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TÓPICO Gil da Costa Marques MOVIMENTO CIRCULAR 9 Introdução 9.1 Newton e o Movimento Circular Uniforme 9.2 Variáveis no Movimento Circular e as Condições Iniciais 9.3 Cinemática do Movimento Circular 9.3.1 Velocidade angular, velocidade escalar e velocidade vetorial 9.3.2 Aceleração angular, vetorial e centrípeta 9.4 A dinâmica do Movimento Circular 9.5 Movimento Circular Uniforme 9.6 Movimento Circular num Campo Gravitacional LICENCIATURA EM CIÊNCIAS · USP/ UNIVESP

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TÓPI

CO

Gil da Costa Marques

MOVIMENTO CIRCULAR 9

Introdução9.1 Newton e o Movimento Circular Uniforme9.2 Variáveis no Movimento Circular e as Condições Iniciais9.3 Cinemática do Movimento Circular

9.3.1 Velocidade angular, velocidade escalar e velocidade vetorial9.3.2 Aceleração angular, vetorial e centrípeta

9.4 A dinâmica do Movimento Circular9.5 Movimento Circular Uniforme9.6 Movimento Circular num Campo Gravitacional

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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IntroduçãoAlguns movimentos recebem nomes em função da curva que descreve a trajetória da partí-

cula. Assim, quando a trajetória é uma circunferência, o movimento é dito circular.

Esse movimento tem grande importância histórica, pois, na Antiguidade, acreditava-se que

ele, ou um conjunto deles, descrevia o movimento dos corpos celestes.

Na filosofia grega, a geometria desempenhava um papel essencial em todas as atividades inte-

lectuais, além de ter-se tornado básica, àquela época, no treinamento filosófico. A geometria era

tida como uma combinação perfeita de lógica e beleza. Alguns creditavam isso à sua origem divina.

Platão (427 a.C. - 347 a.C.) afirmava que “Deus é geômetra”. A crença na geometria como

manifestação da divindade levou Platão e vários filósofos gregos a descrever o movimento dos

corpos celestes a partir de movimentos uniformes e trajetórias perfeitas. Trajetórias perfeitas

equivalem a trajetórias circulares. Daí a crença dos filósofos gregos de que os corpos celestes

revolviam em torno da Terra em esferas cristalinas concêntricas.

No mesmo século IV a.C., Eudóxio, um contemporâneo de Platão, fez um dos primeiros

trabalhos realmente importantes no campo da Astronomia Científica. Dessa forma, esperava-se

que as especulações filosóficas viessem a desempenhar um papel cada vez menos significativo

na Astronomia. No engenhoso esquema de Eudóxio, a órbita circular de cada planeta estava

fixada sobre uma esfera, a qual tinha a liberdade de girar. Cada esfera que transportava um

determinado planeta estava ligada nos polos a uma esfera secundária concêntrica exterior, que

girava sobre um eixo diferente. Essa esfera, por sua vez, estaria ligada a uma terceira esfera, caso

fosse necessário. Com um número de 27 esferas concêntricas giratórias, cada uma girando

simultaneamente sobre um eixo independente, Eudóxio conseguiu explicar os movimentos

aparentes dos planetas, dentro dos limites de precisão possíveis de serem atingidos na época.

Aristóteles defendeu, com base na dinâmica proposta por ele, a ideia de que a Terra deve

estar no centro do Universo. Para ele, o lugar natural de todos os corpos pesados seria o centro

do Universo. Assim, o fato de uma pedra cair em direção ao centro da Terra seria apenas uma

consequência do fato de que o centro da Terra coincide com o centro do Universo, que seria

o lugar próprio de todas as coisas.

Para a descrição dos movimentos dos astros, Aristóteles, em seu modelo, fez uso de 55 esferas

cristalinas revolvendo em torno da Terra. Constata-se, nesse ponto, que a doutrina de Aristóteles

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

sugere que as leis físicas não são universais. No firmamento, as órbitas seriam regulares e perfei-

tas. No nosso mundo, aplicar-se-ia um outro princípio - o do movimento em busca do lugar

próprio de cada objeto. No Universo, os corpos celestes se movem pela sua “divindade”.

Ptolomeu (100 d.C. - 170 d.C.), um dos grandes astrônomos da Antiguidade, ampliou o

catálogo de estrelas de Hiparco. Suas observações foram publicadas no livro Almajesto.

Ptolomeu consolidou o modelo aristotélico do movimenta dos corpos celestes. Com ele a

Terra continuou (e daí por muitos anos) no centro da esfera celeste (o modelo geocêntrico).

No modelo geocêntrico, o Sol, os planetas e as estrelas girariam em torno da Terra. Só depois

de cerca de 2.000 anos o modelo geocêntrico defendido por Aristóteles foi derrubado, como

resultado de mais observações e novas teorias, pelo modelo heliocêntrico de Copérnico.

