tÓpico fundamentos da matemática ii · 2015-11-02 · tÓpico licenciatura em ciências · usp/ u...

TÓPI

CO

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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tos

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atem

átic

a II

Gil da Costa Marques

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS9

9.1 Introdução9.2 Derivadas com significado físico: o gradiente de um Campo Escalar9.3 Equação de Euler descrevendo o movimento de um fluido e a Hidrostática9.4 Propagação do Calor9.5 Mais Aplicações: Força e Energia Potencial9.6 Energia Potencial: Forças Constantes9.7 Campos Escalares como Taxas de Variação de Campos Vetoriais9.8 Equação da Conservação do Fluido9.9 Campos Vetoriais a partir de Taxas de Variação de Campos Vetoriais9.10 Operador Rotacional (∇×)9.11 Campos com divergente nulo9.12 Taxas de Variaçao Instantânea9.13 O Operador Laplaciano ( 2∇ )9.14 Aplicações no Eletromagnetismo9.15 Derivadas de Segunda Ordem: o Operador Laplaciano ( 2∇ )9.16 A Equação de Laplace9.17 Outras Derivadas de Segunda Ordem

9.17.1 Equação das Ondas9.17.2 Ondas Eletromagnéticas

9.18 Mecânica Quântica e a Química

145

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

9.1 IntroduçãoAs leis físicas são enunciadas a partir de determinadas combinações de taxas de variação. Só a

elas podemos atribuir um significado físico. O porquê disso tem a ver com a questão da isotro-

pia do espaço ou, ainda, com o fato de que, qualquer que seja o referencial, as leis físicas devem

ter a mesma forma no mesmo. Isso requer que as grandezas físicas sejam grandezas vetoriais ou

escalares. Assim, só taxas de variação que resultem em grandezas escalares ou grandezas vetoriais

são relevantes do ponto de vista físico.

Em particular, todas as leis fundamentais das ciências físicas são expressas em termos de taxas

de variação, quer sejam pontuais ou instantâneas. O fato é que as leis físicas são enunciadas a

partir de determinadas taxas de variação ou de combinação delas.

Apenas algumas taxas de variação de campos, ou combinações delas, têm um significado físico.

E tal significado está associado ao fato de que, qualquer que seja o referencial, as leis físicas devem

ter a mesma forma nesse referencial. Isso requer, em última análise, que as taxas de variação, ou seja

as grandezas físicas a elas associadas, sejam grandezas vetoriais ou grandezas escalares.

O fato é que nem todas as derivadas de campos são úteis na formulação das leis físicas. Por

isso, serão apresentadas a seguir as derivadas, ou combinações delas, consideradas úteis.

9.2 Derivadas com significado físico: o gradiente de um Campo Escalar

Para entendermos a questão do significado físico de taxas de variação, vamos começar com

a taxa de variação pontual de um campo escalar. Lembrando a definição de diferencial de uma

função escalar, equação 7.27, vemos que ela pode ser escrita como

9.1

onde o símbolo ∇

V representa uma grandeza vetorial, definida por:

9.2

( )dV V dr= ∇ ⋅

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,, ,

V x y z V x y z V x y zV x y z i j k

x y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

146

TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais


Assim, dada uma função escalar, ou campo escalar, V(r, t) podemos construir um campo

vetorial a partir dele. Basta tomar derivadas parciais desse campo escalar e multiplicar essas de-

rivadas pelos vetores da base cartesiana (versores dessa base). A essa operação chamamos aplicar

o operador gradiente à função escalar. Assim, consideramos como operador gradiente (símbolo

∇

) aquele que, aplicado a uma função escalar, leva a um campo vetorial definido através da

identidade acima.

9.3 Equação de Euler descrevendo o movimento de um fluido e a Hidrostática

Como exemplo do uso de derivadas sob a forma da equação 7.1, consideremos o caso da

dinâmica de um fluido. Ele se move como efeito da variação da pressão no interior do fluido.

Assim, sendo a densidade do fluido dada por ρ(x, y, z, t), a taxa de variação instantânea da

velocidade de cada elemento de volume desse fluido é dada pela equação:

9.3

No caso da hidrostática em que consideramos a densidade independente do tempo e o

fluido sob a ação da gravidade, a equação acima se reduz à equação:

9.4

A equação acima é equação fundamental da hidrostática.

