cálculo diferencial e integral ii - páginas...

NOTAS DE AULA

Cálculo Diferencial e Integral II

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

- UTFPR -

Professores: Lauro César Galvão

Luiz Fernando Nunes

Cálculo II – (Lauro / Nunes)

Lauro / Nunes

ii

Índice 1 Integrais Impróprias ................................................................................ 1-1

2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais ........................................ 2-14

3 Integrais Eulerianas .............................................................................. 3-29

4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais .................. 4-37

5 Funções em Espaços n-Dimensionais................................................... 5-42

6 Derivadas .............................................................................................. 6-48

7 Integrais Duplas e Triplas ..................................................................... 7-70

Cálculo II Integrais Impróprias

Lauro / Nunes

1-1

1 Integrais Impróprias

1. Calcular .

Resolução:

b

cb x

dx21

lim b

bx

0

arctanlim

0arctanarctanlim

bb

02

2

Resposta: 2

2. Calcular

21 x

dx.

Resolução:

21 x

dx

0

21 x

dx

0 21 x

dx 1I 2I

1I

0

21 x

dx

0

21lim

x

dx

0

arctanlim

x

arctan0arctanlim

20

1I 2

2I

0 21 x

dx

2

, do exemplo 1

0 21 x

dx

0 21 x

dx


Lauro / Nunes

1-2

21 x

dx 1I 2I

2

2

Resposta:

3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes:

a)

dxx e b)

r

rrdxxlim

a)

Resolução:

Primeiramente vamos calcular a integral

dxx .

Conforme foi definido,

dxx =

0dxx

0dxx =

0lim dxx +

0lim dxx =

02

2lim

x+

0

2

2lim

x

=

22

0lim

22

+

2

0

2lim

22

=

2lim

2

+

2lim

2

Como nenhum destes limites existe, então a referida integral

dxx diverge.

Resposta: diverge

b)

Resolução:

r

rrdxxlim =

r

rr

x

2lim

2

=

22lim

22 rr

r= 0lim

r=0 (converge).

Resposta: 0

Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para

definir a integral imprópria em (a).

4. Discutir os valores de para os quais a integral

1 x

dx converge ou diverge.

Resolução:

Para 1: b

x

dx

1

b

x1

1

1

1

1

1

1 1

b .

Tem-se, então:

1 x

dx 1

1

1lim 1

b

b

Assim:

Se 1

1 x

dx 1

1

1lim 1

b

b

1

1

(CONVERGE).

Se 1

1 x

dx 1

1

1lim 1

b

b (DIVERGE).

Se 1

1 x

dx

b

b x

dx

1lim

b

bx

1

lnlim

1lnlnlim

bb

0 (DIVERGE).

Resposta:


Lauro / Nunes

1-3

5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste

capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de

uma lata de tinta de volume finito, isto é:

1 x

dx= e que

1 2x

dx.

Resolução:

?

1 x

dx Esta integral é um caso particular do exemplo anterior, onde 1 , logo a

integral imprópria diverge, assim,

1 x

dx=.

?

1 2x

dx Novamente temos um caso particular do exemplo anterior, onde 2 ,

assim,

1 2x

dx

1 2x

dx

12

1

= 1 .

Resposta: e , respectivamente.

6. Estudar a convergência da integral

1 2 1 )(xex

dx.

Resolução:

Para x 1 )(

xex 1

12

2

1

x.

A integral

1 2x

dx

b

b x1

1lim

0 (1) 1 converge.

Tem-se então que

1 2 1 )(xex

dx também CONVERGE.

Resposta: CONVERGE

Teorema

Se, x a , 0 )(x )(xf e se

adxx)( diverge, então

adxxf )( também

diverge.

Exemplo


1 3

1dx

x

x )(.

Resolução:

Verifica-se que 3

1

x

x

3x

x

x

1

A integral

1 x

dx

b

bx

1

2lim

22lim

bb

diverge.

Tem-se então que

1 3

1dx

x

x )( também DIVERGE.

Resposta: DIVERGE


Lauro / Nunes

1-4


1 3

sindx

x

x.

Resolução:

A função a ser integrada é de sinal variável. Então 3

sin

x

x

3

1

x, pois 1sin x .

Para 1x 3

1

x

3

1

x.

A integral

1 3x

dx

b

b x 122

1lim

0

2

1

2

1 converge.

Temos que

1 3

sindx

x

x também converge.

Logo,

1 3

sindx

x

x CONVERGE.

Resposta: CONVERGE

9. Calcular 2

0 3x

dx.

Resolução:

2

0 3x

dx

2

30

limaa x

dx

2

20

1lim

2

1

aa x

aa

1

4

1lim

2

1

0

4

1

2

1

8

1

A integral DIVERGE.

Resposta: DIVERGE


Lauro / Nunes

1-5

10.

1

0 21 x

xdx.

Resolução:

Seja

1

0 21 x

xdx I u 1 2x x 0 u 1; x 1 u 0

du xdx2 xdx 2

du

A função é descontínua para x 1 ou u 0

I

b

b x

xdx

0 21 1lim

b

b

duu

10 2lim 2

1

b

b

u

1210

21

2

1lim

0 ( 1 ) 1

Resposta: 1

11. Calcular

2

0 21)(x

dx.


Lauro / Nunes

1-6

Resolução:

Seja

2

0 21)(x

dx I

I

1

0 20 )1(lim

x

dx

2

1 20 )1(lim

x

dx

Lembrando que 21)(x

dx

dxx 21)( cx

1

1 1)(

cx

1

1

I

1

00 1

1lim

x

2

10 1

1lim

x

I

1

11lim

0

1

1

1lim

0

I 1 1 (DIVERGE).

Resposta: DIVERGE

Calcular as seguintes integrais impróprias:

12.

0dxe x

.

Resolução:

Seja

0dxe x

I

I

b x

bdxe

0lim

bx

be

0

lim

b

xb e 0

1lim

1

1

1 1

Resposta: 1

13.

0 22 xa

dx.

Resolução:

Seja

0 22 xa

dx I

x ua tan a

xu tan utan u

2

dx udua 2sec utan 0 u 0

I

2

0 222

2

tan

sec

uaa

udua

2

2

0

sec

2

2

2 )tan1(

secdu

u

u

a

a

u

2

0

1

dua

2

0

1

ua 0

1

2

1

aa

a2

Resposta: a2


Lauro / Nunes

1-7

14.

0sin xdxx .

Resolução:

Seja

0sin xdxx I Integração por partes: vduuvudv

u x du dx

dv xdxsin v xcos

I

0udv

b

budv

0lim

bb

bvduuv

00lim

bb

bdxxxx

00)cos()cos(lim

bb

bxxx

00sincoslim

bb

bcoslim

0

0cos0limb

bb

sinlim

0

0sinlimb

I

1,1

cos

1,1

sin

. A integral DIVERGE.

Resposta: DIVERGE

15.

1 x

dx.

Resolução:

1 x

dx

b

b x

dx

1lim

b

bx

1

2lim

2 21 . A integral DIVERGE.

Resposta: DIVERGE

16.

222 xx

dx.

Resolução:

Seja

222 xx

dx I

1122

1

2

x

xx 112x

I

1)1( 2x

dx

1arctan x x 1 0 x 1

I

1

2 1)1(lim

x

dx

b

b

b x

dx

1 2 1)1(lim

I 11arctanlim

x

b b

bx

11arctanlim

I 0

0arctan

2

)arctan(

2

)arctan(

0

0arctan

2

2

Resposta:

17. 1

0 3 x

dx.

Resolução:

1

0 3 x

dx

1

0 31

limaa x

dx

1

0

31

limaa

dxx 1

23

0

32

limaa

x

3 23 2 012

3

2

3

Resposta: 2

3


Lauro / Nunes

1-8

18. 1

1 4x

dx.

Resolução:

Seja 1

1 4x

dx I

I

1

11 4

0lim

a

a x

dx

1

40 22

limaa x

dx

I

1

1 13

0

1lim

3

1a

a x

1

30

22

1lim

aa x

33

10 )1(

11lim

3

1

1 aa

3

23

0

1

1

1lim2 aa

I 3

1( 1 1 ) A integral DIVERGE.

Resposta: DIVERGE

19.

0sin dxbxe ax

.

Resolução:

Seja

0sin dxbxe ax

I Integração por partes: vduuvudv

I

1

0sinlim

I

c ax

cdxbxe

1I

c ax dxbxe0

sin

u axe du dxae ax

dv dxbxsin v bxb

cos1

1I cudv

0

cvdu

0

c

ax bxb

e0

cos1

c ax dxaebxb0

cos1

1I

cax

b

bxe

0

cos

2

0cos

I

c ax dxbxeb

a

2I c ax dxbxe

0cos

2u axe 2du dxae ax

2dv dxbxcos 2v bxb

sin1

2I c

dvu0

22 c

vu022

cduv

022

c

ax bxb

e0

sin1

c ax dxaebxb0

sin1

2I

cax

b

bxe

0

sin

c ax dxbxe

b

a

0sin

Voltando ao 1I ...

1I

cax

b

bxe

0

cos

2Ib

a

cuv

0


Lauro / Nunes

1-9

1I

cax

b

bxe

0

cos

b

a

c ax

cax

dxbxeb

a

b

bxe

00

sinsin

Mas, 1I c ax dxbxe

0sin

Logo... c ax dxbxe

0sin

c

ax

b

bxe

0

cos

cax

b

bxae

0

2

sin

c ax dxbxe

b

a

02

2

sin

2

2

1b

a

c ax dxbxe0

sin

cax

b

bxe

0

cos

cax

b

bxae

0

2

sin

c ax dxbxe

0sin

22

2

ba

b

c

ax

b

bxe

0

cos

c

ax

b

bxae

0

2

sin

Voltando novamente ao 1I ...

1I c ax dxbxe

0sin

22

2

ba

b

c

ax

b

bxe

0

cos

c

ax

b

bxae

0

2

sin

1I

cax

ba

bxbe

0

22

cos

cax

ba

bxae

0

22

sin

1I 22

cos

ba

bcbe ac

22

11

0 0cos

ba

beb a

22

sin

ba

bcae ac

0

22

0

0 0sin

ba

bae a

1I 22

cos

ba

bcbe ac

22 ba

b

22

sin

ba

bcae ac

Voltando ao I ... I 1lim Ic

22

coslim

ba

bcbe ac

c

22 ba

b

22

sin

ba

bcae ac

I

0

22

0

cos

ba

bbe a

22 ba

b

0

22

0

sin

ba

bae a

22 ba

b

Portanto,

0sin dxbxe ax

22 ba

b

.

Resposta: 22 ba

b


Lauro / Nunes

1-10

Resolva os seguintes exercícios sobre integrais impróprias:

20. Calcular

0dxe x

Resolução:

0dxe x

b x

bdxe

0lim

bx

be

0

)(lim

0lim

ee b

b 0 1 1.

Resposta: 1

21. Calcular

0dxxe x

Resolução:

Seja

0dxxe x

I . Integração por partes: vduuvudv .

u x du dx .

dv xe dx v xe .

I

0udv

b

budv

0lim

bb

bvduuv

00lim

b xb

x

bdxeex

00)()(lim .

I

bx

bx

beex

00lim bx

bex 0)1(lim

0)10()1(lim

eeb b

b

I

1)1(lim

0

b

beb (1) 1.

Resposta: 1

22. Calcular

1

2x

dx

Resolução:

Seja

1

2x

dx I .

I

1 2lim dxx 11lim

x

0

11)1(lim [10] (1) 1.

Resposta: 1

23. Calcular

2

41 x

dx

Resolução:

2

41 x

dx

0

2

41 x

dx

0 2

41 x

dx 1I 2I

Obs: 2

41 x

dx

22

21 x

dx

21

1

21

arctanx

c 2 )2arctan( x c

1I

0

2

41 x

dx

0

2

41

limx

dx2

0

)2arctan(lim

x


Lauro / Nunes

1-11

1I )2arctan(0arctanlim2

2

20 .

2I

0 2

41 x

dx

b

b x

dx

0 2

41

lim 2b

bx

0

)2arctan(lim

2I 2 0arctan)2arctan(lim

bb

2

0

2 .

Logo:

2

41 x

dx 1I 2I 2.

Resposta: 2

24. Calcular 2

0 sin

cosdx

x

x

Resolução:

u xsin du xcos dx

x

x

sin

cosdx

u

du

duu 2

1

2 2

1

u c

x

x

sin

cosdx 2 xsin c

2

0 sin

cosdx

x

x

0lim

2

sin

cosdx

x

x2

0lim

2sin

x 2

0lim

0

1

2sinsin 2

Resposta: 2

25. Calcular

2

0 24 x

dx

Resolução:

24 x

dx

222 x

dx

2arcsin

x c

2

0 24 x

dx

2limb

b

x

dx

0 24

2limb

bx

02

arcsin

2limb

0

0arcsin2

arcsinb

)1arcsin( 2

Resposta: 2

26. Calcular

2

0 2x

dx

Resolução:

2x

dx 2ln x c

2

0 2x

dx

2limb

b

x

dx

0 2

2limb

bx

02ln

2limb

20ln2ln

b

Resposta: DIVERGE


Lauro / Nunes

1-12

27. Calcular 1

1 4x

dx

Resolução:

Seja 1

1 4x

dxI 4x

dx

dxx 4 3

3x c

I 0

lim

1 4x

dx

0lim

b

1

4b x

dx

3

1

0lim

13

1

x

0lim

b

1

3

1

bx

I 3

1

0lim

33 )1(

11

0lim

b

33

1

1

1

b

0lim

3

1

I 3

1

0lim

3

111

0lim

b

3

1

b

0lim

b

3

1

b

I 3

1[ 11 ] .

Resposta: DIVERGE

28. Calcular

942 xx

dx

Resolução:

Seja

942 xx

dx I x

2 4x 9

2

2

2 44

x

xx 5 22x 2)5( .

