Prática de Ensino de Matemática I

Aula 03Curso de Licenciatura em Matemática – 1º Ano

Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreirafabricio@fafica.br

Os Sistemas de Numeração - HistóricoDesde os tempos mais antigos a humanidade sentiu a necessidade de realizar contagens. No início utilizou-se pedrinhas (calculus) para realizar contagem, em seguida foram as marcações em ossos, passando pela criação de palavras-número. Finalmente criou-se a notação de certas quantidades através de símbolos.

Sistema de Numeração Egípcio (Antigo)Os antigos egípcios utilizavam um sistema de numeração em que cada símbolo podia repetir-se, no máximo, nove vezes. O valor dos numerais era definido adicionando o valor de cada símbolo, o que dava um caráter aditivo ao sistema. Outro fator era que os símbolos podiam ser escritos em qualquer ordem (era um sistema não-posicional) sendo que os egípcios não possuíam um símbolo para o zero.

1 10 100 1 000 10 000 100 000

1 000 000

5 54 1240

30 123 2050

Sistema de Numeração RomanoOs antigos romanos utilizavam algumas letras do alfabeto para escrever seus numerais. As letras eram separadas em dois grupos: o primeiro com letras cujo valor começavam em 1 e o segundo cujo valor das letras começavam com 5. As letras do primeiro grupo podiam repetir-se, no máximo, três vezes; enquanto que as do segundo grupo não podiam repetir-se. Quando uma letra de valor menor era colocada antes de outra, seu valor era subtraído; enquanto que ao ser posta depois de outra seu valor era adicionado.

1º Grupo I = 1 X = 10 C = 100 M = 1 0002º Grupo V = 5 L = 50 D = 500

3 I I I 6 V I 41 X L I 132 C X X X I I

4 I V 12 X I I 83 L X X X I I I 968 C M L X V I

I I

Sistema de Numeração Indo-Arábico (Decimal)O sistema de numeração mais utilizado atualmente originou-se na Índia e aperfeiçoou-se na Arábia. Ele possui uma base de contagem decimal, sendo que a posição em que cada algarismo ocupa na escrita determina seu valor (posicional). Vale lembrar que este sistema não é aditivo (para representar três não escrevemos 111) e que a existência do zero é fundamental para indicar que a ordem encontra-se vazia.

Com a publicação de Liber Abaci em 1202 por Leonardo de Pisa (vulgo Fibonacci) os povos europeus começaram a conhecer os tais “algarismos que vieram das Índias” e a operar com regras semelhantes as utilizadas atualmente.

Bases de contagemProvavelmente a primeira base de contagem utilizada pela humanidade foi a base cinco, pois temos cinco dedos em cada mão. Apesar de atualmente utilizarmos a base 10 (sistema decimal) para realizar as contagens em algumas tribos ainda utiliza-se a base 20 (vigesimal) e há reminiscências da base 60 (sexagesimal) utilizada pelos antigos babilônios em medidas de tempo (a cada sessenta segundos formamos um minuto). Lembramos também que a base binária (dois) é utilizada pelos sistemas eletrônicos.

Conversões entre bases - ExemplosEscreva o numeral (5)10 na base binária.

5 21 2 2

0 1Logo o numeral é (101)2.

Escreva o numeral (37)10 na base cinco.

37 52 7 5

2 1Logo o numeral é (122)5.

Escreva o numeral (2304)5 na base decimal.

8 4 2 11 x 8 1 x 2 1 x 1

Logo temos, 8 + 2 + 1 = (11)10.

Escreva o numeral (1011)2 na base decimal.

125 25 5 12 x 125 3 x 25 0 x 5 4 x 1

Logo temos, 250 + 75 + 4 = (329)10.

A Base Decimal (Slide 1)1ª Situação-problemaJuninho está participando de uma promoção: a cada 10 tampinhas de garrafas ele troca por 1 selo da promoção. Caso ele consiga juntar 10 selos da promoção ele ganha 1 bola de futebol. Quantas tampinhas de garrafa ele deverá juntar para conseguir ganhar a bola de futebol?

1ª Troca

2ª Troca

(. . .)10ª Troca

TrocaFinal

A Base Decimal (Slide 2)Resumindo o que Juninho fez: 10 tampinhas = 1

selo10 selos = 1 bola1 selo 1 selo 1 selo 1 selo 1 selo 1 selo 1 selo 1 selo 1 selo 1 selo = 10 selos

= = = = = = = = = =   =10

tampinhas

10 tampin

has

10 tampin

has

10 tampin

has

10 tampin

has

10 tampin

has

10 tampin

has

10 tampin

has

10 tampin

has

10 tampin

has=

100 tampin

hasResposta: Juninho precisou juntar 100 tampinhas para trocar pelos 10 selos e, depois, trocar pela bola.

