pontifÍcia universidade catÓlica de goiÁs departamento de...
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I (MAF 2201)
Prof. EDSON VAZ
NOTA DE AULA IV
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Se você arremessar um bastão de beisebol ou um cabo de vassoura girando no ar, ao dar
voltas cada parte do bastão se move de modo diferente das demais, portanto, o bastão ou o cabo de
vassoura não pode ser representado como uma partícula que foi arremessada. Nos casos em que
temos várias partes de um mesmo objeto apresentando comportamentos diferentes é conveniente
pensarmos neste objeto como um sistema de partículas, no qual cada parte pode ser representada
como uma partícula. O estudo do movimento destes objetos é bastante complicado, teríamos que
analisar cada parte em separado. No entanto, podemos simplificar este estudo considerando um
ponto especial destes objetos, o seu centro de massa. No caso do arremesso (com rotação) do taco
de beisebol ou do cabo de vassoura, o centro de massa destes objetos se move numa trajetória
parabólica enquanto seus outros pontos seguem trajetórias mais complicadas. O centro de massa de
um corpo pode ser encontrado experimentalmente por meio do equilíbrio deste corpo.
Centro de Massa
O centro de massa de um corpo ou de um sistema de corpos é o ponto que se move como se
toda a massa estivesse concentrada nele e como se todas as forças externas fossem aplicadas neste
ponto.
Para um sistema de três partículas (como o representado na figura abaixo) as coordenadas
xcm e ycm podem ser determinadas por
1 1 2 2 3 3
1 2 3
cm
x m x m x mx
m m m
1 1 2 2 3 3
1 2 3
cm
y m y m y my
m m m
y1
y3
ycm
y2 m2
m1
m3
cm
x1 x2 xcm x3
y
x
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para um sistema de n partículas distribuídas em três dimensões, o centro de massa deve ser
identificado pelas três coordenadas
1
1 n
cm i i
i
x m xM
1
1 n
cm i i
i
y m yM
1
1 n
cm i i
i
z m zM
onde:
M – é a massa total do sistema
i – é um número seqüencial, ou índice, que assume todos os valores inteiros de 1 até
n.
A localização do centro de massa de um sistema de partículas pode ser dada por um vetor
posição. O vetor posição do centro de massa é
ˆˆ ˆcm cm cm cmr x i y j z k
Para um corpo qualquer de massa M (considerado como uma distribuição contínua de
massa), as coordenadas do centro de massa podem ser determinadas por
1cmx x dm
M
1cmy y dm
M
1cmz z dm
M
Se a massa específica (massa por unidade de volume) do objeto for uniforme, ou seja, se a
massa específica for a mesma para todos os pontos do objeto, as coordenadas do centro de massa
podem ser determinadas em função do volume
1cmx x dv
v
1cmy y dv
v
1cmz z dv
v
onde V é o volume do objeto.
Você pode deixar de calcular uma ou mais destas integrais se o objeto possuir um ponto,
uma linha ou um plano de simetria. O centro de massa para estes objetos se encontra nesse ponto,
nessa linha ou nesse plano. Por exemplo, o centro de massa de uma esfera uniforme está no centro
da esfera.
Em determinados casos podemos simplificar o cálculo do centro de massa de um corpo
dividindo o corpo em várias partes. Nestes casos podemos determinar o centro de massa de cada
parte e, tratando cada parte como uma partícula localizada em seu próprio centro de massa,
determinamos o centro de massa da combinação de todas as partes, ou seja, do corpo.
É importante observarmos que o centro de massa de um corpo pode estar em uma parte não
maciça do corpo. O centro de massa de uma casca esférica metálica está num local onde não existe
metal, o seu centro.
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Exercícios:
1. Quais as coordenadas (a) x e (b) y do centro de massa do sistema de três partículas mostrado na
figura abaixo? (c) O que acontece com o centro de massa ao se aumentar gradativamente a
massa da partícula que se encontra na posição mais elevada?
2. Três hastes finas, cada uma com comprimento L, estão dispostas na forma de um U invertido,
como mostrado na figura. Cada uma das duas hastes verticais do U possui massa M; a terceira
haste possui massa 3M. Onde está o centro de massa do conjunto?
3. A figura mostra uma placa quadrada fina e uniforme com 6 m de lado da qual foi recortado um
pedaço quadrado de 2 m de lado. O centro deste pedaço está em x = 2 m, y = 0. O centro da
placa quadrada (antes de ser recortada) está em x = y = 0. Determine (a) a coordenada x e (b) a
coordenada y do centro de massa da placa após o recorte.
6 m
2 m
2 m
2 m
6 m
y
x
0
04
Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas
Em determinados casos focamos o estudo no movimento do centro de massa de um corpo ou
de um sistema de partículas, sem ter em conta o movimento de cada parte do corpo ou de cada
partícula que forma o sistema. Embora o centro de massa seja apenas um ponto, ele se move como
uma partícula, cuja massa é igual à massa total do sistema, então, pode se associar ao centro de
massa: uma posição, uma velocidade e uma aceleração. O centro de massa de um sistema de
partículas se move como uma partícula, cuja massa é igual á massa total do sistema, sob influencia
da força externa resultante que atua sobre este sistema de partículas. A equação vetorial que
descreve o movimento do centro de massa de um sistema de partículas é
.ext cmF M a
onde:
extF - é a soma (resultante) de todas as forças externas que agem sobre o sistema. Forças
que uma parte do sistema exerce sobre as outras partes do mesmo sistema (Forças internas)
não estão incluídas.
M – é a massa total (considerada constante) do sistema.
cma - é a aceleração do centro de massa do sistema.
Devemos observar que a equação acima é uma representação da segunda lei de
Newton para um sistema de partículas, e está relacionada apenas á aceleração do centro de
massa, ou seja, não fornece nenhuma informação a respeito da aceleração de nenhum outro
ponto do sistema.
Como a equação acima é uma equação vetorial podemos trabalhar separadamente com as
equações “escalares” em cada direção independente. Para o caso em que a resultante das forças
externas é nula, o centro de massa do sistema não tem aceleração e sua velocidade é constante (se
estiver em repouso permanecerá em repouso).
Retornemos ao caso do arremesso do bastão de beisebol ou do cabo de vassoura girando no ar.
Se desprezarmos a resistência do ar, a única força externa que atua nos corpos é a força da
gravidade, portanto, o centro de massa do bastão ou do cabo de vassoura se move numa trajetória
parabólica, como se fosse uma partícula.
Exercícios:
4. Dois patinadores, um com 65 kg de massa e outro com 40 kg, estão de pé em um rinque de
patinação no gelo segurando uma vara de massa desprezível com 10 m de comprimento.
Partindo das extremidades da vara, os patinadores se puxam ao longo da vara até se
encontrarem. Qual a distância percorrida pelo patinador de 40 kg?
5. Um carro vermelho com 2400 kg de massa está se movendo ao longo de um trecho reto de uma
estrada a 80 km/h. Ele é seguido por um carro branco com massa de 1600 kg se movendo a 60
km/h. Com que velocidade está se movendo o centro de massa dos dois carros?
6. Deixa-se cair uma pedra em t = 0. Uma Segunda pedra, com o dobro da massa da primeira, é
solta do mesmo ponto em t = 100 ms. (a) A que distância abaixo do ponto de lançamento está o
centro de massa das duas pedras em t = 300 ms? (Até esse instante, nenhuma das duas pedras
atingiu o solo.) (b) Com que velocidade está se movendo o centro de massa do sistema formado
pelas duas pedras nesse tempo?
05
7. Ricardo, de massa igual a 80 kg, e Carmelita, que é mais leve, estão passeando num lago ao
anoitecer em uma canoa de 30 kg. Quando a canoa está em repouso na água calma, eles trocam
de lugares, que estão distantes 3,0 m e posicionados simetricamente em relação ao centro da
canoa. Durante a troca, Ricardo percebe que a canoa se move 40 cm em relação a um tronco de
árvore submerso e calcula a massa de Carmelita, que ela não contou para ele. Qual a massa de
Carmelita?
8. Um cachorro de 4,5 kg está em pé sobre um barco de 18 kg e distante 6,1 m da costa, como está
representado na figura. Ele anda 2,4 m ao longo do barco em direção à costa, e então pára.
Supondo que não haja atrito entre a embarcação e a água, determine a distância que o cachorro
está da costa neste instante. (Sugestão: Veja a figura. O cachorro se desloca para a esquerda e a
embarcação para a direita, mas o centro de massa do sistema embarcação + cachorro se move?)
