este critério não pode ser aplicado.

Exemplo 6.2Determinemos os intervalos de crescimento e decrescimento, e os valores extremos de f :

a. f (x) = 2x3 +6x2−48x+9

Solução1. Dom( f ) = R;2. Da definição de f , temos que f ′(x) = 6x2 +12x−48 = 6(x+4)(x−2).

Logo, os pontos críticos são:

x =−4 e x = 2.

e os intervalos onde analisaremos se f é crescente ou decrescente são:

(−∞,−4), (−4,2) e (2,+∞).

Intervalos Sinal de f ′ Cresc. ouDecresc.

(−∞,−4) + cresce(−4,2) − decresce(2,+∞) + cresce


Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:• f (−4) = 169 é um valor máximo relativo, em x =−4;• f (2) =−47 é um valor mínimo relativo, em x = 2.

b. f (x) =4

x−1+

3x+23

Solução1. Dom( f ) = R\{1};

2. Da definição de f , temos que f ′(x) =− 4(x−1)2 +

33=

(x+1)(x−3)(x−1)2 .

Note que, x = 1 não é um ponto crítico, pois 1 /∈ Dom( f ). Logo, os pontos críticossão:

x =−1 e x = 3.


(−∞,−1), (−1,1), (1,3) e (3,+∞).


(−∞,−1) + cresce(−1,1) − decresce(1,3) − decresce(3,+∞) + cresce

Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:

• f (−1) =−73

é um mínimo relativo;

• f (3) =173

é um máximo relativo.

c. f (x) = 3x1/3(x+4)2/3

Solução1. Dom( f ) = R;

2. Da definição de f , temos que f ′(x) =(x+4)2/3

x2/3 +2x1/3

(x+4)1/3 =3x+4

x2/3(x+4)1/3 .

Logo, os pontos críticos são:

x =−4, x =−43

e x = 0.


(−∞,−4),(−4,−4

3

),

(−4

3,0)

e (0,+∞).

(−∞,−4) + cresce(−4,−4

3

)− decresce(

−43 ,0)

+ cresce(0,+∞) + cresce

Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:• f (−4) = 0 é um máximo relativo;

• f(−4

3

)=−4 3

√4 é um mínimo relativo;

• f (0) = 0, porém não é extremo relativo.

d. f (x) ={ √

16− (x+3)2, se −7≤ x≤ 1;1− x2, se x > 1

Solução1. Dom( f ) = [−7,+∞);

2. Da definição de f , temos que f ′(x) =

−x+3√

16− (x+3)2, se −7 < x < 1

−2x, se x > 1.

Note que,• x = 0 não é um ponto crítico, pois f ′(x) = −2x está definida para todo x > 1, e

0 < 1;• x =−7 não é um ponto crítico, pois não pertence ao interior de Dom( f ).Logo, os pontos críticos são:

x =−3 e x = 1.


(−7,−3), (−3,1) e (1,+∞).


(−7,−3) + cresce(−3,1) − decresce(1,+∞) − decresce

Portanto, do critério da derivada primeira para encontrar valores extremos, temos que:• f (−3) = 4 é um máximo relativo;• f (0) = 0 não é extremo relativo.


6.4 Determinando os Pontos de Inflexão e Concavidade da Curvay=f (x)

Os conceitos de pontos de inflexão e concavidade são muito úteis no esboço do gráfico de uma curva.Na figura abaixo, no item (a) observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontospróximos de c o gráfico de f estará acima da reta tangente à curva y = f (x), no ponto P = (c, f (c)).Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a,b).

Como f ′(x) é a inclinação da reta tangente à curva, no item (b) observa-se que no intervalo (a,b) aderivada f ′(x) é crescente.

a bc

y = f(x)

P

y

x a b

y

x

y = f(x)

(a) (b)

Geometricamente falando, isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida quesobre a curva da esquerda para a direita.

Analogamente, o inverso vale para uma função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo(a,b), isto é, o gráfico de f estará abaixo da reta tangente à curva y = f (x), no ponto P = (c, f (c)),veja o item (a) da figura a seguir:

a bc

y = f(x)

P

y

x a b

y

x

y = f(x)

(a) (b)

No item (b) da figura acima, vemos que quando a concavidade é voltada para baixo a reta tangentegira no sentido horário à medida que nos deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. Aderivada f ′(x) é decrescente em (a,b).

Assim, temos a seguinte definição:

Definição 6.3Sejam f : R→ R uma função e (a,b) intervalo, com (a,b) ⊂ Dom( f ). Diz-se que a curvay = f (x) é:

i. côncava para cima em (a,b) se f ′(x) for crescente neste intervalo;

ii. côncava para baixo em (a,b) se f ′(x) for decrescente neste intervalo.

NotaTendo em vista que a reta tangente à curva y = f (x), no ponto P = (c, f (c)), divide o planoem dois semiplanos (um superior e outro inferior). Logo, dizer que a curva é côncava paracima no ponto P significa que seu gráfico encontra-se no semiplano superior, ou que a retatangente se encontra por baixo da curva.De forma análoga, dizer que a curva é côncava para baixo no ponto P significa que seugráfico encontra-se no semiplano inferior, ou que a reta tangente se encontra por cima dacurva.

Definição 6.4Sejam f : R→ R uma função e c ∈ Dom( f ). Diz-se que P = (c, f (c)) é um ponto de inflexãode f , Se f é contínua em c, e existe um δ > 0 tal que as concavidades nos intervalos (c−δ ,c)e (c,c+ δ ) são diferentes. Em outras palavras, um ponto de inflexão é um ponto em que ográfico de uma função possui uma reta tangente e há mudança de concavidade.

x

f ''(c) = 0

f ''(x) > 0f ''(x) < 0

Ponto de

Inflexão

f

c

Proposição 6.3 (Teste da segunda derivada para concavidade)Sejam f : R→ R uma função e B(c;δ ) ⊂ Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponha que f éderivável em B(c;δ ) e f ′′(c) 6= 0.

i. Se f ′′(c)> 0, então f é côncava para cima no ponto P = (c, f (c));

ii. Se f ′′(c)< 0, então f é côncava para baixo no ponto P = (c, f (c)).

Corolário 6.1Se f é derivável duas vezes em B(c;δ )⊂Dom( f ) e P = (c, f (c)) é um ponto de inflexão de f ,então f ′′(c) = 0.

Proposição 6.4 (Condição suficiente para pontos de inflexão)Sejam f : R→R uma função e B(c;δ )⊂Dom( f ) uma vizinhança, de c. Suponha que f é duasvezes derivável em B(c;δ ), exceto talvez em x = c, porém contínua em x = c, e

i. f ′′(c) = 0 ou não existe f ′′(c);

ii. f ′′ tem sinais opostos em (c−δ ,c) e em (c,c+δ ).

Então, P = (c, f (c)) é um ponto de inflexão.

Das Proposições 6.3 e 6.4 podemos estabelecer o seguinte critério para encontrar os pontos de infle-xão de uma função contínua f :

Critério para determinar os pontos de inflexão de uma função

1. Encontrar os valores de x para os quais f ′′ é zero ou indefinida, chamaremos tais valoresde pontos críticos de inflexão (pci);

2. Se c é um pci, devemos determinar o sinal de f ′′(x), primeiro para x < c, suficientementepróximos, e depois para c < x, suficientemente próximos:

i. Se f ′′(x) muda de sinal, então o pci avaliado gera o ponto de inflexão P = (c, f (c));ii. Se não existe variação do sinal, então o pci avaliado não gera nenhum ponto de infle-

xão;

Determinando os intervalos de concavidade da curva y = f (x)Da Definição 6.3 e da Proposição 6.4, podemos concluir que para determinar os intervalos deconcavidade da curva y= f (x) é suficiente determinar os pci de f , e os pontos onde f não estejadefinida. Logo, com estes pontos definimos intervalos abertos, e analisamos se f ′′ é positiva ounegativa em cada um destes intervalos.

Exemplo 6.3Determinemos os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e os pontos de inflexão de fdefinida por:

a. f (x) = x6− x5

Solução1. Dom( f ) = R;2. f é contínua em Dom( f );3. Da definição de f , temos que f ′(x) = 6x5−5x4;4. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) = 30x4−20x3 = 10x3(3x−2);

Logo, os pontos críticos de inflexão são:

x = 0 e x = 2/3.

e os intervalos onde analisaremos se f é côncava para cima ou para baixo são:

(−∞,0),(

0,23

)e(

23,+∞

).

A análise dos sinais de f ′′(x) é mostrada na tabela a seguir:

Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade(−∞,0) + para cima(

0, 23

)− para baixo(2

3 ,+∞)

+ para cima

Portanto, P1 =(0, f (0))= (0,0) e P2 =(2

3 , f(2

3

))=(2

3 ,−32729

)são pontos de inflexão.

O item (a) da figura abaixo mostra o gráfico dessa função.

b. f (x) ={

(x−3)2, se x≥ 3;− 3√

x−3, se x < 3

Solução

1. Dom( f ) = R;2. f é contínua em Dom( f );

3. Da definição de f , temos que f ′(x) =

2(x−3), se x > 3;

− 1

3 3√

(x−3)2, se x < 3.

4. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =

2, se x > 3;

2

9 3√(x−3)5

, se x < 3.

Logo, o ponto crítico de inflexão é x= 3, pois para x= 3, f ′′ não existe, e os intervalosonde analisaremos se f é côncava para cima ou para baixo são:

(−∞,3) e (3,+∞) .


Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade(−∞,3) − para baixo(3,+∞) + para cima

Portanto, P = (3, f (3)) = (3,0) é ponto de inflexão. O item (b) da figura abaixomostra o gráfico dessa função.

x

y

f

50

1

fx

y

10

f

(a)

x

y

30

f

(b) (c)

c. f (x) =x+1x−5

Solução1. Dom( f ) = R\{5};2. f é contínua em Dom( f );

3. Da definição de f , temos que f ′(x) =− 6(x−5)2 ;

4. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =12

(x−5)3 ;

Note que, x = 5 não é um ponto crítico de inflexão, pois 5 /∈Dom( f ). Portanto, f nãotem pontos de inflexão, e os intervalos onde analisaremos se f é côncava para cimaou para baixo são:

(−∞,5) e (5,+∞) .

O item (c) da figura acima mostra o gráfico dessa função.

Proposição 6.5 (Condição suficiente de concavidade e pontos de inflexão com a n−ésima derivada)

Sejam f : R→ R uma função e B(c;δ ) ⊂ Dom( f ) uma vizinhança de c. Suponha que f temderivadas contínuas até a ordem n em B(c;δ ),

f ′′(c) = f ′′′(c) = · · ·= f (n−1)(c) = 0 e f (n)(c) 6= 0.

i. Se n é par e f (n)(c)> 0, então f é côncava para cima em x = c;

ii. Se n é par e f (n)(c)< 0, então f é côncava para baixo em x = c;

iii. Se n é ímpar, então P = (c, f (c)) é um ponto de inflexão da curva y = f (x).

Proposição 6.6 (Condição suficiente de valor extremo e pontos de inflexão com a n−ésima derivada)

Sejam f : R→ R uma função e B(c;δ ) ⊂ Dom( f ) uma vizinhança de c. Suponha que f temderivadas contínuas até a ordem n em B(c;δ ),

f ′′(c) = f ′′′(c) = · · ·= f (n−1)(c) = 0 e f (n)(c) 6= 0.

i. Se n é par e f (n)(c)> 0, então f tem um valor mínimo em c;

ii. Se n é par e f (n)(c)< 0, então f tem um valor máximo em c;

iii. Se n é ímpar, então P = (c, f (c)) é um ponto de inflexão da curva y = f (x).

Exemplo 6.4Determinemos os valores extremos e pontos de inflexão de f definida por:

a. f (x) = (x−2)6


f ′(x) = 6(x−2)5, f ′′(x) = 30(x−2)4, f ′′′(x) = 120(x−2)3

f (4)(x) = 360(x−2)2, f (5)(x) = 720(x−2) e f (6)(x) = 720.

Logo, a equação f ′(x) = 0 admite uma única solução em x = 2.Como f ′(2) = f ′′(2) = f ′′′(2) = f (4)(2) = f (5)(2) = 0, f (6)(2) > 0 e n = 6 é par, entãoaplicando a Proposição 6.6, existe um valor mínimo de f em x = 2, isto é, o valor mínimoé f (2) = 0, e não existem pontos de inflexão.

b. f (x) = (x−2)5 +5


f ′(x) = 5(x−2)4, f ′′(x) = 20(x−2)3, f ′′′(x) = 60(x−2)2

f (4)(x) = 120(x−2) e f (5)(x) = 120.


Logo, a equação f ′(x) = 0 admite uma única solução em x = 2.Como f ′(2) = f ′′(2) = f ′′′(2) = f (4)(2) = 0, f (5)(2)> 0 e n = 5 é ímpar, então aplicandoa Proposição 6.6, P = (2, f (2)) = (2,5) é um ponto de inflexão da curva y = f (x), e nãoexistem valores extremos.

6.5 Esboçando o gráfico de y = f (x)

O esboço do gráfico de uma função é muito importante, pois com ele podemos determinar o seucomportamento em R. Para esboçar o gráfico de uma função, precisaremos da teoria de limites, decontinuidade e de derivadas. O procedimento é o seguinte:

1. Determinar o domínio de f , Dom( f );

2. Determinar as interseções com os eixos;

3. Verificar a simetria da função, a existência de assíntotas, os limites nos extremos de Dom( f ) enos pontos de descontinuidade, a fim de determinar o comportamento da função nesses pontos;

4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, e os valores extremos da função;

5. Determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e os pontos de inflexão;

6. Esboçar o gráfico da função com informações obtidas.

Exemplo 6.5Esboçe o gráfico de f definida por:

a. f (x) =x2− x−2

x−5

Solução1. Dom( f ) = R\{5};2. Interseções com os eixos:

• Com o eixo y: para x = 0, temos que f (0) = 2/5• Com o eixo x: para f (x) = 0, temos que x =−1 ou x = 2Logo, os pontos de interseção com os eixos são: (0,2/5), (−1,0) e (2,0).

3.• O gráfico não é simétrico com respeito ao eixo y pois f (−x) 6= f (x)• Assíntota vertical: x = 5 porque

limx→5−

f (x) =−∞ e limx→5+

f (x) = +∞;

• Assíntotas horizontais: não existem porque

limx→−∞

f (x) =−∞ e limx→+∞

f (x) = +∞;

• Assíntotas oblíquas: y = x+4 é a única oblíqua porque

limx→±∞

f (x)x

= 1 e limx→±∞

( f (x)− x) = 4.


4. Da definição de f , temos que f ′(x) =x2−10x+7(x−5)2 .

Logo, os pontos críticos são x = 5−3√

2 e x = 5+3√

2, e os intervalos onde anali-saremos o crescimento ou decrescimento de f são:

(−∞,5−3√

2), (5−3√

2,5), (5,5+3√

2) e (5+3√

2,+∞).

A análise dos sinais de f ′(x) é mostrada na tabela a seguir:


(−∞,5−3√

2) + crescente(5−3

√2,5) − decrescente

(5,5+3√

2) − decrescente(5+3

√2,+∞) + crescente

Então, f (5−3√

2) é um valor máximo e f (5+3√

2) é um valor mínimo.

5. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =36

(x−5)3 .

Logo, não existem pontos críticos de inflexão, pois 5 /∈ Dom( f ) e os intervalos ondeanalisaremos a concavidade para cima ou para baixo de f são:

(−∞,5) e (5,+∞).



6. Portanto, o gráfico de f é o item (a) da figura a seguir:

x

y

0

f

f

-4

4

5

x

y

0

f

f

-2 2

(a) (b)

b. f (x) =x

x2−4

Solução1. Dom( f ) = R\{−2,2};2. Interseções com os eixos: (0,0);3.

• O gráfico de f não é simétrico em relação ao eixo y porque f (−x) 6= f (x).

• Assíntotas verticais: x =−2 e x = 2, porque

limx→−2−

f (x) =−∞ e limx→−2+

f (x) = +∞;

limx→2−

f (x) =−∞ e limx→2+

f (x) = +∞;

• Assíntota horizontal: y = 0;• Assíntotas oblíquas: não existem.

4. Da definição de f , temos que f ′(x) =− x2 +4(x2−4)2 .

Logo, não existem pontos críticos, e os intervalos onde analisaremos o crescimentoou decrescimento de f são:

(−∞,−2), (−2,2) e (2,+∞).

Porém, neste caso não será necessário fazer este analise, já que, f ′(x) < 0 para todox ∈ Dom( f ). Assim, f é decrescente em Dom( f ).

5. Da definição de f ′, temos que f ′′(x) =2x(x2 +12)(x2−4)3 .

Logo, x = 0 é um ponto crítico de inflexão, e os intervalos onde analisaremos a con-cavidade para cima ou para baixo de f são:

(−∞,−2), (−2,0), (0,2) e (2,+∞).


Intervalos Sinal de f ′′ Concavidade(−∞,−2) − para baixo(−2,0) + para cima(0,2) − para baixo(2,+∞) + para cima

Assim, para x = 0, temos que o ponto P = (0, f (0)) = (0,0) é um ponto de inflexão;6. Portanto, o gráfico de f é o item (b) da figura acima.

6.6 Teorema do Valor Médio

O Teorema do Valor Médio para derivadas é importante na teoria de cálculo por conta das muitaspropriedades das funções que podem ser deduzidas a partir dele. Por exemplo, sabemos que fun-ções constantes têm derivadas iguais a zero, mas poderia existir uma função mais complicada cujasderivadas fossem sempre zero? A seguinte teoria nos diz sobre esse assunto.

Teorema 6.4 (Teorema de Rolle)Sejam f : R→ R uma função e [a,b] um intervalo. Suponha que f é contínua em [a,b] ederivável em (a,b) tal que f (a) = 0 e f (b) = 0, então existe pelo menos um ponto c ∈ (a,b)que verifica

f ′(c) = 0.


f

xa

b

c1 c2 c3

c4

NotaNo Teorema 6.4:

a. a condição de continuidade de f em [a,b] é obviamente muito importante, pois garanteque o gráfico de f não tenha saltos bruscos dentro de [a,b].

b. o resultado continua sendo válido se a hipótese f (a) = 0 e f (b) = 0 for substituídapor f (a) = f (b). A figura a seguir ilustra este fato:

c1a

f

xa b

f

c

c2

c3 xb

c. afirma-se que a curva deve ter pelo menos uma reta tangente horizontal em algumponto do intervalo (a,b).

Teorema 6.5 (Teorema do Valor Médio ou de Lagrange)Sejam f : R→ R uma função e [a,b] um intervalo. Suponha que f é contínua em [a,b] ederivável em (a,b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b−a,

ou equivalentemente,f ′(c)(b−a) = f (b)− f (a).

a bc

y = f(x)

A

B

P

y

x

f(b)

f(a)


Frequentemente, a seguinte extensão do Teorema do Valor Médio é útil. Ela é conhecida na literaturacomo o Teorema Generalizado do Valor Médio de Cauchy:

Teorema 6.6Sejam f e g : R→ R funções e (a,b) um intervalo. Suponha que f e g são continuas em [a,b],deriváveis em (a,b), com g(a) 6= g(b) e g′(x) 6= 0, ∀x ∈ (a,b). Então, existe pelo menos umc ∈ (a,b) tal que

f ′(c)g′(c)

=f (b)− f (a)g(b)−g(a)

.

NotaDevemos observar que tanto o Teorema 6.6 quanto o Teorema do Valor Médio não es-pecificam a posição exata do “valor médio” ou “valores médios”, já que em muitos casosessa é uma tarefa difícil. Contudo, a utilidade real desses teoremas está no fato de que elesgarantem a existência de um ponto, ou pontos, e as concluções que podemos tirar dessefato.

A prova dos seguintes resultados pode ser obtida aplicando o Teorema do Valor Médio e o Teorema6.6.

Teorema 6.7 (Teorema da função constante)Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a,b), então f é uma função constante em (a,b).

Teorema 6.8 (Teorema da diferença constante)Sejam f e g funções contínuas em [a,b]. Então, f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a,b) se, e somentese, f (x) = g(x)+ k, onde k é uma constante.

6.7 Formas indeterminadas e a regra de L’Hôpital

Em muitos exemplos das seções e capítulos anteriores, calculamos o limite de um quociente f (x)/g(x)onde o numerador f (x) e o denominador g(x) tendem a 0 ou ∞. Nos exemplos desse tipo diz-se queo quociente f (x)/g(x) adota uma forma indeterminada.

Uma maneira de resolver esses problemas é obtendo polinômios de aproximação para f (x) e parag(x). Algumas vezes o trabalho pode ser abreviado com o uso de uma técnica de derivação denomi-nada de regra de L’Hôpital

Caso I: Forma indeterminada 0/0

Teorema 6.9Suponha que lim

x→af (x) = 0 e lim

x→ag(x) = 0, que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto I,

que g′(x) 6= 0, ∀x ∈ I e

limx→a

f ′(x)g′(x)

= p,

com p ∈ R ou p =+∞ ou p =−∞. Então,

limx→a

f (x)g(x)

= p.


Nota

a. Se limx→a

f ′(x)g′(x)

também resulta numa indeterminação 0/0, então podemos aplicar a re-

gra de L’Hôpital repetidas vez até obter, p ∈ R ou p =+∞ ou p =−∞.

b. Na notação x→ a, a pode ser finito ou infinito. Além disso, x→ a pode ser substituídopelos limites laterais x→ a− ou x→ a+.


a. limx→0

1− e2x

x

SoluçãoFazendo f (x) = 1− e2x e g(x) = x, temos que

limx→0

f (x) = 0 e limx→0

g(x) = 0.

Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Das definições de f (x) e g(x), temos quef ′(x) =−2e2x e g′(x) = 1. Assim,

limx→0

1− e2x

x= lim

x→0

(1− e2x)′

(x)′= lim

x→0

−2e2x

1=−2.

Portanto, limx→0

1− e2x

x=−2.

b. limx→0

sen(x)x

SoluçãoFazendo f (x) = sen(x) e g(x) = x, temos que

limx→0

f (x) = 0 e limx→0

g(x) = 0.

Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Das definições de f (x) e g(x), temos quef ′(x) = cos(x) e g′(x) = 1. Assim

limx→0

sen(x)x

= limx→0

(sen(x))′

(x)′= lim

x→0

cos(x)1

= 1.

Portanto, limx→0

sen(x)x

= 1.

c. limx→0

x− tg(x)x− sen(x)

SoluçãoFazendo f (x) = x− tg(x) e g(x) = x− sen(x), temos que

limx→0

f (x) = 0 e limx→0

g(x) = 0.


Logo, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Das definições de f (x) e g(x), temos quef ′(x) = 1− sec2(x) e g′(x) = 1− cos(x). Porém,

limx→0

f ′(x) = 0 e limx→0

g′(x) = 0

Desde que o quociente das derivadasf ′(x)g′(x)

tende à forma indeterminada 0/0, da Nota

anterior, podemos aplicar a regra de L’Hôpital repetidas vezes até eliminar essa indeter-minação. Neste caso, aplicaremos duas vezes mais a regra de L’Hôpital, ou seja, até aderivada de ordem 3. Assim

limx→0


= limx→0

(x− tg(x))′

(x− sen(x))′= lim

x→0

1− sec2(x)1− cos(x)

limx→0

1− sec2(x)1− cos(x)

= limx→0

(1− sec2(x))′

(1− cos(x))′= lim

x→0

−2tg(x)sec2(x)sen(x)

limx→0

−2tg(x)sec2(x)sen(x)

= limx→0

(−2tg(x)sec2(x))′

(sen(x))′= lim

x→0

−2(1+3tg2(x))cos2(x)

=−2.

Portanto, limx→0


=−2.

Caso II: Forma Indeterminada ∞/∞

Em tratamentos mais avançados de cálculo é provado que a regra de L’Hôpital aplica-se àforma indeterminada ∞/∞, da mesma forma que 0/0, ou seja, se f (x)→±∞ e g(x)→±∞,quando x→ a, então

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

.

Nota

a. Se limx→a

f ′(x)g′(x)

também resulta numa indeterminação ∞/∞ ou 0/0, então podemos apli-

car a regra de L’Hôpital repetidas vez até eliminar a indeterminação;

b. Na notação x→ a, a pode ser finito ou infinito. Além disso, x→ a pode ser substituídopelos limites laterais x→ a− ou x→ a+.

Exemplo 6.7Determinemos os limites da forma ∞/∞:

a. limx→+∞

ex

x2


x→+∞ex =+∞ e lim

x→+∞x2 =+∞, obtemos

limx→+∞

ex

x2 = limx→+∞

(ex)′

(x2)′= lim

x→+∞

ex

2x= lim

x→+∞

ex

2=+∞.

Portanto, limx→+∞

ex

x2 =+∞.


b. limx→π/2+

tg(x)−5sec(x)+4


x→π/2+tg(x) =−∞ e lim

x→π/2+sec(x) =−∞, temos que

limx→π/2+

tg(x)−5sec(x)+4

= limx→π/2+

(tg(x)−5)′

(sec(x)+4)′= lim

x→π/2+

sec2(x)sec(x)tg(x)

= limx→π/2+

1sen(x)

= 1.

Portanto, limx→π/2+

tg(x)−5sec(x)+4

= 1

c. limx→+∞

ln(x)4√

x


x→+∞ln(x) = +∞ e lim

x→+∞4√

x =+∞, temos que

limx→+∞

ln(x)4√

x= lim

x→+∞

(ln(x))′

(4√

x)′= lim

x→+∞

1x2√x

= limx→+∞

12√

x= 0.


ln(x)4√

x= 0.

Caso III: Forma Indeterminada ∞ ·0Para determinar lim

x→af (x)g(x), quando lim

x→af (x) = ∞ e lim

x→ag(x) = 0, a função f (x)g(x) deve ser

expressa de forma que adote uma das formas indeterminadas: 0/0 ou ∞/∞. Em outras palavras,podemos reescrevê-la como

limx→a

f (x)g(x) = limx→a

f (x)1

g(x)

ou limx→a

f (x)g(x) = limx→a

g(x)1

f (x)

,

e assim, podemos aplicar as regras estabelecidas anteriormente.

Exemplo 6.8Determinemos os limites da forma ∞ ·0:

a. limx→+∞

x1/4sen(

1√x

)Solução

Desde que limx→+∞

x1/4 =+∞ e limx→+∞

sen(

1√x

)= 0, fazendo z =

1√x

, temos que x→+∞

se, e somente se, z→ 0+, logo,

limx→+∞

x1/4sen(

1√x

)= lim

z→0+

sen(z)√z

= limz→0+

cos(z)1

2√

z

= limz→0+

2√

zcos(z) = 0.


b. limx→0+

√x ln(x)


x→0+

√x = 0 e lim

x→0+ln(x) =−∞, temos que

limx→0+

√x ln(x) = lim

x→0+

ln(x)1/√

x= lim

x→0+

1/x

−1/2√

x3= lim

x→0+(−2√

x) = 0.

