02 matemática financeira

8/12/2019 02 Matemtica Financeira

1/124

FUNDAO GETLIO VARGASFGV MANAGEMENT

MATEMTICA FINANCEIRA

George J. Boggiss


2/124

NDICE

PGINA

JUROS SIMPLES 03

JUROS COMPOSTOS 19

TAXAS DE JUROS 40

DESCONTOS 72

ANUIDADES (SRIES UNIFORMES) 86


3/124

JUROS SIMPLES

J = C . i . t

JUROS (J) a remunerao pela aplicao do capital (C), durante umcerto perodo de tempo ( t ), a uma taxa de juros( i ).

Quando i expresso sob a forma de taxa unitria, ou seja, de uma fraodecimal (por ex.: 12% = 0,12; 5% = 0,05; 1,25% = 0,0125).

Obs.: Devemos manter sempre coerentes o prazo ( t )com a taxa dejuros ( i ),em relao unidade de tempo.


4/124


5/124

JUROS SIMPLES S = C + J

O Montante (S) composto pelo somatrio do Capital (C) com osJuros (J) obtidos no perodo.No exemplo anterior, o montante Sao final de dez anos seria de$

180,00, onde C = $ 100,00 e J = $ 80,00.

Caso faamos a substituio de J na equao, teremos :

S = C ( 1 + i t )S = C + C i t


6/124

JUROS SIMPLES S = C ( 1 + i t )ATENO :

No regime de Juros Simples, os juros so sempre calculados sobre ocapital inicial( C ), fazendo com que os montantes ( S), ao final de cadaperodo de contagem de juros, apresentem-se como uma ProgressoAritmtica ( P.A.) de razo igual ao valor dos juros ( J ).


7/124

JUROS SIMPLES S = C ( 1 + i t )

PERODO S = MONTANTE ACRSCIMO

0 S0 = 100,00 -

1 S1 = 108,00 8,002 S2 = 116,00 8,003 S3 = 124,00 8,004 S4 = 132,00 8,005 S5 = 140,00 8,006 S6 = 148,00 8,00

7 S7 = 156,00 8,008 S8 = 164,00 8,00

9 S9 = 172,00 8,0010 S10 = 180,00 8.00

Baseados no exemplo dado, poderamos montar a seguinte tabela:


8/124

JUROS SIMPLES S = C ( 1 + i t )

JUROS SIMPLES

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Perodos

Montantes


9/124

EXERCCIOS - JUROS SIMPLES

1 .

A que taxa de juros simples dever ser colocado certo capital paraque o mesmo duplique no fim de 20 anos ?


10/124

SOLU O - JUROS SIMPLES

1. S = C ( 1 + i t ) S = 2C t = 20 anos

2C = C ( 1 + 20 i ) 2 = 1 + 20 i 1 = 20 i

i = 1 20 = 0,05 i = 5% a.a.


11/124


2 .Certo capital, colocado taxa de 4% a.a. gerou, ao fim de 5 anos, omontante de $ 3.600,00. Qual o valor dos juros produzidos ?


12/124

J = ?

S = C ( 1 + i t ) 3.600 = C ( 1 + 0,04 x 5 ) 3.600 = C ( 1+ 0,20)

C = 3.600 1,20 = 3.000 Logo, J = 3.600 - 3.000


2. S = 3.600 i = 4% a.a. t = 5 anos

J = $ 600,00


13/124


3 .

Qual o valor do capital que, colocado taxa de 6,5% a.a. produz $2.085,00 de montante em 6 anos ?


14/124

C = ? i = 6,5 % a.a. = 0,065 S = 2.085 t = 6 anos

S = C ( 1 + i t ) 2.085 = C ( 1 + 0,065 x 6 )

C = 2.085 ( 1 + 0,39 ) = 1.500 C = $ 1.500,00

3.



15/124


4 .

Certo capital ficou depositado durante 2 anos a 4% a.a.. Findo este

prazo, a soma de capital e juros foi colocada a 6% a.a., durante 18

meses. Calcular o capital inicial, sabendo-se que o montante final foi

de $ 17.658,00.


16/124

4. C = ? t 1 = 2 anos i1 = 4 % a.a. S 1 = C ( 1 + i 1 t 1) ( A )

S2= 17.658 t2 = 18 meses i 2= 6 % a.a. S2 = S1( 1 + i2 t2 )

17.658 = S 1 ( 1 + 0,06 x 18 12 ) 17.658 = S 1 ( 1 + 0,09 )

S 1 = 17.658 1,09 = 16.200

Substituindo S 1 em ( A ), teremos :

16.200 = C ( 1 + 0,04 x 2 ) 16.200 = C ( 1 + 0,08)

C = 16.200 1,08 = 1.500 C = $ 15.000,00



17/124


5 .

A que taxa anual um capital de $ 1.200,00 gera um montante de $

3.600,00, no fim de 7.200 dias (considerar o ms comercial, de 30

dias).


18/124


5. C = 1.200 S = 3.600 t = 7200 dias (meses comerciais) i = ?

1 Soluo :

S = C + J J = S - C = 3.600 - 1.200 = 2.400

J = Ci t 2.400 = 1.200 x i x ( 7.200 360 )

i = 2.400 ( 1.200 x 20 ) = 2.400 24.000 = 0,10 i = 10% a.a

2 Soluo :

S = C ( 1 + i t ) 3.600 = 1.200 { 1 + i (7.200 360) }

3.600 1.200 = 1 + 20 i 3 = 1 + 20 i 20 i = 3 - 1

i = 2 20 = 0,10 i = 10% a.a


19/124

No regime dejuros compostos, aps cada perodo de capitalizao, os

juros so incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render

juros. Podemos, ento, dizer que os juros sero sempre calculados

tomando-se por base o montante (S) do perodo anterior,

diferentemente do que ocorre nos juros simples, onde os juros so

sempre fixos, calculados sobre o capital inicial (C).

JUROS COMPOSTOS


20/124

No regime de juros compostos tambm introduzida uma nova varivel,a freqncia de capitalizao. Ela comanda a maneira pela qual os jurosso calculados, independentemente da taxa de juros fornecida e dotempo considerado.

Alis, como a freqncia de capitalizao unitria, ou seja, ocorre demaneira uniforme, o t (tempo) sempre ser igual a 1 (um), enquanto oque ns iremos utilizar, de fato, ser o nmero de perodos decapitalizao (n).

Os montantes, no regime de juros compostos, apresentar-se-o comouma progresso geomtrica (P.G.) de razo igual a (1+i).

JUROS COMPOSTOS


21/124

JUROS COMPOSTOS

Frmula do Montante:

Sabendo-se que t = 1, teremos:

S 1= C + C i = C ( 1 + i )

Sn = C ( 1 +i )

n

Onde : S ou FV = montante ao final de n perodos de capitalizaoC ou PV = capital iniciali = taxa de juros ( dentro da freqncia de capitalizao)n = nmero de perodos de capitalizao

S 2= S 1 + S 1i = S 1( 1 + i ) = C ( 1 + i ) . ( 1 + i ) = C (1 + i )2

S 3= S2+ S 2i = S 2( 1 + i ) = C ( 1 + i )2. ( 1 + i ) = C (1 + i )3

.