Quantidade de Movimento Linear ou momento Linear
A quantidade de movimento linear ou momento linear de uma partícula é um vetor p ,
definido como
p mv
Onde m é a massa da partícula e v é o seu vetor velocidade. Como m é uma grandeza
escalar positiva, p e v possuem a mesma direção e o mesmo sentido.
Existe uma grandeza chamada de Quantidade de Movimento Angular ou Momento Angular,
portanto, o adjetivo linear é usado para distinguir estas duas grandezas. Frequentemente, quando
não se tem necessidade de esclarecer que se trata da quantidade de movimento linear, este adjetivo é
suprimido e será mencionada apenas quantidade de movimento.
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Quantidade de Movimento Linear e a Segunda Lei de Newton
Newton expressou sua Segunda Lei de Movimento originalmente em termos da quantidade
de movimento. Esta lei pode ser escrita como: a taxa de variação com o tempo da quantidade de
movimento de uma partícula é igual à força resultante que atua sobre a partícula e possui a mesma
direção e o mesmo sentido dessa força.
Em forma de equação temos que
res
dpF
dt
Pela equação acima, a quantidade de movimento de uma partícula não sofre variação se a
força resultante que atua na partícula for nula.
Podemos verificar que as relações res
dpF
dt e .resF m a são expressões equivalentes da
segunda lei do movimento de Newton para uma partícula de massa constante.
( ).res
dp d mv dvF m m a
dt dt dt
Quantidade de movimento linear de um sistema de partículas
A quantidade de movimento linear de um sistema de n partículas é igual á soma vetorial das
quantidades de movimento individuais de cada partícula. A quantidade de movimento linear de um
sistema de partículas também pode ser escrito como o produto da massa total M do sistema pela
velocidade do centro de massa deste sistema.
1
.n
i cm
i
P p M v
Podemos escrever a segunda lei de Newton para um sistema de partículas como
ext
dPF
dt
Onde: extF é a força externa resultante que age sobre o sistema.
Da equação acima, a quantidade de movimento linear de um sistema de partículas só tem
variação se a força externa resultante que atua no sistema não for nula, ou seja, a força externa
resultante é responsável pela mudança na quantidade de movimento linear do sistema.
07
Conservação da Quantidade de Movimento Linear
Se a força externa resultante que atua sobre um sistema de partículas for nula, a quantidade
de movimento linear total do sistema permanece constante.
0 constanteext i fF P P P
A lei da conservação da quantidade de movimento é representada por uma equação vetorial,
portanto, ela pode ser representada para cada direção em separado. Portanto, a quantidade de
movimento linear pode se conservar em uma direção e em outra não, ou seja, se a componente (em
determinada direção) da força externa resultante que age sobre um sistema fechado for nula, a
componente da quantidade de movimento linear do sistema nesta direção permanece constante.
Observe que somente forças externas são responsáveis por mudanças na quantidade de
movimento de um sistema de partículas. As forças internas podem mudar apenas a quantidade de
movimento linear de partes do sistema, não podem mudar a quantidade de movimento linear total
do sistema.
Exercícios:
9. Com que velocidade um fusca de 816 kg tem que estar viajando (a) para ter a mesma quantidade
de movimento linear de um Cadillac de 2650 kg que está se movendo a 16 km/h e (b) para ter a
mesma energia cinética?
10. Suponha que a sua massa seja de 80 kg. A que velocidade você teria que correr para ter a
mesma quantidade de movimento linear de um carro de 1600 kg se movendo a 1,2 km/h?
11. Uma bola de 0,7 kg está se movendo horizontalmente para a direita com uma velocidade de 5,0
m/s ao atingir uma parede vertical. A bola é rebatida pela parede com uma velocidade de 2,0
m/s. Qual a intensidade da variação da quantidade de movimento linear da bola?
12. Um objeto é rastreado por uma estação de radar e descobre-se que ele possui um vetor posição
dado por ˆˆr = (3500 -160t)i +2700j+300k , com r em metros e t em segundos. O eixo x da estação
de radar aponta para o leste, seu eixo y para o norte e seu eixo z aponta para cima na vertical. Se
o objeto for um foguete meteorológico de 250 kg, quais são (a) a sua quantidade de movimento
linear, (b) a sua direção de movimento e (c) a força resultante que atua sobre ele?
13. Um homem de 91 kg que está em uma superfície horizontal com atrito desprezível joga uma
pedra de 68 g para longe dele, fornecendo a ela uma velocidade horizontal de 4,0 m/s. Que
velocidade o homem adquire em conseqüência deste empurrão?
14. Dois blocos de massas 1,0 kg e 3,0 kg estão interligados por uma mola e repousam sobre uma
superfície horizontal sem atrito. Eles são postos em movimento de forma a se aproximarem,
com o bloco de 1,0 kg se deslocando inicialmente a 1,7 m/s em direção ao centro de massa, que
permanece em repouso. Determine a velocidade inicial do outro bloco.
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15. Um brinquedo mecânico desliza ao longo de um eixo x sobre uma superfície sem atrito com
uma velocidade de ˆ(-0,40 m/s)i quando duas molas internas separam o brinquedo em três partes,
como apresentado na tabela. Qual a velocidade da parte A?
Parte Massa
(kg)
Velocidade
(m/s)
A 0,50 ?
B 0,60 0,20 i
C 0,20 0,30 i
16. Um certo núcleo radioativo pode se transformar em um outro núcleo pela emissão de um elétron
e um neutrino. (O neutrino é uma das partículas fundamentais da física.) Suponha que nesta
transformação, o núcleo original esteja em repouso, o elétron e o neutrino sejam emitidos ao
longo de trajetórias perpendiculares e que as intensidades das quantidades de movimento linear
sejam 1,2 x 10-22
kg.m/s para o elétron e 6,4 x 10-23
kg.m/s para o neutrino. Como resultado das
emissões, o novo núcleo se move (recua). (a) Qual a intensidade da sua quantidade de
movimento linear? Qual o ângulo entre a sua trajetória e a trajetória (b) do elétron e (c) do
neutrino? (d) Qual a sua energia cinética se a sua massa é igual a 5,8 x 10-26
kg?
17. Um corpo de 20,0 kg está se movendo no sentido positivo do eixo x com uma velocidade de 200
m/s quando, devido a uma explosão interna, ele se reparte em três. Uma parte, com uma massa
de 10,0 kg se afasta do ponto da explosão com uma velocidade de 100 m/s no sentido positivo
do eixo y. Um segundo fragmento, com uma massa de 4,00 kg se move no sentido negativo do
eixo x com uma velocidade de 500 m/s. (a) Qual o módulo, a direção e o sentido da velocidade
do terceiro fragmento (de 6,00 kg)? (b) Quanta energia é liberada na explosão? Ignore os efeitos
devidos à força gravitacional.
18. Uma embarcação em repouso explode, se dividindo em três pedaços. Dois pedaços, de mesma
massa, saem voando em direções perpendiculares entre si com a mesma velocidade de 30 m/s.
O terceiro pedaço possui o triplo da massa de cada um dos dois pedaços. Qual a intensidade e a
direção do seu vetor velocidade imediatamente após a explosão?
Sistemas com massa variável
Até o momento estudamos apenas sistemas com massa constante, no entanto temos casos
em que a massa não permanece constante. Num foguete, sua massa é composta em grande parte
pelo combustível que deve ser queimado e ejetado pelo sistema de propulsão. Se um sistema possui
massa variável, podemos redefinir o sistema ampliando suas fronteiras até que elas envolvam um
sistema maior cuja massa permanece constante. Após ampliar as fronteiras, aplicamos a lei de
conservação da quantidade de movimento linear. Para um foguete, isto significa que o sistema
inclui tanto o foguete quanto os seus gases de exaustão. A análise de um sistema deste tipo mostra
que na ausência de forças externas um foguete é acelerado com uma taxa instantânea dada por
relR v Ma (primeira equação do foguete)
onde M é a massa instantânea do foguete (incluindo o combustível não consumido), R é a
taxa de consumo de combustível , e relv é a velocidade de escapamento dos produtos de combustão
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em relação ao foguete. O termo relR v é chamado de empuxo do motor do foguete. Para um foguete
com R e relv constantes, cuja velocidade muda de vi para vf quando a sua massa varia de Mi para
Mf, temos
f i relV V V ln i
f
M
M (segunda equação do foguete)
Exercícios:
19. Uma sonda espacial de 6090 kg, movendo-se com seu nariz na dianteira em direção a Júpiter a
105 m/s em relação ao Sol, liga o motor do seu foguete, ejetando 80,0 kg de gases de exaustão a
uma velocidade de 253 m/s em relação à sonda. Qual a velocidade final da sonda?