Caso IV: Forma Indeterminada ∞−∞

Para determinar limx→a

( f (x)−g(x)), quando limx→a

f (x) =±∞ e limx→a

g(x) =±∞. Devemos analisaras seguintes possibilidades:

i. Se ao tentar calcular este limite temos algumas destas expressões:

(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞), (+∞)+(−∞), (−∞)+(+∞),

então estamos diante de uma forma indeterminada do tipo ∞−∞. Estes limites são deno-minados indeterminados, pois existe um conflito sobre qual dos dois termos domina, nofinal das contas.

ii. Se ao tentar calcular um limite temos algumas destas expressões:

(+∞)+(+∞), (−∞)+(−∞), (+∞)− (−∞), (−∞)− (+∞),

elas não são indeterminadas, pois devemos lembrar que:

(+∞)+(+∞) = (+∞)− (−∞) = +∞, (−∞)+(−∞) = (−∞)− (+∞) =−∞.

Então, no caso de ter alguma das formas indeterminadas ∞−∞, precisamos utilizar a equiva-lência:

f −g = f .g(

1g− 1

f

)Desde que lim

x→af (x).g(x) = ∞ e lim

x→a

(1g− 1

f

)= 0, então podemos aplicar o Caso III.

Exemplo 6.9Determinemos o limite

limx→π/2−

(tg(x)− sec(x))

que é da forma ∞−∞:


x→π/2−tg(x) = +∞ e lim

x→π/2−sec(x) = +∞, temos que

limx→π/2−

(tg(x)− sec(x)) = limx→π/2−

(tg(x).sec(x))(

1sec(x)

− 1tg(x)

).

e aplicando o Caso III indeterminação 0/0.

limx→π/2−

(tg(x).sec(x))(

1sec(x)

− 1tg(x)

)= lim

x→π/2−

(1

sec(x)− 1

tg(x)

)′(

1tg(x).sec(x)

)′ .


Porém,

tg(x).sec(x) =sen(x)cos2(x)

e1

sec(x)− 1

tg(x)=

1− sen(x)cos(x)

.

Assim, (1

tg(x).sec(x)

)′=

(cos2(x)sen(x)

)′=−cos(x)(2sen2(x)− cos2(x))

sen2(x),(

1sec(x)

− 1tg(x)

)′=

(1− sen(x)

cos(x)

)′=−

(cos2(x)+ sen2(x)

cos2(x)

)=− 1

cos2(x).

e (1

sec(x)− 1

tg(x)

)′(

1tg(x).sec(x)

)′ =

− 1cos2(x)

−cos(x)(2sen2(x)− cos2(x))sen2(x)

=sen2(x)

cos3(x)(2sen2(x)− cos2(x)).

Portanto,

limx→π/2−

(tg(x)− sec(x)) = limx→π/2−

sen2(x)cos3(x)(2sen2(x)− cos2(x))

=1

0+=+∞.

Caso V: Potências indeterminadasOs limites da forma 1∞, 00 e ∞0 podem, as vezes, ser tratados em função de um logarítmo,que por sua vez pode ser resolvido usando a regra de L’Hôpital. Este procedimento pode serjustificado pela continuidade da função exponencial e o teorema que fala sobre a continuidadeda composição de funções. Em outras palavras:

Proposição 6.7Se lim

x→aln( f (x)) = L, então

limx→a

f (x) = elimx→a

ln( f (x))= eL.

NotaSe lim

x→aln( f (x)) também resulta em alguma indeterminação já vista, então podemos aplicar

a regra de L’Hôpital repetidas vez até eliminar dita indeterminação.

Exemplo 6.10Determinemos os seguintes limites:

a. limx→0+

(1+ x2)1/x2

SoluçãoNotemos que essa indeterminação é da forma 1∞. Fazendo f (x) = (1+ x2)1/x2

, determi-nemos lim

x→0+ln( f (x)). Como

ln((1+ x2)1/x2)

=1x2 ln(1+ x2) =

ln(1+ x2)

x2


pela regra de L’Hôpital, temos que

limx→0+

ln(1+ x2)

x2 = limx→0+

2x2x(1+ x2)

= 1

Portanto, limx→0+

(1+ x2)1/x2= e1 = e.

b. limx→+∞

x1/x2

SoluçãoNotemos que essa indeterminação é da forma ∞0. Fazendo f (x) = x1/x2

, determinemoslim

x→+∞ln( f (x)). Como

ln(x1/x2) =

1x2 ln(x) =

ln(x)x2

pela regra de L’Hôpital, temos que

limx→+∞

ln(x)x2 = lim

x→+∞

1/x2x

= limx→+∞

12x2 = 0.


x1/x2= e0 = 1.

6.8 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos algumas aplicações da derivada. Entendemos como ela nos ajuda aestabelecer se uma função está crescendo ou decrescendo em um intervalo dado. Aprendemos osconceitos de máximo e mínimo, absolutos ou relativos.

Desde que a derivada por si própia é uma função, ela pode ser derivável caso satisfaça certas con-dições. Assim, as derivadas de ordem superior também nos auxiliam a entender mais ainda o com-portamento de uma função, caso elas existam. Especificamente, com a ajuda da segunda derivada,podemos encontrar os pontos de inflexão de uma curva dada e saber se ela é côncava para cima ou parabaixo. Novamente, o domínio desse conceito é fundamental, pois nos auxilia no esboço de gráficosde funções.

Também foram apresentados teoremas de suma importância para a compreensão dos conceitos demáximo e mínimo, entre eles, o Teorema do Valor Médio.

Por último, mas não menos importante, as derivadas nos auxiliam também no cálculo de limites

indeterminados como, por exemplo00

ou∞

∞, entre outros. Para encontrar os valores desses limites

recorremos à Regra de L’Hôpital.No próximo capítulo, apresentaremos a integral, que pode ser vista como a operação inversa daderivada, propriedade que é chamada de Teorema Fundamental do Cálculo.

6.9 Atividades

1. Determine os pontos críticos e intervalos onde a função é crescente e decrescente, assim comoos máximos e mínimos relativos:

i. f (x) = x3−3x2 +2x; ii. f (x) =x+1

x2 + x+1;

iii. f (x) = 2−3x+ x3; iv. f (x) = 1− (x−2)4/5;

v. f (x) = x√

1− x2; vi. f (x) = x2(1− x√

x);

vii. f (x) =x2 +2x−23

x−4; viii. f (x) =

x1+ x2 ;

ix. f (x) =1

ln(x4 +4x3 +30); x. f (x) =−x2

√x2 +2;

xi. f (x) = x− ln(1− x); xii. f (x) = x− ln(1+ x2);

xiii. f (x) = 3√(x2−a2)2; xiv. f (x) = (x2−2x) ln(x)− 3

2x2 +4x;

xv. f (x) =x

x2−6x−16; xvi. f (x) = x ln(x);

xvii. f (x) = 2ex2−4x; xviii. f (x) =x

3√

x2−4;

xix. f (x) = x(x−1)2(x−3)3; xx. f (x) = x ln2(x);

xxi. f (x) =2arctg(x)

3+

13

arctg(

x1− x2

).

2. Determine se o Teorema do Valor Médio é aplicável no intervalo indicado. Caso afirmativo,encontre os valores que o verificam; caso contrário, dê uma razão que justifique sua resposta.

i. f (x) = x2 +2x; em [−2,0]. ii. f (x) =√

x2 +9; em [0,4].

iii. f (x) = x3−2x2−3x; em [−2,2]. iv. f (x) =x+1x−1

; em [2,4].

v. f (x) = |4− x2|; em [−2,2]. vi. f (x) = |9−4x2|; em[−3

2,32

].

vii. f (x) ={

2x+3, se x < 3;15−2x, se x≥ 3; viii. f (x) =

3− x2

2, se x≤ 1;

1x, se x > 1;

em [−1,5]. em [0,2].

ix. f (x) =

x2 +4, se −2≤ x < 0;4− x3, se 0≤ x < 1;

6x2 +1

se 1≤ x≤ 2;x. f (x) =

{ 4x2 , se x≤−1;

8−4x2, se x >−1;

em [−2,2]. em [−2,0].

xi. f (x) =|x|3

1+ x6 ; em [−2,2]. xii. f (x) =x3

x2−4; em [−9,−4].

xiii. f (x) =x2

4+ |x|; em [−1,2].

xiv. f (x) =

|x2 +9|, se x < 2;5+2

√x−2, se 2≤ x≤ 11;

1+(x−11)3 se x > 11;em [−4,12].

3. Construa os gráficos das funções indicando os pontos de descontinuidade, os pontos críticos,os intervalos onde é crescente e decrescente, os máximos e mínimos relativos, os pontos deinflexão e os intervalos de concavidade:

i. f (x) = x2(x+4)3; ii. f (x) =x2

x−1;

iii. f (x) = 3x2/3−2x; iv. f (x) = (x+2)√−x;

v. f (x) = x− ln(x+1); vi. f (x) =x3

3− x2 ;

vii. f (x) = x− arctg(x); viii. f (x) =2arcsen(x)√

1− x2;

ix. f (x) =(x−1)2

(x+1)3 ; x. f (x) =2arctg(x)

3+

13

arctg(

x1− x2

);

xi. f (x) = cos(x)cos(2x); xii. f (x) = sen(x)+ cos(x);

xiii. f (x) = sen3(x)+ cos3(x); xiv. f (x) =ln(√

x2 +1)−1

x;

xv. f (x) = (x+1) ln2(x+1); xvi. f (x) =x2

2ln(

1x

);

xvii. f (x) = (x2 +2)e−x2; xviii. f (x) =

x3√

x2−1;

xix. f (x) = 2x+2−3 3√

(x+2)2; xx. f (x) =4x−12(x−2)2 ;

xxi. f (x) =x+4

23√

x−4; xxii. f (x) = 4x5−5x4;

xxiii. f (x) = 2(18x+6x2−2x3−54)1/3; xxiv. f (x) = arctg(ln(x));

xxv. f (x) = e−x cos(x).


4. Determine os seguintes limites aplicando a regra de L’Hôpital:

i. limx→0

x− sen(x)x− tg(x)

; ii. limx→∞

π−2arctg(x)

ln(

1+1x

) ;

iii. limx→a

xm−am

xn−an ; iv. limx→0

ex2−1cos(x)−1

;

v. limx→0

ex− e−x

sen(x)cos(x); vi. lim

x→0

ex− e−x−2xx− sen(x)

;

vii. limx→0

ex− x3

6− x2

2− x−1

cos(x)+x2

2−1

; viii. limx→0

ln(1+ x)4−4x+2x2− 43

x3 + x4

6sen(x)−6x+ x3 ;

ix. limx→1

(x

x−1− 1

ln(x)

); x. lim

x→1

(1

ln(x)− x

ln(x)

);

xi. limx→0

(1x

)sen(x)

; xii. limx→0

xx;

xiii. limx→1

x

11− x ; xiv. lim

x→π/2(sen(x))tg(x).





Capítulo 7

A Integral Indefinida

Sumário7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.2 A Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4 Integrais Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.6 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.6.1 Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado . . . . . . . . . 189

7.6.2 Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . 192

7.6.3 Integração por Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.6.4 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.6.6 Integrais de Funções Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220



• Compreender o significado da integral indefinida;

• Familiarizar-se com as fórmulas básicas de integração;

• Aplicar corretamente os métodos de integração;

• Determinar as integrais de funções racionais e irracionais.

7.1 Introdução

No estudo da derivada, o problema básico da derivação é: dado o recorrido de um ponto móvel,calcular sua velocidade, ou dada uma curva, calcular sua inclinação, isto é, obter, a partir de umafunção, outra função chamada de derivada.


Neste capítulo, o problema básico da integração é o caso inverso da derivação: dada a velocidade deum ponto móvel em cada instante, encontrar sua trajetória, ou dada a inclinação de uma curva em cadaum de seus pontos, calcular a curva, ou seja, encontraremos ou determinaremos uma função originalque chamaremos de antiderivada. Por tal motivo, aprenderemos algumas das técnicas para encontraras antiderivadas aplicando as regras de derivação estudadas no Capítulo 5.

7.2 A Antiderivada

Estudar o cálculo diferencial trata-se, principalmente, de: dada uma função, encontrar sua derivada.No entanto, muitas aplicações importantes do cálculo têm uma relação com o problema inverso, istoé: “dada uma função f definida em um intervalo I, encontrar uma função F cuja derivada seja afunção f , ou seja, F ′(x) = f (x) para cada x pertencente ao intervalo I”.

Mais formalmente, temos a seguinte definição.

Definição 7.1Diz-se que a função F é uma antiderivada da função f no intervalo I, se

F ′(x) = f (x), ∀x ∈ I.

Exemplo 7.1Sejam as funções f (x) = 4x3 e g(x) = ex, com x ∈ R. Da Definição 7.1, as funções F(x) = x4 eG(x) = ex, com x ∈ R, são antiderivadas de f e g em R, respectivamente, em outras palavras:

F ′(x) =(x4)′ = 4x3, e G′(x) = (ex)′ = ex, ∀x ∈ R.

No entanto,

F1(x) = x4 +5, F2(x) = x4 +√

ln(π), e F3(x) = x4 +100π

4√

e,

também são antiderivadas da função f , pois se derivarmos cada uma delas obteremos 4x3.De forma análoga,

G1(x) = ex−6, G2(x) = ex +π√

e, e G3(x) = ex− ln(2)

1099

também são antiderivadas da função g.

NotaSe F(x) é uma antiderivada de f (x) em um intervalo I, então F(x) + c é também umaantiderivada de f (x) em I, onde c é uma constante real. Em outras palavras, a antiderivadade uma função nunca é única, salvos os casos em que são especificadas algumas condiçõesadicionais.

Proposição 7.1Sejam I um intervalo aberto, f : I → R e F : I → R uma antiderivada de f . Se F1 : I → R étambém uma antiderivada de f , então existe uma constante c ∈ R tal que


F1(x) = F(x)+ c.

Definição 7.2Sejam I um intervalo aberto, f : I→ R e F : I→ R uma antiderivada de f . A Integral Indefi-nida de f é o conjunto de todas as antiderivadas de f definidas em dito intervalo e é denotadapor: ∫

f (x)dx = F(x)+ c,

onde c é uma constante real denominada de constante de integração.

Nota

a. Dada a integral indefinida

∫f (x)dx = F(x)+ c.

Diz-se que:

i. f (x) é o integrando;

ii. f (x)dx é o elemento de integração;

iii. x é a variável da integral;

iv. o símbolo∫

é denominado símbolo da integral.

v. A equação acima deve ser lida como: a integral de f (x) em relação a x é igual aF(x) mais uma constante.

b. Da Definição 7.2, deduzem-se as seguintes propriedades:

i. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando, isto é:

ddx

(∫f (x)dx

)=

(∫f (x)dx

)′= (F(x)+ c)′ = f (x);

ii. d(∫

f (x)dx)=

(∫f (x)dx

)′dx = f (x)dx;

iii. Se f é uma função derivável em I, então uma antiderivada de f é f ′. Logo,∫f ′(x)dx = f (x)+ c;

iv. Desde qued ( f (x))

f ′(x)= dx, deduz-se que∫

d ( f (x)) = f (x)+ c.

c. A partir dessas observações, pode-se concluir que a integral indefinida é interpretadacomo uma operação inversa da diferenciação. Isto é, ao aplicar a integral indefinida aodiferencial da função f (x), esta resulta na função f (x) mais a constante de integração.


Exemplo 7.2Do exemplo anterior, obtém-se:∫

4x3dx = x4 + c e∫

exdx = ex + c.

NotaO significado geométrico da antiderivada F(x) da função f (x) é que qualquer outra antide-rivada de f (x) é uma curva paralela ao gráfico de y = F(x). No item (a) da figura abaixopodemos ver uma interpretação geométrica geral e no item (b) vemos a ilustração das anti-derivadas da função f (x) = ex, isto é, F(x) = ex + c.

y y

x

xy = F(x) - c

y = F(x) + c

y = F(x)

y = ex

0

0

Exemplo 7.3Determinemos as seguintes integrais indefinidas:

a.∫

ln(x)dx

SoluçãoDesde que d(x ln(x)− x) = ln(x)dx , obtemos que

∫ln(x)dx = x ln(x)− x+ c.

b.∫ 1

4+ x2 dx

Solução

Desde que d(

12

arc tg(x

2

)+ c)=

12

12

1+ x24

dx =1

4+ x2 dx, obtemos que

∫1

4+ x2 dx =12

arc tg(x

2

)+ c.


7.3 Propriedades da Integral Indefinida

Os seguintes resultados são análogos aos obtidos para as derivadas da soma e do produto com umescalar.

Proposição 7.2Se f e g são duas funções que admitem antiderivadas no intervalo I e k ∈ R é uma constante,então as funções f ±g e k · f admitem antiderivadas em I e tem-se:

i.∫[ f (x)±g(x)]dx =

∫f (x)dx±

∫g(x)dx;

ii.∫[k f (x)]dx = k

∫f (x)dx.

Exemplo 7.4

Determinemos a seguinte integral indefinida∫(ex−4x3 + ln(x))dx

SoluçãoPela Proposição 7.2 e os exemplos anteriores, temos que:

∫(ex−4x3 + ln(x))dx =

∫exdx−

∫4x3dx+

∫ln(x)dx

= (ex + c1)− (x4 + c2)+(x ln(x)− x+ c3) = ex− x4 + x ln(x)− x+ c

onde c = c1 + c2 + c3.

NotaNo decorrer deste capítulo, usaremos somente uma única constante de integração para asoma de duas ou mais funções.

7.4 Integrais Imediatas

Seja uma função f derivável. Se f ′ é conhecida, então deduz-se que:∫f ′(x)dx = f (x)+ c ou equivalentemente

∫d ( f (x)) = f (x)+ c.

Quando isso acontece, diz-se que tal integral é uma integral imediata. Na sequência, listamos algumasintegrais imediatas de funções elementares e de outras funções que serão de muita utilidade. Porconveniência, usamos a variável u em lugar de x, porque, como veremos nas próximas seções, u podeser uma função do tipo u = u(x).

Fórmulas elementares de integração


1.∫

du = u+ c 2.∫ du

u= ln |u|+ c

3.∫

undu =un+1

n+1+ c, para n 6=−1 4.

∫eudu = eu + c

5.∫

audu =au

ln(a)+ c 6.

∫sen(u)du =−cos(u)+ c

7.∫

cos(u)du = sen(u)+ c 8.∫

tg(u)du = ln |sec(u)|+ c

9.∫

cotg(u)du = ln |sen(u)|+ c 10.∫

sec(u)du = ln |sec(u)+ tg(u)|+ c

11.∫

cossec(u)du = ln |cossec(u)− cotg(u)|+ c

12.∫

cossec(u)cotg(u)du =−cossec(u)+ c

13.∫

sec2(u)du = tg(u)+ c 14.∫

cossec2(u)du =−cotg(u)+ c

15.∫

sec(u) tg(u)du = sec(u)+ c 16.∫

senh(u)du = cosh(u)+ c

17.∫

cosh(u)du = senh(u)+ c 18.∫

tgh(u)du = ln |cosh(u)|+ c

19.∫

sech2(u)du = tgh(u)+ c 20.∫

cossech2(u)du =−cotgh(u)+ c

21.∫

sech(u) tgh(u)du =−sech(u)+ c

22.∫

cossech(u)cotgh(u)du =−cosh(u)+ c

23.∫ du

a2 +u2 =1a

arc tg(u

a

)+ c, a > 0 24.

∫ duu2−a2 =

12a

ln∣∣∣∣u−au+a

∣∣∣∣+ c, a > 0

25.∫ du

a2−u2 =1

2aln∣∣∣∣u+au−a

∣∣∣∣+ c, a > 0 26.∫ du√

a2−u2= arcsen

(ua

)+ c, a > 0

27.∫ du√

u2±a2= ln

∣∣∣u+√u2±a2∣∣∣+ c

28.∫ du

u√

u2−a2=

1a

arcsec(|u|a

)+ c, a > 0

29.∫ √

a2−u2du =12

[u√

a2−u2 +a2arcsen(u

a

)]+ c, a > 0

30.∫ √

u2 +a2du =12

[u√

u2 +a2 +a2 ln(

u+√

u2 +a2)]

+ c

31.∫ √

u2−a2du =12

[u√

u2−a2−a2 ln∣∣∣u+√u2−a2

∣∣∣]+ c

NotaPara verificar cada uma dessas fórmulas podemos derivar o lado direito da equação comrespeito à variável u.


Exemplo 7.5Mostremos que ∫

duu2−a2 =

12a


∣∣∣∣+ c, para a > 0.

SoluçãoDe fato,

ddu

(12a


∣∣∣∣)=1

2a

[d

du(ln |u−a|− ln |u+a|)

]=

12a

[1

u−a− 1

u+a

]=

1u2−a2 .

Portanto,∫ du

u2−a2 =1

2aln∣∣∣∣u−au+a

∣∣∣∣+ c.


a.∫

x(a−bx2)dx, para a, b ∈ R.

Solução ∫x(a−bx2)dx =

∫(ax−bx3)dx = a

∫xdx−b

∫x3dx =

ax2

2− bx4

4+ c.

b.∫(x3 +1)43x2dx

SoluçãoFazendo u = x3 +1, temos que du = 3x2dx. Logo,∫

(x3 +1)43x2dx =

∫u4du =

t5

5+ c =

(x3 +1)5

5+ c.

c.∫(xm− xn)2√

xdx, onde m, n 6= 3

4e m+n 6= 3

2.

SoluçãoAntes de determinar essa integral, precisamos reescrever f :

(xm− xn)2√

x=

x2m−2xm+n + x2n√

x= x2m− 1

2 −2xm+n− 12 +x2n− 1

2 = x4m−1

2 −2x2m+2n−1

2 +x4n−1

2 .

Logo, ∫(xm− xn)2√

xdx =

∫ (x

4m−12 −2x

2m+2n−12 + x

4n−12

)dx

=∫

x4m−1

2 dx−2∫

x2m+2n−1

2 dx+∫

x4n−1

2 dx

=x

4m+12

4m+12

−2x

2m+2n+12

2m+2n+12

+x

4n+12

4n+12

+ c

=2√

x4m+1

4m+1− 4√

x2m+2n+1

2m+2n+1+

2√

x4n+1

4n+1+ c.


NotaEm alguns casos, é necessário fazer uma mudança de variável no integrando com o intuitode torná-lo mais simples de ser resolvido.

Exemplo 7.7Determinemos as seguintes integrais indefinidas, fazendo uma mudança de variável:

a.∫ x4

7√

x5 +1dx

SoluçãoFazendo u = x5 +1, obtemos que du = 5x4dx, então,

∫x4

7√

x5 +1dx =

15

∫5x4dx

7√

x5 +1=

15

∫u−1/7du =

15· 7

6u6/7 + c =

730

7√

(x5 +1)6 + c.

b.∫ 5ex√

1− e2xdx

SoluçãoFazendo u = ex, obtemos que du = exdx, então,∫

5ex√

1− e2xdx = 5

∫du√

1−u2= 5arcsen(u)+ c = 5arcsen(ex)+ c.

c.∫ senh(x) cosh(x)

(1+ senh2(x))5dx

SoluçãoFazendo u = 1+ senh2(x), obtemos que du = 2senh(x)cosh(x)dx, então,

∫senh(x) cosh(x)(1+ senh2(x))5

=

∫ 12duu5 =

12

∫u−5du =

12

u−4

(−4)+ c =

−18(1+ senh2(x))4

+ c.

d.∫ arcsen(

√x)√

x− x2dx

Solução

Fazendo u = arcsen(√

x), obtemos que du =1√

1− xdx

2√

x=

dx

2√

x− x2. Portanto,∫

arcsen(√

x)√x− x2

dx =

∫2udu = u2 + c =

(arcsen(

√x))2

+ c = arcsen2(√

x)+ c.

e.∫ x+2(x−2)4 dx


SoluçãoFazendo u = x−2, obtemos que du = dx. Logo,∫

u+4u4 du =

∫(u−3 +4u−4)du =−1

2u−2− 4

3u−3 + c =− 3x+2

6(x−2)3 + c.

f.∫

x√

x+4dx

SoluçãoFazendo u =

√x+4, obtemos que u2 = x+4 e dx = 2udu. Logo,

∫x√

x+4dx =∫(u2−4)u2udu =

∫(2u4−8u2)du

=25

u5− 83

u3 + c =u3

15(6u2−40)+ c =

(x+4)3/2

15(6x−16)+ c.

NotaAs vezes é necessário manipular a forma da função a ser integrada e obter uma expressãoequivalente, novamente, com o intuito de facilitar a determinação da integral.


a.∫ √

2+√

2+√

2+2cos(5√

x+4) · x−1/2dx

SoluçãoAntes de recorrer a alguma fórmula elementar, é necessário usar a identidade trigono-

métrica cos2(

θ

2

)=

1+ cos(θ)2

ou, equivalentemente, 1 + cos(θ) = 2cos2(

θ

2

)em√

2+√

2+√

2+2cos(5√

x+4), para expressá-la de uma forma fácil de trabalhar. Ou

seja,

√2+√

2+√

2 [1+ cos(5√

x+4)] =

√√√√√2+

√√√√2+

√2[

2cos2(

5√

x+42

)]

=

√√√√2+

√2+2cos

(5√

x+42

)

=

√2+2cos

(5√

x+44

)= 2cos

(5√

x+48

).

Assim,∫ √2+

√2+√

2+2cos(5√

x+4) · x−1/2dx =

∫2cos

(5√

x+48

)· x−1/2dx.


Agora, fazendo u =5√

x+48

, temos que du =5

16x−1/2dx ou equivalentemente

165

du =

x−1/2dx. Logo,∫2cos

(5√

x+48

)· x−1/2dx =

325

∫cos(u)du =

325

sen(u)+ c.

Portanto,∫ √2+

√2+√

2+2cos(5√

x+4) · x−1/2dx =325

sen(

5√

x+48

)+ c.

b.∫ x

e3x(1− x)4 dx

SoluçãoNotamos que no integrando, o denominador pode ser reescrito como uma potência. Defato, multiplicando tanto o numerador como o denominador por ex, temos que:

xe3x(1− x)4 =

xex

(e3x(1− x)4)ex =xex

e4x(1− x)4 =xex

(ex− xex)4 ,

assim, fazendo u = ex− xex, obtemos du = −xexdx ou, equivalentemente, −du = xexdx,o que resulta em:∫

xe3x(1− x)4 dx =

∫xex dx

(ex− xex)4 dx =−∫

duu4 =

13u3 + c =

13e3x(1− x)3 + c.

c.∫

(x2−1)dx

(x2 +1)√

x4 +1

SoluçãoNovamente, dividindo o numerador e o denominador do integrando por x2, obteremos:

(x2−1)(x2 +1)

√x4 +1

=

x2−1x2(

x2 +1x

)√x4 +1

x

=

(1− 1

x2

)(

x+1x

)√x2 +

1x2

.