Por exemplo, é fácil concluir a partir da equação acima que,

para um fluido de densidade uniforme e para um campo gravi-

tacional constante na direção do eixo z, a pressão varia de acordo

com a expressão:

9.5

( ) ( ) ( ), , ,, , , , , ,

dV x y z tx y z t P x y z t

dtρ = ∇

Figura 9.1: Num fluido, a pressão au-menta linearmente com a profundidade.

g Pρ = ∇

0gz P P−ρ = −

147



9.4 Propagação do CalorA equação fundamental que descreve a condução do calor é a lei de Fourier:

9.6

onde F

Q é um vetor associado ao fluxo de calor e κ é a condutividade térmica do material. O

sinal negativo assegura que o fluxo de calor se dará da região mais quente para a mais fria.

9.5 Mais Aplicações: Força e Energia PotencialA força é uma grandeza derivada da energia potencial. Mais especificamente, se a energia

potencial for uma função dada por:

9.7

então, a grandeza física denominada força é uma grandeza derivável desse conceito. Assim, a

força, no caso das forças fundamentais, pode ser escrita como:

9.8

Assim, as componentes de uma força conservativa (caso geral das forças à distância) são dadas

como derivadas parciais da energia potencial, isto é,

9.9

onde as derivadas parciais ( , ,U U Ux y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

) apenas indicam que devemos derivar a função U

como se ela fosse dependente apenas de x, y ou z em cada um dos casos, respectivamente.

QF T= −κ∇

( ) ( ), ,PE U x y z U r= =

( ) ( ), , , ,F x y z U x y z= −∇

( ) ( ) ( ), , , , , ,( , , ) ( , , ) ( , , )x y z

U x y z U x y z U x y zF x y z F x y z F x y z

x y z∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂

148



A bem da verdade, deve-se frisar que nem todas as forças podem ser escritas como derivadas

sob a forma 9.8. Definem-se forças conservativas como aquelas que podem ser escritas sob

essa forma. Só para tais forças podemos falar em energia associada à interação.

Exemplos

• ExEmplo 1Existe uma forma de energia de uma partícula dotada de massa m, associada à interação gravitacional com um objeto esférico de massa M, a qual depende da posição da partícula em relação ao centro do objeto esférico (a Terra, por exemplo). Sendo (x, y, z) as coordenadas do ponto no qual se situa a partícula e considerando-se que o objeto esférico está na origem, essa energia potencial é dada por:

9.10

Determine a força gravitacional exercida pelo objeto de massa M sobre a partícula.

→ Solução:De acordo com a expressão 9.9, temos as componentes da força gravitacional dadas por:

9.11

Efetuando-se a derivada parcial com respeito à variável x temos:

9.12

Figura 9.2: Um objeto esférico de massa M produz, num ponto P, um Potencial. Uma partícula de massa m nesse ponto adquire uma energia potencial.

( )2 2 2

, , mMGU x y zx y z

= −+ +

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( , , )

( , , )

( , , )

x

y

z

mMGF x y zx x y z

mMGF x y zy x y z

mMGF x y zz x y z

∂= − −

∂ + + ∂

= − − ∂ + + ∂

= − − ∂ + +

( )( )

( )( ) ( )

1/22 2 2

2 2 2

1/2 12 2 23/22 2 2

( , , )

1 = ( ) 2 2

xmMGF x y z mMG x y z

x xx y z

xmMG x y z x mMGx y z

−

− −

∂ ∂= − − = + +

∂ ∂+ + − + + = − + +

149



Para as demais componentes, encontramos:

9.13

Portanto, a força pode ser escrita como:

9.14

a qual pode ser escrita , de uma forma simples, como:

9.15

• ExEmplo 2No caso de duas partículas de cargas Q1 e Q2 que estão em posições caracterizadas pelos vetores de posição 1r

e 2r

, respectivamente, a energia potencial eletrostática, de interação entre elas, é dada por:

9.16

Essa energia potencial elétrica é compartilhada pelas duas partículas. A energia será positiva se as cargas elétricas tiverem o mesmo sinal (nesse caso, as forças são repulsivas), ou quando as cargas tiverem sinal oposto (e, portanto, as forças serão atrativas) a energia será negativa.Determine a força sobre cada uma das partículas.