20. Um foguete está se afastando do sistema solar a uma velocidade de 6,0 x 103 m/s. Ele liga o seu
motor, que ejeta gases de exaustão com uma velocidade de 3,0 x 103 m/s em relação ao foguete.
A massa do foguete neste tempo é igual a 4,0 x 104 kg e sua aceleração é igual a 2,0 m/s
2. (a)
Qual o empuxo do motor? (b) A que taxa, em quilogramas por segundo, os gases de exaustão
são ejetados durando o funcionamento do motor?
21. Um foguete, situado no espaço longínquo e inicialmente em repouso em relação a um sistema
de referência inercial, tem uma massa de 2,55 x 105 kg, da qual 1,81 x 10
5 kg é de combustível.
O motor do foguete fica então ligado por 250 s, durante os quais se consome combustível a uma
taxa de 480 kg/s. A velocidade dos produtos de exaustão em relação ao foguete é de 3,27 km/s.
(a) Qual o empuxo do foguete? Após estar ligado por 250 s, qual a (b) massa e (c) a velocidade
escalar do foguete?
– COLISÕES
Uma colisão é um evento isolado no qual dois ou mais corpos (os corpos que colidem)
exercem uns sobre os outros, forças relativamente elevadas por um tempo relativamente curto. Estas
forças são internas ao sistema e são significativamente maiores do que qualquer força externa
durante a colisão, portanto, durante a colisão as únicas forças que realmente importam são as forças
de interação entre eles. Como exemplo de colisão, podemos citar um taco de bilhar ou um bastão de
beisebol atingindo uma bola.
Já estudamos que somente a força externa resultante é responsável pela mudança na
quantidade de movimento linear do sistema. Portanto, em uma colisão, se o sistema for fechado e
isolado, a quantidade de movimento linear total do sistema se conserva.
010
IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
O impulso de uma força em uma colisão é uma grandeza que está relacionada à intensidade
da força e ao tempo de aplicação desta força. Podemos determinar a relação entre o impulso e a
quantidade de movimento de uma partícula aplicando a 2ª Lei de Newton
( )dp
F dp F t dtdt
( )
f
i
t
f i
t
p p F t dt
o termo 2
1
( )
t
t
F t dt , que é uma medida tanto da intensidade quanto da duração da força de colisão, é
chamada de impulso j devido a força F na colisão. Assim,
2
1
( )
t
f i
t
j F t dt p p
a equação acima é chamada de Teorema do Impulso – quantidade de movimento linear. (a
variação da quantidade de movimento linear de cada corpo em uma colisão é igual ao impulso que
age sobre este corpo).
Se Fmed for a intensidade média da força ( )F t durante a colisão e t o tempo de duração da
colisão, então, para um movimento unidimensional temos que:
.medj F t
A intensidade do impulso pode ser determinada no gráfico da força em função do tempo.
Neste gráfico, o módulo do impulso é igual a área sob a curva F(t) como está representado na figura
abaixo.
(a) A curva mostra a intensidade da força variável com o tempo F (t) que age sobre um corpo
durante uma colisão. A área debaixo da curva é igual à intensidade da impulsão J que age sobre o
corpo na colisão. (b) A altura do retângulo representa a força média Fmed agindo sobre o corpo no
intervalo de tempo t. A área dentro do retângulo é igual à área debaixo da curva em (a) e, desta
forma, é também igual à intensidade da impulsão J na colisão.
011
Colisões Elásticas
Uma colisão elástica é um tipo especial de colisão na qual a energia cinética do sistema de
corpos que colidem se conserva. Se o sistema for fechado e isolado, sua quantidade de movimento
linear também se conserva.
Colisões Inelásticas
Em uma colisão inelástica, a energia cinética do sistema não se conserva. Se o sistema for
fechado e isolado, a quantidade de movimento linear total do sistema se conserva.
Se os corpos ficam presos um ao outro após a colisão está colisão é uma colisão
perfeitamente inelástica e os corpos possuem a mesma velocidade após a colisão. Neste tipo de
colisão temos a maior perda de energia cinética do sistema.
Exercícios:
22. Em uma partida de bilhar americano, um taco acerta uma bola em repouso e exerce uma força
média de 50 N durante 10 ms. Se a bola tiver uma massa de 0,20 kg, que velocidade ela terá
imediatamente após o impacto?
23. Uma bola de beisebol de 150 g, lançada com uma velocidade de 40 m/s é rebatida para o
arremessador na mesma direção em que chegou com uma velocidade de 60m/s. Qual a
intensidade da força média que o bastão exerce sobre a bola se o bastão estiver em contato com
a bola por 5,0 ms?
24. Uma força que em média vale 1200 N é aplicada a uma bola de aço de 0,40 kg que se move a 14
m/s em uma colisão que dura 27 ms. Se a força estiver no sentido contrário à velocidade inicial
da bola, ache a intensidade e o sentido da velocidade final da bola.
25. Uma bola de 1,2 kg cai na vertical sobre um piso, acertando-o com uma velocidade de 25 m/s.
Ela ressalta com uma velocidade inicial de 10 m/s. (a) Que impulsão atua sobre a bola durante o
contato? (b) Se a bola estiver em contato com o piso por 0,020 s, qual a intensidade da força
média que a bola exerce sobre o piso?
26. Um carro de 1400 kg que se move a 5,3 m/s está se deslocando inicialmente para o norte no
sentido positivo da direção y. Após completar uma curva de 90º para a direita (mantendo o
mesmo valor para a velocidade) passando para o sentido positivo da direção x em 4,6 s, o
motorista desatento bate em uma árvore, que pára o carro em 350 ms. Usando a notação de
vetores unitários, qual é a impulsão sobre o carro (a) devida à curva e (b) devida à colisão? Qual
a intensidade da força média que atua sobre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colisão?
(e) Qual o ângulo entre a força média no item (c) e o sentido positivo da direção x?
27. A intensidade de uma força não-equilibrada sobre um objeto de 10 kg aumenta a uma taxa
constante de zero até 50 N em 4,0 s, fazendo com que o objeto inicialmente em repouso se
mova. Qual é a velocidade escalar do objeto ao final dos 4,0 s?
012
28. Uma bala de 5,20g se movendo, horizontalmente, a 672 m/s colide com um bloco de madeira de
700 g em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. A bala emerge, viajando na
mesma direção e mesmo sentido com sua velocidade escalar reduzida para 428 m/s. (a) Qual a
velocidade escalar resultante do bloco? (b) Qual a velocidade escalar do centro de massa do
sistema bala-bloco?
29. Um trenó em forma de caixa de 6,0 kg está se movendo horizontalmente sobre uma pista de
gelo sem atrito a uma velocidade de 9,0 m/s quando um pacote de 12 kg é solto de cima para
dentro dele. Qual a nova velocidade do trenó?
30. Uma bala de massa igual a 4,5 g é disparada horizontalmente para dentro de um bloco de
madeira de 2,4 kg em repouso sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito cinético
entre o bloco e a superfície é de 0,20. A bala pára no bloco, que desliza exatamente para frente
por 1,8 m (sem rotação). (a) qual a velocidade do bloco imediatamente após a bala parar em
relação a ele? (b) Com que velocidade a bala foi disparada?
31. Dois carros A e B derrapam sobre uma estrada com gelo ao tentarem parar em um sinal de
trânsito. A massa de A é de 1100 kg e a massa de B é igual a 1400 kg. O coeficiente de atrito
cinético entre as rodas travadas e a estrada para os dois carros é de 0,13. O carro A consegue
parar no sinal, mas o carro B não consegue parar e bate na traseira do carro A. Após a batida, A
pára 8,2 m à frente da sua posição no impacto e B, 6,1 m à frente (veja a figura). Os dois
motoristas tiveram seus freios travados durante o incidente. Partindo da distância que cada carro
se moveu após a batida, ache a velocidade (a) do carro A e (b) do carro B imediatamente após o
impacto. (c) Use a conservação da quantidade de movimento linear para achar a velocidade com
que o carro B bateu no carro A.
32. Um bloco de massa m1 = 2,0 kg desliza em uma mesa sem atrito com uma velocidade de 10 m/s.
Bem na frente dele, e se movendo na mesma direção, existe um bloco de massa m2 = 5,0 kg se
movendo a 3,0 m/s. Uma mola sem massa com constante de mola k = 1120 N/m está presa ao
lado de m2 mais próximo a m1, como mostrado na figura. Qual a compressão máxima da mola
quando os blocos colidem? (Dica: No momento de compressão máxima da mola, os dois blocos
se movem como um. Ache a velocidade observando que a colisão é completamente inelástica
neste ponto.)
