cálculos diferencial integral

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PROGRAMAÇÃO

Aula 01/02: Apresentação pessoal, da ementa do componente curricular e considerações sobre o cursoAula 03/04: Os números naturais - O número posicional e as bases de numeraçãoAula 05/06: Conjuntos numéricos – Frações equivalentesAula 07/08: O modelo Hindu – arábico ampliado e as fraçõesAula 09/10: Operações nos conjuntos numéricos, a potenciação e a RadiciaçãoAula 11/12: Transformação de decimal em fraçãoAula 13/14: A representação numérica em potencia de 10, notação científica e transformações de UnidadesAula 15/16: Equação exponencial e logaritmo Aula 17/18: Propriedades dos logaritmos Aula 19/20: Funções: definição e domínioAula 21/22: Representação gráfica – funções do 1º e 2º graus e outrasAula 23/24: Representação gráfica – funções exponenciais e logarítmicasAula 25/26: Interpretações gráficas de funçõesAula 27/28: Conceito e interpretação geométrica de limite de uma funçãoAula 29/30: Cálculo de limite de uma funçãoAula 31/32: Introdução ao conceito de derivadaAula 33/34: Definição de derivada e derivada das funções polinomiais.Aula 35/36: Regras de derivaçãoAula 37/38: Exercícios sobre derivadasAula 39/40: Trigonometria no triangulo e no ciclo trigonométricoAula 41/42: Estudo da função seno e cosseno com construção de gráficosAula 43/44: Estudo da função tangente com construção de gráficosAula 45/46: Limites trigonométricos e derivados da função seno e cossenoAula 47/48: Derivada das demais funções trigonométricasAula 49/50: Resolução de exercícios geraisAula 51/52: Trabalho em grupo Aula 53/54: Correção de exercícios geraisAula 55/56: Trabalho em grupoAula 57/58: Correção de exercícios geraisAula 59/60: Avaliação escritaAula 61/62: Correção das questões da avaliaçãoAula 63/64: Limites – formas indeterminadasAula 65/66: Resoluções e correção de exercícios gerais Aula 67/68: Derivada das funções trigonométricas inversasAula 69/70: Correção de exercíciosAula 71/72: Derivada da função logarítmicaAula 73/74: Correção de exercíciosAula 75/76: Derivada da função exponencialAula 77/78: Correção de exercíciosAula 79/80: Máximos e mínimosAula 81/82: Exercícios sobre máximos e mínimosAula 83/84: Exercícios sobre máximos e mínimosAula 85/86: Correção de exercícios sobre máximos e mínimosAula 87/88: O teorema do valor médioAula 89/90: Resolução de exercícios sobre valor médioAula 91/92: Correção de exercícios sobre valor médioAula 93/94: Introdução ao conceito de integralAula 95/96: Formular básicas de integraçãoAula 97/98: Integrais – exercíciosAula 99/100: Correção de exercíciosAula 101/102: Áreas de regiões do plano pelo método de fragmentaçãoAula 103/104: Exercícios sobre áreas de regiões do plano pelo método de fragmentaçãoAula 105/106: Área sob o gráfico de uma funçãoAula 107/108: Exercícios sobre área sob o gráfico de uma funçãoAula 109/110: Exercícios sobre área sob o gráfico de uma funçãoAula 111/112: Integrais trigonométricasAula 113/114: Exercícios sobre integrais trigonométricasAula 115/116: Avaliação escritaAula 117/118: Correção das questões da avaliaçãoAula 119/120: Encerramento do semestre

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALAULA 01/02: APRESENTAÇÃO PESSOAL, DA EMENTA DO COMPONENTE CURRICULAR E

CONSIDERAÇÕES SOBRE O CURSO

AULA 03/04: O NÚMERO POSICIONAL E AS BASES DE NUMERAÇÃO01) Considere um sistema que organiza os dias , semanas e meses (de 30 dias) da seguinte forma: meses semanas dias

Com esse sistema ao se representar 85 dias escreve-se: meses semanas dias

Exemplos

Represente as quantidades abaixo nesse sistema organizado em dias, semanas e meses.a) 72 dias b) 179 dias c) 32 semanas

02) Adicione 234 + 512 + 324 considerando que representam quantidades expressas pela organização do exercício anterior.

03) Ainda com relação ao sistema anterior represente 5 vezes a quantidade representada no exemplo da questão 02.

04) Considere um sistema que organiza horas, minutos e segundos como segue: horas minutos segundos

Represente nessa organização: a) 3790 segundos b) 7503 segundos

05) Utilizando somente os algarismos 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 e 5 organize um sistema de numeração posicional para expressar as quantidades simbolizadas em cada caso:

a) c) b) 06) Adicionar o número do item a) com: I) o número do item b II) o número do item c)

07) Represente nesse sistema posicional de numeração (que utiliza apenas os algarismos 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 e 5 os números 15 ; 7 e 2 de nosso sistema usual de numeração.

08) Represente na base 2 o número 235 da base 10 .09) Represente o número 110011101 da base 2 em :a) Um número da base 3 b) Um número da base 10

AULAS 05/06: CONJUNTOS NUMÉRICOS - FRAÇÕES EQUIVALENTES

4 3 2

1) Complete as igualdades com frações equivalentes:

a)

23=

12=12 =

66=

99

b)

25=

20=

80=

10=

100

2) Apresente a soma de:a) 2 metros + 5 metrosb) 2 metros + 15 centímetrosc) 5 laranjas + 2 abacaxisd) 2 semanas + 3 diase) 5 semanas + 28 dias

3) Apresente a fração resultado utilizando frações equivalentes:

a)

35+ 1

5 =

b)

310

+ 15 =

c)

14+ 3

5 =

d)

23+ 1

4+ 3

10 =

e)

35−1

5 =

f)

14−2

5−1

2 =

g)

35−1

2+ 5

6 =

h)( 2

5+ 1

2 )−( 13+ 1

6 )=

AULA 07 / 08: O MODELO HINDU – ARÁBICO AMPLIADO E AS FRAÇÕES

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4

... ...

grupos grupos grupos unido pedaços pedaços pedaços de 1000 de 100 de 10 1 de 10 de 100 de 1000

1) Apresente a soma das frações em um número decimal:

a) a=

210

+ 3100

+ 51000 =

b) b=

3100

+ 51000 =

c) c=

710

+ 51000 =

d) d=

310000

+ 51000

+ 3100 =

2) Apresente os números decimais em uma soma de números inteiros com frações de denominadores múltiplos de 10:

a) 4,25=b) 4,05=c) 25,032=d) 2,505=e) 0,333...=

f) 5,3=g) 5,333...=h) 0,121212...=i) 2,1777...=j) 0,4131313...=

3) Transforme as frações em números decimais, utilizando apenas equivalência de frações:

a)

25 =

b)

35 =

c)

14 ==

d)

34 =

e)

18 =

4) Utilizando as operações indicadas determine a fração resultado:

a)

34

.15 =

b)

34

:15 =

c)

12

.34−1

2.18 =

d)

25−3

4.(1

2−1

4:25 )

=

e)2−( 2

5−3 .

49 ) :

13

5) Determine entre quais inteiros consecutivos se encontra:

a) 3

12 =

b) 5

73 =

c) –5

12 =

d) –5

83 =

AULA 09 / 10: OPERAÇÕES NOS CONJUNTOS NUMÉRICOS – POTENCIAÇÃO E A RADICIAÇÃO1) Calcule:

a) (−2 )4 =b) −2 4 =

c) (−2 )3 =d) –23 =

e)(−2

5 )2

=

f)(−2

3 )3

=

g)−(−2

3 )2

=

h)−(−2

3 )3

=i) 52 =j) 5-2 =

k)( 1

5 )−2

=

l) (−5 )−2=

m) –5-2 =

n) –(−5 )−2=

o) –(−5 )−3=

2) Calcule:

a)( 3

2 )2

+( 12 )

−2

.( 52 )

=

b)

(−5 )2−32+( 23 )

0

3−2+ 15+ 1

2 =

c) (−1 )0+(−6 ) : (−2 )−24=

d)

3−1+5−1

2−1

3) Calcule:

a) 9

12

=

b) 27

13

=

c) √50 =

d)3√200 =

e) 9− 1

2=

f) 27− 1

3=

g) (−8 )13

=

h) –(−8 )13

=4) Calcule o valor de cada expressão:

a) 2√8 +√50=

b) 5√18−7√50=

c) √ 313+312

25 :23=

5) Entre quais inteiros se encontram? Transforme as frações em números decimais, utilizando o conceito de divisão inteira.

a)

354

b)

2139

c)

5

√5

d) 5+√7

e)3√593

6) Transforme as frações abaixo em números decimais:

a)

19

b)

199

c)

59

d)

1399

e)

179

AULA 11/12: TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL EM FRAÇÃO

1) Determine as frações irredutíveis de:a) 0,111...b) 0,010101...c) 0,001001001...d) 0,222...e) 0,25f) 0,2g) 0,125h) 0,008i) 1,5j) 1,25

k) 12,5l) 1,05m) 0,33..n) 0,121212...o) 0,4333...p) 0,2333...q) 1,333...r) 2,151515...s) 2,4333...t) 1,251515...

2) Calcule o valor de:

a) (0,111...)

12 b) (0,111...)

−1

c) (0,888...)0 ,333. ..

