tópico 09 - integral

Matemática ITópico 09– Integrais

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA

FACULDADE DE ECONOMIA

Integração

9 – Integração

AntiderivadasUma função é uma antiderivada de f num

intervalo para todo em .

Dessa forma, uma antiderivada de uma função f é uma função cuja derivada é . Por exemplo é uma antiderivada de , pois

9 – Integração

Imagine agora que tenhamos:, onde C é uma constante. Mostre que , e são

todas antiderivadas da função definida por

Teorema 1: Seja uma antiderivada de uma função . Então qualquer antiderivada de deve ser da forma , onde é uma constante.

9 – Integração: A integral indefinida O símbolo , conhecido como sinal da integral, será o que

nos utilizaremos para identificar que queremos fazer a operação de integração de uma determinada função que deverá ser executada sobre a função f. Assim:

A função a ser integrada é conhecida como integrando, e a constante é chamada de constante de integração. A expressão que se segue ao integrando lembra-nos que a operação é executada com respeito a . Se a variável independente é , escrevemos . Neste sentido, tanto quanto são “variáveis mudas”.

Se tivermos: com e arbitrárias

Regras Básicas

9 – Integração: Regras básicas de integração

Regra 1: Integral indefinida de uma constante:

Regra 2: Regra da potência Provando tal regra teríamos:


Regra 3: A integral indefinida de um múltiplo constante de uma função

Poderíamos fazer isso?:

Não, veja como fica cada uma das integrais


Encontre as integras indefinidas:


Regra 4: Regra da soma

Encontre a integral indefinida de

Vejamos no Geogebra o cálculo de integrais


Regra 5: Integral indefinida de uma função exponencial

Encontre a integral de

Regra 6: Integral indefinida da função

Pois lembremos que


Problemas a valores iniciaisImagine que tenhamos a seguinte função (aqui

representada por uma equação diferencial)

Integrando f’, teremos

Como temos a condição de que f(1)=9 teremos portanto


Portanto a função desejada é:

Problema: A circulação atual da revista Investor’s Digest é de 3000 exemplares por semana. O editor chefe da revista projeta uma taxa de crescimento de

Exemplares por semana daqui a t semanas pelos próximos 3 anos. Com base na sua projeção, qual será a circulação da revista daqui a 125 semanas?

Partimos então da taxa de variação no tempo dada por:

http://youtu.be/fnmChZbeIfg


Integração por substituiçãoVamos considerar a seguinte integral indefinida

Uma forma de calcularmos esta integral é expandir a expressão e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis. Escrevemos

Com diferencial Se substituirmos estas expressões na equação

acima teremos


Assim teremos

Testando a forma primitiva teremos


Para identificar melhor como esse método funciona vamos considerar duas funções abaixo.

Podemos verificar que . Além disso, o integrando é uma função composta de f e g. De fato,

Que poderíamos escrever portanto

Assim, a integral pode ser sempre escrita como


Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da cadeia, temos

Portanto,

Assim teremos


Assim podemos integrar por substituição seguindo os seguintes passos:

1 – Considere , onde é parte do integrando, em geral a “função interna” da função composta

2 – Calcule 3 – Use a substituição e d(u)= para converter a

integral em uma outra envolvendo apenas u.4 – Calcule a integral resultante5 – Substitua u por g’(x) para obter a solução

final como função de x.Exemplo: Calcule


𝑎 ¿∫𝑒−3𝑥𝑑𝑥𝑏¿∫¿¿ ¿¿


Integral por partesTal técnica de integração visa aplicar nas

integrais processo equivalente a regra da cadeia das derivadas.

Verificamos na diferenciação na regra do produto que:

Se integrarmos ambos os lados da equação acima teremos:

Podemos deduzir também que:


A última expressão é a representação da integração por partes, a partir dessa fórmula podemos expressar um conjunto de relações que facilitarão o cálculo de algumas integrais mais complicadas:

Assim, podemos estabelecer a seguinte fórmula como a integração por partes:

Exemplo:


Como escolher u e dvEscolha u e dv, tais que

1 – du é mais simples que u;2 – dv é mais fácil de integrar


Aplicação:Em 1990, o chefe do departamento de pesquisa e

desenvolvimento da Solon Corporation afirmou que o custo de produção de painéis de energia solar cairia à taxa de

Dólares por watt de pico pelos próximos t anos, com t=0 correspondendo ao início do ano de 1990. Em 1990, os painéis, que são usados para geradores fotoelétricos, custavam $10 por watt de pico. Encontre uma expressão que forneça o custo de produção de painéis de energia solar por watt de pico no início do ano t. Qual foi este custo no início de 2000?

