apostila completa de cálculo diferencial e integral i

Curso de Graduação Licenciatura em Matemática &

Engenharias

Unesp – Campus de Guaratinguetá

Cálculo Diferencial e Integral

Notas de AulaProf. Dr. Aury de Sá Leite

Departamento de MatemáticaUNESP - Guaratinguetá

Publicada em: janeiro/2000 Última revisão: março/2013

Material disponível para uso e divulgação, desde que seja citada a fonte e o autor

Observações: [1] As séries de exercícios que têm a sua data de entrega programada devem ser entregues exatamente

na data marcada. [2] Você deve guardar um rascunho da resolução dos exercícios (de preferência uma cópia xerox do

material que foi entregue) ou deve anotar as respostas para poder conferí-las com que será fornecido pelo professor no final da aula, exatamente na data marcada para a entrega dos exercícios resolvidos.

c

b

aa ba

Cálculo Diferencial e Integral Capítulo Zero – Algumas idéias Iniciais

Prof. Aury de Sá Leite – Departamento de Matemática (DMA)

1.- Datas Históricas Importantes

Século XVI – René Descartes (em latim: Cartesius) (França – 1596 /1650) criador da Geometria Analítica (Gráficos Cartesianos/Plano Cartesiano).

Século XVII –Sir Isaac Newton (Inglaterra – 1642/1727) e Wilhelm Gottfried Leibniz (Alemanha – 1646/1716) ) – descoberta independente das propriedades dos números reais [Boyer, 1974 – pág. 292].

Século XIX – Barão Augustin Cauchy (França – 1789/ 1857) – Formalização da Teoria [Boyer, 1974 – pág. 380].

Fonte da Pesquisa: [ Boyer 1974] Boyer, C. B. História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1974.

2.- Assuntos a serem estudados1o Semestre

1.- Números Reais2.- Funções Reais de uma Variável Real 3.- Derivadas e Diferenciais – Aplicações4.- Integrais – Aplicações

2o semestre1.- Funções Reais de Duas ou Mais Variáveis Reais 2.- Derivadas Parciais – Aplicações 3.- Integrais Múltiplas – Aplicações 4.- Séries de Potencias e Séries de Funções

3.- Bibliografia Indicada Para o Curso Stewart, James. Cálculo. São Paulo, Editora Pioneira/Thomson Learning, 4a ed., vols. 1 e 2, 2001.Anton, Howard. Cálculo – um novo horizonte. Porto Alegre, Editora Bookman, 6a ed., vols. 1 e 2, 2000.

4.-Material facilitador da aprendizagem

1.- Notas de aula e Exercícios Resolvidos em sala

2.- Três Estudos Dirigidos (Tirar Xerox ou imprimir a partir do CD-R do Curso)[ED1] Apostila de Pré-Cálculo A e B – Pré-Cálculo A: Conjuntos, Símbolos Lógicos, Conjuntos Numéricos. Pré-Cálculo B: Álgebra. Total de páginas: 52 páginas se no tamanho A4; [ED2] Funções e Gráficos - 15 páginas; [ED3] Trigonometria, com respostas - 14 páginas.3.- Material Auxiliar – NOTAS DE AULA - Apostilas (Teoria + Exercícios Modelo + Exercícios Resolvidos + Exercícios Propostos com Respostas). Total de páginas: 58.4.- Programa Computacional que roda no Windows - Calculadora Analítico-Gráfica GraphApplet 1.0 Trazer um CD-R para copiar o material do Curso: as apostilas ED1, ED2 e ED3, O softwares da calculadora, e a apostila com as NOTAS DE AULA.

5.- pré-requisitos – Símbolos Lógicos

5.1.- Conectivos Lógicos:

5.2.- Quantificadores:

– quantificador universal

leitura: “qualquer que seja” ou “para todo”

– quantificador existencial

leitura: “existe um” ou “existe pelo menos um”

– “existe um único” ou “existe e é único”

6.- Propriedades da Igualdade:Reflexiva: a, a = a Simétrica: a, b, se a = b então b = aTransitiva: a, b, c, se a = b e b = c então a = c

6.2.Grafos das Propriedades da Igualdade

Reflexiva Simétrica Transitiva

7.- Teorema Fundamental da Álgebra“Toda equação polinomial (ou algébrica) de grau n com coeficientes reais (ou complexos) tem n raízes complexas”.Exemplo:

Equação do 1º Grau Equação do 2º Grau

ou ?S = { 3 }

S = { 3, 3}

conjunção “e”

disjunção “ou”

implicação“se ... então ...”

ou “... implica ...”

equivalência“... se, e somente se ...”

ou “... eqüivale ...”

1

UneUnespGuaratinguetá

UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral Material Auxiliar #01 - Limites, Continuidade e Assíntotas

Prof. Aury de Sá Leite – [email protected]

[1] Definição de Limite

> 0, () > 0 tal que para

todo xD(f) que satisfaça à condição 0 < | x - a | < ocorre obrigatoriamente: |f(x) - L | < .

[2] Existência do Limite (Teorema)

[3] Propriedades dos Limites

Quando existem e :

1.

2.

3. (k uma

constante)

4.

Quando existem e , com

:

5.

Quando e k é um número

real para o qual Lk está definido:

6.

Para qualquer constante k:

7. e 8.

Se P(x) e Q(x) são polinômios, então

9.

10.

[4] Símbolos de Indeterminação

; ; ; ; ; ;

Quando, durante o cálculo de um limite, aparecerem os símbolos de indeterminação, a indeterminação deverá ser "levantada", isto é, ela deverá ser eliminada mediante operações de simplificação das expressões envolvidas naquele limite.

[5] Continuidade: Uma função f é contínua em a , se e somente se:

(1o) f(a) está definida;

(2o) ;

(3o)

Quando f(x) não é contínua no ponto a diz-se que há uma descontinuidade de f neste ponto.

Uma função f(x) é contínua num intervalo aberto

a < x < b ( x ]a,b[ ) se, e somente se, ela for contínua em cada um dos pontos x deste intervalo.

[6] Limites no Infinito

Quando existem e :

1.

2.

3. (k uma

constante)

4.

5. , com

6. Se está definido para um número

k, então :

7.

2

1

mailto:[email protected]

NOTA: A propriedade #7 pode ser utilizada em todos os casos de limite no infinito

mostrados acima.

[7] Exercícios Básicos de Limites [7.1.] Calcule os seguintes limites graficamente:

a) e

b) e

c) ; e

d) e) f)

g) h)

i) e

Respostas: a) + e 0+; b) 0+ e +; c) limites laterais: - e +, a função não tem limite no ponto 3; d) +; e) 2; f) 3; g) 1; h) 4; i) 0 e -.

[7.2.] Calcule os limites:

a) b)

c) d)

e) f)

Respostas: a) 13; b) 1/2 ; c) sugestão: adotar 2+ = 2+, +; d) 0+; e) -2+ = -2+; Resp: +; f) 3- = 3-; Resp:-.

[7.3] Calcule os limites

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

j)

l)

Respostas: a) 5/4; b) 0; c) ; d) 5/4; e) ; f) 0; g) 4; h) 8/3; i) 5/2; j) 0; l) .

[7.4.] Calcule os limites:

a) b)

c)

Observação: em caso de indeterminação, dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x que figure na função. Respostas: a) ; b) 0; c) 1

[8] Produtos notáveis envolvendo radicais: Os produtos notáveis a seguir são muito importantes. Veja que a finalidade do segundo fator, que é denominado "conjugado" do primeiro fator, é conduzir o produto sempre a um mesmo resultado: a - b(a) .

(b)

[8.1] Calcule os limites:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

h)

i)

Respostas: a)1/4; b) 1/2; c) ; d) 1/3; e) 3; f) 1/3; g) 0; h) 0; i) 1.

[9] Limites Fundamentais

3

[9.1.] Limites Fundamentais - Exercícios

Calcule os limites:

a) b) c)

d) e) f)

Sugestões: em (e) fazer -1/x =1/n x = -n,

como x- então n; em (f) fazer de

onde x = 2n.

Respostas: a) 0; b) 1 ; c) k; d) e3; e) e-1; f) e2.

[10] Aplicações da Noção de Continuidade Teorema do Valor Intermediário: Se f(x)

é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e se f(a) f(b) então existe pelo menos um valor c pertencente a [a,b] tal que f(c) pertence ao intervalo [f(a), f(c)].

1o Caso:

2o Caso:

Note que no 2o caso nem todos os valores pertencentes ao intervalo [a,b] satisfazem ao teorema, no entanto o que o teorema assegura

é a existência de pelo menos um ponto que satisfaça aquela condição.

A seguir apresenta-se um corolário (um teorema conseqüente) do teorema anterior:

Teorema de Bolzano: Se f(x) é contínua num intervalo [a,b], e f(a) f(b)<0, então existe c pertencente a [a,b] tal que f(c) = 0.

Observar que: Para que o produto de f(a) por f(b) seja negativo, isto é, f(a).f(b) < 0, é necessário que f(a) e f(b) possuam sinais contrários.

[11] Aplicação de Limites no Infinito Cálculo das assíntotas de uma curva

Exemplo 1: Esboçar o gráfico de y = f(x) =

Temos que adotar x –2, para evitar a divisão por zero, ou seja:

D(f) = R–{2} Im(f) = R–{3}

4

Para plotar o gráfico, traçar as assíntotas e atribuir valores coerentes para x obtendo os valores de y.

Exemplo 2: Dar o gráfico de y = f(x) =

Calcule os limites e confira as suas respostas:

Observar: quando x = 0 tem-se que: y = -7

5

4UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral I

Material Auxiliar #02 - DerivadasProf. Aury de Sá Leite - [email protected]

2


[1] Definição de Derivada A derivada de uma função y = f(x), indicada por y' = f’(x) = Dxf(x) ou ainda por f’, relativamente a valores de x D(f), é dada por:

qua

ndo o limite existe e é finito.

permite calcular o coeficiente angular das retas tangentes à curva y = f(x) em cada um dos pontos desta curva. 1.1.- Teorema: Se a função y = f(x) é diferenciável em x1, então ela é contínua em x1.