Fazendo u = x+1x

, temos que du =

(1− 1

x2

)dx e u2−2 = x2 +

1x2 . Logo,

∫(x2−1)dx

(x2 +1)√

x4 +1=

∫ (1− 1

x2

)dx(

x+1x

)√x2 +

1x2

=

∫du

u√

u2−2=

1√2

arcsen|u|√

2+ c.

Portanto, ∫(x2−1)dx

(x2 +1)√

x4 +1=

1√2

arcsen(

x2 +1√2|x|

)+ c.

d.∫ xdx√

1+ x2 +√

(1+ x2)3


SoluçãoManipulando o integrando, temos que ele pode ser reescrito como

x√

1+ x2√

1+√

1+ x2.

Logo, fazendo u = 1+√

1+ x2, obteremos du =xdx√1+ x2

. Assim,∫x

√1+ x2

√1+√

1+ x2dx =

∫du√

u=

∫u−1/2du = 2

√u+ c.

Portanto, ∫xdx√

1+ x2 +√(1+ x2)3

= 2√

1+√

1+ x2 + c.

7.5 Método de Integração por Partes

A ideia básica da integração por partes consiste em determinar a integral original mediante o cálculode outras integrais, as quais pressupomos são menos complicadas de ser resolvidas.

Sejam as funções u e v deriváveis no intervalo I, pela regra da derivada do produto, temos a equação:

d(uv) = udv+ vdu,

que pode ser reescrita como udv = d(uv)− vdu. Integrando ambos lados desta igualdade obtém-se afórmula ∫

udv = uv−∫

vdu,

que é conhecida como fórmula de integração por partes. Ou seja, vamos decompor o elementode integração em dois fatores u e dv. Normalmente, escolhe-se como u a parte do integrando que sesimplifica com a derivação, logo, dv será o fator restante do elemento de integração.

NotaQuando determinamos v a partir da integração do seu diferencial, ou seja,

∫dv, não será

necessário considerar a constante de integração. De fato, observamos que se considerarmosdita constante c, teremos v+ c em vez de v, então,∫

udv = u(v+ c)−∫

(v+ c)du = uv+��cu−∫

vdu−��cu = uv−∫

vdu.

Em outras palavras, considerando ou não essa constante, ela não figurará no resultado fi-nal.

Exemplo 7.9Determinemos as seguintes integrais usando o método de integração por partes:

a.∫

ln(x)dx


Solução

Se considerarmos u = ln(x) e dv = dx, então du =1x

dx e v =∫

dx = x, como já foi

mencionado, não é necessário considerar a constante da integração. Aplicando a fórmulade integração por partes, obtém-se:

∫ln(x)dx = uv−

∫vdu = x ln(x)−

∫xdx

x= x ln(x)−

∫dx = x ln(x)− x+ c.

b.∫

x2 ln(x)dx

Solução

Considerando u = ln(x) e dv = x2 dx, temos que du =dxx

e v =∫

x2dx =x3

3. Logo,

∫x2 ln(x)dx= uv−

∫vdu=

x3

3ln(x)−

∫x3

3dxx=

x3

3ln(x)− 1

3

∫x2dx=

x3 ln(x)3− x3

9+c.

c.∫

ln(

x+√

1+ x2)

dx

Solução

Considerando u = ln(

x+√

1+ x2)

e dv = dx, temos que du =dx√

1+ x2e v = x. Então,

∫ln(

x+√

1+ x2)

dx = uv−∫

vdu = x ln(

x+√

1+ x2)−∫ xdx√

1+ x2

= x ln(

x+√

1+ x2)−√

1+ x2 + c.

d.∫(x2 +2x+3)cos(2x)dx

SoluçãoConsiderando u = x2 + 2x + 3 e dv = cos(2x)dx, temos que du = 2(x + 1)dx e v =∫

cos(2x)dx =sen(2x)

2. Logo,

∫(x2 +2x+3)cos(2x)dx = uv−

∫vdu =

x2 +2x+32

sen(2x)−∫

(x+1)sen(2x)dx.

Aplicando novamente a integração por partes à última integral temos:

u = x+1 ⇒ du = dx;

dv = sen(2x)dx ⇒ v =∫

sen(2x)dx = −cos(2x)2

.

Logo,∫(x+1)sen(2x)dx = uv−

∫vdu = −x+1

2cos(2x)−

∫ (−cos(2x)

2

)dx

= −x+12

cos(2x)+sen(2x)

4+ c.


Portanto,∫(x2 +2x+3)cos(2x)dx =

x2 +2x+32

sen(2x)−∫(x+1)sen(2x)dx

=x2 +2x+3

2sen(2x)+

x+12

cos(2x)− sen(2x)4

+ c

=2x2 +4x+5

4sen(2x)+

x+12

cos(2x)+ c.

e.∫

xe2xdx

Solução

Ao considerar u = x e dv = e2xdx, temos que du = dx e v =∫

e2xdx =e2x

2. Assim,

obtemos:

∫xe2xdx = uv−

∫vdu =

xe2x

2−∫

e2x

2dx =

xe2x

2− e2x

4+ c =

e2x

4(2x−1)+ c.

f.∫(x2 +3x−1)e2xdx

SoluçãoAo considerar u = x2 +3x−1 e dv = e2xdx, temos que du = (2x+3)dx e v =

∫e2xdx =

e2x

2. Assim obtemos∫

(x2 +3x−1)e2xdx = uv−∫

vdu =12(x2 +3x−1)e2x−

∫ (x+

32

)e2xdx;

aplicando novamente a integração por partes à última integral temos:

u = x+32⇒ du = dx;

dv = e2xdx ⇒ v =∫

e2xdx =e2x

2.

Logo,∫ (x+

32

)e2xdx =

(x+

32

)e2x

2−∫ 1

2e2xdx =

(x+

32

)e2x

2− e2x

4= (x+1)

e2x

2.

Portanto,∫(x2 +3x−1)e2xdx =

12(x2 +3x−1)e2x− (x+1)

e2x

2= (x2 +2x−2)

e2x

2+ c.

g.∫

xsen(3x)dx

Solução

Ao considerar u= x e dv= sen(3x)dx, temos que du= dx e v=∫

sen(3x)dx=−cos(3x)3

.

Assim, obtemos:∫xsen(3x)dx= uv−

∫vdu=−x cos(3x)

3−∫ (−cos(3x)

3

)dx=−x cos(3x)

3+

sen(3x)9

+c.


h.∫

eax cos(bx)dx, onde a,b > 0.

SoluçãoAo considerar u = eax e dv = cos(bx)dx, temos que du = aeaxdx e v =

∫cos(bx)dx =

sen(bx)b

. Assim, obtemos

∫eax cos(bx)dx =

1b

eaxsen(bx)−∫ a

beaxsen(bx)dx =

eax

bsen(bx)− a

b

∫eaxsen(bx)dx

e integrando novamente por partes a última integral

u = eax ⇒ du = aeaxdx;

dv = sen(bx)dx ⇒ v =∫

sen(bx)dx =−cos(bx)b

.

Dessa forma, obtemos∫eax cos(bx)dx= uv−

∫vdu=

eax

bsen(bx)− a

b

[−1

beax cos(bx)dx+

ab

∫eax cos(bx)dx

].

Desde que∫

eax cos(bx)dx aparece em ambos lados da igualdade, o pomos em evidência

e somamos a constante de integração:∫eax cos(bx)dx =

eax

a2 +b2 (bsen(bx)+acos(bx))+ c.

i.∫

sec5(x)dx

SoluçãoEm primeiro lugar, vamos reescrever essa integral:∫

sec5(x)dx =

∫sec3(x) sec2(x)dx.

Agora, apliquemos a integração por partes, escolhendo:

u = sec3(x) ⇒ du = 3sec3(x)tg(x)dx;

dv = sec2(x)dx ⇒ v =∫

sec2(x)dx = tg(x).

Dessa forma, obtemos:∫sec5(x)dx = uv−

∫vdu = tg(x)sec3(x)−

∫3sec3(x) tg2(x)dx

= tg(x)sec3(x)−∫

3sec3(x)(sec2(x)−1)dx

= tg(x)sec3(x)−3∫

sec5(x)dx+3∫

sec3(x)dx

que resultará em:

4∫

sec5(x)dx = tg(x)sec3(x)+3∫

sec3(x)dx.


Integrando, novamente, por partes a última integral

u = sec(x) ⇒ du = sec(x)tg(x)dx;

dv = sec2(x)dx ⇒ v =∫

sec2(x)dx = tg(x).

Logo,∫sec3(x)dx =

12

sec(x)tg(x)+12

∫sec(x)dx =

12(sec(x)tg(x)+ ln |sec(x)+ tg(x)|) .

Assim,

4∫

sec5(x)dx = tg(x)sec3(x)+32(sec(x)tg(x)+ ln |sec(x)+ tg(x)|) .

Portanto,∫sec5(x)dx =

14

tg(x)sec3(x)+38(sec(x)tg(x)+ ln |sec(x)+ tg(x)|)+ c.

j.∫

xarc tg(x)dx

Solução

Escolhendo u= arc tg(x) e dv= xdx obtemos que du=1

1+ x2 dx e v=∫

xdx=x2

2. Assim,

∫xarc tg(x)dx = uv−

∫vdu =

x2

2arc tg(x)− 1

2

∫ x2

1+ x2 dx

=x2

2arc tg(x)− 1

2

∫ (1− 1

1+ x2

)dx

=x2

2arc tg(x)− 1

2(x− arc tg(x))+ c

=(x2 +1)

2arc tg(x)− x

2+ c.

k.∫ cos(x)+ xsen(x)−1

(sen(x)− x)2 dx.

SoluçãoUsando a identidade sen2(x)+ cos2(x) = 1, reescrevemos essa integral como:

∫ cos(x)+ xsen(x)−1(sen(x)− x)2 dx =

∫ cos(x)+ xsen(x)− sen2(x)− cos2(x)(sen(x)− x)2 dx

=∫ −cos(x)(cos(x)−1)− sen(x)(sen(x)− x)

(sen(x)− x)2 dx

=∫ −cos(x)(cos(x)−1)

(sen(x)− x)2 dx−∫ sen(x)(sen(x)− x)

dx.


Agora, determinemos a integral∫ −cos(x)(cos(x)−1)

(sen(x)− x)2 dx. Aplicando integração por par-

tes, escolhemos:

u = −cos(x) ⇒ du = sen(x)dx;

dv =(cos(x)−1)(sen(x)− x)2 dx ⇒ v =

∫(cos(x)−1)(sen(x)− x)2 dx =− 1

(sen(x)− x).

Assim,∫ cos(x)+ xsen(x)−1(sen(x)− x)2 dx =

(uv−

∫vdu)−∫ sen(x)(sen(x)− x)

dx

=

(cos(x)

sen(x)− x+��∫ sen(x)(sen(x)− x)

dx)−��∫ sen(x)(sen(x)− x)

dx

=cos(x)

sen(x)− x+ c.

l.∫ ex(1+ x ln(x))

xdx

SoluçãoSeparando essa integral como a soma de duas integrais temos:∫

ex(1+ x ln(x))x

dx =

∫ex

xdx+

∫ex ln(x)dx.

Aplicando a integração por partes na segunda integral temos:

u = ln(x) ⇒ du =1x

dx;

dv = exdx ⇒ v =∫

exdx = ex.

Assim,∫ex(1+ x ln(x))

xdx=

∫ex

xdx+

[uv−

∫vdu]=

��

��

∫ex

xdx+

[ex ln(x)−

��

��

∫ex

xdx]= ex ln(x)+c.

m.∫ xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 dx

SoluçãoObservamos que: ∫

xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 dx =

∫x√

1+ x2

earc tg(x)

(1+ x2)dx.

Assim, aplicamos a integração por partes da seguinte forma:

u =x√

1+ x2⇒ du =

1(1+ x2)3/2 dx;

dv =earc tg(x)

(1+ x2)dx ⇒ v =

∫ earc tg(x)

(1+ x2)dx = earc tg(x).


Assim, ∫xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 dx = uv−∫

vdu =xearc tg(x)√

1+ x2−∫

earc tg(x)

(1+ x2)3/2 dx.

Novamente, aplicando integração por partes na segunda integral:

u =1√

1+ x2⇒ du = − x

(1+ x2)3/2 dx;

dv =earc tg(x)

(1+ x2)dx ⇒ v = earc tg(x);

resulta: ∫ xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 =xearc tg(x)√

1+ x2−[

uv−∫

vdu]

=xearc tg(x)√

1+ x2−

[earc tg(x)√

1+ x2+∫ xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 dx

]

=xearc tg(x)√

1+ x2− earc tg(x)√

1+ x2−∫ xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 .

Desde que∫ xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 aparece em ambos lados da igualdade, o pomos em evidência e

somamos a constante de integração. Portanto,∫xearc tg(x)

(1+ x2)3/2 =(x−1)earc tg(x)

2√

1+ x2+ c.

n.∫ senh2(x)(xcosh(x)− senh(x))2 dx

SoluçãoAo multiplicar e dividir a integral por x obtemos:∫

senh2(x)dx(xcosh(x)− senh(x))2 =

∫senh(x)

xxsenh(x)

(xcosh(x)− senh(x))2 dx

e escolhemos:

u =senh(x)

x⇒ du =

xcosh(x)− senh(x)x2 dx;

dv =xsenh(x)

(xcosh(x)− senh(x))2 dx ⇒ v =∫ xsenh(x)(xcosh(x)− senh(x))2 dx

= − 1xcosh(x)− senh(x)

.

então,∫ senh2(x)dx(xcosh(x)− senh(x))2 = uv−

∫vdu =

senh(x)x(senh(x)− xcosh(x))

+∫ dx

x2

=senh(x)

x(senh(x)− xcosh(x))− 1

x+ c.


o.∫ esen(x) (xcos3(x)− sen(x)

)cos2(x)

dx

SoluçãoObservamos que:∫

esen(x) (xcos3(x)− sen(x))

cos2(x)dx =

∫xesen(x) cos(x)dx−

∫esen(x) sen(x)

cos2(x)dx.

Aplicando a integração por partes a cada uma destas integrais. Para a primeira, escolhe-mos:

u = x ⇒ du = dx;

dv = esen(x) cos(x)dx ⇒ v =∫

esen(x) cos(x)dx = esen(x);

então, ∫xesen(x) cos(x)dx = uv−

∫vdu = xesen(x)−

∫esen(x)dx.

Para a segunda, escolhemos:

u = esen(x) ⇒ du = esen(x) cos(x)dx;

dv =sen(x)cos2(x)

dx ⇒ v =∫ sen(x)

cos2(x)dx =

1cos(x)

;

que resultará em:∫esen(x) sen(x)

cos2(x)dx = uv−

∫vdu =

esen(x)

cos(x)−∫

esen(x)dx = esen(x)sec(x)−∫

esen(x)dx.

Portanto,∫ esen(x) (xcos3 x− sen(x))

cos2(x)dx =

∫xesen(x) cos(x)dx−

∫esen(x) sen(x)

cos2(x)dx

=

[xesen(x)−

��

��∫

esen(x)dx]−[

esen(x)sec(x)−�

��

∫esen(x)dx

]= (x − sec(x))esen(x)+ c.

7.6 Técnicas de Integração

7.6.1 Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado

Caso I Caso II∫dx

px2 +qx+ r

∫dx√

px2 +qx+ r

Nesses casos é suficiente completar os quadrados no trinômio e aplicar as fórmulas (23), (24), (25)ou (26), de acordo com o caso correspondente.


Exemplo 7.10Determinemos as seguintes integrais:

a.∫ 3dx

4x2 +4x−3

SoluçãoCompletando o quadrado no denominador e aplicando a fórmula (24), obtemos:∫

3dx4x2 +4x−3

=32

∫2dx

(2x+1)2−4=

38

ln∣∣∣∣2x−12x+3

∣∣∣∣+ c.

b.∫ dx

x2−2x+10

SoluçãoCompletando o quadrado no denominador e aplicando a fórmula (23), obtemos:∫

dxx2−2x+10

=

∫dx

(x−1)2 +9=

13

arc tg(

x−13

)+ c.

c.∫ 2dx√

x2 +6x+18

SoluçãoCompletando o quadrado dentro da raiz do denominador e aplicando a fórmula (27),obtemos:∫

2dx√x2 +6x+18

= 2∫

dx√(x+3)2 +9

= 2ln[x+3+

√x2 +6x+18

]+ c.

d.∫ 5dx√−x2−8x−12

SoluçãoCompletando o quadrado dentro da raiz do denominador e aplicando a fórmula (26),obtemos: ∫

5dx√−x2−8x−12

= 5∫

dx√4− (x+4)2

= 5arcsen(

x+42

)+ c.

Caso III Caso IV∫(ax+b)dxpx2 +qx+ r

∫(ax+b)dx√px2 +qx+ r

Nesses casos, usaremos o seguinte artifício:

ax+b =a

2p(2px+q)− aq

2p+b.


O termo (2px+q) é a derivada do trinômio quadrado. Assim,∫(ax+b)dxpx2 +qx+ r

=a

2p

∫(2px+q)dxpx2 +qx+ r

+

(b− aq

2p

)∫dx

px2 +qx+ r︸︷︷︸IA

=a

2pln |px2 +qx+ r|+

(b− aq

2p

)· IA.

Por outro lado,∫(ax+b)dx√px2 +qx+ r

=a

2p

∫(2px+q)dx√

px2 +qx+ r+

(b− aq

2p

)∫dx√

px2 +qx+ r︸︷︷︸IB

=a

2p

√px2 +qx+ r+

(b− aq

2p

)· IB.

Observe que as integrais IA e IB são determinadas pelos Casos I e II, respectivamente.


a.∫

(3x−5)dxx2 +6x+18

SoluçãoDesde que (x2 + 6x+ 18)′ = 2x+ 6, aplicamos o artifício para p = 1 e q = 6 e, assim,

3x−5 =32(2x+6)−14. Então:∫

(3x−5)dxx2 +6x+18

=32

∫(2x+6)dx

x2 +6x+18−14

∫ dx(x+3)2 +9

=32

ln(x2 +6x+18)− 143

arc tg(

x+33

)+ c.

b.∫

(1−4x)dx√9x2 +6x−3

SoluçãoDesde que (9x2 + 6x− 3)′ = 18x+ 6, aplicamos o artifício para p = 9 e q = 6 e, assim,

1−4x =−29(18x+6)+

73

. Então:

∫(1−4x)dx√9x2 +6x−3

= −29

∫(18x+6)dx√9x2 +6x−3

+73· 1

3

∫ 3dx√(3x+1)2−4

= −49

√9x2 +6x−3+

79

ln∣∣∣3x+1+

√9x2 +6x−3

∣∣∣+ c.

c.∫

(2− x)dx√x2 +10x+21


SoluçãoDesde que (x2 +10x+21)′ = 2x+10, aplicamos o artifício para p = 1 e q = 10 e, assim,

2− x =−12(2x+10)+7. Então:

∫(2− x)dx√

x2 +10x+21= −1

2

∫(2x+10)dx√x2 +10x+21

+7∫ dx√

(x+5)2−4

= −√

x2 +10x+21+7ln∣∣∣x+5+

√x2 +10x+21

∣∣∣+ c.

d.∫(4+5x)dx

x(x+3)

SoluçãoDesde que (x2+3x)′ = 2x+3, aplicamos o artifício para p = 1 e q = 3 e, assim, 4+5x =52(2x+3)− 7

2. Então:

∫(4+5x)dx

x(x+3)=

52

∫2x+3x2 +3x

dx− 72

∫dx(

x+ 32

)2− 94

=52

ln |x2 +3x|− 76

ln∣∣∣∣ xx+3

∣∣∣∣+ c.

7.6.2 Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

Nesta subseção, usaremos alguns artifícios para resolver algumas integrais que envolvem funçõestrigonométricas e, para isto, será necessário lembrar das seguintes identidades:

1. sen2(u)+ cos2(u) = 1; 2. sec2(u)− tg2(u) = 1;

3. cossec2(u)− cotg2(u) = 1; 4. sen2(u) =1− cos(2u)

2;

5. cos2(u) =1+ cos(2u)

2; 6. cosh2(u)− senh2(u) = 1;

7. sech2(u)− tgh2(u) = 1; 8. cotgh2(u)− cossech2(u) = 1;

9. senh2(u) =cosh(2u)−1

2; 10. cosh2(u) =

cosh(2u)+12

.

Caso I ∫senm(x)cosn(x)dx e

∫senhm(x)coshn(x)dx.

Consideram-se dois subcasos:

Subcaso aUm dos expoentes m ou n é um inteiro positivo ímpar

i. Se m é um número ímpar e n é qualquer número, então expressamos a integral daseguinte forma:


∫senm(x)cosn(x)dx =

∫senm−1(x)cosn(x)sen(x)dx;∫

senhm(x)coshn(x)dx =∫

senhm−1(x)coshn(x)senh(x)dx.

ii. Se n é um número ímpar e m é qualquer número, então expressamos a integral daseguinte forma:∫

senm(x)cosn(x)dx =∫

senm(x)cosn−1(x) cos(x)dx∫senhm(x)coshn(x)dx =

∫senhm(x)coshn−1(x) cosh(x)dx

Em qualquer destes subcasos, podemos usar as identidades trigonométricas (1) e (6).


a.∫

sen3(x)cos4(x)dx

Solução ∫sen3(x)cos4(x)dx =

∫sen3(x)cos4(x)dx =

∫ (sen2(x)cos4(x)

)sen(x)dx

=∫ (

(1− cos2(x))cos4(x))

sen(x)dx.

Na última integral, fazemos u = cos(x), então du =−sen(x)dx. Portanto,∫sen3(x)cos4(x)dx =

∫(1−u2)u4(−du) =−

∫(u4−u6)du =−u5

5+

u7

7+ c

=cos5(x)

35(5cos2(x)−7)+ c.

b.∫

senh5(x)√

cosh(x)dx

Solução∫senh5(x)

√cosh(x)dx =

∫ (senh4(x)cosh1/2(x)

)senh(x)dx

=∫ (

(cosh2(x)−1)2 cosh1/2(x))

senh(x)dx

=∫ (

cosh9/2(x)−2cosh5/2(x)+ cosh1/2(x))

senh(x)dx

Na última integral, fazemos u = cosh(x), então du = senh(x)dx. Portanto,∫senh5(x)

√cosh(x)dx =

∫ (u9/2−2u5/2 +u1/2

)du

=2

11u11/2− 4

7u7/2 +

23

u3/2 + c.

=2

11cosh11/2(x)− 4

7cosh7/2(x)+

23

cosh3/2(x)+ c.


Subcaso bSe m e n são inteiros positivos pares, serão usadas as identidades trigonométricas (4), (5), (9)ou (10). E ao efetuar as operações, serão obtidos termos que contêm potências pares e ímparesde cos(2u) ou cosh(2u). Os termos que têm potências ímpares integram-se como o Subcaso a.Os termos que têm potências pares reduzem-se usando, sucessivamente, as identidades trigo-nométricas indicadas.


a.∫

sen2(x)cos4(x)dx

Solução

∫sen2(x)cos4(x)dx =

∫ (1− cos(2x)2

)(1+ cos(2x)

2

)2

dx

=18

∫ (1+ cos(2x)− cos2(2x)− cos3(2x)

)dx

=18

∫ (1+ cos(2x)− 1+ cos(4x)

2

)dx− 1

8

∫(1− sen2(2x))cos(2x)dx

=18

∫ (12+ cos(2x)− 1

2cos(4x)

)dx− 1

16

∫(1− sen2(2x))(2cos(2x)dx)

=18

(x2+

12

sen(2x)− 18

sen(4x))− 1

16

(sen(2x)− 1

3sen3(2x)

)+ c

=1

16

(x− sen(4x)

4+

sen3(2x)3

)+ c.

b.∫

senh4(3x)dx

Solução

∫senh4(3x)dx =

∫ (cosh(6x)−12

)2

dx =∫ (

cosh2(6x)−2xcosh(6x)+1)

dx

=∫ (cosh(12x)+1

2−2cosh(6x)+1

)dx

=∫

(cosh(12x)−4cosh(6x)+3)dx

=1

96senh(12x)− 1

12senh(6x)+

38

x+ c.

Caso II

1.∫

tgm(x)secn(x)dx; 2.∫

cotgm(x)cossecn(x)dx;

3.∫

tghm(x)sechn(x)dx; 4.∫

cotghm(x)cossechn(x)dx.

Consideram-se dois subcasos:


Subcaso aSe m é um inteiro positivo ímpar, então expressamos a integral da seguinte forma:

∫tgm(x)secn(x)dx =

∫tgm−1(x) secn−1(x)tg(x)sec(x)dx∫

cotgm(x)cossecn(x)dx =∫

cotgm−1(x)cossecn−1(x)cotg(x)cossec(x)dx∫tghm(x)sechn(x)dx =

∫tghm−1(x)sechn−1(x) tgh(x)sech(x)dx∫

cotghm(x)cossechn(x)dx =∫

cotghm−1(x)cossechn−1(x)cotgh(x)cossech(x)dx

Logo, usam-se as identidades trigonométricas (2) e (3) ou (7) ou (8), respectivamente.


a.∫ tg3(x)

sec4(x)dx

Solução ∫ tg3(x)sec4(x)

dx =∫ tg2(x)

sec5(x)(tg(x)sec(x))dx =

∫ sec2(x)−1sec5(x)

(tg(x)sec(x))dx

=∫ (

sec−3(x)− sec−5(x))(tg(x)sec(x))dx.

Fazendo u = sec(x), temos que du = tg(x)sec(x)dx. Logo,∫ tg3(x)sec4(x)

dx =∫ (

u−3−u−5)du =−u−2

2+

u−4

4+ c

= −12

sec−2(x)+14

sec−4(x)+ c =−14

cos2(x)(cos2(x)−2)+ c.

b.∫

cotg5(x)dx

Solução∫cotg5(x)dx =

∫ cotg4(x)cossec(x)

(cotg(x)cossec(x))dx

=∫(cossec2(x)−1)2

cossec(x)(cotg(x)cossec(x))dx

= −∫ (

cossec3(x)−2cossec(x)+1

cossec(x)

)(−cotg(x)cossec(x))dx

Fazendo u = cossec(x), temos que du =−cotg(x)cossec(x)dx. Logo,∫cotg5(x)dx = −

∫ (u3−2u+

1u

)du =−u4

4−u2 + ln |u|+ c

= −cossec4(x)4

+ cossec2(x)− ln |cossec(x)|+ c.

c.∫

tgh3(x)√

sech(x)dx


Solução∫tgh3(x)

√sech(x)dx =

∫ tgh2(x)√sech(x)

(tgh(x)sech(x))dx

=∫ 1− sech2(x)√

sech(x)(tgh(x)sech(x))dx

= −∫ (

sech−1/2(x)− sech3/2(x))(−tgh(x)sech(x))dx

Fazendo u = sech(x), temos que du =−tgh(x)sech(x)dx. Logo,∫tgh3(x)

√sech(x)dx = −

∫ (u−1/2−u3/2(x)

)du =−

(2√

u− 25

u5/2)+ c

= −(

2√

sech(x)− 25

sech5/2(x))+ c

=2√

sech(x)5

(sech2(x)−5

)+ c.

d.∫

cotgh5(x)cossech3(x)dx

Solução∫cotgh5(x)cossech3(x)dx =

∫cotgh4(x)cossech2(x)(cotgh(x)cossech(x))dx

=∫(1+ cossech2(x))2 cossech2(x)(cotgh(x)cossech(x))dx

= −∫(1+ cossech2(x))2 cossech2(x)(−cotgh(x)cossech(x))dx

Fazendo u = cossech(x), temos que du =−cotgh(x)cossech(x)dx. Logo,∫cotgh5(x)cossech3(x)dx = −

∫(1+u2)2u2du =−

∫(u6 +2u4 +u2)du

= −u7

7− 2u5

5− u3

3+ c

= −cossech7(x)7

− 2cossech5(x)5

− cossech3(x)3

+ c.

