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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros
EXERCÍCIOS
NOTA DE AULA I
Goiânia - 2014
E X E R C Í C I O S
1. O esquema abaixo mostra três cargas puntiformes fixas, no vácuo. Determine o módulo, a
direção e o sentido da força elétrica resultante: (a) Que atua na carga Q2 (b) Que atua na carga
Q3.
Q1 =36C Q2= 16C Q3= 2C
2m 4 m horizontal
2a) Inicialmente devemos repersentar as duas forças que atuam em .
Como as duas forças têm a mesma direção e sentidos contrários a força
resultante tem um valor que é dado pela diferença entre as duas
q
forças e o sentido no sentido de maior valor.
Todas as grandezas devem estar no S.I.
9 6 6
1 2
12 0 2 2
12
9 10 36 10 16 101,296
2
q qF K N
d
9 6 63 2
32 0 2 2
32
9 10 2 10 16 100,018
4
q qF K N
d
12 32 1,296 0,018 1,278
é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita.
R
R
F F F N
F
b) A resolução é feia de maneira semelhante ao item (a).Como as duas forças têm a mesma direção e sentido,
a força resultante tem um valor que é dado pela soma entre as duas forças. Todas as grandezas devem estar no S.I.
9 6 61 3
13 0 2 2
13
9 10 36 10 2 100,018
6
q qF K N
d
9 6 62 3
23 0 2 2
23
9 10 16 10 2 100,018
4
q qF K N
d
13 23 0,018 0,018 0,036
é a força resultante na direção horizontal e sentido para a direita.
R
R
F F F N
F
2. A figura abaixo mostra duas cargas, q1 e q2, mantidas a uma distância fixa d uma da outra. (a) Qual é
o módulo da Força eletrostática que atua sobre q1? Suponha q1 = q2 = 20,0 C e d = 1,50 m. (b) Uma
terceira carga q3 = 20,0 C é trazida e colocada na posição mostrada na Fig.01b. Qual é agora o
módulo da força eletrostática que atua sobre q1?
1
2
26
91 20 2 2
1,5
20
20
)
20 108,99 10
1,5
1,6
d m
q C
q C
a
q qF K
r
F N
b) Como a distância entre a carga q3 e a carga q1 é a mesma do item a, e o valor da carga é
igual, temos que o módulo da força individual de cada carga é o mesmo, no entanto temos agora duas
forças atuando na carga q1 e, portanto, a força resultante será:
2 2 2 2
31 21 31 212 cos60 1,6 1,6 2 1,6 1,6 cos60
2,77
o o
R
R
F F F F F
F N
3. Três partículas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, estão separadas pela distância d, como
mostra a figura abaixo. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. A carga q3, que é livre para mover-se,
encontra-se em equilíbrio (nenhuma força eletrostática líquida atua sobre ela). Determine q1 em
termos de q2.
32 31
3 2 3 10 02 2
3 13 2 1 2
0
04
44
F F
q q q qK K
d d
q qq q q q
Como as forças possuem sentidos opostos, as cargas também devem possuir sinais opostos.
4. As cargas q1 e q2 se encontram sobre o eixo dos x, nos pontos x = -a e x =+a, respectivamente. (a)
qual deve ser a relação entre q1 e q2 para que a força eletrostática líquida sobre a carga + Q, colocada
no ponto x = +a/2, seja nula? (b) Repita o item (a) com a carga +Q colocada no ponto x =+3a/2.
1 2
1 20 02 2
1 2
)
0
3
2 2
9
R
Q Q
a
F
F F
q Q q QK K
a a
q q
1 2
1 20 02 2
1 2
1 2
)
0
3
2 2
2
,
5
25
R
Q Q
Como as forças possuem sentidos opostos
as cargas também devem
po
b
F
F F
q Q q QK K
a aa
ssuir sinais opos s
q
to
q
q q
5. Na figura abaixo, quais são os componentes horizontal e vertical da força eletrostática resultante que
atua sobre a carga no vértice inferior esquerdo do quadrado, sendo q = 1,0 x 10-7
C e a = 5,0 cm?
2
7 791 4
1 0 22 2
793 4
3 0 2
2 2 diagonal do quadrado 7,07
inicialmente devemos representar as três forças que atuam na carga considerada.