Observar que: uma função pode ser contínua num ponto, mas pode não ser diferenciável neste ponto.

Estude, por exemplo a função f(x) = no

ponto x = 0

[2] Tabela de Derivadas - Parte 1:1. y = c 1. y ' = 02. y = x 2. y' = 13. y = u + v - w 3. y' = u' + v' - w'4. y = xn 4. y' = n.xn-1

5. y = u.v 5. y' = u'v + v'u

6. y = 6. y' =

7. 7.

Observar: c= constante; u, v e w funções de x.

Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando a tabela anterior.1) y= 7x5 - 2x2 - 5x + 7 y'= 35x4 - 4x - 5

2)

3)

4)

5) y=(x + 1).(x - 1) y'= 2x

6) y= (x2+2).(x3+2x+1) y'= 5x4+12x2+2x + 4

7)

8)

[3] Tabela de Derivadas - Parte 2:

8. y = un 8. y = n.un-1.u'9. y = eu 9. y' = u'.eu

10. y = ln u 10. y' =

11. y = logb u 11. y' = logb e.

[3.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando a tabela anterior.

9) y = (x3+2x-1)3 y' = 3. (x3+2x-1)2.(3x2+2)

10) y = 5e4x y' = 20.e4x

11) y = -4e-3x y' = 12e-3x

12) y = ln(5x3 + 2x + 1)

13)

14)

[3.2] Exercícios: Derivar e entregar com a resolução e as respostas na seguinte data: ____/____/_______.

1) 2)

3) y=3x-2 - 7x-1 + 6 4)

5) y = (5 - 2x)10 6)

7) (*) 8)

9) 10)

11) 12) (*)

13) (*) 14)

(*)

15) (*)

IMPORTANTÍSSIMO: Os exercícios marcados com (*) são muito importantes e você deve conferir tanto a resolução dos mesmos como as respostas encontradas com os (as) seus (suas) colegas.

[4] Tabela de Derivadas - Parte 3

12. y = sen u 12. y' = cos u .u'

13. y = cos u 13. y' = -sen u.u'

14. y = tg u 14. y' = sec2u.u'

15. y = cotg u 14 y' = -cossec2u.u'

15. y = sec u 15. y' = sec u. tg u. u'

16. y = cossec u 16. y' = -cossec u. cotg u. u'

[4.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando a tabela anterior.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

resolver o exercício 6 de outro modo, fazendo antes:


1)

2)

3)

4) (*)

5)

6) (*)

7)

8)

9)

10)

[5] Derivação Implícita

[5.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções implícitas

1)

2)

3)


1)

2)

3)

[6] Exercícios Resolvidos – Atenção: Resoluções na página a seguir

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

ATENÇÃO: RESOLUÇÕES & RESPOSTAS:

Analise as resoluções e resposta dadas na página seguinte com os (as) seus (suas) colegas.

RESOLUÇÃO & RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS PROPOSTO NO ÍTEM [6] :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) logo, como:

podemos escrever, finalmente:

10)

11)

12)

13)

14)

Observações:

[1] As séries de exercícios que têm data de entrega programada devem ser entregues exatamente na data marcada.

[2] Você deve guardar um rascunho da resolução dos exercícios (de preferência uma cópia xerox do material que foi entregue) ou deve anotar as respostas para poder conferi-las com que será fornecido pelo professor no final da aula, exatamente na data marcada para a entrega dos exercícios resolvidos.

UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral I RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS do Material Auxiliar #02 - Derivadas

Prof. Aury de Sá Leite - [email protected]

Exercício [3.2]:

1) y' = 5x9 + x4

2)

3) y=3x-1 - 7x-1 + 6=-4x-1 y' = -4x-2

Se: y=3x-2 - 7x-1 + 6

4)

5) y = (5 - 2x)10

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

Exercício [4.2] :

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Exercício [5.2]:

4)

5)

6)

2r


UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #03 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Prof. Aury de Sá Leite – [email protected]

[1] Equações de Retas Tangentes e Normais

Problema Modelo 1.1: Achar a equação da reta

tangente à curva que passa por um

dos pontos desta curva cuja abscissa é 3. Pré-requisitos: [1] equação da reta por um ponto (x0,y0) é dada por r: y - y0 = m(x - x0)[2] onde m é o coeficiente angular da reta r: m = tg

[3]se x0 = 3 e ,

logo a reta deve passar por (x0,y0) = (3,1).

Resolução:

coeficiente angular

genérico válido para todas as retas que tangenciam a curva dada.Logo, para x =3 tem-se y' = m = 1/2 e r:

.

Problema Modelo 1.2: Achar a equação da reta normal à curva , tal que a tangente a esta curva faça um ângulo de 45o com o eixo dos y (y = 0). Pré-requisitos: [1] O coeficiente angular de uma reta s perpendicular a uma reta r de coeficiente angular mr = tg é dado por

ms = , ou seja, mr ms = -1.

[2] tg 45o = tg

Resolução: Sendo r:

e

.

Como .

.

Exercício 1.1 - Com Resposta: Achar as equações das retas tangente e normal à curva de equação 3xy + x2 = x3- 4y , no ponto onde x = 1.Resposta:

Ponto (xo, yo) = (1,0), ,

de onde x 7y 1=0 e 7x + y 7=0 Vide um problema muito interessante no material auxiliar 5E sobre reta normal a

uma curva, mas que deve ser paralela a outra curva dada.

[2] Taxas Relacionadas

Problema Modelo 2.1: Uma escada de 5 metros de altura está encostada em uma parede vertical. Se a base da escada está se afastando da parede à razão de 8m/s, a que velocidade desliza a parte superior ao longo da parede, quando a base se encontrar a 3 m da parede? Resolução: vide notas de aula. Resposta: - 6m/s.(o sinal negativo indica que y decresce com relação a t)

Problema Modelo 2.2: Um papagaio de papel está voando a uma altura constante de 40m. O garoto está empinando o papagaio de tal modo que este se move à razão de 3m/s. Se a linha está esticada, com que razão o garoto deve soltá-la quando o comprimento da mesma atingir 50 metros para manter a altura constante de 40m? Resolução: vide notas de aula.

Resposta: m/s.

Problema Modelo 2.3: Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5m e para raio da base 1m. O tanque se enche de água à razão de 2m3/min. Calcule a velocidade em que sobe o nível da água quando esta atingiu 2,5 m de altura.

14

3


Resolução: vide notas de aula.

Resposta:

Problema Modelo 2.4 - Com Resposta: Dois carros, um indo para leste à razão de 72 km/h, e outro, para o sul, à razão de 54 km/h, vão se encontrar na interseção das duas rodovias. A que razão os carros aproximam-se um do outro, no momento em que o primeiro estiver a 400m da interseção e o segundo, a 300m?

Resolução: vide notas de aula.

Resposta: 1500m/min ( a variação é negativa poque a distância diminui com o tempo).

Exercício 2.1 - Com Resposta: Uma régua com 20 cm de comprimento está apoiada numa parede vertical e sua extremidade inferior está sendo afastada desta parede a 12 m/s. A que velocidade desliza a parte superior, quando a base estiver a 12 cm da parede?

Respostas: - 9m/s

Exercício 2.2 - Com Resposta: Um menino mantém um papagaio empinado a uma altura de 300m e, o vento, o afasta do menino à razão de 25 m/s. Com que velocidade deve o menino, dar linha, quando o papagaio está a 500 m dele?

Resposta : 20m/s.

Exercício 2.3 - Com Resposta: Acumula-se areia em um monte de forma cônica à razão de 0,5 m3/min. O raio da base do monte é, sempre igual à metade de sua altura. Com que velocidade está crescendo a altura deste monte de areia quando este alcança 2m?

Resposta:

Exercício 2.4 - Com Resposta: Duas rodovias interceptam-se perpendicularmente. O automóvel A numa

destas rodovias está a 0,5 km da interseção e se move à razão de 96 km/h enquanto o carro B, na outra rodovia está a 1 km da interseção e se move à razão de 120 km/h. A que razão está variando a distância entre os dois carros no instante em que x=1 e y = 1/2, de acordo com o diagrama seguinte:

Resposta: -150,26 km/h aproximadamente

Exercício 2.5 - Com Roteiro de Resolução e Resposta:

Se o raio de um círculo cresce à taxa de 30 cm/s. A que taxa estará crescendo a área com relação ao tempo quando o raio atingir 120 cm? Qual a taxa do crescimento da circunferência neste mesmo instante?

Roteiro para Resolução:

(1) A=

(2)

Exercício 2.6 - Com Roteiro de Resolução e Resposta:

Uma bola esférica de gelo com 8 cm de diâmetro está derretendo à taxa de 10/ cm3 por minuto. Com que velocidade se reduz a bola quando ela estiver com 2 cm de raio?


15

R= 4cm e

[3] Análise de Gráficos de Funções

Pré-requisitos: Valores numéricos da tangente de ângulos notáveis; diferenciabiliade de f(x); derivadas sucessivas.

[3.1] DiferenciabilidadeA derivada de uma função f(x) é definida

naqueles pontos onde o limite f ' (x) =

existe. Estes pontos são os pontos de diferenciabilidade (ou de derivabilidade) para f, e os pontos onde isto não ocorre são chamados pontos de não-difenciabilidade para f.

Exercícios: Trace os gráficos das seguintes funções, verifique os pontos de não diferenciabilidade de cada uma delas, justificando analíticamente sua resposta:

a) y = b) y = c)y=

OBSERVAR: Os pontos onde f ' (x)= 0 ou os pontos onde f é não diferenciável são denominados pontos críticos. Geometricamente os pontos que admitem difencial são aqueles em que a curva admite uma reta tangente.

[3.2] Diferencial de y e Cálculos Aproximados

Definição: Se a função y = f(x) admite derivada f’(x) num dado ponto x, denomina-se diferencial desta função à expressão : dy = f’(x) x.