22 )5()2(x

dx

5

1arctan

5

2x c

I 5

1

lim

2

2 94 xx

dx

blim

b

xx

dx

2 2 94

I 5

1

lim arctan

2

5

2

x

blim arctan

bx

25

2

I 5

1[ arctan 0 arctan () arctan () arctan 0]

5

1[0

2

2

0]

5

Resposta: 5

29. Determine k para que se tenha

dxe

xk

21 .

y

x

Gráfico da função1 para <0k

dxe

xk

Obs:

dxe

xk

21 k 0

Resolução:

I

dxe

xk


Lauro / Nunes

1-13

I

0dxe

xk

0dxe

xk

I

0dxe kx

0dxekx

dxe kx

k

1 kxe c

dxekx k

1 kxe c

I

lim 0

dxe kx

b

lim b kxdxe0

I

lim

k

1 kxe0

blim

k

1 kxe

b

0

I k

1

lim ( 0e ke )

k

1

blim ( kbe 0e )

I k

1

lim (1 ke )

k

1

blim ( kbe 1)

I k

1(1

lim

ke )k

1(

blim

kbe 1)

limke 0

b

limkbe 0

I k

1(10)

k

1(01)

I k

1

k

1

k

2

Mas temos que I 2

1. Logo,

k

2

2

1 k 4.

Resposta: 4k

30. Utilize o teste da comparação para concluir se as integrais seguintes convergem ou

divergem:

a) dxx

x

1 2

2sin

Resolução:

Como 22

2 1sin0

xx

x em [,[ 1 e dx

x

1 2

1 converge, então dx

x

x

1 2

2sin também

converge.

Resposta: CONVERGE

b) dxx

1 2 10

1

,

Resolução:

Como xx

1

10

1

2

, em [,[ 1 e dx

x

1

1 diverge, então dx

x

1 2 10

1

, também

diverge.

Resposta: DIVERGE

Cálculo II Sistema de Coordenadas Polares e Integrais

Lauro / Nunes

2-14

2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais

31. Represente no plano os pontos ),( onde:

),( 01A , ),( 01B ,

42,C ,

4,1D ,

32,E ,

6

5,3F e

3

8,3G .

Resolução:

Resposta:

32. Represente no plano os pontos ),( onde:

)2

,1(

A , )3,3( B ,

4

7,2C ,

4

3,

2

3D ,

6,2E ,

6

31,3F e

4

5,2G .

Resolução:

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35

47

611

23

0

2

C

E

B

DA

FG

Resposta:

33. Construir o gráfico da função:

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2

CE

B

D

A

F

G


Lauro / Nunes

2-15

, para 0 2.

0 4

2

3

2

4

5

2

3

4

7 2

0 4

2

3

2

4

5

2

3

4

7 2

0 0,8 1,6 2,1 3,1 3,9 4,7 5,5 6,3

Resolução:

Resposta:


2 2 cos (cardióide).

Resolução:

0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

4 2 3 2 2 3 2 1 2

2 2 3 0

4 3,7 3,4 3 2 1 0,6 0,3 0

~

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2

~

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2


Lauro / Nunes

2-16

Resposta:


2 4 cos (caracol).

Resolução:

0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6 22 3 22 2 4 2 0 22

2 22 3 2

6 5,4 4,8 4 2 0 0,8 1,4 2

Resposta:

~

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2


Lauro / Nunes

2-17

36. Construir os gráficos das rosáceas nos itens a) e b).

Rosáceas de quatro pétalas (folhas):

a) 3 2sin

Resolução:

0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

0 2,6 3 2,6 0 2,6 3 2,6 0

Resposta:

b) 3 2cos

Resolução:

0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

3 1,5 0 1,5 3 1,5 0 1,5 3

Resposta:

~

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2

~

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2


Lauro / Nunes

2-18

37. Se considerarmos o quadrado do primeiro termo na rosácea seguinte, temos:

2 4 2cos (Lemniscata de Bernoulli).

Dicas para fazer o gráfico:

2 2cos 0 2cos 1

Tome D como o domínio de tal que:

D {R; 2

2n 2

2

2n, com nZ}

D {R; 4

n

4

n, com nZ}

Resolução:

0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

2 1,4 0 0 1,4 2

Resposta:

~

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2


Lauro / Nunes

2-19

38. Calcule a área da região delimitada pela lemniscata de Bernoulli, de equação 24 2cos .

Resolução:

Para Xcos , X 1

o e 4

o quadrantes, onde Xcos 0.

Como a curva é simétrica, calcula-se a área da região no 1o quadrante e multiplica-se por

quatro. Obs: XR; 2

2n X

2

2n, com nZ.

2 4 2cos

2cos4 , onde D {R; 4

n

4

n, com nZ}

0 X 2

0 2

2

0

4

.

Para:

0 2;

4

0.

Portanto:

A 4 1A 1A

4/

0

2

21 )( df

4/

0

2

21 d

4/

02cos4

2

1d

4/

02cos2 d

u 2 du 2 d d du2

1.

0 u 0;

4

u

2

.

1A

2/

0 21cos2 duu

2/

0cosudu

2/

0sin

u

2sin

0sin 1 0 1.

A 4 1A 41 4 u.a.

Resposta: A = 4 u.a.

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2

A1


Lauro / Nunes

2-20

39. Calcular a área da região interna à rosácea 2sina .

Resolução:

0 2 0 2

. A 4 1A

1A

2/

0

2

21 d

2/

0

22 2sin2

1da

Observação: 2sin 2cos 1

2cos 2cos 2sin

I- 2cos 1 2sin 2sin II- 2cos 2cos (1 2cos )

2 2sin 1 2cos 2 2cos 1 2cos

2sin 2

1

2

12cos 2cos

2

1

2

12cos

Usando I:

1A

2/

0

2 4cos2

1

2

1

2

1da

2/

0

2

4cos14

da

32

2/

0

2/

0

2

4cos4

AA

dda

2A 2/

0

2

0

2

u 4 du 4 d d 4

1du

0 u 0; 2

u 2.

3A 2

0 4cos

duu

2

0

sin4

1u

3A 4

1

00

sin2sin 0.

1A 32

2

4AA

a

0

24

2a

8

2a Então: A 4 1A

2

2a u.a.

Resposta: A2

2a u.a.

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2

A1

a

a

a

a


Lauro / Nunes

2-21

40. Calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas 3 cos e 1+ cos .

Resolução:

Tipo de curva 0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

Circunferência 3 cos 3 2,6 2,1 1,5 0 1,5 2,1 2,6 3

Cardióide 1+

cos 2 1,9 1,7 1,5 1 0,5 0,3 0,1 0

3 cos 1+ cos cos 2

1

3

.

0 2

;

0 3

1+ cos ;

3

2

3 cos .

A 2( 1A 2A ) 1A

3/

0

2)cos1(2

1d e 2A

2/

3/

2)cos3(2

1d .

1A

3/

0

2)cos1(2

1d

3/

01(

2

12 cos 2cos ) d

1A

1

3/

0

2

3/

0

cossin232

1

I

d 1A 2

1

13

3I .

1I

3/

0

2cos d

3/

0 21

21 2cos d

3/

02

2sin

32

1

1I 6

4

1

0sin

3

2sin

6

4

1

2

3 1I

6

8

3

1A 2

1

13

3I

2

1

8

3

63

3 1A

4

16

39

~

~

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7611

23

0

2

1A2A


Lauro / Nunes

2-22

2A

2/

3/

2)cos3(2

1d

2/

3/

2cos92

1d

2/

3/

2cos2

9d

2/

3/ 21

21 2cos

2

9d

2A 4

9

2/

3/d

2/

3/2cos d

4

9

2/

3/2

2sin

32

2A 24

9

4

9

2

1

3

2sinsin

8

3

8

9

2

30 2A

8

3

16

39.

A 2( 1A 2A ) 2

16

39

8

3

16

39

4

2

4

3 A

4

5..au

1+ cos 1A

3/

0

2)cos1(2

1d

3 cos 2A

2/

3/

2)cos3(2

1d

Resposta: A4

5 u.a.

41. Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares por tg ,

com 0 2

, pela reta x 1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar.

Dica para a resolução: Considere 1A () como sendo a área da região composta pelo

triângulo OMP, dado na figura abaixo.

2

3

2 3

A12

3

2 3

A2

tg

O

2

3

4

32

43

65

67

45

34

35

47

611

23

0

21 x

x1Reta:

6

x

tg

3

O 1M3

P3

cos

sen

4

x

tg

O 1M2

P2

sen

cos

6

x

tg

O 1M1

P1

cos

sen


Lauro / Nunes

2-23

Resolução:

A área que procuramos é (área do triângulo OMP) (área entre a curva e a reta ),

quando M tende para 1 (M 1), ou tende para 2

(

2

).

1A (área do triângulo OMP) 2A (área entre a curva e a reta )

A 1A 2A

1A 2

1(base)(altura) 2A

0

2

21 tg d

1A 2

1( cos )( sin ) É integral imprópria:

2

1A 2

1( tg cos )( tg sin ) 2A

0

2

21 )1(sec d

1A 2

1( sin )( tg sin ) 2A

02

1 tg

1A 2

1 2sin tg 2A

2

1tg

2

1

Então:

A 1A 2A 2

1 2sin tg (

2

1tg

2

1)

A 2

1 tg (1 2sin )

2

1

2

1 tg 2cos

2

1

2

1

cos

sin 2cos

2

1

A 2

1sin cos

2

1 Área

2

1cossin

2

1lim

2

4

Resposta: 4

u.a.

42. Calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo polar, da cardióide de

equação 2(1 cos ).

Resolução:

Considerando a parte superior da cardióide, intervalo [0,].

V

0

22 sin (’ cos sin ) d

V

0

2)cos1(4 2sin [2 sin cos 2(1 cos ) sin ] d

V 8

0

2)cos1( 2sin ( sin cos sin cos sin ) d

V 8

0

2)cos1( (1 2cos )(2 cos 1)( sin d )


Lauro / Nunes

2-24

V 8

0

1( 4 cos 4 2cos 2 3cos 5 4cos 2 5cos )( sin d )

U nV dU dVnV n 1

u ncos du 1cosnn ( sin d )

0

1cosn( sin d )

0

cos

n

n

.

V 8

2

cos4cos

2

3

cos4 3

4

cos2 4

5

cos5 5

0

6

6

cos2

V 8

3

421

2

11

3

112

3

4

2

11

3

1 8

3

8

3

64

Tomando o valor absoluto:

Resposta: V 3

64 u.v.

43. Refazer o exemplo anterior, 2(1 cos ).

Resolução:

V

0

3)cos1(83

2dsin

V

01(

3

163 cos 3 2cos 3cos ) dsin

V 3

16

2

cos3cos

2

3cos

0

4

4

cos

V 3

16

2

31 1

4

11

2

31

4

1

V 3

64..vu

Resposta: V 3

64 u.v.


Lauro / Nunes

2-25

44. Achar o comprimento total da cardióide de equação 1 cos.

Resolução:

L 2

0ds

ds d22)'( d22

sincos1 d22 sincoscos21

ds d1cos21 ds 2 dcos1

2sin 2

1

2

12cos 2 2sin 1 2cos

2 2

22

2sin 1 cos .

ds 2 d2

2sin2 ds 22

sin d

L 2

0ds 2

0 2sin2 d 4

0 2sin d 42

02cos 8[0 1] 8

Resposta: L 8 u.c.

45. Considerando a mesma equação 1 cos, calcular a área da superfície formada pela

rotação em torno do eixo polar.

Resolução:

S 2

0yds 2

0

sin 2 dcos1

S 2 2

0

)cos1( 21

)cos1( ( sin d ) 2 2

0

23

)cos1( ( sin d )

u 1 cos du sin d

duu 23

25

25

u c

5

2 25

u c

S 2 2

05

)cos1(2 25

5

24 2

5

2)( S 5

24 6

5

24 3

5

32

Resposta: S 5

32 u.a.

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7 611

23

0

2


Lauro / Nunes

2-26

46. Encontre a área da região no plano limitada pela cardióide r 2(1 cos).

Resolução:

A 2

0

2

21 )]cos1(2[ d

A

0

2)]cos1(2[ d

A

0

2 )coscos21(4 d

A 4

0

2 )coscos21( d

A 4

1

0

2

0cossin2

I

d

A 4 10 I .

1I

0

2cos d

1I

0 2

121 2cos d

1I

02

2sin

2

1

1I 2

4

1 0sin2sin

1I 2

4

1(0 0)

2

Logo,

A 4 1I

A 4

2

A 42

3

A 6

Resposta: 6A u.a.

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7 611

23

0

2


Lauro / Nunes

2-27

47. Encontre a área dentro do laço menor do caracol r 2cos 1.

Resolução:

0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

r 3 2,73 2,41 2 1 0 0,41 0,73 1

A 2

3/2

2

2

1 )1cos2( d

A

3/2

2 )1cos4cos4( d

A 4

1

3/2

2cos

I

d

4

3/2sin

3

2 A 4 10 I .

A 4I1 4 2

30 3

A 4 1I 2 3 3

1I

3/2

2cos d

3/2 21

21 2cos d

3/22

2sin

32

1

1I 6

4

1 3

4sin2sin 6

4

1

2

30

6

8

3

Logo,

A 4

8

3

6 2 3

3

A 3

2

2

3 2 3

3

A 3

2

2

343

A 2

33

Resposta: 2

33A u.a.

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7 611

23

0

2

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7

611

23

02


Lauro / Nunes

2-28

48. Encontre a área da região que está dentro do círculo r 1 e fora da cardióide r 1 cos.

Resolução:

Interseção do círculo e da cardióide:

0cos

cos11

2

2/

0

2

21

2/

0

2

21 )cos1(212 ddA

2/

0

22/

0)coscos21( ddA

2/

0

2 )coscos211( dA

2/

0

2 )coscos2( dA

1cossin 22 22 cos1sin

22 sincos2cos

)cos1(cos2cos 22

1cos22cos 2

2cos2

1

2

1cos2

2/

02cos

2

1

2

1cos2 dA

2/

02cos

2

1

2

1cos2 dA

2/

0

2sin4

1

2sin2

A

A

0

0

02

0sin4

1

2

00sin2sin

4

1

4)2/sin(2

A 4

2

Resposta: ..4

2 auA

2

3

4

6

32

43

65

67

45

34

35 4

7 611

23

0

2

Cálculo II Integrais Eulerianas

Lauro / Nunes

3-29

3 Integrais Eulerianas

49. Com base no que já foi dado, determine os valores de: (

), (

), (

).

Resolução:

2

5

1

2

5

2

3

2

3

2

1

22

3

4

3

2

7

1

2

7

2

5

2

5

2

3

2

1

32

35

8

15

2

13

1

2

13

2

11

2

11

2

9

2

7

2

5

2

32

1

62

357911

64

10395

Resposta: 4

3 ,

8

15 e

64

10395

50. Determine os valores de:

2

3,

2

5 e

2

13.