013
33. Um carrinho com 340 g de massa se movendo sobre um colchão de ar linear sem atrito a uma
velocidade inicial de 1,2 m/s sofre uma colisão elástica com um carrinho inicialmente em
repouso de massa desconhecida. Após a colisão, o primeiro carrinho continua na sua direção
original a 0,66 m/s. (a) Qual a massa do segundo carrinho? (b) Qual a sua velocidade após o
impacto? (c) Qual a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois carrinhos?
34. Uma bola de aço de massa igual a 0,500 kg é presa a um fio com 70,0 cm de comprimento que
está fixo na outra extremidade. A bola então é solta quando o fio está na horizontal (ver figura).
Na parte mais baixa da sua trajetória, a bola bate em um bloco de aço de 2,50 kg inicialmente
em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. Ache (a) a velocidade escalar
da bola e (b) a velocidade escalar do bloco, ambas imediatamente após a colisão.
35. Dois corpos de 2,0 kg, A e B, colidem. As velocidades antes da colisão são ˆ ˆV = 15i + 30jA ˆ ˆ
BV = -10i +5,0j . Após a colisão, ˆ ˆAV = -5,0i +20j . Todas as velocidades são dadas em metros por
segundo. (a) Qual o vetor velocidade final de B? (b) Quanta energia cinética é ganha ou perdida
na colisão?
36. Uma partícula alfa colide com um núcleo de oxigênio que está inicialmente em repouso. A
partícula alfa sofre uma deflexão de um ângulo de 64,0º medida a partir da direção em que ela
se movia inicialmente, e o núcleo do oxigênio sofre um recuo com um ângulo de 51,0º no lado
oposto dessa direção inicial. A velocidade final do núcleo é de 1,20 x 105 m/s. Ache (a) a
velocidade final e (b) a velocidade inicial da partícula alfa. (Em unidades de massa atômica, a
massa de uma partícula alfa é 4,0 u , e a massa de um núcleo de oxigênio é 16 u .)
37. Em uma partida de bilhar americano, a bola branca acerta outra bola de mesma massa e
inicialmente em repouso. Após a colisão, a bola branca se move a 3,50 m/s ao longo de uma
linha reta que faz um ângulo de 22,0º com a sua direção de movimento original, e a segunda
bola possui uma velocidade de 2,00 m/s. Determine (a) o ângulo entre a direção de movimento
da segunda bola e direção original de movimento da bola branca e (b) a velocidade original da
bola branca. (c) A energia cinética (dos centros de massa, sem considerar a rotação) se
conserva?
38. Após uma colisão totalmente inelástica, observa-se que dois objetos de mesma massa e mesma
velocidade escalar inicial se afastam juntos do ponto onde se chocaram com metade da
velocidade escalar inicial que cada um possuía. Ache o ângulo entre as velocidades iniciais dos
objetos.
014
Movimento de Rotação
Inicialmente estudamos o movimento de translação, agora vamos estudar o movimento de
rotação. Vamos considerar inicialmente o movimento de rotação de um corpo rígido (corpo que
pode girar com todas as partes ligadas rigidamente e sem mudar de forma) em torno de um eixo de
rotação fixo (eixo que não muda de posição).
Quando um corpo rígido executa um movimento de rotação pura, todos os pontos do corpo se
movem ao longo de circunferências cujo centro está sobre o eixo de rotação, e todos os pontos
descrevem um mesmo ângulo num mesmo intervalo de tempo.
No movimento de translação temos as grandezas lineares: posição, deslocamento, velocidade e
aceleração. No movimento de rotação temos as seguintes grandezas angulares equivalentes.
Posição angular (θ) e deslocamento angular (Δ θ)
A posição angular e o deslocamento angular de um ponto qualquer do corpo em rotação pode
ser determinado pela posição angular e deslocamento angular de uma reta que liga o ponto
considerado ao eixo de rotação. O deslocamento angular pode ser positivo ou negativo de acordo
com a seguinte regra: Um deslocamento angular no sentido anti-horário é positivo e um
deslocamento angular no sentido horário é negativo.
Velocidade angular (ω)
A velocidade angular média (ωmed ) é dada pela divisão do deslocamento angular pelo tempo,
enquanto que a velocidade angular instantânea (ω) é dada pela derivada da posição angular em
relação ao tempo.
ωmed = Δ𝜃
Δ𝑡 e ω =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
As unidades mais usadas para a velocidade angular são o radiano por segundo (rad/s) e a
revolução por segundo (rev/s). A velocidade angular de um corpo rígido em rotação pode ser
positiva (rotação no sentido anti-horário) ou negativa (rotação no sentido horário).
Aceleração angular (α)
A aceleração angular média (αmed ) é dada pela divisão da variação da velocidade angular pelo
tempo, enquanto que a aceleração angular instantânea (α) é dada pela derivada da posição angular
em relação ao tempo.
αmed = Δ𝜔
Δ𝑡 e α =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
As unidades mais usadas para a aceleração angular são o radiano por segundo ao quadrado
(rad/s2) e a revolução por segundo ao quadrado (rev/s
2).
As grandezas angulares são vetores?
A velocidade angular e a aceleração angular podem ser representadas por vetores e
obedecem as regras das operações vetoriais. O deslocamento angular não obedece á regra da soma
vetorial, portanto, não pode ser tratado como uma grandeza vetorial. A velocidade angular de um
corpo em rotação pode ser representada por um vetor na direção do eixo de rotação e com sentido
dado pela regra da mão direita: Envolva o corpo em rotação com a mão direita, o polegar deve estar
paralelo ao eixo de rotação e os outros dedos no sentido da rotação. O polegar mostra o sentido do
vetor velocidade angular.
A representação e visualização das grandezas angulares por vetores é mais complicada do que
a representação das grandezas lineares. No estudo das grandezas vetoriais lineares, por vária vezes
consideramos equações escalares quando o movimento era em uma determinada direção, nestes
casos o sinal indicava o sentido da grandeza. De maneira equivalente, quando tratamos de rotação
em torno de um eixo fixo não temos necessidade da representação vetorial (a direção dos vetores é a
015
mesma do eixo de rotação), usamos apenas o sinal para indicar se a rotação é no sentido anti-horário
(positivo) ou horário (negativo).
Rotação com aceleração angular constante
No movimento de translação estudamos o caso especial de movimento com aceleração linear
constante. Nas rotações puras temos também o caso de movimento com aceleração angular
constante, o qual pode ser descrito por equações similares a do movimento de translação. Sendo θ a
posição angular, ω a velocidade angular e α a aceleração angular temos que:
ω = ω0 + α t
θ = θ0 + ω0 t + 1
2 α t
2
ω2 = ω
20 + 2 α Δθ
Exercícios:
39. Para um relógio analógico determine a velocidade angular: (a) do ponteiro dos segundos (b)
do ponteiro dos minutos (c) do ponteiro das horas. Dê as respostas em radianos por segundo.
40. A posição angular de um ponto em uma roda é dada por θ = 2 + 4t2 + 2t
3, onde θ está em
radianos e t em segundos. Para este ponto determine:
a) A posição angular para t = 0.
b) A velocidade angular para t = 0.
c) A velocidade angular para t = 4s.
d) A aceleração angular para t = 2s.
41. Um disco, inicialmente girando com uma velocidade angular de 120 rad/s, é freado com
uma aceleração angular constante de módulo igual a 4 rad/s2. (a) Quanto tempo este disco
leva para parar? (b) Qual o deslocamento angular deste disco durante este tempo?
Resposta: a) 30s, b) 1,8 × 103
rad
42. Um tambor gira em tordo do seu eixo central com uma velocidade angular de 12,6 rad/s. Se
o tambor é freado com uma desaceleração angular constante de 4,2 rad/s2, (a) quanto tempo
o tambor leva para parar? (b) Qual é o deslocamento angular do tambor até parar?
Respostas: a ) 3s, b) 18,9 rad.
43. Uma roda executa 40 revoluções (voltas) enquanto desacelera a partir de uma velocidade
angular de 1,5 rad/s até parar. (a) Supondo que a aceleração angular é constante, determine
esta aceleração. (b) Qual o intervalo de tempo em que isso ocorre? (c) Quanto tempo é
necessário para a roda completar as 20 primeiras revoluções com a mesma desaceleração?
Respostas: a) - 4,5 × 10- 3
rad/s2,
b ) 333,33 s, c) 97,78 s.