O modelo de Ptolomeu fazia uso de movimentos circulares uniformes, os chamados epici-

clos. Fazia, portanto, uso de círculos e movimentos uniformes. No que se decidiu chamar de

sistema de Ptolomeu, os planetas se moveriam em pequenos círculos, denominados epiciclos,

cujos centros de curvatura se moveriam em círculos com raios de curvatura maiores. Estes úl-

timos círculos são denominados deferentes. O uso de círculos estava de acordo com a ideia da

perfeição preconizada por Platão. O maior sucesso desse modelo estava na descrição do movi-

mento dito retrógrado dos planetas, movimentos esses que não se coadunavam com a ideia de

uma órbita descrita por apenas um círculo.

O modelo de Ptolomeu introduziu duas importantes alterações

em relação ao modelo baseado nos epiciclos. Nesse modelo, o

centro do deferente não coincidia com o centro da Terra. Além

disso, introduzia o equante, um ponto localizado numa posição

oposta em relação ao centro do deferente, e à igual distância deste.

Propunha, nesse modelo, que o movimento uniforme dos epiciclos

seria uniforme, mas em relação a esse ponto, ou seja, a taxa com que

o planeta se move num epiciclo era tal a fazer com que o ângulo

entre o centro do epiciclo e o planeta tivesse o mesmo valor do

ângulo entre a Terra e o Sol.

Figura 9.1: Modelo de Ptolomeu, os chamados Epiciclos. / Fonte: Cepa.

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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9.1 Newton e o Movimento Circular UniformeFoi Newton o primeiro a entender o movimento circular do ponto de vista da dinâmica.

Newton analisou o movimento da Lua, a qual, como sabemos, tem uma trajetória praticamente

circular. Com base nesse estudo, Newton estabeleceu as bases para a Teoria da Gravitação Universal.

A análise de Newton lhe permitiu entender que o movimento circular uniforme é, de fato,

acelerado. Não fosse por isso, e de acordo com a lei da inércia, o móvel sairia pela tangente.

Nessa óptica, pode-se dizer que a Lua cai continuamente sobre a Terra sem, contudo, jamais

atingi-la, e isso porque a Lua é continuamente atraída pela Terra por meio da força gravitacional.

9.2 Variáveis no Movimento CircularNo estudo do movimento circular, que ocorre no plano, lançamos mão das variáveis polares.

A variável ρ, no entanto, é fixa e dada pelo valor R, do raio da circunferência, isto é:

9.1

E isso simplifica o estudo do movimento, uma vez que agora temos apenas uma variável

angular, a qual deverá ser determinada em função do tempo a partir das leis de Newton, uma

vez conhecidas as forças.

Assim, a única variável no movimento circular é a variável φ,

uma variável angular. No entanto, a partir dela e do raio da circun-

ferência, podemos definir a variável espaço s, a qual é determinada,

como vimos no tópico 4 “Vetores”, a partir da distância percorrida

ao longo do círculo. Escrevemos a relação:

9.2

Rρ =

Figura 9.2: Variável angular na descrição do movimento. / Fonte: Cepa

( ) ( )S t t R= ϕ

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Assim, para especificar a posição de um móvel ao longo da circunferência, podemos recorrer

a qualquer uma das duas alternativas: ou especificamos o espaço ao longo da circunferência ou

o ângulo associado à posição dele. É nesse sentido que falamos de variável angular, pois pode-

mos, através da determinação do ângulo, especificar a posição do objeto. É importante estar

atento ao sinal do ângulo. Atribuímos

valores positivos à variável angular de

acordo com a orientação do eixo da

variável espaço. O mesmo se pode dizer

dos valores negativos atribuídos à variá-

vel angular (vide Figura 9.3).

No caso da coordenada espaço, procedemos da forma já conhecida, isto é, escolhemos um

ponto ao longo da circunferência como origem dos espaços e depois orientamos os espaços.

Ao darmos uma volta completa ao longo da circunferência (isto é, ao voltarmos ao mesmo

ponto de onde saímos) percorreremos uma distância dada por:

9.3

Essa distância é conhecida como o comprimento da circunferência de raio R.

Assim, para um objeto em movimento sobre a circunferência, temos, utilizando coordenadas

polares, que o vetor de posição é dado por:

9.4

Exemplos

• ExEmplo 01:Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular con-

tida no plano x0y, conforme esquematizado na Figura 9.4. O

raio da circunferência, nesse caso, é R = 5 m.

No instante t0 = 0 ela passa pelo ponto A, que será adotado

como ponto de referência para a determinação da coordena-

da espaço ao longo da circunferência (indicada pela letra s).