Analise o gráfico acima para x = 1

Considerações:

Já se viu que, se y = f(x) é derivável num

intervalo [a,b]:

Note que a fração tende a um valor

numérico f’(x) quando x0. Assim, difere

da derivada f’(x) por uma quantidade infinitamente pequena, o que nos permite escrever:

= f’(x) + (1)

De (1) pode-se obter:

y = f’(x).x + .x (2)Da definição de diferencial de y (dy = f’(x).x) dada acima e da expressão (2) anterior pode-se escrever: y = dy + .x (3)como é uma quantidade infinitamente pequena costuma-se adotar em certos cálculos numéricos a seguinte igualdade aproximada: y dy (4)ou ainda:

(5)que nos permite calcular o valor aproximado da variação de uma função y = f(x) a partir do acréscimo dado à variável independente.

Problema de Aplicação 1: Seja calcular y = x2 a área de um quadrado de lado x. Sendo dados x = 20 cm e x= 0,1cm calcule y e o valor aproximado de dy.

Resposta: y=f(x+x)-f(x)= (x+x)2 - x2 y = 4,01 cm e dy f’(x). x= 2xx dy = 4,00 cm.

Problema de Aplicação 2: Dada a função

, calcule através de diferenciais, qual a

variação aproximada da mesma, quando x decresce de 8 para 7,8.

Respostas :

16

0,066947576 (valor aproximado);

y=f=3,9333... 4 = 0,0666... (valor exato).

[3.3] Teorema do Valor Médio

Primeiramente vamos apresentar o Teorema de Rolle que é um caso especial do Teorema do Valor Médio: Teorema de Rolle: Seja y= f(x) uma função diferenciável no intervalo aberto ]a,b[ e contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f(a) = f(b) = 0, então há pelo menos um ponto c ]a,b[ tal que f'(c) = 0.

Teorema do Valor Médio: Seja y = f(x) uma função diferenciável em ]a,b[ e contínua no em [a,b]. Então existe pelo menos um ponto c ]a,b[ tal que:

.

O Teorema da Média afirma que entre dois pontos quaisquer A e B sobre o gráfico de um função y = f(x) diferenciável, deve haver pelo menos um lugar onde a reta tangente à curva é paralela à reta secante que passa por A e B. É bom que se observe que a

expressão fornece o coeficiente

angular da reta secante que passa por A e B e que f'(c) fornece o valor da tg que é exatamente a inclinação da reta tangente que passa por C.

[3.4] As Derivadas Sucessivas

Se a derivada f’(x) de uma função f(x), for ainda diferenciável, então a derivada de f’(x) será notada como f”(x), sendo chamada Derivada Segunda, ou Derivada de Segunda ordem, de f(x). À medida que a diferenciabilidade ainda seja possível, poderemos continuar este processo de derivação sucessiva.

Notação: f’(x) = ; f”(x)= ; f’’’(x) =

; f(4)(x) = ... f(n)(x) =

.

Exemplo:

f(x) = 5x3- 7x2 + 4x – 5 f’(x) = 15x2-14x+ 4

f”(x) = 30x – 14 f’’’(x) = 30 f(4)(x) = 0

f(5)(x) = 0 f ( n )(x) = 0, nN, n 4

[3.5] Estudo de Sinais das Derivadas

Para se provar o teorema a seguir utiliza-se o Teorema do Valor Médio.TEOREMA: Dada uma função y = f(x) contínua num intervalo [a,b] (isto é: a x b) e diferenciável no intervalo ]a,b[ (isto é: a < x < b) Se f '(x) > 0 no intervalo a < x < b então

f(x) é crescente neste intervalo. Se f '(x) < 0 no intervalo a < x < b então

f(x) é decrescente neste intervalo. Se f '(x) = 0 no intervalo a < x < b então

f(x) é constante neste intervalo.

E ainda:

Se f"(x) > 0 no intervalo a < x < b então f(x) tem concavidade para cima.

Se f"(x) < 0 no intervalo a < x < b então f(x) tem concavidade para baixo.

[3.6] Máximos e Mínimos relativos

Teorema: Se uma função y = f(x) tiver extremos (máximo ou mínimo) relativos (ou locais), então eles ocorrem ou em pontos

17

onde f ' (x) = 0 ou em pontos de não-diferenciabilidade.

[3.6.1.] Teste da derivada Primeira

Se f '(x0 - ) > 0 e f '(x0 + ) < 0 então f tem um máximo relativo (máximo local) em x0.

Se f '(x0 - ) < 0 e f '(x0 + ) > 0 então f tem um mínimo relativo (mínimo local) em x0.

[3.6.2.] Teste da derivada Segunda

Teorema: Supondo que f(x) é duas vezes diferenciável em um ponto x0 com f '(x0) = 0, então

(a) se f "(x0) > 0 então f tem um mínimo

relativo em x0.

(b) se f "(x0) < 0 então f tem um máximo

relativo em x0.

(c) se f "(x0) = 0 nada se pode afirmar .

Exercício 3.6.2.1 - Com Roteiro de Resolução e Resposta:

Localize os extremos relativos da função f(x) = x4 - 2x2.


[1] Fazendo f(x) = 0 vem: f(x) = x4 - 2x2 = x2.(x2-2) = 0 onde as raízes reais desta equação são: 0 (uma raiz dupla) e .

[2] O gráfico desta função é o seguinte:

[3] f '(x) = 4x3 - 4x e f "(x) = 12x2 - 4

[4] fazendo f '(x) = 0 vem: f '(x) = 4x3 - 4x = 0. A equação 4x. (x2 - 1) = 0 tem para raízes: 0, +1 e -1. [5] Nos pontos onde x = 0, x = 1 e x = -1, as derivadas segundas valem:

f "(-1)= 8 > 0 f tem um ponto de mínimo relativo em x=-1

f "(0) =-4 < 0 f tem um ponto de máximo relativo em x=0

f "(1)= 8 > 0 f tem um ponto de mínimo relativo em x=1

Exercício 3.6.2.1 - Com Resposta: Encontre os pontos de máximo e mínimo da função y= 2x3 + 3x2 - 12 x - 7.

Resposta: (-2,13) é um ponto de máximo relativo e (1,-14) um ponto de mínimo relativo.

[3.7] Pontos de inflexão

Os pontos xo onde f ‘(xo) = 0 são ditos pontos críticos, mas nem todo ponto crítico e ponto de máximo relativo ou de mínimo relativo. Veja as funções y = x1/3e y = x3, que têm um ponto crítico em (0,0), mas que não são pontos nem de máximo nem de mínimo, são pontos de inflexã.o

[3.8] Problemas de Máximos e MínimosProblema Modelo 3.8.1: Ache o retângulo de maior área possível sabendo que o seu perímetro é 100 m.


18

[1] Perímetro do retângulo: 2x + 2y = 100[2] Área do retângulo: A= x.y[3] Substituir y em [2] e derivar.[4] Calcular (igualando a derivada 1a a zero) e analisar o ponto crítico da função, através da derivada segunda.

Resolução:

A= - x2 + 50 x; ; fazendo

obtém-se x = 25; de onde A tem

um ponto de máxima em x = 25 (verifique no gráfico a seguir).

10 20 30 40 50

100

200

300

400

500

600

Resposta: Como 2x + 2y = 100 vem que y = 25. Assim o retângulo de máxima área que satisfaz às condições do problema é o quadrado de lado igual a 25m.

Problema Modelo 3.8.2: Uma caixa deve ser feita com uma folha de papel cartão medindo 16cm 30 cm. Quer-se obter uma caixa de maior volume possível recortando-se a cartolina de acordo com o desenho abaixo. Qual o valor de x?

Algumas Informações: Vparalelepípedo= área da base altura = 4x3 -92x2 + 480x

e

Resposta: x = 10/3 cm

Problema Modelo 3.8.3: Uma ilha está num ponto A, a 6 km de um ponto B na margem de um rio. A sua casa está num ponto C, a 7km de B. Se uma pessoa pode remar à taxa de 4 km/h e caminhar à taxa de 5 km/h onde ele deveria desembarcar (ponto D) para ir da ilha até sua casa no menor espaço de tempo possível? Algumas Informações:T(x) =

T'(x) = T'(x) = 0 x= 8 que não

pertence ao intervalo [0,7], assim não existem pontos críticos em T(x) e o mínimo absoluto de T(x) deve ocorrer em um dos extremos do intervalo x= 0 ou x= 7. Verifique o valor de tempo mínimo comparando T(0) e T(7).

[4] Fórmula de Taylor-Mclaurin Pré-requisitos: Notação de fatorial de n: n!=1 2 3

... (n-1) nExemplo: 5! = 1 2 3 4 5 = 120

Notação de somatório - alguns exemplos:

[4.1] Vamos partir da suposição que uma função f = f(x) possa ser escrita sob a forma de uma série (somatório) de potências, isto é:

f = f(x) = com a-r < x < a+r,

onde c é uma constante real e r é denominado raio de convergência da série. Teorema: Se f é uma função tal que f = f(x) =

para todo x em um intervalo

aberto que contenha a, então:

+ .

19

Observação: a fórmula acima, uma série de potências, é denominada série de Taylor e o termo Rn(x) é denominado resto de Lagrange. O resto de Lagrange permite exprimir o resíduo ou resto após o enésimo termo da série. Este Teorema será provado em sala de

aula

[4.2] Corolário do Teorema anterior:

Se f(x) = para todo -r < x < r então

f(x) pode ser escrita como sendo:

(que é denominada série de Mclaurin). A prova deste corolário (conseqüência) é baseada na prova do Teorema anterior, bastando tomar naquele: a = 0.

Exercícios Importantes: 1) Determinar as série de Mclarin para:(a) ex = (b) sen x = (c) cos x =

(d) ln x = para 0 < x 2 (e)

para |x| <1

Respostas

(a) ex = , x

(b) sen x =

,

x (c) cos x =

,x

(d) ln x =

, que converge para ln x quando

0<x2.

(e) , para |x| <1

2) Determine a série de Taylor para a função f(x) = sen x com a = /6.

Resposta:

[5] NOTAS SOBRE AS DERIVADAS:

[5.1] Regra de L'HôspitalSe

e ,

ou se

e

então:

Aplicação da Regra de L'Hôspital

1) Calcular os seguintes limites utilizando a regra de L'Hôspital:

2)

a) b) c)

d) e)

Respostas: a) 1; b) 0; c) 4; d) +; e) 0

Calcular os seguintes limites utilizando a regra de L'Hôspital:

a)

b)

Respostas:

a) 0; b)

[5.2] Regra da Cadeia Suponha que y seja uma função

derivável em u, e seja u uma função derivável em x. Então y é uma função composta de x e:

Exemplos:

[1] Calcular sendo y = u3 - 3u2 + 5 com u = x2

+ 2.