Subcaso bSe n é um inteiro positivo par, então expressamos a integral da seguinte forma:

∫tgm(x)secn(x)dx =

∫tgm(x) secn−2(x)sec2(x)dx∫

cotgm(x)cossecn(x)dx =∫

cotgm(x)cossecn−2(x)cotg(x)cossec2(x)dx∫tghm(x)sechn(x)dx =

∫tghm(x)sechn−2(x)sech2(x)dx∫

cotghm(x)cossechn(x)dx =∫

cotghm(x)cossechn−2(x)cossech2(x)dx

Logo, usaremos as identidades trigonométricas (2) e (3) ou (7) ou (8), respectivamente.



a.∫

tg3/2(x)sec4(x)dx

Solução ∫tg3/2(x)sec4(x)dx =

∫tg3/2(x)sec2(x)(sec2(x))dx

=∫

tg3/2(x)(1+ tg2(x))(sec2(x))dx

=∫(tg3/2(x)+ tg7/2(x))(sec2(x))dx.

Fazendo u = tg(x), temos que du = sec2(x)dx. Logo,∫tg3/2(x)sec4(x)dx =

∫(u3/2 +u7/2)du =

25

u5/2 +29

u9/2 + c

=25

tg5/2(x)+29

tg9/2(x)+ c.

b.∫

cossec4(x)dx

Solução∫cossec4(x)dx =

∫cossec2(x)(cossec2(x)dx) =−

∫(1+ cotg2(x))(−cossec2(x)dx)

Fazendo u = cotg(x), temos que du =−cossec2(x)dx. Assim,∫cossec4(x)dx = −

∫(1+u2)du =−u− u3

3+ c

= −(

cotg(x)+13

cotg3(x))+ c.

c.∫

tgh2(x)sech4(x)dx

Solução ∫tgh2(x)sech4(x)dx =

∫tgh2(x)(1− tgh2(x))

(sech2(x)

)dx

=∫ (

tgh2(x)− tgh4(x))(sech2(x)dx)

Fazendo u = tgh(x), temos que du = sech2(x)dx. Assim,∫tgh2(x)sech4(x)dx =

∫ (u2−u4)du = u3

3 −u5

5

=13

tgh3(x)− 15

tgh5(x)+ c.

d.∫

cossech6(x)dx


Solução ∫cossech6(x)dx =

∫ (cotgh2(x)−1

)2 (cossech2(x)

)dx

= −∫(cotgh4(x)−2cotgh2(x)+1)

(−cossech2(x)

)dx

Fazendo u = cotgh(x), temos que du =−cossech2(x)dx. Assim,∫cossech6(x)dx = −

∫(u4−2u2 +1)du =−u5

5+

2u3

3−u

= −15

cotgh5(x)+23

cotgh3(x)− cotgh(x)+ c

Caso III

∫sen(mx) cos(nx)dx;

∫sen(mx)sen(nx)dx;∫

cos(mx) cos(nx)dx;∫

senh(mx) cosh(nx)dx;∫senh(mx)senh(nx)dx;

∫cosh(mx) cosh(nx)dx.

Para determinar as integrais deste caso precisamos das seguintes identidades trigonométricas:

1. sen(mx) cos(nx) =12[sen((m−n)x)+ sen((m+n)x)];

2. sen(mx)sen(nx) =12[cos((m−n)x)− cos((m+n)x)];

3. cos(mx) cos(nx) =12[cos((m−n)x)+ cos((m+n)x)];

4. senh(mx) cosh(nx) =12[senh((m+n)x)+ senh((m−n)x)];

5. senh(mx)senh(nx) =12[cosh((m+n)x)− cosh((m−n)x)];

6. cosh(mx) cosh(nx) =12[cosh((m+n)x)+ cosh((m−n)x)].

Além disso, são usadas também: sen(−u)=−sen(u), cos(−u)= cos(u), senh(−u)=−senh(u)e cosh(−u) = cosh(u).


a.∫

sen(2x) cos(3x)dx


Solução∫sen(2x) cos(3x)dx =

12

∫[sen(2x−3x)+ sen(2x+3x)]dx

=12

∫[sen(5x)− sen(x)]dx =− 1

10cos(5x)+

12

cos(x)+ c.

b.∫

cos(3x) cos(4x)dx

Solução∫cos(3x) cos(4x)dx =

12

∫[cos(3x−4x)+ cos(3x+4x)]dx

=12

∫[cos(−x)+ cos(7x)]dx =

12

sen(x)+114

sen(7x)+ c.

c.∫

senh(3x)senh(4x)dx

Solução∫senh(3x)senh(4x)dx =

12

∫[cosh(3x+4x)− cosh(3x−4x)]dx

=12

∫[cosh(7x)− cosh(x)]dx =

114

senh(7x)− 12

senh(x)+ c.

d.∫

senh(x) cosh(4x)dx

Solução∫senh(x) cosh(4x)dx =

12

∫[senh(x+4x)+ senh(x−4x)]dx

=12

∫[senh(5x)− senh(3x)]dx =

110

cosh(5x)− 16

cosh(3x)+ c.

7.6.3 Integração por Substituição Trigonométrica

Seja u = f (x) uma função de x. Em muitos casos é possível calcular uma integral efetuando umasubstituição trigonométrica adequada às funções da forma:∫

R(u,√

u2 +a2)du,∫

R(u,√

a2−u2)du ou∫

R(u,√

u2−a2)du,

onde R é uma função racional. Apresentamos os casos para calcular essas integrais:

Caso I ∫R(u,

√u2 +a2)du, a > 0.

Construímos um triângulo retângulo, de acordo com a figura a seguir, e consideramos a função:


As demais funções são consideradas de acordo ao integrando que se tem.

Caso II ∫R(u,

√a2−u2)du, a > 0.


sen(θ) =

u2

a2


Caso III ∫R(u,

√u2−a2)du, a > 0.


sec(θ) = u

a θ = arc sec

u

a( )

u = a sec(θ) du = a sec(θ) tg(θ)dθ



a.∫ x2dx√

9+ x2


SoluçãoAplicando o Caso I, consideramos:

tg(θ) =x2

⇒

x = 3tg(θ) ⇒

θ = arc tg(x

3

);

dx = 3sec2(θ)dθ .

Além disso, sec(θ) =

√x2 +9

3⇒√

x2 +9 = 3sec(θ). Fazendo as respectivas substitui-ções temos:∫ x2dx√

9+ x2=

∫ 9tg2(θ)3sec2(θ)dθ

3sec(θ)=∫

9tg2(θ)sec(θ)dθ

=∫(sec2(θ)−1)sec(θ)dθ = 9

∫(sec3(θ)− sec(θ))dθ

= 9[

12(tg(θ)sec(θ)+ ln |tg(θ)+ sec(θ)|)− ln |tg(θ)+ sec(θ)|

]+ c

=92(tg(θ)sen(θ)− ln |tg(θ)+ sec(θ)|)+ c

=92

[x3

x√x2 +9

− ln

∣∣∣∣∣x3 +

√x2 +9

3

∣∣∣∣∣]+ c

=92

[x2

3√

x2 +9− ln

∣∣∣∣∣x+√

x2 +93

∣∣∣∣∣]+ c.

b.∫ dx

x2√

16+9x2

Solução

Esta integral pode ser reescrita∫ dx

x2√

42 +(3x)2. Aplicando o Caso I, consideramos:

tg(θ) =3x4

⇒

x =43

tg(θ) ⇒

θ = arc tg(

3x4

);

dx =43

sec2(θ)dθ .

Além disso, sec(θ) =

√16+9x2

4⇒√

16+9x2 = 4sec(θ). Fazendo as respectivas subs-tituições temos:

∫ dx

x2√

16+9x2=

∫ 43

sec2(θ)dθ

169

tg2(θ) sec(θ)=

364

∫ sec(θ)dθ

tg2(θ)=

316

∫ cos(θ)sen2(θ)

,dθ

=3

16

∫cotg(θ)cossec(θ)dθ =− 3

16cossec(θ)+ c

= − 316

√16+9x2

3x+ c =−

√16+9x2

16x+ c.


c.∫

(2x−5)√4x− x2

dx

Solução

Esta integral pode ser reescrita∫

(2x−5)√4− (x−2)2

dx. Aplicando o Caso II, consideramos:

sen(θ) =x−2

2⇒

x = 2+2sen(θ) ⇒

θ = arcsen(

x−22

);

dx = 2cos(θ)dθ .

Além disso, cos(θ) =

√4x− x2

2⇒√

4x− x2 = 2cos(θ). Fazendo as respectivas substi-tuições temos:∫

(2x−5)√4x− x2

dx =∫ 4sen(θ)−1

2cos(θ)2cos(θ)dθ =

∫(4sen(θ)−1)dθ

= −4cos(θ)−θ + c =−2√

4x− x2− arcsen(

x−22

)+ c.

d.∫ x2 dx√

1− x2

SoluçãoAplicando o Caso II, consideramos:

sen(θ) = x ⇒

x = sen(θ) ⇒

θ = arcsen(x);

dx = cos(θ)dθ .

Além disso, cos(θ) =√

1− x2. Fazendo as respectivas substituições temos:∫ x2 dx√1− x2

=∫ sen2(θ) cos(θ)dθ

cos(θ)=∫

sen2(θ)dθ =12

∫(1− cos(2θ))dθ

=12

(θ − sen(2θ)

2

)+ c =

12(θ − sen(θ) cos(θ))+ c

=12

(arcsen(x)− x

√1− x2

)+ c.

e.∫

(2x−3)(x2 +2x−3)3/2 dx

Solução

Esta integral pode ser reescrita como∫

(2x−3)dx

((x+1)2−4)√(x+1)2−4

. Aplicando o Caso

III, consideramos:

sec(θ) =x+1

2⇒

x = −1+2sec(θ) ⇒

θ = arcsec(

x+12

);

dx = 2sec(θ) tg(θ)dθ .


Além disso, tg(θ) =

√x2 +2x−3

2⇒√

x2 +2x−3 = 2tg(θ). Fazendo as respectivassubstituições temos:∫

(2x−3)(x2 +2x−3)3/2 dx =

∫(4sec(θ)−5)2sec(θ) tg(θ)dθ

4tg2(θ)2tg(θ)=∫ 4sec2(θ)−5sec(θ)dθ

4tg2(θ)

=∫ (

cossec2(θ)− 54

cotg(θ)cossec(θ))

dθ

=54

cossec(θ)− cotg(θ)+ c

=5(x+1)

4√

x2 +2x−3− 2√

x2 +2x−3+ c.

f.∫ x3√

x2−9dx

SoluçãoAplicando o Caso III, consideramos:

sec(θ) =x3

⇒x = 3sec(θ) ⇒

θ = arcsec(x

3

);

dx = 3sec(θ) tg(θ)dθ .

Fazendo as respectivas substituições temos:∫ x3√

x2−9dx =

∫ 27sec3(θ)3sec(θ) tg(θ)dθ√9sec2(θ)−9

=∫ 27sec4(θ) tg(θ)dθ√

sec2(θ)−1

= 27∫(1+ tg2(θ))sec2(θ)dθ = 27

(tg(θ)+

13

tg3(θ)

)+ c

= 9√

x2−9+13(x2−9)3/2 + c.

7.6.4 Integração de Funções Racionais

Consideremos dois polinômios:

P(x) = bmxm +bm−1xm−1 + . . .+b1x+b0 e Q(x) = anxn +an−1xn−1 + . . .+a1x+a0,

uma função racional é o quociente desses dois polinômios, isto é:

R(x) =P(x)Q(x)

.

Diz-se que a função racional R(x) é própria se o grau de P(x) for menor que o grau de Q(x); casocontrário, diz-se que é imprópria.

Se R(x) é uma função racional imprópia, ao dividir o numerador pelo denominador, R(x) pode serreescrita como a soma de um polinômio e uma função racional própria, isto é:

R(x) =P(x)Q(x)

=C(x)+S(x)Q(x)

,


onde o grau de S(x) é menor que o grau de Q(x).

Nesta seção, trataremos apenas de funções racionais próprias, já que nosso interesse é apreender comointegrar as funções do tipo: ∫

P(x)Q(x)

dx.

Consideremos os seguintes casos:

Caso I ∫Ax+B

ax2 +bx+ cdx,

onde a,b,c são constantes.

1. Completam-se os quadrados no denominador: ax2 +bx+ c = a(

x+b

2a

)2

+

(c− b

4a

);

2. Faz-se a substituição z = x+ba

e, assim, a integral transforma-se em:∫Ax+B

ax2 +bx+ cdx =

∫mz+n

a(z2 +n)dz =

ma

∫zdz

z2 +n+

na

∫dz

z2 +n.

Para realizar o cálculo dessas integrais, usam-se as fórmulas básicas de integração.

Caso IIQuando Q(x) se decompõe em um produto de fatores lineares diferentes, teremos:

Q(x) = an(x−α1)(x−α2) . . .(x−αn),

com α1 6= α2 6= . . . 6= αn, a função racionalP(x)Q(x)

se expressa como uma soma de frações sim-

ples: ∫P(x)Q(x)

dx =

∫ (A1

x−α1+

A2

x−α2+ · · ·+ An

x−αn

)dx,

onde A1,A2, . . . ,An são constantes a serem determinadas.

Caso IIIQuando Q(x) se decompõe em fatores lineares repetidos, isto é, supondo que o fator linear(x−a) se repete p vezes:

Q(x) = an (x−a)(x−a) · · ·(x−a)︸︷︷︸p vezes

(x−αp+1)(x−αp+2) . . .(x−αn),

a função racionalP(x)Q(x)

se expressa como uma soma de frações simples:

∫P(x)Q(x)

dx =

∫ (A1

x−a+

A2

(x−a)2 + · · ·+Ap

(x−a)p +Ap+1

x−αp+1+ · · ·+ An

x−αn

)dx

onde A1,A2, . . . ,An são constantes a serem determinadas.


Caso IVQuando Q(x) se decompõe em fatores lineares e quadráticos irredutíveis diferentes teremos:

Q(x) = an(x2 +b1x+ c1)(x2 +b2x+ c2)(x2 +b3x+ c3)(x−α4) . . .(x−αn),



∫P(x)Q(x)

dx =

∫ (A1x+B1

x2 +b1x+ c1+

A2x+B2

x2 +b2x+ c2+

A3x+B3

x2 +b3x+ c3+

A4

x−α4+ · · ·+ An

x−αn

)dx,

onde A1,A2, . . . ,An,B1,B2,B3 são constantes a serem determinadas.

Caso VQuando Q(x) se decompõe em fatores lineares e quadráticos irredutíveis, assim como os fatoresquadráticos podem ser repetidos, teremos:

Q(x) = an(x2 +bx+ c)2(x−α3) . . .(x−αn),



∫P(x)Q(x)

dx =

∫ (A1x+B1

x2 +bx+ c+

A2x+B2

(x2 +bx+ c)2 +A3

x−α3+ · · ·+ An

x−αn

)dx,

onde A1,A2, . . . ,An,B1,B2 são constantes a ser determinadas.

Exemplo 7.18Determinar as seguintes integrais:

a.∫ 4x2 +9x−1

x3 +2x2− x−2dx

SoluçãoFatorando o denominador Q(x)= x3+2x2−x−2=(x+1)(x−1)(x+2). Logo, aplicandoo Caso II, esta integral pode ser expressa como:∫

4x2 +9x−1x3 +2x2− x−2

dx =

∫ (A

x+1+

Bx−1

+C

x+2

)dx.

Calculando as constantes A,B,C:

4x2 +9x−1x3 +2x2− x−2

=A

x+1+

Bx−1

+C

x+2

=A(x−1)(x+2)+B(x+1)(x+2)+C(x+1)(x−1)

(x+1)(x−1)(x+2).

Igualando os numeradores: 4x2 + 9x− 1 = A(x2 + x− 2)+B(x2 + 3x+ 2)+C(x2− 1) eordenando temos

4x2 +9x−1 = (A+B+C)x2 +(A+3B)x−2A+2B−C.


Por igualdade de polinômios, temos que:A+B+C = 4

A+3B = 9−2A+2B−C = −1

⇒

A = 3B = 2C = −1

substituindo na integral, obtemos:∫ 4x2 +9x−1x3 +2x2− x−2

dx =∫ ( 3

x+1+

2x−1

+1

x+2

)dx

= 3ln |x+1|+2ln |x−1|− ln |x+2|+ c

= ln∣∣∣∣(x+1)3(x−1)2

x+2

∣∣∣∣+ c.

b.∫ 5x−7(x−3)(x2− x−2)

dx

SoluçãoFatorando o denominador Q(x) = (x−3)(x2− x−2) = (x−3)(x−2)(x+1). Logo, apli-cando o Caso II, esta integral pode ser expressa como:∫

5x−7(x−3)(x2− x−2)

dx =

∫ (A

x−3+

Bx−2

+C

x+1

)dx.


5x−7(x−3)(x2− x−2)

=A

x−3+

Bx−2

+C

x+1

=A(x−2)(x+1)+B(x−3)(x+1)+C(x−3)(x−2)

(x−3)(x−2)(x+1).

Igualando os numeradores: 5x− 7 = A(x2− x− 2)+B(x2− 2x− 3)+C(x2− 5x+ 6) eordenando temos

5x−7 = (A+B+C)x2 +(−A−2B−5C)x−2A−3B+6C.

Por igualdade de polinômios, temos que:A+B+C = 0

−A−2B−5C = 5−2A−3B+6C = −7

⇒

A = 2B = −1C = −1

substituindo na integral, obtemos:∫ 5x−7(x−3)(x2− x−2)

dx =∫ ( 2

x−3− 1

x−2− 1

x+1

)dx

= 2ln |x−3|− ln |x−2|− ln |x+1|+ c

= ln∣∣∣∣ (x−3)2

(x−2)(x+1)

∣∣∣∣+ c.


c.∫ 2x2 +1(x+1)2(x−3)

dx

SoluçãoAplicando o Caso III, esta integral pode ser expressa como:∫

2x2 +1(x+1)2(x−3)

dx =

∫ (A

x+1+

B(x+1)2 +

Cx−3

)dx.


2x2 +1(x+1)2(x−3)

=A

x+1+

B(x+1)2 +

Cx−3

=A(x+1)(x−3)+B(x−3)+C(x+1)2

(x+1)2(x−3).

Igualando os numeradores: 2x2 +1 = A(x2−2x−3)+B(x−3)+C(x2 +2x+1) e orde-nando temos

2x2 +1 = (A+C)x2 +(−2A+B+2C)x−3A−3B+C.

Por igualdade de polinômios, temos:A+C = 2

−2A+B+2C = 03A−3B+C = 1

⇒

A = 13/16B = −3/4C = 19/16

substituindo na integral, obtemos:∫ 2x2 +1(x+1)2(x−3)

dx =1316

∫ dxx+1

− 34

∫ dx(x+1)2 +

1916

∫ dxx−3

=1316

ln |x+1|+ 34(x+1)

+1916

ln |x−3|+ c.

d.∫ 4x2 +6

x3 +3xdx

SoluçãoFatorando o denominador Q(x) = x3 + 3x = x(x2 + 3). Logo, aplicando o Caso IV, estaintegral pode ser expressa como:∫

4x2 +6x3 +3x

dx =

∫ (Ax+

Bx+Cx2 +3

)dx.


4x2 +6x3 +3x

=Ax+

Bx+Cx2 +3

=A(x2 +3)+Bx2 +Cx

x(x2 +3).

Igualando os numeradores: 4x2 +6 = (A+B)x2 +Cx+3A. Por igualdade de polinômios,temos

A+B = 4C = 0

3A = 6⇒

A = 2B = 2C = 0

substituindo na integral, obtemos:∫4x2 +6x3 +3x

dx =

∫2x

dx+

∫2x

x2 +3dx = 2ln |x|+ ln |x2 +3|+ c = ln(x)2(x2 +3)+ c.


e.∫ x3 +3x2−2x+1

x4 +5x2 +4dx

SoluçãoFatorando o denominador Q(x) = x4+5x2+4 = (x2+4)(x2+1). Logo, aplicando o CasoIV, esta integral pode ser expressa como:∫

x3 +3x2−2x+1x4 +5x2 +4

dx =

∫ (Ax+Bx2 +1

+Cx+Dx2 +4

)dx.

Calculando as constantes A,B,C,D:

x3 +3x2−2x+1x4 +5x2 +4

=Ax+Bx2 +1

+Cx+Dx2 +4

=(Ax+B)(x2 +4)+(Cx+D)(x2 +1)

(x2 +1)(x2 +4).

Igualando os numeradores: x3 + 3x2 − 2x + 1 = A(x3 + 4x) + B(x2 + 4) +C(x3 + x) +D(x2 +1) e ordenando

x3 +3x2−2x+1 = (A+C)x3 +(B+D)x2 +(4A+C)x+4B+D.

Por igualdade de polinômios, temos:A+C = 1B+D = 3

4A+C = −24B+D = 1

⇒

A = −1, B = −2

3

C = 2, D =113,

e substituindo na integral, obtemos:∫ x3 +3x2−2x+1x4 +5x2 +4

dx = −∫ xdx

x2 +1− 2

3

∫ dxx2 +1

+∫ 2xdx

x2 +4+

113

∫ dxx2 +4

= −12

ln |x2 +1|− 23

arc tg(x)+ ln |x2 +4|+ 116

arc tg(x

2

)+ c.

f.∫ x3−2x2 +3x−4(x−1)2(x2 +2x+2)

dx

SoluçãoAplicando o Caso V, esta integral pode ser expressa como:∫

x3−2x2 +3x−4(x−1)2(x2 +2x+2)

dx =

∫ (A

x−1+

B(x−1)2 +

Cx+Dx2 +2x+2

)dx.

Calculando as constantes A,B,C,D:

x3−2x2 +3x−4(x−1)2(x2 +2x+2)

=A

x−1+

B(x−1)2 +

Cx+Dx2 +2x+2

=A(x−1)(x2 +2x+2)+B(x2 +2x+2)+(Cx+D)(x−1)2

(x−1)2(x2 +2x+2).

Igualando os numeradores:

x3−2x2 +3x−4 = A(x3 + x2−2)+B(x2 +2x+2)+C(x3−2x2 + x)+D(x2−2x+1)

= (A+C)x3 +(A+B−2C+D)x2 +(2B+C−2D)x−2A+2B+D.


Por igualdade de polinômios, temos:A+C = 1

A+B−2C+D = −22B+C−2D = 3−2A+2B+D = −4

⇒

A =

1825

, B = −25,

C =7

25, D = −44

25,

e substituindo na integral, obtemos:∫ x3−2x2 +3x−4(x−1)2(x2 +2x+2)

dx =1825

∫ xdxx−1

− 25

∫ dx(x−1)2 +

125

∫(7x−44)dxx2 +2x+2

=1825

ln |x−1|+ 25(x−1)

+7

50

∫(2x+2)dxx2 +2x+2

−5425

∫ dxx2 +2x+2

+ c

=1825

ln |x−1|+ 25(x−1)

+7

50ln |x2 +2x+2|

−5425

arc tg(x+1)+ c.

g.∫ dx

x(x2 +1)2

SoluçãoAplicando o Caso V, esta integral pode ser expressa como:∫

dxx(x2 +1)2 =

∫ (Ax+

Bx+Cx2 +1

+Dx+E(x2 +1)2

)dx.

Calculando as constantes A,B,C,D,E:

1x(x2 +1)2 =

Ax+

Bx+Cx2 +1

+Dx+E(x2 +1)2 =

A(x2 +1)2 +(Bx+C)x(x2 +1)+(Dx+E)xx(x2 +1)2 .

Igualando os numeradores:

1 = A(x4 +2x2 +1)+B(x4 + x2)+C(x3 + x)+Dx2 +Ex

= (A+B)x4 +Cx3 +(2A+B+D)x2 +(C+E)x+A.

Por igualdade de polinômios temos:A+B = 0

C = 02A+B+D = 0

C+E = 0A = 1

⇒

A = 1B = −1C = 0D = −1E = 0

e substituindo na integral, obtemos:∫ dxx(x2 +1)2 =

∫ (1x− x

x2 +1− x

(x2 +1)2

)dx

= ln |x|− 12

ln |x2 +1|+ 12(x2 +1)

+ c =12

ln∣∣∣∣ x2

x2 +1

∣∣∣∣+ 12(x2 +1)

+ c.

7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski

Para encontrar integrais da forma∫Ax+B

(x2 +bx+ c)n dx, n = 1,2,3, . . .

onde x2 + bx + c é uma expressão quadrática irredutível, a integral deve ser reescrita da seguinteforma: ∫

Ax+B(x2 +bx+ c)n dx =

P(x)(x2 +bx+ c)n−1 +

∫Cx+D

x2 +bx+ cdx,

onde P(x) é um polinômio de grau < 2(n−1) = grau de (x2 +bx+ c)n−1 e os coeficientes de P(x),assim como os valores de C e D, calculam-se derivando ambos membros e aplicando o método daseção anterior.

Método de Hermite-Ostrogradski

Se na função racionalP(x)Q(x)

, Q(x) se decompõe em fatores de multiplicidade, teremos:

Q(x) = (x−a1)α1(x−a2)

α2 . . .(x−ar)αr(x2 +b1x+ c1)

β1 . . .(x2 +bsx+ cs)βs,

E assim, a integral pode ser expressada da seguinte forma:∫P(x)Q(x)

dx =f (x)

Q1(x)+

∫g(x)

Q2(x)dx,

onde Q1(x) := m.d.c(Q(x),Q′(x)) é o máximo divisor comum dos polinômios Q(x) e da sua

derivada Q′(x) e Q2(x) =Q(x)Q1(x)

. Além disso, f (x) e g(x) são polinômios com coeficientes

indeterminados, cujos graus são menores numa unidade que os polinômios Q1(x) e Q2(x), res-pectivamente. Os coeficientes de f (x) e g(x) são determinados derivando a última equivalênciada integral.


a.∫ dx(x+1)2(x2 +1)2 dx

SoluçãoDesde que Q(x) = (x+ 1)2(x2 + 1)2, temos que Q′(x) = 2(x+ 1)(x2 + 1)(3x2 + 2x+ 1).Além disso,

Q1(x) = m.c.d(Q(x),Q′(x)) = (x+1)(x2 +1);

Q2(x) =Q(x)Q1(x)

=(x+1)2(x2 +1)2

(x+1)(x2 +1)= (x+1)(x2 +1).