Figura 9.3: Variáveis do movimento circular. / Fonte: Cepa

2d R= π

( )cos senr Re R i jρ= ≡ ϕ + ϕ

Figura 9.4 / Fonte: Cepa

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A variável angular, φ(t), é determinada a partir do ângulo que a reta iniciada na origem, e passando

pelo ponto em questão, forma com o eixo 0x. Ela assume valores positivos quando percorremos a

circunferência no sentido anti-horário a partir da origem (o ponto A), e assume valores negativos

quando percorrida no sentido horário.

a. Escreva a expressão analítica do vetor posição r(t) e a coordenada espaço s(t) para um instante

de tempo qualquer (t).→ Solução

Levando-se em conta que as coordenadas x e y são dadas como projeções sobre os respectivos eixos,

temos, adotando-se o metro como unidade:

Portanto, o vetor posição é dado por:

9.5

E a variável espaço, conforme a equação 9.2 do texto, é dada por:

9.6

b. Escreva as expressões para o vetor posição e a respectiva coordenada espaço quando a partícula

passar pelos pontos B e C, conforme indicados na figura.

→ Solução

No ponto B, o valor da variável angular é

9.7

Figura 9.5 / Fonte: Cepa

x = 5cosφy = 5senφ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5cos 5sen 5 cos senr t t i t j t i t j= ϕ ⋅ + ϕ ⋅ = ϕ ⋅ + ϕ ⋅

( ) ( ) ( )5s t R t t= ⋅ϕ = ϕ

rad2Bπ

ϕ =

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Portanto, utilizando as expressões acima, obtemos:

No ponto C, o valor da variável angular é:

9.8

Logo,

( ) ( ) ( )( ) ( )

5cos 5sen 5 0 m

5 5 m 15,7 mC

C

r i j i j

s

= π ⋅ + π ⋅ = − ⋅ + ⋅ = ⋅ π = π =

9.3 Cinemática do Movimento Circular9.3.1 Velocidade angular, velocidade escalar e velocidade vetorial

Definimos a velocidade angular como a taxa com que o ângulo se altera com o tempo, ou

seja, a velocidade angular é a taxa instantânea de variação da variável angular:

9.9

A velocidade escalar, definida como a taxa com que os espaços mudam com o tempo, é dada,

utilizando 9.9, por:

9.10

( )

( )

5cos 5sen 0 5 m2 2

5 2,5 m 7,85 m2

B

B

r i j i j

s

π π = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ π = ⋅ = π =

radBϕ = π

( )( ) d ttdtϕ

ω ≡

( ) ( )( ) ( )dS t d tv t R t Rdt dt

ϕ≡ = = ω

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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Observe que a velocidade vetorial, derivando o vetor de posição em relação ao tempo, é

dada pela expressão:

9.11

Portanto, a velocidade é sempre tangente à circunferência e seu módulo é igual à velocidade

escalar definida em 9.10.

Exemplos• ExEmplo 02:Admitamos que a variável angular associada ao movi-

mento circular do Exemplo 01 varia segundo a lei:

9.12i

onde o tempo é medido em segundos e o ângulo é

medido em radianos.

As condições iniciais constam da Figura 9.6.

a. Qual o intervalo de tempo necessário para a partícula

completar uma volta?

→ Solução

Num instante t = t1 a variável angular associada à partícula é φ(t1) = (π/20)⋅t1 e, num instante poste-

rior, t = t2, ela é φ(t2) = (π/20)⋅t2. O ângulo associado ao intervalo Δt = t2 − t1 é dado por:

9.13

Ao completar uma volta, o vetor posição r(t) terá descrito um ângulo Δφ = 2π rad; portanto,

substituindo-se tal valor na expressão acima, obtemos:

( )cos sendedr dv R R j i R e

dt dt dtρ

ϕϕ

≡ = ≡ ϕ − ϕ = ω

Figura 9.6 / Fonte: Cepa

( ) .20

t tπϕ =

( )2 120 20t t tπ π

∆ϕ = − = ∆

( )volta volta202 2 40 s

20t tπ

π = ∆ → ∆ = π ⋅ =π

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b. Qual a velocidade angular do movimento?

→ Solução

A velocidade angular pode ser determinada pela taxa de variação instantânea definida na equação

9.9. Assim, nesse caso, temos:

c. Qual é a velocidade escalar?

→ Solução

A partir da equação 9.10 temos a relação: v(t) = R.ω(t). Sendo ω(t) = (π/20) rad/s e R = 5 m, por

substituição, obtemos:

Como “rad” é uma unidade matemática, a sua unidade é 1. Assim, v(t) = (π/4) rad.m/s = (π/4) m/s.

d. Qual é a velocidade vetorial?

→ Solução

Temos duas alternativas equivalentes para responder a essa questão.

1ª alternativa:

Na primeira delas, utilizamos a expressão do texto para a

velocidade no movimento circular. Escrevemos:

9.14i

onde eϕ

é o versor na direção tangencial à circunferência,

conforme ilustra a Figura 9.7.