.

S n= S n-1+S n-1i = S n-1( 1 + i ) ................................... = C (1 + i )n


22/124

Tabelas - Fatores Utilizados

1 . Para calcular o Montante ( S) , dado o Capital ( C)

n SC( 1 + i ) = F ( i , n )

S = C ( 1 + i )

nS = C x F

SC( i , n )

- Chama-se Fator de valor futuro ou Fator de capitalizao

2. Para calcular o Capital ( C) , dado o Montante ( S)

CS

____1____ = F ( i , n)( 1 + i )

n

C = S ( 1 + i )

- n C = S x FCS

( i , n )

- Chama-se Fator de valor atual ou Fator de desconto.

JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i ) n


23/124

Tabelas - Fatores Utilizados

Observaes:

- Estes fatores so encontrados em tabelas (em anexo) para diversos

valores de i e de n .

JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i ) n

- Os fatores foram criados no sentido de simplificar o trabalho depotenciao, quando no se tinha mo uma calculadorafinanceira! Todavia, o conhecimento terico dos mesmos ir

facilitar o manuseio da calculadora financeira.


24/124

Clculos de Juros Compostos na HP-12C

Como podemos notar, os clculos de juros compostos, assim como todos osclculos de matemtica financeira, podero ser realizados, com a HP-12C,de duas maneiras diferentes:

- A primeira, realizada atravs das funes matemticas, com o empregodas frmulas que aqui vimos:

- A segunda, atravs dos registradores financeiros, ou seja, das teclasn , i , PV e FV . A utilizao dos registradores financeiros, faz comque a aplicao das frmulas apresentadas seja imediata,permitindo que os clculos sejam executados de forma rpidae segura. Assim, temos que a rotina, neste caso, ser:

JUROS COMPOSTOS


25/124

JUROS COMPOSTOS

Clculos de Juros Compostos na HP-12C

1. Apagar o contedo dos registradores financeiros, teclandof FINou apagar tudo, teclando f REG;

2. Introduzir as variveis conhecidas ( no mnimo trs ), teclandoCHSquando a varivel representar uma sada de caixa.

VARIVEL SMBOLO TECLA OBSERVAO

PRAZO n n compatvel com i/ freq. capitalizao

TAXA i i usar em percentagem (%) /

compatvel comn/ freq. capitalizaoCAPITAL C PV usar CHS se necessrio

MONTANTE S FV usar CHS se necessrio

PRESTAO R PMT usar CHS se necessrio


26/124

PERODO S = MONTANTE ACRSCIMO

0 S0 = 100,00 -1 S1 = 108,00 8,002 S2 = 116,64 8,643 S3 = 125,97 9,334 S4 = 136,05 10,085 S5 = 146,93 10,88

6 S6 = 158,69 11,767 S7 = 171,38 12,698 S8 = 185,09 13,719 S9 = 199,90 14,8110 S10 = 215,89 15,99

JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i )n

Baseados no exemplo dado em juros simples, poderamos montar aseguinte tabela, agora calculada com juros compostos:


27/124

JUROS COMPOSTOS

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Perodos

Montantes

JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i )n


28/124

Comparando agora o resultado encontrado, graficamente, em JurosSimples ( Progresso Aritmtica ) e Juros Compostos ( ProgressoGeomtrica ), verificaremos que:

JUROS SIMPLES ( P.A.) = equao de uma reta do tipo Y= a.x + b, onde oa ( coeficiente angular = razo da P.A. = J), enquanto que o b( coeficientelinear = capital inicial = C), x = t (tempo) e Y o montante.

JUROS COMPOSTOS ( P.G.) = uma curva exponencial do tipo Y = ax. bonde a ( coeficiente angular = razo da P.G. = 1 + i ), enquanto que o b( coeficiente linear = capital inicial = C), x = n ( nmero de perodos decapitalizao ) e Y o montante

JUROS COMPOSTOS


29/124

JUROS SIMPLES x JUROS COMPOSTOS

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Perodos

M

ontantes

JUROS COMPOSTOS


30/124

EXERCCIOS - JUROS COMPOSTOS

1 .

Qual o montante correspondente a um capital de $ 2.000,00,

aplicado a juros compostos, uma taxa de 12% a.a., durante 3 anos,

com freqncia de capitalizao anual ?


31/124

SOLU O - JUROS COMPOSTOS

1 .

FV = ? PV = 2.000 i = 12% a.a. = 12 n = 3 anos = 3

b1. Insere-se o valor 2.000 CHS PV ( Capital, com valor negativo );

b2. Insere-se o valor 12 i;

b3. Insere-se o valor 3 n;

b4. Aperta-se a tecla FV, tendo como resultado, no visor: 2.809,85


32/124

2 .

Um investimento de $ 1.000,00, com juros capitalizados mensalmente,

produziu o montante de $ 3.281,00 ao fim de 5 anos. Qual a taxaenvolvida na operao ?



33/124

2 .


Procurando, pgina por pgina, na linha n = 60, encontra-se o fator 3,281na pgina correspondente taxa de 2%. Esta ser a taxa mensal, tendo em

vista que a freqncia de capitalizao e, consequentemente, o nmero deperodos de capitalizao foram expressos em meses.

S = 3.281 C = 1.000 n = 5 anos x 12 = 60 meses i = ?

3.281 = 1.000 ( 1 + i )60

3,281 = ( 1 + i )60

3,281 = FSC

(i =?, n= 60)

( A ) UTILIZANDO AS F RMULAS DE MATEM TICA FINANCEIRA :


34/124


No visor, teremos : 1,999984, ou seja, 2 % a.m..

2 .

FV = 3.281 PV = 1.000 n = 60 i = ?

1.000 CHS PV ; 3.281 FV ; 60 n ; i

( B ) UTILIZANDO A HP-12C:


35/124

3 .

Por quanto tempo deve ser colocado o capital de $ 4.000,00 taxa de

8% a.a., a fim de produzir o montante de $ 9.328,00, sendo acapitalizao anual ?



36/124

3 .


Procurando, na pgina correspondente taxa de juros de 8% encontramos ofator 2,332 na linha correspondente a n = 11. Logo, o prazo ser de 11( onze ) anos .

C = 4.000 S = 9.328 i = 8% a.a. n = ?

9.328 = 4.000 ( 1 + 0,08 )n 9.328 4.000 = ( 1 + 0,08 )

n 2,332 = ( 1 + 0,08 )n

n = LN2,332 LN 1,08 = 0,846726 0,076961 = 11,002012 anos



37/124

No visor teremos : 11Isto significa que o prazo ser de 11 anos , ou seja, a mesma respostaque obtivemos em ( A ).


3 .

FV = 9.328 PV = 4.000 i = 8% a.a. n = ?

4.000 CHS PV ; 9.328 FV ; 8 i ; n

OBS: Quando n for calculado com a HP-12C, torna-se necessriochecar o resultado encontrado, uma vez que a programao da

mquina costuma arredondar nmeros fracionrios de perodos, paracima. Neste caso, a checagem dever ser feita da seguinte maneira,logo aps o resultado encontrado:

( B ) UTILIZANDO A HP-12C:

0 PV ; PV ... No visor - 4.000,6193. Isto indica que o nmero deperodos de capitalizao no foi arredondado.


38/124

4 .