Integral: Exemplos no Geogebra

Vamos verificar alguns comandos importantes para uso de integrais no Geogebra.

http://www.youtube.com/watch?v=XtYboctyCJw

A Integral Definida

9 – Integração: A Integral Definida Uma visão intuitiva da área:Suponha que a taxa anual de consumo de petróleo de um certo

Estado durante um período de 4 anos é constante, sendo dada pela definição:

Onde t é medido em anos e f(t) em milhões de barris por ano. Então, o consumo total de petróleo daquele Estado durante o período em questão é

(1,2)(4-0) (taxa de consumo tempo transcorrido)( )f t

t

1,2

4

O produto irá dar 4,8 milhões de barris.

9 – Integração: A Integral Definida Quando tratados de áreas retangulares é fácil fazer essa

verificação, porém quando tivermos áreas do tipo:

O cálculo da área implica no segundo problema fundamental do cálculo: que é exatamente o cálculo da região limitada pelo gráfico de uma função não-negativa , o eixo e as linhas verticaise

x ax b ( )y f x

9 – Integração: A Integral Definida Essa respectiva área S é conhecida como área sob o

gráfico de no intervalo , ou de a .Vamos partir de um exemplo interativo que no final

culminará com o uso do conceito da integral. Imagine que tenhamos o seguinte gráfico abaixo:

Essa respectiva área S é conhecida como área sob o gráfico de f no intervalo [a,b], ou de a a b.

Vamos partir de um exemplo interativo que no final culminará com o uso do conceito da integral. Imagine que tenhamos o seguinte gráfico abaixo:

2( )f x x

9 – Integração: A Integral Definida

Vamos supor que queiramos calcular um valor de área até o ponto 2.

É mais fácil fazer o cálculo de áreas retangulares, bem podemos dividir a área abaixo em áreas retangulares onde:


Calculando a área teremos:

1

4

1

4f 1

2

3

4f

3

4

1

2f

114

114

f

3

2

3

2f

1f

324

f

324

1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 31 1 2

4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 2 4 4

10,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2,75

4

A f f f f f f f

A f f f f f f f


Continuando o calculo da área

Ou aproximadamente 2,1875 unidade quadrada.

Porém, podemos reduzir ainda mais o tamanho dessa área com o objetivo de melhorar a precisão do valor da área, uma forma de conseguirmos isso é reduzindo o tamanho do retângulo de ¼ para 1/8.

Assim teríamos o gráfico:

2 2 2 2 2 2 210,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2,75

40,25(0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625)

0,25(8,75)

2,1875

A


Calculando a área teremos:


Ou seja, cada vez que diminuir o retângulo, nos aproximaremos do verdadeiro valor da área.

De forma geral podemos então definir a área como:

A soma do lado direito da expressão acima é conhecida como soma de Riemann, nesse caso a soma deve convergir para um único número quando n se torna arbitrariamente grande. Definimos esse número como sendo a área A da região S.

Portanto:Seja a função contínua não-negativa em [a,b]. Então, a área

da região sob o gráfico de f é

Onde , ,..., são pontos arbitrários pertencentes aos n subintervalos de [a,b] de igual comprimento


http://youtu.be/o4UmHZlpDl8

9 – Integração: A Integral Definida Agora vamos dar atenção ao estudo de limites de

somas de Riemann envolvendo funções que não são necessariamente não-negativas. Tais limites surgem em muitas aplicações do cálculo.

Por exemplo, o cálculo da distância percorrida por um corpo que se move ao longo de uma reta envolve a determinação de um limite dessa forma. O cálculo da receita total realizada por uma companhia num certo período, o cálculo da energia elétrica total consumida numa residência ao longo de 24 horas, a concentração média de uma droga num corpo ao longo de um certo intervalo de tempo, e o volume de um sólido – todos envolvem limites desse tipo.