Em nosso sistema de numeração temos algo semelhante:10 unidades = 1

dezena10 dezenas = 1

centena10 centenas = 1

milhar

O material dourado (Slide 1)O material dourado representa bem estas quantidades.

A cada 10 unidades formamos uma dezena. As unidades simples são:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Zero Um Dois Três Quatro

Cinco Seis Sete Oito Nove

O material dourado (Slide 2)A cada 10 dezenas formamos uma centena. As dezenas são:

1 dezen

a

2 dezena

s

3 dezena

s

4 dezena

s

5 dezena

s

6 dezena

s

7 dezena

s

8 dezena

s

9 dezena

s10 20 30 40 50 60 70 80 90

Dez Vinte Trinta Quarenta

Cinquenta

Sessenta

Setenta Oitenta Noventa

O material dourado (Slide 3)A cada 10 centenas formamos um milhar. As centenas são:

1 centena

2 centenas

3 centenas

4 centenas

5 centenas

6 centenas

7 centenas

8 centenas

9 centenas

100 200 300 400 500 600 700 800 900Cem Duzentos Trezentos Quatrocen

tosQuinhento

sSeiscentos Setecento

sOitocento

sNovecent

osAs palavras unidade, dezena e centena são conhecidas como ordens do sistema de numeração.

2ª Situação-problemaPara expressar os membros de uma família geralmente precisamos compor um numeral com 1 algarismo (só as unidades). Para contar quantos alunos têm numa sala de aula usamos numerais com 2 algarismos (dezenas e unidades). Se quisermos saber quantos alunos têm em nossa escola vamos precisar usar 3 algarismos para compor o numeral (centenas, dezenas e unidades).

Compondo numerais (Slide 1)• A família de Patrícia possui 5 pessoas (5 unidades);

5 unidades

• Na sala de aula de Patrícia existem 32 alunos (3 dezenas e 2 unidades);

3 dezenas 2 unidades = 32 unidades

Compondo numerais (Slide 2)

6 dezenas 1 unidade = 461 unidades

• Na escola de Patrícia em que Patrícia estuda há 461 crianças (4 centenas, 6 dezenas e 1 unidade);

4 centenas

Ordens e ClassesA cada três ordens formamos uma classe. As classes são infinitas no sistema de numeração decimal.

CLASSE DOSMILHÕES   CLASSE DOS

MILHARES   CLASSE DASUNIDADES SIMPLES

centenade

milhão

dezenade

milhão

unidadede

milhão 

centenade

milhar

dezenade

milhar

unidadede

milhar  centena

simplesdezenasimples

unidadesimples

100 000 000

10 000 000

1 000 000   100 000 10 000 1 000   100 10 1

a) No meu bairro moram 2 583 pessoas, ou seja, 2 unidades de milhar, 5 centenas, 8 dezenas e 3 unidades.

b) Na cidade de Cambuci (RJ) existem 14 368 habitantes, ou seja, 1 dezena de milhar, 4 unidades de milhar, 3 centenas, 6 dezenas e 8 unidades.

c) A população de Ribeirão Preto (SP) é 547 407 habitantes, ou seja, 5 centenas de milhar, 4 dezenas de milhar, 7 unidades de milhar, 4 centenas e 7 unidades.

d) No Brasil existe cerca de 191 270 987 habitantes, ou seja, 1 centena de milhão, 9 dezenas de milhão, 1 unidade de milhão, 2 centenas de milhares, 7 dezenas de milhares, 9 centenas, 8 dezenas e 7 unidades

Valor Absoluto e Valor RelativoTodo algarismo possui seu próprio valor, chamado valor absoluto. Por exemplo, o algarismo 8 vale 8 unidades. Dependendo do lugar onde o algarismo se encontra ele possui um valor diferente. Este valor é chamado de valor relativo. Caso o algarismo 8 se encontre na ordem das dezenas, por exemplo, seu valor será 80 unidades.

a) Em 2 583, o algarismo 2 vale 2 000, o 5 vale 500, o 8 vale 80 e o 3 vale 3.Resumindo: 2 583 = 2 000 + 500 + 80 + 3

b) Em 14 386, o algarismo 1 vale 10 000, o 4 vale 4 000, o 3 vale 300, o 8 vale 80 e o 6 vale 6.

Resumindo: 14 386 = 10 000 + 4 000 + 300 + 80 + 6

Para refletir1) Por quê a etimologia da palavra calcular refere-se à pedra?2) Quais são as principais características do sistema de numeração egípcio (antigo)?3) Em quais situações ainda utilizamos o sistema de numeração romano?4) Caracterize o sistema de numeração decimal indo-arábico.5) Cite algumas utilizações das bases binária, decimal e sexagesimal nos dias atuais.6) Descreva como ocorrem os agrupamentos no sistema de numeração decimal.7) Quais são as ordens no sistema de numeração decimal? O que são classes?8) Diferencie valor absoluto de valor relativo de um algarismo utilizando exemplos

numéricos.