Que quantia deve ser investida hoje, a fim de acumular

$ 10.000,00 em 10 anos, com capitalizao semestral, a taxa de

10% a.a. ?



39/124

O visor apresentar o nmero 3.768,89 . isto significa que o PV (ou valoratual, valor presente, principal) ser de $3.769,00, aproximadamente.


4 .

FV = 10.000 PV = ?

i = 10% a.a. = 5% a.s. n = 10 anos x 2 = 20 semestres

10.000 CHS FV ; 5 i ; 20 n ; PV


40/124

TAXA DE JUROS

1. Taxa Nominal(iN)

2. Taxas Proporcionais(ip):

a taxa usada na linguagem normal, expressa em a.a.%,independentemente da freqncia de capitalizaoou a taxa de juros naqual a unidade de referncia temporal (ano) no coincide com a unidade detempo da capitalizao.

Exemplo : 8% ao ano, capitalizados semestralmente.12% ao ano, capitalizados mensalmente.

Soduas ou mais taxas que guardam, entre si, as mesmas propores que

os prazos a que se referem. As taxas costumam ser proporcionais taxanominal, com freqncias de capitalizao diferente da anual :

Exemplos : 8% ao ano e 4% ao semestre.12% ao ano e 1% ao ms.


41/124

3. Taxas Efetivas(ief):

TAXA DE JUROS

So expressas em termos anuais (%a.a.) e so maiores do que as taxas

nominais que as originaram, assumindo-se a freqncia de capitalizaodiferente da anual.

Quanto menor o perodo considerado para a contagem dos juros, maior sera diferena entre a taxa efetiva e a taxa nominal.

So as taxas de juros realmente pagas (ou recebidas) pela aplicaode um capital.


42/124

EXEMPLO :

$100,00, aplicados a juros compostos de 8% a.a. (taxa nominal), capitalizadossemestralmente, quanto iro render ao final de um ano ?

(A) No fim do 1 semestre : S1= 100 { 1 + ( 0,08 2 ) } = 100 x 1,04 = 104

A taxa efetiva ser 8,16% a.a..

TAXA DE JUROS

(B) No fim do 2 semestre : S 2= 104 { 1 + ( 0,08 2 ) } = 104 x 1,04 = 108,16


43/124

3. Taxas Efetivas (cont.) :

n

S n = C (1 + __iN__ ) iN = ip n n

S1= 100 { 1 + ( 0,04 ) }

S 2= S 1{ 1 + ( 0,04 ) } Substituindo o valor de S 1, teremos:

S2= 100 { 1 + ( 0,04 ) } { 1 + ( 0,04 ) } = 100 { 1 + ( 0,04 ) }

TAXA DE JUROS

O que equivale a dizer que:


44/124

3. Taxas Efetivas (cont.) :

TAXA DE JUROS

Temos ento, que :

C ( 1 + ief ) = C ( 1 + ip )n 1 + ief = ( 1 + ip)

n

n

ief = (1 + ip ) - 1

Como o que procuramos a taxa efetiva, que nos d :

S = C ( 1 + ief) igual a S = C ( 1 + ip)n

Onde : ief = taxa efetiva, expressa em % a.a.iN = taxa nominal, tambm expressa em % a.a.n = nmero de capitalizaes em um ano.( iN ) = taxa proporcional ( ip), dentro da freqncia de

n capitalizao considerada


45/124

4. Taxas Equivalentes(ieq):

So duas ou mais taxas que, quando aplicadas sobre um mesmo capital,chegam a um montante igual, com freqncias de capitalizao diferentes.

TAXA DE JUROS

As taxas equivalentes so sempre apresentadas com a freqncia decapitalizao diferente da capitalizao anual (para esta freqncia decapitalizao, temos a taxa efetiva).

Assim, podemos afirmar que toda taxa efetiva possui vrias taxas

equivalentes, dependendo da freqncia de capitalizao considerada,diferente da anual. Podemos notar que, tanto na taxa efetiva como na taxaequivalente, a unidade de referncia temporal coincide com a unidade detempo da freqncia de capitalizao (ano/anual, ms/mensal, etc.).


46/124

4. Taxas Equivalentes (cont.) :

-

TAXA FREQUNCIA TAXA FREQUNCIA

NOMINAL ANUAL

PROPORCIONAL DA ANUAL

EFETIVA ANUAL

EQUIVALENTE DA ANUAL

TAXA DE JUROS

A relao entre as taxas se processa da seguinte forma:


47/124

TAXA DE JUROS

S 1 = C ( 1 + 0,08 )3 S 2 = C ( 1 + ieq)

6

Como S 1 = S 2, temos que :

C ( 1 + 0,08 )

3

= C ( 1 + ieq)

6

1 + 0,08 = ( 1 + ieq)2 ( 1 + 0,08 )

1/2= 1 + ieq

ieq = 1,03923 - 1 ieq = 3,923% ao semestre

Exemplo : Uma empresa quer tomar um emprstimo que ser pago ao finalde 3 anos, a taxa de juros de 8% a.a. e com capitalizao anual. Ainstituio financeira que ir conceder o emprstimo, por motivosoperacionais, calcula os juros com capitalizao semestral. Qual dever sera taxa de juros semestral a ser utilizada para que os montantes sejam

rigorosamente iguais ?

4. Taxas Equivalentes (cont.) :


48/124

TAXA DE JUROS

1 / n

ieq = ( 1 +ief) - 1

Onde : ieq = taxa equivalente, expressa em % a.a.ief = taxa efetiva, expressa em % a.a.n = nmero de capitalizaes em um ano, dentro da

freqncia de capitalizao considerada.

Logo, baseados no exemplo, podemos afirmar que :


49/124

5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a

utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):

TAXA DE JUROS

(A) Pelo Processo Matemtico :

Partindo-se da taxa nominal de 12% a.a. e considerando-se uma

freqncia de capitalizao mensal, qual ser a taxa efetiva ?

J sabemos que, partindo-se de uma taxa nominal e da freqncia decapitalizao, chegamos a uma taxa proporcional. No caso, a taxaproporcional mensal ser de 1% a.m. (12 % 12).

Esta taxa proporcional, para efeito de clculo da taxa efetiva, ser a taxaequivalente mensal da mesma. Assim, podemos dizer, aps conhecer ateoria, que a frmula da taxa efetiva poderia ser expressa da seguinteforma, em funo da taxa equivalente :


50/124

nief = ( 1 + ieq) - 1

Assim sendo, a taxa efetiva ser de 12,68% a.a., ou seja,ief = ( 1 + 0,01 )

12- 1 = ( 1,01 )

12 - 1 = 1,1268 - 1 = 0,1268 = 12,68% a.a.

TAXA DE JUROS



Onde : n o nmero de capitalizaes considerado noclculo da taxa equivalente ( ieq)


51/124

Na calculadora utilizamos a tecla yxpara executar a operao de (1,01)12, daseguinte forma: digita-se 1,01, em seguida Enter; a seguir, digita-se 12eaperta-se a tecla yx; o resultado no visor ser :1,1268. Da, subtrai-se 1 emultiplica-se por 100. O resultado ser de 12,68% a.a..