( )

( )

3/22 2 2

3/22 2 2

( , , )

( , , )

y

z

yF x y z mMGx y z

zF x y z mMGx y z

= − + + = − + +

( )

( ) ( ) ( )3/2 3/2 3/22 2 2 2 2 2 2 2 2

, ,F x y z

x y xmMG i mMG j mMG kx y z x y z x y z

=

= − + − + − + + + + + +

( )( )

( )3/2 32 2 2

1, , rF x y z mMG xi yj zk mMGrx y z

= − + + = −+ +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 22 2 2

0 1 2 0 1 2 1 2 1 2

1/22 2 21 21 2 1 2 1 2

0

1 14 4

=4

Q Q Q QUr r x x y y z z

Q Q x x y y z z−

= =πε − πε − + − + −

− + − + −πε

Figura 9.3: Duas partículas de carga Q1 e Q2 localizadas num ponto P1 e P2.

150



→ Solução:A força sobre a partícula 1 ( 1F

) é dada por:

9.17

E, portanto, numa notação simplificada, a força 1F

se escreve como:

9.18

que nada mais é do que a lei de Coulomb expressa em notação vetorial.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 21( ) 2 2 2

1 0 1 2 1 2 1 2

1 2 1 23/22 2 2

01 2 1 2 1 2

1 21( ) 2 2 2

1 0 1 2 1 2 1 2

1 2 1 23/22 2 2

01 2 1 2 1 2

1( )1

1 4

4

1 4

4

x

y

z

Q QFx x x y y z z

Q Q x x

x x y y z z

Q QFy x x y y z z

Q Q y y

x x y y z z

QFz

∂ = − ∂ πε − + − + −

−=

πε − + − + −

∂ = − ∂ πε − + − + −

−=

πε − + − + −

∂= −

∂ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 22 2 2

0 1 2 1 2 1 2

1 2 1 23/22 2 2

01 2 1 2 1 2

1 4

4

Q

x x y y z z

Q Q z z

x x y y z z

πε − + − + −

−=

πε − + − + −

1 2 1 21

0 1 24Q Q r rF

r r−

=πε −

151



A força sobre a partícula 2 ( 2F

) é dada por:

9.19

E ela pode ser escrita, simplificadamente, como:

9.20

É interessante constatar que as duas expressões 9.18 e 9.20 implicam que:

9.21

que é a terceira lei de Newton.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 22( ) 2 2 2

2 0 1 2 1 2 1 2

1 21 23/22 2 2

01 2 1 2 1 2

1 22( ) 2 2 2

2 0 1 2 1 2 1 2

1 21 23/22 2 2

01 2 1 2 1 2

2( )

1 4

4

1 4

4

x

y

z

Q QFx x x y y z z

x xQ Q

x x y y z z

Q QFy x x y y z z

y yQ Q

x x y y z z

F

∂ = − ∂ πε − + − + −

− −=

πε − + − + −

∂ = − ∂ πε − + − + −

− −=

πε − + − + −

∂= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 22 2 2

2 0 1 2 1 2 1 2

1 21 23/22 2 2

01 2 1 2 1 2

1 4

4

Q Qz x x y y z z

z zQ Q

x x y y z z

∂ πε − + − + −

− −=

πε − + − + −

1 2 1 22

0 1 24Q Q r rF

r r−

= −πε −

1 2F F= −

152



9.6 Energia Potencial: Forças ConstantesPara entendermos a estreita relação entre força e energia potencial, consideremos o caso de

uma força constante. Escrevemos tal força sob a forma:

9.22

onde F0x, F0y e F0z são constantes e são componentes da força.

É muito fácil constatar, por meio de uma derivação muito simples, que a função definida por:

9.23

onde C é constante, é tal que a força constante dada em 9.22 pode ser derivada da energia

potencial dada pela expressão 9.23. A solução 9.23 envolve uma constante arbitrária, C, a qual

é determinada atribuindo-se o valor da energia potencial num determinado ponto.