Apesar de o módulo da velocidade ser constante

(v = π/4 m/s), o vetor v é variável, pois o versor eϕ

muda

constantemente de direção, conforme a partícula se movi-

menta ao longo da circunferência, ou seja, depende da

evolução, com relação ao tempo, da variável angular φ(t).

( ) ( ) ( )20 rad s20 20

d td t d tt

dt dt dt

π ϕ π π ω = = = =

( ) ( )5 m rad s rad m s20 4

v t π π = = ⋅

Figura 9.7 / Fonte: Cepa

( )m s4

v v e R e eϕ ϕ ϕπ = ⋅ = ω =

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2ª alternativa:

Na segunda alternativa, escrevemos a expressão analítica do vetor posição em função da variável

angular e dos versores nas direções x e y, conforme a equação do texto:

r(t) = [R⋅cosφ(t)]⋅i

+ [R⋅senφ(t)]⋅ j

A derivada de primeira ordem em relação ao tempo fornece a velocidade vetorial: ( ) drv tdt

=

.

Substituindo R = 5 m e φ(t) = (π/20.t) e derivando, temos:

Essa equação mostra que v muda continuamente no decorrer do movimento, pois o cosseno e o

seno mudam com o tempo. Por exemplo, para o instante t = 0, tem-se:

E, para o instante t = 10 s, tem-se:

Observe que o módulo de v é v = π/4 m/s, constante; o que muda são a direção e o sentido de v.

• ExEmplo 03:a. Mostre, utilizando argumentos geométricos, que

9.15

( ) 5 cos . . sen .20 20

5 sen . . 5 .cos . .20 20 20 20

sen . . .cos . .4 20 4 20

dr dv t t i t jdt dt

t i t j

t i t j

π π = = + ⋅ π π π π − ⋅ + =

π π π π − ⋅ +

( )0 .sen .0 . .cos .0 . 0. .4 20 4 20 4

v t i j i jπ π π π π = = − + = +

( )10 s .sen .10 . .cos .10 . . 0.4 20 4 20 4

v t i j i jπ π π π π = = − + = − +

( ) ( ) ( ) ( )cos . sen . e sen . cos .e i j e i jρ ϕ= ϕ + ϕ = − ϕ + ϕ

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

→ Solução

Os vetores eρ

e eϕ

são dois versores (vetores de módulos unitários) definidos nas direções radial e

tangencial em cada ponto da trajetória.

A Figura 9.8 ilustra as direções tangencial e radial com os respectivos versores. No destaque, são

mostradas as projeções de cada versor nas direções dos eixos 0x e 0y, que podem ser assim escritos:

9.16

Considerando-se que ambos são versores (vetores de módulo igual a 1) tem-se, da expressão acima, que:

9.17

Igualmente obtemos, por meio de argumentos geométricos, que:

9.18

Lembrando que |eρ |= 1, segue-se da expressão acima o resultado já conhecido:

9.19

Figura 9.8 / Fonte: Cepa

sen . cos .e e i e jϕ ϕ ϕ= − ϕ + ϕ

sen . cos .e i jϕ = − ϕ + ϕ

cos . sen .e e i e jρ ρ ρ= ϕ + ϕ

cos . sen .e i jρ = ϕ + ϕ

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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A velocidade vetorial da partícula em Movimento Circular é v = v.eϕ

. Se v = π/4 m/s; o vetor v, em

função dos versores cartesianos i

e j

, é

9.20

b. Determine (deρ )/dt e (deϕ

)/dt dado que a velocidade angular é constante.

→ Solução

Portanto,

9.21

Portanto,

9.22

( )sen . cos . sen . cos .4 4 4

v i j i iπ π π = − ϕ + ϕ = − ϕ + ϕ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sen . cos . sen . cos .

sen cos. . cos . sen .

cos . sen . .

d i jde d i d jdt dt dt dt

d dd di j i jdt dt dt dt

i j e

ϕ

ρ

− ϕ + ϕ − ϕ ϕ= = +

− ϕ ϕϕ ϕ= + = ω − ϕ + ω − ϕ

= −ω ϕ + ϕ = −ω

( ). direção radialde

edt

ϕρ= −ω

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

cos . sen . cos . sen .

cos sen. . sen . cos .

sen . cos . .

d i jde d i d jdt dt dt dt

d dd di j i jdt dt dt dt

i j e

ρ

ϕ

ϕ + ϕ ϕ ϕ= = +

ϕ ϕϕ ϕ= + = ω − ϕ + ω ϕ

= ω − ϕ + ϕ = ω

( ). direção tangencialde

edt

ρϕ= −ω

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

9.3.2 Aceleração angular, vetorial e centrípeta

Definimos a aceleração angular como a taxa, por unidade de tempo, com que a velocidade

angular muda com o tempo:

9.23

enquanto a aceleração escalar, definida como a derivada com respeito ao tempo da velocidade

escalar, se escreve como:

9.24

Observe, no entanto, que a aceleração vetorial, dada por:

9.25

tem duas componentes: aquela tangente à curva é igual à aceleração escalar dada por 9.23;

a outra componente - a componente radial - tem o nome de aceleração centrípeta e tem a

forma geral calculada por Newton no caso do movimento uniforme. De fato, utilizando 9.25,

podemos escrevê-la de duas formas equivalentes:

9.26

Veja que ela aponta sempre para o centro da circunferência, daí derivando o seu nome:

aceleração que aponta para o centro.