TAXA DE JUROS5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a


No caso inverso, ou seja, partindo-se de uma taxa efetiva, comocalcularamos, matematicamente, a taxa equivalente ?


52/124



Se partirmos da taxa efetiva de 85% a.a. , qual ser a taxa equivalentediria ? (devemos sempre considerar, a menos que disposto em contrrio, o

ano comercial com 360 dias)

1 / n 1/360

ieq = ( 1 + ief) - 1 ieq = ( 1 + 0,85 ) - 1


53/124

Para resolvermos matematicamente, pela HP-12C, faremos:

TAXA DE JUROS

( a ) 1,85 ENTER { digita-se ( 1 + ief) }

( b ) Digita-se 360 ( nmero de dias do ano comercial)

( c ) Digita-se 1 / x ( para se calcular 1 / n )

( d ) No visor, aparecer o nmero 0,002777

x 0,00277...( e ) y (no visor, teremos o nmero 1,00171 = 1,85 )

( f ) A taxa equivalente diria ser ( 1,00171 - 1 ) = 0,00171 ou , emtermos percentuais, de 0,171% ao dia.




54/124


55/124

TECLAS VISOR OBSERVAO

f FIN ( OU f REG ) 0,00 apaga os registradores financeiros( ou todos os registradores )

100 CHS PV - 100,00 introduz um investimento de $ 100

1 i 1,00 introduz a taxa proporcional mensal

12 n 12,00 introduz o nmero de capitalizaesocorridas em 1 (um) ano

FV 112,68 fornece o valor do montante (ou Valor Futuro) , no final de 1 (um) ano.

100 1,1268 calcula-se a variao total, real, sobreo investimento feito, de $ 100

1 - 100 x 12,68 fornece a taxa efetiva - ief ( % a.a. )




56/124

Continuando a explicao, temos o segundo exemplo, em queperguntamos:

Qual ser a taxa equivalente diria para uma taxa efetiva de 85% a.a. ?

TECLAS VISOR OBSERVAO

f FIN ( OU f REG ) 0,00 apaga os registradores financeiros( ou todos os registradores )

100 CHS PV - 100,00 introduz um investimento de $ 100

185 FV 185,00 introduz o montante considerando a

taxa efetiva ( ief) de 85% a.a.

360 n 360 introduz o nmero de dias, no perodode um ano (comercial), em n

i 0,171 fornece a taxa equivalente ( ieq ) diriade juros taxa efetiva ( ief) de 85% a.a.




57/124

EXERCCIOS - TAXAS DE JUROS

1 .

Calcular quais so as taxas efetivas relativas a uma taxa nominal de

24% a.a., caso as freqncias de capitalizao sejam mensal,bimestral, trimestral, quadrimestral, semestral e anual ?


58/124

SOLU O - TAXAS DE JUROS

1 .

TAXANOMINAL

% A.A.

FREQNCIADE

CAPITALIZAO

TAXAPROPORCIONAL( % A.A. ) (*)

FORMULAOTAXA

EFETIVA% A.A.

1224 MENSAL 2 ief= ( 1 + 0,02 ) - 1 = 1,2682 - 1 26,82

624 BIMESTRAL 4 ief= ( 1 + 0,04 ) - 1 = 1,2653 - 1 26,53

424 TRIMESTRAL 6 ief= ( 1 + 0,06 ) - 1 = 1,2624 - 1 26,24

3

24QUADRIMESTRAL

8 ief= ( 1 + 0,08 ) - 1 = 1,2597 - 1 25,97 224 SEMESTRAL 12 ief= ( 1 + 0,12 ) - 1 = 1,2544 - 1 25,44

124 ANUAL - ief= ( 1 + 0,24 ) - 1 = 1,2400 - 1 24,00

(*) A TAXA PROPORCIONAL TAXA NOMINAL E, SIMULTNEAMENTE, EQUIVALENTE TAXA EFETIVA.

( A ) UTILIZANDO AS FRMULAS DE MATEMTICA FINANCEIRA :

TAXA NOMINAL = 24% A.A. TAXAS EFETIVAS = ? % A.A.


59/124

Passo Operao realizadaDigitar

naHP-12C

Resultadono visor

( HP-12C )

1 Clculo da taxa proporcionalmensal ( inom 12 ) 24 , enter , 12 , 2

2 Clculo de ( 1 + ip ) 100 , , 1 , + 1,02

n

3 Clculo de ( 1 + ip ) - 1 12 , yx , 1 , - 0,2682

4 Para se chegar Taxa Efetiva (ouReal) na forma de taxa unitria 100 , x 26,82

SOLU O - TAXAS DE JUROS(a) Com a utilizao das teclas matemticas:

a. Digita-se 24 (taxa nominal), em seguida, o nmero de vezes que serocontados os juros no perodo de um ano ( no caso da capitalizaomensal, digita-se o nmero 12 ) e, em seguida, a tecla ( );

1 .

b. Digita-se, ento, na ordem:

100 , , 1 , + , 12 , yx , 1 , - , 100 , x


60/124


61/124

2 .

Caso a taxa efetiva seja de 30% a.a., quais sero as taxas

equivalentes, consideradas as freqncias de capitalizao doexerccio 1 ?



62/124

2 .

TAXAEFETIVA

% A.A.

FREQNCIADE

CAPITALIZAOFORMULAO

TAXAEQUIVALENTE( % A.A. ) (*)

TAXANOMINAL

% A.A.

1/ 1230 MENSAL ieq = ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0221 - 1 2,21 26,52 1/ 6

30 BIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0447 - 1 4,47 26,82 1/ 4

30 TRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0678 - 1 6,78 27,12 1/ 3

30 QUADRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0914 - 1 9,14 27,42 1/ 2

30 SEMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,1402 - 1 14,02 28,04 1

30 ANUAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,3000 - 1 30,00 30,00

(*) A TAXA EQUIVALENTE TAXA EFETIVA E, SIMULTNEAMENTE, PROPORCIONAL A UMA TAXA NOMINAL



Taxas Nominais = ? % a.a. Taxa Efetiva = 30 % a.a.


63/124

Como, nas tabelas de matemtica financeira, no aparecem valorescalculados para nmeros fracionados de n , a nica soluo encontrada,por este mtodo, atravs dos clculos exponenciais das calculadoras(poderamos tambm calcular por logaritmos). Assim, temos que calcular,

inicialmente, o expoente 1/n , para calcularmos depois o valor da taxaequivalente, partindo da taxa efetiva e da freqncia de capitalizaoconsiderados.


2 .

Considerando como exemplo a freqncia de capitalizao mensal,

teremos a seguinte seqncia de passos :


64/124

SOLU O - TAXAS DE JUROS2 .

Digite agora 12; a seguir, digite 1/x ... voc ir calcular 1/12 ( no visor,ficar aparecendo : 0,08333... ficar na memria X).

Em seguida, digite a tecla yx

Digite 1,30 e, em seguida, a tecla ENTER (fica na memria X e Y);

O resultado que ficar na tela ser : 1,022104451 , ou seja, 2,21 % aoms .