Em geral, a energia potencial é determinada de 9.23, a menos de uma constante, ou seja, a energia

potencial é definida a menos de uma constante arbitrária. E essa constante pode ser determinada ao

especificarmos que o valor da energia num determinado ponto se anula. Assim, se definirmos que a

energia na origem assume o valor zero, determinamos o valor da constante C. Nesse caso:

9.24

No caso do movimento dos projéteis, admitimos que a força gravitacional é constante.

Assim, admitindo o eixo z indicando a direção acima da superfície terrestre, escrevemos:

9.25

E, portanto, a energia potencial gravitacional, admitindo movi-

mentos próximos à superfície terrestre, é dada por:

9.26

0 0 0 0x y zF F i F j F k= + +

0 0 0( , , ) x y zU x y z xF yF zF C= − − − +

Figura 9.4: Num campo gravitacional constante, a energia potencial depende linearmente das coordenadas.

( )0,0,0 0 0U C= ⇒ =

0F mgk= −

( )U z mgz=

153



9.7 Campos Escalares como Taxas de Variação de Campos Vetoriais

Consideremos agora o caso de campos vetoriais. Nesse caso, só temos duas combinações de

componentes de campos com significado físico. A primeira combinação é aquela mediante a

qual tomamos derivadas parciais de componentes de campos de tal forma que ela se transforme

como um campo escalar. Tal combinação linear de derivadas se escreve como:

9.27

Assim, obtemos uma grandeza escalar, ρ(x, y, z, t), a partir de taxas de variação pontuais.

Escrevemos tal grandeza escalar como:

9.28

Consideramos como divergente de uma função vetorial E

(x, y, z, t) a soma das taxas de

variação definida na equação 9.27.

9.29

9.8 Equação da Conservação do FluidoA melhor forma de enunciar um princípio geral expressando uma lei de conservação é fazer

uso do divergente do vetor densidade de corrente

9.30

onde

9.31

Tal equação tem o nome de equação da continuidade.

( ) ( ) ( ) ( ), , ,, , , , , ,

, , ,yx zE x y z tE x y z t E x y z tE x y z t

x y z∂∂ ∂

+ + = ∇∂ ∂ ∂

( )( , , , ) , , ,x y z t E x y z tρ = ∇

Divergente de yx zEE EE Ex y z

∂∂ ∂= ∇ = + +

∂ ∂ ∂

Jt

∂ρ∇⋅ = −

∂

J V= ρ

154



9.9 Campos Vetoriais a partir de Taxas de Variação de Campos Vetoriais

A segunda combinação de derivadas, que tem propriedades simples de transformações sob

rotações, é dada a seguir:

9.32

a primeira combinação se transforma como a componente x de um vetor, a segunda se transforma

como a componente y de um vetor e a terceira se transforma como a componente z. Assim, a

9.33

Uma notação simplificada para a combinação acima é:

9.34

Assim, a partir das derivadas parciais, podemos construir novos campos. São campos derivados.

9.10 Operador Rotacional (∇×

)O operador rotacional opera sobre campos vetoriais, transforma-os em novos campos igual-

mente vetoriais. Assim, quando aplicado sobre um vetor A

, o operador rotacional leva a um

novo vetor (o vetor B

). Definimos esse novo vetor como o que é dado pelo determinante de

uma matriz 3 por 3 (9.35).

yz

x z

y x

EEy z

E Ez x

E Ex y

∂ ∂− ∂ ∂

∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂

− ∂ ∂

y yz x z xE EE E E ED i j ky z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

D E= ∇×

155



9.35

Explicitamente, escrevemos:

9.36

Um campo E

é dito irrotacional se o seu rotacional for nulo, isto é, se ele satisfizer a condição:

9.37

Todo campo irrotacional pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar V(x, y, z):

9.38

9.11 Campos com divergente nuloSob certas condições, um campo vetorial pode ter um divergente nulo, isto é,

9.39

Campos que satisfazem a equação acima são caracterizados pelo

fato de que suas linhas de força sempre se fecham.

Todo campo com divergência zero, como o campo magnético,

pode ser escrito como:

9.40

det

x y z

B A

i j k

Ax y z

A A A

= ∇×

∂ ∂ ∂ ∇× = ∂ ∂ ∂

y yz x z xA AA A A AB A i j kz y z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0E∇× =

( , , ) ( , , )E x y z V x y z= ∇

Figura 9.5: Comportamento típico de campos com divergência nula.