Como ∫dx

(x+1)2(x2 +1)2 =f (x)

Q1(x)+

∫g(x)

Q2(x)dx

então, ∫dx

(x+1)2(x2 +1)2 =Ax2 +Bx+C(x+1)(x2 +1)

+

∫Dx2 +Ex+F(x+1)(x2 +1)

dx.


Derivando a equação anterior, obtemos:

1(x+1)2(x2 +1)2 =

Dx5 +(−A+D+E)x4 +(−2B+D+E +F)x3

(x+1)2(x2 +1)2

+(A−B−3C+D+E +F)x2 +(2A−2C+E +F)x+B−C+F

(x+1)2(x2 +1)2 .

Por igualdade de polinômios, temos:

D = 0−A+D+E = 0

−2B+D+E +F = 0A−B−3C+D+E +F = 0

2A−2C+E +F = 0B−C+F = 1

⇒

A = −14, B =

14,

C = 0, D = 0,

E = −14, F = −3

4,

substituindo na integral, obtemos:

∫ dx(x+1)2(x2 +1)2 =

−x2

4+

x4+0

(x+1)(x2 +1)+∫ 0− x

4+

34

(x+1)(x2 +1)dx

= − x2− x4(x+1)(x2 +1)

− 14

∫ x−3(x+1)(x2 +1)

dx

= − x2− x4(x+1)(x2 +1)

− 14

[∫ −2dxx+1

+∫ 2xdx

x2 +1−∫ dx

x2 +1dx]

= − x2− x4(x+1)(x2 +1)

− 14[−2ln |x+1|+ ln |x2 +1|− arc tg(x)

]+ c

= − x2− x4(x+1)(x2 +1)

+12

ln |x+1|− 14

ln |x2 +1|+ 14

arc tg(x)+ c.

b.∫ dx(x3−1)2 dx

SoluçãoDesde que Q(x) = (x3−1)2 resulta que Q′(x) = 6x2(x3−1). Além disso,

Q1(x) = m.c.d(Q(x),Q′(x)

)= x3−1 e Q2(x) =

Q(x)Q1(x)

=(x3−1)2

x3−1= x3−1.

Como ∫dx

(x3−1)2 =f (x)

Q1(x)+

∫g(x)

Q2(x)dx

então, ∫dx

(x3−1)2 =Ax2 +Bx+C

x3−1+

∫Dx2 +Ex+F

x3−1dx.

Derivando a equação anterior, obtemos:

1(x3−1)2 =

(x3−1)(2Ax+B)− (Ax2 +Bx+C)3x2

(x3−1)2 +Dx2 +Ex+F

x3−1.


Ao igualar os numeradores:

1 = (x3−1)(2Ax+B)−3x2(Ax2 +Bx+C)+(Dx2 +Ex+F)(x3−1)

= Dx5 +(−A+E)x4 +(−2B+F)x3 +(−3C−D)x2 +(2A−E)x−B−F.

Por igualdade de polinômios, temos:

D = 0−A+E = 0−2B+F = 0−3C−D = 0

2A−E = 0B−F = 1

⇒

A = 0, B = −1

3, C = 0,

D = 0, E = 0, F = −23,

substituindo na integral, obtemos:∫ dx(x3−1)2 =

−x3(x3−1)

− 23

∫ dxx3−1

=−x

3(x3−1)− 2

3

[13

∫ dxx−1

− 13

∫ x+2x2 + x+1

dx]

=−x

3(x3−1)− 2

3

[13

ln |x−1|− 16

ln |x2 + x+1|− 1√3

arc tg(

2x+1√3

)]+ c

=−x

3(x3−1)+

19

ln(|x2 + x+1||x−1|

)+

23√

3arc tg

(2x+1√

3

)+ c.

7.6.6 Integrais de Funções Irracionais

Como vimos nas subseções anteriores, as funções racionais possuem integrais que podem ser ex-pressas como combinações lineares finitas de funções elementares. Porém, isto não acontece com asfunções irracionais, salvo em alguns casos particulares. Examinaremos agora alguns critérios pararesolver integrais desse tipo.

Caso I ∫(Ax+B)√

ax2 +bx+ cdx.

Para calcular esse tipo de integrais, precisaremos completar o quadrado no trinômio ax2 +bx+c:

ax2 +bx+ c = a(

x2 +ba

x+ca

)= a

(x2 +

ba

x+b2

4a2

)+ c− b2

4a= a

(x+

b2a

)2

+4ac−b2

4a

assim, ∫(Ax+B)√

ax2 +bx+ cdx =

∫(Ax+B)√

a(

x+b

2a

)2

+4ac−b2

4a

dx.

Logo, faz-se a substituição z = x+b

2ae aplicam-se as fórmulas básicas de integração.


Exemplo 7.20

Determinemos a integral∫

(x+2)√4−2x− x2

dx

SoluçãoCompletando quadrados, obtemos: 4−2x− x2 = 5(x2 +2x+1) = 5− (x+1)2. Assim,

∫(x+2)dx√4−2x− x2

=∫

(x+2)dx√5− (x+1)2

.

Fazendo z = x+1, temos que x = z−1 e dx = dz. Logo,∫(x+2)dx√4−2x− x2

=∫(z−1+2)√

5− z2dz =

∫(z+1)√

5− z2dz

=∫ zdz√

5− z2+∫ dz√

5− z2

= −√

5− z2 + arcsen(

z√5

)+ c

= −√

4−2x− x2 + arcsen(

x+1√5

)+ c.

Caso II ∫R

(x, n

√ax+bcx+d

)dx,

onde a,b,c,d são constantes, n ∈ N e ad−bc 6= 0. Para calcular essas integrais, faz-se a subs-

tituição: z = n

√ax+bcx+d

, e pondo em evidência x, obtemos:

x =b−dzn

czn−a⇒ dx =

nzn−1(ad−bc)(czn−a)2 .

Logo, calculamos a integral composta de uma função racional na variável z.

Exemplo 7.21

Determinar a integral∫

3

√1− x1+ x

1x

dx.

Solução

Pelo critério estabelecido, z3 =1− x1+ x

e, assim,

x =1− z3

1+ z3 ⇒ dx =− 6z2dz(1+ z3)2 .


Substituindo na integral, teremos:∫3

√1− x1+ x

1x

dx =∫

z1+ z3

1− z3

[−6z2

(1+ z3)2

]dz =−6

∫ z3

(1− z3)(1+ z3)dz = 6

∫ z3

(z3−1)(z3 +1)dz

= 6∫ [ A

z−1+

Bz+1

+Cz+D

z2 + z+1+

Ez+Fz2− z+1

]dz

=66

∫ [ 1z−1

+1

z+1− z+2

z2 + z+1− z−2

z2− z+1

]dz

= ln |z−1|+ ln |z+1|− 12

ln |z2 + z+1|− 12

ln |z2− z+1|

−√

3arc tg(

2z−1√3

)+√

3arc tg(

2z+1√3

)+ c

= ln |z2−1|− 12

ln |(z2 + z+1)(z2− z+1)|−√

3arc tg

( √3

2z2 +1

)+ c.

Caso III ∫R

(x,(

ax+bcx+d

)p1/q1

,

(ax+bcx+d

)p2/q2

, . . . ,

(ax+bcx+d

)pk/qk)

dx,

onde a,b,c,d são constantes tais que ad − bc 6= 0, p1, p2, . . . , pk,q1,q2, . . . ,qk ∈ Z, sendo Ruma função racional. Para calcular essas integrais, devemos transformá-las numa integral de

uma função racional na variável z, mediante a substituição de zn =ax+bcx+d

, onde n é o mínimo

múltiplo comum dos números q1,q2, . . . ,qk.

Exemplo 7.22

Determinemos a integral∫ x2 +

√1+ x

3√

1+ xdx

Solução

Pelo critério estabelecido, z6 = 1+ x, assim,{

z2 = 3√

1+ xz3 =

√1+ x

, além disso, x = z6−1 ⇒ dx =

6z5dz. Substituindo na integral, teremos:

∫ x2 +√

1+ x3√

1+ xdx =

∫(z6−1)+ z3

z2 6z5dz = 6∫

z3(z12−2z6 +1+ z3)dz

= 6∫(z15−2z9 + z6 + z3)dz = 6

[z16

16− z10

5+

z7

7+

z4

4

]+ c

= 6z4[

z12

16− z6

5+

z3

7+

14

]+ c

= 6 3√

(x+1)2[(x+1)2

16− 1+ x

5+

√1+ x7

+14

]+ c.


Caso IV ∫Pn(x)√

ax2 +bx+ cdx,

onde Pn(x) é um polinômio de grau n. Para calcular esse tipo de integral, temos que expressá-lascomo: ∫

Pn(x)√ax2 +bx+ c

dx = Qn−1(x)√

ax2 +bx+ c+λ

∫dx√

ax2 +bx+ c,

onde Qn−1(x) é um polinômio de grau (n− 1), com coeficientes indeterminados e λ ∈ R, osquais são calculados ao derivar a última expressão.

Exemplo 7.23

Determinemos a integral∫ x2√

x2− x+1dx

SoluçãoPelo critério estabelecido, expressamos a integral como:∫

x2√

x2− x+1dx = (Ax+B)

√x2− x+1+λ

∫dx√

x2− x+1.

Derivando essa expressão, obtemos:

x2√

x2− x+1= A

√x2− x+1+

(Ax+B)(2x−1)2√

x2− x+1+

λ√x2− x+1

.

Multiplicando em ambos extremos por√

x2− x+1, resultará em:

2x2 = 2A(x2− x+1)+(Ax+B)(2x−1)+2λ = 4Ax2 +(2B−3A)x+2A+2λ −B.

Por igualdade de polinômios, temos:4A = 2

2B−3A = 02A+2λ −B = 0

⇒{

A =12, B =

34, λ =−1

8,

e substituindo na integral, obtemos:∫ x2√

x2− x+1dx =

(x2+

34

)√x2− x+1− 1

8

∫ dx√x2− x+1

=2x+3

4

√x2− x+1− 1

8

∫ dx√(x−1/2)2 +3/4

=2x+3

4

√x2− x+1− 1

8ln∣∣∣2x−1+2

√x2− x+1

∣∣∣+ c.


Caso V ∫dx

(x−α)n√

ax2 +bx+ c.

Para calcular esse tipo de integral, devemos transformá-las em integrais do Caso IV usando a

substituição t =1

x−αo qual implica que x−α =

1t

.

Exemplo 7.24

Determinemos a integral∫ dx

(x3 +3x2 +3x+1)√

x2 +2x−3

SoluçãoPodemos reescrever a integral como:

∫ dx

(x3 +3x2 +3x+1)√

x2 +2x−3=

∫ dx

(x+1)3√

(x+1)2−4.

Fazendo t =1

x+1, temos que x+1 =

1t

e dx =−dtt2 . Assim,

∫ dx

(x3 +3x2 +3x+1)√

x2 +2x−3=

∫ −dtt2

1t3

√1t2 −4

=−∫ t2dt√

1−4t2.

Logo, resolvemos a última integral usando o critério do Caso IV:∫t2dt√1−4t2

= (At +B)√

1−4t2 +λ

∫dt√

1−4t2,

derivando essa expressão, obtemos:

t2√

1−4t2= A

√1−4t2− 4t(At +B)√

1−4t2+

λ√1−4t2

.

E multiplicando em ambos extremos por√

1−4t2, resultará em:

t2 = A(1− t2)−4t(At +B)+λ =−8At2−4Bt +A+λ .

Por igualdade de polinômios, temos:−8A = 1−4B = 0

A+λ = 0⇒{

A =18, B = 0, λ =

18.

Substituindo na integral, obtemos:∫t2dt√1−4t2

=− t8

√1−4t2 +

18

∫dt√

1−4t2=− t

8

√1−4t2 +

116

arcsen(2t).


Portanto, substituindo na integral original:∫ dx

(x3 +3x2 +3x+1)√

x2 +2x−3= −

∫ t2dt√1−4t2

=t8

√1−4t2− 1

16arcsen(2t)+ c

=

√x2 +2x−38(x+1)2 − 1

16arcsen

(2

x+1

)+ c.

Caso VI ∫xm(a+bxn)pdx,

onde, m,n, p são números racionais. Para calcular esse tipo de integral, devemos aplicar ascondições de CHEBICHEV e, assim, a integral pode ser expressa como uma combinaçãofinita de funções elementares somente nos três casos seguintes:

a. Quando p é um número inteiro;

b. Quandom+1

né um número inteiro fazemos a substituição zs = a+bxn, onde s é o divisor

da fração p;

c. Quandom+1

n+ p é um número inteiro fazemos a substituição zs = ax−n +b, onde s é o

divisor da fração p.

Exemplo 7.25Determinemos as seguintes integrais

a.∫

x3(1+2x2)−3/2dx

Solução

Aplicamos o critério de CHEVICHEV:m+1

n=

3+12

= 2 é um número inteiro, então,

z2 = 1+2x2 ⇒ x2 =z2−1

2, xdx =

zdz2

;∫x3(1+2x2)−3/2dx =

∫x2(1+2x2)−3/2xdx =

∫ z2−12

(z2)−3/2 zdz

2

=14

∫(z2−1)z−3zdz =

14

∫(1− z−2)dz =

14

(z+

1z

)+ c

=14

(z2 +1

z

)+ c =

1+ x2

2√

1+2x2+ c.

b.∫ dx√

x3 3√

1+ 4√x3


SoluçãoEscrevemos a integral como:∫

dx√

x3 3√

1+ 4√x3=

∫x−3/2(1+ x3/4)−1/3dx.

Aplicamos o critério de CHEVICHEV:

•m+1

n=−3

2+1

34

=−23

não é um número inteiro,

•m+1

n+ p =−2

3− 1

3=−1 é um número inteiro, então,

z3 = x−3/4 +1 ⇒ x3/4 =1

z3−1⇒ x =

1(z3−1)4/3 , dx =−4z2(z3−1)−7/3dz,

subtituindo∫ dx√

x3 3√

1+ 4√x3=

∫ [(z3−1)−4/3

]−3/2(

1+1

z3−1

)(−4z2)(z3−1)−7/3dz

= −4∫

zdz =−2z2 + c =−2 3√(

x−3/4 +1)2

+ c.

Caso VII ∫R(x,

√ax2 +bx+ c)dx,

onde a,b,c ∈ R. Calcula-se uma integral dessa forma usando a substituição de Euler, quepermite transformar o integrando numa função racional na variável t. Dessa maneira, podemosapresentar 3 subcasos:

Subcaso aSe c ≥ 0, a mudança de variável é

√ax2 +bx+ c = tx +

√c. Ao elevar ao quadrado,

resultará em:

ax2+bx+c= t2x2+2√

ctx+c⇔ (a−t2)x2+(b−2√

ct)x= 0⇔ x[(a− t2)x+b−2

√ct]= 0.

Ao eliminar a solução x = 0, obtemos x = ϕ(t), que é uma função racional em t, e dx =ϕ ′(t)dt que também é uma função racional em t. Portanto,∫

R(x,√

ax2 +bx+ c)dx =

∫R(ϕ(t), tϕ(t)+

√c)

ϕ′(t)dt,

onde o integrando do segundo membro é uma função racional em t.


Exemplo 7.26

Determinemos∫ dx

x√

2x2 + x+1Solução

Fazendo√

2x2 + x+1 = tx+1, ao elevar ao quadrado, obtemos 2x2 + x = t2 +2tx. Eliminandoa solução x = 0, teremos:

x =2t−12− t2 , dx =

2(t2− t +2)(2− t2)2 dt,

substituindo na integral:

∫ dx

x√

2x2 + x+1=

∫ 2(t2− t +2)(2− t2)2 dt

2t−12− t2

(t(

2t−12− t2

)+1) =

∫ 2(t2− t +2)(2− t2)2 dt

(2t−1)(2t2− t +2− t2)

(2− t2)2

=∫ 2dt

2t−1= ln |2t−1|+ c = ln

∣∣∣∣∣2√

2x2 + x+1−2− xx

∣∣∣∣∣+ c.

Subcaso bSe a ≥ 0, a mudança de variável é

√ax2 +bx+ c =

√ax+ t. Ao elevar ao quadrado,

resultará em:

ax2 +bx+ c = ax2 +2√

axt + t2 ⇔ bx+ c = 2√

axt + t2 ⇔ x =t2− c

(b−2√

at).

Obtemos x = ϕ(t), que é uma função racional em t, e dx = ϕ ′(t)dt que também é umafunção racional em t.

Exemplo 7.27

Determinemos∫ dx

x√

x2 + x+1Solução

Fazendo√

x2 + x+1 = x+ t, ao elevar ao quadrado obtemos x2 + x+1 = x2 +2tx+ t2. Assim,

x =t2−11−2t

, dx = 2[−t2 + t−1(1+2t)2

]dt,


∫ dx

x√

x2 + x+1=

∫ 2[−t2 + t−1(1+2t)2

]dt

t2−11−2t

(t2−11−2t

+ t) =

∫ 2dtt2−1

= ln∣∣∣∣t−1t +1

∣∣∣∣+ c = ln

∣∣∣∣∣√

x2 + x+1− x−1√x2 + x+1− x+1

∣∣∣∣∣+ c.


Subcaso cSe o trinômio ax2 +bx+ c tem duas raízes reais r,s, nesse caso, a mudança de variável é√

ax2 +bx+ c = t(x− r). E ao elevar ao quadrado, resultará em:

ax2 +bx+ c = a(x− r)(x− s) = t2(x− r)2 ⇒ a(x− s) = t2(x− r).

Da última igualdade, obtemos x = ϕ(t), que é uma função racional em t, e dx = ϕ ′(t)dtque também é uma função racional em t.

Exemplo 7.28

Determinemos∫ dx

x√

x2−3x+2Solução

Desde que x2−3x+2 = (x−2)(x−1) ⇒√

x2−3x+2 =√

(x−2)(x−1) = t(x−1), elevandoao quadrado e simplificando o fator (x−1), obtemos (x−2) = t2(x−1). Assim,

x =2− t2

1− t2 , dx =2t

(1− t2)2 dt,


∫ dx

x√

x2−3x+2=

∫ 2t(1− t2)2 dt(

2− t2

1− t2

)t(

2− t2

1− t2 −1) =−2

∫ dtt2−2

=−√

22

ln

∣∣∣∣∣t−√

2t +√

2

∣∣∣∣∣+ c

=

√2

2ln

∣∣∣∣∣√

x−2+√

2(x−1)√

x−2−√

2(x−1)

∣∣∣∣∣+ c.

7.7 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos o conceito da integral indefinida como o problema inverso da deri-vação. Por isso, foram estudados diversos métodos de integração como, por exemplo, as fórmulasprovenientes das propriedades de derivação direta (integrais imediatas e método de integração porpartes), as técnicas para integrar funções que contêm um trinômio quadrado. Estudamos tambémformas de lidar com expressões que contêm funções trigonométricas.

Apresentamos, ainda, a técnica da substituição trigonométrica, bem como algumas metodologiaspara o tratamento de funções racionais, como o método de Hermite-Ostrogradski e, por último,foram apresentados alguns critérios para resolver funções irracionais.

Essas técnicas serão retomadas no próximo capítulo, onde apresentaremos a integral definida e suasprincipais aplicações, que são de suma importância para o cálculo das mesmas.

7.8 Atividades

1. Determine as seguintes integrais indefinidas:

i.∫

(√

x+3)dx. ii.∫ 4√

6− x2dx.


iii.∫ dx

x(x2−8). iv.

∫ 7x2 +16x4 +4x2 dx.

v.∫ 3

x2 +4x−5dx. vi.

∫ √−4x2−12x−5dx.

vii.∫ 2x3x+1

5x+2 dx. viii.∫ 1

cos2(1−4x)dx.

ix.∫

cos(7x+4)dx. x.∫

e2x−5dx.

xi.∫ dx

x ln2(x)dx. xii.

∫4xexdx.

xiii.∫ e√

x3e√

x

√x

dx. xiv.∫ cos3(x)

1− sen(x)dx.

xv.∫(x5−2x+1)1/5

1− xdx. xvi.

∫ √2+ x2−√

2− x2√

4− x4dx.

xvii.∫ dx

1+ sen(x). xviii.

∫ ln(ln(x))x ln(x)

dx.

xix.∫ dx√

ex−1. xx.

∫ dx4+5cos5(x)

.

xxi.∫ dx

ex +4. xxii.

∫ √√√√ ln(

x+√

x2 +1)

1+ x2 dx.

xxiii.∫ dx√√

x+1. xxiv.

∫ √1+ cos(x)dx.

xxv.∫

(x−2)x√

x−1√

x2− x+1dx. xxvi.

∫ sen(8x)9+ sen4(4x)

dx.

xxvii.∫ √sec(x)− tg(x)

sec(x)+ tg(x)dx. xxviii.

∫sec3(x)dx.

xxix.∫ x(x−1)5e4x dx. xxx.

∫ ln(x)x3(ln(x)−1)3 dx.

xxxi.∫(4−3ln(x))4dx. xxxii.

∫ ex√ex +2ex +6

dx.

2. Integrando por partes, encontre as seguintes integrais indefinidas:

i.∫

x2 ln(x)dx. ii.∫ (

7+ x−3x2)e−xdx.

iii.∫

xsec2(x)dx. iv.∫ ln(x)

x3 dx.

v.∫

cos(ln(x))dx. vi.∫

xarc tg2(x)dx.

vii.∫ ln(ln(x))

xdx. viii.

∫ x2 dxxcos(x)− sen(x))2 .

ix.∫ xex

(1+ x)2 dx. x.∫ arctan(x)

x2 dx.

xi.∫

e2x cos(ex)dx. xii.∫

eax sen(bx)dx.

3. Determine as seguintes integrais indefinidas que contêm um trinômio quadrado:

i.∫ dx

x2 +2x+3. ii.

∫ dxx2−7x+10

.


iii.∫ dx√

4x−3− x2. iv.

∫ dx√x2 +6x+13

.

v.∫

(x−2)dxx2−7x+12

. vi.∫ √

x2 +2x−8dx.

vii.∫ 9dx√

9x2−12x+13. viii.

∫ 3dx4x2−16x+17

.

ix.∫ 4−7x√

x2 +2x−8dx. x.

∫ 3+5x9x2−12x+13

dx.

4. Determine as seguintes integrais trigonométricas:

i.∫

sen2(x)dx. ii.∫

cos5(x)dx.

iii.∫

cos7(x)sen3(x)dx. iv.∫

senh3(x)dx.

v.∫

sen2(3x)cos4(3x)dx. vi.∫

cotg5(x)dx.

vii.∫

sec4(x)√

cotg3(x)dx. viii.∫

tgh6(x)sech4(x)dx.

ix.∫

sen(3x)sen(5x)dx. x.∫

sen5(2x)cos8(2x)dx.

xi.∫

sen3(x)cos3(x)dx. xii.∫

sen4(x

2

)cos2

(x2

)dx.

xiii.∫ dx

sen2(x)cos4(x). xiv.

∫ dxsen5(x)cos5 x)

.

xv.∫ sec2(πx)

cos6(πx)dx. xvi.

∫sen(x)sen(2x)sen(3x)dx.

xvii.∫

sen(4x)cos(5x)dx. xviii.∫

cosh(3x)cosh(x)dx.

xix.∫

sen3(x)cos(3x)dx. xx.∫

senh2(x)cosh(5x)dx.

5. Encontre as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:

i.∫ x2

(16− x2)3/2 dx. ii.∫ √4+ x2

x6 dx.

iii.∫ √25− x2

xdx. iv.

∫x2√

16− x2 dx.

v.∫ x2√

2x2 +7dx. vi.

∫ x2√

21+4x− x2dx.

vii.∫

x2√

9− x2 dx. viii.∫ √x2 +1

xdx.

ix.∫ dx(x2 +5)3/2 . x.

∫ √x2 +16x

dx.

xi.∫ √x2−8

x4 dx. xii.∫ x2

(a2− x2)3/2 dx.

xiii.∫ dx

(x+1)3√

x2 +2x. xiv.

∫ dx

(x2 +1)√

1− x2.

xv.∫ ex√

(e2x−2ex +5)3dx. xvi.

∫ x2√(9− x2)7

dx.

xvii.∫ √1− x2

x4 dx. xviii.∫(9− x2)1/2

x2 dx.


xix.∫

(x2 +3x)(x−1)(x2−2x+10)1/2 dx. xx.

∫ x2−3x(x4−4)1/2 dx.

xxi.∫ dx

(2x2 +1)√

x2 +1. xxii.

∫ dx

x3√

x2−1.

xxiii.∫(x2 +2x)1/2

x+1dx. xxiv.

∫ dx(4x− x2)3/2 .

xxv.∫ x2

(4− x2)5/2 dx. xxvi.∫ x2dx(2x− x2)1/2 .

xxvii.∫ exdx(e2x +8ex +7)3/2 . xxviii.

∫ 3xarcsen(x)(1− x2)5/2 dx.

xxix.∫ dx

x2√

x2−4. xxx.

∫ x2dx√1− x2

.

6. Determine as integrais das seguintes funções racionais:

i.∫ 2x2 +41x−91(x−1)(x+3)(x−4)

dx. ii.∫ 2x+1

x3−7x+6dx.

iii.∫ dx

x(a2− x2), a > 0. iv.

∫ 2x2−1x3− x

dx.

v.∫ 5x3 +2

x3−5x2 +4xdx. vi.

∫ x+1x3− x2−6x

dx.

vii.∫ x3−1

4x3− xdx. viii.

∫ 3x−2(x+2)(x+1)(x−1)

dx.

ix.∫ 2x2 +3x−1(x+3)(x+2)(x−1)

dx. x.∫ 5x2−11x+5

x3−4x2 +5x−2dx.

xi.∫ 2x4−2x+1

2x5− x4 dx. xii.∫ 3x+2

x(x+1)3 dx.

xiii.∫ x+1

x3 +4xdx. xiv.

∫ x2−3x−7(2x+3)(x+1)2 dx.

xv.∫ dx

x2(x+1)2 . xvi.∫ dx

x4− x2 .

xvii.∫ x3−6x2 +9x+7

(x−2)3(x−5)dx. xviii.

∫ x4− x3− x−1x3− x2 dx.

xix.∫ 2x+3(x+2)(x−1)

dx. xx.∫ x2 + x−1

x3− x2 dx.

xxi.∫ x+1

x3−2x2 +3xdx. xxii.

∫ x2 + x−2x4 +5x2 +4

dx.

xxiii.∫ dx(x2 +2x+5)3 . xxiv.

∫ 6x3

(x2 +1)2 dx.

xxv.∫ x3 + x2 + x+2

x4 +3x2 +2dx. xxvi.

∫ x5

x3−1dx.

xxvii.∫ 2x2−1

x3− xdx. xxviii.