1,0 10 2 108,99 10 0,072
5 10
2,0 10 28,99 10
d a a d cm
q qF K N
a
q qF K
a
7
22
7 794 2
2 0 222
100,144
5 10
2,0 10 1 108,99 10 0,036
5 10 2
Nx
q qF K N
d
Temos que decompor a força 2 em suas componentes x e y.
2 2 2 2cos45 0,036 0,707 0,025 45o o
x yF F N F F sen
Como temos agora quatro forças, somamos as forças nas mesmas direções e depois usamos o
teorema de Pitágoras para achar a resultante, com isso, temos
2 3
1 2
2 2 2 2
0,025 0,144 0,169
0,072 0,025 0,047
se quisermos encontrar o módulo da força resultante, temos:
0,169 0,047
0,239
h x
v y
R h v
R
F F F N
F F F N
F F F
F N
6. Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga e
colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. Determine a posição, o módulo e sinal da
terceira carga.
3
A única maneira de todo o sistema ficar em equilíbrio, ou seja, cada uma das cargas estar sob ação
de duas forças de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos é se uma carga negativa
for colocad
q
1 2a entre as cargas e .q q
3
1 3 2 3 3 313 23 0 0 0 02 22 2
1
2 1 3 1 3
21 31 0 0 0 02 2 2 2
Usando a condição de equilíbrio na carga temos que:
4
3
usando a condição de equilíbrio na carga temos que:
4
q
q q q q qq qq LF F K K K K x
x xL x L x
q
q q q q q qqqF F K K K K
L x L x
3
3 3
3 1 2 1
4
9
4como a carga é negativa, temos
9
A carga deve ser colocada entre e , a uma distância de 3
qq q
Lq q q q
7. Uma carga Q é dividida em duas partes q e (Q – q), que são, a seguir, afastadas por certa distância
entre si. Qual deve ser o valor de q em termos de Q, de modo que a repulsão eletrostática entre as
duas cargas seja máxima.
2
0 02 2
0 2
Quando a força for máxima a sua derivada em relação a carga será nula.
20 2 0
2
Como a derivada segunda da força em relação à carga é negativa, podemos
afirmar
qQ qq Q qF K K
r r
q
Q qdF QK Q q q
dq r
q
que a força será máxima quando dividirmos a carga total ao meio.
8. Duas pequenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga q, estão suspensas por fios não
condutores de comprimento L como mostra a figura. Suponha tão pequeno que tan possa ser
substituída por sen com erro desprezível. (a) Mostre que, para o equilíbrio,
,2
3/1
0
2
mg
Lqx
Onde x é a separação entre as bolas. (b) Sendo L = 120 cm, m = 10 g, e x = 5,0 cm. Qual o valor de q?
a)
Inicialmente devemos representar as forças que atuam em uma das cargas.
Como cada bola está em equilíbrio a resultante das forças em cada eixo e será nula.
0considerando:
0 cos
x
y
x y
R Tsen F
R T mg
mas
Ftg
mg
tg sen F mgsen
2
0
1
2 2 2 33
2
0 0 0
mas
/ 2 1 e
2 4
2
4 2 4 2
tg sen F mgsen
x x qqsen F
L L x
q x q L q Lmg x x
x L mg mg
1
2 3
0
8
b)
substituindo os valores em 2
temos: 2,4 10
q Lx
mg
q C
9. Um nêutron consiste em um quark “up” de carga +2e/3 e dois quarks “down” cada um tendo carga
de – e/3. Se os quarks down estiverem a uma distância de 2,6 x 10-15
m um do outro, dentro do
nêutron, qual será o módulo da força eletrostática entre eles?
15
9
1 20 22 15
29 19
215
2(1)
3
1(2)
3
2,6 10
1 18,99 10
3 3
2,6 10
10 2 1,6 103,79
2,6 10
q e
e
r m
e eq q
F Kr
F F N
10. Qual deve ser a distância entre dois prótons pra que o módulo da força eletrostática atuando sobre
qualquer um deles seja igual ao seu peso na superfície da Terra? Massa do próton = 1,67 x 10-27 kg.
27
29 19
261 20 2 26
1,67 10 9,78
8,99 10 1,6 101,63 10
1,63 10
0,12 12
F P mg
q qK r
r
r m r cm
11. Qual é o modulo de uma carga puntiforme cujo campo elétrico, a uma distância de 50 cm, tem
módulo igual a 2,0 N/C?