20

Resolução:

Sendo e temos que

Tente substituir a expressão u na expressão y e derivar para verificar o resultado anterior.

[2] Calcular quando x = 1 sendo dados

y = e u = 3x2 - 1.

Resposta:

e

[5.3] Derivada das Funções Trigonométricas Inversas

[5.3.1] Dada a f(x) = y = arc sen x, com

f: [-1,1] [ ], podemos rescrevê-la como

sendo:

x = sen y com y [ ] (1)

Derivando a expressão (1) em relação a x vem:

(2)Como sen2 y + cos2 y = 1 podemos escrever: cos y = (3) substituindo (3) em (2) obtém-se:

(4)substituindo (1) em (4) obtém-se:

.

Generalizando:

[5.3.2] Para f(x) = y = arc cos x, f: [-1,1] [0,], de forma análoga a anterior, pode-se obter:

[5.3.3] Para f(x) = y = arc tgx, f: R [ ]

podemos reescrevê-la como:

x = tg y com y [ ] (1)

Derivando a expressão (1) em relação a x vem:

(2)Como sec2 y = tg2 y + 1 podemos escrever:

Generalizando:

[5.3.4] Para f(x) = y = arc cotgx, f: R [ ], de forma análoga a anterior, pode-se obter:

Tabela de Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas

15. y = arc sen u 16.

16. y = arc cos u 17.

17. y = arc tg u 18.

18. y = arc cotg u 19.

19. y = arc sec u 20.

20. y = arc cosec u

21.

Observação importante: As derivadas acima indicadas como u' devem ser entendidas como

, isto é, derivadas com relação a x.

[5.4] Derivada das Funções Hiperbólicas As funções hiperbólicas fundamentais são:

1) O seno hiperbólico de x:

21

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

2) O co-seno hiperbólico de x:

3) A tangente hiperbólica de x:

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Observação: As funções hiperbólicas inversas são definidas a seguir:

Tabela de derivadas das Funções Hiperbólicas:

y= senh u

y= cosh u

y= tgh u

y= sech u

y= cossech u

y= cotgh u

Algumas propriedades das funções hiperbólicas:

Cálculo da Derivada de Funções Hiperbólicas

Inversas

Seja: y = arg senh x x = senh y

como cosh2x - senh2 x = 1, podemos escrever

que:

de

onde:

y = arg senh u

y = arg cosh u com u

> 1

cosh2x - senh2 x = 1

1 - tgh2 x = sech2 x

cotgh2 x - 1= cossech2 x

22

A Catenária: As funções hiperbólicas têm grandes aplicações na modelagem de problemas mecânicos que envolvam movimentos vibratórios e onde a

energia mecânica seja gradualmente absorvida pelo meio ambiente. Elas também ocorrem nos casos em que cabos flexíveis e homogêneos sejam suspensos entre dois pontos, como os casos de linhas de transmissão de energia elétrica e cabos telefônicos. A curva formada por estes cabos é denominada catenária (do latim: ‘catena’ = cadeia). Pode-se mostrar utilizando-se princípios da Física que a

equação da catenária é .

23

x

y

4 UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral

IMaterial Auxiliar #04 - Integrais


NOTAR QUE:

O que se estudou até agora foi o Cálculo Diferencial, a partir daqui estaremos estudando o

Cálculo Integral.

[1] O Conceito de Integral Indefinida

[1.1] A Antiderivada Definição: Uma função F é chamada antiderivada de uma função f em um dado intervalo I se F '(x) = f(x) para todo xI. Exemplo: a função F(x) = 5x2 + 4x - 6 é a antiderivada de f(x) = 10x + 4 = F’(x) no intervalo ], +[. No entanto, F(x) não é a única antiderivada possível para f(x) neste intervalo. Note que F(x) = 5x2 + 4x + c, para qualquer valor real de c também satisfaz à condição. Assim, poderíamos ter que: F(x) = 5x2 + 4x –10, F(x) = 5x2 + 4x ou F(x) = 5x2 + 4x + poderiam ser a antiderivada de f(x)= 10x + 4.

TEOREMA: Se F(x) for qualquer antiderivada(*) de f(x) em um intervalo I, então para qualquer constante c a função F(x) + c é também uma antiderivada de f(x) naquele intervalo.

Exercícios: Calcule as antiderivadas das funções abaixo

a) f(x) = F(x) =

b) f(x) = sen x F(x) =

c) f(x) = 6x2 - 4x + 5 F(x) =

d) f(x)= F(x) =

NOTAR QUE: O processo de encontrar antiderivadas é chamado de antidiferenciação ou integração.

[1.2] Integrais - Fórmulas Imediatas e Propriedades

1.

2.

3.

4.

5.

[1.3] Exercícios: Calcule as integrais

a) b)

c) d)

[2] Integração por Substituição (u,du) Como obter a primitiva de f(x) para a seguinte integral:I = ?Note que nenhuma das fórmulas anteriores serviria para calcular a primitiva da f(x). No entanto pode-se utilizar um artifício que permitirá a obtenção do que foi pedido. Podemos fazer uma mudança de variáveis:

seja adotar: 1+x2 = u du = 2x dx, assim teremos:

Tente derivar a primitiva F(x) para obter f(x).

(*) A antiderivada de f(x) é também chamada primitiva de f(x).

24

IMPORTANTE: Resolver: I=


a) b)

c) d)

Respostas:

a) b)

c) d)

[2.2] Exercícios para fazer e conferir: Calcule as integrais através da substituição do tipo "u,du"

a)

b)

c)

[2.3] Exercícios: Calcular as integrais utilizando as substituições indicadas em cada caso:

a) Exercício importanteI= a1) adotando u =

a2) adotando u = x 1b) Exercício importante

I= b1) adotando u =

b2) adotando u = x +1

c) Exercício importante

I= adotando 1 x =

y7

d) I= adotando u =

e) I= adotando u =

f) I= adotando u=

g) I= adotando u =

Respostas: a1) u = u2= x1 x = u2 + 1 dx = 2u du:

I=

a2) u = x 1 du = dx e x = u + 1

=

b1) u2 = x +1 x = u2 1 dx = 2u du b2) u = x + 1 du = dx e x= u-1

I=

c) 1 x = y7 x = 1 y7 dx= -7y6 dy de onde:

I=

d) I=

e) I=

f) I=

g) I=

[3] - Integrais - Formulário (continuação)

6.

25

7.


a) I= b) I =

c) I=

Sugestão: dividir os polinômios e representar o polinômio, de acordo com a fórmula:

P = DQ+R

d) I= e) I=

f) I= g) I=

Respostas:

a) I=

???

b) I= c)

d) I= e) I=

f) I=

h) Observar que: x2 - x + 1 -

Então: I=


8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.


a) I= b) I =

c) I= d) I =

e) I = f) I=

g) I=h)

i) I=

j) I= k) I=

l) I=

Respostas:

a) u = 4x ; I=b) u = ; I =

c ) u =x1/2 ; I=

d) u = 3x2; I=

e) u =4x; I=

f) u = ; I=

g) u = ; I=

i) u =

ou j) ou (confira a resposta)k) u = ln x; I= - cossec ln| x| + c

l) u = e3x; I=

26


18.

19.


a) I= b) I=

c) I= d)

Respostas:

a) I= b) I=

c) I= d) I=

[6] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS (miscelânea)

1) I=

de

onde obtemos I

2) I= u=

3+2

logo: I=

3) I=

logo: I=

4) I=

logo: I=

5) I= u = 5 x du = dx

I=

6) I=

u = x4 + x2 + 2 du=(4x3+2x) dxI=

7) I= u= sen x du = cos x dx

de onde: I=

8) I=

9) I= u= ln x du =

dx

logo: I =

10) I=

u= ln x du = dx

assim: I=

11) I=

[7] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - (Difíceis)

1) I=

= ?

fazendo u = 2x du = 2dx em I1=

I1= ln |sec u|+ c = ln |sec 2x|+ c1

fazendo u = 2x du = 2dx, vem

I2=

Logo: I2

Veja que "c1 + c2" pode ser trocada por "c",

logo: I = ln |sec 2x|+

2) I=

27

I=

I=

I=

I = tg 2x + sec 2x - x + c

3) I=

Fazendo: u = 1 cos 2x du = 2sen 2x dx

I=

4) I=

=

5) I=

Notar que: se u= tg x du = sec2x dx

6) I=

I1=

I2=

Logo: I =

Em caso de dúvida consulte seus colegas!

28

5 UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #05 - Integrais Prof. Aury de Sá Leite - [email protected]

[1] Integrais DefinidasDefinição: A integral definida de f(x), de a até b, é igual à diferença:

onde F(x) é uma antiderivada de f(x).

Nota: O símbolo é lido "a integral

definida de f(x) de a até b" sendo que os números a e b são denominados limites de integração.

[1.1] Exemplo : Calcular o valor das integrais

a) I=

b) I=

c) I=

[1.2] Exercícios: Verificar os resultados

a) b)

c) d)

[2] Cálculo da Área sob uma curvaConsidere o gráfico da função y = f(x),

contínua num intervalo [a,b] como dada a seguir :

Seja calcular a área limitada pelo o eixo dos x e a curva, desde a até b. A região que denominaremos R, cuja área desejamos calcular, é limitada pelas retas: x = a; x = b ( retas verticais) e y = 0 (reta horizontal) e pela curva y = f(x). Método dos Retângulos

Divida o intervalo [a,b] em "n" subintervalos iguais, isto é, cada intervalo deve ter a "medida constante"

.

Para cada um destes subintervalos construa um retângulo cuja altura seja o valor de f(x) em algum ponto do subintervalo (veja a posição das setas na figura anterior);

A união de todos estes retângulos chamaremos Rn que poderemos considerar como uma aproximação da área A da região R.