Logo, a taxa nominal ser de : 2,21% a.m. x 12 = 26,52% a.a.


65/124

TAXA EFETIVA = FREQ. DE CAPITAL. TAXA NOMINAL


Por outro lado, este exerccio interessante para que o aluno possa

notar, claramente, que quanto menor for a freqncia de capitalizao,

mais prxima da taxa efetiva vai ficando a taxa nominal, at igualar-se mesma quando a freqncia unitria em um ano . Temos, pois :

2 .


66/124

TAXAEFETIVA% A.A.

FREQNCIADE

CAPITALIZAOFORMULAO ( # )

TAXAEQUIVALENTE( % A.A. ) (*)

TAXANOMINAL

% A.A.

1/ 1230 MENSAL ieq = ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0221 - 1 2,21 26,52

1/ 630 BIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0447 - 1 4,47 26,82

1/ 430 TRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0678 - 1 6,78 27,12

1/ 330 QUADRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0914 - 1 9,14 27,42

1/ 230 SEMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,1402 - 1 14,02 28,04

130 ANUAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,3000 - 1 30,00 30,00

(*) A TAXA EQUIVALENTE TAXA EFETIVA E, SIMULTNEAMENTE, PROPORCIONAL A UMA TAXA NOMINAL.


2 . ( B ) UTILIZANDO A HP-12C :

Taxa Efetiva = 30 % a.a. Taxas Nominais = ? % a.a.


67/124


68/124


3.

Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa real de 21% a.a.?


69/124


S1 = C ( 1 + 0,21 )1 S 2 = C ( 1 + ieq)

2

Como S 1 = S 2, temos que :

C ( 1 + 0,21 ) 1= C ( 1 + ieq)2 1,21 = ( 1 + ieq)

2 ieq = ( 1,21 )1/2 - 1

ieq = 1,10 - 1 = 0,10 ieq = 10% ao semestre

3.


70/124


4.

Um financiamento foi combinado a juros de 24% a.a. Pelo prazo de 10

anos, com capitalizao anual. Qual a taxa equivalente, se decidirmoscontar os juros de 4 em 4 meses ?


71/124


S 1 = C ( 1 + 0,24 )10 S 2 = C ( 1 + ieq)

30

C ( 1 + 0,24 )10

= C ( 1 + ieq)30

1,24 = ( 1 + ieq)3

( 1,24 )1/3

= 1 + ieq

ieq = 1,0743 - 1 = 0,0743 ieq = 7,43% ao quadrimestre

4.


72/124

DESCONTOS

So juros recebidos ou concedidos quando o pagamento de um ttulo antecipado.

O desconto a diferena entre o valor nominal (S) de um ttulo na data deseu vencimento e o seu valor atual (C) na data em que efetuado odesconto.

Os descontos podem ser divididos em :Desconto Comercial, Bancrio ou Por Fora.Desconto Racional ou Por Dentro.

Os descontos so nomeados simples ou compostos em funo do clculodos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos,respectivamente.


73/124

DESCONTOS

Desconto Simples Por Fora (Comercial ou Bancrio)

Df= S . i . t

O desconto calculado sobre o valor nominal (valor de face) do ttulo,utilizando-se taxa de juros simples.

o mais utilizado no sistema financeiro, para operaes de curto ecurtssimo prazo.

O valor a ser pago (ou recebido) ser o valor atual, capital:

C=S-D C=S -S i t C =S (1 - i t)


74/124

Desconto Simples Por Dentro (ou Racional)

Dd= C . i . t

O desconto calculado sobre o valor atual (valor lquido) do ttulo,utilizando-se taxa de juros simples.

Praticamente no utilizado no sistema financeiro.

DESCONTOS

Como se conhece o valor nominal do ttulo (S) antes do seu valor lquido(C), adota-se :

Dd = Si t

1 + it

D = S - C S = C + D C = S - D

Dd = Cit = ( S- D) it = Sit - Dit D + Dit = Sit D ( 1 + it ) = Sit


75/124

DESCONTOS

Desconto Composto

O desconto composto consiste no valor encontrado pela diferena entre ovalor nominal ou valor futuro do ttulo (S) e o valor atual, lquido, do ttulo(C), utilizando-se a taxa de juros compostos.

CSC = S x 1

C = S x F( TABELA 2 )

( 1 + i )n

C = S . Fcs

Temos que:


76/124

DESCONTOS

Relao Entre Taxa de Juros Real e Taxa de Desconto

Qual a diferena entre a taxa de desconto e a taxa cobrada, de fato, emuma operao financeira ?

Como distinguir uma da outra ?

Exemplo :

Uma companhia, necessitando de caixa para efetuar alguns pagamentospendentes, vai ao banco descontar duplicatas, com prazo de 30 dias, novalor total de $ 100.000,00 . Sabendo-se que a taxa de descontos(simples por fora ou bancria ou comercial) utilizada pelo banco foi de8% ao ms, calcular qual foi a taxa realmente utilizada na operao.


77/124

DESCONTOS

Relao Entre Taxa de Juros Real e Taxa de Desconto (cont.)

Df = Si t = 100.000 x 0,08 x 1 = 8.000 D = $ 8.000,00C = S - D = 100.000 - 8.000 = 92.000 C = $ 92.000,00

Logo, a rentabilidade da operao financeira ser calculada da seguinte forma :

[ ( S C) - 1 ] x 100

[ ( 100.000 92.000 ) - 1 ] x 100 = ( 1,087 - 1 ) x 100 = 0,087 x 100 = 8,7% a.m.

Ou seja, para uma taxa de desconto de 8% a.m.

O custo efetivo foi de 8,7% a.m.


78/124


79/124

DESCONTOS

Relao Entre Taxa de Juros Real e Taxa de Desconto (cont.)

Como existe a reteno de 5% do valor de face, nominal, em conta-corrente, at o final da operao, o valor lquido realmente recebido pelacompanhia foi de :

C = 92.000,00 - ( 5% de 100.000,00 ) C = 92.000,00 - 5.000,00 = 87.000,00

Como os $ 5.000,00 ficaro retidos at o final da operao, o valornominal real a pagar ser de : 100.000,00 - 5.000,00 = 95.000,00

Logo, a rentabilidade da operao ser assim calculada :

[ ( S liq Cliq ) - 1 ] x 100 [ ( 95.000 87.000 ) - 1 ] x 100 =( 1,09195 - 1 ) x 100 = 0,09195 x 100 = 9,20% a.m.


80/124

EXERCCIOS - DESCONTOS

1 .

Uma promissria com vencimento em 15 de dezembro descontada

comercialmente por $ 10.000,00 em 1 de setembro do mesmo ano, a

uma taxa simples de desconto de 6% a.m.. Se no existem outras

taxas ou tributos, calcular o valor nominal da promissria, bem como a

taxa real de juros da operao.


81/124

SOLU O - DESCONTOS

1 .