3) Calcule o valor das expressões:

a) –(-2)2

-27

13

b) (0,111...)−0,5

+(√0 ,25)−1

-8

13

4) Calcule o valor da expressão:

a) 0,5 . 0,222... +

15 : 0,15 – 3 . 0,666...

b) (0,333...) : 2 – (0,444...) : 4

AULA 13/14: A REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA EM POTENCIA DE 10, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES

1) Colocar os números de seguem na noção cientifica:a) 0,00018

b) 0,18 . 10−2

c) 125,8 . 102

d) 0,015 . 10−4

e) 0,035 . 10-4 + 0,045 . 10-3

f) 3,52 . 10-7 . 0,02 . 105

g) 3,52 . 10-7 + 0,002 . 10-5

2) Transformar as grandezas abaixo em mm2:a) 0,018 m2

b) 1,8 . 10-2 dm2

c) 14,8 . 103 cm2

d) 2,5 dm2

e) 12.342 m2

3) Transforme as grandezas abaixo em dm3:a) 2,5 m³

b) 3,25 cm³ c) 0,34 mm³ d) 2.000 litrose) 13.435 litros

AULA 19/20: FUNÇÕES: DEFINIÇÃO E DOMÍNIO

1) DefiniçãoRelação entre dois conjuntos através da qual se observa que; para cada elemento do primeiro existe em

correspondência um e somente um elemento no segundo.Obs: Primeiro conjunto – domínio da função

2) Discussão do domínio de uma função em Ra)f(x) = 2x – 7

b)f(x) = – 2x2 – 3x + 6

c)f ( x )=1

x

d)f ( x )= 1−x

2x−6

e) f ( x )=3x

f) f ( x )=k . 2x

200

g) f ( x )=log2 x

h) f ( x )=log( x−3)

AULA 21/22: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA – FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS E OUTRAS

1) Represente graficamente as funções do 1º e do 2º graus, relacionadas abaixo, indique seus domínios e os respectivos conjuntos imagem.

a) f(x) = x + 2

b) f(x) = – x + 3

c) f(x) = 2x – 2

d) f(x) = x2 + 1

e) f(x) = x2 – 3x

f) f(x) = x2 – 5x + 6

g) f(x) = – 3 + 5x – 2x2

h)f ( x )=−2x2+3 x

2) Represente graficamente as funções abaixo indicando seus domínios e os respectivos conjuntos imagem.

a)f ( x )={2 x−1 , x≤1

3 x , x>1

b)f ( x )={2x2−1 , x≤0

x2+1 , x>0

c) f ( x )={−x2+1 , x≤2

2x−1 , x>2

d) f ( x )={2 x2−3 x , x≤1,52 x−5 , x>1,5

e) f ( x )= 1

x2

f) f ( x )=√x+2

AULA 15/16: EQUAÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMO

01) Calcule o valor de x real em cada caso.a) 4x = 32

b) √2 = 4x

c) (

116 ) x = √8

d) (

1π ) 2.x = √π

e) ex =

1

e4

f) e-x = e4

g) 9x−10. 3x+9=0

02) Calcule os logaritmosa) log 2 8

b) log 3 81

c) log2 64

d) log 2 4√2

e) log 27 9√3

f) log p p2

g) log e e-3

h) ln e3

i ) log 5 0,0016

03) Determine a base “a” de cada logaritmo sabendo que a > 0 e a ¹ 1

a) loga 81 = 4

b) loga e4 = 2

c) loga 81/16 = -4

d) loga 100 = -2

e) loga e-4 = -2

f) loga 0,5 = -2

04) Entre quais números inteiros se encontram os logaritmos :

a) log5 41

b) log5 141

c) log2 17

d) log2 0,30

e) log 125

f) log 0,2

g) log 20

h) log 0,02

i) log 0,002

j) log 20,0125

AULA 17/18: PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

01) Calcule :

a) log2 4 + log2 8

b) log3√3 + log3 9√3

c) log2 2√5 + log2 8√5

d) log7 75

+

15 log3 9

25

02) Considerando que log 2 = 0,3 calcule :

a) log2 100

b) log1

10 4 c) log 5

d) log 200

e) log

25

f) log

54

g) log 0,01

h) log 0,02

03) Considere que log e = 0,432 e log 2 = 0,301 e determine :a) log 2.e

b) loge 10

c) loge 5

d) loge 0.02

04) Admitindo que log 2 = 0.30 e log 3 = 0,48 , determine :a) log 6

b) log 12

c) log 1,2

d) log 0,12

e) log 0,012

f) log 0,0012

05) Determine a solução da equação logaritíma 2.log5x = log5x + log5 8

06) Sabendo-se que log2 = 0,30103 e log3 = 0,47712, determine:

a) log24

b) log 32

c) log 81

5

1

d) log 120

e) log 0,008

f) log 0, 06

AULA 23/24: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA – FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

01)Represente graficamente as funções exponenciais, relacionadas abaixo, indique seus domínios e os respectivos conjuntos imagem.

a) f ( x )=2x

b) f ( x )=(1

2 )x

c) f ( x )=10x

d) f ( x )=e x Obs: e = 2,718...

e) f ( x )=( 2

3 )x

02)Represente graficamente as funções logarítmicas, relacionadas abaixo, indique seus domínios e os respectivos conjuntos imagem.

a) f ( x )=log2 x

b) f ( x )= log3 xc)

f ( x )= log 12

x

d) f ( x )= log10 x

e) f ( x )= loge x

AULA 25/26: INTERPRETAÇÕES GRÁFICAS DE FUNÇÕES

01) Construa em um mesmo gráfico a função f (x ) = 2.x – 6 , a reta x = 4 e a reta x = 6 .

02) Calcule a área limitada pela função f (x ) = 2.x – 6 e as retas x = 4 , x = 6 e f(x) = 0.

03) Construa em um mesmo gráfico a função f(x), a reta x = 3 e a reta x = 5.

04) Calcule a área aproximada da região limitada pela função f(x) = x2

+ 2.x – 3 e as retas x = 3, x =5 e f(x) = 0.

05) A função s(t) = 2.t – 6 representa o deslocamento do móvel “Rerbi Lento” em metros em função do tempo t em segundos. Considere os Pontos A; B; C e D representando as posições de “Rerbi Lento”, respectivamente, nos tempos: t = 2 seg , t = 3 seg , t = 2,5 seg e t = 2,1 seg. Calcule a velocidade média de “Rerbi Lento” entre os pontos:a) A e B b) A e C c) A e D d) B e D

06) Com relação ao exercício anterior ( exercício 05 ) :I) Calcule a velocidade média entre duas posições quaisquer do móvel “Rerbi Lento”

II) Determine o deslocamento de “Rerbi Lento” (Utilize velocidade média) entre os tempos: a) 2 seg e 3 seg b) 2 seg e 5 seg c) 1025 seg e 1027 seg d) 124571seg e 124573seg

III) Construa o gráfico da função constante V(t) = 2 que representa a velocidade de “Rerbi Lento” em metros por segundos e determine:

a) A área limitada por V(t) = 2 e as retas t = 2 , t = 3 e V(t) = 0

b) A área Limitada por V(t) = 2 e as retas t = 2, t = 5 e V(t) = 0

c) Compare as áreas calculadas e o deslocamento do “Rerbi Lento” calculados no item II

07) A função s(t) = = t2

+ 2..t - 3 representa o deslocamento do móvel “Rerbi Rápido” em metros em função do tempo t em segundos. Considere os pontos A, B, C, D e E representando as posições de “Rerbi Rápido”, respectivamente, nos tempos t=2 seg, t=3 seg , t = 2,5 seg , t = 2,2 seg e t = 2,1 seg .Calcule a velocidade média entre os pontos:a) A e B b) A e C c) A e D d) A e E

08) Com relação ao exercício anterior responda os itens abaixo :

I) Calcule o deslocamento de “Rerbi Rápido” entre os tempos: a) 2seg e 4seg b) 2 seg e 5 seg

II) Calcule a velocidade média de “Rerbi Rápido” entre: a) 2seg e 4seg b) 2seg e 5seg

III) Construa o gráfico da função v(t) = 2.t + 2 que representa a velocidade de “Rerbi Rápido” em metros por segundos e determine, aproximadamente:

a) a área limitada por V(t) = 2.t + 2, t = 2, t = 4 e V(t) = 0

b) a área limitada por V(t) = 2.t + 2, t= 2, t = 5 e V(t) = 0

c) Compare as áreas calculadas e os deslocamentos de “Rerbi Rápido” calculados no item I

IV) Calcule a velocidade média de “Rerbi Rápido” entre os tempos:

a) 2seg e 2,2seg b) 2seg e 2,1 c) 2 seg e 2,01 d) 2seg e 2,001 seg.

V) Atribua um valor para a velocidade de“Rerbi Rápido” no instante t = 2 seg.

AULA 27/28: CONCEITO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

01) Construa o gráfico de cada uma das funções:

a) f(x) =

1x−2 b) g ( x ) =

1

( x−2 )2

02) Com relação à questão anterior responda: a) Quais os valores assumidos pela função f quando x 2- (x assume valores próximos e inferiores a 2)? b) Quais os valores assumidos pela função f quando x 2+ (x assume valores próximos e superiores a 2)? c) Quais os valores assumidos pela função g quando x 2 (x assume valores próximo a 2 tanto para valores

superiores como para valores inferiores)

03) Repita todo o procedimento das questões 01 e 02 para a função f ( x )= x2−4x−2

.

04) Repita todo o procedimento das questões 01 e 02 para a função f ( x )= x2−3 xx

, porém para x 0.

05) Repita todo o procedimento das questões 01 e 02 para a função f ( x )= x2−3 x+2x−2

, porém para x 2.

AULA 29/30: CÁLCULO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Em geral, dada uma função f(x) e um ponto b do domínio, dizemos que o limite da função é L quando x tende a b pela direita (x→ b+) se, à medida que x se aproxima de b pela direita, os valores de f(x) se aproximam de L.

limx→b+¿ f (x )=L¿

¿

Analogamente: limx→b−¿ f ( x )=M ¿

¿

Caso L = M, ou seja, os limites laterais são iguais, dizemos que existe o imite de f(x) quando x tende a b e escrevemos lim f ( x )=L=M .