∫ x2 +3x+3(x+1)(x2 +1)

dx.

xxix.∫ x2−2x+3(x+1)2(x2 +4)

dx. xxx.∫ x2

1− x4 dx.

xxxi.∫ dx

x(4+ x2)(1+ x2). xxxii.

∫ dxx4 +1

.

xxxiii.∫ x3 + x−1

(x2 +2)2 dx. xxxiv.∫ dx

x3 + x2 .


xxxv.∫ dx

x(x4−1). xxxvi.

∫ dxx8 + x6 .

xxxvii.∫ 5x−8

x3 +4x2 +4xdx. xxxviii.

∫ xx4− x2−1

dx.

xxxix.∫ 2x3−4(x2 +1)(x+1)2 dx. xl.

∫ x(x−1)(x+1)2 dx.

7. Determine as seguintes integrais pelo método de Hermite-Ostrogradski:

i.∫ x7 +2(x2 + x+1)2 dx. ii.

∫ dx(x2 +1)4 dx.

iii.∫ dx(x4−1)2 . iv.

∫ dxx4(x3 +1)2 .

v.∫ x6 + x4−4x2

x3(x2 +1)2 dx. vi.∫ dx

x4(x3 +1)2 .

vii.∫ x5− x4−26x2−24x−25

(x2 +4x+5)2(x2 +4)2 dx. viii.∫ 3x4 +4

x2(x2 +1)3 dx.

ix.∫ x3 + x−1

(x2 +2)2 dx. x.∫ x3−2x2 +4

(x2−1)3 dx.

xi.∫ x2

(x+2)2(x+4)2 dx. xii.∫ dx(x4−1)3 .

8. Determine as seguintes integrais irracionais:

i.∫ dx(2+ x)

√1+ x

. ii.∫ 3

√x

x(√

x+ 3√

x)dx.

iii.∫ x+1

x√

x−2dx. iv.

∫ dx3√

x( 3√

x−1).

v.∫ dx√

x+ 4√

x. vi.

∫ dx√3x−2− 4

√3x−2

.

vii.∫ e2x

4√

ex +1dx. viii.

∫ dx√x+1+ 4

√x+1

.

ix.∫ √

2+√

xdx. x.∫ x5√

1− x2dx.

xi.∫ x2√

8+2x− x2dx. xii.

∫ 2x2−3x√x2−2x+5

dx.

xiii.∫ 3x2−5x√

3−2x− x2dx. xiv.

∫ dx

x√

3x2 +2x−1.

xv.∫ dx

x 3√

x2 +4. xvi.

∫ dx

x4√

x2−1.

xvii.∫ dx√

x3 3√

1+ x3/4. xviii.

∫ √1− x4

x5 dx.

xix.∫

3√

x(1− x2)dx. xx.∫ √x2 +9

x3 dx.

xxi.∫ dx

x4√

1+ x2. xxii.

∫ dx

x 4√

(1+ x4)3

.

xxiii.∫ dx

3√

(x+1)2 (x−1)4. xxiv.

∫ 6√

x1+ 3√

xdx.


xxv.∫ √

x

(1+ 3√

x)2 dx. xxvi.∫ dx

x−√

x2− x+1.

xxvii.∫ dx

(x+2)√

x2 +2x. xxviii.

∫ dx

(x2 +1)√

x2−1.

xxix.∫ √x2 +2

1+ x2 dx. xxx.∫ 3

√x

( 3√

x+1)2 dx.

xxxi.∫

(x−2)2/3

(x−2)2/3 +3dx. xxxii.

∫ dx

x√

x2 +2x−1.

xxxiii.∫ dx

x√

2+ x− x2. xxxiv.

∫ 5x+3√5+4x− x2

dx.

xxxv.∫ dx(2x+5)

√2x−3+8x−12

. xxxvi.∫ dx

x−√

x2−1.

xxxvii.∫ 1−

√1+ x+ x2

x√

1+ x+ x2dx. xxxviii.

∫ √x+1− 3√

x+1√x+1+ 3

√x+1

dx.





Capítulo 8

A Integral Definida


8.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2.1 Propriedades do Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios . . . . . . . . . . . . . . 229

8.3.1 Partição de um Intervalo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8.3.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos . . . . . . . 230

8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3.4 Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores . . . . . . . . . . . . 235

8.4 Integrais Inferiores e Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.5 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

8.6 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.9 Mudança de Variável numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

8.10 Integração por Partes numa Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.11 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.11.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.11.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.12 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

8.12.1 Áreas de Regiões Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

8.12.2 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.12.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.12.4 Área de uma Superfície de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265




• Conhecer o significado geométrico da integral definida;

• Dominar as propriedades de somatórios;

• Identificar a existência das funções integráveis;

• Aplicar as propriedades de integral definida nos seus cálculos;

• Interpretar os teoremas fundamentais do cálculo integral;

• Interpretar corretamente a integral definida na aplicação do cálculo de áreas de regiõesplanas, volume, longitude de arco, etc.

8.1 Introdução

A integral definida é um dos pilares do cálculo; é também uma ferramenta essencial para determinarquantidades importantes para a matemática, tais como áreas, volumes, comprimentos de curvas, entreoutros. A ideia por trás da integral definida é independente a da integral indefinida, ou seja, nãoé como a operação inversa da derivada. Assim, poderemos calcular efetivamente as quantidadesrequeridas, dividindo-as em pequenas partes e, em seguida, somando-as para obter uma aproximaçãodo valor desejado, que no limite torna-se exatamente o valor desejado.

Historicamente, as noções da integral definida remontam à Antiguidade, mas o conceito foi estabe-lecido apenas na era moderna como consequência da contribuição de muitos matemáticos tais comoNewton e Leibniz, porém, foi o matemático Riemann, no século XIX, quem formulou o conceitoutilizado atualmente.

Neste capítulo, trataremos da integral definida e estudaremos suas principais propriedades, dentreas quais ressaltamos os teoremas fundamentais do cálculo, que se relacionam com os conceitos daantiderivada de integral indefinida e da integral definida; estudaremos ainda as integrais imprópriasúteis no tratamento de intervalos ilimitados; e por fim, apresentaremos algumas aplicações da integraldefinida no cálculo de áreas, volumes e comprimento de uma curva.

8.2 Somatórios

Sejam i, m, n∈Z com m≤ i≤ n, e f uma função definida para cada [a,b], a notaçãon

∑i=m

f (i) representa

a soma dos termos f (m), f (m+1), . . . , f (n), isto é,

n

∑i=m

f (i) = f (m)+ f (m+1)+ f (m+2)+ · · ·+ f (n)

onde a letra grega ∑ (sigma) denota o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limiteinferior e n é o limite superior. Por exemplo, se f (i) = i3, m = 3 e n = 7, então,

n

∑i=m

f (i) =7

∑i=3

i3 = 33 +43 +53 +63 +73 = 775.


8.2.1 Propriedades do Somatório

Sejam k uma constante e f uma função definida para cada i ∈ Z. Então:

n

∑i=m

k = (n−m+1)k;n

∑i=m

k f (i) = kn

∑i=m

f (i).

Em particular, se m = 1, entãon

∑i=1

k = nk.

Propriedade Distributiva

n

∑i=m

( f (i)±g(i)) =n

∑i=m

f (i) ±n

∑i=m

g(i).

Propriedades Telescópicas

n

∑i=m

( f (i)− f (i−1)) = f (n)− f (m−1);

n

∑i=m

( f (i+1)− f (i−1)) = f (n+1)+ f (n)− f (m)− f (m−1).

Em particular, se m = 1, então:

n

∑i=1

( f (i)− f (i−1)) = f (n)− f (0);

n

∑i=1

( f (i+1)− f (i−1)) = f (n+1)+ f (n)− f (1)− f (0).

Exemplo 8.1Calculemos o valor dos seguintes somatórios:

a.100

∑i=5

(√i−√

i−1+2).

SoluçãoPela Propriedade Distributiva, temos que:

100

∑i=5

(√i−√

i−1+2)=

100

∑i=5

(√i−√

i−1)+

100

∑i=5

2.

No primeiro somatório, aplicamos a Propriedade Telescópica para f (i) =√

i, m = 5 en = 100, e obtemos:

100

∑i=5

(√i−√

i−1)= f (100)− f (5−1) =

√100−

√4 = 10−2 = 8.

No segundo somatório, aplicando a primeira propriedade, resultará em:

100

∑i=5

2 = (100−5+1)2 = 192.

Portanto,

100

∑i=5

(√i−√

i−1+2)=

100

∑i=5

(√i−√

i−1)+

100

∑i=5

2 = 8+192 = 200.

b.n

∑i=1

[(i+1)2− (i−1)2]

SoluçãoConsiderando f (i) = i2, temos que f (i + 1) = (i + 1)2 e f (i− 1) = (i− 1)2, logo, daPropriedade Telescópica, teremos:

n

∑i=1

[(i+1)2− (i−1)2]= (n+1)2 +n2−12−02 = 2n2 +2n = 2n(n+1).

NotaUma observação importante do último exemplo é que (i+1)2− (i−1)2 = 4i e ao substituirno somatório, resultará em:

n

∑i=1

4i = 2n(n+1) ⇔n

∑i=1

i =n(n+1)

2.

Ou seja, obtemos a fórmula da soma dos n primeiros números naturais.

8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios

8.3.1 Partição de um Intervalo Fechado

Definição 8.1Seja [a,b] é um intervalo fechado. Uma partição do intervalo [a,b] é o conjunto de pontosx0, x1, x2, . . . , xn tais que a = x0 < x1 < x2 < .. . < xn = b, e é denotada por P, isto é, P ={x0,x1,x2, . . . ,xn}.

xa=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b......

i-ésimo subintervalo


Nota

a. Toda partição P divide [a,b] em n subintervalos fechados;

b. A largura de cada subintervalo [xi−1,xi] para i = 1,2, . . . ,n é denotada por ∆xi = xi−

xi−1 e verifica-se quen

∑i=1

∆xi = b−a;

xa=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b......

x1 x2 xi xn

c. Denomina-se norma ou diâmetro da partição P o número

‖P‖= max{∆xi : i = 1,2, . . . ,n} ;

d. Quando o intervalo [a,b] divide-se em n partes iguais, a largura da cada subintervalo

é ∆x =b−a

n. Nesse caso, os extremos de cada subintervalo são:

x0 = a, x1 = a+∆x, x2 = a+2∆x, . . . xi = a+ i∆x, . . . xn = b.

8.3.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos

Seja f : [a,b]→ R uma função contínua e não negativa ( f (x) ≥ 0) em [a,b]. Seja R a região planalimitada pelos gráfico de y = f (x), pelas retas x = a e x = b, e pelo eixo x. Assim, R é chamada deregião abaixo do gráfico de f , do ponto a até b, veja a figura a seguir:

x

y

0a b

R

Seja P = {x0, x1, x2, . . . , xn} uma partição de [a,b]. Para cada subintervalo [xi−1,xi], escolhemos umponto ui tal que f (ui), seja o valor mínimo de f nesse subintevalo, com i = 1,2, . . . ,n. Assim, temoso conjunto de pontos u1, u2, . . . , un.

Dessa forma, construímos n retângulos cujas bases são as larguras de cada subintervalo de P, isto é,∆i cujas alturas são f (u1), f (u2), . . . , f (un), respectivamente. Logo, as áreas desses retângulos são:

f (u1)∆x1, f (u2)∆x2, . . . f (un)∆xn,


respectivamente.

A união desses n retângulos forma o chamado polígono retangular inscrito em R (veja o item (a) dafigura a seguir) e a área desse polígono, denotada por I(P), é da forma

I(P) =n

∑i=1

f (ui)∆xi.

x

y

0 a=x0

De forma análoga, para cada subintervalos [xi−1,xi], escolhemos um ponto vi tal que f (vi), seja o valormáximo de f nesse subintevalo, com i = 1,2, . . . ,n. Assim, temos o conjunto de pontos v1,v2, . . . ,vn.Logo, construímos n retângulos cujas bases são as larguras dos subintervalos de P, isto é, ∆i, e cujasalturas são f (v1), f (v2), . . . , f (vn), respectivamente. Assim, as áreas destes retângulos são

f (v1)∆x1, f (v2)∆x2, . . . f (vn)∆xn,

A união desses n retângulos forma o chamado polígono retangular circunscrito em R (veja o item(b) da figura acima). Logo, a área desse polígono, denotada por C(P), é da forma

C(P) =n

∑i=1

f (vi)∆xi.

Denotando por AR à área da região R, temos que:

I(P)≤ AR ≤C(P).

Desta forma, para cada partição P do intervalo [a,b], I(P) e C(P) podem ser vistas como aproximaçõesde AR. Além disso, fica evidente que, quando ‖P‖ → 0, essas aproximações irão se tornar cada vezmelhores e tender a AR no limite.

Se o intervalo [a,b] for dividido em n partes iguais, cada subintervalo tem largura ∆x, podemos rees-crever cada soma acima como:

I(P) =n

∑i=1

f (ui)∆x =n

∑i=1

f (ui)

(b−a

n

)e C(P) =

n

∑i=1

f (vi)∆x =n

∑i=1

f (vi)

(b−a

n

).

Além disso, ‖P‖→ 0 implica que n→+∞.

Definição 8.2Sejam f : [a,b]→R uma função contínua e não negativa no intervalo [a,b], AR a área da região


plana limitada pelo gráfico de y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x. Então, AR é definidapor

AR := limn→+∞

( n

∑i=1

f (ci)∆x

)unidades2,

onde ci é arbitrariamente escolhido no subintervalo [xi−1,xi].

Exemplo 8.2Calculemos a área da região R usando retângulos inscritos e retângulos circunscritos.

a. R é limitada pelo gráfico de y = x+1, as retas x = 0, x = 3 e o eixo x.

SoluçãoO gráfico da região R é apresentado no item (a) da figura abaixo. Nesse caso, f (x) = x+1,a = 0 e b = 3. Então, vamos dividir o intervalo [0,3] em n partes iguais, ou seja, ∆x =3−0

n=

3n

.

Usando retângulos inscritosNos itens (b) e (c) da figura acima, vemos duas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um mínimo relativono extremo esquerdo de cada subintervalo, logo,

ui = a+(i−1)∆x = (i−1)3n=

3n

i− 3n

e f (ui) = ui +1 =3n

i− 3n+1, i = 1, . . . ,n.

Portanto, usando a fórmula dada, temos que:

AR = limn→+∞

(3n

n∑

i=1

[3n

i+1− 3n

])= lim

n→+∞

(9n2

n∑

i=1i+

3n

(1− 3

n

)n∑

i=11)

= limn→+∞

(9n2

n(n+1)2

+3n

(1− 3

n

)n)= lim

n→+∞

(92

(1+

1n

)+3(

1− 3n

))=

152

unidades2.

Usando retângulos circunscritosNos itens (d) e (e) da figura acima, vemos duas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um máximo relativono extremo direito de cada subintervalo, logo,

vi = a+ i∆x = i3n=

3n

i e f (vi) = vi +1 =3n

i+1, i = 1, . . . ,n.



AR = limn→+∞

(3n

n∑

i=1

[3n

i+1])

= limn→+∞

(9n2

n∑

i=1i+

3n

n∑

i=11)

= limn→+∞

(9n2

n(n+1)2

+3n

n)= lim

n→+∞

(92

(1+

1n

)+3)

=152

unidades2.

b. R é limitada pelos gráficos de y = x2, x = 3 e o eixo x.

SoluçãoO gráfico da região R é apresentado no item (a) da figura abaixo. Nesse caso, f (x) = x2,a = 0 e b = 3. Então, vamos dividir o intervalo [0,3] em n partes iguais, ou seja, ∆x =3−0

n=

3n

.

y

x0

(a)

3

y= x2

R

y

x0

Usando retângulos inscritosNos itens (b) e (c) da figura acima vemos duas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um mínimo relativono extremo esquerdo de cada subintervalo, logo,

ui = a+(i−1)∆x = (i−1)3n=

3n

i− 3n

e f (ui) = u2i =

9n2 (i

2−2i+1), i = 1, . . . ,n.


AR = limn→+∞

(3n

n∑

i=1

9n2 (i

2−2i+1))= lim

n→+∞

(27n3

(n∑

i=1i2−2

n∑

i=1i+

n∑

i=11))

= limn→+∞

(27n3

(n(n+1)(2n+1)

6−n(n+1)+n

))

= limn→+∞

(92

(2+

3n+

1n2

)− 27

n

)= 9 unidades2.

Usando retângulos circunscritosNos itens (d) e (e) da figura acima vemos duas partições de [0,3], para n = 6 e n = 12,respectivamente. Já que f é crescente no intervalo [0,3], ela alcança um máximo relativono extremo direito de cada subintervalo, logo,

vi = a+ i∆x =3n

i e f (vi) =9n2 i2.

AR = limn→+∞

(3n

n∑

i=1

9n2 (i

2)

)

= limn→+∞

(27n3

(n∑

i=1i2))

= limn→+∞

(27n3

(n(n+1)(2n+1)

6

))

= limn→+∞

92

(2+

3n+

1n2

)= 9 unidades2.

NotaNos exemplos acima, podemos ver que quando ‖P‖→ 0 ou n→+∞, tanto as aproximaçõesdo polígono retangular inscrito como o circunscrito proporcionam o mesmo valor.

8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior

Nesta seção e nas seguintes, as funções consideradas estão definidas no intervalo [a,b] com a < b.

Definição 8.3Se P1 e P2 são duas partições de [a,b], diz-se que P2 é um refinamento de P1 quando P1 ⊂ P2.

NotaSe P2 é, comprovadamente, um refinamento de P1, então ‖P2‖ ≤ ‖P1‖.

Definição 8.4Seja f : [a,b]→ R uma função limitada em [a,b] e P = {x0,x1, . . . ,xn} uma partição de [a,b].Denotando por Ii ao i-ésimo subintervalo de [a,b], isto é , Ii = [xi−1,xi], i = 1, . . . ,n. Desde quef é limitada em [a,b], existem mi e Mi tais que:

mi = inf{ f (x) : x ∈ Ii}, Mi = sup{ f (x) : x ∈ Ii} e mi ≤ f (x)≤Mi, ∀x ∈ Ii,

para i = 1, . . . ,n. Assim, definimos:

i. A soma inferior de f para P, denotada por S( f ,P),

S( f ,P) :=n

∑i=1

mi(xi− xi−1) =n

∑i=1

mi∆xi;

ii. A soma superior de f para P, denotada por S( f ,P),

S( f ,P) :=n

∑i=1

Mi(xi− xi−1) =n

∑i=1

Mi∆xi.


NotaS( f ,P)≤ S( f ,P).

Exemplo 8.3

a. Seja f (x) = k a função constante definida em [a,b] (veja o item (a) da figura abaixo). Logo,para qualquer partição de [a,b], temos que k = inf{ f (x) : x ∈ Ii} e k = sup{ f (x) : x ∈ Ii},∀ i = 1, . . . ,n. Portanto,

S( f ,P) =n

∑i=1

k∆xi = kn

∑i=1

∆xi = k(b−a),

S( f ,P) =n

∑i=1

k∆xi = kn

∑i=1

∆xi = k(b−a).

x

y

0

(a)

a b x0

(b)

a

b

y

f(x) =

x

b. Seja f (x) = x definida em [a,b] (veja o item (b) da figura abaixo). Logo, para qualquer partiçãode [a,b], temos que x j−1 = inf{ f (x) : x ∈ Ii} e xi = sup{ f (x) : x ∈ Ii}, ∀ i = 1, . . . ,n. Portanto,

S( f ,P) =n

∑i=1

xi−1∆xi e S( f ,P) =n

∑i=1

xi∆xi.

8.3.4 Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores

Observemos que, se a função f é limitada em [a,b], então existem m e M tais que:

m = inf{ f (x) : x ∈ [a,b]} e M = sup{ f (x) : x ∈ [a,b]}.

Proposição 8.1Sejam f uma função limitada em [a,b] e P = {x0,x1, . . . ,xn} uma partição de [a,b]. Então,

m(b−a)≤ S( f ,P)≤ S( f ,P)≤M(b−a).

Proposição 8.2Sejam f uma função limitada em [a,b], P1 e P2 duas partições de [a,b]. Suponha que P2 é umrefinamento de P1, isto é, P1 ⊂ P2. Então,

i. S( f ,P1)≤ S( f ,P2) e S( f ,P2)≤ S( f ,P1)


ii. Se P2 \P1 tem r pontos, então,

S( f ,P2)−S( f ,P1) ≤ (M−m)‖P1‖;

S( f ,P1)−S( f ,P2) ≤ (M−m)‖P1‖.

Proposição 8.3Sejam f é uma função limitada em [a,b], P1 e P2 duas partições arbitrárias de [a,b]. Então,

S( f ,P1)≤ S( f ,P2).

8.4 Integrais Inferiores e Superiores

Sejam [a,b] um intervalo e D o conjunto de todas as partições possíveis de [a,b], isto é

D = {P : P é uma parcição de [a,b]},

e f limitada em [a,b]. Da propriedade de limitação garante-se que para qualquer partição P o conjunto{S( f ,P) : P ∈ D} é limitado superiormente e o conjunto {S( f ,P) : P ∈ D} é limitado inferiormente.

Definição 8.5Seja f uma função limitada em [a,b]. Então,

i. sup{S( f ,P) : P ∈ D} é chamado de integral inferior de f em [a,b] e é denotado por∫ b

af (x)dx = sup{S( f ,P) : P ∈ D};

ii. inf{S( f ,P) : P ∈ D} é chamado de integral superior de f em [a,b] e é denotado por∫ b

af (x)dx = inf{S( f ,P) : P ∈ D}.

A proposição a seguir apresenta algumas propriedades das integrais superiores e inferiores.

Proposição 8.4Seja um intervalo [a,b] e f uma função limitada em [a,b] tais que

m = inf{ f (x) : x ∈ [a,b]} e M = sup{ f (x) : x ∈ [a,b]}.

Então,

i. m(b−a)≤∫ b

af (x)dx≤

∫ b

af (x)dx≤M(b−a);

ii. existem c1,c2 ∈ [a,b] tais que

∫ b

af (x)dx = f (c1)(b−a),

∫ b

af (x)dx = f (c2)(b−a) e m≤ f (c1)≤ f (c2)≤M;


iii. se c ∈ (a,b), então,

∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx e

∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx.

8.5 A Integral de Riemann

Definição 8.6Sejam um intervalo [a,b] e f : [a,b]→ R uma função limitada em [a,b]. Diz-se que f é inte-grável Riemann em [a,b] se

∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (x)dx.

De forma mais simples, podemos chamá-la integral de f sobre [a,b], ou integral definida def sobre [a,b], ou ainda integral de f , de a até b.

NotaAssim como foi estabelecido no caso da integral indefinida, temos na integral∫ b

af (x)dx

a. o símbolo∫

é um S alongado que é chamado do símbolo de integração, e foi criado

pelo matemático Leibniz para representar a palavra em latim summa;

b. f (x) é o integrando;

c. f (x)dx é o elemento de integração;

d. a é o limite inferior e b é o limite superior;

e. a variável x não tem significado especial, pois∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (z)dz =

∫ b

af (t)dt =

∫ b

af (y)dy =

∫ b

af (u)du, etc.

Exemplo 8.4Seja f (x) = k uma função constante. No exemplo anterior, para [a,b] tem-se S( f ,P) = S( f ,P) =

k(b−a). Então,∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (x)dx = k(b−a). Assim, f é integrável em [a,b] e

∫ b

af (x)dx = k(b−a).

NotaSeja R a região região plana limitada pelo gráfico de f , as retas x = a, x = b e o eixo x. SeAR representa numericamente a área R, e

a. f (x)≥ 0, ∀x ∈ [a,b], então AR =∫ b

af (x)dx;

b. f (x)≤ 0, ∀x ∈ [a,b], então −AR =∫ b

af (x)dx.

O número∫ b

af (x)dx é chamado de área algébrica da função arbitrária f contínua em [a,b].

Essa integral definida de f em [a,b] representa a soma das áreas algébricas das regiõesdelimitadas pelo gráfico de f e o eixo x, desde x = a até x = b.

Teorema 8.1 (Critério de integrabilidade de Riemann)Se f é uma função limitada em [a,b], uma condição necessária e suficiente para que f sejaintegrável em [a,b] é: dado ε > 0 arbitrário, deve existir uma partição P do intervalo [a,b] talque

S( f ,P)−S( f ,P)< ε.

Uma consequência desse critério é:

Teorema 8.2Sejam o intervalo [a,b] e a função f : [a,b]→ R. Se [a,b] é limitado e f é contínua, então f éintegrável.

8.6 Propriedades da integral definida

Consideremos suas funções f e g integráveis em [a,b] e k uma constante arbitrária em R, então:

1. f e g são integráveis em qualquer subintervalo de [a,b];

2.∫ b

ak f (x)dx = k

∫ b

af (x)dx;

3.∫ b

a[ f (x)±g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx;

4.∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx, onde a≤ c≤ b;

5.∫ b

af (x)dx =−

∫ a

bf (x)dx;

6.∫ a

af (x)dx = 0;


7.∫ b

af (x)dx =

∫ b+k

a+kf (x− k)dx;

8. Se f (x)≥ 0, ∀x ∈ [a,b], então∫ b

af (x)dx ≥ 0;

9. Se f (x)≥ g(x), ∀x ∈ [a,b], então∫ b

af (x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx;

10. Se m e M são os valores mínimos e máximos de f em [a,b] respectivamente, então

m(b−a)≤∫ b

af (x)dx ≤M(b−a);

11. Se f é uma função contínua em:

i. [a,b], então∣∣∣∣∫ b

af (x)dx

∣∣∣∣≤ ∫ b

a| f (x)|dx;

ii. [0, t]⊆ [a,b], então∫ t

0f (x)dx =

∫ t

0f (t− x)dx;

iii. [−t, t]⊆ [a,b], então∫ 0

−tf (x)dx =

∫ t

0f (−x)dx;

iv. [−t, t]⊆ [a,b] e f é par, então∫ t

−tf (x)dx = 2

∫ t

0f (x)dx e h(x) :=

∫ x

0f (z)dz, para cada

x ∈ [−t, t], é uma função ímpar;

v. [−t, t]⊆ [a,b] e f é ímpar, então∫ t

−tf (x)dx = 0 e h(x) :=

∫ x

0f (z)dz, para cada x∈ [−t, t],

é uma função par.

12. Para qualquer k 6= 0 temos:∫ b

af (x)dx =

1k

∫ kb

kaf(x

k

)dx e

∫ b

af (x)dx = k

∫ b/k

a/kf (kx)dx.

Nota

a. A propriedade 5 é conhecida como a propriedade de reflexão;

b. A propriedade 7 é conhecida como a propriedade de invariância numa translação;

c. A propriedade 12 é conhecida como a propriedade de dilatação e contração do in-tervalo de integração, respectivamente. Quando k =−1 recuperamos a propriedade5.

