Matemática ITópico 02 e 03– Radiciação,

Potenciação, Polinômios, Fatoração e Frações

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA

FACULDADE DE ECONOMIA

Radiciação e Potenciação

Uma revisão sobre radiciação e potenciação

Se 𝑏2 = 𝑎 então b é a raiz quadrada de a.

Vejamos alguns exemplos:

36 = 6, porque 62 = 36

3 27

8=3

2

3− 27/8 = −

3

24−2=?

Uma revisão sobre radiciação e potenciação

Propriedades dos radicais

1) 𝑛 𝑢𝑣 = 𝑛 𝑢 × 𝑛 𝑣

2)𝑛 𝑢

𝑣=

𝑛 𝑢𝑛 𝑣

3)𝑚 𝑛 𝑢 = 𝑚.𝑛 𝑢

4) 𝑛 𝑢 𝑛 = 𝑢

5)𝑛𝑢𝑚 = 𝑛 𝑢 𝑚

6)𝑛𝑢𝑛 =

para par

para impar

u n

u n

Uma revisão sobre radiciação e potenciação

Simplificando os radicais

1)480 = 4 16(5) =

424(5) =

424 ×

45 = 2

45

2) 18𝑥5 = 9𝑥4 × 2𝑥 = (3𝑥2)2× 2𝑥 = 3𝑥2 2𝑥

Racionalização

É o processo de reescrever frações contendo radicais de modoque o denominador fique sem esses radicais. Quando o

denominador possui a forma𝑛𝑢𝑛−𝑘 poderemos eliminar o radical

do denominador, pois:𝑛𝑢𝑘 ×

𝑛𝑢𝑛−𝑘 =

𝑛𝑢𝑘 × 𝑢𝑛−𝑘 =

𝑛𝑢𝑘+𝑛−𝑘 =

𝑛𝑢𝑛 = 𝑢

Uma revisão sobre radiciação

Por exemplo teremos:

14𝑋=

14𝑋×

4𝑋3

4𝑋3

=

4𝑋3

4𝑋4

=

4𝑋3

𝑋

Potenciação com expoentes racionais

Seja u um número real, variável ou expressão algébrica e n uminteiro maior que 1. então

𝑢1𝑛 = 𝑛 𝑢

Sejam um inteiro positivo,m/n está na forma reduzida e todas asraízes são número reais, então

𝑢𝑚

𝑛 = 𝑢1

𝑛

𝑚

= 𝑛 𝑢 𝑚 ou 𝑢𝑚

𝑛= 𝑢𝑚1

𝑛 = 𝑛 𝑢𝑚

Uma revisão sobre radiciação e potenciação

Alguns exemplos:

𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦3

2

𝑥2

3𝑦1

3 = 𝑥2𝑦1

3 =3𝑥2𝑦

3𝑥5𝑥2 = (3𝑥)𝑥

2

5 = 3𝑥7

5

𝑧−2

3 =1

𝑧23

=1

3𝑧2

Uma revisão sobre polinômios e fatoração

Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escritana forma:

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Vejamos dois exemplos de adição e subtração polinomial:

(a) 2𝑥2 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 1 + (𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 3)

(b) 4𝑥2 + 3𝑥 − 4 − (2𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 2)

Agora os exemplos sobre multiplicação (expansão) polinomial|:

3𝑥 + 2 4𝑥 − 5 = Qual o resultado??

Uma revisão sobre polinômios e fatoração

Produtos Notáveis: Vejamos alguns produtos notáveis

1. Produto de uma soma e uma diferença:𝑢 + 𝑣 𝑢 − 𝑣 = 𝑢2 − 𝑣2

2. Quadrado de uma soma de dois termos:𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢2 + 2𝑢𝑣 + 𝑣2

3. Quadrado de uma diferença de dois termos:𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢2 − 2𝑢𝑣 + 𝑣2

4. Cubo de uma soma de dois termos:𝑢 + 𝑣 3 = 𝑢3 + 3𝑢2𝑣 + 3𝑢𝑣2 + 𝑣3

5. Cubo de uma diferença de dois termos:𝑢 − 𝑣 3 = 𝑢3 − 3𝑢2𝑣 + 3𝑢𝑣3 − 𝑣3

Uma revisão sobre polinômios e fatoração

Fatorando polinômios: é uma forma de reduzir a expressão dopolinômio para “termos” de menor grau. A fatoração encerra-sequando, usando coeficientes inteiros, não é possível mais reduzi-lo,essa forma é conhecida como polinômio irredutível.

Ex:𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟏)

Como podemos observar x+1 é irredutível, porém vejamos apróxima expressão:

𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟗)

𝒙𝟐 − 𝟗 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)

𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 𝒙(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)

Uma revisão sobre polinômios e fatoração

O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover ecolocar em evidência os fatores comuns de seus termos usando apropriedade distributiva, vejamos o exemplo abaixo:

2𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥

= 2𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 3)

Outro exemplo seria:

𝑢3𝑣 + 𝑢𝑣3

= 𝑢𝑣(𝑢2 + 𝑣2)

Uma revisão sobre polinômios e fatoração

Ter conhecimento da forma expandida dos cinco produtosnotáveis ajudará a fatorar uma expressão algébrica. A forma maisfácil de identificar é a diferença de dois quadrados:

25𝑥2 − 36 = 5𝑥 2 − 62

= 5𝑥 + 6 5𝑥 − 6

4𝑥2 − 𝑦 + 3 2 = 2𝑥 2 − 𝑦 + 3 2

= 2𝑥 + 𝑦 + 3 [2𝑥 − 𝑦 + 3 ]