01) Calcule, se existir os limites abaixo:

a) limx→3

x2−9x−3

b) limx→2

x−2

x2−4

c) limx→3

(2 x+3)

d) limx→ 4

(x2−2 x−3)

e) limx→2

x3

f) limx→0

x+5x−3

g) limx→5

x2−10 x+25x−5

h) limx→1

x2−6 x+5x−1

i) limx→0

x2+8 xx


a)

b)

c)

d)

e)

f)


a) limx ∞

1

x2 b) limx−∞

1

x2

c) limx→∞

x4

d) limx→−∞

x4

e) limx→∞

3 x5

f) limx→−∞

3 x5

g) limx→∞

ex

h)

i)

j)

k) limx→−∞

(x3−3 x2¿+3 x−1)¿

l)

m)

AULA 31/32: INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA

01) A função S(t) = 3.t – 5 representa o deslocamento em metros do móvel “Rerbi Lento” em função do tempo em segundos. Considerando que Vm é a velocidade média de “Rerbi Lento”, complete a tabela: Δt t t+Δt S(t) S (t + Δt) ΔS = S(t + Δt) – S(t) Vm = ΔS/Δt0,1 1 1,10,01 1 1,010,1 2 2,10,01 2 2,01Δt t t + Δt

Calcule: =

02) A função S(t) = t2+ t - 4 representa o deslocamento em metros do móvel “Rerbi Rápido” em função do tempo t em segundos. Considerando que Vm é a velocidade média do “Rerbi Rápido” complete a tabela: Δt t t+Δt S(t) S (t + Δt) ΔS = S(t + Δt) – S(t) Vm = ΔS/Δt0,1 1 1,10,01 1 1,010,1 2 2,10,01 2 2,01Δt t t + Δt

Calcule: =

03) A função S(t) = 3. t2+ 1 representa o deslocamento em metros do móvel “Rerbi Lento” em função do tempo em segundos. Considerando que Vm é a velocidade média de “Rerbi Lento”, complete a tabela: Δt t t+Δt S(t) S (t + Δt) ΔS = S(t + Δt) – S(t) Vm = ΔS/Δt0,1 1 1,10,01 1 1,01

x

a + h a f(a)

f(a + h)

P

Q4 Q3

Q2

Q1

f(a + h) – f(a)

f(x)

0,1 2 2,10,01 2 2,01Δt t t + Δt

Calcule: =

04) Considere a função real f(x) = x3 + x2 + x e complete a tabela : Δx x x+ xΔ f(x) f (x + xΔ ) Δf(x) =f(x + Δx) – f(x) f(x)Δ /Δx0,1 1 1,10,01 1 1,010,1 2 2,10,01 2 2,01Δx x x + Δx

Calcule: lim∆ x→0

∆ f∆ x

=

DE FORMA GERAL (Reta tangente a uma curva)

Razão incremental Dada uma função f, um ponto P de coordenadas a e f(a) e um ponto Q de coordenadas a + h e f(a + h) de gráfico:

A razão definida abaixo é conhecida como razão incremental.

f (a+h )−f (a)hA qual, neste caso representa o declive

da reta entre os pontos P e Q.

Quando Q tende a P: h → 0, assim:

m=limh→0

f (a+h )−f (a)h

, onde m é o

declive da reta em p ou coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P.

Exemplo: sendo y=f ( x )=x2, considere P(a, a2). Para a = 1 temos P(1, 1).

f (a+h )−f (a)h

=a2+2ah+h2−a2

h=2a+h→m=lim

h→0

f (a+h )−f (a)h

= 2a e para a = 1, P(1, 1) temos como

reta tangente: y− y0=m ( x−x0 )→ y=2 x−1.

Exemplo: sendo y=f ( x )=1+ 3√ x−2, esta definida para todo x real e é positiva para x < 1. Calculemos a razão incremental para x = 2.

f (2 )=1e f (2+h )=1+ 3√h . Assim, f (2+x )−f (2)

h=¿¿ .

Isso mostra que a razão incremental tende a +∞ com h→0. Em conseqüência a reta tangente no ponto P=( 2 , f (2 ) )=(2 ,1) é a reta x = 2.

Determinar o declive dos gráficos das funções dadas.

a) f ( x )=x2−2, em x=32, x=−5

3e x=aqualquer .

b) f ( x )=1x, em x=1 , x=2e x=a≠0.

c) f ( x )= 32 x−1

, em x=a≠12.

d) f ( x )=2x2−3 x , emx=a e para a=4.

e) f ( x )=2x2−3 x , em x=a e para a=−3.

AULA 33/34: DEFINIÇÃO DE DERIVADA E DERIVADA DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS

A partir das observações anteriores, podemos apresentar a definição da derivada de uma função:Define-se derivada da função real f(x) como sendo a função f ‘(x ) dada por:

01) Utilizando a definição acima dê a derivada das funções que seguem:

a) f( x ) = 4.x + 3 b) f(x) = 5.x2 + 3.x + 7

02) Entendendo f ‘ (x) como derivada da função f(x) prova-se que:OBS: Os casos determinados anteriormente nos dão segurança PA as afirmações abaixo. I) Se f(x) = k então, f´ (x)= 0II) Se f(x) = xn então, f ‘ (x) = n.xn-1 III) Se f(x) = g(x) + h(x) então, f ‘ (x) = g ‘(x) + h(x) ‘

Com essas informações dê as derivadas das funções:a) f ( x )=x5

b) f ( x )=x2+2 x+5

c) f ( x )=5 x4

d) f ( x )=2x3+3 x2+2 x+1

e) S ( t )=2 t−6

f) S (t )=t 2+2 t−3

03) Considerando s(t) = 2t – 6 o deslocamento de um móvel em metros por segundo determine sua velocidade para t = 2 segundos .

04) Considerando s(t) = t2 – 4t + 10 o deslocamento de um móvel em metros por segundo determine a velocidade desse móvel em t = 3 segundos e t = 5 segundos.

05) A quantidade de cargas elétrica de um condutor e dado por Q(t) = 5t – 8 sendo t o tempo em segundos. Dê o valor da corrente elétrica.

AULA 35/36: REGRAS DE DERIVAÇÃO

II) Se f ( x )=k .g( x)então, f ´ ( x )=k .g ´ ¿)

III) Se f ( x )=u ( x )+v (x) então, f ´ ( x )=u´ ( x )+v ´ (x)

IV) Se f ( x )=u ( x )−v (x ) então, f ´ ( x )=u´ ( x )−v ´ (x)

V) Se f ( x )=u ( x ) . v (x ) então, f ´ ( x )=v ( x ) . u ´ (x )+v ´ ( x ) .u (x)

VI) Se f ( x )=u( x)v (x)

então, f ´ ( x )=v ( x ) .u ´ ( x )−v ´ ( x ) .u (x)

[v ( x )]2

VI) REGRA DA CADEIAConsideremos a função f ( x )=(x2−1)3. Dizemos que f(x) é uma composição de u=x2−1 e v=u3. Assim

para calcularmos uma imagem desta função devemos proceder:- Para um dado valor de x, uma 1ª função calcula a imagem u=x2−1.- Para o valor de u assim encontrado, uma 2ª função calcula a imagem v=u3.Assim podemos dizer que: f ´ ( x )=v ´ (x ) . u´ (x)

AULA 37/38: EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS

x

b

c

a

Utilizando as regras acima dê a derivada de cada uma das funções:a) f ( x )=x2

b) f ( x )=2x+¿ 5

c) f ( x )=x2−4

d) f ( x )=1x

e) f ( x )= 13 x−2

f) f ( x )= x2−4x−5

g) f ( x )=(2 x−1)2

h) f ( x )=(5 x2−3 x+5)3

i) f ( x )=√2 x+1

j) f ( x )= 3√3 x−4

k) f ( x )=x3 .(4 x+2)5

l) f ( x )=(2x+5)4

x

m) f ( x )=√3 x+1 .(3 x+4)3

n) f ( x )=(x2+2x )3

(3 x+1 )2

o) f ( x )=√ x+13 x−2

AULA 39/40: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO E NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

1- No triângulo retângulo:

senx=ba

cosx= ca

tgx=bc

Notas:

cosx=sen ( π2−x )

cotgx= cb

secx=ac

cossecx=ab

•

sen2 x+cos2 x=1 ou {cos2 x=1−sen2 xsen2 x=1−cos2 x

tgx= senxcosx

secx=1

cosx cossecx=

1senx

2- No ciclo trigonométrico:

Conclusões:cosx = ABsenx = OBsen x = sen (π – x)cosx = – cosx ( – x)π

AULA 41/42: ESTUDO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO COM CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Construir os gráficos das funções trigonométricas abaixo, no intervalo: ]-2 ; 2 [.π π

a) f ( x )=senxb) f ( x )=sen3 x

c) f ( x )=senx3

d) f ( x )=cosxe) f ( x )=cos2x

f) f ( x )=cosx2

Conclusões:A função f ( x )=cosx é par, pois f ( x )=f (−x ).A função f ( x )=senx é ímpar, pois f ( x )=−f (−x ).

AULA 43/44: ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE COM CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Notas:tgx=tg(π+ x)

Construir os gráficos das funções trigonométricas abaixo, no intervalo: ]-2 ; 2 [.π π

a) f ( x )=tgx

b) f ( x )=tg2 x

c) f ( x )=tgx2

d) f ( x )=tg( x+ π4 )

Identidades trigonométricas importantes:

sen2 x+cos2 x=1

sen (−a )=−sena e cos (−a )=cosa

sen (a+b )=sena. cosb+senb .cosa

sen (a−b )=sena. cosb−senb. cosa

cos (a+b )=cosa . cosb−sena. senb

cos (a−b )=cosa . cosb+sena. senb

AULA 45/46: LIMITES TRIGONOMÉTRICOS E DERIVADOS DA FUNÇÃO SENO E COSSENO

Construir o gráfico da função f ( x )=sen1x

X 2π

1π

12π

14 π

18π

116π

1

D

C

O A B

y

x

sex1x

Como esta é uma função ímpar f ( x )=−f (−x ) temos:

limx→∞

sex1x=0 e lim

x→−∞sex

1x=0

Derivada da função f ( x )= senxx

com x →0.Observe as áreas dos:

Triângulo OBC S1=OB. AC2

Setor OBC S2=OB. x2

Triângulo OBD

S3=OB. BD2

Note que S1<S 2<S 3 ou OB. AC

2<OB .x

2<OB .BD

2 ou ainda AC<x<BD

Em outras palavras senx<x<senxcosx

→ 1< xsex

< 1cosx

invertendo-se as frações os sinais também invertem

1> senxx

>cosx , assim podemos concluir: limx→0

senxx

=1

Derivada da função f ( x )= cosx−1x

, com x

cosx−1x

×cosx+1cosx+1

= cos2 x−1x (cosx+1)