Assim poderemos definir a área R como sendo:

A = área da região R =

[3] Integral de Riemann

Definição: Dizemos que uma função é Riemann-Integrável ou simplesmente integrável em um intervalo finito e fechado [a,b], se o limite

existir e não depender da escolha da partição (tamanho dos intervalos tomados sobre o eixo dos x) ou dos pontos no subintervalo.

29

[4] Exemplo Importante

Seja calcular as seguintes integrais e analisar os resultados:

(a)

(b) (valor obtido devido à simetria do gráfico)

(c)

Gráfico de (a) Gráfico de (c)

[5] Aplicações de Integrais

[5.1] Cálculo de Áreas planas

Problema 1: [A ser resolvido em sala de aula]

Dada a curva y = x3 6x2 + 8x, ache a área sob o

arco de curva que vai desde a interseção com o eixo

Oy até a primeira interseção com Ox à direita da

origem do sistema cartesiano.

1 2 3 4

-4

-2

2

4

Resposta:

Problema 2: [Resolvido]

Calcule a área entre a curva x2 = 16 - 4y e o eixo Ox. 1o Passo: Esboçar o gráfico.

2o Passo: Montar a integral.

unidade

s de áreaObservar que, devido à simetria da figura

com relação a Oy:

Problema 3: [Resolvido] Calcule a área compreendida pela curva dada pela equação

.A função dada equivale a: cujo gráfico

possui duas regiões simétricas com relação ao eixo Ox, é:

30

A1=

=

Resposta:

Área Total = 2A1= u. de área

Problema 4: [A ser resolvido em sala de aula] Calcular a área entre as curvas (1) y = x e (2) y = 6x-x2.

Esboço do gráfico:

Resposta: unidades de área

Problema 5: [Com resposta] Se uma superfície está delimitada por y = 0 e y = x2 + 3 desde a reta x = 1 até a reta x = 2, qual é a sua área?

-2 -1 1 2 3

4

5

6

7

8

9

Problema 6: Calcule a área limitada pelas curvas

(1) y = 4 x2 e (2) y = 4 4x.

Gráfico:

...

=

Problema 7: Achar a área limitada pelas curvas: x2y = x2 1 e as retas y=1, x=1 e x=4

onde: para x = 1 y = 0; para x = 0 y + e para x + y = 1

31

Resposta: 12 unidades de área

Resposta:

Problema 8: PROBLEMA IMPORTANTE Calcular a área delimitada pelas curvas: (1) y2 = 4x e (2) y = 2x 4 utilizando

(a) retângulos elementares verticais; (b) retângulos elementares horizontais.

Resposta: Área Total = 9 unidades de área

Problema 9: PROBLEMA IMPORTANTE - Resolvido Calcular a área delimitada pelas curvas: (1) y2 = 6x e (2) x2 = 6y utilizando (a) retângulos elementares verticais; (b) retângulos elementares horizontais.

a)

b)

Problema 10: (Para pensar e dicutir com seus colegas)

Calule a área delimitada pelas curvas:y = 0 , y = e y = x6;

a) utilizando retângulos elementares verticaisb) utilizando retângulos elementares

horizontais

Gráfico:

Resposta: Verifique com seus colegas.

[5.2] Cálculo de Volumes por Rotação

Seja y = f(x) contínua e integrável num intervalo [a,b]

A região limitada pelas curvas y = f(x), x = a, x = b e y = 0, ao ser girada em torno do eixo Ox gera uma figura tridimensional denominada sólido de revolução.

32

O volume do cilindro é dado pela fórmula: V = B.h = .r2.h de onde ao adotar-se r = y e h = dx pode-se escrever a diferencial de volume dV como sendo:

onde V representa o volume so sólido gerado pela rotação da curva y= f(x) em torno do eixo Ox.

Problema 11 : [A ser resolvido em sala de aula] Mostre que o volume da esfera é dado pela

fórmula: .

Problema 12 : [A ser resolvido em sala de aula]

Calcule o volume gerado pela rotação da superfície

plana limitada por 9x2 + 16 y2 = 144:

a) em torno de Oy (tem a forma de um pão de

hambúrguer)

b) em torno de Ox (tem a forma de uma bola de

futebol americano)

Notaro seguinte: e

Respostas: a) V= = 64 unidades

de volume

b) V= = 48 unidades de

volume

Problema 13: [Com sugestões e Resposta]

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x=2 da superfície limitada pela parábola y2 = 8x e pela reta x = 2. Solução:

Logo

Problema 14 : [Com sugestões e Resposta]

Calcule o volume do sólido de revolução que se obtém girando a superfície plana limitada pela curva y = 4xx2 e a reta y = 3 ao ser girada em torno da reta y = 3.

33

Estude cada um destes problemas e discuta as resoluções com seus colegas.

34

6 UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #06 - Técnicas de Integração

[1] Integração por Partes

A fórmula da derivada do produto é a seguinte:

que pode ser reescrita sob a forma de diferencial como

d(u.v) = u.dv + v.du u dv = d(u.v) – v du

que ao ser integrada resulta o seguinte:

de onde poderemos tirar a fórmula de integração por partes:

[2] Exercícios a serem feitos em Sala de Aula

Resolva por partes as integrais a seguir:

a) b)

c) d)

Resposta do exercício (d):

I = ½ x sen 2x + ¼ cos 2x+c

[3] Exercícios com resposta:

a)

b) c)

[4] Exercícios Modelo - Resolvidos

Exercício Modelo 1: Calcular I= .

Fazendo u = x e dv = cos x dx du = dx e v = sen x

Temos: I=

=


Fazendo u = lnx e dv = dx du = e v =x

Temos: I=

=


Fazendo u = x2 e dv = ex dx du = 2x dx e v = ex

Temos: I1 =

Fazendo u = x e dv = ex dx du = dx e v = ex

I2 =

Logo: I1 =


Fazendo: u = ex e dv = cos x dx du = ex dx e v = sen x Temos:

I=

Fazendo: u = ex e dv = sen x dx du = ex dx e v = -cos x

I =

Note que a integral a ser calculada é a mesma “I” inicial. Podemos assim, escrever o seguinte:

2 I =


35

I

Resolução:Fazer: u = x2 du = 2x dx e dv = cos x dx v = sen x

I =

Para calcular I1 fazer: u = x du = 2 dx e dv = sen x dx v = -cos x

Logo:

Exercício Modelo 6: [Difícil] Calcular I=.

Fazer : u = ln(1x) du = dx e

dv = dx v = x

I =

Para calcular I1, dividir x por 1-x e indicar a divisão:

Finalmente:

[5] Integração de funções Racionais pelo Método das Frações Parciais

Motivação: Efetuar a seguinte adição de frações algébricas:

Tomar a solução da adição anterior e buscar as frações algébricas (frações parciais) que somadas produzam aquele resultado:

qual o valor de A e

de B?Exercício Modelo Baseado no raciocínio anterior:

[6] Exercício modelo

Resolver a integral: I=

Solução:

fatorando x2 – 4 obtém-se: x2 – 4 = (x–2)(x+2)

Fazendo os cálculos obtém-se: A = 5; B = 4 e C = 3

Logo:

[7] Teoria e Exercícios-Modelo Resolvidos

Há quatro casos a serem considerados: 1o Caso: O denominador é fatorável em

fatores do primeiro grau distintos. 2o Caso: O denominador é fatorável em

fatores do primeiro grau repetidos. 3o Caso: O denominador ao ser fatorado

apresenta fatores quadráticos distintos. 4o Caso: O denominador ao ser fatorado

apresenta fatores quadráticos repetidos.

[7.1.] Exercício Modelo 1 ( 1 o Caso):

Resolver a integral: I =

1 o Passo: Fatorar o denominador- Fazendo x2 + 2x 8 = 0 obtém-se x1 = 4 e x2=2 de onde:x2 + 2x 8 = a.(xx1).(xx3) = 1 . (x+4) . (x2) (fatoração esta que somente contém fatores do primeiro grau não repetidos).2 o Passo : Igualar e comparar

x + 7 = A(x-2) +

B(x+4)

IMPORTANTE: A equação x + 7 = A(x-2) + B(x+4) pode ser facilmente resolvida atribuindo-se ao x os valores das raízes ( 2 e –4) do polinômio encontrado no denominador:

x = 2 9 = 6B e x = 4 3 = 6A

36

Logo: I =

[7.2.] Exercício Modelo 2 (2 o Caso):

Resolver a integral: I =

Veja que a fatoração: x3 – 2x2 = x2 (x-2) contém o fator x2 que eqüivale a “x.x.” que são fatores do primeiro grau repetidos, assim teremos:

de onde:

e: [1]Fazendo em [1]: x = 0 B = 2; x =2 C = 2De [1] pode-se tirar ainda, que : A + C = 0 A = C = 2Logo: I =

[8] Exercícios propostos com respostas:

[8.1] Escrever as expressões sob a forma de frações parciais:

a) Resposta: A = 3 e B = 4

b) Resposta: A = 1 e B = 4

c)

Confira com seus colegas os valores de A, B, C e D

[8.2] Resolver as integrais:

a) I=

onde: A = 3; B = 2; C = 1; D = -1.

Resposta: I=

b) I= Sugestão: A = ¼ ; B = ¼; C=

½

Resposta: I = ¼ ln(x+1) – ¼ ln(x-1) + ½ + c

[9] 3o e 4o casos: fatores quadráticos no denominador

a) I= Sugestões:

então: , de onde:

e A = 1; B = 1 e C = -1.

Usar a seguinte Fórmula:

Resposta: I=

b) I= Sugestões:

então:

de onde: A = 1; B = 1; C = ; D = 1 e E=0.Resposta: I=

[10] Integração por Substituição Trigonométrica

Em algumas integrais certas expressões sob

radicais podem ser substituídas por expressões

trigonométricas que acabam por facilitar a

integração.