2

2

( ) ( )( ) d t d ttdt dtω ϕ

α ≡ =

( ) ( )( ) ( )dv t d ta t R t Rdt dt

ω≡ = = α

2dedv d da R e R R e R edt dt dt dt ρ

ϕϕ ϕ

ω ω≡ = + ω = − ω

22

centrípetava R e eRρ ρ= − ω = −

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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Exemplos• ExEmplo 04:

Um objeto é colocado em movimento circular de raio

R = 1,2 m, conforme ilustra a Figura 9.9.

A variável angular φ varia em função do tempo (expresso

em segundos), conforme a equação horária:

9.27i

a. Escrever as equações horárias da velocidade angular ω(t) e da aceleração angular α(t).→ Solução

As equações 9.10 e 9.23 do texto definem a velocidade e a aceleração angulares. Então,

Velocidade angular:

9.28

A aceleração angular é a taxa de variação instantânea da velocidade angular. Nesse caso, obtemos:

9.29

b. Escrever a equação horária para a velocidade escalar e a aceleração tangencial ou escalar. Parti-

cularizar para o caso t = 2 s.

→ Solução

A função s(t) pode ser obtida por meio da relação entre o ângulo e o raio, ou seja,

9.30

Assim, no sistema SI, a velocidade escalar é dada por:

9.31

Figura 9.9 / Fonte: Cepa

( ) 2

12t tπ

ϕ =

( ) ( )2

126

d td tt t

dt dt

π ϕ π ω = = =

( ) ( ) 26 rad s6

d td tt

dt dt

π ω π α = = =

( ) ( ) ( ) ( )2 2. 1,2 0,112

s t R t t tπ = ϕ = ⋅ = π

( ) ( )( )

( )( )

20,10,2

d tds tv t t

d t dt π = = = π

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

Donde se infere que, para t = 2 s, a velocidade é dada por:

A aceleração tangencial ou aceleração escalar é a taxa de variação instantânea da velocidade escalar.

Assim sendo, para v(t) = (0,2π)t, e de acordo com a definição 9.23, temos:

Assim, tento em vista que a aceleração tangencial é constante, no instante t = 2s temos que:

c. Escrever a expressão da aceleração centrípeta do objeto em função do tempo e, em particular,

para t = 2 s.

→ Solução

A equação 9.26 define a aceleração centrípeta ou radial no caso de movimento circular. Para o

instante t = 2 s, temos que v = 0,4.π m/s e, sendo R = 1,2 m, a aceleração centrípeta é dada por:

A aceleração centrípeta tem módulo constante, 2

2centr

4 m/s3

a π=

, direção radial e apontando para

o centro da circunferência.

d. Escreva a expressão cartesiana da aceleração vetorial em função do tempo e, em particular, para t = 2 s.

→ Solução

A aceleração vetorial, conforme o texto, é dada por:

9.32

A aceleração vetorial pode, igualmente, ser assim expressa sob a forma:

9.33

( )2 s 0,4 m sv t = = π

( ) ( ) ( ) ( )2tang

0,2 .0,2. m s constante

dv t d tt a

dt dtπ

α = = = = π

( ) 2tang 0,2. m s t aα = = π

( )22 2

centr

0,4 4 . 1,2 3

va e e eR ρ ρ ρ

π π= − = − ⋅ = −

2dedv d da R e R R e R edt dt dt dt

ϕϕ ϕ ρ

ω ω≡ = + ω = − ω

2

tang radialva a e a e e eRϕ ρ ϕ ρ= ⋅ + ⋅ = α −

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Particularizando para t = 2 s, temos as componentes da aceleração dadas por:

Para determinar a aceleração vetorial no instante t = 2 s, devemos substituir as expressões para a

velocidade escalar e a aceleração escalar, já determinadas no item (b). Assim,

E, portanto,

9.4 A dinâmica do Movimento CircularNeste tópico, lançaremos mão das coordenadas polares para desenvolver o estudo do movi-

mento circular à luz da dinâmica Newtoniana.