= −1cosx+1

×senxx

×senx → limx→0

−1cosx+1

×senxx

×senx=−12

×1×0=0

limx→0

cosx−1x

=0

Agora podemos derivar a função f ( x )=senx

f ' ( x )= lim∆x→0

sen ( x+∆ x )−senx∆ x

= lim∆ x→0

senx .cos∆x+sen∆ x . cosx−senx∆ x

=¿

f ' ( x )= lim∆ x→0

senx. (cos∆ x−1 )+sen ∆ x . cox∆ x

= lim∆ x→0

senx× lim∆ x→0

cosx−1∆ x

+ lim∆ x→0

sen∆ x∆ x

× lim∆x→0

cosx=¿¿

f ' ( x )=senx×0+1×cosx=cosx

Portanto f ( x )=senx→f ' ( x )=cosx

Derivada da função f ( x )=cosx

Como cosx=sen ( π2−x ) ou senx=cos ( π

2−x)

d xcosx=d xsen ( π2 −x)=cos( π2 −x)×dx ( π2 −x )=senx× (−1 )=−senx

Portanto f ( x )=cosx→f ' ( x )=−senx

AULA 47/48: DERIVADA DAS DEMAIS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Derivada das demais funções trigonométricas

f ( x )=tgx→ f ' ( x )=sec2 x

f ( x )=cotgx→f ' ( x )=−cossec 2 x

f ( x )=secx→f ' (x )= senx

cos2 x= tgxcosx

f ( x )=cossecx→f ' (x )=−cosx

sen2 x=−cotgx

senx

Exercícios1- Determine a derivada de f ( x )=sen√ x2+1 .

2- Determine a derivada de f ( x )=tg10(x2+3 x−5).3- Determine a derivada de f ( x )=sen (x3−5 x).

4- Determine a derivada de f ( x )=x . sen1x

.

5- Determine a derivada de f ( x )=x2 .(sen 1x).

AULA 49/50: RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS GERAISDetermine a derivada em cada caso abaixo:

a) f(x) = sen5xb) f(x) = senx. cosxc) f(x) = x.cosxd) f(x) = cosx3 e) f(x) = cos3xf) f(x) = tg4xg) f(x) = senx2

h) f ( x )=sen1x

i) f ( x )=senx−cosxj) f ( x )=x . senxk) f ( x )=sen2 x

l) f ( x )=x2 .cos1x

m) f ( x )=senx

1−xn) f ( x )=√senxo) f ( x )=x . sen

1x

p) f ( x )=cotg x2

q) f ( x )=cos (3x−1)r) f ( x )=sen (5x+2)s) f ( x )=sen3 x

AULA 63/64: LIMITES – FORMAS INDETERMINADAS

A- Formas do tipo 00

1- Já vimos que o limx→0

senxx

=1.

2- Sendo f ( x )=x2 e g ( x )=1−cosx, determine o limx→0

x2

1−cosx.

3- Sendo f ( x )=x−ae g ( x )=√ x−√a, com a > 0, determine o limx→a

x−a

√ x−√a.

4- Sendo f ( x )=x2+rx e g ( x )=x, determine o limx→0

x2+xrx

.

5- Sendo f ( x )=senrx e g ( x )=x, determine o limx→0

senr . xx

.

6- Sendo f ( x )=senx e g ( x )=x−π , determine o limx→π

senxx−π

.

B- Formas do tipo ∞∞

1- Sendo f ( x )=8x2−3 e g ( x )=2 x2+5 x−7, determine o limx→∓∞

f (x )g (x)

.

2- Sendo f ( x )=2−x2 e g ( x )=x3−3 x+9, determine o limx→+∞

f (x)g( x)

.

3- Sendo f ( x )=3 x2−x . cosx e g ( x )=5 x2+x . senx , determine o limx→∓∞

f (x )g (x)

.

4- Sendo f ( x )=5 x √x2−1−10 e g ( x )=4 x2−5, determine o limx→+∞

f (x)g( x)

.

C- Formas do tipo ∞−∞

1- Sendo f ( x )=k+ 1

x2 e g ( x )= 1

x2 , determine o limx→0

[ f ( x )−g ( x )].

2- Sendo f ( x )=7 x 4 e g ( x )=5 x2, determine o limx→∓∞

[ f ( x )−g (x )].

3- Sendo f ( x )=x2 e g ( x )=3 x, determine o limx→∓∞

[ f ( x )−g (x )].

4- Sendo f ( x )=√x+a e g ( x )=√ x, determine o limx→∞

[ f ( x )−g (x )].

5- Sendo f ( x )= 1

x2 e g ( x )=1x

, determine o limx→0

[ f ( x )−g ( x )].

AULA 65/66: RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS GERAIS

Calcule os limites indicados abaixo.

a) f ( x )= sen3 x5 x

, com x →0.

b) f ( x )= x

sen√3x, com x→0+¿ ¿.

c) f ( x )= sen3 xsen5 x

, com x→0.

d) f ( x )= tgxx

, com x → 0.

e) f ( x )= x

√ tgx , com x →0+¿¿.

f) f ( x )= tg 6 x2x

, com x → 0.

g) f ( x )= sen x3

sen x2 , com x → 0.

h) f ( x )=√25+3 x−5x

, com x → 0.

i) f ( x )=√16−5x−42 x

, com x →0.

j) f ( x )=√ x−1x−1

, com x→1.

y

-1 1

-

x

x

1

-1

- y

k) f ( x )= sen√x−1

√x2−1, com x →1+¿¿.

l) f ( x )= x−1

x2−5 x+4, com x → 1.

m) f ( x )= 2 x2+x−16 x2−5 x+1

, com x →12

.

n) f ( x )=2 x2−3 x−52x−5

, com x →52

.

o) f ( x )= x2−1x−4

, com x →∞.

p) f ( x )= 3x2+789x (5 x−8)

, com x →−∞.

q) f ( x )= x (3 x+senx)2 x2−5x . senx+1

, com x →±∞.

r) f ( x )= x (ax+senx)2b−5cosx+1

, com x →±∞.

s) f ( x )= x (2 x2−x+1)x2(5 x+4 )

, com x →±∞.

t) f ( x )=3 x2−4 x3+1, com x →±∞.

AULA 67/68: DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Considerando x=seny(y a variável independente) a sua inversa será y=senx ou y=arc sen x .Graficamente:

x=seny y=senx

Obs: Dadas as funções inversas f ( x )=3 x+4e g ( x )= x3−4

3, note que f ' ( x ) . g' ( x )=1.

A função inversa y (x ) é chamada de função arco seno, “y é o arco cujo seno é x”.

Assim, Darc sen x .D seny=1→Darc senx= 1Dseny

= 1cosy

. Fazendo cosy=√1−sen2 y, vem:

Darc senx= 1

√1−x2 , com: −1<x<1e– π2

<arc senx< π2

.

Analogamente, Darccosx= 1Dcosy

= −1seny

= −1

√1−x2

De forma geral:

I) Darc seng (x)=g' (x)

√1−[g (x)]2.

II) Darc cosg (x)=−g' (x)

√1−[g(x )]2.

III) Darc tan g(x )=g ' (x)

1+[g (x )]2.

IV) Darc cotg (x)=−g '(x )

1+[g ( x )]2.

V) Darc sec g (x)=g' (x)

|g(x )|√[g (x)]2−1.

VI) Darc cossec g(x )=−g '( x)

|g (x)|√[ g(x )]2−1.

EXERCÍCIOS: Determine a derivada de cada uma das funções dadas:

a) f ( x )=arcsen3x

b) f ( x )=arccos7 x

c) f ( x )=arctgx5

d) f ( x )=arccotg2x3

e) f ( x )=arcsec x3

f) f ( x )=arccos√1−x2

g) ( x )=arccsc x2

h) f ( x )=arccotg( x2+3)

i) f ( x )=arctg( 2 x

1−x2 )

j) f ( x )=arccsc3

2x

k) ( x )=arcsec(1−x¿¿2)¿

( x )=arcsen(1−x3)AULA 69/70: CORREÇÃO DE EXERCÍCIOS DA AULA ANTERIOR

AULA 71/72: DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMICA.

Nota: Dada a função f ( x )=(1+ 1x)x

, determinemos seu limite para x tendendo a ∞.

x 14

13

12

23

1 10 100 1000 ... ∞

f(x) ...

Os cálculos acima mostram que o limx→∞

(1+ 1x)x

=2,7182818285…=e, número de EULER.

Dado a função f ( x )=logb x, determinemos sua derivada:

f ' ( x )= lim∆ x→0

f ( x+∆ x )− f (x )∆ x

= lim∆x→ 0

logb ( x+∆ x )−logb x

∆ x=¿

lim∆ x→0

1

∆ xlogb(1+∆ x

x )=¿¿¿

¿lim∆x→0

1

x.x∆ x

logb(1+∆ xx )=1

x.

lim∆x→0

x

∆ xlogb(1+∆ x

x ), fazendo u=x∆x

, se ∆ x→0+¿ , ent ã ou→∞. ¿

f ' ( x )= 1x. limu→∞

u logb(1+ 1u )=¿ f ' ( x )=1

x. limu→∞

logb(1+ 1u )

u

=¿ 1x. logb lim

u→∞ (1+ 1u )

u

∴¿¿

Em geral:

EXERCÍCIOS: Determine a derivada de cada uma das funções dadas:a) f ( x )=ln (4 x2+1)

b) f ( x )=ln (cos x2)

c) f ( x )=sen (lnx)

d) f ( x )=arctg(lnx)

e) f ( x )=x−ln (sen6 x )

f) f ( x )=lx ( x+cosx )−arctg x

g) f ( x )=sen x ln(x2+7)

h) f ( x )=ln ( 4 xx+5

)

i) f ( x )=ln (lnx)

j) f ( x )=ln (cossec x−cot x)

k) f ( x )=lnsec x

5

l) f ( x )=ln (x2 √x+1)

m) f ( x )=ln (x3 ln x2)

n) f ( x )=16

ln8 x2

4 x3+1

o) f ( x )=x2 cossec ¿

p) f ( x )= ln x

x3+5

AULA 73/74: CORREÇÃO DE EXERCÍCIOS DA AULA ANTERIOR

AULA 75/76: DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Se f ( x )=lnx , então f ' ( x )=1x

.