02 2
222
9
0
11
?
50
2,0 /
1
4
2 50 10
8,99 10
5,6 10
o
q
r cm
E N C
q qE K
r r
Erq
K
q C
12. O esquema abaixo mostra duas cargas fixas, no vácuo. Determine o módulo, a direção e o sentido do
campo elétrico resultante: R: a) zero; b) 4,5 x 108 N/C, na direção horizontal e sentido para a direita.
a) No ponto A.
b) No ponto B.
Q1 = 64 .10- 6
C A Q2 = 64 . 10- 6
C B
2 cm 2 cm 4 cm horizontal
6 61 2 9
1 2 0 2 22 2 2 21 2
64 10 64 10) 8,99 10
2,0 10 2,0 10
0 /
T
T
q qa E E E K
r r
E N C
6 61 2 9
1 2 1 2 0 2 22 2 2 21 2
8
64 10 64 10) 8,99 10
8,0 10 4,0 10
4,5 10 / , na direção horizontal e sentido para a direita
T T
T
q qb E E E E E E K
r r
E N C
13. Duas cargas puntiformes de módulos Q1 = 2,0 x 10-7
C e Q2 = 8,5 x 10-8
C estão separadas por uma
distância de 12 cm. (a) Qual o módulo do campo elétrico que cada uma cria no local onde está a
outra? (b) Qual o módulo da força que atua sobre cada uma delas?
7
1
8
2
79 31 1
1 0 22 2 2
89 32 2
2 0 22 2 2
1 1 2 2 1 2
3 8 3
2 10
8,5 10
12
)
1 2 108,99 10 125 10 /
4 12 10
1 8,5 108,99 10 53,1 10 /
4 12 10
)
125 10 8,5 10 10,6 10
o
o
q C
q C
r cm
a
q qE K N C
r r
q qE K N C
r r
b
F E q E q F F
F N
14. Duas cargas iguais, mas de sinais postos (de módulo 2,010-7
C) são mantidas a uma distância de 15
cm uma da outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de E no ponto situado a meia
distância entre as cargas? (b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força que atuaria sobre um
elétron colocado nesse ponto?
7
1
7
2
2 10
2 10
15
q C
q C
r cm
1 2
1 2 0 2 2
1 2
7 79
2 22 2
3
)
2 10 2 108,99 10
7,5 10 7,5 10
640 10
/
T
T
T
a
q qE E E K
r r
E
E N
na direção da carga ne a iva
C
g t
3 19
13
)
640 10 1,6 10
1,02
4 10
T
na direção
b
F E q
F
na carga pos iv
N
it a
15. Na figura abaixo, localize o ponto (ou os pontos) onde o campo elétrico resultante é nulo. (b) Esboce,
qualitativamente, as linhas do campo elétrico.
1
2
2 1 1
1 2
1 2 1 2
22 2 2
1 2
2
5
0 próximo de q
5 2
5 2 2
5 2 2
5 2 2
21,7
5 2
q q
q q
r a
q q E
E E
q q q q q q
r r x x a xx a
x q x q a q
x q q a q
x q q a q
x a a
16. Na figura abaixo, as cargas +1,0q e –2,0q estão fixas a uma distância d uma da outra. (a) Determine
E nos pontos A, B e C. (b) Esboce as linhas do campo elétrico.
1 2
1 2 1 2 0 02 2 2 2
1 2
0 0
2 2
2)
4
.1 1
1 2 2
A A
T para a esqu
q q q qa E E E E E E K K
r r d d
K q K qE r
de da
d
1 2
1 2 1 2 0 0 2 22 2
1 2
0 0
2 2
2)
2 2
41 2 12 .
B B
B
q q q qb E E E E E E K K
r r d d
K q K qE
d dpara a direita
c) 02
7
4C
K qE
d , para a esquerda.
17. Duas cargas q1 = 2,1x10-8
C e q2 = -4 q1 estão fixas a uma distância de 50 cm uma da outra.
Determine, ao longo da linha reta que passa pelas duas cargas, o ponto onde o campo elétrico é zero.
Para que o campo elétrico resultante seja nulo, os campos gerados pelas duas cargas devem ter
mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos, portanto o ponto deve estar fora do segmento que
une as cargas e mais próximo da carga de menor módulo ( q1 ).