Relação entre as grandezas lineares e angulares
Na rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, podemos considerar o corpo rígido
composto por várias partículas, as quais descrevem movimento circular em tordo deste eixo de
rotação. No caso do corpo rígido, todas as partículas completam uma volta no mesmo intervalo de
tempo, ou seja, todas têm a mesma velocidade angular. Por outro lado, quanto mais a partícula está
afastada do eixo de rotação maior será a circunferência que ela percorre para completar uma volta
completa. Portanto, quanto mais afastada do eixo de rotação maior será o valor de sua velocidade
linear.
016
Podemos relacionar as grandezas lineares s, v e a, de um determinado ponto do corpo em
rotação, ás grandezas angulares θ, ω e α, por meio do raio (r) da circunferência descrita pela
trajetória do ponto em torno do eixo de rotação.
Relação da posição
Quando um ponto do corpo, a uma distância r do eixo de rotação, descreve um arco de
circunferência de comprimento s o mesmo ponto descreve um ângulo de rotação θ. A relação entre
estas grandezas é
s = θ r (nesta relação o ângulo θ deve ser medido em radianos)
Relação da velocidade
Para a velocidade temos que
v = ω r (Nesta relação a velocidade angular ω deve expressa em radianos por unidade de tempo)
Nesta relação podemos verificar que como todos os pontos têm a mesma velocidade angular, os
pontos mais afastados do eixo de rotação têm um valor maior para a velocidade linear.
Relação da aceleração
Para o caso da aceleração devemos considerar duas componentes: a componente tangencial at
(responsável por variações no módulo da velocidade linear) e a componente radial ar (responsável
por variações na direção da velocidade linear).
at = α r (Nesta relação a aceleração angular α deve expressa em radianos por unidade de tempo ao
quadrado)
ar = 𝑣2
r = ω
2 r (para ângulos em radianos)
Exercícios:
44. Uma roda com um diâmetro de 1,2 m está girando com uma velocidade angular de 200
rev/min. (a) Qual é a velocidade angular da roda em rad/s? (b) Qual é a velocidade linear de
um ponto da borda da roda? (c) Que aceleração tangencial constante (em revoluções por
minuto ao quadrado) aumenta a velocidade angular da roda para 1000 rev/min em 60 s? (d)
Quantas revoluções a roda executa nestes 60 s? Respostas: a) 20,9 rad/s, b) 12,5 m/s, c) 800
rev/min2, d) 600 rev.
45. Uma nave espacial faz uma curva circular de 3220 km de raio a uma velocidade com valor
constante de 29000 km/h. Para esta nave determine o módulo (a) da velocidade angular, (b)
da aceleração radial, (c) da aceleração tangencial. Respostas: a) 2,5 × 10 - 3
rad/s; b) 20,3
m/s2 ; c) 0
Energia Cinética de Rotação
No cálculo da energia cinética de um corpo rígido em rotação, podemos considerar o corpo
formado por um conjunto de partículas com diferentes velocidades lineares e somar a energia
cinética destas partículas para obter a energia cinética total do corpo. Este cálculo é mais simples se
usarmos a velocidade angular (a velocidade angular é a mesma para todas as partículas do corpo).
k = ∑1
2 𝑚𝑖 𝑣𝑖
2 = 1
2(∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖
2) 𝜔2
A grandeza I = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 , dependa da forma como a massa está distribuída em relação ao eixo
de rotação e é chamado de momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação. Em termos
do momento de inércia, a energia cinética é
017
k = 1
2 I ω
2 (a velocidade angular ω deve expressa em radianos por unidade de tempo)
Portanto, a energia cinética de rotação envolve não apenas a massa do corpo, mas também a
forma como esta massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior for o momento
de inércia de um corpo, mais difícil se torna fazer ele girar a partir do repouso e mais difícil se torna
fazer ele parar quando estiver girando.
Cálculo do Momento de Inércia Foi colocado anteriormente que o momento de inércia de um corpo em rotação envolve não
apenas sua massa, mas também a forma como esta massa está distribuída em relação ao eixo de
rotação. Para um número pequeno de partículas podemos calcular o momento de inércia usando a
equação I = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 , mas quando tivermos uma distribuição contínua de massa devemos realizar
o cálculo por meio de um integral
I = ∫ 𝑟2 𝑑𝑚
Onde r é a distância radial do eixo de rotação até o elemento de massa dm.
Teorema dos Eixos Paralelos
Não se deve falar em momento de inércia de um corpo sem especificar o eixo de rotação, para
cada eixo de rotação temos um momento de inércia. Podemos simplificar o cálculo do momento de
inércia usando o teorema dos eixos paralelos, o qual relaciona o momento de inércia em torno de
um eixo que passa pelo centro de massa do corpo com o momento de inércia em relação a um
segundo eixo paralelo ao primeiro. Sendo: ICM o momento de inércia em relação a um eixo que
passa pelo centro de massa de um corpo de massa M, I o momento de inércia em relação a um eixo
paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa, h a distância entre os dois eixos paralelos, temos
que
I = ICM + M h2
O uso do teorema dos eixos paralelos se justifica pelo fato de termos tabelados alguns momentos de
inércia.
018
Exercícios:
46. Determine o momento de inércia de uma roda que tem uma energia cinética de rotação
de 24400J quando gira a 602 rev/min. Resposta: 12,3 kg . m2.
47. Dois cilindros uniformes, ambos girando em torno do eixo central (longitudinal) com
uma velocidade angular de 235 rad/s, têm a mesma massa de 1,25 kg e raios diferentes.
Determine a energia cinética de rotação (a) do cilindro menor, de raio 0,25 m, e (b) do
cilindro maior, de raio 075 m. Respostas: a) 1078,71 J; b) 9664,37 J.
Segunda lei de Newton para rotações
Uma força resultante gera uma aceleração num corpo de massa m (Fres = ma). Por analogia
podemos afirmar que um torque resultante gera uma aceleração angular num corpo rígido.
Substituindo a força resultante Fres pelo torque resultante τres, a massa m pelo momento de inércia I
e a aceleração a pela aceleração angular α teremos a segunda lei de Newton para rotações
τres = I α
Exercícios:
48. Em um salto de trampolim, a velocidade angular de uma mergulhadora em relação a um
eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa varia de zero a 6,2 rad/s em 0,22s.
Seu momento de inércia em relação ao mesmo eixo é de 12 kg. m2. Durante o salto,
quais são os módulos (a) da aceleração angular média da mergulhadora e (b) do torque
externo médio exercido pelo trampolim sobre a mergulhadora? Respostas: a) 28,2 rad/s2;
b) 338 N.m.
019
49. Um torque resultante de 32 N.m exercido sobre uma roda produz uma aceleração
angular de 25 rad/s2. Determine o momento de inércia da roda. Resposta: 1,28 kg.m
2
Trabalho e energia cinética de rotação
Por analogia com o movimento de rotação podemos encontrar a equação usada para determinar
o trabalho realizado por um torque em torno de um eixo fixo
W = ∫ 𝜏𝜃𝑓
𝜃𝑖 dθ
Onde τ é o torque responsável pelo trabalho W ao girar o corpo da posição angular θi até θf.
O teorema do trabalho e energia cinética usado para corpos em rotação é
W = 1
2 I 𝜔𝑓
2 - 1
2 I 𝜔𝑖
2
Exercícios:
50. Uma roda de 32 kg, considerada como um aro fino de 1,2 m de raio, está girando em
torno do seu eixo central a 280 rev/min. Ela precisa ser parada em 15 s. (a) Qual é o
trabalho necessário para fazê-la parar? (b) Qual é o valor da potência media necessária?
Respostas: a) - 19,8 kJ; b) 1,32 kW.
51. O virabrequim de um automóvel transfere energia do motor para o eixo a uma potência
de 100 hp ( 74,6 kW) quando gira a 1800 rev/min. Determine o torque exercido pelo
virabrequim. Resposta: 396 N.m.
52. Uma barra fina de um metro de comprimento é mantida verticalmente com uma das
extremidades apoiadas no solo e depois liberada. Desprezando a resistência do ar
determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, suponha que a
extremidade de apoio não escorrega. (sugestão: use a lei de conservação de energia).
Resposta: 5,42 m/s.
O estudo do rolamento como uma combinação de translação e rotação
Quando um carro está em movimento, cada ponto de suas rodas executa movimentos bem
complicados. Porém o estudo do movimento de rolamento de uma roda, ou de um objeto que se
comporta como uma roda, será simplificado tratando-o como uma combinação de translação do
centro de massa e rotação do resto do objeto em torno do centro de massa. Estamos considerando
objetos que rolam suavemente (sem escorregar e sem quicar) em uma superfície.
