Cálculo Diferencial e Integral Cálculo Diferencial e Integral II

Prof. AgostinhoProf. Agostinho

1 FUNÇÕES1 FUNÇÕES1.1 Definição 1.1 Definição

As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.

Uma função f é uma regra que associa cada elemento x em um conjunto A a um único elemento f(x), em um conjunto B.

f : A B x f(x)

A é o domínio de f : Dom(f).

A imagem de f , Im(f), é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio.

x Dom(f) é a variável independente ou argumento de f.

y Im(f) é a variável dependente.

Ex:f : IN Z

f(x) = 5x + 2

f (1) = 5(1)+2 = 7, 7 Z

7 é a imagem de 1.

Função máquina

1.2 Gráfico 1.2 Gráfico O método mais comum de visualizar uma função consiste em

fazer seu gráfico.

O gráfico de f mostra o seu comportamento e nos permite visualizar:

o domínio sobre o eixo x a imagem sobre o eixo y

Ex: seja y = f(x) = 2x2

x y = f(x)-2.0 8.0-1.5 4.5-1.0 2.0-0.5 0.50.0 0.00.5 0.51.0 2.01.5 4.52.0 8.0

Duas funções f e g são idênticas se tem o mesmo domínio e a mesma regra, f(x) = g(x), para todo x D∈ ; p. ex., as funções f(x) = x2, x > 0 e g(x) = x2, x IR são diferentes ∈pois seus domínios são diferentes.

Ex: Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função.

2

2

4)

4)

)

xyc

xyb

xya

Teste da Reta Vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se

nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.

Uma função não pode associar dois valores diferentes a um ponto.

Ex: A parábola x = y2 – 2 não é o gráfico de uma função de x, no entanto, ela contém os gráficos de duas funções de x.

Circunferência

1.3 simetrias1.3 simetrias

Função par: f(-x) = f(x) gráfico simétrico em relação ao eixo y.

Ex: f(x) = x2 Ex: f(x) = cos (x)

Função ímpar: f(-x) = -f(x) gráfico simétrico em relação à origem.

Ex: f(x) = x Ex: f(x) = sen(x)

Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois.

a)f (x) = x5 + x b) g(x) = 2x - x2

1.4 Funções potência1.4 Funções potência

Seja f(x) = xa, onde a é uma constante.

(i) a = n, onde n é um inteiro positivo: y = xn.

Função do 1º grau: Retaf(x) = mx + b, com a 0.

m: coeficiente angular da reta e representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

b: coeficiente linear e representa o ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Ex: y = 2x

Ex: y = x - 1

Função quadrática (2º grau): Parábola f(x) = ax2

O número a está relacionado com a ‘largura’ da parábola.

(ii) a = 1/n, onde n é um inteiro positivo: y = x1/n.

(iii) a = - n, onde n é um inteiro positivo: y = x-n.

Função Modular (Valor Absoluto): f(x) = |x|representa a distância de x até a origem.

0,0,

xsexxsex

x

A distância entre dois números reais a e b é |b − a|, que é o comprimento do segmento de reta que liga a a b.

Os intervalos são descritos por desigualdades. P. ex.:

em que r é o raio do intervalo.

Mais geralmente, para qualquer c, ponto médio do intervalo:

e

Ex: Descreva os intervalos (−3, 3) e [-2, 8] usando desigualdades.

Ex: Encontre o conjunto solução da inequação do 1º grau:

a) (x – 4)(x + 2) > 0.

b) (x – 1)/(x + 5) < 0.

1.5 Operações com Funções1.5 Operações com Funções

Composição de funçõesA operação de composição é executada substituindo-se em

uma dada função a variável independente por alguma função.

Ex: f(x) = x2 e g(x) = x + 1Substituíndo x por g(x) na fórmula de f, obtemos uma nova

função:

(f ◦g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2.

Podemos pensar em g como uma função interna e f como uma função externa.

O domínio de f ◦g consiste em todo x no domínio da função interna.