Resolução:

2

3

23

23 1

23

21

))((21

23

3

4

2

5

25

25 1

25

23

))((

23

25

21

))()((

21

23

25

21

))()((21

23

25

15

8

2

13

))()()()()()((

21

23

25

27

29

211

213

21

))()()()()()((21

23

25

27

29

211

213

135135

128

Resposta: 3

4 ,

15

8 e

135135

128

51. Determine os valores da função Beta para m e n dados a seguir:

a) m 1 e n 1;

b) m 2 e n 1;

c) m 1 e n 2.

Resolução:

a) (1,1)

1

0

1111 )1( dxxx 1

0dx

1

0x 1

b) (2,1)

1

0

1112 )1( dxxx 1

0xdx

1

0

2

2

x

2

1

c) (1,2)

1

0

1211 )1( dxxx 1

0)1( dxx

1

0

2

2

xx 1

2

1

2

1

Resposta:


Lauro / Nunes

3-30

Resolva as seguintes funções Beta:

52. (3,5)

Resolução:

(3,5)

15

0

)3(

)!15(

i

i

4

0

)3(

!4

i

i

76543

1234

753

1

(3,5) 105

1

Resposta: 105

1

53. (3,5)

Resolução:

(3,5) )(

)()(

53

53

!7

!4!2

!4567

!42

105

1

Resposta: 105

1

54. (6,3)

Resolução:

(6,3)

2

0

6

2

i

i)(

!

876

12

168

1

Resposta: 168

1

55. (6,3)

Resolução:

(6,3) )(

)()(

36

36

!8

!2!5

!5678

12!5

168

1

Resposta: 168

1

Utilizando função Gama e função Beta, resolva as seguintes integrais:

56.

0

2

dxe x

Resolução:

0

1 dxex xn (n) u 2x du 2xdx dx 1

21 x du

x 21

u dx 21

21 u du

0

2

dxe x

0 2

1 21

duue u

0

1

21 2

1

dueu u

21 (

21 )

2

1

Resposta: 2

1


Lauro / Nunes

3-31

57.

0

26 dxex x

Resolução:

0

1 dxex xn (n) u 2x du 2dx dx

2

du x

2

u

0

26 dxex x

0

6

22

due

u u 72

1

0

17 dueu u

72

1(7)

72

16!

8

45

Resposta: 8

45

58. 1

0

2 ln xdxx

Resolução:

0

1 dxex xn (n) xln u x ue dx due u

x 0 u ; x 1 u 0

1

0

2 ln xdxx

0 2ue (u)( due u )

03 duue u

v 3u dv 3du du 31 dv

u 31 v

03 duue u

0

31

31 dvve v

09

1dvve v

0

12

9

1dvev v

9

1(2)

9

1

Resposta: 9

1

59. 1

0ln xdxx

Resolução:

0

1 dxex xn ( n ) xln u x ue dx due u

x 0 u ; x 1 u 0

1

0ln xdxx

0

ue (u )( due u )

02 duue u

v 2u dv 2du du 21 dv

u 21 v

02 duue u

0

21

21 dvve v

04

1dvve v

0

12

4

1dvev v

4

1(2)

4

1

Resposta: 4

1


Lauro / Nunes

3-32

60. 1

0

34 )1( dxxx

Resolução:

1

0

11 )1( dxxx nm (m, n)

)(

)()(

nm

nm

1

0

1415 )1( dxxx (5,4) )45(

)4()5(

!8

!3!4

!45678

23!4

280

1

Resposta: 280

1

61. Prove que

2

0

1212 )(cos)(sin dxxx nm

2

1(m, n)

Resolução: 12)(sin mx 2

1

)(sin2 mx 2

112 )(sinm

x 12 )(sin mx xsin

Da mesma forma: 12)(cos nx 12 )(cos nx xcos

2

0


2

0

1212 cossin)(cos)(sin xdxxxx nm

u x2sin du 2 xsin xcos dx

x2sin x2cos 1 x2cos 1 u

x 0 u 0; x 2

u 1

1

0

11

2)1(

duuu nm

2

1(m, n)

Logo:

2

0


2

1(m, n)

Resposta:

62. 2

0

35 cossin xdxx

Resolução:

2

0


2

1(m, n) 2m 1 5 m 3;

2n 1 3 n 2.

2

0

35 cossin xdxx 2

1(3,2)

2

1

)23(

)2()3(

2

1

!4

!1!2

24

1

Resposta: 24

1


Lauro / Nunes

3-33

63. 2

0

6sin xdx

Resolução:

2

0


2

1( m , n )

2

0

6sin xdx 2

0

06 cossin xdxx 2m 1 6 m 2

7

2n 1 0 n 21

2

1(

2

7 ,21 )

2

1

)4(

)()(21

27

2

1

!3

21

23

25

12

1

8

15

32

5

Resposta: 32

5

64. Prove que

0

1dx

x

xnp

m

p

1

p

m 1, n

p

m 1

Resolução: px

u

u

1 x

p

p

u

u1

1

)1(

dx duu

uuuu

p

pppp

pp

2

1111

)1(

)1()1()1(1111

dx pppp uuuup

1111 11)1()1(

1

du

dx 11

)1(1

pup

11

1

111

1 1)1(

p

p

pp

p

u

uu

uuu du

dx p

1

11 pu

11

)1(

pu du

px u

u

1 px u px u px u u px px u(1 px ) u

p

p

x

x

1

x 0 u 0

x u 1

px u

u

1 (1) 1 px 1

u

u

1 1 px

u

uu

1

1 1 px

u1

1

npx1 nu )1(

x p

p

u

u1

1

)1( mx

m

p

p

u

u

1

1

)1( mx

pm

pm

u

u

)1( mx p

m

u pm

u

1

Fazendo todas as substituições na integral original:

0 1dx

x

xnp

m

1

0 1

1n

u

uu pm

pm

p

1 11 pu

11

)1(

pu du p

1

1

0

11pp

m

un

ppm

u

11

)1( du

Logo,

0 1dx

x

xnp

m

p

1

1

0

11p

m

u11

)1(

pmn

u du p

1

p

m 1, n

p

m 1

Resposta:


Lauro / Nunes

3-34

65. Prove que a

nm dxxax0

)( 1nma (m 1, n 1)

Resolução:

x au dx adu u a

x

x 0 u 0; x a u 1

x au a x a au (a x) n a n (1 u) n Obs: mu 1)1( mu .

a

nm dxxax0

)( 1

0)1( aduuaua nnmm

1

0

1 )1( duuua nmnm 1nma (m 1, n 1)

Resposta:

66. Prove que b

a

nm dxxbax )()( 1 nmab )( ( m 1, n 1)

Resolução:

x a u x u a dx du

x a u 0; x b u b a

x u a b x b u a (b x) n (b u a) n

b

a

nm dxxbax )()(

ab

nm duaubu0

)(

)(

0])[(

abnm duuabu

Pelo exercício anterior 1)( nmab (m 1, n 1)

Resposta:

67. Prove que 1

01 dxxx

npm

p

1

1,

1n

p

m

Resolução:

px u x pu1

dx duu p

p

11

1

x 0 u 0; x 1 u 1

1

01 dxxx

npm

1

0

111

1 duuuu ppm

p

n

p

1

1

0

1)1(11

1

duuunp

m

p

1

1,

1n

p

m

Resposta:

68. Prove que 1

0)(ln dxxx nm

1)1(

)1(

n

n

m(n 1)

Resolução:

xln u x ue dx due u

x 0 u ; x 1 u 0

1

0)(ln dxxx nm

0

)()( dueue unmu (1)

n

0)1( )( dueu umn

(1)n

0

)1( dueu umn

(m 1)u v u 1m

v du =

1m

dv

u 0 v 0; u v

0

)1()1( dueu umnn

0 11)1(

m

dve

m

v v

n

n 1)1(

)1(

n

n

m )1(

0

n

vn dvev 1)1(

)1(

n

n

m(n1)

Resposta:


Lauro / Nunes

3-35

69. Prove que

0

)( dxexnaxm

1

1mna

n

m 1

Resolução:

nax)( u ax nu1

x a

u n1

dx duna

u n11

x 0 u 0; x u

0

)( dxexnaxm

0

11

duna

ue

a

u nnm

u

m

1

1mna

0

11

dueu unm

1

1mna

n

m 1

Resposta:

70.

0 3dx

e

xx

Resolução:

Usando o exercício anterior: m 21 , n 1 e a

23

0 3dx

e

xx

0

23

21

dxexx

1

21

)2/3(1

1

21

21 1

2

3

2/3

1

2

3

9

62∙ 2

1

9

6

Resposta: 9

6

71.

0

4 dxex x

Resolução:

Usando o mesmo exercício: m 41 , n

21 e a 1. Obs: (

2

5 ) 2

3 21

0

4 dxex x

0

2

1

41

dxex x

141

1)2/1(

1

21

41 1

2(2

5 ) 2

3

Resposta: 2

3

72.

0 4

4 3

1dx

x

x

Resolução:

Usando o resultado já provado:

0 1dx

x

xnp

m

p

1

p

m 1, n

p

m 1

m 2

3 , n 4 e p 21

0 4

4 3

1dx

x

x

0 4

21

43

1dx

x

x

21

1

21

43 1

,4

21

43 1

2 2

7 , 2

1 2)(

)()(

21

27

21

27

)4(

221

23

25

!3

415

8

5

Resposta: 8

5


Lauro / Nunes

3-36

73. 2

0

44 cossin xdxx

Resolução:

Usando o resultado já provado:

2

0


2

1(m, n)

2m 1 4 e 2n 1 4 m 2

5 e n 2

5

2

0

44 cossin xdxx 2

1(

2

5 ,2

5 ) 2

1

)5(

)()(25

25

2

1

1234

21

23

21

23

256

3

Resposta: 256

3

74.

3

1 )3)(1( xx

dx

Resolução:

Usando o resultado já provado: b

a

nm dxxbax )()( 1)( nmab (m 1, n 1)

3

1 )3)(1( xx

dx

3

1

21

21

)3()1( dxxx 1

2

1

2

1

)13(

(21 1,

21 1)

02 (21 ,

21 )

)1(

)()(21

21

Resposta:

Cálculo II Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais

Lauro / Nunes

4-37

4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-

Dimensionais

75. 0 {0}, espaço de dimensão zero, formado pelo único ponto 0.

76. 1 (reta).

77. 2 (plano).

78. 3 (espaço tridimensional).

79. Em 3, x ( 1x , 2x , 3x ) e | x | 2

3

2

2

2

1 xxx .

Tome n 2 e considere d: 2 2. Dado x, y 2 , sendo x (9,4) e y (3,12),

calcule:

1 2 3 40-1-2-3-4 x

P= ( )x

1 2 3 40-1-2-3-4

-1

-2

1

2

x

P = ( , )x yy

1 2 3

0

2

x

P = ( , , )x y z

z

1

1

2

y

= ( )x ,x ,x

x1

x2

x3

1 2 3

x

x


Lauro / Nunes

4-38

80. d(x, y)

Resolução:

d(x, y) 2

22

2

11 )()( yxyx 22 )124()39(

d(x, y) 6436 10

Resposta: 10

81. d M (x, y)

Resolução:

d M (x, y) Máx{| 1x 1y |, | 2x 2y |} Máx{|93|, |412|} Máx{|6|, |8|} 8

Resposta: 8

82. d S (x, y)

Resolução:

d S (x, y) | 1x 1y | | 2x 2y | |93| |412| |6| |8| 6 8 14

Resposta: 14

83. Verifique as desigualdades entre as 3 distâncias.

Resolução:

|x y| M |x y | |x y | S n |x y | M

8 10 14 16

d M (x, y) d(x, y) d S (x, y) n d M (x, y)

Resposta:

84. Para n 2, as bolas no plano para as três distâncias podem ser representadas por:

Resolução:

Resposta:

a1

2a ar

B

a1

2a ar

B

a1

2a ar

M BS


Lauro / Nunes

4-39

85. Dado X {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9}, determine os conjuntos intX, extX e fronX.

Resolução:

X é uma bola aberta com centro 0 e raio 3, B(0,3) com 0 (0,0,0).

intX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9}

extX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9}

fronX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9}

Resposta:

86. O mesmo para X {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9}.

Resolução:

intX

extX {(x, y, z) 3 ; 2x 2y 2z 9 ou 2x 2y 2z 9}

fronX X

Resposta:

Tome um conjunto X n .

87. Se X é convexo, X é conexo? Justifique.

Resolução:

Sim. Tome [x, y] como segmento de reta cujos extremos pertençam a X, [x, y] pode ser

também uma linha poligonal unindo x e y, totalmente contida em X.

Resposta:

88. Se X é conexo, X é convexo? Justifique.

Resolução:

Não. Na figura a seguir, X é conexo e não é convexo.

Resposta:

2

X

yx

linha poligonal

segmento [ , ]x y

X R


Lauro / Nunes

4-40

89. Dê um exemplo de X desconexo.

Resolução:

X {(x, y) 2 ; 2x 2y 1 ou 2x 2y 9}

Observando a figura abaixo, que representa X, tome u(0, 0) e v(3, 1). linha poligonal

unindo u e v contida em X.

Resposta:

Dado X 2 nos exercícios seguintes, analise X quanto aos itens a) e b) abaixo:

a) Região aberta ou fechada;

b) Conjunto aberto ou fechado.

90. X {(x, y) 2 ; x y 1}

Resolução:

a) Região aberta;

b) Conjunto fechado (X X’).

Resposta:

u

v(3, 1)

1 3

1

1


Lauro / Nunes

4-41

91. X {(x, y) 2 ; x y 1}

Resolução:

a) Região aberta;

b) Conjunto aberto (X intX).

Resposta:

92. X {(x, y) 2 ; 2x 2y 1}

Resolução:

a) Região fechada;

b) Conjunto aberto (X intX).

Resposta:

93. X {(x, y) 2 ; 2x 2y 1}

Resolução:

a) Região fechada;

b) Conjunto fechado (X X’).

Resposta:

1

1

1

1

1

1

Cálculo II Funções em Espaços n-Dimensionais

Lauro / Nunes

5-42

5 Funções em Espaços n-Dimensionais

94. O volume “V” de um cilindro circular é calculado pela expressão: hrV 2 , sendo que

r é o raio da base e h a altura.

95. A equação de estado de um gás ideal é dada pela seguinte equação:

V

TRnP

Onde: P= pressão; V= volume; n = massa gasosa em moles; R= constante

molar do gás; e T = temperatura.

96. O circuito elétrico da figura que segue tem cinco resistores. A corrente deste circuito

depende das resistências 5,,1, iRi , onde E é a tensão da fonte.