Vamos então a uma nova definição:

9 – Integração: A Integral Definida Seja f definida em [a,b]. Se

Existe para todas as escolhas de pontos representativos , ,..., nos n subintervalos de [a,b] de igual comprimento

, então esse limite é chamado de INTEGRAL DEFINIDA DE DE A é é denotado por

Assim,

O número a é o extremo inferior da integração, e o número b é o extremo superior da integração.

9 – Integração: A Integral Definida Quando a função é integrável?Podemos garantir que toda função contínua é

integrável a partir do seguinte teorema:Seja f contínua em [a,b]. Então f é integrável em [a,b];

ou seja, a integral definida existe.

9 – Integração: A Integral Definida Se f é não-negativa e integrável em [a,b], então temos a

seguinte interpretação geométrica da integral definida

Ela será igual à área da região sob o gráfico de f em [a,b]

9 – Integração: A Integral Definida Note que a medida que avançamos a integral a área

muda do primeiro quadrante para o quarto quadrante (negativo). Nesse caso, para acharmos a integral, basta primeiro somarmos as áreas R1 e R3 e em seguida subtraímos a área R2, ou seja:

9 – Integração: A Integral Definida O Teorema fundamental do cálculo

E a partir da definição de integral definida que chegamos a um dos mais importantes teoremas da matemática, trata-se do teorema fundamental do cálculo.

O teorema a seguir nos mostra como calcular a integral definida de uma função contínua, desde que possamos encontrar uma antiderivada desta função. Devido à sua importância em estabelecer a relação entre diferenciação e integração, este teorema, descoberto independentemente por sir Isaac Newton na Inglaterra e Gottfried Wilhelm Leibniz na Alemanha.

9 – Integração: A Integral Definida Assim o teorema fundamental é:Seja f contínua em [a,b]. Então

Onde F é uma antiderivada qualquer de f, isto é, F’(x)=f(x).

9 – Integração: A Integral Definida A aplicação do teorema fundamental do cálculo, é

conveniente utilizarmos a seguinte notação

Por exemplo, usando esta notação teremos:

Exemplo: Seja R a região sob o gráfico de f(x)=x no intervalo [1,3]. Use o teorema fundamental do cálculo para determinar a área A de R e verifique seu resultado por meios elementares.

9 – Integração: A Integral Definida Solução:

A área R pode ser calculada de duas formas diferentes, veja o gráfico abaixo:

9 – Integração: A Integral Definida Para o cálculo da integral definida, observe que uma

antiderivada de é , sendo C uma constante arbitrária, Portanto, pelo teorema fundamental do cálculo, temos

9 – Integração: A Integral Definida Calcule:

Aplicação: A gerência da Staedtler Office Equipament determinou que a função de custo marginal diário associada à produção de apontadores de lápis a bateria é dada por

Onde C’(x) é medida em dólares por unidade e x denota o número de unidades produzidas. A gerência também determinou que o custo fixo diário envolvido na produção destes apontadores de lápis é de $100. determine o custo total diário da Staedtler para produzir:a) As primeiras 500 unidades;b) Da unidade 201 a unidade 400

9 – Integração: A Integral Definida Propriedades:

Sejam f e g integrais definidas; então:

1) ;2) , onde c é uma constante


A situação (5) pode ser retratada no gráfico acima.

9 – Integração: A Integral Definida Aplicando o método de substituição para integrais

definidas:

Calcule

9 – Integração: A Integral Definida Valor Médio de uma função

O valor médio de uma função no intervalo permite-nos uma aplicação da integral definida. Lembremos que o valor médio de um conjunto de n números é o número

Nesse aspecto, suponha que f é uma função contínua definida em [a, b] em n subintervalos de mesmo comprimento (b – a)/n . Escolhemos pontos no primeiro, segundo, ..., e n-ésimos subintervalos, respectivamente. Então, o valor médio dos números , dado por

É uma aproximação da média de todos os valores de f(x) no intervalo de [a, b]. Essa expressão pode ser denotada por:


Nota-se que a medida que n cresce, a expressão acima se aproxima do valor médio de f(x) em [a, b] com precisão cada vez melhor. Mas a soma entre colchetes da expressão acima é uma soma de Riemann da função f em [a, b]. Em virtude disto temos


Então a expressão acima é o que podemos afirmar como sendo o valor médio de uma função.