1 2
8 80 1 0 2
22 2 2
1 2
2,1 10 8,4 10
0,5
0,5
E E
K q K q
d d x x
x m
O campo elétrico resultante será nulo num ponto fora do segmento que une as cargas a uma
distância de 0,5 m de q1 e a 1,0 m de q2.
18. Na figura abaixo, qual o campo elétrico no ponto P criado pelas quatro cargas mostradas? Onde q1 =
+5q, q2 = +5q, q3 = +3q e q4 = -12q,
Inicialmente devemos representar no ponto P os campos gerados para cada uma das quatro cargas.
Em seguida determinamos o valor de cada campo neste ponto.
01 2 2
03 2
0 04 2 2
5
3
12 32
K qE E
d
K qE
d
K q K qE
dd
Os campos gerados pelas cargas q1 e q2 têm a mesma direção, mesmo módulo e sentidos opostos,
portanto se anulam. O mesmo acontece com os campos gerados por q3 e q4, portanto o campo
resultante no ponto P é nulo.
19. Determine o módulo do campo elétrico no ponto P da figura abaixo. Adote 66,00 10 ma
Por simetria vemos que as contribuições das duas cargas q1 = q2 = +e se cancelam, então calculamos
apenas a contribuição de q3 = +2e. A magnitude do campo elétrico é:
2 220 0 0
1 2 1 2 1 4| |
4 4 4( / 2)T
e e eE
r aa
Este campo aponta em 45°, em relação ao eixo x.
20. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no centro do quadrado da figura abaixo,
sabendo que q1 =+1,010-8
C, q2 =-2,010-8
C, q3 =+2,010-8
C e q4 = -1,010-8
C e a = 5,0 cm.
2 4 1 3
Adotamos o centro do quadrado como sendo o ponto zero de nosso sistema cartesiano.
pelas cargas e passa o eixo e pelas cargas e passa o eixo .
Com isso a distância de cada carga até o pon
q q x q q y
to de interesse é . com isso:2
ad
9 84
0 02 2 2 2
9 84
0 02 2 2 2
2 2
2 9 10 1 107,19 10 /
/ 2 / 2 / 2 0,05 / 2
de mesma forma temos
2 9 10 1 107,19 10 /
/ 2 / 2 / 2 0,05 / 2
O módulo do campo é dado por:
7,1
x
y
x y
q q qE K K N C
a a a
q q qE K K N C
a a a
E E E
2 24 4 5
1 1
9 10 7,19 10 1,02 10 /
o ângulo feito com o eixo é:
tan tan 1 45y o
x
N C
x
E
E
21. Um elétron é liberado a partir do repouso num campo elétrico uniforme de módulo 2,00 x 102 N/C.
Calcule a aceleração do elétron. (Ignore a gravidade.) me = 9,11 x 10 -31
kg. 31
19
19 17
1713 2
31
9,11 10
1,6 10
200 /
200 1,6 10 3,2 10
3,2 103,5 10 /
9,11 10
e
e
m kg
q C
E N C
F Eq N
FF ma a m s
m
22. Uma barra fina, não condutora, de comprimento L, tem uma carga positiva +q uniformemente
distribuída ao longo dela. Mostre que o módulo do campo elétrico no ponto P sobre a mediatriz da
barra (como está representado na figura abaixo) é dado por:
E = q / [2oR(L2 + 4R
2) ½
Vamos usar um recurso muito útil na resolução de exercícios, a simetria. Se pensarmos na barra dividida
ao meio, percebemos que as componentes horizontais do campo elétrico, geradas por cada metade da
barra, se anulam e as componentes verticais se somam.
Vamos determinar a componente vertical do campo gerado pela metade esquerda da barra.
0 0
2 2
0
32 2 2
/2 /2
003 3
2 2 2 20 02 2
cos cos
1
y
y
L L
y
K dq K dx RdE dE
r r r
K RdE dx
x R
K RdE dx K R dx
x R x R
Para resolver a integral vamos usar substituição trigonométrica. Fazendo:
3
2 2 2
1I dx
x R
e
2 2 2x R tg temos:
2 2 2
3 3 322 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2
32 2 3 2 22 2
122 2 2 2
sec sec 1 sec
1
1 sec 1 sec 1 1cos
sec secsec
R d d dI R
RR tg R R tg R tg
d d dI d
R R R R
sen xI
RR x R
Portanto,
/2
00 1 1
2 2 2 2 22 2
04
L
y y
K LxE K R E
R x R R L R
Temos que:0
0
1;
4L q K
Finalmente podemos escrever:
1
2 2 20
1
4 4
y
qE
R L R
.