Será mostrado em aula um esquema que facilita a dedução para as três substituições possíveis, utilizando:

(1o) sen = (2o) tg = (3o) sec =

37

(1o caso)

(2o Caso)

(3o Caso)

[11] Exercícios Modelo

a) Calcule

Substituição do tipo com: a = 2; b = 1 e u = x

x = 2 tg de onde dx = 2 sec2 d

I =

Fazendo: u = sen du = cos d vem:

I =

Da figura: sen = , então: I = +c

b) Calcule

Substituição do tipo com a = 2; b = 1 e u = x

x = 2 sen de onde dx = 2 cos d

I = =

mas pela figura: cot = ,

então:

I =

c) Calcule

Substituição do tipo com a = 3; b = 1 e u = x

x = 3 sec de onde dx = 3 sec tg

d

I = =

38

sec =

de onde: cos =

u =

du =

tg =u =du = d

sen =u =du = d

Da figura podemos tirar que: tg = e =arc

sec

A partir do que, pode-se escrever finalmente, que:

I =

[12] Integrais Impróprias

Denomina-se integral imprópria àquela cujo intervalo de integração é infinito ou que possua assíntotas verticais no extremo ou contida no intervalo de integração. Veja os exemplos a seguir:

(1) Integral imprópria com intervalo infinito de integração:

(2) Integral imprópria com descontinuidade infinita num dos extremos do intervalo de integração:

(3) Integral imprópria com alguma descontinuidade infinita contida no intervalo de integração

de onde, calculando-se I1 e I2 teremos o seguinte:

O que vai nos dar como solução:

Exercícios: Resolver as integrais

a) b)

Observação Importante Vamos analisar as seguintes integrais impróprias:

vê-se que a primeira integral é divergente, sendo que as outras duas são convergentes.

Podemos comparar as integrais impróprias acima e os respectivos gráficos dados na figura abaixo.

39

Apesar dos gráficos serem muito semelhantes, a área sob eles, desde 1 até +, para um é igual a ½, enquanto para o outro é igual a 1 e, finalmente, uma das áreas calculadas tende a infinito. O seguinte teorema formaliza este fato:

Teorema:

[13] Miscelânea de Exercícios Verifique o tipo de método a ser utilizado em cada uma das seguintes integrais, resolva-a e compare o resultado obtido com a resposta dada.

1) Calcular a integral I =










11) Mostre que a integral I = vale .

12) Mostre que a integral I =

vale .

13) Calcule a integral I =

14) Calcule a integral I =

15) Deduzir as fórmulas de substituição trigonométrica e fazer a substituição em:

I1= ; I2= ; I3=

Só consulte as sugestões após tentar resolver os exercícios e tirar as dúvidas com

seus colegas

[13.1] Sugestões e Respostas

1) Adotar u = 5x- 2; I =

2) Adotar u = x3 ; I =

3) Adotar u = x2 – 5; I =

4) Adotar u = ; I =

5) ; u = cos x;

I =

6) Adotar u = 1 4x2 ; I =

7) Fazer u = x2; I =

8) Fazer u = x4 + 2; I =

9) Fazer u = cos 3x du = 1/3 sen x dx ; dv = cos3x dx v = 1/3 sem 3x

I =

Lembrar que:

e

10) Fazer u = du = 1/x dx e dv = dx v = x de onde I =

11) Passagem intermediária: I= x12) Passagem intermediária:

40

I= x note que a última integral é igual à integral originalmente propostas, ou seja I =

. 13) O numerador é um polinômio de grau maior

que o polinômio do denominador, então, dividir o numerador pelo denominador , de onde:

I=

Resposta: I =

14) I= =

15) Discutir ou conferir com seus colegas

41

UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #07 - Traçado de Gráfico da Função x2 + y2 + z2 = 9


ESTUDO DIRIGIDO

Exercício Modelo 1: Analisar a equação: x2 + y2 + z2 = 9 geometricamente e analiticamente. Plotar o gráfico e marcar os pontos notáveis. Dar as curvas de nível para z { 0, 1, 2, 3}.

Curvas de Nível: Gráficos de z = + e de z = -

UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral I

42

7

8

Material Auxiliar #08 - Gráficos úteisProf. Aury de Sá Leite – [email protected]

I.- Esboçar, no primeiro octante, os seguintes gráficos do R3

(1a) y = 2, x, y R (1b) x=2, y, z R

(2) x2 + y2 = 25, z R (3) x + y = 2, zR

II.- Esboçar os seguintes gráficos no R3 a partir dos gráficos no R2

(1) x2 - y2 = 1, z R (2) , zR


43

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

9

y

x

y

x

Material Auxiliar #09 – Superfícies QuádricasProf. Aury de Sá Leite - [email protected]

Pré-requisitos:

(1o ) x2 - y2 = 1 no R2 (hipérbole) (2o ) x2 - y2 = 0 no R2 (hipérbole degenerada) x2 - y2 = 0 y2 = x2 y = y = x

EXERCÍCIOS: Analisar os gráficos a partir das equações dadas

(1) Elipsóide:

(2) Cone circular (a =b) ou elíptico (a b)

(3) Hiperbolóide de uma folha:

(4) Hiperbolóide de duas folhas:

(5) Parabolóide elíptico:

(6) Parabolóide hiperbólico:

44

y = -x

y = x

-1 1

10

UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #10 – Derivadas Parciais


Calcule analiticamente as derivadas parciais (fx = e fy = ) das seguintes funções z=f(x,y)

Função Derivadas

a) z = x3y + xy2 +2xy – 5y + 6x + 7 ;

b) z= ;

c) f(x,y) = fx = ; fy =

d) z = senx . cos 7x zx = cosx .cos 7x ; zy = -7sen7y .senx

e) f(x,y) = x2 sen5y fx = 2x seny ; fy = 5x2cos5y

f) z= x.seny – y.ln x fx = = sen y - ; fy = = xcosy – ln x

g) z = fx = ; fy =

h) f(x,y) = fx = ; fy =

i) f(x,y) = x2.y.cos5x fx = 2xy cos 5x-5x2y sen5x; fy = x2 cos5x

j) z= x2 . sen(xy) zx = 2x senxy + x2 cos(xy); zy = x3 cos(xy)

k) z= ln(x2y3) senx cosy fx = ; fy= ...

Questões de Prova- Calcule as derivadas parciais fx e fy para as funções

a) z= f(x,y) = 5xy – 4x2 + 5y2 – x2y3

b) z= f(x,y) =

c) z= f(x,y) =

d) z= f(x,y) =ln(ysenx + xcosy)

45



Material Auxiliar #11 – Regra da Cadeia para z = f(x,y)Prof. Aury de Sá Leite – [email protected]

Estude os ítens de [1] a [3] detalhadamente, em grupo com seus colegas.

[1] Pré-requisito:

Regra da cadeia para y=f(x), uma função real de uma variável real:

[2] Exemplo 1: Para calcular para y = (2x3 - 5x2 + 4)5 vamos tomar y = u5, ou seja, vamos fazer

(2x3 - 5x2 + 4) = u. Assim: = 5.u4 = 5. (2x3 - 5x2 + 4)4.(6x2- 10x).

[3] Exemplo 2: Dado f(x) = (3x2 + 2)2.(x2 - 5x)3 vamos calcular f ’(x) usando a regra da cadeia.

Fazendo (3x2 + 2)2 = g(x) com (3x2 + 2) = u e (x2 - 5x)3 = h(x) com v = (x2 - 5x) de onde teremos agora: f(x) = g(x) . h(x);

Assim: f ’(x) = g’(x) . h(x) + h’(x) . g(x) = .h(x) + . g(x) =

= 2.(3x2 + 2). .h(x)+ 3. (x2 - 5x)2. . g(x) = 2.(3x2 + 2).6x .h(x) + 3. (x2 - 5x)2.(2x-5).g(x)

de onde finalmente: f ’(x) = (6x2 + 4). 6x . (x2 - 5x)3 + 3. (x2 - 5x)2.(2x- 5). (3x2 + 2)2

Se você compreendeu os itens anteriores, passe para o item [4] e seguintes

[4] Sendo z = f(x,y) = x2 + y2 + xy com x = ln r e y = , desejamos calcular zr = e zs= .

Poderemos utilizar dois métodos distintos para calcular estas derivadas parciais:

[4.1.] substituindo os valores de x e y em z e derivando parcialmente com relação a r e a s:

z = (ln r)2 + + ln r . Calculando as derivadas ( confira as suas respostas no final do estudo dirigido! ) obtemos:

zr = =

zs= =

[4.2] No entanto, poderíamos calcular estas derivadas utilizando as fórmulas da regra da cadeia para funções reais de duas variáveis reais, que serão mostradas a seguir.

[4.3] Regra da cadeia para z = f(x,y), uma função real de duas variáveis reais: Teorema: Se u for uma função diferenciável de x e y, definida por u= f(x,y), onde x= F(r,s) e

y = G(r,s) e, se , , e existirem, então u será uma função de r e s, e

e

46

11


[4.4] Sendo u = f(x,y) = x2 + y2 + xy com x = ln r e y = , desejamos calcular ur = e us=

utilizando a regra da cadeia para funções reais de duas variáveis reais.Cálculos Iniciais:

= =

= =

= =

Substitua na fórmula e confira as respostas no final do Estudo Dirigido:

ur = = us = =

Teste seu conhecimento sobre a Regra da Cadeia resolvendo os exercícios e conferindo as suas respostas:

[5] Exercício 1: Dado u = com x = res e y = re-s calcule ur e us , (a) por substituição de x e y diretamente em u e (b) utilizando a regra da cadeia.[6] Exercício 2: Escreva a regra da cadeia para uma função real u=f(x,y,z).[7] Exercício 3: Dado u = xy +xz + yz com x = r; y = r.cos t e z = r.sen t calcule ur e ut.

Só confira as respostas depois de resolver o exercícios.

Respostas [4.1.] e [4.4.]: zr= ur = zs = ur = =

Respostas [5]: ; ; ; ; ; de onde, depois de

simplificado obtém-se: ur = e us = .

Resposta [6]: ;

Resposta [7]: ur = 2r(cos t + sen t) + r sen 2t ; ut = r2(cos t – sen t) + r2 cos 2t Observar que: sen 2t = 2 sen t cos t e que cos 2t = cos2 t – sen2 t.