97. Determine o domínio e a imagem da função z f ( x ) 22

219 xx definida de 2 em

.

Resolução:

Df { x 2 ; w f ( x )}, 9 21x 2

2x 0 21x 2

2x 9.

Logo:

Df { x 2 ; 21x 2

2x 9};

fIm { z ; z f ( x )} { z ; 0 z 3}.

Resposta:

r

h


Lauro / Nunes

5-43

98. Represente graficamente o domínio da função yxyxf ln, .

Resolução:

Condição: xyyx 0

Assim, Df { yx, 2 ; xy }

Resposta:

99. Represente graficamente o domínio da função 22

,yx

xyyxf

.

Resolução:

Condição: 0022 yxyxyx

0 yx e 0 yx xy e xy ou

0 yx e 0 yx xy e xy

Assim, Df { yx, 2 ; xy e xy ou xy e xy }

Resposta:


Lauro / Nunes

5-44

100. No exemplo que segue, podemos observar algumas curvas de nível da função

22100, yxyxfz .

101. No exemplo que segue, podemos observar uma curva de nível e uma curva de

contorno da função 22100, yxyxfz .


Lauro / Nunes

5-45

102. Represente graficamente ( ) √ e trace as curvas de níveis

( ) , ( ) √ e ( ) √ no domínio de no plano.

Resolução:

Curva de Nível (Cn) f ( x , y )0 229 yx 0

9 2x 2y 0

2x 2y 9

Cn0 {( x , y ) 2 ; 2x 2y 9};

Cn 5 {( x , y ) 2 ; 2x 2y 4};

Cn 8 {( x , y ) 2 ; 2x 2y 1}.

w 229 yx 2w 9 2x 2y 2x 2y 2w 9 é uma esfera de centro na

origem e raio 3. Como w 0, o gráfico é a superfície superior da esfera.

Resposta:

Calcule os limites:

103. )4,3(),(

limyx

22 yx

Resolução: )4,3(),(

limyx

22 yx 22 43 )( 25 5.

Resposta: 5

104. )1,0(),(

limyx 32 5

3

yxyyx

xyx

Resolução: )1,0(),(

limyx 32 5

3

yxyyx

xyx

32 110510

3100

3.

Resposta: 3

=

xy

w

=w

w

Cc

Cc

Cn

Cn

Cn0

8

5

8

5

5

8


Lauro / Nunes

5-46

105. )0,0(),(

limyx yx

xyx

2

Resolução: INDETERMINAÇÃO 0/0.

)0,0(),(

limyx yx

xyx

2

yx

yx

)0,0(),(limyx

yx

yxyxx

)(

)0,0(),(

limyx

yxx 0.

Resposta: 0

106. )1,1(),(

limyx yx

yx

22

Resolução:

)1,1(),(limyx yx

yx

22

=)1,1(),(

limyx yx

yxyx

)()(

)1,1(),(limyx

)( yx 11 2.

Resposta: 2

107. Aplicando limites por caminhos, mostre que f ( x , y )24

22

yx

yx

não tem limite

quando ( x , y ) se aproxima de (0,0).

Resolução:

Ao longo da curva y k 2x , x 0:

0

2

x

kxy

)0,0(),(limyx 24

22

yx

yx

0limx 224

222

)(

)(

kxx

kxx

0limx 424

42

xkx

kx

0limx 21

2

k

k

21

2

k

k

.

Este limite varia com o caminho de aproximação:

k 0 limite é 0;

k 1 limite é 1.

Resposta: Logo, )0,0(),(

limyx

f ( x , y ).

108. f ( x , y ) 24

24

yx

yx

(Caminhos y k 2x )

Resolução:

0

2

x

kxy

)0,0(),(limyx 24

24

yx

yx

0limx 224

224

)(

)(

kxx

kxx

0limx 424

424

xkx

xkx

0limx 2

2

1

1

k

k

2

2

1

1

k

k

.


k 0 limite é 1;

k 1 limite é 0.


limyx

f ( x , y ).


Lauro / Nunes

5-47

109. f ( x , y ) yx

yx

(Caminhos y k x , k 1)

Resolução:

0x

kxy

)0,0(),(limyx yx

yx

0limx kxx

kxx

0limx k

k

1

1

k

k

1

1.


k 0 limite é 1;

k 1 limite é 0.


limyx

f ( x , y ).

110. f ( x , y ) y

yx 22 (Caminhos y k 2x , k 0);

Resolução:

0

2

x

kxy

)0,0(),(limyx y

yx 22

0limx 2

222

kx

kxx )(

0limx 2

222 1

kx

xkx )(

0limx k

xk 221

k

1.


k 1 limite é 1;

k 2 limite é 2

1.


limyx

f ( x , y ).

Discutir a continuidade das seguintes funções:

111. 252, 22 xyyxyxf

Resolução:

Como f é uma função polinomial de duas variáveis, f é continua em todos os pontos do 2 .

Resposta:

112. 2233

1,

22

yxxyxyx

yxyxg

Resolução:

A função g pode ser reescrita como:

12131

1

2233

1,

222

yyxyx

yx

yxxyxyx

yxyxg =

211

1

231

12

xxy

yx

xxy

yx

Logo g é contínua 2, yx , desde que 2,1 xx e 1y

Resposta:

113. 4ln, 22 yxyxh

Resolução:

Como 0422 yx , 2, yx , então a função h é contínua em todos os pontos do 2 .

Resposta:

Cálculo II Derivadas

Lauro / Nunes

6-48

6 Derivadas

114. Se ( ) , então:

yxfyxxfzx ,, = yxyxx = xyyxyxyx

yxfyyxfzy ,, = yxyyx = yxyxxxyx

yxfyyxxfz ,, = yxyyxx =

yxyxxyyxyx = yxxyyx

115. Usando a definição, encontre a derivada parcial de 2216, yxyxfz em

relação à x no ponto 2,1 .

Resolução:

x

yxf

,=

0limx x

yxfyxxf

),(),(=

0limx

x

yxyxx

]16[]16[ 2222

=

0limx

x

xxx

2=

0limx

xx 2 = x 2

Logo, x

f

2,1= 212

Resposta: 2

116. Usando a definição, encontre as derivadas parciais

( ) e

( ), sendo

( ) .

Resolução:

x

f

( x , y )

0limh h

yxfyhxf ),(),(

0

limh h

yxyxyyhxhx )()()(2222 2323

0

limh h

yxyxyyhxyhxhx 22222 2322363

0

limh h

yhhxh 236 2

0limh h

hyhx )( 236 =

0limh

(6 x 3 h 2 y ) 6 x 2 y .

y

f

( x , y )

0limh h

yxfhyxf ),(),(

0

limh h

yxyxhyhyxx )()()(2222 2323

0

limh h

yxyxhyhyxhxyx 22222 232223

0

limh h

hyhxh 222

0limh h

hhyx )( 22 =

0limh

(2 x 2 y h ) 2 x 2 y .

Resposta: x

f

( x , y ) 6 x 2 y e

y

f

( x , y ) 2 x 2 y


Lauro / Nunes

6-49

Considerando a função f ( x , y ) 3x 2y 2 2x y 3 x calcule o que se pede:

117. xf ( x , y )

Resolução:

xf ( x , y ) 3 2x 2y 4 x y 3 ( y constante).

Resposta: 3 2x 2y 4 x y 3

118. yf ( x , y )

Resolução:

yf ( x , y )2 3x y 2 2x ( x constante).

Resposta: 2 3x y 2 2x

119. xf (2,1).

Resolução:

xf (2,1) 3(2) 2 (1) 2 4(2)(1) 3 23.

Resposta: 23

120. yf (2,1)

Resolução:

yf (2,1) 2(2) 3 (1) 2(2) 2 24.

Resposta: 24

121. Encontre y

f

se f ( x , y ) y )sin(xy .

Resolução:

Considera-se x como constante:

y

f

y

( y )sin(xy )

y

(u v ) u y

v )sin(xy

yu 1

yv x )cos(xy

y

(u v ) yu v u yv )sin(xy y x )cos(xy .

Resposta: y

(u v ) )sin(xy y x )cos(xy .


Lauro / Nunes

6-50

122. Encontre xf e yf se f ( x , y ) xy

y

cos

2.

Resolução:

f ( x , y ) v

u u 2 y

f ’( x , y ) 2

''

v

uvvu v y xcos

xu 0

xv xsin

yu 2

yv 1

xf 2)cos(

)sin(2

xy

xy0

2)cos(

sin2

xy

xy

;

yf 2)cos(

12)cos(2

xy

yxy

2)cos(

2cos22

xy

yxy

2)cos(

cos2

xy

x

.

Resposta: 2)cos(

sin2

xy

xyf x

e

2)cos(

cos2

xy

xf y

123. Encontre xf e yf se f ( x , y ) y

xtan w .

Resolução:

xf w yx

/1tan u xtan

xu x2sec

w yu /1 uw y

1 11 yu / xu y

u yy /)( 1

xu y y

x

uy

u

1 xf

y yxy

x

1

2

)(tan

sec

;

yf w yx

/1tan ; u

y

1 sendo que a xtan ; yu

2

1

y

w ua uw ua aln yu yx

/1tan )ln(tan x

2

1

y

yf 2

)ln(tantan

y

xxy

.

Resposta: xf y yxy

x

1

2

)(tan

sec

e yf

2

)ln(tantan

y

xxy


Lauro / Nunes

6-51

124. Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções:

(a) f ( x , y ) 221 yx

Resolução:

Tome u 1 2x 2y , ou seja, f ( x , y ) u ;

x

f

( x , y )

2

1 121

u x

u

u2

1(2 x )

221 yx

x

;

y

f

( x , y )

2

1 121

u y

u

u2

1(2 y )

221 yx

y

.

Resposta: x

f

( x , y )

221 yx

x

e

y

f

( x , y )

221 yx

y

(b) f ( x , y ) 22 yx

yx

Resolução:

Tome u x y e v 2x 2y , ou seja, f ( x , y ) v

u;

x

f

( x , y )

2v

x

vuv

x

u

222

22 21

)(

)()(

yx

xyxyx

222

22 2

)( yx

xxyy

;

y

f

( x , y )

2v

y

vuv

y

u

222

22 21

)(

)()(

yx

yyxyx

222

22 2

)( yx

yxyx

.

Resposta: x

f

( x , y )

222

22 2

)( yx

xxyy

e

y

f

( x , y )

222

22 2

)( yx

yxyx

(c) f ( x , y ) yxe /

Resolução:

Tome u y

x, ou seja, f ( x , y ) ue ;

x

f

( x , y ) ue

x

u

yxe /

y

1

y

e yx /

;

y

f

( x , y ) ue

y

u

yxe /

2y

x

2y

xe yx /.

Resposta: x

f

( x , y )

y

e yx /

e y

f

( x , y )

2y

xe yx /

(d) f ( x , y ) tan ( 2x 2y )

Resolução:

Tome u 2x 2y , ou seja, f ( x , y ) tan u ;

x

f

( x , y ) 2sec u

x

u

[ 2sec ( 2x 2y )](2 x );

y

f

( x , y ) 2sec u

y

u

[ 2sec ( 2x 2y )](2 y ).

Resposta: x

f

( x , y ) [ 2sec ( 2x 2y )](2 x ) e

y

f

( x , y ) [ 2sec ( 2x 2y )](2 y ).


Lauro / Nunes

6-52

(e) f ( x , y , z ) 2x 2sin ( y z )

Resolução:

x

f

( x , y , z ) 2 x 2sin ( y z );

y

f

( x , y , z ) 2x

y

[ 2sin ( y z )] 2x 2sin ( y z )cos ( y z ) z 2x z sin (2 y z );

z

f

( x , y , z ) 2x

z

[ 2sin ( y z )] 2x 2sin ( y z )cos ( y z ) y 2x y sin (2 y z ).

Resposta: x

f

( x , y , z )2 x 2sin ( y z ),

y

f

( x , y , z ) 2x z sin (2 y z ) e

z

f

( x , y , z )

2x y sin (2 y z ).

125. Seja f ( x , y ) 3x 2y 2 2x y 3 x . Prove que xyf yxf .

Resolução:

xf 3 2x 2y 4 x y 3; xyf 6 2x y 4 x ; yf 2 3x y 2 2x ; yxf 6 2x y 4 x

Resposta: xyf xy

f

2

yx

f

2

yxf

126. Prove que xyxf yxxf xxyf para f ( x , y ) 3x 2y 2 2x y 3 x .

Resolução:

xf 3 2x 2y 4 x y 3 xxf 6 x 2y 4 y xxyf 12 x y 4

xyf 6 2x y 4 x xyxf 12 x y 4

yf 2 3x y 2 2x yxf 6 2x y 4 x yxxf 12 x y 4

Resposta: xxyf = xyxf = yxxf 12 x y 4

127. Dada a função f ( x , y ) yxe 32 , calcule:

(a) 3

3

x

f

( x , y )

Resolução:

3

3

x

f

( x , y )

x

x

x

f

x

x

yxe 322 x

(4 yxe 32 ) 8 yxe 32

Resposta: 3

3

x

f

( x , y ) 8 yxe 32

(b) 3

3

y

f

( x , y )

Resolução:

3

3

y

f

( x , y )

y

y

y

f

y

y

yxe 323 y

(9 yxe 32 ) 27 yxe 32

Resposta: 3

3

y

f

( x , y ) 27 yxe 32


Lauro / Nunes

6-53

(c) Verifique a igualdade seguinte: xy

f

2

3

2

3

yx

f

.

Resolução:

xy

f

2

3

( x , y ) y

y

x

f

y

y

yxe 322 y

(6 yxe 32 ) 18 yxe 32

2

3

yx

f

( x , y )

x

y

y

f

x

y

yxe 323 x

(9 yxe 32 ) 18 yxe 32

Resposta: xy

f

2

3

2

3

yx

f

=18 yxe 32

128. Encontre a declividade da reta tangente à curva de intersecção da superfície

√ com o plano , no ponto ( √ ). Resolução:

A declividade será o valor de x

w

no ponto (2,2, 32 ).

x

w

( x , y )

22 2242

2

yx

x

e

x

w

(2,2)

22 22224

2

3

1.

Resposta: x

w

(2,2)

3

1

Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de ( ) com

.

129. No ponto (2,3,4).

Resolução:

xf (2,3) 2; yf (2,3) 4.

No plano y 3

24

3

2

w

y

x

No plano x 2

44

2

3

w

x

y

Resposta:

130. No ponto (1,1,9).

Resolução:

xf (1,1) 0; yf (1,1) 0.