C = 10.000 S = ? i = 6% a.m. t = 105 dias corridos

S - C = Df C = S - S i t = S ( 1 - i t ) 10.000 = S [ ( 1 - 0,06 x 105 30) ]

S = 10.000 ( 1 - 0,21 ) = 10.000 0,79 S = $ 12.658,23

ireal = [ ( S C ) - 1 ] x 100 ireal = [ ( 12.658,23 10.000,00 ) - 1 ] x 100

ireal= 26,58% ( taxa real para 3,5 meses )

Para calcularmos a taxa real mensal, basta dividirmos o resultadoencontrado por 3,5:

ireal= 26,58% 3,5 (meses) ireal= 7,595% a.m.


82/124

2 .

Uma duplicata de $ 60.000,00 foi descontada comercialmente,

resultando em um crdito na conta corrente da empresa de

$ 51.000,00. Se a taxa simples de desconto foi de 5% a.m., calcular

qual foi o prazo do vencimento da duplicata e qual foi a taxa real da

operao.



83/124


84/124

3 .Um banco realiza suas operaes de desconto de duplicatas aplicando

uma taxa simples de desconto de 2% a.m.. Todavia, exige um saldo

mdio de 30% do valor da operao, a ttulo de reciprocidade bancria.

Uma empresa descontou uma duplicata de $ 100.000,00 trs meses

antes de seu vencimento. Calcular qual foi o valor liberado para a

empresa e a taxa de desconto efetiva, linear, sem e com a exigncia do

saldo mdio. Para simplificar, suponhamos que no hajam taxas de

servios bancrio, CPMF e remunerao sobre o saldo mdio.



85/124

3 .

SOLU O - DESCONTOS

S = 100.000 i = 2% a.m. t = 3 meses Saldo Mdio = 30% de S

(a)Sem o saldo mdio:

D f = S i t D f = 100.000 x 0,02 x 3 D f = 6.000

C = S - D f C = 100.000 - 6.000 C = 94.000

ireal = { [ ( S C ) - 1 ] x 100 } 3 = { [ ( 100.000 94.000 ) - 1 ] x 100 } / 3

ireal = 2,128% a.m.

(b) Com a exigncia do saldo mdio:

Sliq = 100.000 - 30% de 100.000 = 100.000 - 30.000 = 70.000

Cliq = 94.000 - 30.000 = 64.000

ireal = { [ ( S C ) - 1 ] x 100 } 3 = { [ ( 70.000 64.000 ) - 1 ] x 100 } 3

ireal = 3,125% a.m.


86/124


87/124

SRIES UNIFORMES

A Srie Uniforme pode ser consideradapostecipada (quando o primeiropagamento ou recebimento ocorre no final de cada perodo de tempo) ouantecipada(quando o mesmo ocorre no incio de cada perodo de tempo).

A calculadora HP-12C est programada para calcular com sriesuniformes postecipadas mas, caso se tecle g BEG,ela estar preparadapara calcular sries uniformes antecipadas; neste caso, ficar aparecendoa palavra BEGIN no visor; para voltar a condio de sries uniformespostecipadas, basta teclar g END. Verificar que a palavra BEGINdesaparecer do visor. Graficamente, uma srie uniforme postecipada

pode ser visualizada da seguinte maneira:


88/124

SRIES UNIFORMES

PV FV

0 1 2 3 . . . n-2 n- 1 n

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

Onde: PV = valor atual, capital, investimento inicialPMT = termo da srie unifome

FV = valor futuro, montante

n = nmero de perodos de capitalizao

Com estas trs variveis, PV, PMT e FV, alm da taxa de juros ( i )envolvida e do nmero de perodos de capitalizao ( n ) , poderemoscalcular os outros 4 ( quatro ) fatores :


89/124

SRIES UNIFORMES

1. Para obter FV, ao fim de n perodos , a uma taxa i, dado PMT

2. Para obter PMT, durante n perodos , a uma taxa i, dado FV

3. Para obter PV, no incio de n perodos, a uma taxa i, dado PMT

4. Para obter PMT, durante n perodos , a uma taxa i, dado PV


90/124

SRIES UNIFORMES

QUEROCALCULAR

DADO TAMBMSODADOS

DIGITO, ENTO, EMQUALQUER ORDEM PORLTIMODIGITO

FV PV i , n CHS PV, i , n FV

PV FV i , n CHS FV, i , n PV

FV PMT i , n CHS PMT, i , n FV

PV PMT i , n CHS PMT, i , n PV

PMT PV i , n CHS PV, i , n PMT

PMT FV i , n CHS FV, i , n PMT


91/124

SRIES UNIFORMESAteno:

Todos os fatores tiveram suas frmulas deduzidas para o emprego em sriesde pagamento (ou recebimento) postecipadas; caso ocorram sriesantecipadas (em que o primeiro termo da srie uniforme ocorre no perodo0(zero), teremos duas maneiras de resolver o problema:

(A)Considerar o valor atual, capital, igual ao valor fornecido para o preo vista, abatido do valor da primeira prestao e reduzir, consequentemente, onmero de prestaes em 1 (uma), uma vez que a mesma foi paga noperodo zero. Da, basta aplicar a teoria j conhecida, de sries uniformespostecipadas.

(B)Com o uso da calculadora HP-12C, basta digitar a tecla gseguida datecla BEG e proceder como se fosse uma srie uniforme postecipada; apalavra BEGIN ficar aparecendo no visor at que se digite a tecla gseguida da tecla END, para que a mquina volte a condio de srieuniforme postecipada.


92/124

SRIES UNIFORMESClculo do Saldo Devedor

PVt

0 1 2 3 . . . . t . . . . m - 2 m - 1 m

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

Suponhamos que, para um emprstimo contrado na poca zero, pagvelem mparcelas iguais e consecutivas, taxa de juros i fosse determinada aprestao PMT . Pagas t prestaes, desejamos saber qual o saldodevedor logo aps o pagamento da t- sima parcela .

PV/PMTPV = PMT x F (i = ...%; n = m -t)

t

Para isto, basta que calculemos o valor atual ( PV ), na poca t , detodas as m- t parcelas devidas no futuro .


93/124

Sries Infinitas ou Sries Perptuas:

SRIES UNIFORMES

Estes tipos de sries ocorrem com freqncia em clculos atuariais, deseguros, assim como em casos em que existe um investimento inicial queir gerar uma renda constante (ou crescente/decrescente) em um perodono determinado (ex.: Investimento em imveis destinados obteno derenda peridica, aluguis ou investimento em aes com o objetivo deauferir rendimentos com dividendos).

So as sries de pagamentos (ou recebimentos) iguais ditas infinitas ouperptuas, sejam elas antecipadas ou postecipadas, quando o nmero determos (n) no tiver final estabelecido, ou seja, ele poder tender para oinfinito ().

Quando este fato ocorre, as frmulas dos fatores que j demonstramos aquificam alteradas, uma vez que n . Da, temos que :


94/124

Sries Infinitas ou Sries Perptuas (cont.):

SRIES UNIFORMES

PV = PMT x (1 / i) ou PMT = PV. i ou i = PMT/ PV

A demonstrao matemtica poder ser vista pela frmula do fator, quandon :

Simplificando, a primeira parte ficar resumida a 1 e a segunda, i a zero ,uma vez que o denominador ir tender para infinito.

n PV/PMTPV = PMT [ ( 1 + i ) - 1 ] quando n , o F ser :

i ( 1 + 1 ) n

PV/PMT nF = ( 1 + i ) - 1 = 1 / i - = 1 / i

i ( 1 + i ) n i ( 1 + i ) n


95/124

1 .