No caso de uma roda de raio R rolando suavemente temos que
vCM = ω R
Onde vCM é a velocidade do centro de massa da roda e ω é a velocidade angular da roda em torno de
seu centro.
020
A energia cinética de um corpo em rolamento é composta por duas partes: uma parte (1
2 I ω
2 ) é
associada à rotação em torno do centro de massa e a outra (1
2 M 𝑣𝐶𝑀
2 ) é associada à translação do
centro de massa, portanto a energia cinética de um corpo em rolamento é
K = 1
2 I ω
2 +
1
2 M 𝑣𝐶𝑀
2
Exercícios:
53. Um carro se move a 80 km/h em uma estrada plana no sentido positivo de um eixo x.
Cada pneu possui um diâmetro de 66 cm. Em relação a uma pessoa que viaja no carro e
em termos dos vetores unitários, qual é a velocidade de um ponto (a) no centro, (b) no
alto e (c) na base de cada pneu e o módulo da aceleração de um pondo (d) no centro, (e)
no alto e (f) na base de cada pneu? Em relação a uma pessoa sentada no acostamento da
estrada e em termos dos vetores unitários, qual é a velocidade de um ponto (g) no centro,
(h) no alto e (i) na base de cada pneu e o módulo da aceleração de um pondo (j) no
centro, (k) no alto e (l) na base de cada pneu? Respostas: a) 0; b) (22 m/s) 𝑖; c) (-22 m/s)
𝑖; d) 0 ; e) 1,5 × 10 3
m/s2; f) 1,5 × 10
3 m/s
2; g) (22 m/s) 𝑖; h) (44 m/s) 𝑖; i) 0; j) 0; k) 1,5
× 10 3
m/s2; l) 1,5 × 10
3 m/s
2.
54. Um aro de 140 kg rola em um piso horizontal de tal forma que seu centro de massa tem
uma velocidade de 0,15 m/s. Determine o trabalho necessário para fazê-lo parar.
Resposta: - 3,15 J.
Momento Angular
No estudo do movimento de translação vimos o conceito de momento linear (ou quantidade de
movimento linear) �� = m �� e a lei de conservação desta grandeza. No movimento de rotação temos
uma grandeza equivalente, o momento angular (ou quantidade de movimento angular) 𝑙. O
momento angular de uma partícula em relação a uma origem O é uma grandeza vetorial 𝑙 definida
por
𝑙 = 𝑟 × �� = m (𝑟 × ��)
Onde 𝑟 é o vetor posição da partícula em relação à origem O.
Segunda lei de Newton para rotações
Vimos que a segunda lei de Newton para uma partícula pode ser escrita na forma
��res = d��
𝑑𝑡
Por analogia, podemos escrever esta lei para o movimento de rotação como: O torque
resultante que age sobre uma partícula é igual à taxa de variação, em relação ao tempo, do momento
angular desta partícula.
𝜏res = d𝑙
𝑑𝑡
021
Para um sistema de partículas temos que: O torque externo resultante 𝜏res que age sobre um sistema
de partículas é igual à taxa de variação, em relação ao tempo, do momento angular total �� do
sistema.
𝜏res = d��
𝑑𝑡
O momento angular total �� do sistema em relação a uma origem é dado pela soma vetorial
dos momentos angulares 𝑙 de cada partícula do sistema.
Conservação do Momento Angular
Se o torque resultante que age sobre um sistema for nulo, o momento angular deste sistema se
conserva independente das mudanças que ocorrem dentro deste sistema. Devemos observar que a
lei da conservação do Momento linear pode ser tratada em cada eixo separadamente, ou seja, se o
torque externo resultante for nulo em uma determinada direção, o Momento Angular se conserva
naquela direção.
Para um corpo rígido girando com uma velocidade angular ω em torno de um eixo fixo, o
momento angular em relação a este eixo pode ser dado por
L = I ω
Onde I é o momento de inércia em relação a este eixo fixo.
Para este corpo rígido, a lei da conservação da quantidade de movimento pode ser escrita como
Ii ωi = If ωf
Observe que se houver uma redistribuição da massa do corpo de tal maneira que ocorra
mudança no momento de inércia em relação ao eixo de rotação, teremos alteração na velocidade
angular para que o momento angular permaneça constante. Este recurso pode ser usado nos saltos
de trampolim e no movimento de rotação dos patinadores e bailarinos.
Exercícios:
55. Em um certo instante, a força �� = (4 N ) 𝑗 age sobre um objeto de 0,25 kg de massa cujo
vetor posição é 𝑟 = (2 m ) 𝑖 - (2 m ) �� e cujo vetor velocidade é �� = - (5 m/s ) 𝑖 + (5 m/s
) ��. Em relação à origem e em termos dos vetores unitários, determine: (a) O momento
angular do objeto. (b) O torque que age sobre o objeto. Respostas: a) 0; b) (8 N.m ) 𝑖 +
(8 N.m) ��
56. Uma partícula de 3 kg com uma velocidade �� = (5 m/s ) 𝑖 - (6 m/s ) 𝑗 está em x = 3m e y
= 8m. Ela é puxada por uma força de 7 N no sentido negativo do eixo x. Em relação à
origem determine: (a) O momento angular da partícula. (b) o torque que age sobre a
partícula. (c) A taxa com a qual o momento angular está variando. Respostas: a) (- 174
kg.m2/s ) ��; b) (56 N.m ) ��; c) ) (56 kg.m
2/s
2 ) ��.
022
57. O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0,14 kg.m2 em
relação ao eixo central diminui de 3 kg.m2/s para 0,8 kg.m
2/s em 1,5s. (a) Qual é o
módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse
período? (b) Supondo uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira?
(c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante?
Respostas: a) 1,47 N.m; b) 20,4 rad; c) -29,4 J; d) 19,9 W.
58. Uma pessoa está em pé sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade
angular de 1,2 rev/s, seus braços estão abertos e ela segura um tijolo em cada mão. O
momento de inércia do sistema formado pela pessoa, os tijolos e a plataforma em relação
ao eixo vertical central da plataforma é de 60 kg. m2. Se ao mover os braços, a pessoa
reduz o momento de inércia do sistema para 2 kg. m2, determine: (a) A nova velocidade
angular da plataforma. (b) A razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia
cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional. Respostas: a) 3,6 rev/s; b)
3; c) a força que a pessoa exerce sobre os tijolos converte energia interna da pessoa em
energia cinética.
59. Uma roda está girando livremente com uma velocidade angular de 800 rev/min em torno
de um eixo cujo momento de inércia é desprezível. Uma segunda roda, inicialmente em
repouso e com um momento de inércia duas vezes maior que a primeira, é acoplada à
mesma haste. (a) Qual é a velocidade angular da combinação resultante do eixo e das
duas rodas? (b) Que fração da energia cinética de rotação inicial é perdida? Respostas: a)
267 rev/min; b) 0,667.
60. Um disco de vinil horizontal de massa 0,1 kg e raio 0,1m gira livremente em torno de
um eixo vertical que passa pelo centro com uma velocidade angular de 4,7 rad/s. O
momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação é 5 × 10 - 4
kg.m2. Um
pedaço de massa de modelar de massa 0,02 kg cai verticalmente e gruda na borda do
disco. Determine a velocidade angular do disco imediatamente após a massa cair.
Resposta: 3,4 rad/s.
023
RESOLUÇÃO DA LISTA IV
1.
a) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
0.3 1.8 2.41,1
3 8 4cm cm
x m x m x mx x m
m m m
b) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
0.3 2.8 1.41,3
3 8 4cm
y m y m y my m
m m m
c) ele se desloca em direção a essa partícula
2.
Podemos considerar as hastes como partícula colocadas no centro de massa de cada uma delas
a) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
0. .3 .2
3 2cm
LM M L M
x m x m x m Lx
m m m M M M
b) 1 1 2 2 3 3
1 2 3
. .342 2 0,8
5 5cm
L LM L M M
y m y m y m LMy L
m m m M M
3.
Dividindo a placa em 3 partes, podemos considerar cada parte como partícula colocada em seu centro de
massa
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
0. 1. 0.cm
x m x m x m m m mx
m m m m m m
temos que: 1 3m m m e 2
2
3
mm
2 21.