Se f ( x )=ln g ( x )a f ' ( x )=g '(x )g ( x )

Sendo y=ex , ent ã o x=lny.Propriedades:1- ln e x=x, para todo x real.2- e lnx=x , para todo x > 0.3- ex + y=ex . e y.

4- e− x= 1

ex .

5- ax=e xlna.6- ln ax=x . ln a.

Obs: As funções y=ex e y=lnx são inversas.

As derivadas de ex e ax

Considerando y=ex↔x=lny, podemos ter: Dex= 1

Dlny= 1

1y

= y=ex

, Dex=e xConsiderando ax=e x. lna,

podemos ter: Dax=Dex .lna=ex .lna . D ( x . ln a )=ax ln a

Derivada de xc

D xc=Dec .lnx=ec .lnx .D (c . ln x )= cxeclnx= c

xec=cxc−1

.

EXERCÍCIOS: Determine a derivada de cada uma das funções dadas:

a) f ( x )=e3 x

b) f ( x )=4e√x−1

c) f ( x )=esenx

d) f ( x )=2e√x

e) f ( x )=ex2

f) f ( x )= ex2−3 x

3

g) f ( x )= ex

xh) f ( x )=ex2 cos√x

i) f ( x )=e−√x lnx

j) f ( x )=x2 e−x

k) f ( x )=2cosx

l) f ( x )=5x . senx

m) f ( x )=x2 .3x . senx

AULA 77/78: CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA AULA ANTERIOR

n c m

k d g j e b a x

y

a 2 x

a

b

y

x

AULA 79/80: MÁXIMOS E MÍNIMOS

Dizemos que x0 é um ponto de máximo de uma função f se f ( x )≤ f (x0) para todo x do domínio de f. Se f (x0)≤ f (x ), x0 será um ponto de mínimo.

MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS

Dizemos que x0é um ponto de máximo local de uma função f, quando existe um intervalo aberto tal que x0 seja ponto de máximo de f nesse intervalo. De modo análogo, definimos ponto de mínimo local. No intervalo ]k; g[ d é ponto máximo local e no intervalo ]j; b[ e é o ponto mínimo local.

A

função f ( x )=1x

, definida no intervalo ]0, 2[não tem ponto máximo, pois lim

x→0+¿ 1x=∞¿

¿.

No intervalo fechado [a; 2] a seria ponto de máximo e 2 o ponto de mínimo.

EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA

TEOREMA: Seja f uma função definida e contínua num intervalo fechado [a; b]. Então f possui ao menos um ponto de máximo e ao menos um ponto de mínimo nesse intervalo.

CARACTERIZAÇÃO DO MÁXIMO E DO MÍNIMO

TEOREMA: Seja f uma função com máximo (mínimo) local num ponto x0, onde ela é derivável. Então f ' (x0 )=0.

Se x0 é um ponto de máximo f (x0+h )−f (x0 )≤0.

Assim: f ' (x0 )= lim

h→0−¿ f (x0+h)−f ( x0 )h

≥ 0¿

¿ e f ' (x0 )= lim

h→0+¿ f (x0+h)−f (x0 )h

≤0¿

¿ f ' (x0 )=0 .

Exemplo: Seja f ( x )=−x2+4 x, então f ' ( x )=−2 x+4. Essa função tem ponto de máximo 2.Veja que: f ' (1,9 )=0,2 e f ' (2,1 )=−0,2

Nota: Não significa que se f ' (x0 )=0, x0 seja ponto de máximo ou ponto de mínimo. Neste caso x0 é denominado ponto crítico.

Exemplo: f ( x )=x3, f ' (0 )=0 e zero não é ponto de máximo e nem de mínimo.

EXEMPLOS:1- f ( x )=x2−6x+5, para 0≤ x≤5. Se x=0→ máximo absoluto 5 e se x=3→ mínimo absoluto – 4, pois:

f(3) = – 4, f(0) = 5 e f(5) = 0.

Note que: f ' ( x )=2 x−6, f’(3) = 0.

2- f ( x )=x 4+ 4x3−8 x2−48x−10, para −4≤x ≤1. A f ' ( x )=4 x3+12 x2−16 x−48→

f ' ( x )=4 ( x+3 ) . ( x+2 ) .(x−2) ∴ f ' (−3 )=0 , f ' (−2 )=0e f ' (2 )=0.

Como 2∉[−4 ;1] não serve e f(– 4) = 35; f(– 3) = 38; f(– 2) = 54 e f(1) = – 61.

Essa função admite valor máximo absoluto 54, para x = – 2 e mínimo absoluto – 61, x = 1.

3- f ( x )=sen x, valor máximo é 1, para x=2k .π+ π2

e valor mínimo – 1 para x=2k .π−π2

.

4- f ( x )=x2+x−6, para −3≤ x≤2. A f ' ( x )=2 x+1 ∴ f'(−1

2 )=0.

Como f (−12 )=−6,25, f (−3 )=0 e f (2 )=0

O valor máximo é zero nos extremos – 3 e 2 e valor mínimo – 6, 25 para x=−12

.

5- f ( x )=√|x|, para [– 2; 1].

Para sua derivada temos f ( x )={ √ x , x>0√−x , x<0

. A f' ( x )={ 1

2√ x, x>0

−12√ x

, x<0.

Como f ' (0 )∄, desdobramos [– 2; 0] e [0; 1].

f (−2 )=√2 , f (0 )=0e f (1 )=1 ∴ x = – 2 é ponto de máximo e x = 0 é ponto de mínimo.

AULA 81/82: EXERCÍCOS – MÁXIMOS E MÍNIMOS

1- Determine os pontos críticos das funções abaixo.a) f ( x )=3 x2+2 x+1

b) f ( x )=x3−3x2+3 x−7

c) f ( x )=2x3−3 x2+7

d) f ( x )=x+ 1x

e) f ( x )=3 x4+4 x3−12 x2+10 , para

−1≤x ≤2.

f) f ( x )=cos3 x , para0<x<π

g) f ( x )=tg x

h) f ( x )=4. senx+cos 2x

i) f (x)=a x2+bx+c ,a≠0

j) f ( x )=x √ x( x−a)

k) f ( x )=x . e−x

l) f ( x )=x2 . e−x

m) f ( x )=ln x−x

n) f ( x )=x2−ln (−x ) , x<0.

o) f ( x )=x . ex

p) f ( x )=(x−1). ex

AULA 83/84: EXERCÍCOS – MÁXIMOS E MÍNIMOS2- Determine , quando existirem, os extremos das funções e os pontos onde ocorrem.

a) f ( x )=x2−3 x+2 ,0≤x ≤2.

b) f ( x )=−x2+6 x−1 ,4 ≤x ≤5.

c) f ( x )=x2−x+5 ,0≤x ≤10.

d) f ( x )=x3−3x2+12 x−8 ,0≤x ≤2.

e) f ( x )=2x3−3 x2−12 x+1 ,−2≤ x≤3.

f) f ( x )=x3−3x ,−2≤ x≤2.

g) f ( x )=x+ 12,

12≤x ≤2.

h) f ( x )= x2

4−x+1,0≤ x≤4.

i) f ( x )= x

(1+ x2),−5≤ x≤5.

j) f ( x )=x .√x+3 ,−2,5≤ x ≤0.

k) f ( x )+sen x+cos x ,−π≤ x ≤π .

l) f ( x )= 3√x2 ,−3≤ x≤1.

b c a

f(c) f(b)

f(a) A

B C

y

x

f(x)

Y f(a) A

B

y

x

m) f ( x )= (x+3 ) . ex ,−5≤ x≤0.

n) f ( x )=2 senx+cos2 x ,−π≤ x≤ π .

o) f ( x )=lnx−x , e≤ x ≤e2 .

p) f ( x )=x2 . ex ,−1≤ x≤1.

AULA 85/86: CORREÇÃO DOS EXERCÍCOS DA AULA ANTERIOR

AULA 87/88 - O TEOREMA DO VALOR MÉDIO

Considere uma função f e dois pontos sobre seu gráfico A=(a , f (a ) ) e B=(b , f (b ) ).

O declive da secante é dado por f (b )−f (a )

b−a.

Entre A e B deve existir um ponto C=(c , f (c ) ) onde a reta tangente à função seja paralela à secante.

Assim f ´ ( c )= f (b )−f (a )b−a

ou f (b )−f (a )=f ´ (c ) . (b−a)

TEOREMA DE ROLLE: Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a; b], derivável nos pontos internos, tal que f(a) = f(b). Então existe um valor c entre a e b onde a derivada se anula: f´(c) = 0.Ex.1- Seja f ( x )=−x2+4 x , no intervalo [0; 4].

Ex.2- Seja f ( x )=x2−5 x+6 , no intervalo [1; 4].

TEOREMA (do valor médio): Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a; b], derivável nos pontos internos. Então existe pelo menos um valor x compreendido entre a e b, tal que:

f (b )−f (a )=f ´ ( x ) .(b−a) ou f ´ ( x )= f (b )−f (a )b−a

Considerando uma função F(x), calculemos F(x) = f(x) – Y.

Y−f (a )= f (b )−f (a )b−a

∙(x−a)

y

x

Y=f (a )+ f (b )−f (a )b−a

∙(x−a)

F ( x )=f ( x )−f (a )− f (b )−f (a )b−a

∙(x−a)

Derivando F(x), temos: F ´ ( x )=f ´ ( x )− f (b )−f (a )b−a

,

ou seja: F’(x) = 0.Pelo teorema de Rolle, existe um ponto c (x = c), entre a e b, tal que F´(c)= 0.