Um anncio oferece um ventilador por $ 63,00 vista ou em 12

prestaes mensais de $ 7,00, sendo a primeira paga no ato da

compra. Qual a taxa de juros implcita no plano a prazo ?

EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES


96/124

SOLU O - SRIES UNIFORMES

Temos, basicamente, dois caminhos para resolver este problema:

A. COM A TECLA BEGIN ACIONADA ( SRIES ANTECIPADAS ) :

a.1 - Acionar a tecla BEGIN , apertando a tecla AZUL ( g ) e, em

seguida, a tecla BEG . que a tecla do 7 - verifique que, novisor, ir aparecer a palavra BEGIN .

a.2 - A seguir, comece a digitar: 63 CHS PV , 7 PMT e 12 n .

a.3 - Digite i ; no visor ir aparecer : 5,72 , logo, a taxa de jurosprocurada de 5,72% ao ms.

Resposta : A taxa de juros implcita no plano a prazo proposto de 5,72% a.m..

1.


97/124

C063

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 127 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7


B. SEM A TECLA BEGIN ACIONADA ( SRIES POSTECIPADAS ) :

- Se voc continua com a sua mquina aparecendo a palavra BEGIN novisor, tecle novamente a tecla AZUL ( g ) e, em seguida, a tecla END- que

a tecla do 8 - verifique que desapareceu a palavra BEGINe que a suamquina voltou a ficar programada para o clculo de SRIESPOSTECIPADAS.

- A nova seqncia a se digitar ser :

1 .


98/124


b1 - Limpar a memria - f (TECLA AMARELA) seguida da tecla CLx;

b2 - Teclar 56 CHS PV - neste caso, procede-se colocando o Valor Atual(PV) como a diferena entre o Preo Vista e o pagamento da primeira

prestao;

b3 - Teclar 7 PMT ;

b4 - Teclar 11 n ( novamente subtramos do total de prestaes a primeira,

que foi dada no ato da compra ) ;

b5 - Tecla-se i e o resultado ser 5,72 novamente, demonstrando que ataxa de juros mensal, por este mtodo, semelhante anterior, de 5,72% a.m.

1 .


99/124

2 .

Qual o limite do emprstimo que posso aceitar hoje, se me oferecem

prazo de 2 anos, taxa de 20% a.a. e capitalizao trimestral, admitindoque posso separar, para o pagamento desta dvida, $ 200,00 por

trimestre ?



100/124

PV

0 1 2 3 4 5 6 7 8

200 200 200 200 200 200 200 200


Vimos que: PMT = $ 200,00 n = 8 trimestres i = 5% ao trimestre

Resposta: O limite do emprstimo, pela HP-12C , de $ 1.292,64.

Queremos calcular o valor de PV (VALOR PRESENTE)Utilizando a HP-12C , teremos :

a1. Digitar 200 CHS PMT , 5 i , 8 n ;a2. Digitar PV ;

a3. No visor, aparecer 1.292,64, ou seja, $ 1.292,64

2 .


101/124

3 .

Para pagar, em prestaes, uma dvida de $ 25.000,00, podemos dispor

de $ 2.000,00 por ms. Com a taxa de 1% a.m., quantos pagamentos

mensais tero que ser feitos e quanto deveremos dar de entrada, caso

haja valor residual ?



102/124


Este exerccio muito bom para alertar o usurio da HP-12C, para osriscos de se executar clculos sem parar para checar os resultadosencontrados. O prprio manual da mquina alerta para que, quando doclculo do nmero de perodos de capitalizao, alguns cuidados devemser tomados, uma vez que a mquina sempre ir arredondarpara cima o

resultado at encontrar um nmero inteiro, caso este resultado seja umnmero fracionrio como resposta. Assim, temos que, ao utilizar amquina, iremos proceder os seguintes passos, visando no cometererros:

a1. Digitar 25.000 PV ;a2. Digitar 1 i ;

a3. Digitar 2.000 CHS PMT ;

a4. Digitar n e ir aparecer, no visor, o nmero 14.

3 .


103/124


Em princpio, no se sabe se o resultado o correto ou se trata de umarredondamento do nmero de perodos de capitalizao. Para se ter acerteza, utiliza-se o seguinte recurso:

b1. Aps verificar o resultado 14 no visor da mquina, digita-se,

novamente, a tecla n , aparecendo, novamente, o nmero 14 ;

Como o PV = 26.007,40, portanto superior ao PV original, de 25.000,00,percebe-se que houve um arredondamento do nmero de perodos decapitalizao, para cima.

b2. Em seguida, digita-se PV ( para calcularmos o Valor Atual paran = 14 ) ;

b3. No visor ir aparecer o nmero 26.007,40

Temos que achar um PV menor que os 25.000,00 originais, uma vez que,igual, no iremos encontrar.

3 .


104/124


Para tanto, iremos diminuir em 1 (um) perodo de capitalizao o clculo oraem curso, de 14 para 13 perodos de capitalizao.Da, teremos :

c1. Aproveitando o clculo anteriormente feito at b3, basta que

digitemos 13 e a tecla n a seguir;.

Isto significa que o valor realmente financiado em 13 pagamentos iguais,mensais e sucessivos, foi de $ 24.267,48. Logo, a diferena para a dvidade $ 25.000,00 ser o valor dado como ENTRADA, ou seja, $ 25.000,00 -$ 24.267,48 = $ 732,52

Resposta : Entrada de $ 732,52 e 13 prestaes de $ 2.000,00.

c2. Digitar a tecla PV ;

c3. No visor, ir aparecer o nmero 24.267,48

3 .


105/124

4 .

Para acumular $ 30.000,00 ao fim de 3 anos, qual dever ser a

quantia a investir ao fim de cada bimestre, em uma instituio

financeira que paga juros de 18% a.a. e conta estes juros 6 vezes ao

ano ?



106/124


A operao, na mquina HP-12C resume-se, ento, a :

Logo, o valor da quantia a ser investida ao fim de cada bimestre ser de$ 1.281,26.

Resposta : A quantia bimestral a ser investida de $ 1.281,26.

a1. Digitar 30.000 CHS FV ;

a2. Digitar 3 i ;

a3. Digitar 18 n ;

a4. Digitar PMT.

a5. No visor, ir aparecer o nmero 1.281,26 .

4 .


107/124


5 .

Um funcionrio pblico obteve da Caixa Econmica Federal um

emprstimo, a ser descontado na folha de pagamento, de $3.735,36,

para ser pago em 47 prestaes mensais de $100,00, sendo a taxa de

juros de 1% a.m.. Logo aps o desconto da 12 prestao, o funcionrio

procurou a CEF, solicitando a reduo de prazo do emprstimo, de 47

para 32 prestaes. Calcular o saldo devedor aps o pagamento da

12 prestao, bem como o valor da nova prestao que passar a serdescontada no contracheque do funcionrio .