47

UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #12 – Multiplicadores de Lagrange


Multiplicadores de Lagrange Curvas de Nível da função: f(x,y) = z = x.y e do traço sobre o plano xOy da restrição: g(x,y) = x2 + y2 – 8 = 0

48

2

2

y = 1/xy = -1/xy = 2/xy = -2/xy = 3/xy = -3/xy = 4/xy = -4/x

y=1/xy=-1/xy=2/xy=-2/xy=3/xy=-3/xy=4/xy=-4/x

12

UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #13 – Coordenadas Polares


1) Dada a equação da elipse 4x2 + y2 =16 em coordenadas cartesianas, encontrar a equação a ela correspondente em coordenadas polares.

Ajuda: basta substituir x por r e y por r .

Solução:

2) Os gráficos seguintes estão em coordenadas polares: identifique-os, sabendo que eles são (a) r = sen 3; (b) r =2; (c) r = sen 5 e (d) r = cos 3.

a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d ( )

49

4x2 + y2 =16 (Coordenadas Cartesianas para Polar) 4.r2.cos2 + r2.sen2=16 3.r2.cos2 + r2.cos2 + r2.sen2=16 3.r2.cos2 + r2=16 r2 (3.cos2 + 1)=16 r2=16/ (3.cos2 + 1) r = 4/ (3.cos2 + 1)1/2 onde

Gráfico

13

14 UNESP/Guaratinguetá - Cálculo Diferencial e Integral I

Material Auxiliar #14 - Seqüências e SériesProf. Aury de Sá Leite - [email protected]

1.- SEQÜÊNCIAS OU SUCESSÕES

1.1.- Definição: Chamamos seqüência numérica infinita ou simplesmente seqüência, à seguinte função: f : N* R tal que, para nN*, ocorre f(n)

= an

onde: N = Conjunto dos Números Naturais = {0,1,2,3,4,...} N* = Conjunto dos Números Naturais sem o zero R = Conjunto dos Números Reais an é um termo da seqüência; an R, nN*.

Exemplos:

1o) Os números naturais primos formam um seqüência para a qual, até hoje, não se conhece uma lei de formação: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,...}.

2o) A sequencia de Fibonacci dada por: {1,1,2,3,5,8,13,...} tem a seguinte lei de formação: cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos anteriores, isto é: f(1) = 1, f(2) = 1 e f(n)= f(n1) + f(n2) para n 3. A seqüência de Fibonacci (século XIII) envolvia cálculos sobre a reprodução de coelhos.

3o) f(n) = 1/n será obtida fazendo-se n =1,2,3,4,.., ou seja:

f (1)= 1; f (2)= ; f (3)= ; f (4)= etc,

que poderá ser escrita ainda como:

{ } = {1, , , , ... , , ... }

onde é o chamado termo geral da

seqüência.

Notas: Toda seqüência que possua uma lei de

formação poderá ser indicada pelo termo geral an sendo notada como { an } = { an }

se infinita, ou { an } , se finita,

sendo j N*, j > 1. Toda seqüência (por ser uma função de N*

sobre R) pode ser representada sob a forma de pontos isolados no plano cartesiano.

1.2.- Definição: Uma seqüência {an} é superiormente limitada quando existir um número M tal que an M para todo n 1 e é inferiormente limitada quando existir um número m tal que an m para todo n 1. Uma seqüência é limitada se, e somente se for limitada superiormente e inferiormente.

Exercícios: Mostre que {(-1)n} é limitada,

mas as seqüências {2n} e {[(-1)2]n}

não são. 1.3.-Exercícios Gerais : 1) Determine o termo geral de: 4,2,0,-2,-4,-

6,...2) Complete com pelo menos mais três termos

a seguinte seqüência: 1,4,9,16, 25,... ; dê o termo geral escreva a seqüência sob a notação de chaves.

3) Escreva os cinco primeiros termos das

seguintes seqüências f(n) = e

g(n) = , calculando para cada

uma delas o 10o termo.4) Desenhar os gráficos cartesianos e verificar

se elas são, ou não, limitadas:

a) { } b) {3n 2}

c) {(-1)n[n+(-1)n]}

50

1.4.- SEQÜÊNCIAS MONOTÔNICAS (ou Monótonas)Definição: Se nN*, tem-se que:

(a) an < an+1 { an } é absolutamente

crescente

(b) an > an+1 { an } é absolutamente

decrescente

(c) an an+1 { an } é crescente

(d) an an+1, { an } é decrescente

As seqüências são ditas monotônicas ou monótonas quando forem absolutamente crescente ou crescentes e absolutamente decrescentes ou decrescentes.

1.5.- Definição: Uma seqüência { an } tem o

limite L, isto é ou an L quando n

, se para cada > 0 existir um

correpondente inteiro N, tal que, |an – L| <

sempre que n > N.

Se existe dizemos que a

seqüência converge, caso contrário dizemos

que diverge.

Exercícios Mostre que {(-1)n} é

divergente; { } é convergente; {2n}

é divergente.

1.6.- Alguns Teoremas Importantes sobre Seqüências:

2.- SÉRIES INFINITAS

2.1.- Definição: Dada uma seqüência infinita {an }, à soma indicada de seus termos: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... denominaremos série infinita ou simplesmente série, que será denotada

como: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... =

(ler: “somatório ou somatória de an com n variando de 1 até ”).

IMPORTANTE: Para k finito, kN*:

Sk=

é denominada soma parcial de ordem k da série.

2.2.- Exemplos notáveis de série:

1o ) =

2o) Certas frações têm a sua representação decimal sob a forma de dízima periódica (uma decimal periódica infinita), como exemplo disto podemos citar:

a partir do que se pode escrever:

2.3.- CONVERGÊNCIA DE SÉRIES Para determinar se uma série é ou não convergente podemos considerar a seqüência de somas parciais:

S1 =a1

51

S2 =a1 + a2

S3 =a1 + a2 + a3

S4 =a1 + a2 + a3 + a4 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an =

estas somas parciais formam uma nova seqüência { Sn } que pode ou não ter limite.

Se o existir e for um número

real, então diremos que a série é

convergente, caso contrário a série é dita divergente.

2.3.1.- EXERCÍCIOS MODELO

Exercício1: converge?

(1o) Calculemos os termos da série:

a1= ; a2= ; a3 = ; a4= ; ...; ;...

onde é o termo geral da sequencia

(2o) Calculemos as somas parciais:

S1 =

S2 = + =

S3 = + + =

(3o ) Verifiquemos a fórmula do termo geral para esta seqüência de somas parciais:

{Sn } = { , , , ..., , ...}

(4o) assim, a

soma desta série converge para 1, S1, ou seja:

1 ou ainda = 1.

Note que: o limite do termo geral da seqüência dada

tende a zero: .

Exercício 2: + + +...+ , ... converge?

S1 = = 0,666... ; S2 = + = + = =

0,9333...;

S3 = + + =

1,1048; as somas parciais tendem a crescer, logo a série DIVERGE.

2.3.2.- Teste da Divergência (IMPORTANTÍSSIMO)

Observe que o limite do termo geral da seqüência apresentada a seguir é diferente de zero:

,

o que indica que a soma da série também divergirá. Vejamos o teorema seguinte:

2.3.3.- Série Harmônica – Uma série Divergente?

A série tem , mas não é convergente. Esta série é denominada série harmônica porquê está relacionada com a vibração de uma corda musical. Podemos escrever esta série como sendo:

onde as somas dos termos contidos em cada um dos parêntesis resulta um número maior que ½, logo:

o que indica que a série

diverge.

3.- SÉRIES GEOMÉTRICAS

Uma série geométrica será dada por:

= a + aq + aq2 + aq3 + ... + aqn + ... com

a 0, sendo q um número real, denominado razão da série.

3.1.- Exemplos:

(1) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = (a = 1 e q = 2)

52

> ½ > ½ > ½

(2) 1 1 + 1 1 + 1 1 + ... = (a = 1 e q =

1)

(3) (a = e q =

)

(4) 1+ (a = 1, q = )

Exercícios: Nos exemplos anteriores (vide item 3.1), apenas as séries (3) e (4) são convergentes. Mostre isto e calcule a soma das mesmas. Mostre que a série 1, 1, 1, 1,... é geométrica e diverge.

4.- TEOREMAS SOBRE OPERAÇÕES COM SÉRIES

5.- CRITÉRIO OU TESTES DE CONVERGÊNCIA Para Séries com Termos Positivos

5.1.- Teste da Integral

Exercícios: Utilize o teste da integral para verificar se convergem ou divergem as séries:

(a) ; (b) .

Solução:

(a)

,

logo a série diverge.

(b)

logo a série converge.

5.2.- Teste da Comparação

53

5.3.-Teste da Comparação de Limites

5.4.- Teste da Razão

5.5.- Teste da Raiz

6.- COMO ESCOLHER O TESTE CONVENIENTE:

A escolha de um determinado testes de convergência para séries depende do “tipo” da série a ser analisada. Há casos em que um teste é não conclusivo (“a série pode ser convergente ou divergente”) indicando que se deve tentar um outro tipo de teste de convergência que permita tirar uma conclusão definitiva.

SÉRIE DE EXERCÍCIOS MODELO RESOLVIDOS:6.1.- Verificar a convergência das seguintes séries:

1) usando o teste da

comparação.

2) usando o teste da comparação dos

limites.

3) usando o teste da razão.

4) usando o teste da razão (e o da

integral).

5) usando o teste da raiz.

SOLUÇÕES

1) Veja que como é

uma série-p ou série hiper-hamônica que com p = 2 > 1, converge, então

converge.

2) Sejam as séries com termos gerais

e (uma série notoriamente

convergente), usando o teste de comparação dos limites temos:

de onde se pode tirar que: “as duas séries divergem ou as duas séries convergem”, mas como se pode mostrar pelo teste da integral

que a série converge, temos que a série

também converge.

54

3) Seja tomar: = , isto é:

.

Pelo teste da razão a série converge.


sendo que

nada se pode afirmar. Aplicando o teste da integral, temos:

o que nos permite afirmar que a série diverge.

NOTA: Os testes da comparação e da comparação dos limites também serviriam aqui para mostra a

divergência desta série.


=

.

Isto mostra que a série dada diverge.