Portanto: f ´ ( x )= f (b )−f (a )b−a

ou f (b )−f (a )=f ´ ( x ) .(b−a)

Exemplo: Dado a função f ( x )=log x , no intervalo [1,10].

f (10 )=1e f (1 )=0 , portanto f (10 )−f (1 )=f ´ ( x ) .(10−1)

Como: f ´ ( x )= 1x . ln10

→ 1

x . ln 10=1

9 → x.ln10 = 9 →

x= 9ln 10

≈3,9

FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE

O teorema do valor médio permite verificar se uma função é crescente ou decrescente observando se f ' ( x )>0ou f ' ( x )<0.

Exemplos:1) f ( x )=−x2+4 x , para[0 ;4 ]

f ' ( x )=−2 x+4

f ' (2 )=0 Como f ' (1 )=2>0→crescente e f ' (3 )=−2<0→decrescente↔ x=2 ponto demá ximo

2) f ( x )=x2−2x−1 , para [0 ;3]

f ' ( x )=2 x−2=2 (x−1)

f ' (1 )=0 Como f ' (0 )=−2<0→decrescente e f ' (2 )=2>0→crescente↔ x=1 pontode mí nimo

3) f ( x )=x3−1, para[−1 ;1]

f ' ( x )=3 x2

f ' (0 )=0 Como

f ' (−1 )=3>O→crescente e f ' (1 )=3>0→crescente↔não admite ponto demá ximoe nemdemí nimo

No intervalo [– 1; 1], temos:f (−1 )=−2e f (1 )=0, assim x = – 1 é mínimo absoluto e x = 1 é máximo absoluto.

4) f ( x )=x3− x , para[−1 ;1]

f ' ( x )=3 x2−1=3 (x2−13 )=3( x− 1

√3 ).(x+ 1

√3 ) . Neste caso podemos lançar mão da derivada segunda

f ' ' ( x )=6 x , com f ' ' (0 )=0 Como

f ' ' (−1

√3 )<0e f ' ' ( 1

√3 )>0e f (−1 )=f (1 )=0↔x− 1

√3pontode mí nimo absolutoe

1

√3pontode má ximo absoluto

no intervalo [-1, 1].

Neste caso concluímos que a função não admite ponto de máximo e nem de mínimo.

5) f ( x )=x 4 .√ x+1, para x≥−1

f ' ( x )= x3(9 x+8)2√ x+1

f ' (0 )=0e f ' (−89 )=0

f '(−12 )<0→decrescente e f '( 1

2 )>0→crescente

Comof (−1 )=0e f (0 )=0→x=−89

é ponto demá ximo ,no intervalo [−1 ,0 ]e x=0e

x=−1 s ã o pontos de mí nimo .

AULA 89/90 – RESOLUÇÃO DE EXERCÍCOSEXERCÍCIOS

1) Determine os valores c tais que f ´ ( x )= f (b )−f (a )b−a

, e faça o gráfico em cada caso.

a) f ( x )=x2, a = 1 e b = 2.

b) f ( x )=x3 , a=0eb=1.

c) f ( x )=x3 , a=−2eb=2.

d) f ( x )=x2+3 x−7 , a=−1eb=2.

e) f ( x )=1x,a=1eb=5.

f) f ( x )=−1

x2, a=−3e b=−1.

g) f ( x )=√x ,a=12eb=3

2.

h) f ( x )=√x ,b>a>0.

i) f ( x )= 1

√ x,b>a>0.

j) f ( x )= x−1x+1

,b>a>1.

k) f ( x )=x3−3x2 , b=2e a=0.

AULA 91/92 – RESOLUÇÃO DE EXERCÍCOS

1) Determine os pontos críticos da função dada, indicando os que são máximos e os que são mínimos. Determine o intervalo onde a função é crescente e onde é decrescente.

a) f ( x )=x2−2b) f ( x )=x 4

c) f ( x )=2x3+3 x2−36 x

d) f ( x )=x3

e) f ( x )=x3−3x2+3 x−1

f) f ( x )=7−15 x+6 x2−x3

g) f ( x )=−2x2+3 x+2

h) f ( x )=x3+6 x2+12x+7

i) f ( x )=x (x−2)2

j) f ( x )=cos5 x

k) f ( x )=sen3 x

l) f ( x )=x+ 1x

m) f ( x )=senx+cos x

n) f ( x )=x2−lnx

o) f ( x )=x . ex

p) f ( x )=x . e−x

q) f ( x )=x2 . e−x

2) Determinar dois números x e y, cuja soma s seja dado e cujo produto p seja o maior possível.

3) Determinar as dimensões de um cilindro circular reto, de volume dado, de forma que sua área seja a menor possível.

AULA 93/94: INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE INTEGRAL

ANTIDERIVAÇÃO – DEFINIÇÃO Uma função g é dita uma antiderivada de uma função f sobre um conjunto de números I se g’(x) = f(x) para todos os valores de x em I. O procedimento para achar antiderivadas é chamado antiderivação.

Se afirmarmos que g é uma antiderivada de f sem mencionar explicitamente o conjunto I da Definição, então fica entendido que I é todo o domínio de f, tal que g’(x) = f(x) vale para todos os valores de x no domínio de f.

Exemplo – Prove que g ( x )= x+1x−1

é uma antiderivada de f ( x )= −2

(x−1)2 .

Exemplo – Sabendo-se que g ( x )= x1+x

é uma antiderivada de f ( x )= 1

(1+ x)2 , ache um número infinito de

antiderivadas de f.Teorema 1 – Função nulaSeja g uma função tal que g’(x) = 0 vale para todos os valores de x em algum intervalo aberto I. Então g tem um valor constante em I.

Teorema 2 – Um intervalo abertoSupondo que g é uma antiderivada da função f no intervalo aberto I. Então uma função h com domínio I é uma antiderivada de f em I se e somente se h = g + C para alguma constante C.

Exemplo – Dado que a função g ( x )=12x2

é uma antiderivada da função f(x) = x, ache todas as antiderivadas

de f.Notação: Supondo que g é a antiderivada de f, tal que g’ = f. Se tomarmos y = g(x), então dy = g’(x) = f(x) dx, tal que: y=∫ d y=∫ f ( x )dx ; istoé g ( x )=∫ f ( x )dx .

Exemplos 1: ∫ x2dx=13x3+C

Exemplos 1: ∫ dx=x+CRegras básicas para antidiferenciação1) D x ∫ f (x )dx=f (x ) 2) ∫ f '(x )dx=f ( x )+C3) ∫ dx=x+C

4) Regra da potência: Se n é um número racional diferente de – 1, então ∫ xndx= xn+1

n+1+C.

5) Regra de homogeneidade: Se a é uma constante, então ∫ af (x)dx=a∫ f ( x )dx .

6) Regra da adição: ∫ [ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫ f ( x )dx+∫ g (x )dx .

7) Regra da linearidade: ∫ [a1 f ( x )+a2g ( x ) ]dx=a1∫ f ( x )dx+a2∫ g (x )dx , se a1 ea2 s ã oconstantes .

Exemplos: 1) Calcular ∫ (5 x+√ x−7 )dx .

Exemplos: 2) Calcular ∫ x4+3 x2+5x2 d .

Exemplos: 3) Calcular ∫( y . 3√ y+1)2dy .

Exemplos: 4) Calcular ∫ x (x2+5)100dx .

Exemplos: 5) Calcular ∫√7 x+2dx .

Exemplos: 6) Calcular ∫ x2dx(x3+4)5 .

Exemplos: 7) Calcular ∫ x2 √3−2 xdx .

Exemplos: 8) Calcular ∫ xdx

√ x+5.

AULA 95/96: INTEGRAIS – EXERCÍCIOS

1- Verifique se g é uma antiderivada de f.a) f ( x )=12 x2−6 x+1e g ( x )=4 x3−3x2+x−1

b) f ( x )=(x−1)2e g ( x )= 14x4−x3+ 3

2x2−x+753

2- Use as regras básicas para antidiferenciação para calcular cada integral indefinida.a) ∫ ( 3x2−4 x−5 )dx

b) ∫ (x3−3x2+x−1 )dx

c) ∫ ( 2x3−4 x2−5 x+6 )dx

d) ∫¿¿

e) ∫ x3−1x−1

dx

f) ∫(4 t2+3)2dt

g) ∫(x2+3x+1

x2 )dx

h) ∫( 3

x2 +5

x4 )dx

i) ∫ 25 x3−1√ x

dx

j) ∫ (√x−1)2

√xdx

AULA 97/98: INTEGRAIS – EXERCÍCIOS

3- Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação.a) ∫(4 x+3)4dx ,u=4 x+3

b) ∫ x (4 x2+7)9dx ,u=4 x2+7

c) ∫ x √4 x2+15dx ,u=4 x2+15

d) ∫ 3 xdx

(4−3 x2)8, u=4−3 x2

e) ∫ x dx3√5x2+16

,u=5 x2+16

f) ∫ (8 x+2 )dx

( 4 x2+2 x+6 )17,u=4 x2+2 x+6

g) ∫(1−x32)

53 √ xdx , u = 1−x

32

h) ∫(x2−6 x+9)113 ,u=x−3

i) ∫ x2dx(4 x3+1)7

j) ∫ x √5−x dx

k) ∫ x2 √1+x dx

l) ∫ x

√ x+1dx

m) ∫ x+23√2−x

dx

a

s

b

0

s

ℓ

A a

ds

b

0

s

5

8 - s

s

0

88

ℓ

AULA 99/100: CORREÇÃO DE EXERCÍCIOS DA AULA ANTERIOR

AULA 101/102: ÀREAS DE REGIÕES DO PLANO PELO MÉTODO DE FRAGMENTAÇÃO

O método de fragmentação é uma técnica efetiva para determinar as áreas de muitas regiões planas. Dada uma dessas regiões, tome um eixo de “referência” conveniente, digamos o eixo s. Em cada ponto ao longo desse eixo, construa uma reta perpendicular interceptando a região em um segmento de reta de comprimento ℓ.