= (2𝑥 + 𝑦 + 3)(2𝑥 − 𝑦 − 3)

Uma revisão sobre expressões fracionárias

Antes de levar adiante essa discussão, temos que adiantar oconceito de domínio de uma função

Vejamos a seguinte expressão que envolve o quociente de doispolinômios:

2𝑥3 − 𝑥2 + 1

5𝑥2 − 𝑥 − 3

Qual seria o domínio das expressões abaixo:

(a) 3𝑥2 − 𝑥 + 5 - Todos os reais (R)

(b) 𝑥 − 1 - Todos os reais maiores que 1

(c)𝑥

𝑥−2- Todos os reais com exceção do 2

Uma revisão sobre expressões fracionárias

As expressões fracionadas podem ser simplificadas, para realizartal tarefa temos que ter em mente a seguinte propriedade:

𝑢𝑧

𝑣𝑧=𝑢

𝑣

Contanto que z seja diferente de zero. Isto requer uma fatoraçãodo numerador e denominador em fatores primos. Quando todos osfatores comuns do numerador e denominador forem removidos, aexpressão racional (ou número racional) está na forma reduzida.

Vejamos um exemplo 2 do capítulo 4:

Escreva𝑥2−3𝑥

𝑥2−9na forma reduzida. Verifique o domínio

𝑥2 − 3𝑥

𝑥2 − 9=

𝑥 𝑥 − 3

𝑥 + 3 𝑥 − 3

=𝑥

𝑥 + 3Logo 𝑥 ≠ 3 𝑒 𝑥 ≠ −3

Importante: Duas expressões racionais são equivalentes se elas têm omesmo domínio e os mesmos valores para todos os números no domínio.A forma reduzida de uma expressão racional precisa ter o mesmo domínioque a expressão racional original. Esta é a razão que nos levou a adicionara restrição x3 para a forma reduzida no Exemplo 2.

Uma revisão sobre expressões fracionárias

Operações com expressões racionais

Considerando duas frações iguais, (u/v)=(z/w) se, e somente se,uw=vz.

Uma revisão sobre expressões fracionárias

Operação Exemplo

𝒖

𝒗+𝒘

𝒗=𝒖 +𝒘

𝒗

𝟐

𝟑+𝟓

𝟑=𝟐 + 𝟓

𝟑=𝟕

𝟑𝒖

𝒗+𝒘

𝒛=𝒖𝒛 +𝒘𝒗

𝒗𝒛

𝟐

𝟑+𝟒

𝟓=𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑

𝟏𝟓=𝟐𝟐

𝟏𝟓𝒖

𝒗

𝒘

𝒛=𝒖𝒘

𝒗𝒛

𝟐

𝟑

𝟒

𝟓=

𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑

𝟑 𝟓=

𝟖

𝟏𝟓

𝒖

𝒗÷𝒘

𝒛=𝒖𝒛

𝒘𝒗𝟐

𝟑÷𝟒

𝟓=𝟏𝟎

𝟏𝟐=𝟓

𝟔

Vejamos a questão a e b do exemplo 3 do livro:

(a)2𝑥2+11𝑥−21

𝑥3+2𝑥2+4𝑥×

𝑥3−8

𝑥2+5𝑥−14

=2𝑥 − 3 𝑥 + 7

𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 4×

𝑥 − 2 𝑥2 + 2𝑥 + 4

𝑥 − 2 𝑥 + 7

=2𝑥 − 3

𝑥Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ −7; 𝑥 ≠ 2

(b)𝑥3+1

𝑥2−𝑥−2÷

𝑥2−𝑥+1

𝑥2−4𝑥+4

Uma revisão sobre expressões fracionárias

Já para o exemplo da soma teríamos:

𝑥

3𝑥−2+

3

𝑥−5

=𝑥 𝑥−5 +3 3𝑥−2

3𝑥−2 𝑥−5

=𝑥2+4𝑥−6

3𝑥−2 𝑥−5

Uma revisão sobre expressões fracionárias

Imagine agora que tenhamos a seguinte expressão:

2

𝑥2 − 2𝑥+1

𝑥−

3

𝑥2 − 4

Nesse caso temos que fazer uso do artifício do mínimo múltiplocomum (mmc), observe que podemos fatorar todos osdenominadores (com exceção de x), assim teremos as seguintesexpressões:

x(x-2); x; e (x-2)(x+2)

Com isso o menor denominador comum será: x(x-2)(x+2)

Uma revisão sobre expressões fracionárias

Com isso a solução será:

2

𝑥2−2𝑥+

1

𝑥−

3

𝑥2−4

=2

𝑥 𝑥−2+

1

𝑥+

3

𝑥−2 𝑥+2

=2 𝑥+2

𝑥 𝑥−2 𝑥+2+

𝑥−2 𝑥+2

𝑥 𝑥−2 𝑥+2−

3𝑥

𝑥 𝑥−2 𝑥+2

=2 𝑥 + 2 + 𝑥 − 2 𝑥 + 2 − 3𝑥

𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2

Uma revisão sobre expressões fracionárias

=2𝑥 + 4 + 𝑥2 − 4 − 3𝑥

𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2

=𝑥2 − 𝑥

𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2

=𝑥 𝑥 − 1

𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2

=𝑥 − 1

𝑥 − 2 𝑥 + 2,

Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ 2; 𝑒 𝑥 ≠ −2

Uma revisão sobre expressões fracionárias

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