2 3 23 3 . 0,252 8 3 8 8
3 3
cm
m mm
x mm m m
m m
y
x
3M
L
M M L
6 m
6 m
1 m
2 m
2 m
2 m
2 m
Cm1
Cm3 3
1 m
Cm2
024
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
2. 0. 2. 2 2
2
3
0
cm
cm
y m y m y m m m m m my
mm m m m m mm m
y
4.
1 265 , 40m kg m kg
0ex mF c está em repouso
'
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
' '
( ) 0.65 10.603,81
65 40
10 3,81 6,19
cm cmx x
x m x m d m md m
m m m m
d d m
5.
2400 , 80 / , 1600 , 60 / , ?c c F F cmm kg v km h m kg v km h v
. . .cm c c f fM V m v m v , como as velocidades estão na mesma direção, temos que:
(2400 1600). 2400.80 1600.60 72 /cm cmv v km h
6.
01 02 01 02 1 20, 0, 300 0,3 200 0,2v v y y t ms s e t ms s
as pedras estão em queda livre
a)
2 2 2
0 0
2
1
2
2
1 1 2 2
1 2
1 9,84,9.
2 2
4,9.(0,3) 0,441
4,9.(0,2) 0,196
. . 0,441. 0,196.20,28
2
28
cm
y y v t gt y t t
y m
y m
y m y m m my m
m m m m
d cm
b)
1 1 2 2. . .cmM v m v m v como o movimento é na vertical
m1 m2
10 m
d d
cm
m2= 2 m
Cm
m1= m
d
025
1 1 2 2
0 1 2
. . .
9,8.0,3 2,94 / 9,8.0,2 1,96 /
( 2 ) 2.94 1,96.2 2,29 /
cm
cm cm
M V m v m v
v v gt v gt v m s e v m s
m m v m m v m s
7.
0ext mF c Permanece em repouso
'
' ' '. .
0,4.80 3,4 1,9.30 3.80 0. 1,5.30
57,65
cm cm
r r c c b b r r c c b b
r c b r c b
c c
c
x x
x m x m x m x m x m x m
m m m m m m
m m
m kg
8.
4,5 , 18c bm kg m kg
0ext cmF x permanece em repouso
'
' '
.6,1 . (6,1 2,4 ) ( )
.6,1 . .6,1 .2,4 . . .
0 .2,4 ( ). 0 4,5.2,4 (4,5 18). 0,48
6,1 2,4 0,48 4,18
cm cm
c b c b b b
c b c b
c b c c c b b b b
c c b b b b
c c
x x
m m d m d m d d
m m m m
m m d m m m d m d m d
m m m d d d m
x x m
9.
816 , 2650 , 16 /f c cm kg m kg v km h
a) . . 816. 2650.16 51,96 /f c f f c c f fP P m v m v v v km h
b) 2 2 2 21 1
. . 816. 2650.16 28,83 /2 2
kf kc f f c c f fE E m v m v v v km h
10.
6,1 m
db
bP
bPdb
026
80 , 1600 , 1,2 /
. . 80. 1600.1,2 24 /
c c
c c c
m kg m kg v km h
P P m v m v v v km h
11.
Considerando:
ˆ ˆ0,70 , 5 / , 2 /
ˆ ˆ ˆ0,7.2 0,7.5 (4,9 / )
4,9 . /
f
f i
m kg v m si v m s i
P P P i i kg m s i
P kg m s
12.
ˆˆ ˆ(3500 160 ) 2700 300 , 250r t i j k m kg
a)
4ˆ ˆ(160 / ) 250.( 160 ) 4.10 . /
P mv
drv m s i P i P kg m s
dt
b) na direção x oeste
c)
.
0 0
R
R
F m a
dva F
dt
13.
391 , 68 68.10 , 4 / , 0h p FP ih iPm kg m g kg v m s V V
com o movimento é um uma dimensão,
3. . 0 91. 68.10 .4 0i F h Fh p Fp hFP P m v m v V
iV
fV
027
33.10 /FhV m s (sentido contrário ao da pedra)
14.
1 2 1
1 2
1 1 2 2 2 2
1 3 , 1,7 /
0
0 1.1,7 3. 0 0,57 /
i i
i F
m kg e m kg V m s
v v
P P m v m v v v m s
15.
ˆ ˆ( 0,4 / ) , 0,5 , ?, 0,6 , (0,2 / )
ˆ0,2 , (0,3 / ) , 1,3
. . .
ˆ ˆ ˆ ˆ1,3.(0,4 ) 0,5. 0,6.0,2 0,2.0,3 (1,4 / )
i A FA B FB
c FC A B C
i F i A FA B FB c FC
FA FA
v m s i m kg v m kg v m s i
m kg v m s i m m m m kg
P P m v m v m v m v
i v i i v m s i
16.
a) Supondo:
22 23
22 23
22 23
22 2
ˆ ˆ(1,2.10 . / ) (6,4.10 . / ) , ?
ˆ ˆ0 (1,2.10 / ) (6,4.10 . / ) 0
ˆ ˆ(1,2.10 . / ) (6,4.10 . / )
(1,2.10 ) (6,4.10
FC FN FN
i F FN Fn Fe iN
FN
fN
P kg m s i e P kg m s j P
P P P P P P kg m s i kg m s j
P kg m s i kg m s j
P
23 2 22) 1,36.10 . /kg m s
b)
33
22
1
6,4.1028º
1,2.10
180º 180º 28 152º
tg
c) 2 90º 90º 28º 118 º
d)
26 22 26
2 26 2 19
5,8.10 . 1,36.10 5,8.10 2345 /
1 1.5,8.10 (2345) 1,6.10
2 2
FN N FN FN FN
k N N k
m kg P m v v v m s
E m v E J
17.
fNP
feP
fnP
1
2
028
1 1
2 2
ˆ ˆ20 , (200 / ) , 10 , (100 / )
ˆ4 , (500 / )
i fm kg v m s i m kg v m s j
m kg v m s i
a)
3 3
1 1 2 2 3 3
3 3
3
6 ?
0
ˆ ˆ(20.200 4.500) 1000ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ20.200 10.100 4.500 6. 1000 166,676
1013,79 /
F
ext i F i F F F
F F
F
m kg v
F P P Mv m v m v m v
i ji j i v v i j
v m s
166,67
9,46º1000
tg
b)
2 2 5
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
6
6 5 6
1 120.200 4.10
2 2
1 1 1 1(10.100 4.500 6.1013,79 )
2 2 2 2
3,63.10
3,63.10 4.10 3,23.10
ki i
kf
kf
k kf ki
E Mv J
E m v m v m v
E J
E E E J
18.
0iv
1 2 3, 3 ,m m m m m supondo:
1 2
1 1 2 2 3 3
3 3
2 2
3
ˆ ˆ(30 / ) , (30 / )
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ.30 .30 3 0 ( 10 10 ) /
1010 10 14,14 / 45º
10
f f
ext i f f f f
f f
f
v m s i v m s j
F P P m v m v m v
m i m j m v v i j m s
v m s tg
19.
x
y
y
x
1fv
3fv
2fv
029
6090 , 105 / , 6090 80 6010
253 /
6090ln 105 253 ln 108,34 /
6010
i i f
rel
if i rel f f
f
M kg v m s M kg
v m s
Mv v v v v m s
M
20.
3 3 4 26.10 / , 3.10 / , 4.10 , 2 /i relv m s v m s M kg a m s
a) 4 4. 4.10 .2 8.10E M a N
b) 3 4? . . 3.10 4.10 .2 26,67 /relR v R M a R R kg s
21.
5 52,55.10 , 1,81.10 , 250 , 0
480 / , 3,27 /
i c i
rel
M kg M kg t s v
dmkg s v km s
dt
a) 3 6. . 3,27.10 .480 1,57.10rel rel
dmE v R V N
dt
b) ' 5480.250 1,2.10cm kg (combustível consumido)
5 5 52,55.10 1,2.10 1,35.10fM kg
c)
5
5
2,55.10ln 3,27 ln 2,08 /
1,35.10
if i rel f
f
Mv v v v km s
M
22.
50 0,2mF N m kg movimento em uma dimensão.
2
2
10 10
. .
50.10 0,2. 2,5 /
m f i
f f
t ms s
j P F t m v mv
v v m s
23.
3150 0 ,15 , 40 / , 60 / , 5.10 ,i fm g kg v m s v m s t s
como o movimento é em uma dimensão
3. .5.10 0,15( 60 40) 3000
3000
m f i m m
m
j p F t mv mv F F M
F N
030
25.
Movimento em uma dimensão
1,2 , 25 / , 10 / , 0,02i fm kg v m s v m s t s
a) 1,2.10 1,2.( 25) 42 .f ij p mv mv N s
b) . 42 .0,02 2100m m mj F t F F N
26.