Ex: Seja f(x) = x2 + 3 e g(x) = . Encontre

(a) (f ◦g)(x) (b) (g◦f )(x)

Ex: Expresse h(x) = (3 − 2x)3 como a composição de duas funções.

x

Deslocamentos horizontais e verticais. Suponha c > 0:

Reflexões e expansões horizontais e verticais

Ex: Esboce o gráfico de

Ex: Esboce o gráfico de y = x2 − 4x + 5.

Completar quadrados

É um método para reescrever uma expressão da formax2 + bx

como uma diferença de dois quadrados:[x + (b/2)2]2 – (b/2)2.

Ex: Esboce o gráfico de a) y = x2 − 4x + 5.

b) .612 xy

1.6 Funções trigonométricas1.6 Funções trigonométricas

A natureza periódica dessas funções torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos, tais como marés, cordas vibrantes e ondas sonoras.

Sistemas de medição de ângulos

radianos e graus

Para fazer a conversão entre radianos (rad) e graus:2π rad - 360°

1 rad - 360/2π ou 180/π graus.

O comprimento de arco é proporcional ao valor do ângulo:

OBS: Esta expressão só é válida para em radianos.

1 rad é o ângulo subtendidio por um arco com comprimento igual ao raio do círculo, a = r.

rara

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Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo .

Definimos:cos = coordenada x de P sen = coordenada y de P

Identidades trigonométricas

1. sen(-) = - sen() (função ímpar)

2. cos(-) = cos() (função par)

3. cos2() + sen2() = 1

4. sen (a + b) = sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)

5. cos (a + b) = cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

O gráfico de y = sen é gerado pela coordenada y de um ponto que percorre o círculo unitário e é conhecido como senóide ou “onda senoidal”.

O gráfico de y = cos tem o mesmo formato, mas é transladado π/2 unidades para a esquerda.

As funções sen e cos são definidas para qualquer número real e não é necessário pensar em como sendo um ângulo.

f(x) = sen x: -1 ≤ sen x ≤ 1

g(x) = cos x: -1 ≤ cos x ≤ 1

(c) f(x) = tg x = sen x/cos x

Não está definida quando cos x = 0 : x = π/2, 3π/2, ...

- tg x

Valores de alguns ângulos

1.7 Funções trigonométricas inversas1.7 Funções trigonométricas inversas

O Teste da reta horizontal: Uma função tem uma inversa se seu gráfico é cortado, no máximo, uma única vez por qualquer reta horizontal.

Se ƒ tiver uma inversa, então os gráficos de f e de sua inversa são reflexões um do outro em relação à reta y = x.

As funções trigonométricas não têm inversas pois seus gráficos se repetem periodicamente e, portanto, não passam no teste da reta horizontal.

Para contornar isso temos que restringir o domínio das funções trigonométricas.

Se arc sen x é um ângulo (em radianos) não-negativo, então

sen(arc sen x) = x/1 = x.

Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente ao ângulo arc sen x tem comprimento (1 – x2 )1/2.

1.8 Funções exponenciais1.8 Funções exponenciaisEstão associadas a determinados fenômenos de crescimento

ou decrescimento.f(x) = ax, a > 0 e a ≠ 1.

Gráfico: depende da base a > 1 ou 0 < a < 1.

PropriedadesSe a e b forem números positivos, então

1. ax + y = axay

2. ax – y = ax/ay

3. (ax)y = axy

4. (ab)x = axbx

A base e ≈ 2,71828... é importante no Cálculo, pois é a única para a qual a inclinação da reta tangente à curva y = ex em qualquer ponto P da curva é igual à coordenada y do ponto P.

Função Logarítmica: f(x) = loga(x)

É a inversa da função exponencial y = loga(x) ay = x

onde a IR ∈ é tal que 0 < a ≠ 1.

Gráfico: depende de a > 1 ou 0 < a < 1.

Propriedades:Se x e y forem números positivos, então

1. loga(xy) = loga(x) + loga(y)

2. loga(x/y) = loga(x) − loga(y).

3. loga(xn) =nloga(x), n IR.∈

Usando a base e tem-se o logaritmo natural de x:

y = f(x) = loge(x) = ln(x).

Logo:y = ln (x) ey = x

ln e = 1eln (x) = xln (ex) = x