No plano y 1

9

1

1

w

y

x

No plano x 1

9

1

1

w

x

y

Resposta:


Lauro / Nunes

6-54

Exercícios de derivadas como taxas de variação:

131. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra:

101003

10

36

5,

2

htt

htT , então calcule:

(a) Como varia a temperatura em relação ao tempo, no instante 120 t horas, num ponto

de altitude 0h 100 metros?

Resolução:

t

htT 00 ,

0

limtt

0

000 ,,

tt

htThtT

t

T 100,12

12limt

12

100,12100,

t

TtT=

12limt

12

2910100

100

3

10

36

5 2

t

tt

=

=12

limt

12

1236

5 2

t

t

= 0

Resposta: 0

(b) Como varia a temperatura em relação à altitude, no instante 120 t horas, num ponto

de altitude 0h 100 metros?

Resolução:

h

htT 00 ,

0

limhh

0

000 ,,

hh

htThtT

t

T 100,12

100limh

100

100,12,12

h

ThT=

100limh

100

29101003

1210

36

1252

h

h

=

100limh

100

29100

30

h

h

=100

limh

100

100100

1

h

h

=

100limh 100

1

100

1

Resposta: 100

1

132. De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade

quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a

fórmula: P V k T [equação (1)] onde k é uma constante de proporcionalidade.

Suponha que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 3cm e a temperatura seja

900 e k 8.

(a) Encontre a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação em T , se V

permanecer fixo em 100.

Resolução: Substituindo V 100, T 90 e k 8, obtemos da equação (1), P 7,2.

Tem-se ainda que: P V

T8

T

P

V

8.

Resposta: Logo, quando T 90 e V 100, T

P

0,08 é a resposta desejada.


Lauro / Nunes

6-55

(b) Use o resultado de (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar

para 920 C.

Resolução:

Quando T aumenta 2 e V permanece constante, um aumento aproximado em P é

2(0,08)0,16. Concluímos então que, se a temperatura aumenta de 900 para 92

0, o

acréscimo na pressão é de aproximadamente 0,16 N / 2m .

Resposta: 0,16 N / 2m

(c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T


Resolução:

V P

T8

P

V

2

8

P

T;

Quando T 90 e P 7,2, tem-se P

V

227

908

),(

9

125, que é a taxa de variação

instantânea de V por unidade de variação em P quando T 90 e P 7,2, se T


Resposta: P

V

=

9

125

(d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado de (c) para encontrar

a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida em (b).

Resolução:

Se P é acrescido de 0,16 e T permanece fixo, então a variação em V será

aproximadamente (0,16)

9

125

9

20. Logo, o volume sofrerá um decréscimo de

aproximadamente 9

20 3m se a pressão aumentar de 7,2 N / 2m para 7,36 N / 2m .

Resposta: 9

20

133. O volume V de um cone circular é dado por V 24

2y 224 ys , onde s é o

comprimento da geratriz e y o diâmetro da base.

(a) Encontre a taxa de variação instantânea do volume em relação à geratriz se o valor

, enquanto a geratriz s varia. Calcule essa taxa de variação no instante em que

.

Resolução:

s

V

s

24

2y 224 ys

24

2ys

224 ys

24

2y

22

22

42

4

ys

yss

24

2y2242

8

ys

s

22

2

46 ys

sy

;

Quando s 10 e y 16, tem-se: s

V

22

2

161046

1016

)()(

)(

9

320 3cm / cm .

Resposta: s

V

9

320 3cm / cm


Lauro / Nunes

6-56

(b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com o valor de

. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do

volume em relação ao diâmetro quando .

Resolução:

y

V

y

24

2y 224 ys

24

(

y

2y ) 224 ys 24

2y (y

224 ys )

24

2 y 224 ys

24

2y

22

22

42

4

ys

ysy

12

y 224 ys

24

2y 2242

2

ys

y

12

4 22 ysy

22

3

424 ys

y

.

Quando s 10 e y 16:

y

V

12

1610416 22)()(

22

3

1610424

16

)()(

)(

9

16 3cm / cm .

Resposta: y

V

9

16 3cm / cm

134. Pela definição acima, provar que a função f ( x , y ) 2x 2y é diferenciável em 2 .

Resolução:

Derivadas parciais:

x

f

( 0x , 0y ) 2 0x ;

y

f

( 0x , 0y ) 2 0y .

Equação (8):

L

0

0

lim

yyxx

),(),(

),(),(

00 yxyx

yxhyxf

0

0

lim

yyxx

2

02

0

000020

20

22 22

)()(

)]()([

yyxx

yyyxxxyxyx

L

0

0

lim

yyxx

2

02

0

200

2200

2 22

)()( yyxx

yyyyxxxx

0

0

lim

yyxx

2

02

0

20

20

)()(

)()(

yyxx

yyxx

, racionalizando:

L

0

0

lim

yyxx

20

20 )()( yyxx 0.

Logo, f é diferenciável em 2 .

Resposta: Logo, f é diferenciável em 2 .

Nos exercícios a seguir, verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem,

isto é, ( 0x , 0y ) (0,0).


Lauro / Nunes

6-57

135. f ( x , y ) 22 yx .

Resolução:

Derivadas parciais em (0,0):

xf ( 0x , 0y ), pois 0

limh h

yxfyhxf ),(),( 0000

0limh h

fhf ),(),( 000

0limh h

h2

0

limh h

h ||

0lim

h h

h ||

0lim

h h

h 1;

0

limh h

h ||

0lim

h h

h 1.

Portanto x

f

(0,0) .

Logo, f não é diferenciável na origem.

Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem.

136. f ( x , y )

),(),(,

),(),(,

00se 0

00se 2

22

3

yx

yxyx

y

.

Resolução:

Derivadas parciais em (0,0):

x

f

(0,0)

0limh h

fhf ),(),( 000

0limh h

00

0limh

0 0.

y

f

(0,0)

0limh h

fhf ),(),( 000

0limh h

h

h

2

32

0

limh 3

32

h

h

0limh

2 2.

Equação (8), desenvolvimento:

),(),(

),(),(

00 yxyx

yxhyxf

22

00000000

yx

yfxffyxf yx

)])(,())(,(),([),(

22

22

3

22

yx

yyx

y

212222

323 222/

))(( yxyx

yyxy

2322

22/

)( yx

yx

M.

Verificação da existência do limite:

)0,0(),(limyx

M )0,0(),(

limyx 2322

22/

)( yx

yx

?

Tome y k x , x 0.

0limx 23222

22/

)( xkx

kxx

0limx 2323

3

1

2/

)( kx

kx

0limx 2321

2/

)( k

k

2321

2/

)( k

k

)0,0(),(

limyx

M.

Logo, f não é diferenciável na origem.

Resposta: Logo, f não é diferenciável na origem.


Lauro / Nunes

6-58

Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos

indicados.

137. w 2x + 2y nos pontos: a) P1(0,0,0); b) P2(1,1,2).

Resolução: w é diferenciável em 2 ;

xf 2 x , xf (0,0) 0, xf (1,1) 2 e f (0,0) 0.

yf 2 y , yf (0,0) 0, yf (1,1) 2 e f (1,1) 2;

a) w 0 0( x 0) 0( y 0) w 0;

b) w 2 2( x 1) 2( y 1) 2 x 2 y w 2.

Resposta:

138. w 222 yx nos pontos: a) P1(0,0,0); b) P2(1,1, 3 ).

Resolução: w é diferenciável em 2 {(0,0)};

a) plano tangente em P1(0,0,0);

b) xf 222

2

yx

x

, xf (1,1)

3

2, yf

222 yx

y

, yf (1,1)

3

1;

w 3 3

2( x 1)

3

1( y 1) 2 x y 3 w 0.

Resposta:

139. Seja w f ( x , y ) 2x 2y . Graficamente, o grad f ( 0x , 0y ) é dado por:

Resolução:

00 , yxf

x

yxf 00 ,,

y

yxf 00 ,= 00 2,2 yx

Resposta:

x

y

w

x y00

P0

grad f ( )x ,y 0 0

x

y

P0

ck

y0

( )x , yf: = k

x0


Lauro / Nunes

6-59

140. Seja w f ( x , y ) 2x y . Graficamente, o grad f (2,4) é dado por:

Resolução:

f (2,4) 22 4 0 0c : f ( x , y ) 0 2x y 0 y 2x .

Resposta:

141. Calcule a diferencial de f ( x , y ) x xy no ponto (1,1).

Resolução:

T( x 1, y 1) x

f

(1,1)( x 1) +

y

f

(1,1)( y 1)

x

f

1

xy

y

2 xf (1,1)

2

3;

y

f

xy

x

2 yf (1,1)

2

1.

Logo: T( x 1, y 1) 2

3( x 1) +

2

1( y 1).

Pela notação clássica: df (1,1) 2

3dx +

2

1dy .

Resposta: df (1,1) 2

3dx +

2

1dy .

142. Dada a função w 2x + 2y xy .

a) Determine uma aproximação para o acréscimo da variável dependente quando ( x , y )

passa de (1,1) para (1,001;1,02).

Resolução:

w dw

wx

f

(1,1)(1,0011) +

y

f

(1,1)(1,021);

x

f

(1,1) 1,

y

f

(1,1) 1;

w 10,001 + 10,02 w 0,021.

Resposta: w 0,021.

b) Calcular w quando as variáveis independentes sofrem a variação em a).

Resolução:

w f (1,001;1,02) f (1,1) 0,021381.

Resposta: w0,021381

c) Calcular o erro obtido da aproximação de dw como w .

Resolução:

Erro w dw 0,000381.

Resposta: 0,000381

grad f (2 4) ,

x

y

P0

c0

4

( )x , yf: = 0

2


Lauro / Nunes

6-60

143. Calcule a diferencial total da função: w 2x 2y xyze .

Resolução:

dw (2 x yz xyze ) dx(2 y xz xyze ) dy xy xyze dz .

Resposta: dw (2 x yz xyze ) dx(2 y xz xyze ) dy xy xyze dz

144. Calcule a diferencial total da função: w 1x 2x 2x 3x 3x 4x .

Resolução:

dw 2x 1dx ( 1x 3x ) 2dx ( 4x 2x ) 3dx 3x 4dx .

Resposta: dw 2x 1dx ( 1x 3x ) 2dx ( 4x 2x ) 3dx 3x 4dx .

145. Nos itens a) e b), calcule o valor aproximado para a variação da área na figura quando

os lados são modificados de:

a) 4cm e 2cm para 4,01cm e 2,001cm, num retângulo;

Resolução:

x 4cm e x 4,01 4 0,01cm A x y

y 2cm e y 2,001 2 0,001cm dAx

A

dx

y

A

dy y dx x dy

dA 20,0140,001 0,024cm2.

Para esta variação nos lados, a área do retângulo sofre um acréscimo de

aproximadamente 0,024cm2.

Resposta: 0,024cm2.

b) 2cm e 1cm para 2,01cm e 0,5cm, num triângulo retângulo.

Resolução:

A2

xy dA

x

A

dx

y

A

dy

2

ydx

2

xdy

dA 0,005 0,5 0,495cm2.

O sinal negativo indica que a área sofre um decréscimo de 0,495cm2 aproximadamente.

Resposta: 0,495cm2.

146. Calcular o valor aproximado de (1,001)3,02

.

Resolução:

Tome: w f ( x , y ) yx , encontrar f ( x x , y y )( x x ) yy , tal que x 1,

y 3, x 0,001 e y 0,02.

Sendo df f com f f ( x x , y y ) f ( x , y )

df ( x x ) yy yx ( x x ) yy yx df (1)

Mas df y 1yx dx yx xln dy 3120,001 1ln 0,02 0,003 0 0,003;

Substituindo em (1):

(1,001)3,02

1 0,003 (1,001)3,02

1,003.

Resposta: (1,001)3,02

1,003.

2

4

1

2


Lauro / Nunes

6-61

147. O diâmetro e a altura de um cilindro circular reto medem, com um erro provável de

0,2 pol em cada medida, respectivamente, 12 pol e 8 pol . Qual é, aproximadamente, o

máximo erro possível no cálculo do volume?

Resolução:

V

2

2

DH

4

HD2 Aproximação de V por dV : dV

D

V

dD

H

V

dH ;

Fazendo-se a substituição de D

V

2

DH e

H

V

4

2D em dV , tem-se:

dV 2

DH dD

4

2D dH 2

(12)(8)(0,2)

4

(12)

2(0,2) 16,8 3pol .

Resposta: dV 16,8 3pol

148. Dada a superfície z yx

yx

, se no ponto x 4, y 2, x e y são acrescidos de

10

1,

qual é a variação aproximada de z ?

Resolução:

dz x

z

dx

y

z

dy

x

z

2

11

)(

)()(

yx

yxyx

2

2

)( yx

y

;

y

z

2

11

)(

)()(

yx

yxyx

2

2

)( yx

x

;

dz 2

2

)( yx

y

dx

2

2

)( yx

x

dy

2

2

)( yx ( y dx x dy )

dz 224

2

)( (2

10

14

10

1) dz

90

1 0,01111.

Obs:

z f ( x + x , y + y ) f ( x , y )

z f (4+10

1,2+

10

1) f (4,2) f (

10

41,10

21) f (4,2)

31

10

3

1

93

1 0,01075.

Resposta: z 0,01075

H

D


Lauro / Nunes

6-62

149. As dimensões de uma caixa são 10 cm , 12 cm e 15 cm . Essas medidas têm um

possível erro de 0,02 cm . Encontre, aproximadamente, o máximo erro no cálculo do

volume.

Resolução:

V x y z

O valor exato do erro é V , entretanto, usaremos dV como uma aproximação de V .

dV x

V

dx

y

V

dy

z

V

dz , sendo assim:

dV y z dx x z dy x y dz

dV 12150,0210150,0210120,02 9 3cm . Logo: V 9 3cm .

Resposta: Logo: V 9 3cm

150. Use a regra da Cadeia para encontrar a derivada de w yx em relação a t ao longo

do caminho x tcos , y tsin . Qual é o valor da derivada em t 2

?

Resolução:

dt

dw

x

w

dt

dx

y

w

dt

dy w x y

x

w

y e

y

w

x ;

x tcos dt

dx tsin ;

y tsin dt

dy tcos ;

dt

dw y ( tsin ) x ( tcos ) t2sin t2cos )2cos( t ;

2

tdt

dw

22cos cos 1.

Neste caso, pode-se verificar o resultado:

w x y tcos tsin 2

1)2sin( t .

dt

dw

2

12 )2cos( t

dt

dw )2cos( t .