0J∇⋅ =

J A= ∇×

156



9.12 Taxas de Variaçao InstantâneaAté aqui definimos derivadas parciais de componentes de campos e de campos escalares.

Conquanto possamos sempre definir derivadas parciais de campos vetoriais, com respeito às

coordenadas, nem sempre elas fazem sentido físico. As derivadas parciais de campos com relação

ao tempo, no entanto, sempre fazem sentido. Geramos um novo campo, com sentido físico bem

definido, considerando a derivada parcial com respeito ao tempo. Definimos assim um novo

campo vetorial C

(x, y, z, t) obtido a partir da taxa de variação instantânea do campo E

(x, y, z, t), de acordo com a expressão:

9.41

9.13 O Operador Laplaciano ( 2∇ )Quando aplicado sobre uma função escalar ou uma função vetorial, o operador laplaciano

preserva o caráter dessas grandezas. Formalmente, sua definição é:

9.42

e, portanto, é operador divergente aplicado num campo vetorial, que é o gradiente de um

campo escalar

9.43

Pode-se aplicar esse operador também sobre um campo vetorial:

9.44

Nesse caso, fica entendido que equações análogas a 9.43 são válidas para cada componente

do campo vetorial.

( ) ( ), , ,, , , yx zEE x y z t E EC x y z t i j k

t t t t∂∂ ∂ ∂

= = + +∂ ∂ ∂ ∂

( )2 2 2

22 2 2x y z

∂ ∂ ∂∇ = ∇⋅ ∇ = + +

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

22 2 2, , , , , ,V x y z V x y z V x y z

x y z ∂ ∂ ∂

∇ = ∇⋅ ∇ = + + ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

22 2 2, , , , , ,E x y z E x y z E x y z

x y z ∂ ∂ ∂

∇ = ∇⋅ ∇ = + + ∂ ∂ ∂

157



9.14 Aplicações no EletromagnetismoAs leis do eletromagnetismo são formuladas, na Teoria de Maxwell, como relações entre

taxas de variação de campos e aquilo que lhes dão origem.

A primeira lei do eletromagnetismo estipula que existe uma relação entre a densidade de

carga elétrica ρ e o divergente do campo elétrico a que ela dá origem. Escrevemos:

9.45

onde ε é a permissividade do meio.

A outra equação é aquela que estabelece que o divergente do campo magnético é nulo, isto é:

9.46

Isso implica que não existem fontes nem sorvedouros de cargas magnéticas.

A terceira lei estabelece uma relação entre o rotacional do campo elétrico e a taxa de

variação do campo elétrico:

9.47

Finalmente, a quarta lei se escreve como:

9.48

De forma a respeitar tal relação, Maxwell acrescentou o termo Dt

∂−∂

(a corrente de deslo-

camento) ao último termo de 9.48. As equações de Maxwell se escrevem como:

9.49

1( , , , ) ( , , , )E x y z t x y z t∇⋅ = ρε

( , , , ) 0B x y z t∇⋅ =

BEt

∂∇× = −

∂

EB Jt

∂∇× = µ −µε

∂

EB Jt

∂∇× = µ −µε

∂

158



9.15 Derivadas de Segunda Ordem: o Operador Laplaciano ( 2∇ )

Na física quântica, na ótica, na teoria ondulatória em geral e, especialmente, na química

quântica, as derivadas de segunda ordem ocupam um papel central. Devemos introduzir agora

as derivadas de segunda ordem relevantes nas ciências.

Quando aplicado sobre uma função escalar ou uma função vetorial, o operador laplaciano

preserva o caráter dessas grandezas. Formalmente, sua definição é:

9.50

e, portanto, é operador divergente aplicado num campo vetorial, que é o gradiente de um

campo escalar

9.51

Pode-se aplicar esse operador também sobre um campo vetorial:

9.52

Nesse caso, fica entendido que equações análogas a 9.49 são válidas para cada componente

do campo vetorial.

9.16 A Equação de LaplaceEm termos do laplaciano, a equação de Laplace se escreve como;

9.53

onde V e ρ são funções escalares.