A área A é função de s e A = 0 quando s = a.O ponto de vista infinitesimal permite-nos formar uma equação diferencial para A. Se s é

aumentada por uma quantidade infinitesimal ds, então A cresce de uma quantidade infinitesimal correspondente dA.

dA é a área infinitésimads é a larguraℓ é o comprimento da regiãodA = ℓ.ds

1- Determinar a área da região abaixo pelo método da fragmentação. Triângulo de base 5 e altura 8.

Tomamos o eixo s como referência perpendicular às bases, de modo que dA = ℓ.ds.

Como l5=8−s

8→l=5

8(8−s ). Pela equação diferencial dA = ℓ. ds.

Assim A=∫ lds=∫ 58

(8−s)ds=5∫ds−58∫ (8−s)=5 s− 5

16s2+C

Para s = 0, temos A = 0 e, portanto C = 0.

Para s = 8 a A=5.8− 516

82=20 unidades de área.

ℓ

AdA

s

ℓ

0

(x; y)(-x; y)

y

x

(x; y)

(2; 0)

ℓ

0

(2; 4)

y

x

ℓ

(1; 1)

y

x

x

2

4 0

x

2

2- Determinar a região do plano xy limitada inferiormente pelas retas y = x, x = 4 e o eixo x.3- Determinar a região do plano xy limitada inferiormente pelas retas y = x – 1, x = 4 e o eixo x.4- Determinar a região do plano xy limitada inferiormente pela parábola y=x2 e superiormente pela reta

horizontal y = 4.

Tomamos o eixo y como referência, de modo que dA = ℓ.dy.

Como ℓ = 2x, onde x > 0 e (x; y) está situado y=x2, teremosx=√ y e, portanto l=2.√ y, então:

A=∫ ldy=∫ 2.√ y dy=¿2.∫ y12 dy=¿2.( 2

3y

32 )+C ¿¿

Para y = 0, temos A = 0 e, portanto C = 0

Para y = 4, temos A=323

unidades de área.

5- A região no primeiro quadrante do plano xy limitada superiormente pela parábola y=x2 e inferiormente pela reta horizontal y = 0, e a esquerda pela reta x = 2.

Tomamos o eixo x como referência, de modo que dA = ℓ.dx.Assim ℓ = y = x2 e, portanto:

A=∫ ldx=∫ x2dx=¿ x3

3+C ¿

Para x = 0, temos A = 0 e, portanto C = 0

Para x = 2, temos A=83

unidades de área.

6- A região do plano xy entre a curva y=√x e a curva y=x3.

Tomamos o eixo x como referência, de modo que dA = ℓ.dx.Assim l=√x−x3e, portanto:

A=∫ ldx=∫(√ x−x3)dx=¿∫ x12 dx−∫ x3dx ¿

A=23x

32 − x4

4+C

Para x = 0, temos A = 0 e, portanto C = 0

Para x = 1, temos A= 512

unidades de área.

AULA 103/104: EXERCÍCIOS SOBRE ÀREAS DE REGIÕES DO PLANO PELO MÉTODO DE FRAGMENTAÇÃO

1- Determine as áreas.a)

b)

x

4

2

0y

x0

y

xb

a

A1 (área total acima do eixo x)

A2 (área total abaixo do eixo x)

–12

y

x

c)

2- Calcular a área da região limitada entre a função f ( x )=(x2−1)2 e a reta y = 0.

3- Calcular a área da região limitada entre y=√x−2, a reta x = 2, a reta x = 6 e o eixo x.4- Calcular a área da região limitada entre y2=x e y−x+2=0.5- Calcular a área da região limitada entre y + 2x – 2 = 0, y – x – 5 = 0 e y = 7.6- Calcular a área da região limitada entre y2=1−xe y=x+5.7- Calcular a área da região limitada entre y=x2 e x= y2.8- Calcular a área da região limitada entre y=4−x2e y=−2.9- Calcular a área da região limitada entre y=4−x2e y=x2−2.

AULA 105/106: ÀREA SOB O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Dado a função f cujo gráfico está abaixo representado, observe a área da região entre a função e os parâmetros a e b.

Em geral A = A1 – A2 é chamada área com sinal sob o gráfico de f entre a e b.Estudos mostram que essa diferença A1 – A2 pode ser calculada pela integral definida de a até b de f(x) dx.

Em símbolo: ∫a

b

f ( x )dx=A1−A2.

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Suponha que f seja uma função contínua sobre o intervalo fechado [a; b] e que ∫ fdx=g ( x )+C , então

∫a

b

f ( x )dx=g (b )−g(a).

Exemplo: Seja f(x) = 1 – x determine A1 – A2 geometricamente e também pelo TFC.

A1−A2=2.22

−1.12

=32

10 x

y

– 2 4

y

x

∫−1

2

(1−x )dx=(x− x2

2 )∨ 2−1

=(2−22

2 )−[−1−(−1 )2

2]=3

2

Exemplo: Use o PFC para determinar a área da região sob o gráfico de f ( x )=x23 entre x = 0 e x = 1.

A=∫0

1

f ( x )dx=35x

53∨1

0=¿ 3

51

53 −3

50

53=3

5¿

Exemplo: Calcular a integral definida da função f ( x )=x2+1 entre x = 0 e x = 1.

∫0

1

f ( x )dx=( x3

3+x)∨1

0=¿ 4

3¿

Exemplo: Calcular a integral definida da função f ( x )=1−x

√ x entre x = 1 e x = 4.

∫1

4

f ( x )dx=∫1

4

( 1√x

− x√x )dx=∫

1

4 ( x−12 −x

12)dx=¿−¿ 8

3¿¿

Obs: Como vimos nem sempre ∫a

b

f ( x )dx=A1−A2 representa a área de uma região.

USANDO O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO PARA DETERMINAR ÁREAS

1- Determinar a área da região do gráfico de f ( x )= x2−2 x+88

entre x = – 2 e x = 4.

A=∫−2

4

( x2

8−2 x

8+ 8

8 )dx=[ x3

24− x2

8+x ]∨ 4

−2=¿¿

A=[ 43

24−42

8+4]−[ (−2)3

24−

(−2)2

8+(−2)]=15

2

2- Determinar a área da região limitada inferiormente pela função f ( x )=x2−3 x+2 e superiormente pelo eixo x.

1 2

y

x

y

x

Por definição

∫a

b

f ( x )dx=A1−A2.

Porem como toda a área está abaixo do eixo devemos calcular:

A=−∫a

b

f ( x )dx.

A=−¿

A=−[( 23

3−3 .22

2+2.2)−( 13

3−3.12

2+2.1)]=−(−1

6 )=16

3- Determinar a área da região sob a curva f ( x )=x .√4−x2 para x∈ [−√2 ,√2 ] .

Por definição ∫a

b

f ( x )dx=A1−A2. Porem a área abaixo é igual

a área acima do eixo: A=2∫0

√2

f ( x )dx .

A=2[(−13 ) .(4−x2)

32∨√2

0 ] A=2[(−1

3 ) .(4−√22)

32−(−1

3 ) .(4−02)32 ]=16−4√2

3

AULA 107/108: EXERCÍCIOS SOBRE ÀREA SOB O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

A- Determinar as áreas das regiões abaixo usando o princípio fundamental do cálculo.1- A região sob a curva y=3 x−x2 entre x = 0 e x = 3.2- A região sob a curva y=2−x2 e o eixo dos x.3- A região sob a curva y=x2−1 e o eixo dos x.

4- A região sob a curva y=13x3−x entre x = – 4 e x = 4.

B- Use o principio fundamental do cálculo para determinar as integrais definidas abaixo:

1- ∫0

2

( 3x2−2 x+1 )dx

2- ∫−1

0

(x3+x2+x−1 )dx

3- ∫0

64 √ x8

dx

4- ∫1

2

x .√1+x dx

AULA 109/110: EXERCÍCIOS SOBRE ÀREA SOB O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

C- Determinar as áreas das regiões abaixo usando o princípio fundamental do cálculo.1- y=10 x−(x2+24), entre x = 4 e x = 6.

2- y=x2−3 x , entre x = – 1 e x = 12

.

3- y=− x2, entre x = 0 e x = 2.4- y=x 4, entre x – 2 e x = 1.5- y=2x2−11 x+5, entre x = 0 e x = 5.

6- y=13x3

, entre x = – 2 e x = 2.

7- y=−13

x3+x2, entre x = – 2 e x = 4.

8- y= x

( x2+1)2 , entre x = – 2 e x = 2.

9- A região entre as paralelas y = 2x + 8 e y = 2x + 3 seccionadas pela parábola y=x2.10- A região entre a curva y2=2 x−4 e a reta y = x – 4.11- A região entre as curvas y2=−4 x e x2=−4 y .

AULA 111/112: INTEGRAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Como vimos anteriormente às derivadas das funções trigonométricas são:I- Dx senx=cos xII- Dxcosx=−sen xIII- Dx tanx=sec2 xIV- Dxcotx=−csc2 xV- Dx secx=sec x . tanxVI- Dxcscx=−cscx . cotx

Tomando por base essas informações, para a integração inverter as fórmulas para obter as integrais indefinidas das funções.

I- ∫ senx dx=−cos x+c

II- ∫ cosx dx=senx+c

III- ∫ sec2 x dx=tanx+c

IV- ∫ csc2 x dx=−cot x+c

V- ∫ secx . tanx dx=sec x+c

VI- ∫ cscx .cotx dx=−csc x+c

Exemplos: Calcular as integrais abaixo:

1- ∫ sen9 x dx=¿ ∫ senu.19du=¿ −cosu .

