Prática de Ensino em Matemática I

Aula 12

Curso de Licenciatura em Matemática

Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira

fabricio@fafica.br

Decomposição em fatores primos (Árvore de fatores)Decomponha o número 36 em

fatores primos:36

4

2 2

9

3 3

36

6

2 3

6

2 3

36

2

2

18

2 9

3322

36=2×2×3×3=22×32 36=2×3×2×3=22×32 36=2×2×3×3=22×32

Decomposição em fatores primos (Dispositivo prático)Decomponha o número 36 em

fatores primos:36 2

P= {2,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,⋯ }

18 2

9 3

3 3

1

Decomponha o número 105 em

fatores primos:105 3

35 5

7 7

1

Decomponha o número 220 em

fatores primos:220 2

110 2

55 5

11 11

1

36=22×32

105=3×5×7

220=22×5×11

DivisoresLuciano tem 12 figurinhas repetidas. Ele quer dividí-las com um grupo de

amigos, de forma que todos recebam a mesma quantidade de figurinhas.

Quantos amigos poderá ter este grupo?1

2

3

4

6

12

12 para

cada6 para

cada4 para

cada3 para

cada2 para

cada1 para

cada

Reunindo os divisores de um número

formamos o conjunto dos divisores deste

número.

D (12 )= {1 ,2 ,3 , 4 ,6 ,12 }

Obtenção dos divisoresObtenha todos os divisores do

número 12:

12 2

6 2

3 3

1

1

2

4

3, 6, 12

D (12 )= {1 ,2 ,3 , 4 ,6 ,12 }

Obtenha todos os divisores do

número 36:

36 2

18 2

9 3

3

1

2

4

3, 6, 12

D (36 )= {1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,24 ,36 }

31

9, 18,36

Para determinar os divisores de um número basta fatorarmos o mesmo, escrevermos o

número 1 acima de seus fatores e multiplicarmos cada fator pelos números acima deles.

Maior Divisor Comum (M.D.C.)Pedro possui 20 selos e 36 figurinhas todos repetidos. Ele quer dividir os selos e

as figurinhas com um grupo de amigos, de modo que todos recebam a mesma

quantidade, sem sobrar nenhum.

Qual é o maior número de amigos que Pedro pode ter em seu grupo?

D (20 )= {1 ,2 ,4 ,5 ,10 ,20 } D (36 )= {1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,9 ,12 ,24 ,36 }

D .C. (20 ,36 )={1 ,2 ,4 } 4

Maior dos

divisores comunsResposta: O maior número de amigos que Pedro poderá ter em seu grupo é 4

amigos.

Processo prático para obtenção do M.D.C.Determine o M.D.C.

(18, 45):18 2

9 3

3 3

1

45 3

15 3

5 5

1

M .D.C. (18,45 )=¿3×3=¿9

Determine o M.D.C.

(120, 90):120 2

60 2

30 2

15

45 3

15 3

5 5

1

M .D.C. (120,90 )=¿2× 5=¿30

3

5 5

1

90 2

3×

Para determinar o M.D.C. entre dois ou mais números primeiramente os fatoramos e

depois procuramos seus fatores em comum. O M.D.C. é dado pelo produto dos fatores

comuns.

Determine o M.D.C.

(15, 28):15 3

5 5

1

28

14

7 7

1

M .D.C. (15,28 )=¿1

2

2

Números Primos entre Si

Quando dois ou mais números não possuem divisores em comum (exceto o 1 que é

divisor universal),

eles são chamados números primos entre si e o M.D.C. entre eles vale 1.

Determine o M.D.C.

(15, 28):15 3

5 5

1

28

14

7 7

1

M .D.C. (15,28 )=¿1

2

2

Menor Múltiplo Comum (M.M.C.)Mariana está muito doente. Seu médico receitou que tomasse um comprimido

de 6 em 6 horas e uma colher de xarope de 4 em 4 hora. Sabendo que Mariana

tomou um comprimido e uma colher de xarope à meia-noite (zero hora) qual

será o próximo horário que ela tomará os dois remédios juntos?

M (6 )={0 ,6 ,12 ,18 ,24 ,32 ,40 ,⋯ } M (4 )= {0 , 4 ,8 ,12 ,16 ,20 ,24 ,28 ,⋯ }

M .C . (6 ,4 )= {0 ,12 ,24 ,⋯ } 12

Menor dos

múltiplos comunsResposta: Mariana deverá tomar os dois remédios juntos depois de 12 horas, ou

seja, ao meio dia.

Processo prático para obtenção do M.M.C.Determine o M.M.C.

(5, 6):5, 2

Para determinar o M.M.C. entre dois ou mais números fazemos a decomposição

simultânea dos números.

O M.M.C. é dado pelo produto de fatores primos obtidos.

6

5, 3 3

5, 1 5

1, 1 2×3×5=30

M .M.C. (5,6 )=30

Determine o M.M.C.

(9, 55):9, 355

3, 55 3

1, 55 5

1, 11

3×3×5×11=495

M .M.C. (9,55 )=495

11

1, 1

Determine o M.M.C.

(14, 20):14, 220

7, 10 2

7, 5 5

7, 1

2×2×5×7=140

M .M.C. (14,20 )=140

7

1, 1