Resposta: 1

x

yz


Lauro / Nunes

6-63

151. Encontre dt

dw sendo que w x y z , x tcos , y tsin e z t . Determine o valor

da derivada em t 0.

Resolução:

dt

dw

x

w

dt

dx

y

w

dt

dy

z

w

dt

dz w x y z

x

w

y ,

y

w

x e

z

w

1;

x tcos dt

dx tsin ;

y tsin dt

dy tcos ;

z t dt

dz 1;

dt

dw y ( tsin ) x ( tcos ) 11 t2sin t2cos 1 1 )2cos( t ;

0

tdt

dw 1 )0cos( 11 2.

Resposta: 2

152. Expresse r

w

e

s

w

em termos de r e s se: w x 2 y 2z , x

s

r, y 2r sln ,

.

Resolução:

r

w

x

w

r

x

y

w

r

y

z

w

r

z

r

w

(1)

s

1(2)(2 r )(2 z )(2)

r

w

s

112 r ;

s

w

x

w

s

x

y

w

s

y

z

w

s

z

s

w

(1)

2s

r(2)

s

1(2 z )(0)

s

w

s

2

2s

r.

Resposta: r

w

s

112 r e

s

w

s

2

2s

r

153. Dada a função w 2x 2y 2z e sabendo que x = r cos sin , y r sin sin e

, calcular as derivadas da função w em relação a r , e .

Resolução:

r

w

w

w

x

w

y

w

z

w

zz

r

z

yy

r

y

xx

r

x


Lauro / Nunes

6-64

[2 x 2 y 2 z ]

sin0cos

cossinsincossinsin

coscossinsinsincos

r

rr

rr

r

w

2 x cos sin 2 y sin sin 2 z cos

2 r 2cos 2sin 2 r 2sin 2sin 2 r 2cos

2 r [( 1

22 sincos

) 2sin 2cos ] 2 r [ 1

22 cossin

]

r

w

2 r ;

w 2 x r sin sin 2 y r cos sin

2 2r cos sin 2sin 2 2r sin cos 2sin

w 0;

w 2 x r cos cos 2 y r sin cos 2 z r sin

2 2r 2cos cos sin 2 2r 2sin cos sin 2 2r cos sin

2 2r [( 2cos 2sin 1) cos sin ]

2 2r [(11) cos sin ]

2 2r [(0) cos sin ]

w 0.

Resposta: r

w

2 r ,

w 0 e

w 0

154. A altura de um cone circular é de h 100 pol e decresce a razão de 10 pol / seg . O

raio da base é de r 50 pol e cresce a razão de 5 pol / seg . Com que velocidade está

variando o volume, quando h 100 pol e r 50 pol ?

Resolução:

V f ( h , r ) 3

1 2r h

dt

dh 10 pol / seg e

dt

dr 5 pol / seg ;

dt

dV

h

V

dt

dh

r

V

dt

dr

dt

dV

3

1 2r

dt

dh

3

2 r h

dt

dr

h

r


Lauro / Nunes

6-65

dt

dV

3

1(50)

2(10)

3

2(50)(100)(5)

3

1(25000)

3

2(25000)

3

25000.

dt

dV

3

25000 26180 3pol / seg .

Resposta: Portanto, o volume cresce à taxa de 26180 3pol / seg no dado instante

155. Use a lei do gás ideal com k 10 para encontrar a taxa de variação da temperatura no

instante em que o volume do gás é 120 3cm e o gás está sob uma pressão de 8 din / 2cm , se

o volume cresce à taxa de 2 3cm / seg e a pressão decresce à taxa de 0,1 din / 2cm ( din ,

unidade de força) por segundo.

Resolução:

T 10

PV

dt

dT

P

T

dt

dP

V

T

dt

dV P 8, V 120,

dt

dP 0,1 e

dt

dV 2;

dt

dT

10

V

dt

dP

10

P

dt

dV

dt

dT

10

120(0,1)

10

8(2)

dt

dT0,4 graus / seg .

Resposta: A temperatura cresce à taxa de 0,4 graus por segundo no dado instante.

156. Encontre x

y

para 2y 2x xysin 0.

Resolução:

Tome F ( x , y ) 2y 2x xysin . Então x

y

y

x

F

F

xyxy

xyyx

cos2

cos2

xyxy

xyyx

cos2

cos2

.

Resposta: x

y

xyxy

xyyx

cos2

cos2

157. Dada a equação 2x 2y 1, encontre x

y

usando derivação por duas formas:

a) Derivando implicitamente;

b) Derivando através de função de uma variável.

a) F ( x , y ) 2x 2y 1

Resolução:

x

y

y

x

F

F

y

x

2

2

x

y

;

Resposta: x

y

b) 21 x

Resolução:

x

y

2

1(1 2x )

1/2(2 x )

21 x

x

.

Resposta: x

y

y

x

y

x

y

y

x

y

x


Lauro / Nunes

6-66

158. Sabendo que z f ( x , y ) é definida por 4x y 3y 3z z 5, determine x

z

e

y

z

.

Resolução:

F ( x , y , z ) 4x y 3y 3z z 5

x

F

4 3x y ;

y

F

4x 3 2y ;

z

F

3 2z + 1.

x

z

13

42

3

z

yx e

y

z

13

32

24

z

yx )(.

Resposta: x

z

13

42

3

z

yx e

y

z

13

32

24

z

yx )(

159. Classificar os pontos críticos da função f ( x , y ) 3 x 2y 3x 3 x .

Pontos críticos:

Resolução:

x

f

0 3 2y 3 2x 3 0 (1)

y

f

0 6 x y 0 (2)

De (2) concluímos que x 0 ou y 0;

Fazendo x 0 em (1) (0,1) e (0,1);

Fazendo y 0 em (1) (1,0) e (1,0).

Logo, os pontos críticos de f são: A (0,1), B (0,1), C (1,0) e D (1,0).

Hessiano H ( x , y ) yyyx

xyxx

ff

ff

xy

yx

66

66 36 2x 36 2y .

Análise em A (0,1), B (0,1), C (1,0) e D (1,0):

A (0,1) H (0,1) 36 0 A (0,1) é PONTO DE SELA;

B (0,1) H (0,1) 36 0 B (0,1) é PONTO DE SELA;

C (1,0) H (1,0) 36 0 e xxf (1,0) 6 0 C (1,0) é MÍNIMO LOCAL de f ;

D (1,0) H (1,0)360 e xxf (1,0)60 D (1,0) é MÁXIMO LOCAL de f .

Gráfico de f ( x , y ) 3 x 2y 3x 3 x .

Resposta: A (0,1) é PONTO DE SELA; B (0,1) é PONTO DE SELA; C (1,0) é

MÍNIMO LOCAL de f e D (1,0) é MÁXIMO LOCAL de f .


Lauro / Nunes

6-67

160. Considerando f ( x , y ) 2x x y 2y x

3

y

35, verifique se o ponto (1,1) é ponto

crítico, classificando-o.

Resolução:

x

f

2 x y

2

3

x xf (1,1) 0

y

f

x 2 y

2

3

y yf (1,1) 0 (1,1) é ponto crítico de f .

Cálculo do hessiano:

H ( x , y ) yyyx

xyxx

ff

ff

3

3

621

16

2

y

x

(23

6

x)(2

3

6

y) 1.

H (1,1) 63 0 e 2

2

x

f

(1,1) 8 0.

Logo, (1,1) é MÍNIMO LOCAL de f .

Resposta: (1,1) é MÍNIMO LOCAL de f .

161. Seja f ( x , y )2 3x 2 3y 6 x 6 y . Analisar os pontos de máximo e mínimo de f no

conjunto aberto A da figura a seguir.

Resolução:

Candidatos a máximos e mínimos:

x

f

6 2x 6 e

y

f

6 2y 6. Resolver o sistema:

066

066

2

2

y

x.

Pontos: 1P (1,1), 2P (1,1), 3P (1,1) e 4P (1,1).

Hessiano: H ( x , y ) yyyx

xyxx

ff

ff

y

x

120

012 144 x y .

ANÁLISES:

1P (1,1) H (1,1) 144 0 e xxf (1,1) 12 0 (MÍNIMO LOCAL).

2P (1,1) H (1,1) 144 0 (PONTO DE SELA).

3P (1, 1) H (1, 1) 144 0 (PONTO DE SELA).

4P (1,1) H (1,1) 144 0 e xxf (1,1) 12 0 (MÁXIMO LOCAL).

Resposta: f possui um ponto de mínimo e um de máximo local. São eles: (1,1) e

(1,1).


Lauro / Nunes

6-68

162. Tome f ( x , y )2 3x 2 3y 6 x 6 y do exercício anterior. Determinar o valor

máximo e o valor mínimo de f no conjunto B delimitado pelo triângulo MNP da figura

a seguir.

Resolução:

Pelo teorema de Weierstrass, existem 1P e 2P B tais que

f ( 1P ) f ( P ) f ( 2P ), P B .

1P e 2P são pontos de mínimo e máximo absolutos. Do exercício anterior, temos que

(1,1) é o único ponto crítico de B e (1,1) é ponto de mínimo local de f .

ANÁLISES DAS FRONTEIRAS a) PM , b) MN e c) NP :

a) PM reta x y 3 y 3 x para 0 x 3.

Na função: f ( x ,3 x ) 2 3x 2(3 x )36 x 6(3 x ) 18 2x 54 x 36.

Análise de máximos e mínimos em uma variável:

x 2

3 é um ponto de mínimo em (0,3);

x 0 e x 3 são pontos de máximo em [0,3].

b) MN reta y 0 para 0 x 3.

Na função: f ( x ,0)2 3x 6 x .

Análise de máximos e mínimos:

'f ( x ,0) 6 2x 6 x 1 x 1(0,3).

"f ( x ,0) 12 x "f (1,0) 12 0 x 1 é ponto de mínimo.

x 1 é um ponto de mínimo em (0,3);

x 3 é um ponto de máximo em [0,3].

c) NP reta x 0 para 0 y 3.

Na função: f (0, y )2 3y 6 y .

Mesmo caso de b), aplicado para y .

y 1 é um ponto de mínimo de f (0, y ) em (0,3);

y 3 é um ponto de máximo de f (0, y ) em [0,3].

RESUMO:

PONTO LOCALIZAÇÃO IMAGEM DO PONTO

(1,1) INTERIOR DE B 8

2

3

2

3, FRONTEIRA DE B

2

9

(0,3) FRONTEIRA DE B 36




CONCLUSÃO FINAL: 1P (1,1) é ponto de mínimo absoluto de f ( x , y ).


Lauro / Nunes

6-69

2P (0,3) e 3P (3,0) são pontos de máximo absolutos. Logo:

- O valor de mínimo de f é f (1,1) 8.

- O valor de máximo de f é f (0,3) f (3,0) 36.

Resposta: O valor de mínimo de f é f (1,1) 8. e o valor de máximo de f é f (0,3)

f (3,0) 36.

163. Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 3m e com a

menor área de superfície possível?

Resolução:

VOLUME: V x y z .

ÁREA TOTAL: S 2 x z 2 y z x y .

MINIMIZAR S sabendo que x y z 4 e x , y , z 0.

ou min S 2 x z 2 y z x y (1)

s.a. x y z 4 (2)

x , y , z 0. (3)

(1) é a função objetivo; (2) e (3) são restrições.

Podemos eliminar (2), explicitando z em função de x e y :

z xy

4 S 2 x

xy

42 y

xy

4 x y ;

Logo: min S y

8

x

8 x y

s.a. x , y , z 0.

MINIMIZAR S : x

S

2

8

x y ;

y

S

2

8

y x .

Resolução do sistema:

08

08

2

2

xy

yx

Obtemos como solução o ponto (2,2). CLASSIFICAÇÃO DO PONTO: Hessiano.

H ( x , y ) yyyx

xyxx

ff

ff

3

3

161

116

y

x

33

256

yx1. H (2,2) 3 0 e

2

2

x

S

(2,2) 2 0.

Assim, (2,2) é um ponto de mínimo.

Dimensões da caixa: x 2, y 2. z xy

4 z 1. ( x , y , z ) (2,2,1).

Resposta: ( x , y , z ) (2,2,1).

xy

z

22

1

Cálculo II Integrais Duplas e Triplas

Lauro / Nunes

7-70

7 Integrais Duplas e Triplas

164. Seja D a região do plano xy delimitada pelos gráficos de y x2 e y 2x.

Calcule D

( x3 + 4y)dA aplicando: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2.

(a) Teorema 1

Resolução: Variação de x: 0 x 2

Fronteira inferior: y x2

Fronteira superior: y 2x

a 0; b 2; g1(x) x2 e g2(x) 2x

D

( x3 + 4y)dA

2

0

2

2(

x

xx

3 + 4y)dydx

2

0

x

xdyyx

2 32

)4( dx

2

0

x

x

yyx

22

3

22

4

dx

2

0 [(2x

4 8x

2) (x

5 2x

4)]dx

3

8x

3

2

0

6

6

1

x

3

32

Resposta: 3

32

(b) Teorema 2

Resolução: Variação de y: 0 y 4

Fronteira esquerda: x 2

y

Fronteira direita: x y

c 0; d 4; h1(y) 2

y e h2(y) y

D

( x3 + 4y)dA

4

0 2/(

y

yx

3 + 4y)dxdy

4

0

y

ydxyx

2/

3 )4( dy

4

0

y

y

yxx2/

4 44

1

dy

4

0[(

4

1y

2 4 2/3y ) (

64

1y

4 2y

2)]dy

3

32

Resposta: 3

32

x

yD

(2,4)

y

2xy

x2

x

yD

(2,4)

y

2xy

x


Lauro / Nunes

7-71

165. Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y x , y 183 x e y 0.

Se f é uma função contínua arbitrária em D, expresse a integral dupla D

f (x, y)dA em

termos de integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2.

(a) Teorema 1

Resolução:

Propriedade 4: D

f (x, y)dA 1D

f (x, y)dA 2D

f (x, y)dA

6

0 0

xf (x, y)dydx

9

6 183

x

xf (x, y)dydx

Resposta:

(b) Teorema 2

Resolução:

D

f (x, y)dA 3

0

63

2

2

y

yf (x, y)dxdy

Resposta:

x

y

2

D

(9,3)

y x

1

Dy 3 18x

(6,0)

D

x

y2

(9,3)

yx

3

(6,0)

D

1 2yx 6


Lauro / Nunes

7-72

166. Dada 4

0

2

yy 5cos x dxdy, inverta a ordem de integração e calcule a integral

resultante.