19+c=−cos 9x

9+c

Faz u=9 x→du=9dx→dx=19du

2- ∫ cos √x dx√x

=∫ cosu .√ x du√x

=2∫ cosudu=2 senu+c=2 sen√ x+c

Faz u=√x→du= 12√x

dx→dx=2√x du

3- ∫ sec 15x . tan 15 xdx=¿∫ secu .tanu .115

du= 115

secu+c¿

Faz u=15x→du=15dx→dx= 115

du

4- ∫cot 3 x . csc23 x dx=¿∫ u .−13

du=−13∫udu=−1

3.u2

2+c=−cot23 x

6+c¿

Faz u=cot 3x→du=−3 csc23 x dx→csc23 x dx=−13

du

5- ∫ csc 7 x .cot 7 x dx(1+csc 7 x )4

=∫−17

.duu4 =−1

7∫u−4du=−1

7.u−3

−3+c= 1

21u3 +c= 121(1+csc 7 x)3 +c

Faz u=1+csc 7x→du=−7 csc7 x .cot 7 xdx→csc7 x .cot7 x dx=−17

du

6- ∫ x2 csc25 x3dx=¿∫csc2u .1

15du=¿ 1

15∫csc2udu=−cotu

15+c=−cot 5 x3

15+c ¿¿

Faz u=5x3→du=15 x2dx→x2dx= 115

du

7- ∫π36

π9

sec2(4 x− π9 )dx=¿∫

0

π3

sec2u .14du= 1

4tanu∨

π30=1

4tan

π3− 1

4tan 0=√3

4¿

Faz u=4 x− π9→du=4 dx→dx=1

4du. Para x=

π36

teremosu=0e para x= π9teremosu=π

3.

8- Determine a área da região entre o gráfico de y=senx e y=cos x no intervalo [0; π4

].

Gráfico: A=∫0

π4

¿¿

AULA 113/114: INTEGRAÇÃO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Exercícios: A- Calcular as integrais1) ∫ (2 senx+3cosx )dx

2) ∫ ( x+sen3 x )dx

3) ∫2 sen35 xdx

4) ∫3cos (8 x−1)dx

5) ∫ dx

sen23 x ( sugestão:

1

sen2u=csc2u)

6) ∫ dx

cos2 4 x

Exercícios: B – Calcular as integrais definidas

1) ∫0

π6

2 sen3x dx=¿¿

2) ∫0

π3

(2cos3 x)dx=¿¿

3) ∫0

1

sec2 πx4

dx =

Exercícios: Determinar a área da região limitada pelas curvas dadas.

1) Um arco y=3. cos3 xe o eixo x.

2) y=senx , y=−3. senx , x=π3e x=π .

3) y=tanx . sec2 x, o eixo x, x=π6

e x = 0.

AULA 115/116: AVALIAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICADE MATO GROSSO

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – PROF: JOÃO DIASDATA10 /12 / 2009

NOME...................................................................................... N°....... TURMA Automação Industrial

A- Use o principio fundamental do cálculo para determinar as integrais definidas abaixo:

1- ∫2

4

( 3x2−2 x+1 )dx

2- ∫−2

0

(x3+x2+x−1 )dx

3- ∫0

27 √ x8

dx

4- ∫1

7

x2 .√1+x dx

B- Determinar as áreas das regiões abaixo usando o princípio fundamental do cálculo.

Serviço Público FederalMec/Semtec

1- y=3 x+x2, entre x = −12

e x = 2.

2- y=x2+2, entre x = 1 e x = 4.

3- A região entre a curva y=√x e a reta y=12x .

AULA 117/118: CORREÇÃO E RESULTADO DA AVALIAÇÃOAULA 119/120: ENCERRAMENTO DO SEMESTRE

AULA 51/52: TRABALHO EM GRUPOINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA

DE MATO GROSSO TAREFA DE MATEMÁTICA – PROF: JOÃO DIAS

DATA...... / 04 / 2009NOME............................................................................... N°....... TURMA Automação Industrial1- Determine os limites, caso exista, das funções abaixo:

a) f ( x )=( x2−3x+1 ) , x→2b) f ( x )=√x ( x−1 ) , x→−2

c) f ( x )= x2+3x+2x2−1

, x→−1

d) f ( x )= x2+11−x2 , x→

−35

e) f ( x )= x2−16x2−5 x+4

, x→4

f) f ( x )=√5−√xx−5

, x→5


g) f ( x )= x2−1|x−1|

, x→1+¿¿

h) f ( x )= x1−x

, x→1−¿¿

i) f ( x )= 4x−2

, x→2+¿ ¿

j) f ( x )= x

(x−2)2, x→2

k) f ( x )= x+5x−3

, x→0

l) f ( x )= x2−4 x+3x3−1

, x→1

m) f ( x )= x3−8x−2

, x→2

n) f ( x )= x+1

x2+3x+2, x→−1

o) f ( x )= x2+xx2−3 x

, x→0

p) f ( x )= 4x−6

, x→6

q) f ( x )= x2

x−1, x→1

r) f ( x )= 1

4 x (x−3)2, x→3

s) f ( x )= 4 x

(x−3)2, x→3

t) f ( x )=( 2x5−3 x2+6 ) , x→∞

u) f ( x )=5 x4−3 x2+15 x2+2 x−1

, x→−∞

AULA 53/54: CORREÇÃO DE EXERCÍCIOS GERAISAULA 55/56: TRABALHO EM GRUPO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICADE MATO GROSSO

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – PROF: JOÃO DIASDATA...... / 04 / 2009

NOME...................................................................................... N°....... TURMA Automação Industrial


1- Determine derivadas das funções abaixo:a) f ( x )=x2+x3

b) f ( x )=10 x3−5 x2

c) f ( x )=5 senx+2cosx−4

d) f ( x )=x . senx

e) f ( x )=( 2x2−3 x+5 ) .(2 x−1)

f) f ( x )= senx

x2

g) f ( x )= x−1x−2

h) f ( x )= 2

x3+ 5

x2

i) f ( x )=x23

j) f ( x )=x13 +x

14

k) f ( x )=√x . senx

l) f ( x )= 5√senx

m) f ( x )=cos34 x

n) f ( x )= 7√cos 3x

o) f ( x )=sen57 (4 x−1)

p) f ( x )=2. sen3(x2−4 x+3)

AULA 57/58: CORREÇÃO DE EXERCÍCIOS GERAIS

AULA 59/60: AVALIAÇÃO ESCRITA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA


DE MATO GROSSO AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – PROF: JOÃO DIAS

DATA...... / 04 / 2009NOME...................................................................................... N°....... TURMA Automação Industrial

1- Determine derivadas das funções abaixo:a) f ( x )=4 senx+3cosx−4

b) f ( x )=x .cos x

c) f ( x )=2 x−1x−2

d) f ( x )= 4√senx

e) f ( x )=sen34 x

f) f ( x )=sen34 (2 x−1)

2- Determine, se existir, os limites abaixo:a) f ( x )=√x ( x−1 ) , x→−3

b) f ( x )= x2−16x2−5 x+4

, x→4

c) f ( x )=√3−√xx−3

, x→3

d) f ( x )= x

(x−2)2, x→2

e) f ( x )= x2−5 x+4x3−1

, x→1

f) f ( x )= 4 x

(x−3)2, x→3

g) f ( x )=5 x4−3 x2+15 x2+2 x−1

, x→−∞

AULA 61/62: CORREÇÃO DE EXERCÍCIOS DA AVALIAÇÃO

Determinar, caso exista os limites abaixoa) f ( x )=√x ( x−1 ) , x→−3

b) f ( x )= x2−4 x+3x2−1

, x→1

c) f ( x )= x3+11−x2 , x→−1

d) f ( x )= x2−16x2−5 x+4

, x→4

e) f ( x )= x−3

√ x−√3, x→3

f) f ( x )= xx−2

, x→2−¿¿

g) f ( x )= 4x+3

, x→−3+¿ ¿

h) f ( x )= x

(3−x )2, x→3

i) f ( x )= x2−4 x+3x3−1

, x→∞

j) f ( x )= x3−8x−2

, x→−∞

k) f ( x )= x2+xx2−2 x

, x→0

IFMT – INSTITUTO FEDREAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO - CUIABÁCuiabá, 09 de outubro de 2009 - Avaliação de Matemática - Professor: João Dias

Aluno (a) :...................................................................... nº .......Turma Automação industrial

l) f ( x )= x2

x−1, x→1

m) f ( x )= 1( x+1 ) .(x−2)2

, x→2

n) f ( x )=(−2x5+3 x2+6 ) , x→∞

o) f ( x )=5 x4−3 x2+12 x3+2 x−1

, x→−∞

1- Determinar uma antiderivada ou primitiva de cada uma das funções.

a) ∫ x3+1x+1

dx

b) ∫2 x3−x2+ x−2dx

c) ∫( 2

x3 −3

x4 )dx

d) ∫ xdx

(3−2x2 )8

2- Determine a área das regiões abaixo, pelo método da fragmentação.

a) Entre y = x – 2, x = 5 e o eixo x.

b) Entre a curva y=x2+2 e as retas x = 3, x = 0 e y = 0.

c) Entre a curva y=√x−2e a reta –x + 2y + 2 = 0.

3- Determine a área das regiões abaixo, pelo principio fundamental do cálculo.

a) A região sob a curva y = 3x – x2 entre x = – 1 e x = 2.

b) A região sob a curva y = x2 – 2x – 3 entre x = – 2 e x = 2.

c) A região sob a curva y = x3 +1 entre x = 0 e x = 4.

IFMT – INSTITUTO FEDREAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO - CUIABÁCuiabá, ..... de dezembro de 2009 - Avaliação de Matemática - Professor: João Dias

Aluno (a) :...................................................................... nº .......Turma Automação industrial

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Fechamento do semestre – Automação Industrial

1- Use as regras básicas para antidiferenciação para calcular cada integral indefinida.

a) ∫ (x 4−3 x2+2x−1 )dx

b) ∫ x3+1x1

dx

c) ∫(4 x3−2)2dx

d) ∫ 25 x3−x√x

dx

2- Determine a integral definida para cada caso abaixo

a) ∫2

4

( 3x3−2 x2+1 )dx

b) ∫−2

0

(x4+x3+x−1 )dx

c) ∫1

3

x2 .√2+x dx

3- Determina a área em cada casoa) A região entre a curva y=√x e a reta 2 y−x+1=0.

b) A região entre a curva y = x2−3 e a reta y = 1.

c) A região sob o gráfico de ∫0

π3

( x+sen3 x )dx

cálculos diferencial integral

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