EXERCÍCIOS PARA CONFERIR AS SOLUÇÕES6.2.- Verificar a convergência das seguintes séries:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Para adotar o Critério da

Comparação.

Veja que como é uma série-

p ou série hiper-hamônica com p = 2 > 1 ela converge, então

converge.

2) Para adotar o Critério da Razão.

Seja: assim sendo:

= > 1 a série dada

diverge.


Raiz.

= ,

como < 1 a série dada converge.

4) Para adotar o Critério da Razão.

Seja tomar: = , isto é:

=

.

2,7182818... é o limite

fundamental que resulta no número de Eüler. Como = e > 1 a série dada diverge.

5) Para vamos utilizar o Critério da

Razão.

= o que indica que a série

diverge.


Comparação.

55

e é

uma série geométrica de razão cujo

primeiro termo é com Sn =

o que mostra que a série

converge, logo a série

também converge.

7.- SÉRIES ALTERNADAS Definição: As séries alternadas têm uma das seguintes formas: a1 a2 + a3 a4 + ... =

ou

a1 + a2 a3 + a4 ... =

onde todos os ai são positivos. 7.1- Teste de Convergência para Séries Alternadas

Exemplo: A série harmônica

não é convergente,

mas converge. Veja ainda

como outro exemplo o exercício (2) a seguir.

Exercícios: Verificar a convergência de

1) 2)

3) 4)

Soluções:

1) Termo geral: k = n

(i) FALHA! (Ex.:

)

(ii) -

FALHA! Logo, a série não converge.

2) Termo Geral :

(i)

(ii) Logo a série

converge.

(3) e (4) São séries convergentes. Verifique.

8. - CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

8.1.- Definição: Uma série = a1+ a2+

a3+ ... + an+ ... é absolutamente convergente se

a série de valores absolutos, = |a1 |+ |a2|+

|a3| + ... + |an| + ... converge. 8.2.- Teorema:

Se é absolutamente convergente

converge. Note que: a recíproca deste teorema não é

verdadeira. Uma série que converge, mas não é absolutamente convergente é chamada

condicionalmente convergente.

8.3. - Teste da Razão para a Convergência Absoluta

8.4.- Exercícios: Verificar a convergência absoluta de

(a) (b)

56

(a) = . A série é

absolutamente convergente e, portanto, convergente.

(b) =

a série dada é divergente.

57

15_______________________________________________________________________________________________


Material Auxiliar #15 – Séries de Funções e Séries de PotênciaProf. Aury de Sá Leite - [email protected]

1.- Seqüências e séries de funções 1.1.- Introdução - Assim como existem as seqüências e as séries numéricas, existem aquelas que são denominadas seqüências de funções e séries de funções.

1.2.- Exemplos:

A seqüência numérica { }= {1, , , , ...

, , ... } pode ser escrita sob a forma de série:

.

Nada nos impede de estender este conceito às seqüências de funções, como por exemplo: { } = { , , ,..., ,... } cuja série correspondente seria

.

2.- SÉRIE DE POTÊNCIAS

2.1- Definição: Se c0, c1, c2,... são constantes e a uma variável real, então a série

é denominada série de potências em x a. Quando a = 0 então a série se transforma numa

série de potências em x:

.

Na figura abaixo: r é o raio de convergência e a é o centro do intervalo I = ]a r, a + r[ :

2.2.- Determinação do Intervalo de Convergência

O raio de convergência de

pode ser calculado através do Critério da Convergência Absoluta:

2.2.1.- Exercícios-Modelo: Qual é o intervalo de convergência para as séries:

a) b)

c) d) Soluções: a) Vamos aplicar o teste da razão para convergência

absoluta

Pelo teste da razão para convergência absoluta a série converge para |x| < 1 (isto é: 1< x < 1) e diverge se |x|> 1. Resta-nos saber o que ocorre quando x = 1 e x = 1.

Para x = 1: é a série harmônica, diverge.Para x = 1 : , 1n+, é convergente; é alternada e o limite do termo geral quando n tende a infinito é zero (veja item 7.1. da apostila #16).

Resposta:A série dada converge no intervalo: [-1,1[.

b) Vamos aplicar o teste da razão para convergência

absoluta

de onde: a série será absolutamente convergente se |x 2| < 1, isto é:

58

_______________________________________________________________________________________________

1 < x 2 < 1 1 < x < 3.

Temos ainda que verificar se a série é ou não convergente nas extremidades do intervalo, isto é, quando x = 1 e quando x = 3:

x=1 e

;

x = 3 e o que mostra que em ambos os extremos a série não converge.

Resposta :O intervalo de convergência é ]1, 3[

c)

A série será absolutamente convergente se |x| < 1, isto é, se –1 < x < 1. Mas temos ainda que verificar se a série é ou não convergente nas extremidades do intervalo, isto é, quando x = -1 e quando x = 1:

x=1 e como , pelo

teste da comparação, como é convergente, a série dada será convergente quando x = 1;

x= 3 é absolutamente convergente

porque é convergente.

Resposta: O intervalo de convergência é [-1, 1] :

d)

= =

a convergência

absoluta se dá para = r <1 de acordo com o teste da razão. Assim, a série converge absolutamente para |x5| < 1, ou seja, converge absolutamente no intervalo –1 < x5 < 1 ou ainda. para: 4 < x < 6, sendo que a série divergirá para x < 4 e x > 6. O centro do intervalo de convergência será a = 5 e o raio de convergência da série será r = 1.

Resta saber o que acontece nos extremos deste intervalo em termos de convergência. Para determinar o comportamento da convergência nos pontos extremos do intervalo devemos fazer x = 4 e x = 6 na série dada: para x = 4:

é uma série-p que é convergente pois p = 2.

para x = 6: é uma série que converge absolutamente.

Resposta: a série é convergente em I = [4,6].

3.- FÓRMULA DE TAYLOR-MCLAURIN

Vamos partir da suposição que uma função f = f(x) possa ser escrita sob a forma de uma série (somatório) de potências, isto é:

f = f(x) = com a r < x < a + r,

onde c e a são constantes reais e r é denominado raio de convergência da série.

3.1.- Teorema: (veja a prova deste Teorema a seguir)

59

_______________________________________________________________________________________________

Se f é uma função tal que f = f(x) =

para todo x em um intervalo

aberto que contenha a, então:

+

que poderia ser escrita:

, que será

verdadeira em um ponto x se, e somente se,

.

Observação: a fórmula acima, uma série de

potências, é denominada série de Taylor e o

termo Rn(x) é denominado resto de Lagrange.

O resto de Lagrange permite exprimir o

resíduo ou resto após o n-ésimo termo da

série.

3.2.- Teorema da Estimativa do Resto:

3.3.- Um Corolário do Teorema deTaylor - O Teorema de Mclaurin:

Se f(x) = para todo -r < x < r

então f(x) pode ser escrita como sendo:

(que é denominada série de Mclaurin). A prova deste corolário (conseqüência) é baseada na prova do Teorema anterior, bastando fazer na fórmula obtida naquele(Fórmula de Taylor) teorema: a = 0.

3.4.- Exercícios Importantes: 3) Determinar as série de Mclaurin para:

(a) ex = (b) sen x = (c) cos x =

(d) ln x = para 0 < x 2 (e)

para |x| <1

Respostas

(f) ex = , x]-,

+[(g) sen x =

,

x ]-,+[(h) cos x =

,

x]-,+[

(i) ln x =

, que converge para ln x quando

0<x2.

(j) , para |x| <1

4) Determinar a série de Taylor para a função sen x fazendo com que o "a" assuma o valor /6, isto é, calcular o valor de sen x no entorno (vizinhança) de /6.

Resposta:

4.- DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIE DE POTÊNCIA4.1.- As séries de Taylor e de Mclaurin podem ser diferenciadas e integradas. Veja os exemplos a seguir: [1] Seja derivar a série

, cujo raio de

convergência é dado por - <x<+:

=

60

_______________________________________________________________________________________________

[2] Seja integrar a série

, cujo raio de

convergência é dado por -<x<+:

=

Observação: A convergência em um ou em ambos os pontos extremos do intervalo de convergência de uma série de potências pode ser perdida no processo de diferenciação. Veja o exemplo a seguir. Veja: Podemos mostrar, utilizando o teste da

razão que a série f(x)= converge para 1

x <1 enquanto que a sua derivada f ’(x)=

é uma série geométrica que converge

somente para –1< x <1.

Exercícios-Modelo1) Mostre que a derivada da série cos x

resulta na série: –sen x.

2) Obtenha a série de potência que

represente a função dada por: .

Solução do exercício 2: Sabe-se que

, para |x| <1

veja exercício (1-e) do item 3.4 na página anterior.

Derivando-se ambos os membros da igualdade obtém-se:

,para |x| <1.

Exercícios:

1) Expressar como uma série de

potências.

2) Calcule com um erro inferior a 10-3.

Soluções: 1) A série seno é dada por:

, com -<x<+.

Substituindo-se x por x2 nesta série, obteremos:

, que continua a

convergir no intervalo - < x < +. Vamos agora calcular a sua integral::

61

_______________________________________________________________________________________________

= com -

< x < +.

2) Utilizando os cálculos efetuados acima

Por tentativas iremos verificar que o termo

o que satisfaz a

condição de que o erro cometido nos cálculos seja menor que 10-3.Logo:

com um erro da ordem de 10-3.

5.- MULTIPLICAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS

As séries como:

que são obtidas multiplicando-se ou dividindo-se séries de Mclaurin por potência

de x, bem como as séries obtidas por diferenciação e integração a partir de séries de potências conhecidas, são elas também séries de Mclaurin das funções que elas passem a representar. Se as séries de Mclaurin forem adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas entre si elas se comportarão como polinômios. Veja os exemplos:

[1] f(x) = ex . sen x

[2] f(x) = tg x :

5.1.- Cálculo de Integrais por meio de Séries:

Existem integrais que, por não possuírem regras ou fórmulas práticas de integração, devem ter seus integrandos desenvolvidos em série de potência (um polinômio) para então serem integrados.

Veja alguns exemplos destes tipos de integral:

que é integrável para |x| < 1, logo:

com |x|<1

62

apostila completa de cálculo diferencial e integral i

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