Lembrando que as duas componentes da força - azimutal e radial - são definidas como

projeções sobre os vetores da base definidos como:

9.34

E que a equação de Newton se escreve, em coordenadas polares, como:

9.35

( )

2tang

22

centr

0,2 m s

0,41,2

dvadt

VaR

α = = = π

π−= =

( ) [ ] [ ]2 2 20,2 2a 0,21,2 10 30

t tt e e e eϕ ρ ϕ ρ

π π π = π − ⋅ = −

( )22 22 s

10 15a t e eϕ ρ

π π = = −

F F e

F F eρ ρ

ϕ ϕ

≡ ⋅

≡ ⋅

ma Fma F

ρ ρ

ϕ ϕ

=

=

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

a qual tem uma forma semelhante à da equação de Newton em coordenadas cartesianas.Lem-

brando, do tópico 5 “Cinemática Vetorial”, que a aceleração em coordenadas polares é dada por:

9.36

as equações se transformam agora em equações para as coordenadas ρ e φ. Essas equações são:

9.37

No caso do movimento circular, vemos, a partir das equações acima, que ele ocorre desde

que sejam satisfeitas as seguintes condições:

9.38

A primeira equação implica que a componente radial da força deve ser igual à massa vezes

a aceleração centrípeta:

9.39

Daí implicando que o movimento circular só ocorre se a força que age sobre a partícula tiver

uma direção radial, isto é, dirigida para o centro, de tal forma que:

9.40

enquanto a segunda equação é equivalente à condição de que a massa vezes a aceleração escalar

seja igual à componente da força na direção tangencial à circunferência.

9.41

22 2

2 22d d d d da e edt dt dt dt dtρ ϕ

ρ ϕ ρ ϕ ϕ ≡ −ρ + +ρ

22

2

2

22

d dm Fdt dt

d d dm Fdt dt dt

ρ

ϕ

ρ ϕ −ρ = ρ ϕ ϕ

+ρ =

2

2

2

dmR Fdt

dmR Fdt

ρ

ϕ

ϕ − = ϕ=

2cpa R= − ω

22 vF mR m

Rρ = − ω = −

( ) ( )ma t mR t Fϕ= α =

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207

MOVIMENTO CIRCULAR 9

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Exemplos

• ExEmplo 05:Um carro com massa total de 800 kg entra numa curva de raio R = 500 m com velocidade

v0 = 40 m/s e aceleração tangencial (nesse caso, igual à aceleração escalar) atang = α = 6 m/s². A pista

está contida num plano horizontal e o atrito é suficiente para manter o carro na trajetória circular

sem escorregamentos.

a. Qual a força tangencial?

b. Qual a força radial no instante t0 = 0?

→ Solução

A Figura 9.10 representa o DCL do carro.

Apresentamos, na Figura 9.10, três direções associadas a

uma determinada posição do carro: a vertical (normalmen-

te associada ao eixo z); a radial, associada ao termo do versor

e a componente tangencial à trajetória circular, associada

ao termo da velocidade vetorial contendo o versor eϕ

.

Na direção vertical, atuam a força gravitacional p e a

reação N

da pista sobre os pneus do carro. Nessa direção

tem-se equilíbrio; logo,

Para a direção tangencial escrevemos:

9.42

onde aφ = α é a aceleração escalar (tangencial à trajetória).

Na direção radial, a força é igual ao produto da massa pela aceleração centrípeta:

9.43

Se o carro se movimentar com velocidade escalar constante (o velocímetro registrando velocidade

de mesmo valor), a aceleração tangencial é aφ = 0 e a força tangencial, por consequência, é nula.

Figura 9.10 / Fonte: Cepa

N p= −

F e ma e m eϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = α

2

radvF F e m eRρ ρ ρ= = −

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208 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

a. Qual a força tangencial?

b. Qual a força na direção radial?

Vamos considerar o instante t = 0 como aquele em que v = 40 m/s. Da expressão 9.43 segue-se que,

quando expressa em newtons, a força radial é dada por

O sinal negativo indica que o sentido da força radial é para o centro, uma vez que o versor eρ

tem

direção radial, mas o sentido é aquele que indica o afastamento do centro.

9.5 Movimento Circular UniformeO movimento circular uniforme ocorre quando a força tangencial que age sobre o móvel

se anula:

9.44

Portanto, de 9.43 segue-se que, no movimento circular uniforme, a aceleração angular se anula:

9.45

Para a ocorrência de movimento circular uniforme faz-se necessário, assim, que a força seja

uma força central, ou seja, que a força aponte sempre para o centro. Essa exigência vem da

equação 9.42:

9.46

( ) ( ) ( ). 800 kg 6 m s . 4.800. newtonsF m a e eϕ ϕ ϕ ϕ= = =

( ) ( )2

240800 800 kg 3,2 m s 2.560

500F e e e eρ ρ ρ ρ ρ

= × − = × − = −

0Fϕ =

0( ) 0tα = ⇒ω= ω

0Fϕ =

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209

MOVIMENTO CIRCULAR 9

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Como vimos anteriormente, a força central deve ser sempre atrativa e isso decorre da equação:

9.47

Assim, é importante entender que a despeito de o movimento ser uniforme, ele é um

movimento acelerado.

