(ime-uerj)calculo diferencial e integral

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  • i"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de at onde voc quer chegar."Lewis Carrol - Alice no Pas das Maravilhas

    Atravs dos sculos a Matemtica tem sido a mais poderosa e efetiva ferra-menta para a compreenso das leis que regem a Natureza e o Universo.Os tpicos introdutrios que apresentamos neste livro originaram-se, inicial-mente, dos problemas prticos que surgiram no dia a dia e que continuaramimpulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fennemosque regem a natureza.Historicamente, o Clculo Diferencial e Integral de uma varivel estuda dois ti-pos de problemas: os associados noo de derivada, antigamente chamadosde tangncias e os problemas de integrao, antigamente chamados de qua-draturas. Os relativos derivao envolvem variaes ou mudanas, comopor exemplo, a extenso de uma epidemia, os comportamentos econmicosou a propagao de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplosde problemas relacionados integrao destacam-se o clculo da reas de re-gies delimitadas por curvas, do volume de slidos e do trabalho realizadopor uma partcula.Grande parte do Clculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no sculo XVI-II por Isaac Newton para estudar problemas de Fsica e Astronomia. Aproxi-madamente na mesma poca, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentementede Newton, tambm desenvolveu considervel parte do assunto. Devemos aNewton e Leibniz o estabelecimento da estreita relao entre derivada e inte-gral por meio de um teorema fundamental. As notaes sugeridas por Leibnizso as universalmente usadas.O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Clculo Di-ferencial e Integral de uma varivel com simplicidade, atravs de exemplos,mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando nfase interpre-tao geomtrica e intuitiva dos contedos.O livro inclui a maioria da teoria bsica, assim como exemplos aplicados eproblemas. As provas muito tcnicas ou os teoremas mais sofisticados queno foram provados no apndice, foram ilustrados atravs de exemplos, apli-caes e indicaes bibliogrficas adequadas e esto incluidos como refernciaou leitura adicional para os leitores interessados.Os conceitos centrais do Clculo Diferencial e Integral de uma varivel so re-lativamente profundos e no se espera que possam ser assimilados de uma s

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    vez. Neste nvel, o importante que o leitor desenvolva a habilidade de calcu-lar e adquira a compreenso intuitiva dos problemas. As expresses do tipo "facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, no devem ser encaradas deforma literal e tem o propsito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugara apresentao resumida e os detalhes, perfeitamente acessveis, devero serpreenchidos.Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rpido e agradvel ao Cl-culo Diferencial e Integral de uma varivel.No podemos deixar de recomendar aos alunos a utilizao, criteriosa, dossoftwares de Clculo existente no mercado, pois eles so um complemento tilao aprendizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Anlise e doIME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condies para es-crever estas notas e Sra. Sonia M. Alves pela digitao. O texto foi digitadoutlizando Amstex e a maioria dos desenhos foram feitos utilizando o softwareMathematica. Certamente, todos os erros so exclusivamente de responsabili-dade dos autores.

    Mauricio A. Vilches- Maria Luiza CorreaRio de Janeiro

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    Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

    Proibida a reproduo parcial ou total

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  • Contedo

    1 Introduo 11.1 Desiguldades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Distncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Equao da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.6.1 Equao Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.2 Equao Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . 10

    1.7 Equao das Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2 Funes de uma Varivel Real 252.1 Definies e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Grficos de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Exemplos de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.3.1 Funo Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Funes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3 Funes Pares e mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.4 Interseo de Grficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5 gebra de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.5.1 Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Composta de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.7 Inversa de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.7.1 Mtodo para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . 582.8 Funo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    2.8.1 Crescimento e Decaimento Exponencial . . . . . . . . . . 652.8.2 Funo Logstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    2.9 Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    v

  • vi CONTEDO

    2.9.1 Desintegrao Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.10 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    2.10.1 Funo Seno e Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.10.2 Funo Tangente e Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.10.3 Funo Co-tangente e Co-secante . . . . . . . . . . . . . . 74

    2.11 Funes Trigonomtricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.11.1 Funo Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.11.2 Funo Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.11.3 Funo Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.11.4 Funo Arco secante, co-tangente e co-secante . . . . . . 83

    2.12 Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.13 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    3 Limite e Continuidade de uma Funo 953.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3.1.1 Definies e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.1.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.1.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.1.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.1.5 Smbolos de Inderminao . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.7 Assntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.1 Teorema do Valor Intermedirio . . . . . . . . . . . . . . 126

    3.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    4 Derivada 1394.1 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2 Funes Derivveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3 Regras de Derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.4 Derivada da Funo Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    4.4.1 Derivada da Funo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . 1544.4.2 Derivada da Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . 1564.4.3 Derivada das Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . 1594.4.4 Derivada das Funes Trigonomtricas Inversas . . . . . 1614.4.5 Derivada das Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . 162

    4.5 Derivao Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.5.1 Clculo da Derivada de uma Funo Implcita . . . . . . 165

    4.6 Famlias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.7 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.8 Aproximao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

  • CONTEDO vii

    4.9 Velocidade e Acelerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.10 A Derivada como Taxa de Variao . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.11 Exerccios I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.12 Variao de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.13 Funes Montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.14 Determinao de Mximos e Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . 2044.15 Concavidade e Pontos de Inflexo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.16 Esboco do Grfico de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.17 Problemas de Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.18 Teorema de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.19 Exerccios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

    5 Integrao Indefinida 2465.1 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.2 Mtodos de Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

    5.2.1 Mtodo de Substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.2.2 Integrais que Envolvem Produtos e Potncias de Funes

    Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535.2.3 Integrao Por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2545.2.4 Substituio Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.2.5 Integrao de