Resolução:

A ordem de integração dada, dxdy, indica que se trata de uma região Dy

dxdy Variação de y: 0 y 4

Região Dy Fronteira esquerda: x y ; Fronteira direita: x 2

dydx Variação de x: 0 x 2

Região Dx Fronteira inferior: y 0; Fronteira superior: y x2

Logo: 4

0

2

yy 5cos x dxdy

2

0 0

2xy 5cos x dydx

2

00

52

2

cos2

x

xy

dx 2

0 2

4x 5cos x dx 10

1

2

0( 5cos x )(5x

4dx)

10

1 2

05sin x

10

1sin32 0,055

Resposta: 0,055

167. Calcular I D

y sinxy dxdy,

onde D é o retângulo de vértices

2,0 ,

2,1 , ,1 e ,0 .

Resolução:

Como a região D é um retângulo, ela pode ser enquadrada nos dois tipos: Dx ou Dy.

Integrando primeiro em relação à variável x, temos:

x

y

x

(2,0)

D

(2,4)

yx

2

x

y

(2,0)

D

(2,4)

y x 2

dxdy dydx

x

D

1 ( , )

1 ( , )2

0 ( , )

0 ( , )2

2

1 ( , )2

1 ( , )

x

y

D

10


Lauro / Nunes

7-73

I

2

1

0)sin( dxdyxyy

2

1

0)cos( dyxy

2

)0coscos( dyy

2

)1cos( dyy

I

2

)sin( yy sin 2

sin 2

1

2

Resposta: 12

168. Calcular I D

22 yx dxdy, sendo D o círculo de centro na origem e raio 2.

Identificar D’ em r, com correspondência ao D em xy.

Contorno da região D: x2 y

2 4.

D’:

20

20

r

Resolução:

f (x, y) 22 yx x r cos e y r sin

f (r cos, r sin) 2222 sincos rr r

I D

22 yx dxdy

I 'D

rr drd drd

I

2

0

2drr d 2

0

2

0

3

3

rd

2

0d

3

8

2

0

3

16

Resposta: 3

16

2

2

r

D

2

2

x

y

D’r

rx cosry sen

2

0

2

0

2r

2

0 3

8


Lauro / Nunes

7-74

169. Calcular I D

22 yxe dxdy, onde D é a região do plano xy delimitada entre x2 y

2 4

e x2 y

2 9.

Região D: x2 y

2 4 x

2 y

2 9 Região D’:

32

20

r

Resolução:

f (x, y) 22 yxe x r cos e y r sin

f (r cos, r sin) 2222 sincos rre

f (r cos, r sin) 2re

I D

22 yxe dxdy

I 2

0

3

2

2re rdrd 3

2

2re rdr 2

1

9

4dueu

9

42

ue

2

49 ee

I 2

49 ee

2

0d

2

49 ee

2

0 49 ee

Resposta: 49 ee

170. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por z 4 2x2 2y

2.

Resolução:

f (x, y) 4 2x

2 2y

2

Região do plano xy: f (x, y) 0 4 2x2 2y

2 0

D é delimitada por x2 y

2 2 V

D

f (x, y)dA D

(4 2 x2 2y

2)dxdy

Coordenadas polares: f (x, y) f (r cos, r sin) 4 2r2 cos

2 2r

2 sin

2 4 2r

2

V D

(4 2x2 2y

2)dxdy

2

0

2

0( 4 2r

2)rdrd

2

0

2

0( 4r 2 r

3)drd

V 2

0

2

0

42

4

2

2

4

rr d

2

02 d 4 u.v. (unidades de volume)

Resposta: 4 u.v.

x

y

D

2

r

3

D’

r2

2

3

x

z

y2

2

4


Lauro / Nunes

7-75

171. Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z 4 x y,

inferiormente pela região delimitada por x 2, x 0, y 0 e y 4

1x

2

1 e lateralmente

pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

Resolução:

A região D é do tipo Dx que pode ser dada por D :

20

2

1

4

10

x

xy

Logo, o volume é dado por: V 2

02

1

4

1

0(

x4 x y)dydx

V

2

0

2

1

4

1

0

2

24 dx

yxyy

x

2

0

2

2

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

4

14 dx

x

xxx

V

2

0

2

2

2

4

1

416

242 dx

xx

xxx

2

0

22

8

1

832242 dx

xxxxx

V

2

0

22

32

441686432dx

xxxxx

2

0(

32

19x

2 12x 60)dx

V 2

0

23 606332

1xxx

32

1(24 24 120)

32

120

4

15 3,75

Resposta: V 4

15 unidades de volume.

172. Calcular a área da região D delimitada por x y2 1 e x y 3. Calcular pelas duas

formas:

a) Dx (Teorema 1)

b) Dy (Teorema 2)

Por (7), A D

dA

1

x

z

y

2

4

(2,0,2)

(2,1,1)

(0, , )12

72

12


Lauro / Nunes

7-76

Resolução:

a) Considerando Dx (Teorema 1):

A I1 I2

A

2

1

1

1

x

xdydx

5

2

3

1

x

xdydx

I1

2

1

1

1

x

xdydx

2

1

1

1dxy

x

x

2

111 dxxx

2

1

2/1)1(2 dxx

I1

2

1

12/1

12/1

)1(2

x

2

1

2/3

2/3

)1(2

x

2

1

3)1(3

22

x 01

3

4

3

4

I2

5

2

3

1

x

xdydx

5

2

3

1dxy

x

x

5

21)3( dxxx

5

2

32

)1(3

2

23

x

xx

I2

3)4(

3

2

2

2515

3)1(

3

2

2

46

I2 15 2

25

3

16 6 2

3

2 11

2

25

3

14

6

287566

6

7594

6

19

A I1 I2 3

4

6

19

6

198

6

27

2

9

b) Considerando Dy (Teorema 2):

A

1

2

3

12

y

ydxdy

1

2

3

12 dyxy

y

1

2

2 )1()3( dyyy 1

2

2 13 dyyy

A 1

2

2)2( dyyy

1

2

32

322

yyy

3

1

2

12

3

)8(

2

44

x

y

2

5

3

1

1

2

32 41

x

y

51

1

2

3

2

41I1

I2

y

y

y 3 x1x

1x

x

y

51

1

2

3

2

41I

y 3x

y 1x 2


Lauro / Nunes

7-77

A 2 2

1

3

1 4 2

3

8 8

2

1

3

9 8

2

1 3 5

2

1

2

110

2

9

Resposta: 2

9 u.a. (unidades de área)

173. Calcular I T

x dV, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x2 y

2 25,

pelo x y z 8 e pelo plano xy.

Resolução:

T é delimitado

superiormente por z 8 x y h2(x, y)

e inferiormente por z 0 h1(x, y)

A projeção de T sobre o plano xy é o círculo x2 y

2 25 (região D), logo:

I D

),(

),(

2

1

yxh

yxhxdz dxdy

D

yxxdz

8

0dxdy

D

yxxz

80 dxdy

I D

x(8 x y)dxdy D

(8x x2 xy)dxdy

Coordenadas polares: I 2

0

5

0(8r cos r

2 cos

2 r cos r sin)rdrd

I 2

0

5

0[8cosr

2 (cos

2 cos sin)r

3]drd

I 2

0

3

8cosr

3 (cos

2 cos sin)

5

0

4

4

rd

I 2

0

3

1000cos

4

625(cos

2 cos sin)

d

Resolução das partes:

2

0cos d 0

2

0cos

2 d

2

0(

21

21 cos2)d

2

0 21 d

2

0cos sin d

2

0 21 sin2 d 0

Voltando a I:

I

0

4

625( 0)

4

625

Resposta: I 4

625

x

z

y

z8 x y

T

D5

z0

D

5

y

x


Lauro / Nunes

7-78

174. Calcular I T

y dV, onde T é a região delimitada pelos planos coordenados e pelo

plano 3

x

2

y z 1.

T é o tetraedro representado a seguir:

Neste caso, T se enquadra em qualquer um dos casos: (i), (ii) ou (iii). No desenho, é

sugerida a utilização de (i).

Resolução:

Utilizando (i):

I T

y dV D

23

1

0

yx

ydz

dxdy

D

yz 231

0

yx dxdy

I D

y(1 3

x

2

y)dxdy

3

0

2

0

32 x

(y 3

xy

2

1y

2)dydx

2

1

Refaça pelos procedimentos (ii) e (iii)

Resposta: I 2

1

175. Calcular I T

(x2 y

2)dV, onde T é a região delimitada pelo plano xy, pelo

parabolóide z x2 y

2 e pelo cilindro x

2 y

2 a

2.

A região T é limitada inferiormente por z 0 e superiormente por z x

2 y

2 que, em

coordenadas cilíndricas, tem equação z r2.

Observação: Levando-se em conta que a região T se enquadra no caso (i), pode-se

escrever a equação (12) representada pela (13).

x

z

y

z 1

T

D2

z 0

D

y

x

3

1

x3

y2

2

3

a

a2

a

a2

D

T

z

z 0


Lauro / Nunes

7-79

'D

),(

),(

2

1

rh

rhf ( rcos, rsin, z)dz

rdrd (13)

Onde h1 e h2 delimitam T inferior e superiormente.

D’ é a projeção de T sobre o plano xy descrita em coordenadas polares.

Resolução:

Usando (13) para o exercício:

I T

( x2 y

2)dV

'D

2

0

2rr dz

rdrd D’:

20

0 ar

Logo: I ar

0

2

0

4rddr

2

00

5ar dr

ar

0

52 dr 2

ar

0

6

6

3

6a

Resposta: I 3

6a

176. Calcular I T

zdV, onde T é a região limitada superiormente pela esfera

x2 y

2 z

2 16 e inferiormente pelo cone 22 yxz .

Resolução:

Em coordenadas esféricas, a esfera x2 y

2 z

2 16 tem equação 4 e o cone

22 yxz tem equação 4

.

A região T em coordenadas esféricas pode ser dada por

40

20

40

:'T

I 'T

f (sencos, sensen, cos)2sinddd

Sendo que: f (sencos, sensen, cos) z cos

Logo:

I 'T

cos2sinddd

Esféra 4

Cone 4

T

D


Lauro / Nunes

7-80

I

2

0 0

4

0

34cossin ddd

2

0 0

4

0

44

4cossin dd

I

2

0 0

4cossin64 dd

2

00

2 4

2

sin64 d

I

2

0

2

2

232 d

2

016 d

I

2

016 32

Resposta: I 32

177. Determinar o centro de massa da chapa homogênea da figura abaixo.

Resolução:

Como a chapa é homogênea, e simétrica em relação ao eixo dos y, vamos trabalhar só

com a metade dela:

A região R é denotada por:

R:

ax

xay

0

30

(x, y) k (chapa homogênea)

M R

dAyx ),(

M 2 a xa

kdydx0

3

0 2k

a xadydx

0

3

0 2k

a xadxy

0

30 2k

adxxa

00)3(

M 2 k a

dxxa0

)3( 2 k

ax

ax

0

2

23

2 k

0

23

22 a

a 2 k 2

5 2a 5a

2k

M 5a2k unidades de massa

Cálculo do My:

Pela simetria em relação ao eixo y, podemos afirmar que:

My 0

Cálculo do Mx:

Mx

R

dAyxy ),(

Mx k

0 3

0a

xaydydx k

a xaydydx

0

3

0

Mx k

03

0

2

2a

xa

dxy

k

axa

dxy

0

3

0

2

2

y

xa

R

a

2

a

a

3a


Lauro / Nunes

7-81

Mx

a

adxxadxxa

k

0

20 2 )3()3(2

Mx

a

adxxaxadxxaxa

k

0

220 22 )69()69(2

Mx

a

a

xaxxa

xaxxa

k

0

322

03

22

339

339

2

Mx

339

339

2

333

333 a

aaa

aak

3392

2

333 a

aak

3

19 3ka

Mx 3

19 3ka

Cálculo do centro de massa: M

Mx

y 0

M

My x

ka

ka

2

3

5

3

19

ka

ka2

3

5

1

3

19

15

19a

Resposta: ),( yx

15

19,0

a

178. Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos y da chapa da figura a seguir,

sabendo que a densidade de massa é igual a xy Kg/m2.

Resolução:

R:

20

0

yx

xy (x, y) xy

Iy

R

dAyxx ),(2 4

0 0

2xxydydxx

4

00

22

2dx

yxx

x

4

0

4

2dx

x

4

0

5

10

x

Iy 10

45

10

1024 102,4

Resposta: 102,4 Kg/m2

y

x

2

4

y

R

x


Lauro / Nunes

7-82

179. Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2x y z 1 e os

planos coordenados, sabendo que a densidade de massa em P(x, y, z) é proporcional a

distância até o plano xy.

Resolução:

Como a densidade de massa em P é proporcional à distância ao plano xy, considere k

como uma constante de proporcionalidade e teremos que: (x, y, z) kz.

A massa total é dada por:

M T

dVzyx ),,( T

kzdV 1

0

)1(

0

21

0

21 y yx

zdzdxdyk

M

1

0

)1(

0

21

0

221

2

yyx

dxdyz

k

1

0

)1(

0

221

212

ydxdyyx

k

M

1

0

)1(

0

3 21

3

21

2

1

2dy

yxky

1

0

)1(

03 2

1

2112

dyyxk y

M 1

0

33

21 021)1(21

12dyyyy

k

1

0

33111

12dyyyy

k

M 1

0

3)1(12

dyyk

1

0

4

4

)1(

12

yk 44 )01()11(

48

k 1

48

k

48

k

M 48

kunidades de massa

Cálculo dos momentos de massa:

Mxy

T

dVzyxz ),,( 1

0

)1(

0

21

0

221 y yx

dzdxdyzk 120

k

Mxz

T

dVzyxy ),,( 1

0

)1(

0

21

0

21 y yx

yzdzdxdyk 240

k

Myz

T

dVzyxx ),,( 1

0

)1(

0

21

0

21 y yx

xzdzdxdyk 480

k

Coordenadas do centro de massa:

M

Mx

yz

10

1,

M

My xz

5

1 e

M

Mz

xy

15

6

Resposta: M 48

k unidades de massa. Centro de massa:

15

6,

5

1,

10

1

1

12x

z

P

y1

yx

zT


Lauro / Nunes

7-83

180. Encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelo

cilindro

x2 y

2 9 e pelos planos z 2 e z 4, sabendo que a densidade de massa é igual a

(x2 y

2) kg/m

3.