O movimento circular uniforme é um movimento periódico que se repete a intervalos de

tempo regulares. O seu período é dado por:

9.48

Exemplos

• ExEmplo 06:Um disco (B) de massa m = 2 kg é pos-

to em MCU de raio R = 0,5 m sobre

uma plataforma horizontal sem atrito. A

velocidade escalar é constante e dada por:

v = 1 m/s.

Ele é preso à extremidade de um fio leve e

flexível, que passa por um orifício através

do qual ele pode deslizar sem atrito. Na

outra extremidade do fio pende um obje-

to, A, que permanece no mesmo nível em

relação ao solo (sem subir nem descer).

Adotando-se g = 10 m/s²; pergunta-se:

a. Qual a aceleração do objeto?

→ Solução

O movimento é circular e uniforme; logo, a aceleração tangencial é nula. Portanto, a velocidade

escalar é constante. A aceleração centrípeta (na direção radial) tem módulo dado por:

( )20mR Fρ− ω =

0

2T π=ω

Figura 9.11 / Fonte: Cepa

2

22

cp

m1s 2 m s

0,5 mvaR

− = − = = −

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

Sendo aφ = α = (dv)/(dt) = 0, a aceleração do objeto tem apenas a componente centrípeta

(acp = −2 m/s2), ou seja,

O versor eρ

tem direção radial e aponta para fora do centro da circunferência. A aceleração centrípeta

aponta, portanto, para o centro da circunferência. Daí o sinal negativo.

b. Qual o período do movimento circular executado pelo disco?

→ Solução

De acordo com a equação 9.10 podemos escrever que v = ω0⋅R, onde ω0 = velocidade angular

constante do MCU. Portanto, podemos escrever que ω0 = v/R. Substituindo, na equação 9.48 que

define o período no MCU, temos que:

9.49

Substituindo as grandezas v = 1 m/s e R = 0,5 m, temos: 2 3,14 0,5 m 3,14 s

1 m/sT × ×= = .

Portanto, o objeto percorre a circunferência de raio R = 0,5 m em 3,14 s.

c. Qual o peso do objeto A dependurado na extremidade do fio?

→ Solução

Vamos desenhar um DCL do objeto em MCU.

Sobre o objeto (Figura 9.12) atuam três

forças: duas na direção vertical, que se anu-

lam (N

= −p), pois o objeto não se move

nessa direção. Na direção radial, por outro

lado, atua apenas a força tensora T do fio.

Como o objeto A não sobe nem desce, ele se

encontra em equilíbrio, ou seja, T = peso de

A. Portanto, a força radial é, em módulo, igual

ao produto da massa pela aceleração centrípeta:

Dessa expressão, segue-se que: o peso de A = mg = T = 4 newtons.

( )2cp 2. m sa eρ= −

2 2 RT v vR

π π= =

Figura 9.12 / Fonte: Cepa

2

22

m1s. 2 kg) 2 kg 2 m s 4 newtons

0,5 mvT mR

= = = × =

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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• ExEmplo 07:A massa de um pêndulo de comprimento L = 5 m é solta de uma determinada altura e passa no

ponto mais baixo de sua trajetória (ponto B da Figura 9.13) com velocidade v = 6 m/s.

Se a massa tem o valor m = 4 kg, qual a intensidade da força tensora no fio no ponto B? Desprezar

a resistência do ar e considerar g = 10 N/kg = 10 m/s².

→ Solução

Para analisar o movimento, consideremos o DCL da massa

pendular num ponto qualquer de sua trajetória circular

(Figura 9.14).

Na massa presa ao fio atuam duas forças: a força tensora do

fio T

e o peso p. Com a escolha dos eixos da Figura 9.14, as componentes

da força peso são:

• pρ = p⋅eρ = pcosφ (componente radial da força peso)

• pφ = p⋅eϕ = psenφ (componente tangencial da força peso).

A força tensora T

atua sempre na direção radial.

Considerando que neste ponto a velocidade tangencial

(ou escalar) seja v, podemos escrever, usando a 2ª Lei de Newton:

Direção tangencial Direção radial

tang tang

tang

sen .

sen sen sen

F F p m ap mga a g

m m

ϕ

ϕ

= = ϕ =

ϕ ϕ= = = = ϕ

Portanto:

atang = aφ = gsenφ

2

radial cosvF F m T pLϕ

= = = − ϕ

Portanto:

T = m(v2/L) + pcosφ

Figura 9.13 / Fonte: Cepa

Figura 9.14 / Fonte: Cepa

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

O que ocorre com os módulos da aceleração escalar atang e da força tensora T conforme a massa

pendular se mova em direção ao ponto B?

À medida que o ângulo φ decresce, o valor de senφ decresce e o de cosφ cresce. Desse modo,

atang = gsenφ decresce e a tração T = m(v2/L) + pcosφ aumenta (devido ao crescimento de pcosφ).