Exemplo: Qual o valor médio de

Aplicação: As taxas de juros cobradas pela Madson Finance empréstimos para compra de carros usados durante um certo período de 6 meses no ano 2000 são aproximadamente dadas pela função

(0 t 6)Onde t é medido em meses e r(t) é a percentagem anual.

Qual é a taxa média sobre tais empréstimos concedidos pela empresa entre o primeiro e o quinto mês?

9 – Integração: Área entre duas curvas

Suponha que em um certo país as projeções sejam de que o consumo de petróleo cresça à taxa de f(t) milhões de barris por ano, daqui a t anos, pelos próximos 5 anos. Então, o consumo total de petróleo daquele país durante o período em questão é dado pela área sob o gráfico de f no intervalo [0, 5]. Em seguida suponha que devida a implementação de certas medidas de economia de energia, a taxa de crescimento do consumo de petróleo seja ao invés de f(t), passa a ser g(t) milhões de barris de petróleo ano. Neste caso, o consumo total de petróleo projetado para o período de 5 anos é dado pela área sob o gráfico de g no intervalo [0, 5].

9 – Integração: Área entre duas curvas

Portanto, cada função irá gerar um diferente gráfico, se subtrairmos ambas as áreas o resultado nos fornecerá a quantidade de petróleo que será economizada em 5 anos com a economia de energia.

Assim, podemos afirmar que = número de barris economizados

9 – Integração

y=f(t)

y=g(t)

9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do consumidor e do produtor

A partir da integral é possível fazer o calculo de um importante indicador da teoria da demanda, trata-se do excedente do consumidor. Tal excedente pode ser obtido na relação entre a curva de demanda e o preço unitário do bem . Tal relação está condicionada ao valor que um consumidor estaria disposto a pagar, e o valor que ele realmente paga. A relação pode ser verificada na seguinte curva a seguir


Se considerarmos o ponto , então podemos afirmar que a área correspondente ao excedente do consumidor pode ser calculada como:

𝐶𝑆=∫0

𝑥

𝐷 (𝑥 )𝑑𝑥−𝑝𝑥


Já o excedente do produtor parte da lógica de que se os ofertantes (produtores) estiverem dispostos a vender seus produtos a um preço mais baixo que o de mercado. Com isso, toda a área que estiver entre o preço praticado no mercado e o preço de oferta dos produtores será o excedente, podemos visualizar isso pelo gráfico a seguir:


Ou seja:

𝑃𝑆=𝑝𝑥−∫0

𝑥

𝑆 (𝑥 ) 𝑑𝑥


Exemplo: A função demanda para uma certa marca de bicicleta de 10 velocidades é dada por:

Onde é o preço unitário em unidades monetárias e é a quantidade demandada em unidades de milhar. A função oferta para essas bicicletas é dada por

Nesse caso será o nº de bicicletas que o fornecedor colocará no mercado, em milhares. Determine o excedente de produção se o preço de mercado de uma bicicleta é igual ao preço de equilíbrio.

http://youtu.be/Y9BImkSw-ls

Aplicação

Num estudo realizado em 1994 para o Ministério do Desenvolvimento Econômico de um certo país, economistas do governo e especialistas em energia concluíram que se o projeto de lei sobre a conservação de energia fosse implementado em 1995, o consumo de petróleo daquele país pelo menos 5 anos subsequentes cresceria de acordo com o modelo:

Onde t é medido em anos (t=0 correspondendo ao ano de 1995) e em milhões de barris por ano. Sem estas medidas impostas pelo governo, entretanto, a taxa de crescimento esperada de consumo de petróleo seria dada por

Milhões de barris por ano. Usando estes modelos, determine quanto petróleo teria sido economizado de 1995 até 2000 se o projeto de lei tivesse sido implementado.

http://youtu.be/MZ22oWPFllY

FIM DO TÓPICO

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