8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais

Teorema 8.3Sejam o intervalo [a,b] e a função f : [a,b]→ R contínua em [a,b]. Então, existe um númeroc ∈ [a,b] tal que


∫ b

af (x)dx = f (c)(b−a).

Nota

Como já foi dito, podemos interpretar a integral∫ b

af (x)dx como a área da região limitada

pelo gráfico de f , pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x, e mesmo assim, oTeorema 8.3 nos garante que existe um retângulo de largura (b− a) e altura f (c) com amesma área.

8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral

Teorema 8.4 (Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo Integral)Sejam o intervalo [a,b] e a função f contínua em [a,b]. Então, F(x) :=

∫ x

af (z)dz é contínua

em [a,b] e derivável em (a,b), e sua derivada é:

F ′(x) =ddx

(∫ x

af (z)dz

)= f (x), ∀x ∈ [a,b].

NotaO Teorema 8.4 estabelece um enlace entre os conceitos de integral definida e indefinida,provando que uma função f contínua em [a,b] admite uma antiderivada dada por F(x) =∫ x

af (t)dt, já que F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b].

Além disso, este teorema estabelece um resultado de existência, pois se f é uma função

contínua em [a,b], existe F(x) =∫ x

af (t)dt tal que F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b] e, por definição

F(a) = 0. Logo, F é a antiderivada de f em [a,b] com seu gráfico passando pelo ponto(a,0).

Teorema 8.5 (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo Integral)Sejam o intervalo [a,b], uma função f contínua em [a,b] e F uma antiderivada de f em [a,b],isto é, F ′(x) = f (x), ∀x ∈ [a,b]. Então,∫ b

af (x)dx = F(b)−F(a) = F(x)

∣∣∣ba.

NotaObservemos que a diferença F(b)−F(a) é independente da eleição da antiderivada F , poistodas as antiderivadas se diferenciam numa constante, que é eliminada ao ser efetuada adiferença. Por tal motivo, ao calcular uma integral definida não é necessário considerar aconstante na antiderivada.


Exemplo 8.5

Seja a função F(x) =∫ x

0

11+ z2 dz, para x≥ 0, determinemos F ′(x), F ′′(x), F ′(1) e F(x).

Solução

Na definição de F(x) façamos f (z) =1

1+ z2 , e desde que f é uma função contínua e integrável

∀z ∈ R, temos, pelo Primeiro Teorema Fundamental, que:

F ′(x) =1

1+ x2 ∀x≥ 0 ⇒ F ′′(x) =− 2x(1+ x2)2 ∀x≥ 0.

Logo, F(1) =12

.

Por outro lado, pelo Segundo Teorema Fundamental, desde que F ′(x) =1

1+ x2 , então F(x) =

arctg(x)+ c para alguma constante c ∈ R. Além disso, F(0) = 0, assim, 0 = arctg(0)+ c implicaque c = 0. Portanto, F(x) = arctg(x).

Exemplo 8.6Calculemos o valor numérico das seguintes integrais:

a.∫ −1

1

11+ x2 dx

Solução

Uma antiderivada de f (x) =1

1+ x2 em [−1,1] é F(x) = arctg(x), pela última nota, não é

necessário considerar a constante de integração. Assim,∫ −1

1

11+ x2 dx = arctg(x)

∣∣∣1−1

= arctg(1)− arctg(−1) =π

4−(−π

4

)=

π

2.

b.∫

π/2

0senxdx

Solução ∫π/2

0sen(x),dx =−cos(x)

∣∣∣π/2

0=−

(cos(

π

2

)− cos(0)

)= 1.

c.∫ 1

0ex dx

Solução ∫ 1

0ex dx = ex

∣∣∣10= e1− e0 = e−1.

d.∫ 1

0senh(x)dx

Solução ∫ 1

0senh(x)dx = cosh(x)

∣∣∣10= cosh(1)−1.

e.∫ 1

−1

|x|1+ x2 dx

Solução

Da definição de f (x) =|x|

1+ x2 , temos que:

f (x) =

x

1+ x2 , se x≥ 0;

− x1+ x2 , se x < 0.

Assim,∫ 1

−1f (x)dx =

∫ 0

−1f (x)dx+

∫ 1

0f (x)dx

= −∫ 0

−1

x1+ x2 dx+

∫ 1

0

x1+ x2 dx

= −[

12

ln(1+ x2)

]∣∣∣0−1

+

[12

ln(1+ x2)

]∣∣∣10

= −12[ln(1+02)− ln(1+(−1)2)

]+

12[ln(1+12)− ln(1+02)

]= −1

2(− ln2)+

12

ln2 = ln2.

f.∫ 4

−4|x2 + x−6|dx

SoluçãoDa definição de f (x) = |x2 + x− 6|, notamos que x2 + x− 6 = (x+ 3)(x− 2), e assim,temos:

f (x)≥ 0, se x ∈ (−∞,−3]∪ [2,+∞) e f (x)≤ 0, se x ∈ (−3,2).Logo,

f (x) ={

x2 + x−6, se x ∈ (−∞,−3]∪ [2,+∞);−(x2 + x−6), se x ∈ (−3,2).

Dessa forma, obtemos:∫ 4

−4|x2 + x−6|dx =

∫ −3

−4(x2 + x−6)dx −

∫ 2

−3(x2 + x−6)dx +

∫ 4

2(x2 + x−6)dx

=

[x3

3+

x2

2−6x

]∣∣∣−3

−4−[

x3

3+

x2

2−6x

]∣∣∣2−3

+

[x3

3+

x2

2−6x

]∣∣∣42

=176−(

1256

)+

383

=1093

.


8.9 Mudança de Variável numa Integral Definida

Teorema 8.6Sejam f : [a,b]→R uma função contínua em [a,b] e g : [α,β ]→ [a,b] uma função com derivadacontínua em [α,β ] com g(α) = a e g(β ) = b. Se substituímos a variável x da integral por g(t),isto é, x = g(t), então verifica-se que:∫ b

af (x)dx =

∫β

α

f (g(t)) ·g′(t)dt.

NotaSe a função g : [α,β ]→ [a,b] é tal que g(β ) = a e g(α) = b, nesse caso, pelo Teorema 8.6,obtemos: ∫ b

af (x)dx =

∫α

β

f (g(t)) ·g′(t)dt.

Exemplo 8.7Calculemos o valor numérico das seguintes integrais:

a.∫ 3

2

x2

(1+ x3)3 dx

Solução

Considerando t = 1+ x3, obtemos x = g(t) = 3√

t−1, g′(t) =1

3 3√(t−1)2

, g(9) = 2 e

g(28) = 3. Dado que g e g′ são contínuas em [9,28], então,

∫ 3

2

x2

(1+ x3)3 dx =∫ 28

9

3√

(t−1)2

t3 · 1

3 3√(t−1)2

dt =13

∫ 28

9t−3dt

=13

(−1

2t−2)=−1

61t2

∣∣∣28

9=

703381024

.

b.∫ 1

0

ln(x+1)1+ x2 dx

SoluçãoAo considerar x = tg(t) temos:∫ 1

0

ln(x+1)1+ x2 =

∫π/4

0

ln(1+ tg(t))sec2(t)

· sec2(t)dt =

∫π/4

0ln(1+ tg(t))dt.


Aplicando o Teorema 8.6 na última integral obtemos:∫π/4

0ln(1+ tg(t))dt =

∫π/4

0ln(

1+ tg(

π

4− t))

dt =∫

π/4

0ln(

1+1− tg(t)1+ tg(t)

)dt

=∫

π/4

0ln(

21+ tg(t)

)dt =

∫π/4

0ln(2)dt−

∫π/4

0ln(1+ tg(t))dt

= ln(2)t∣∣∣π/4

0−∫

π/4

0ln(1+ tg(t))dt

=π

4ln(2)−

∫π/4

0ln(1+ tg(t))dt

Assim,

2∫

π/4

0ln(1+ tg(t))dt =

π

4ln(2) ⇒

∫π/4

0ln(1+ tg(t))dt =

π

8ln(2).

8.10 Integração por Partes numa Integral Definida

A ideia de integração por partes já foi vista no capítulo anterior, a única diferença é que agora temosque considerar os limites de integração e desconsiderar a constante de integração. Dessa forma temoso seguinte resultado.

Teorema 8.7Se u = u(x) e v = v(x) são duas funções com derivadas contínuas em [a,b], então,∫ b

audv = (uv)

∣∣∣ba−∫ b

avdu.

Exemplo 8.8Calculemos as seguintes integrais definidas:

a.∫ 3

1x2 ln(x)dx

SoluçãoSe consideramos

u = ln(x) ⇒ du =dxx

dv = x2 dx ⇒ v =∫

x2dx =x3

3obtemos:∫

x2 ln(x)dx =x3

3ln(x)−

∫x3

3dxx

=x3

3ln(x)− 1

3

∫x2dx =

x3 ln(x)3− x3

9+ c.


Logo ∫ 3

1x2 ln(x)dx =

[x3

3ln(x)− x3

9

]∣∣∣31

=

[33

3ln(3)− 33

9

]−[

13

3ln(1)− 13

9

]

= 9ln(3)−3−0+19= 9ln(3)− 26

9.

8.11 Integrais Impróprias

Na definição da integral definida∫ b

af (x)dx, foram estabelecidas duas restrições:

i. O intervalo [a,b] é limitado;

ii. A função f é limitada em [a,b].

Agora, estendemos a definição de integral definida retirando alguma dessas restrições. As integraisque possuem essas características são chamadas de integrais impróprias:

• Integrais impróprias com limites infinitos.

• Integrais impróprias com limites finitos e f com uma descontinuidade infinita em [a,b].

8.11.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos

Definição 8.7Seja f uma função contínua no intervalo:

i. [a,+∞). A integral imprópria de f , de a até +∞, é denotada e definida como:∫ +∞

af (x)dx := lim

t→+∞

∫ t

af (x)dx;

ii. (−∞,b]. A integral imprópria de f , de −∞ até b, é denotada e definida como:∫ b

−∞

f (x)dx := limt→−∞

∫ b

tf (x)dx.

Diz-se que∫ +∞

af (x)dx ou

∫ b

−∞

f (x)dx converge quando esse limite existe. Caso contrário,

diz-se que diverge.


Nota

Nas seções anteriores, se f (x)≥ 0, a integral definida∫ t

af (x)dx representa a área da região

plana limitada pelo gráfico de f , o eixo x e as retas verticais x = a e x = t. No caso da integralimprópria ser convergente, podemos interpretar que o valor da integral:

a.∫ +∞

af (x)dx representa a área da região plana infinita que se encontra à direita da reta

x = a e está compreendida entre o gráfico de f e o eixo x. A figura à esquerda ilustraessa integral.

xa t xbt

b.∫ b

−∞

f (x)dx representa a área da região infinita que se encontra à esquerda da reta

x = b e está compreendida entre o gráfico de f e o eixo x. A figura à direita ilustraessa integral.

Definição 8.8Seja f uma função contínua e integrável no intervalo (−∞,+∞), então a integral imprópria def , de −∞ até +∞, é denotada e definida como:∫ +∞

−∞

f (x)dx :=∫ c

−∞

f (x)dx +

∫ +∞

cf (x)dx,

onde c é um número real arbitrário.

Diz-se que a integral imprópria∫ +∞

−∞

f (x)dx converge quando∫ c

−∞

f (x)dx e∫ +∞

cf (x)dx são conver-

gentes, e diverge se alguma dessas integrais impróprias forem divergentes.

NotaNa figura a seguir observamos 3 regiões: R1, R2 e R3:

xc

R1

f

xc

R3

f

xc

R2

f

Logo, da Definição 8.8 podemos concluir que R1 gerará uma integral imprópria convergente,enquanto R2 e R3 gerarão integrais imprópias divergentes.


Exemplo 8.9Determinemos se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:

a.∫ 2

−∞

(x−2)ex dx

SoluçãoDa definição da integral imprópria, obtemos que:

∫ 2

−∞

(x−2)ex dx = limt→−∞

∫ 2

t(x−2)ex dx.

Aplicando integração por partes para u = x−2 e dv = exdx, temos que:∫ 2

t(x−2)ex dx = ((x−2)ex− ex)

∣∣∣2t= (x−3)ex

∣∣∣2t

= (2−3)e2− (t−3)et =−e2− (t−3)et .

Assim, ∫ 2

−∞

(x−2)ex dx = limt→−∞

(−e2 +(3− t)et) = −e2− lim

t→−∞(t−3)et .

Note que t→−∞ implica que 3− t→+∞ e et → 0. Logo, este último limite é da forma“∞ ·0”. Aplicando a *regra de L’Hôpital*, obtemos:

limt→−∞

(t−3)et = limt→−∞

t−3e−t = lim

t→−∞

1−e−t = 0.

Portanto, ∫ 2

−∞

(x−2)ex dx =−e2,

e concluímos que essa integral imprópria é convergente e converge a −e2.

b.∫ +∞

1

x2 +2xx3 +3x2 +5

dx

Solução ∫ +∞

1

x2 +2xx3 +3x2 +5

dx = limt→+∞

∫ t

1

x2 +2xx3 +3x2 +5

dx.

Fazendo z = x3 +3x2 +5 temos que dz = 3(x2 +2x)dx, e x = 1 implica que z = 9, e x = timplica que z = t3 +3t2 +5. Assim, podemos fazer uma mudança de variável, isto é,∫ t

1

x2 +2xx3 +3x2 +5

dx =∫ t3+3t2+5

9

13z

dz =13

ln |z|∣∣∣t3+3t2+5

9=

13[ln |t3 +3t2 +5|− ln(9)

].

Assim,

limt→+∞

∫ t

1

x2 +2xx3 +3x2 +5

dx =13

limt→+∞

[ln |t3 +3t2 +5|− ln(9)

]=

13(+∞) = +∞.

Portanto, a integral imprópria é divergente.


c.∫ +∞

−∞

dx1+ x2 .

SoluçãoEscolhendo c = 0, obtemos:

∫ +∞

−∞

dx1+ x2 =

∫ 0

−∞

dx1+ x2 +

∫ +∞

0

dx1+ x2 = lim

t→−∞

∫ 0

t

dx1+ x2 + lim

t→+∞

∫ t

0

dx1+ x2

= limt→−∞

(arctg(x)

∣∣∣0t

)+ lim

t→+∞

(arctg(x)

∣∣∣t0

)= lim

t→−∞(arctg(0)− arctg(t))+ lim

t→+∞(arctg(t)− arctg(0))

= limt→−∞

arctg(t)+ limt→+∞

arctg(t) = −(−π

2

)+

π

2= π.

Portanto, a integral imprópria∫ +∞

−∞

dx1+ x2 é convergente e converge em π .

8.11.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos

Definição 8.9Seja f uma função contínua no intervalo:

i. [a,b) com limx→b−

f (x) = ∞. A integral imprópria de f , de a até b, é definida por:∫ b

af (x)dx := lim

t→b−

∫ t

af (x)dx.

ii. (a,b] com limx→a+

f (x) = ∞. A integral imprópria de f , de a até b, é definida por:∫ b

af (x)dx = lim

t→a+

∫ b

tf (x)dx.

iii. [a,b], exceto em algum ponto c ∈ (a,b) onde limx→c−

f (x) = ∞ ou limx→c+

f (x) = ∞. A integral

imprópria de f , de a até b, é definida por:∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx.

Diz-se que∫ b

af (x)dx converge se os limites existem e,

∫ c

af (x)dx e

∫ b

cf (x)dx são conver-

gentes, respectivamente, caso contrário, diz-se que é divergente.


Nota

a. A Definição 8.9 pode ser estendida para n pontos de descontinuidade. Em outras pa-lavras, seja f uma função definida em (a,b), onde a pode ser −∞ e b pode ser +∞.Se em (a,b) existe um número finito de pontos c1, c2, . . . , cn tal que f tem desconti-nuidade infinita em ci, isto é, lim

x→c−if (x) = ∞ ou lim

x→c+if (x) = ∞ para i = 1, . . . , n, então

a integral da função f em (a,b) é definida por:∫ b

af (x)dx :=

∫ c1

af (x)dx +

∫ c2

c1

f (x)dx + · · ·+∫ b

cn

f (x)dx.

Diz-se que∫ b

af (x)dx é convergente se todas as integrais impróprias da direita são

convergentes. Caso contrário, diz-se que é divergente.

b. Os itens (i) e (ii) da definição anterior são, respectivamente, equivalentes a:∫ b

af (x)dx = lim

ε→0+

∫ b−ε

af (x)dx, e

∫ b

af (x)dx = lim

ε→0+

∫ b

a+ε

f (x)dx;

c. Se f (x)≥ 0 e a integral imprópria∫ b

af (x)dx é convergente, o valor da integral repre-

senta a área da região infinita limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x e pelas retas x = ae x = b.

Exemplo 8.10Determinemos se as seguintes integrais existem:

a.∫ 2

1

dx√x−1

Solução

A função f (x) =1√

x−1é contínua em (1,2] e lim

x→1+f (x) = +∞. Assim,

∫ 2

1

dx√x−1

= limt→1+

∫ 2

t

dx√x−1

= limt→1+

(2√

x−1∣∣∣2t

)= lim

t→1+

(2−2

√t−1

)= 2.

Portanto, a integral imprópria é convergente e converge a 2.

b.∫

π/4

−π/4cotg(θ)dθ

Solução

Ao definir a função f (θ) = cotg(θ) =cos(θ)sen(θ)

, observamos que existe uma descontinui-

dade infinita em θ = 0, isto é, limθ→0+

f (θ) = +∞ e limθ→0−

f (θ) =−∞. Assim,∫π/4

−π/4cotg(θ)dθ =

∫ 0

−π/4cotg(θ)dθ +

∫π/4

0cotg(θ)dθ


Por outro lado, a integral∫ 0

−π/4cotg(θ)dθ = lim

t→0−

∫ t

−π/4cotg(θ)dθ = lim

t→0−

(ln |sen(θ)|

∣∣∣t−π/4

)

= limt→0−

(ln |sen(t)|− ln

(√2

2

))=−∞.

Portanto, a integral imprópia é divergente.

c.∫ +∞

−∞

dxx(x−2)

Solução

A função f (x) =1

x(x−2)tem duas descontinuidades infinitas em x = 0 e x = 2. Assim,∫ +∞

−∞

dxx(x−2)

=

∫ 0

−∞

dxx(x−2)

+

∫ 2

0

dxx(x−2)

+

∫ +∞

2

dxx(x−2)

.

Já que essas integrais são impróprias em cada um dos extremos, precisamos trabalharde forma análoga a da integral imprópria em (−∞,+∞), ou seja, é necessário escolher3 pontos, um em cada um desses intervalos. Escolhendo os pontos x = −1 ∈ (−∞,0),x = 1 ∈ (0,2) e x = 3 ∈ (2,+∞), a integral será expressada como:∫ +∞

−∞

dxx(x−2)

=∫ −1

−∞

dxx(x−2)

+∫ 0

−1

dxx(x−2)

+∫ 1

0

dxx(x−2)

+∫ 2

1

dxx(x−2)

+∫ 3

2

dxx(x−2)

+∫ +∞

3

dxx(x−2)

.

Agora, analisando a integral imprópia∫ 0

−1

dxx(x−2)

, temos que:

∫ 0

−1

dxx(x−2)

= limt→0−

∫ t

−1

dxx(x−2)

= limt→0−

(12

ln∣∣∣∣x−2

x

∣∣∣∣ ∣∣∣t−1

)

=12

limt→0−

(ln∣∣∣∣t−2

t

∣∣∣∣− ln(3))

=12

limt→0−

(ln∣∣∣∣1− 2

t

∣∣∣∣− ln(3))=+∞.

Portanto, a integral é divergente.

8.12 Aplicações da Integral Definida

Nesta seção apresentaremos algumas aplicações da integral definida.


8.12.1 Áreas de Regiões Planas

Caso I

i. Seja f : [a,b]→ R uma função contínua em [a,b], com f (x)≥ 0, ∀x ∈ [a,b]. Da interpre-tação geométrica da integral definida (veja o item (a) da figura a seguir) segue que: AR, aárea da região R limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x, e pelas retas x = a e x = b, é dadapor:

AR =

(∫ b

af (x)dx

)unidades2;

x

y

0

R

x

y

0a b

R

c

d

y = f(x) x = h(y)

(b) (c)

x

y

0a b

R

y = f(x)

(a)

ii. Se f (x) ≤ 0, então a região R encontra-se abaixo do eixo x (veja o item (b) da figura aseguir). Assim, temos que:

AR =

∣∣∣∣∣∫ b

af (x)dx

∣∣∣∣∣ unidades2;

iii. Se a região R é limitada pela curva x = h(y), pelo eixo y e pelas retas y = c e y = d (vejao item (c) da figura acima). Assim, temos que:

AR =

(∫ d

ch(y)dy

)unidades2.

Caso II

i. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas em [a,b], tais que g(x)≥ f (x), ∀x ∈ [a,b].Então, AR, a área da região R limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e x = b(veja o item (a) da figura a seguir) é dada por:

AR =

(∫ b

a[g(x)− f (x)] dx

)unidades2;


x

y

0a bR

y = g(x)

y = f(x)

x

y

0

x = l(y)

x = h(y)

R

c

d

(a) (b)

ii. Sejam h, l : [c,d]→R duas funções contínuas tais que h(y)≥ l(y), ∀y ∈ [c,d]. Então, AR,a área da região R é limitada pelos gráficos de x = l(y) e x = h(y) e pelas retas y = c ey = d (veja o item (b) da figura acima) é dada por:

AR =

(∫ c

d[h(y)− l(y)] dy

)unidades2.

Exemplo 8.11Calculemos a área da região R limitada por:

a. A parábola y = 4x− x2 e o eixo x.

SoluçãoComo y = 4x−x2, logo, y−4 =−(x−2)2 é uma parábola de vértice no ponto (2,4) (vejao item (a) da figura a seguir). Logo,

AR =

∫ 4

0ydx =

∫ 4

0(4x− x2)dx =

(2x2− x3

3

)∣∣∣40=

324

unidades2.

x

y

0

R

y = 4x - x2

4

2

4

x

y

R1

1

e

y = exy = e-x

(a) (b)

b. Os gráficos das curvas cujas equações são y = ex, y = e−x e a reta x = 1.

SoluçãoA região compreendida entre essas curvas é apresentada no item (b) da figura acima. Logo,

AR =∫ 1

0(ex− e−x)dx = (ex− e−x)

∣∣∣10= (e+ e−1−2) unidades2.

c. A parábola y =−x2 +4x−3 e as retas tangentes a ela nos pontos (0,−3) e (3,0).

SoluçãoObservamos que y = −x2 +4x−3 = 1− (x−2)2 e, assim, a parábola y−1 = −(x−2)2

tem vértice no ponto (1,2). Além disso,


i.dydx

∣∣∣x=3

=(−2x+4)∣∣∣x=3

=−2, obtemos L1 : y−0=−2(x−3) de onde L1 : 2x+y= 6;

ii.dydx

∣∣∣x=0

= (−2x+4)∣∣∣x=0

= 4, obtemos L2 : y+3 = 4(x−0) de onde L2 : 4x− y = 3.

Assim, R está compreendida entre y = −x2 + 4x− 3, L1 e L2 (veja o item (a) da figuraabaixo). Logo,

AR =∫ 3/2

0

[(4x−3)− (−x2 +4x−3)

]dx+

∫ 3

3/2

[(6−2x)− (−x2 +4x−3)

]dx

=∫ 3/2

0x2dx+

∫ 3

3/2(x2−6x+9)dx

=

(x3

3

)∣∣∣3/2

0+

(x3

3−3x2 +9x

)∣∣∣33/2

= 9+274− 27

2=

94

unidades2.

x

0

R

y = -x2 + 4x - 3

y

1 3

y = 4x - 3 y = -2x + 6

x

y

R

1

y = ln(x)

y = ln2(x)

e

e

(a) (b)

32

d. Os gráficos das funções y = ln(x) e y = ln2(x).

SoluçãoCalculemos os pontos de interseção de ambas curvas:

{y = ln(x)y = ln2(x)

⇒ (ln(x))(ln(x)−1)= 0⇒ ln(x)= 0 ou ln(x)−1= 0⇒{

x = e0 = 1;x = e1.

Assim, R compreendida entre essas curvas é apresentada no item (b) da figura acima.Logo,

AR =∫ e

1

(ln(x)− ln2(x)

)dx

=(3x ln(x)− x ln2(x)−3x

)∣∣∣e1

=(3(e) ln(e)− (e) ln2(e)−3e

)−(3(1) ln(1)− (1) ln2(1)−31

)= (3− e) unidades2.

8.12.2 Volume de um Sólido de Revolução

Definição 8.10Um sólido de revolução é o sólido obtido com a rotação (ou revolução) de uma região planaem torno de um eixo em seu plano. Esse eixo é denominado de eixo de revolução.


Método do Disco Circular

Caso I

i. Sejam f : [a,b]→ R uma função contínua, e S o sólido de revolução obtido pela rotaçãoem torno do eixo x da região plana R limitada pelo gráfico da curva y = f (x), pelo eixo xe pelas retas x = a e x = b (veja a figura acima). Assim, o volume de S, denotado por VS édado por:

VS =

(π

∫ b

a[ f (x)]2 dx

)unidades3;

ii. Sejam g : [c,d]→ R uma função contínua, e S o sólido de revolução obtido pela rotaçãoem torno do eixo y da região plana R limitada pela curva x = g(y), pelo eixo y e pelas retasy = c e y = d. Assim, o volume de S, denotado por VS é dado por:

VS =

(π

∫ d

c[g(y)]2 dy

)unidades3.

Caso II

i. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas cujos gráficos encontram-se ao mesmo ladodo eixo x. Além disso, |g(x)| ≤ | f (x)|, ∀x ∈ [a,b]. Seja S o sólido de revolução obtidopela rotação em torno do eixo x da região R limitada pelas curvas y = f (x) e y = g(x), epelas retas verticais x = a, x = b (veja a figura a seguir). Assim, o volume de S, denotadopor VS é dado por:

VS =

(π

∫ b

a

([ f (x)]2− [g(x)]2

)dx

)unidades3.


x

f(x)

a b

g(x)

ii. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas cujos gráficos encontram-se do mesmo ladoda reta y = c. Além disso, |g(x)−c| ≤ | f (x)−c|, ∀x ∈ [a,b]. Seja S o sólido de revoluçãoobtido pela rotação em torno da reta y = c da região R limitada pelas curvas y = f (x) ey = g(x) e pelas retas verticais x = a e x = b. Assim, o volume de S, denotado por VS édado por:

VS =

(π

∫ b

a

([ f (x)− c]2− [g(x)− c]2

)dx

)unidades3.

iii. Sejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas cujos gráficos encontram-se do mesmo ladoda reta x = k. Além disso, |g(y)−k| ≤ | f (y)−k|, ∀y ∈ [c,d]. Seja S o sólido de revoluçãoobtido pela rotação em torno da reta x = k da região R limitada pelas curvas x = f (y) ex = g(y) e pelas retas horizontais y = c e y = d. Assim, o volume de S, denotado por VS édado por:

VS =

(π

∫ d

c

([ f (y)− k]2− [g(y)− k]2

)dy

)unidades3.