Resolução:

O momento de inércia em relação ao eixo z é dado por:

Iz

T

dVzyxyx ),,()( 22 (x, y, z) (x2 y

2)

Iz

T

dVyx 222 )(

Usando coordenadas cilíndricas, temos:

Iz

2

0

3

0

4

2

4 rdzdrdr

2

0

3

0

4

25 drdzr

2

0

3

0

55 )24( drdrr

2

0

3

0

52 drdr

Iz

2

0

3

0

6

62 d

r

2

0

6

3

3d

2

0243 486

Resposta: 486 kgm2

181. Calcular a integral I 1

0

4

4

2

x

y dydxe .

Resolução:

Já que a função dada não tem primitiva entre as funções elementares do Cálculo,

podemos fazer uma transformação da região que é do tipo Dx para o tipo Dy.

Passando de Dx:

10

44

x

yx para Dy:

40

40

y

yx

Então: I 1

0

4

4

2

x

y dydxe 4

04

0

2y

y dxdye 4

0

40

2

dyxe

y

y

4

0 4

2

dyy

e y

x

z

y

T4

2

3

r

z

T’

4

2

2

3

y

x

4

1

D

0


Lauro / Nunes

7-84

Substituir: u y2 du 2ydy ou ydy

2

du tal que:

164

00

uy

uy

I

4

0 4

2

dyy

e y

16

0 24

1 dueu

16

08

1dueu

I 16

08

1 ue 016

8

1ee 161

8

1 e

Resposta: I 1618

1 e

182. Calcular I D

dAyxy sin onde D é a região delimitada por x 0, y 2

e

√ .

Resolução:

Podem ser usadas as duas formas, porem, será usada a forma para Dy:

Dy:

20

0

y

yx

I D

dAyxy sin

20 0

siny

dxdyyxy

Substituir: u yx du y dx, tal que:

yuyx

ux 00

Então, fazendo a integral interna temos:

y

dxyxy0

sin y

udu0

sin yu 0cos [cosy cos0] [cosy 1] 1cosy

Voltando a I:

I

20 0

siny

dxdyyxy

20

)cos1( dyy

I 20sin

yy

2sin

2 (0 sin0)

2

1

2

2

Resposta: I 2

2

y

x

D

2

2


Lauro / Nunes

7-85

183. Calcular I D

dAxy onde D é o triângulo OAB da figura a seguir.

Resolução:

Retas que delimitam o triângulo OAB:

OA y 2

x

OB y 2x

AB y x 3

Vamos dividir a região D em duas:

Então temos que: I D

dAxy 1D

dAxy 2D

dAxy

Resolvendo em D1:

1D

dAxy 1

0

2

2

x

x xydydx

1

0

2

2

2

2

1dxxy

x

x

1

0

22

22

1)2(

2

1dx

xxxx

1

0

33

8

12 dxxx

1

0

3

8

15dxx

1

0

4

48

15

x 44 01

32

15

32

15

Resolvendo em D2:

2D

dAxy 2

1

3

2

x

x xydydx

2

1

3

2

2

2

1dxxy

x

x

2

1

22

22

1)3(

2

1dx

xxxx

2

1

32

8

1)96(

2dxxxx

x

2

1

323 362448

1dxxxxx

2

1

23 362438

1dxxxx

2

1

234

2

36

3

24

4

3

8

1

xxx

2

1

234

4

9

32

3

xxx

234 2

4

922

32

3

234 1

4

911

32

3

98

2

3

4

91

32

3

2

31

32

31

4

9

32

7236448

32

37

Somando: I 1D

dAxy 2D

dAxy 32

15

32

37

32

3715

32

52

8

13

Resposta: I 8

13

1

2

0 1 2 x

y

A

B

D

1

2

0 1 2 x

y

A

B

D1

D2


Lauro / Nunes

7-86

184. Usando coordenadas polares, escrever na forma de uma integral iterada,

a integral I D

dxdyyxf ),( onde D é a região delimitada por x2 y

2 ay 0, a 0.

Resolução:

A região D é um círculo de centro

2,0

a e raio

2

a

Como x r cos e y r sin, a equação em coordenadas polares fica:

x2 y

2 ay 0

(r cos)2 (r sin)

2 a r sin 0

r2 )sincos(

1

22

a r sin

r a sin

I

0

sin

0)sin,cos(

adrdrrrf

Resposta: I

0

sin

0)sin,cos(

adrdrrrf

185. Calcular I D

dxdyy , sendo D a região delimitada por x2 y

2 ax 0, a 0.

Resolução:

Semelhantemente ao exercício anterior:

A região D é um círculo de centro

0,

2

a e raio

2

a

Como x r cos e y r sin, a equação em coordenadas polares fica:

x2 y

2 ay 0

(r cos)2 (r sin)

2 a r cos 0

r2 )sincos(

1

22

a r cos

r a cos

Em coordenadas polares, pegaremos a região D:

D:

22

cos0 ar

I D

dxdyyxf ),(

Obs: f (x , y) y e y r sin

I

D

rdrdrrf )sin,cos(

D

rdrdr sin

D

drdr sin2

y

x

D

2a

a

r

y

x

D

2a

a

r


Lauro / Nunes

7-87

I

2

2

cos

0

2 sina

drdr

2

2

cos

0

3

sin3

dr

a

2

2

3

0sin3

)cos(d

a

I

2

2

33

sincos3

da

Substituir: u cos du sind, tal que:

02

02

u

u

Voltando à I:

I 0

0

33

)(3

duua

0

0

43

43

ua 0

Resposta: I 0

186. Calcular I

D

dxdyyx 22 , sendo D a região limitada pelas curvas:

xyx 222 , xyx 422 , xy e xy3

3 .

Resolução:

Passando para coordenadas polares as equações das curvas que delimitam D, temos:

xyx 222 cos2r

xyx 422 cos4r

y x 4

e xy

3

3

6

Em coordenadas polares, D pode ser descrita por:

D’:

cos4cos2

46

r

D

22 dxdyyxI

D'

2222 sincos rdrdrrI

4/

6/

cos4

cos2

2drdrI

4/

6/

cos4

cos2

3

3d

r

4/

6/

3cos3

56d

4/

6/

2 coscos3

56d

Obs.: cossin1coscos 22

1 2 x

y

D

3 46 4


Lauro / Nunes

7-88

4/

6/

24/

6/cossincos

3

56ddI

4/

6/

3

3

sinsin

3

56

11210

9

7

Resposta: 112109

7I

187. Calcular

D

dxdyyxI )( , sendo D o paralelogramo limitado pelas retas:

x y 0, x y 1, y 2x e y 2x 4.

Resolução:

Da forma como foi dada, a integração em x e y, considerada a região D, será dividida em

três sub-regiões.

Fazendo uma mudança de variáveis, a integração pode ser facilitada.

Tome: u x y e v 2x.

x 2

v

y 2

v u y

2

2uv

Fazendo as mudanças de variáveis nas retas:

y 2x y 2x 4

2

2uv 2

2

v

2

2uv

2

82 v

v 2u 2v v 2u 2v 8

v 2u v 2u 8

x y 0 u 0

Todas as retas transformadas: x y 1 u 1

y 2x v 2u

y 2x 4 v 2u 8

Assim, fazendo o gráfico novamente, temos:

y

x

4

2 4

1

2

D

2

3

y 2x y 2x 4

y 0x

y 1x

y

x

4

2 4

1

2

2

3

y 2x y 2x 4

y 0x

y 1x

I1

I2

I3


Lauro / Nunes

7-89

Com as mudanças das variáveis, D pode ser descrita por: D’:

822

10

uvu

u

D

f (x, y)dxdy 'D

f (x(u, v), y(u, v))),(

),(

vu

yx

dudv

O jacobiano de x, y em relação a u e v fica:

x 2

v e y

2

2uv

),(

),(

vu

yx

v

y

u

y

v

x

u

x

2

11

2

10

2

1

I

D

dxdyyx )( '

2

1)(

D

dudvu

I 2

1

1

0

82

2

u

uudvdu

2

1

1

0

82

2duuv

u

u

2

1 1

0)282( duuuu

2

1 1

08 duu

I 4 1

0udu 4

1

0

2

2

u 4

2

1 2

Resposta: I 2

188. Calcular

D

dxdyyxI 22 )2()2( , onde D é a região delimitada pela

circunferência

(x 2)2 (y 2)

2 4.

Obs.: Aconselha-se o uso de duas transformações:

1a: u x 2 e v y 2; 2

a: coordenadas polares.

Resolução:

1a transformação: leva o centro da região D para a origem:

u x 2

v y 2

v

u

8

1 4

2

D

v 2u 8

’

v 2u0u 1u

y

x2

D

2

u

y 2v

v

2

2

x 2u

D’


Lauro / Nunes

7-90

D: (x 2)2 (y 2)

2 4 D’: u

2 v

2 4

D

f ( x , y )dxdy 'D

f ( x(u, v), y(u, v))),(

),(

vu

yx

dudv

O jacobiano de x, y em relação a u e v fica:

x u 2 e y y 2 ),(

),(

vu

yx

v

y

u

y

v

x

u

x

10

01 1

I

D

dxdyyx 22 )2()2(

D'

22 )( dudvvu

2a transformação: transformar para coordenadas polares.

Identificar D” em r, com correspondência ao D’ em uv.

Contorno da região D’: u2 v

2 4. D”:

20

20

r

I

'

22 )(

D

dudvvu '

),(

D

dudvvuf

f (u, v) u2 v

2 (rcos)

2 (rsin)

2 r

2cos

2 r

2sin

2 r

2(cos

2 sin

2) r

2

I

'

22 )(

D

dudvvu

"

2)(

D

drdrr

"

3

D

drdr

I

2

0

2

0

3drdr

2

0

2

0

4

4d

r

2

0

4

04

2d

I 4

2

0d 4

2

0 4[2 0] 8

Resposta: I 8

189. Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado por y z 2 e pelo

cilindro que contorna a região delimitada por y x2 e x y

2.

Resolução:

Da equação y z 2, tal que z 2 y, tome f (x, y) 2 y.

Vamos resolver a integral seguinte para obter o volume:

D’

2

2

r2

2

u

v

r

ru cosrv sen

D”

x1

1

yz

x

2

1

1

1y

x

yx

y 2

Região D

Sólido


Lauro / Nunes

7-91

V D

f (x, y)dxdy

V 1

0 2)2(

y

ydxdyy

1

02)2( dyxyy

y

1

0

2))(2( dyyyy

V 1

0

32 )22( dyyyyyy 1

0

32/322/1 )22( dyyyyy

V

1

0

42/532/3

42/53

2

2/3

2

yyyy

2/3

2

3

2

2/5

1

4

1

3

4

3

2

5

2

4

1

V 60

15244080

60

6495

60

31

Resposta: V 60

31 unidades de volume

190. Calcular o volume do sólido abaixo do plano xy delimitado por z x2 y

2 9.

Resolução:

Como z x2 y

2 9 0 para x

2 y

2 9, o volume será calculado considerando-se o

módulo da integral.

V

D

dxdyyx )9( 22

Contorno da região D: x2 y

2 9. D’:

30

20

r

V

2

0

3

0

2 )9( rdrdr

2

0

3

0

24

2

9

4d

rr

2

0

24

2

)3(9

4

3d

V

2

0 2

81

4

81d

2

0 4

81d

4

81

2

0d

4

81

2

0

4

812

2

81

Resposta: V 2

81

y

x

4

z

9

3

y

x3

3

r

D

3

2

D’r

rx cosry sen


Lauro / Nunes

7-92

191. Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros

x2 y

2 16 e x

2 z

2 16.

Resolução:

Tome a região D como sendo 1/4 da circunferência definida no primeiro quadrante do

plano xy.

Região D: x2 y

2 16. D:

40

160 2

x

xy

Superiormente o sólido é limitado pelo cilindro x

2 z

2 16. Logo: z

2 16 x

2.

Então: z 216 x

V

4

0

16

0

22

16x

dydxx

4

0

16

0

2

2

16 dxyxx

4

0

22 1616 dxxx

V 4

0

2)16( dxx

4

0

3

316

xx 164

3

43

64 3

64

3

64192

3

128

Resposta: V 3

128 unidades de volume

yx

z4

44

y

x

4

4

D


Lauro / Nunes

7-93

192. Calcular o volume do tetraedro dado na figura abaixo.

Resolução:

O sólido está delimitado pelos planos coordenados e pelo plano que corta os eixos

coordenados nos pontos (2, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 3).

Este plano é dado por: 2

x

1

y

3

z 1

Logo: z 3 2

3x 3y

A região D é delimitada pelo triângulo de vértices (0, 0), (2, 0) e (0, 1)

Limites pelas retas: eixo x, eixo y e 2

x

1

y 1 ou y 1

2

x

D:

20

210

x

xy

Então, o volume será dado por:

V

2

02

1

03

2

33

x

dydxyx

V

2

0

21

0

2

2

3

2

33 dx

yxyy

x

V

2

0

2

2

213

2

213

213 dx

xxx

x

V

2

0

22

41

2

3

4

3

2

3

2

33 dx

xx

xxx

V

2

0

22

8

3

2

3

2

3

4

333 dx

xxxx

V

2

0

2

2

3

2

3

8

3dx

xx

2

0

23

2

3

4

3

8

xxx

8

8

4

12

2

6 1 3 3 1

Resposta: V 1 unidade de volume

y

x

z3

1

2

y

x

1

2

D


Lauro / Nunes

7-94

193. Calcule a área da região delimitada por y x3, y x e

3

20

3

2 xy .

Resolução:

Observando a região D, verificamos que estamos diante de uma região que deve ser

particionada em duas sub-regiões D1 e D2. Por exemplo, podemos escolher o eixo y como

fronteira dessas regiões.

Temos então:

04

3

20

3

2

:1

x

xyxD e

20

3

20

3

2

:

3

2

x

xyxD

Assim:

21 DDD

dAdAdAA

2

0

3/203/20

4

3/203/2

3

x

x

x

xdydxdydxA

2

0

30

4 3

20

3

2

3

20

3

2dxx

xdxx

xA

2

0

420

4

22

43

20

323

20

3

xxxxxx

4

2

3

220

3

2

2

4

3

420

3

44222

A

4

16

3

40

3

4

2

16

3

80

3

16

4

3

448

3

64A

3

1244

3

2464

3

32

3

40A 24

3

72

Resposta: A 24 unidades de área

4

2x

y

D

8

-4

yx

y x23

203

y x 3

2x

y

D

8

-4

yx

y x23

203

y x 32

D1

cálculo diferencial e integral ii - páginas...

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