Lembrando que yE é a componente vertical do campo gerado pela metade esquerda da barra. O campo
resultante é:
1
2 2 20
2
2 4
y
qE E
R L R
23. Uma barra fina não condutora, de comprimento L, tem uma carga q uniformemente distribuída ao
longo de seu comprimento. Mostre que o campo elétrico no ponto P, sobre o eixo da barra, a uma
distância a de sua extremidade é dado por: E = q / [4oa(L+a)]
0 0
2 2
2002
0 0
L L
K dq K dxdE
x a x a
KE dx K x a dx
x a
Calculando a integral: u x a du dx
2 2 11
0
L
I x a dx u du u x a
1 0 0 00
0
L K K K LE K x a
L a a a L a
Temos que: 0
0
1 K
4L q e
Portanto:
04
qE
a L a
24. Uma barra fina de plástico é encurvada na forma de um círculo de raio R. Uma carga +Q está
uniformemente distribuída ao longo do círculo. (a) Mostre que o campo elétrico no centro do círculo,
gerado pelo semicírculo que se encontra à esquerda do eixo y, é dado por: E = Ko Q/π R2. (observe
que a carga de cada semicírculo é +Q/2 ). (b) Determine o valor do campo elétrico gerado por toda
barra circular no centro do círculo.
a) Se pensarmos no semicírculo dividido ao meio, pela simetria, percebemos que as componentes
verticais do campo elétrico, gerado por cada metade do semicírculo, se anulam e as
componentes horizontais se somam.
Vamos determinar a componente horizontal do campo gerado pela metade de cima do
semicírculo.
0 0
2 2
0 0
2
x
x
K dq K dsdE dEsen sen sen
R R
s R ds Rd
K Rd K sen ddE sen
RR
2 2
0 0
0 0
/20 0
0
0 0
2
cos
2 2 2
x
x
x x
K sen d KE sen d
R R
K KE
R R
K K QQ QE E
R R R R
xE é a componente horizontal do campo elétrico gerado pela metade superior do semicírculo. O
campo resultante é:
0
22 x
K QE E
R
b) Devemos observar, pela simetria, que o campo resultante neste caso será nulo.
25. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio r. uma carga +q está
uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma carga –q está uniformemente
distribuída ao longo da metade inferior, como mostra a figura abaixo. Determine o campo elétrico Eem P, o centro do semicírculo.
0 02 2
Para a metade superior:
2onde e . Portanto:
2
4
dq dldE K K
r r
Q Qdl rd
r r
0 02 2
/2
0 2
0
/2
0 02 20
2
2
o módulo da componente horizontal do campo total positivo é, portanto:
2cos cos
2 2
x x
x x
Qrd
QrdE K K dr r
QE dE dE K d
r
Q QE K sen E K
r r
/2
0 2
0
/2
0 02 20
Analogamente:
2
2 2cos
y y
y y
QE dE dE sen K sen d
r
Q QE K E K
r r
0
2
usando a simetria do problema vemos facilmente que as componentes horizontais cancelam-se
enquanto que as verticais reforçam-se. Assim sendo, o módulo do compo total é simplesmente:
42 com o y
K QE E
r vetor correspondente apontando para baixo.
26. Na experiência de Millikan, uma gota de raio 1,6410-6
m e densidade de 0,851 g/cm3 fica suspensa
na câmara inferior quando o campo elétrico aplicado tem módulo igual a 1,92105 N/C e aponta
verticalmente para baixo. Determine a carga da gota em termos de e.
Para a gota estar em equilíbrio é necessário que a força gravitacional esteja contrabalançada
pela força eletrostática associada ao campo elétrico, ou seja, é preciso ter ,
onde é a massa da go
mg qE
m
ta, é a carga sobre a gora e é a magnitude do compo elétrico
no qual a gota está imersa.
q E
34A massa da gota é dada por , com isso temos:
3m V r
3
63
5
19
19
19
44 1,64 10 851 9,843
3 3 1,92 10
8,0 10
e, portanto,
8,0 105 ou seja, 5
1,6 10
r gmg r g
qE E E
q C
qn n q e
e