Exemplo 8.12Calculemos o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno:

a. do eixo x, onde R é a região limitada pelos gráficos de y = ex, x = 0, x = 1 e y = 0.

SoluçãoA região R é apresentada no item (a) da figura a seguir. Aplicando o item (i) do Caso I,temos que:

VS = π

∫ 1

0(ex)2 dx = π

∫ 1

0e2xdx = π

(e2x

2

)∣∣∣10dx =

π

2(e2−1)unidades3.

x

y

R1

y = ex

(a)

b. do eixo y, onde R é a região limitada pelos gráficos de y = arcsen(x), x =−1, y = 0 e y =−π/2.


SoluçãoA região R é apresentada no item (b) da figura acima. Desde que o eixo de rotação é oeixo y, consideramos y como a variável independente. Aplicando o item (iii) do Caso II,temos que:

x =−1 ⇒ f (y) =−1, y = arcsen(x) ⇒ x = sen(y) = g(y), c =−π

2, d = 0 e k = 0.

Logo,

VS = π

∫ 0

−π/2

[(−1)2− (sen(y))2]dy = π

∫ 0

−π/2

[1− sen2(y)

]dy

= π

[y2+

14

sen(2y)]∣∣∣0−π/2

=π

4unidades3.

c. do eixo x, onde R é a região limitada pelos gráficos de y = x2, y =√

x e x = 2.

SoluçãoAs curvas y = x2 e y =

√x se intersectam nos pontos (0,0) e (1,1). A região R é apresen-

tada no item (a) da figura abaixo, e podemos observar que x2 ≤√

x para x ∈ [0,1], árearepresentada por R1, e

√x≤ x2 para x ∈ [1,2], área representada por R2. Aplicando o item

(i) do Caso II para R1 e R2, temos que:

VS = π

∫ 1

0

[(√

x)2− (x2)2]dx+π

∫ 2

1

[(x2)2− (

√x)2]dx

= π

∫ 1

0(x− x4)dx+π

∫ 2

1(x4− x)dx

= π

(x2

2−π

x5

5

)∣∣∣10+

(x5

5− x2

2

)∣∣∣22

=3π

10+

47π

10= 5π unidades3.

x

y

R1

2

y = x2

(a)

d. da reta x = 1, onde R é a região limitada pela circunferência (x+2)2 +(y−2)2 = 1.

SoluçãoA região R é apresentada no item (b) da figura acima, e podemos observar que f (y) =−2−

√1− (y−2)2 e g(y) = −2+

√1− (y−2)2 verificando que 1− g(y) ≤ 1− f (y),

c = 1 e d = 3. Aplicando o item (iii) do Caso II, temos que:


VS = π

∫ 3

1

[(1− f (y))2− (1−g(y))2]dy

= π

∫ 3

1

[(3+√

1− (y−2)2)2−(

3−√

1− (y−2)2)2]

dy

= π

∫ 3

16(

2√

1− (y−2)2)

dy

= 12π

∫ 3

1

√1− (y−2)2 dy

= 6π

[(y−2)

√1− (y−2)2 + arcsen(y−2)

]∣∣∣31= 10π2 unidades3.

Método das Cascas Cilíndricas

Caso ISejam a≥ 0, f : [a,b]→R uma função contínua e não negativa, e S o sólido de revolução obtidopela rotação em torno do eixo y da região plana R limitada pelo gráfico da curva y = f (x), peloeixo x e pelas retas x = a e x = b (veja a figura a seguir). Então, o volume de S, denotado porVS, é dado por:

VS =

(2π

∫ b

ax f (x)dx

)unidades3

x

f(x)

a b

Caso IISejam f ,g : [a,b]→R duas funções contínuas em [a,b] tais que g(x)≤ f (x), ∀x ∈ [a,b]. Seja Ra região limitada pelas curvas y = f (x) e y = g(x), e pelas retas x = a e x = b. Dado c /∈ (a,b),temos que:

i. se c ≤ a, então o volume do sólido de revolução S obtido pela rotação de R em torno dareta x = c (veja o item (a) da figura a seguir) é dado por:

VS =

(2π

∫ b

a(x− c) [ f (x)−g(x)] dx

)unidades3;

x

f(x)

a b

g(x)

R


ii. se b ≤ c, então o volume do sólido de revolução S obtido pela rotação de R em torno dareta x = c (veja o item (b) da figura acima) é dado por:

VS =

(2π

∫ b

a(c− x) [ f (x)−g(x)] dx

)unidades3.

NotaSejam f e g duas funções contínuas em [a,b] tais que g(y) ≤ f (y), ∀y ∈ [a,b]. Seja R aregião limitada pelas curvas x = f (y) e x = g(y), e pelas retas y = a e y = b. Dado c /∈ (a,b),temos que:

i. se c ≤ a, então o volume do sólido de revolução S obtido ao rotar R em torno da retay = c é dado por:

V =

(2π

∫ b

a(y− c) [ f (y)−g(y)] dy

)unidades3;

ii. se b ≤ c, então o volume do sólido de revolução S obtido ao rotar R em torno da retay = c é dado por:

V =

(2π

∫ b

a(c− y) [ f (y)−g(y)] dy

)unidades3.

Exemplo 8.13

a. Calculemos o volume do sólido obtido ao rotar R em torno do eixo y, onde R é a região limitadapela curva y = (x−2)3, pelo eixo x e pela reta x = 3.

SoluçãoR é apresentada no item (a) da figura abaixo. Nesse caso, aplicamos o Caso I e o volumeé dado por:

VS = 2π

∫ 3

2x f (x)dx = 2π

∫ 3

2x(x−2)3dx = 2π

∫ 3

2(x4−6x3 +12x2−8x)dx

= 2π

(x5

5− 3x4

2+4x3−4x2

)∣∣∣32=

14π

10unidades3.

x

y = (x-2)2

3

R

b. Calculemos o volume do sólido obtido na rotação da região limitada pelos gráficos de x+ y2 +3y−6 = 0, x+ y−3 = 0, em torno da reta y = 3.

SoluçãoR é apresentada no item (b) da figura acima, e desde que o eixo de revolução é horizontal,nesse caso, aplicamos o item (ii) da Nota acima, para c = 3. Logo, o volume é dado por:

VS = 2π

∫ 1

−3(3− y)

[(6−3y− y2)− (3− y)

]dy = 2π

∫ 1

−3(y3− y2−9y+9)dy

= 2π

(y4

4− y3

3− 9y2

2+9y

)∣∣∣1−3

=256π

3unidades3.

c. Calculemos o volume do sólido de revolução obtido na rotação da região limitada pelos gráficosde y = |x2−2x−3|, y+1 = 0, x−1 = 0 e x−4 = 0, em torno da reta x = 1.

SoluçãoNotemos que:

|x2−2x−3|= |(x−3)(x+1)|={−(x2−2x−3), 1≤ x < 3;

x2−2x−3, 3≤ x≤ 4.

R é a região apresentada no item (c) da figura acima e, nesse caso, aplicamos o item (i) doCaso II, para c = 1. Logo, o volume é dado por:

VS = 2π

∫ 4

1(x−1)

[|x2−2x−3|− (−1)

]dx

= 2π

(∫ 3

1(x−1)

[(3+2x− x2)+1

]dx+

∫ 4

3(x−1)

[(x2−2x−3)+1

]dx)

= 2π

(∫ 3

1

(−4+2x+3x2− x3) dx+

∫ 4

3

(x3−3x2 +2

)dx)

= 2π

((−4x+ x2 + x3− x4

4

)∣∣∣31+

(x4

4− x3 +2x

)∣∣∣43

)= 2π

(6+

354

)=

592

π unidades3.

8.12.3 Comprimento de Arco

Comprimento de uma curva y = f (x)Consideremos uma função f : [a,b]→ R com derivada contínua no intervalo [a,b] e uma par-tição P = {x0,x1, . . . ,xn} do intervalo [a,b]. P define uma poligonal formada pelos segmentosretilíneos a partir do ponto Pi−1(xi−1, f (xi−1)) até o ponto Pi = (xi, f (xi)), para i = 1,2, . . . ,n.

x

y

a=x0 x1 x2 x3 xi-1 xn-1 xn=bxi0

P0P1

P2P3 Pi-1

Pn-1

Pn

Pi


O comprimento do i-ésimo segmento definido pela partição P é:∣∣Pi−1Pi∣∣=√(xi− xi−1)2 +( f (xi)− f (xi−1))2.

Portanto, o comprimento da poligonal definida pela partição P é:

LP =n

∑i=1

∣∣Pi−1Pi∣∣= n

∑i=1

√(xi− xi−1)2 +( f (xi)− f (xi−1))2.

Definição 8.11Seja f : [a,b]→R uma função com derivada contínua em [a,b]. Se existe um número L tal que

L = lim‖P‖→0

n

∑i=1

∣∣Pi−1Pi∣∣ ,

então diz-se que o arco P0Pn da curva y = f (x) é retificável e L é o comprimento de arco dacurva y = f (x) a partir do ponto P0 = (a, f (a)) até o ponto Pn = (b, f (b)).

Teorema 8.8Seja f : [a,b]→ R uma função com derivada contínua em [a,b]. Então, o comprimento de arcoda curva y = f (x) a partir do ponto (a, f (a)) até (b, f (b)) é dado por:

L =

∫ b

a

√1+( f ′(x))2dx =

∫ b

a

√1+(

dydx

)2

dx unidades.

NotaSe g : [c,d]→ R é uma função contínua em [c,d], então o comprimento de arco da curvax = g(y) a partir do ponto (g(c),c) até (g(d),d) é dado por:

L =

∫ d

c

√1+(g′(y))2dy =

∫ d

c

√1+(

dxdy

)2

dy unidades.

x

y

0

c

d

A

B

x=g(y)

Exemplo 8.14Encontremos o comprimento de arco:

a. da parábola 6y = x2, desde a origem de coordenadas até o ponto(

4,83

).


Solução

Como 6y = x2 (veja o item (a) da figura a seguir) entãodydx

=x3

. Logo,

L =∫ 4

0

√1+(

dydx

)2

dx =∫ 4

0

√1+

x2

9dx =

13

∫ 4

0

√9+ x2 dx

=13

[x2

√9− x2 +

92

ln∣∣∣x+√x2 +9

∣∣∣]∣∣∣40=

13

[(10+

92

ln9)−(

0+92

ln3)]

=13

[10+

92

ln(3)]

unidades.

x

y

0

6y = x2

4

83

b. da circunferência x2 + y2 = a2.

SoluçãoDa equação x2+y2 = a2, obtemos y =±

√a2− x2 (veja o item (b) da figura acima). Além

disso, observamos que o gráfico é simétrico com respeito do eixo x. Então, podemos

considerar y =√

a2− x2 o que implica quedydx

=−x√

a2− x2. Portanto, o comprimento de

arco é:

L = 2∫ a

−a

√1+(

dydx

)2

dx = 2∫ a

−a

√1+

x2

a2− x2 dx = 2a∫ a

−a

1√a2− x2

dx

= 2aarcsen(x

a

)∣∣∣a−a

= 2a(arcsen(1)− arcsen(−1))

= 2a(

π

2−(−π

2

))= 2aπ unidades.

c. total da curva x2/3 + y2/3 = a2/3.

Solução

Da equação x2/3 + y2/3 = a2/3, obtemos que y =(

a2/3− x2/3)3/2

edydx

=

−x−1/3√

a2/3− x2/3. Além disso, o gráfico da curva é simétrico com respeito à origem(veja o item (a) da figura abaixo). Logo, temos que:

L = 4∫ a

0

√1+(

dydx

)2

dx = 4∫ a

0

√1+ x−2/3

(a2/3− x2/3

)dx

= 4∫ a

0

√a2/3x−2/3dx = 4a1/3

∫ a

0x−1/3dx = 6a1/3x2/3

∣∣∣a0= 6a unidades.


d. da parábola semicúbica 2y3 = x2 no interior da circunferência x2 + y2 = 20.

SoluçãoOs pontos de interseção de ambas curvas são (−4,2) e (4,2). Ao derivar a equação 2y3 =x2 implicitamente com respeito a variável y, temos que:

dxdy

=3y2

x⇒ 1+

(dxdy

)2

= 1+9y4

x2 = 1+9y(

y3

x2

)= 1+

9y2.

Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (veja o item (b) da figura acima).Logo,

L = 2∫ 2

0

√1+(

dxdy

)2

dx = 2∫ 2

0

√1+

9y2

dy

= 2

(4

27

(1+

9y2

)3/2)∣∣∣2

0=

827(10√

10−1)

unidades.

8.12.4 Área de uma Superfície de Revolução

Seja f : [a,b]→ R uma função não negativa e com derivada contínua no intervalo [a,b]. Ao girar ográfico de f de x = a até x = b, em torno do eixo x é obtida uma superfície de revolução (veja a figuraabaixo). A área dessa superfície de revolução, denotada por AS, é dada por:

AS =

(2π

∫ b

af (x)

√1+( f ′(x))2dx

)unidades2.

x

y


Nota

a. Seja f : [a,b]→ R uma função com derivada contínua no intervalo [a,b], é possívelencontrar seu gráfico do mesmo lado da reta y = c. Ao girar o gráfico de f a partirde x = a até x = b, em torno da reta y = c, obtemos uma superfície de revolução cujaárea é:

AS =

(2π

∫ b

a| f (x)− c|

√1+( f ′(x))2dx

)unidades2.

b. Se x = g(y) é uma função com derivada contínua no intervalo [a,b], encontraremosseu gráfico do mesmo lado da reta x = c. Ao girar o gráfico de g, a partir de y = a atéy = b, em torno da reta x = c, obteremos uma superfície de revolução cuja área é:

AS =

(2π

∫ b

a|g(y)− c|

√1+(g′(y))2dy

)unidades2.

Exemplo 8.15Calculemos a área da superfície gerada ao girar:

a. o gráfico de f (x) =√

24−4x, x ∈ [3,6], em torno do eixo x.

Solução

Ao derivar f temos que f ′(x) =−2√

24−4x, e a área da superfície é:

AS = 2π

∫ 6

3f (x)

√1+( f ′(x))2dx = 2π

∫ 6

3

√24−4x

√1+

424−4x

dx

= 2π

∫ 6

3

√28−4xdx = 2π

(−1

6(28−4x)3/2

)∣∣∣63=

56π

3unidades2.

x

y

b. o gráfico da curva y = acosh−1(x

a

), a partir de x = a até acosh(1), em torno do eixo y.

Solução

Considerando x= f (y)= acosh(y

a

), obtemos

dxdy

= f ′(y)= senh(y

a

). Além disso, como

a curva gira em torno do eixo y, a área da superfície gerada é:


AS = 2π

∫ a

0f (y)

√1+( f ′(y))2dy = 2π

∫ a

0acosh

(ya

)√1+ senh2

(ya

)dy

= 2π

∫ a

0acosh2

(ya

)dy = πa

∫ a

0

(cosh

(2ya

)+1)

dy

= πa(

a2

senh(

2ya

)+ y)∣∣∣a

0=

πa2

2(2+ senh2) unidades2.

c. a curva y = 2− ex, a partir de x = 0 até c = 2, em torno da reta y = 2.

Solução

Da equação y = 2− ex, obtemosdydx

= f ′(x) =−ex, assim, a área da superfície é:

AS = 2π

∫ 2

0(2− f (x))

√1+( f ′(x))2dx = 2π

∫ 2

0ex√

1+(ex)2dx

Fazendo z = ex temos que dz = ex dx, x = 2 implica z = e2 e x = 0 implica z = e0 = 1.Assim

2π

∫ 2

0ex√

1+(ex)2dx = 2π

∫ e2

1

√1+ z2dz

= 2π

[12

(z√

1+ z2 + ln(

z+√

1+ z2))]∣∣∣e2

1

Portanto,

AS = π

[e2√

1+ e4−√

2+ ln

(e2 +√

1+ e4

1+√

2

)]unidades2

8.13 Recapitulando

Neste capítulo, apresentamos o conceito de integral definida, embora tenhamos usado as técnicasestudadas no capítulo anterior para resolvê-las, esse conceito é independente ao da integral indefinidae, por isso, foram tratados em capítulos diferentes.

No início do capítulo tratamos dos somatórios e suas propriedades, teoria crucial para o bom entendi-mento da aproximação da área de uma região. Prosseguindo, definimos a integral inferior e superiore, consequentemente, a integral de Riemann. Em seguida, foram apresentadas as principais proprie-dades da integral definida. Entre os resultados mais importantes, apresentamos o teorema de valorintermediário e os teoremas fundamentais do cálculo integral. E já que a teoria apresentada até aíresumia-se à função sobre um intervalo limitado, foi necessário estender a teoria de integral definidapara intervalos não limitados e para funções com descontinuidade infinita.

A utilidade da integral definida foi revertida e foram apresentadas algumas aplicações: cálculo deáreas de regiões planas, volume de um sólido de revolução, comprimento de arco e, por último,área de uma superfície de revolução.


8.14 Atividades

1. Calcule as derivadas das seguintes funções:

i. F(x) =∫ 2x

1cosh(2t2 +1)dt. ii. F(x) =

∫ x

2

(∫ y

8

11+ t2 + sen2(t)

dt)

dy.

iii. F(x) = sen[∫ x

0sen(∫ y

0sen3(t)dt

)dy]

. iv. F(x) =∫ x2

x3

t5

1+ t4 dt.

v. F(x) =∫ ex

x2x(t2 +1)dt.

2. Se∫ 1

3x+1

0f (t)dt =

2ax

+ax, calcule os valores de a, de modo que f(

14

)=

163

.

3. Calcule f (2) supondo que a função f é contínua e verifica a equação dada ∀x≥ 0

i.∫ x

0f (t)dt = x2(1+ x). ii.

∫ x2

0f (t)dt = x2(1+ x).

iii.∫ f (x)

0t2dt = x2(1+ x). iv.

∫ x2(1+x)

0f (t)dt = x.

4. Calcule o valor das seguintes integrais definidas:

i.∫ 2

−2x3dx. ii.

∫ 2

−1(x+1)3dx. iii.

∫ 1/2

0

1√1− x2

dx.

iv.∫ 2

1

x1+ x2 dx. v.

∫ 4

2

x2

x−1dx. vi.

∫ e

1ln(x)dx.

vii.∫ 0

−1

dx4x2 +8x+8

. viii.∫ √2

0

dx√2− x2

.

ix.∫ 1

0x8 e−x3

dx. x.∫

π/3

−π/3tg7(x)dx.

xi.∫ 2

0

x5

(1+ x3)3/2 dx. xii.∫ 0

1x8 (1− x3)5/4dx.

xiii.∫ 1

0

√x√

2− xdx. xiv.∫ 1

0

xex

(1+ x)2 dx.

xv.∫ 1

0ln(√

2− x)dx. xvi.∫

π/3

π/4cotg(x)(ln(sen(x)))dx.

xvii.∫ 2π

0|sen(x)− cos(x)|dx. xviii.

∫ 4

−2

|x+1||x+6|

dx.

5. Determine se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:

i.∫ +∞

0senxdx. ii.

∫ +∞

0e−xdx. iii.

∫ +∞

−∞

|x|ex2dx.

iv.∫ +∞

0

dx√ex

. v.∫ 1

−2

dxx3 . vi.

∫ +∞

−∞

dx4x2 +1

.

vii.∫ 0

−2

dx3√

x+1. viii.

∫ 1

0

e1/x

x3 . ix.∫ +∞

−∞

dxx2 +2x+2

.


x.∫ +∞

1

dx

x√

x2−1. xi.

∫ 1

0

dxx3−5x2 . xii.

∫ +∞

−∞

dxex + e−x .

xiii.∫ +∞

1

dx

x√

1+ x3. xiv.

∫ +∞

−∞

e(x−ex)dx. xv.∫ 4

0

xdx√16− x2

.

xvi.∫ 1

0

dx√x− x2

. xvii.∫ 4

1

dxx2−4

. xviii.∫ 2

1

x2

x−1dx.

6. Calcule a área da região limitada pelas curvas dadas:

i. y = (x−1)3, x = 3, x = 8 e o eixo x. ii. y = 4− x2 e o eixo y.iii. y = 2

√x, x = 0, x = 4 e o eixo x. iv. y = 12− x2, x =−3, x =−2 e o eixo x.

v. y = x2, y = 4−3x2. vi. y = x2+2x−3, x =−2, e os eixos x e y.vii. y = 9− x2 e y = x2 +1. viii. y = 3x− x2 e y = x2− x.ix. y = x3 + x, x = 0, y = 2 e y = 0. x. y = x3−3x2 +2x+2 e y = 2x2−4x+2.xi. y = x3 + x−4, y = x e y = 8− x. xii. y = |x−2|, y+ x2 = 0, x = 1 e x = 3.

xiii. y =x2−4

x2−16, x =−3, x = 3 e y = 0. xiv. y = x3 +3x2 +2 e y = x3 +6x2−25.

xv. y = x2, 2y = x2 e y = 2x. xvi. y = x4 e y = 8x.

xvii. y =1

1+ x2 e 2y = x2. xviii. y = |20x+ x2− x3| e y = 0.

xix. y =8

x4 +4, y = 0, x = 0 e x = 4. xx. y = |x−1|, y = x2−2x, x = 0 e x = 2.

xxi. y = |x−2|− |x−6| e x− y = 4. xxii. y = x2, 2y = x2 e y = 2x.xxiii. y = 60(x5−x4+x3), y=−2x e x2=1. xxiv. x+ y− y3 = 0 e x− y+ y2 = 0.

7. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta L onde:

i. L : y = 0; R é limitada por y = x2 e y = 4x.

ii. L : y = 0; R é limitada por y = x3−5x2 +8x−4 e y = 0.

iii. L : y = 0; R é limitada por x2 +(y−3)2 = 1.

iv. L : y = 4; R é limitada por y2 = 4(2− x) e x = 0.

v. L : y = 4; R é limitada por x2 + y2 = 1.

vi. L : y =−2; R é limitada por y2 = x e y = x2.

vii. L : x = 0; R é limitada por y =√

x2 +10, x = 3 e x = 4.

viii. L : y = 0; R é limitada por x =√

y2 +4, y = 0, y = 2 e x = 0.

ix. L : y =−1; R é limitada por y =√

x2−3, y = x−1 e y = 0.

x. L : x = 1; R é limitada por y = |x2−2x−3|, y+1 = 0, x = 2 e x = 4.

xi. L : x =−1; R é limitada por y =√

x, x = 0 e y = 2.

xii. L : x = 0; R é limitada por y = x5, x =−1, x =−2 e y =−1.

xiii. L : x = 4; R é limitada por y = (x−1)2 e y = x+1.

xiv. L : x = 0; R é limitada por y = 3x2, y = 4−6x2.

xv. L : x = 0; R é limitada por x = y2 e x = 8− y2.

xvi. L : y = 2; R é limitada por y = ln(x), y = 0, x = 0 e y = 2.

xvii. L : y = 2; R é limitada por y =√

x, y = 0 e x = 4.


8. Calcule o comprimento de arco da curva y2 = 4x− x2, compreendido entre os dois pontos deinterseção com o eixo x.

9. Calcule o comprimento de arco da curva y = ln(x), a partir de x =√

3 e x =√

8.

10. Calcule o comprimento de arco da curva 5y3 = x2, compreendido dentro da circunferênciax2 + y2 = 6.

11. Calcule o comprimento de arco da curva y = ex, compreendido entre os pontos (0,1) e (1,e).

12. Calcule o comprimento de arco da curva y = ln(1− x2), a partir de x =14

e x =34

.

13. Calcule o comprimento de arco da curva 9y2 = 4x3, a partir da origem até o ponto (3,2√

3).

14. Calcule o comprimento de arco total do arco da curva y = 2√

x, a partir de x = 0 até x = 1.

15. Calcule o comprimento de arco da curva x =y2

2− 1

2lny, a partir de y = 1 até y = e.

16. Calcule o comprimento de arco da curva y = ln(

ex +1ex−1

), a partir de x = 1 até x = 2.

17. Calcule o comprimento de arco da curva 9ay2 = x(x−3a)2, a partir de x = 0 até x = 3a.

18. Calcule o comprimento de arco da curva y = ln(1− x2), a partir de x = 0 até x = 1/2.

19. Calcule a área da superfície de revolução obtida ao girar as curvas dadas em torno do eixoindicado:

i. A curva f (x) =19

x3; a partir de x = 0 até x = 2; em torno do eixo x.

ii. A curva 6a2xy = x4 +3a4; a partir de x = a até x = 2a; em torno do eixo x.

iii. A curva y2 +4x = 2ln(y); a partir de y = 1 até y = 2; em torno do eixo x.

iv. A curva y = e−x; a partir de x≥ 0; em torno do eixo x.

v. A curva y2 = 4ax; a partir de x = 0 até x = 3a; em torno do eixo x.

vi. A curva x = y3; a partir de y = 0 até y = 3; em torno do eixo y.

vii. A curva x2 +4y2 = 16; em torno do eixo y.

viii. A curva y = x2; a partir de x = 1 até x = 2; em torno do eixo y.

ix. A curva y = x3/2; a partir de x = 1 até x = 8; em torno de y = 1.

x. A curva y = x3; a partir de x = 1 até x = 2; em torno de y =−1.

xi. A curva y = 4+ ex; a partir de x = 0 até x = 1; em torno de y = 4.





Capítulo 9

Referências

Sumário9.1 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

9.1 Referências Bibliográficas

[1] APOSTOL, T. M. Cálculo, Vol. 1. Editora Reverté ltda. 2a Edição, 2004.

[2] ÁVILA, G. Cálculo I: Funções de uma variável. Editora LTC, 6a Edição, 1994.

[3] ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. CÁLCULO, Vol. 1. Editora Bookman, 8aEdição, 2012.

[4] THOMAS, G. B. Cálculo, Vol. 1. Editora Pearson Education do Brasil, 12a Edição,2012.

[5] ESPINOZA, E. Análisis matemático, Vol. 1 e 2. Editora Edukperu, 6a Edição, 2012.

[6] MITACC, M., TORO, L. Tópicos de cálculo, Vol. 1 e 2. Editora THALES, 3a Edi-ção, 2012.

[7] DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática. EditoraEscolar-MIR, 1977.


Capítulo 10

Índice Remissivo

_ínfimo, 34

Ddesigualdade, 6

Eequação, 7

Iinequação, 10intervalo, 9Intervalo Aberto, 9Intervalo Fechado, 9Intervalos Ilimitados, 9Intervalos Limitados, 9

LLei da monotonia, 6Lei da tricotomia, 6Lei transitiva, 6limitado inferiormente, 33limitado superiormente, 33

Rraiz, 7

Ssistema dos números reais, 2supremo, 34

Vvalor absoluto, 28

cálculo diferencial e integral - dma.ufv.br · cálculo diferencial e integral ii histÓrico de...

Documents