Quando a massa pendular passar pelo ponto B, o ângulo φ = 0° → sen0° = 0 e cos0° = 1 e, portanto,

no ponto B temos:

Direção tangencial Direção radial

( ) ( )tang B B 0a aϕ= =( ) ( )

2B

B

2

B

B

m6s4 kg 4 kg 10 N kg

5

68,8 newtons

vT m pL

Tm

T

= +

= + ×

=

Observe que, na situação em que vB = 0 → TB = 0 + p, a tração no fio terá a mesma intensidade do peso.

9.6 Movimento Circular num Campo GravitacionalA ideia de descrever o movimento dos astros no céu a partir de órbitas circulares é de Platão.

Foi aperfeiçoada pelos seus seguidores, especialmente com a ideia dos epiciclos. Platão não

estava muito enganado. Os planetas se movem em órbitas elípticas, mas órbitas circulares são

possíveis. Uma circunferência é um caso particular de uma elipse.

Figura 9.15: Sistema solar. / Fonte: Cepa

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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No caso da força gravitacional exercida por um objeto esférico de massa M sobre um objeto

de massa m, escrevemos essa força em coordenadas polares da seguinte forma:

9.50

Sendo R o raio da órbita circular, a lei de Newton se escreve, de acordo com 9.26, da

seguinte forma:

9.51

Como a aceleração centrípeta é dada por

9.52

de 9.52, segue que a velocidade angular é dada, em função do raio, pela seguinte expressão:

9.53

O aspecto relevante no movimento circular num campo gravitacional é a existência de uma

relação bastante geral entre a velocidade angular e o raio da trajetória e essa relação é:

9.54

Ela é o análogo da lei de Kepler quando aplicada para o movimento circular. De fato, de

9.54 e 9.48, segue-se que o quadrado do período numa órbita circular é proporcional ao

cubo do “semieixo maior” de uma esfera (pois o seu semieixo maior coincide com o semieixo

menor). De fato, substituindo 9.48 em 9.54, obtemos, para o período,

9.55

2

mMGF eρ= −ρ

cp 2

1ma mMGR

= −

( )2

2cp 0

va RR

= − ω = −

23

MGR

ω =

2 30 R MGω =

( )22 32

T RMGπ

=

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TERRA E UNIVERSO Dinâmica do movimento dos corpos

Dessa relação segue-se que a cada período corresponde um valor do

raio. De grande interesse para as telecomunicações são os satélites geo-

estacionários. Neles, o período é igual ao período de rotação da Terra.

9.56

Nesse caso, o satélite fica sempre num ponto fixo acima da su-

perfície terrestre. O raio nesse caso é dado por: R = 35,786 km.

Exemplos

• ExEmplo 08:Os satélites “geoestacionários” são aqueles que se encon-

tram “parados” em relação a um ponto fixo na superficie

terrestre (em geral, sobre a linha do equador terrestre).

Por isso, são usados como satélites de comunicação. Con-

sidere um satélite geoestacionário com órbita circular de

raio R concêntrica com o globo terrestre.

Adotando um sistema de referencial polar com centro no

planeta Terra, determinar:

a. O período Tsat do movimento circular do satélite.

→ Solução

A condição para que um satélite seja geoestacionário é equivalente à condição de que sua velocidade

angular (ωsat) seja igual à velocidade angular associada ao deslocamento de um ponto no equador terrestre:

9.57

9.58

Para isso, basta que os períodos sejam iguais. Tendo em vista que o período de rotação da Terra é de

24 horas, temos:

9.59

Figura 9.16 / Fonte: Cepa

rot 24T T hs= =

Figura 9.17: Satélite. / Fonte: Cepa

eqdrot

2Tπ

ω =

eqd satω = ω

sat rot 24 h 86.400 sT T= ≅ =

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MOVIMENTO CIRCULAR 9

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b. O raio R da órbita do satélite.

→ Solução

A força na direção radial agindo sobre o satélite é a força de atração gravitacional entre o satélite

e a Terra. Ela o atrai para o centro da Terra. Denominando m a massa do satélite, e lembrando

que a massa da Terra é M = 6 × 1024 kg; que a constante da gravitação universal é dada por

G = 6,67 × 10-11 (Nm2)/kg2 e denominando R como a distância do satélite até o centro da Terra,

podemos escrever:

9.60

A partir da lei de Newton podemos escrever:

9.61

donde inferimos que 2

MR Gv

= . Lembramos que 2 Rv RTπ

= ω = . Assim, em termos do período, a

distância até o centro da Terra obedece à relação 2

2 24MTR G

R=

π, donde inferimos que ela é dada por:

23

24MTR G=π

.

A partir dos dados já obtidos, concluímos que o raio da órbita do satélite é R ≅ 42.300 km. Sendo

RTerra = 6.380 km, a altitude do satélite é h = R − RTerra = 42.312 - 6.380 ≈ 36.000 km.

Fradial = Fgravitacional

2

2

.v M mm GR R=