( )2 2 2

22 2 2x y z

∂ ∂ ∂∇ = ∇⋅ ∇ = + +

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

22 2 2, , , , , ,V x y z V x y z V x y z

x y z ∂ ∂ ∂

∇ = ∇⋅ ∇ = + + ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

22 2 2, , , , , ,E x y z E x y z E x y z

x y z ∂ ∂ ∂

∇ = ∇⋅ ∇ = + + ∂ ∂ ∂

( ) ( )2 , , , ,V x y z x y z∇ = ρ

159



9.17 Outras Derivadas de Segunda Ordem 9.17.1 Equação das Ondas

Para uma onda que se propaga no espaço tridimensional, a equação das ondas se escreve como:

9.54

onde v é a velocidade da onda. As ondas acima são ditas ondas escalares. No eletromagnetismo

estudaremos ondas vetoriais.

A equação acima pode ser escrita, sucintamente, como

9.55

9.17.2 Ondas Eletromagnéticas

Sem entrar em detalhes, o fato é que se pode deduzir, a partir das equações de Maxwell

no espaço livre, que o campo elétrico e também o campo magnético satisfazem a equação de

ondas, a saber:

9.56

Explicitamente, escrevemos:

9.57

9.58

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1u u u ux y z v t∂ ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )22

2 2

, , ,1, , ,u x y z t

u x y z tv t

∂∇ =

∂

22

2

22

2

EEtBB

t

∂∇ = εµ

∂∂

∇ = εµ∂

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2

, , , , , , , , , , , ,E x y z t E x y z t E x y z t E x y z tx y z t

∂ ∂ ∂ ∂+ + = µε

∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2

, , , , , , , , , , , ,H x y z t H x y z t H x y z t H x y z tx y z t

∂ ∂ ∂ ∂+ + = µε

∂ ∂ ∂ ∂

160



e, portanto, os campos elétrico e magnético podem se propagar como ondas no espaço.

Tais ondas recebem o nome de ondas eletromagnéticas. Os campos elétrico e magnético,

nesse caso, são os componentes da onda. A razão para a sua propagação mesmo no vácuo está

relacionada ao fenômeno conhecido como indução eletromagnética, ou seja, um campo elétrico

que varia com o tempo induz um campo magnético que varia com o tempo e este último, ao

variar com o tempo, induz um campo elétrico que varia com o tempo, e assim sucessivamente.

9.18 Mecânica Quântica e a QuímicaA rigor, todas as propriedades associadas aos elétrons nos átomos, moléculas e seus compos-

tos podem ser entendidas a partir de uma equação que descreve as propriedades quânticas desses

sistemas. Tal equação recebe o nome de equação de Schroedinger.

No caso de um elétron de massa m e para ondas harmônicas, a equação de Schroedinger é

uma equação para ψE ( 1r

) da forma:

9.59

onde U( 1r

) é a energia potencial do elétron no átomo e E é a sua energia. Um dos objetivos, ao

buscarmos soluções para tais equações, é o de determinar as energias possíveis do elétron no átomo.

Figura 9.6: Propagação de uma onda eletromagnética ao longo do eixo Z.

( ) ( ) ( )2

2

2 E Eh U r r E rm

/− ∇ + ψ = ψ

161



Uma solução do tipo onda harmônica, no contexto da teoria quântica, tem uma interpre-

tação bastante simples:

Soluções do tipo ondas harmônicas estão associadas a estado de partículas com energias

bem definidas.

Na mecânica quântica, a função de onda ψE( 1r

) é a amplitude de probabilidade de encon-

trarmos a partícula com energia E, numa posição caracterizada pelo vetor de posição 1r

.

No contexto quântico, a probabilidade de encontrarmos uma partícula, com energia bem

definida (E) num pequeno elemento de volume, dV, no entorno do ponto caracterizado pelo

vetor r, é dada por:

9.60

Como a probabilidade de encontrarmos a partícula independen-

temente dos pontos do espaço é 1, a função de onda deve, obriga-

toriamente, satisfazer a condição

9.61Figura 9.7: Orbitais de um átomo são regiões do espaço nas quais é maior a probabilidade de encontrar elétrons.

( ) ( ) ( ) 3E EP r r r d V∗= ψ ψ

( ) ( ) 3 1E Er r d V∗ψ ψ =∫∫∫

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