1 2
ˆ1400 , 5,3 / , 4,6 , 35 0,35im kg v m s j t s t ms s
a)
2
1
1
ˆ5,3 /
ˆ ˆ1400.(5,3 5,3 )
ˆ ˆ ˆ(7420 7420 ) .
f i f i
v m si
j p P P mv mv i j
j i j N s
b) 2 2 2
ˆ ˆ1400.5,3 (7420 ) .f ij p p P mv i j i N s
c) 1 1 1
2 2 3
1 1. 7420 7420 .4,6 2,28.10m m mj F t F F N
d) 2 2 2
4
2 2. 7420 .0,35 2,12.10m m mj F t F F N
e) A direção de 1mF é a mesma de 1j
27.
Movimento em uma dimensão
4 4
0 0
42
0
2
10 , 0, 50 , 4 , 0
. , / 4 50 50 .4 12,5 / 12,5
12,5
12,52
412,5. 10. 10 /
2
i f i
f i f
f
f f
m kg F F N t s v
F At p t F A A N s F t
j p Fdt mv mv t dt mv
tmv
v v m s
28.
y
x
45°
1mF
031
O movimento é em uma dimensão
35,2 5,2.10 , 672 / , 700 0,7
0, 428 /
p ip b
ib Fp
m g kg v m s m g kg
v v m s
a) ?Fbv
0 0
3 3
0 . .
5,2.10 .672 5,2.10 .428 0,7. 1,81 /
ex i f p p b b p Fp b Fb
Fb Fb
F P P m v m v m v m v
v v m s
b)
3 3
. .
(5,2.10 0,7) 5,2.10 .672 4,9 /
cm p ip b ib
cm cm
M V m v m v
V V m s
29.
6 , 9 / , 12 , 0
0 . . ( )
6.9 (6 12). 3 /
t it p ip
ex i f t it p ip t p f
f f
m kg v m s m kg v
F P P m v m v m m v
v v m s
30.
O movimento é em uma dimensão
34,5 4,5.10 , 2,4 , 0, 0,2, 1,8p b ibm g kg m kg v d m
a)
22
( ) . .
1( ) .( ). . 0,2.9,8.1,8
2 2
fat f kf i ki c
ip b i c p b
E w u E E n d
vm m v m m g d
2,7 /iv m s
b)
' '
3 ' 3
'
. . ( )
4,5.10 . (4,5.10 2,4).2,7
1442,7 /
i f p ip b ib p b i
ip
ip
P P m v m v m m v
v
v m s
31.
0 pv0 0bv
fPv
fbv
032
1100 , 1400 , 0,13, 8,2 , 6,1A g k A Bm kg m kg d m d m
a)
2
?
1( ) . .
2
2. . 2.0,13.9,8.8,2 4,6 /
iA
fat f kf i ki c i c
i c iA iA
v
E w u E u E mgd mv mgd
v gd v v m s
b) 2. . . 2.0,13.9,8.6,1 3,9 /iB c B iBv g d v m s
c)
imediatamente antes e após a colisão, temos que:
' '
' '
. .
1400. 1100.4,6 1400.3,9 7,5 /
i f A iA B iB A iA B iB
iB iB
P P m v m v m v m v
v v m s
32.
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
2 , 10 / , 5 , 3 / , 1120 /
. ( )
2.10 5.3 (2 5) 5 /
i i
i f i i f
f f
m kg v m s m kg v m s k N m
P P m v m v m m v
v v m s
a energia mecânica do sistema se conserva
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2
1 1 1 1( )
2 2 2 2
2.10 5,3 (2 5).5 1120. 0,25
i f ki i kf f
i i f
E E E u E u
m v m v m m v kx
x x m
33.
1 1 2 1340 0,34 , 1,2 / , 0, 0,66 /i i fm g kg v m s v v m s
a) e b)
1 1 2 2 2 2 1 1
2 2
2 2
.
0,34.1,2 0,34.0,66 .
0,184
i f i i f f
f
f
P P m v m v m v m v
m v
m v
na colisão elástica a energia cinética do sistema se conserva
1 2 1 2
2 2 2
1 1 1 1 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
1 1 1
2 2 2
0,34.(1,2) 0,34.(0,66) 0,341
0,341 . . 0,341 0,184. 1,86 /
0,1840,099
1,86
i i f fk k k k i f f
f f
f f f f
E E E E m v m v m v
m v m v
m v v v v m s
m kg
033
c) 1 1 2 2
1 2
0,34.1,20,93 /
0,34 0,099
i icm
v m v mv m s
m m
34.
1 1 2 20,5 , 70 0,7 , 2,5 , 0im kg L cm m m kg v
Cálculo da velocidade da bola imediatamente antes da colisão. Considerando apenas a bola, temos que:
2 2 21 1 1
2 2 2
2 2.9,8.0,7 3,7 /
i f i i F F F
F
E E u mv u mv mgh mv
v gL m s
Considerando a bola e o bloco, imediatamente antes e depois da colisão, temos que:
' ' ' '
1 1 2 2 1 1 2 2
' ' ' ' ' '
1 2 1 2 1 20,5.3,7 0,5. 2,5. 3,7 5 3,7 5
i F i i f f
f f f f f f
P P m v m v m v m v
v v v v v v
Na colisão elástica a energia cinética se conserva
' 2 ' 2 ' 2 ' 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2
1 2 1 2
' 2 ' 2 ' ' '
2 2 2 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
0,5.(3,7) 0,5. 2,5 13,69 5
13,69 (3,7 5 ) 5 1,23 / 3,7 5 2,45 /
i i f f
f f f f
f f f f f
m v m v m v m v
v v v v
v v v m s e v v m s
35.
ˆ ˆ ˆ ˆ2 , 15 30 , 10 5
ˆ ˆ5 20
A B iA iB
FA
m m kg v i j v i j
v i j
a)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ15 30 10 5 5 20 .
ˆ ˆ(10 15 ) /
i f A iA B iB A fA B fB
fB
fB
P P m v m v m v m v
i j i j i j v
v i j m s
b)
034
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
15 30 33,54 / , 10 5 11,18 / , 5 20 20,61 /
10 15 18,03 /
1 1.2(33,54) .2.(11,18) 1249,92
2 2
1 1.2.(20,61) .2.(18,03) 749,85
2 2
749,85 1
ki A Ai B Bi
Ai Bi Af
Bf
ki
kf
k kf ki
E m v m v
v m s v m s v m s
v m s
E J
E J
E E E
249,92 500,07J
36.
54 , 16 , 0, 1,2.10 /N iN fNm u m u v v m s
a)
5 5
5 5
5 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4. 4( cos64º sen 64º ) 16(1,2.10 cos51º 1,2.10 51º )
ˆ ˆ ˆ( cos64º 3,02.10 ) ( sen 64º-3,73.10 )
sen 64º 3,73.10 0 4,15.10 /
i f i N Ni F N FN
i F F
i F F
F F
P P m v m v m v m v
v i v i v j i sen j
v i v i V j
V v m s
b)
5 5 5 5cos 64º 3,02.10 4,15.10 .cos64º 3,02.10 4,84.10 /i F iv v v m s
37.
1 2 2 1 2, 0, 3,5 / , 2 /i f fm m m v v m s v m s
a)
1 1 2 2 1 1 2 2
1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3,5 cos 22º 3,5sen 22º 2cos 2sen
ˆ ˆ ˆ(3,5cos22º 2cos ) (3,5sen 22º 2sen )
3,5sen 22º 2sen 0 40,96º
i f i i f f
i
i
P P m v m v m v m v
v i i j i j
v i i j
x
y
iv
fv
f Nv
51º
64º
N
x
y
1iv
1fv
2fv
220º
035
b) 1 13,5cosº22 2cos(40,96º ) 4,75 /i iv v m s
c)
2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1. (4,75) 11,28
2 2 2
1 1 1 1(3,5) .2 8,125
2 2 2 2
ki i i
kf f f
E m v m v m m
E m v m v m m m
ki kfE E não
38.
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, ,2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( cos sen ) ( cos .sen ) 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(cos sen ) (cos sen ) 22
ˆ ˆ ˆ(cos cos ) ( sen sen ) 1
0 sen sen
ii i i f
i f
i i i i f
ii i i
vm m m v v v v
P P
m v i v j m v i v j mv i
vv i j v i j i
i j i
sen sen
1 2
1 2 1 1 1 1
1
cos cos 1 cos cos 1 2cos 1 60º
2 2.60 120º
x
y
fv
2iv
1iv
1
2