108/124


PV = 3.735,36 n = 47 i = 1% a.m. PMT = 100,00

Para verificarmos se os dados fornecidos esto corretos, vamos recalcular ovalor da prestao ( PMT ), partindo do valor do emprstimo original (PV), dataxa de juros ( i ) e do nmero inicial de pagamentos previstos ( n ). Assim,

teremos a seguinte seqncia de clculos na HP-12C :

a.1 Digitar 3.735,36 CHS PV ;

a.2 Digitar 47 n ;

a.3 Digitar 1 i ;

a.4 Digitar PMT ;

a.5 No visor, ir aparecer o nmero 99,999 ou seja, 100,00.

5 .

SOLU O S RIES UNIFORMES


109/124

Para calcularmos o saldo devedor do emprstimo, inicialmente contratadopara ser pago em 47 prestaes mensais, logo aps o pagamento da 12prestao, basta que calculemos o Valor Atual ( PV ) da srie depagamentos iguais que esto faltando ser pagos, no futuro, ou seja, os 35pagamentos restantes. Assim, basta que faamos os seguintes passos:


b.1 Digitar 35 n ;

b.2 Digitar PV ;

b.3 No visor, ir aparecer o nmero 2.940,85 ( Saldo Devedor procurado ).

5 .


110/124

Finalmente, para calcular o valor da nova prestao ( PMT ), considerandoque este Saldo Devedor passar a ser o Valor Atual ( PV ) do novoemprstimo, para ser pago em 20 ( n ) prestaes iguais e consecutivas, mesma taxa de juros de 1% a.m. ( i ), teremos os seguintes passos a

cumprir, aproveitando os anteriores:


c.1 Digitar 20 n ;

c.2 Digitar PMT ;

c.3 No visor, se apresentar o nmero162,97( valor da nova prestao )

5 .


111/124


6.

Um aparelho de ar condicionado anunciado nas seguintes

condies: ( A ) vista = $ 2.000,00 ; ( B ) a prazo = entrada de

$ 500,00 e 12 prestaes mensais de $ 150,70. Qual a taxa dejuros implcita na venda a prazo ?


112/124

SOLU O - SRIES UNIFORMES6.

Como foi dada uma entrada de $ 500,00, a parte realmente financiadafoi de $ 2.000,00 - $ 500,00 = $ 1.500,00

Graficamente, poderamos ilustrar esta operao da seguinte maneira :

1500,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70

f REG - 1500 CHS PV - 150,70 PMT - 12 n - i - no visor, teremos :3,000764 , o que equivale dizer que a taxa de juros i = 3,00% a.m.


113/124


7.

Uma pessoa deposita $ 10.000,00 , abrindo uma conta de poupana.

Trs meses depois, faz outro depsito de $ 6.000,00. Qual

ser seu saldo, no final do primeiro ano, se a poupana rendeu,

neste perodo, uma taxa de juros composta de 2% a.m. ?


114/124


115/124


8.

Quanto um investidor teria que aplicar hoje, para acumular a

importncia de $ 100.000,00 daqui a 5 (cinco) anos, considerando que

sua taxa de aplicao de 1 % a.m. ? E, se ao invs de aplicar hoje,ele resolvesse investir mensalmente uma determinada importncia,

fixa? Quanto deveria ser esta importncia, considerando-se inalteradas

as demais premissas ?


116/124


8. PV = ? FV = $ 100.000,00 n = 5 anos = 60 meses i = 1% a.m.

f REG - 100.000 CHS FV - 1 i - 60 n - PV. No visor, PV = $ 55.044,96

Caso o investidor resolvesse investir mensalmente uma importncia fixa,iria calcular o valor de PMT, ou seja :

f REG - 100.000 CHS FV - 1 i - 60 n - PMT . No visor, PMT =$ 1.224,44

EXERC CIOS S RIES UNIFORMES


117/124


9.

Uma loja de departamentos est vendendo um televisor de luxo

por $ 5.000,00 vista. Considerando que ela cobra juros de 5% ao

ms e que financia suas mercadorias em 12 pagamentos mensais, iguais

e consecutivos, pergunta-se:

( a ) Qual ser o valor da prestao, caso o primeiro pagamento seja

feito na data da compra ?

( b ) E se o primeiro pagamento ocorrer no final do primeiro ms, qual

ser o novo valor da prestao ?

( c ) E, finalmente, se a loja s cobrar o primeiro pagamento daqui a 90

dias , qual dever ser o valor da prestao ?

SOLU O S RIES UNIFORMES


118/124


9. PV = 5.000 i = 5% a.m. n = 12 PMT = ?

a. 1pagamento ocorrer na data da compra (srie de pagamentos antecipados)

g BEG - f REG - 5000 CHS PV - 5 i - 12 n - PMT ... no visor, $ 537,26

b. 1 pagamento ocorrer no final do primeiro ms ( srie de pagamentos

postecipados )

g END - PMT ... no visor, $564,13

c. 1pagamento ir ocorrer aps 90 dias da data da compra ( perodo de carncia )

f REG - 5000 CHS PV - 5 i - 3 n - FV ... 5.788,125

Logo : g BEG - CHS PV - 0 FV - 12 n - PMT ... no visor, $ 621,95

(verificar que foi calculado o FV no final do 3ms; logo, se eu quiser calcular o valor dasprestaes, a partir deste ponto at doze meses aps, tenho que considerar como sefosse uma srie de pagamentos antecipada);


119/124


10.Um apartamento est sendo anunciado por $ 200.000,00, sendo

50% vista e 50% financiados pela Tabela Price, em 5 anos, a

juros de 12% a.a., com capitalizao mensal. Qual o valor da

prestao mensal que o comprador ir arcar ?

SO O S S O S


120/124


10. PV = $ 200.000,00Entrada de $ 100.000 Parte realmente financiada = $ 100.000

Freqncia de capitalizao = mensal

n = 5 anos 5 x 12 = 60 meses

i = 12% a.a.

12

12 = 1% a.m.

f REG - 100.000 CHS PV - 1 i - 60 n - PMT ... no visor, 2.224,44

A prestao mensal que o comprador ir arcar ser de $ 2.224,44.


121/124

SOLU O SRIES UNIFORMES


122/124


19. A. Preo Vista : 85% de $ 360,00 = $ 306,00

B. PV = C = ?

n = 10

PMT = R = 40,00 ( Srie Antecipada )

i = 2%f REG - g BEG - 40 CHS PMT - 10 n - 2 i - PV ... no visor, $ 366,49

C. PV = C = ?

n = 4

PMT = R = 90,00 ( Srie Antecipada )i = 2%

f REG - g BEG - 90 CHS PMT - 4 n - 2 i - PV ... no visor, $ 349,55


123/124


12.

Quanto deve ser depositado hoje, para que um indivduo obtenha

uma renda perptua de $ 2.500,00 mensais, paga ao fim de cada

ms, se a taxa de juros for de 1% a.m. ?


124/124


12.

PMT = PV. i PMT = $ 2.500,00 / ms i = 1% a.m. PV = ?

PV = PMT i PV = 2.500 0,01 = 250.000

PV = $ 250.000,00

02 matemática financeira

Documents