eletricidade e magnetismo -...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E DA COMPUTAÇÃO

Professor: Renato Medeiros

ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA III

Goiânia - 2018

1

CORRENTE ELÉTRICA

Estudamos anteriormente os fenômenos que pertencem ao campo da eletrostática, ou

seja, com cargas estacionárias. Iniciaremos o estudo de fenômenos elétricos relacionados com

cargas em movimento, isto é, estamos começando o estudo das correntes e circuitos elétricos.

A condição fundamental para que haja uma corrente elétrica entre dois pontos de um

circuito fechado é que tenhamos uma diferença de potencial elétrico (voltagem) entre estes

pontos. Esta ddp pode ser gerada por uma bateria. Como está representado na figura abaixo

Sentido convencional da corrente elétrica

O sentido convencional da corrente elétrica é escolhido como sendo o sentido do movimento

de cargas positivas.

Devemos observar que a corrente elétrica é uma grandeza escalar, apesar de usarmos

setas para indicar o seu sentido. Estas setas não são vetores e sua soma é escalar.

Intensidade da corrente elétrica (i)

A intensidade da corrente elétrica é a medida da quantidade de carga que passa, por

unidade de tempo, através de uma seção do condutor. Para o caso de um fluxo de corrente

constante, temos que:

Quando a taxa de fluxo de carga não for constante, podemos generalizar a definição de

corrente usando-se as derivadas. A corrente instantânea i é definida como

Unidade de corrente elétrica

Qit

D=D

dqidt

=

2

A unidade de corrente no SI, Coulomb por segundo, é chamada de ampère (A), em

homenagem ao Físico Francês André Marie Ampére. Pequenas correntes são convenientes

expressas em miliampères ( ) ou em microampères ( ).

E X E R C Í C I O S

1. Uma corrente de 5,0 A percorre um condutor durante 4,0 min. Quantos (a) coulombs de carga e

(b) elétrons passam através da seção transversal do condutor nesse intervalo de tempo?

2. A corrente num feixe de elétrons de um terminal de vídeo é de 200 µA. Quantos elétrons

golpeiam a tela a cada segundo?

3. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga a gás quando uma diferença de potencial

suficientemente alta é aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza, os elétrons se

movem em direção ao terminal positivo e os íons monovalentes positivos em direção ao terminal

negativo. Quais são o módulo e o sentido da corrente num tubo de descarga de hidrogênio em

que 3,1 x 1018 elétrons e 1,1 x 1018 prótons passam através da seção transversal do tubo a cada

segundo?

Elétron se movendo em um sentido é equivalente a próton se movendo em sentido contrário,

portanto:

310mA A-= 610A Aµ -=

5 , 10 4min 240i A R t s= = W D = =

)

5 240 1200

aqi q q Ct

D= ÞD = ´ Þ D =D

2119

)1200 7,5 10 elétrons

1,6 10

b

q ne n n-D = Þ = Þ = ´´

200 1i A t sµ= D =

415

19

2 10 1 1,25 10 elétrons1,6 10

q ne i ti n nt t e

-

-

D D ´ ´= = Þ = = Þ = ´D D ´

18 181,0 1,1 10 prótons 3,1 10 elétronst s n n+ -D = = ´ = ´

q neit t

D= =D D

3

RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Quando uma voltagem VAB é aplicada nas extremidades de um condutor,

estabelecendo nele uma corrente elétrica i, a resistência deste condutor é dada pela relação:

Þ

Unidade de resistência no SI:

A unidade de resistência no SI é o Volt por ampère. Esta unidade é denominada ohm

(W)

1V/A = 1 ohm = 1W

Resistividade de um material

Considere um fio condutor de comprimento L e secção transversal de área A. Verifica-

se que, a resistência elétrica R é diretamente proporcional ao comprimento do fio condutor e

inversamente proporcional à área da sua secção transversal.

Onde: é a resistividade do material. No SI, a unidade de resistividade é dada por: W . m

18 18 18 18

18 19

1,1 10 1,1 10 3,1 10 4,2 10

4,2 10 1,6 10 0,6721,0

n n n

i i A

+ -

-

= + = ´ ´ + ´ = ´

´ ´ ´Þ = Þ =

ABVRi

= .ABV R i=

LRA

r=

r

4

O inverso da resistividade é a condutividade , portanto temos:


4. Um fio condutor tem um diâmetro de 1,0 mm, um comprimento de 2,0 m e uma resistência de

50 mW. Qual é a resistividade do material?

5. A área da seção transversal do trilho de aço de um bonde elétrico é de 56 cm2. Qual é o valor da

resistência de 10 km deste trilho? A resistividade do aço é 3 × 10 -7 Ω.m.

s

1sr

=

31,0 0,5 10 m L 2,0 50D mm r m R m-= Þ = ´ = = W

( )23 32

8

50 10 0,5 102

1,96 10

L RA R rRA L L

m

ppr r

r

- -

-

´ ´ ´ ´= Þ = = =

= ´ W

2 756 L 10,0 3,0 10A cm km mr -= = = ´ W

37

4

10 103 1056 10

0,54

LRA

R

r --

´= = ´

´= W

5

6. Uma pessoa pode morrer se uma corrente elétrica da ordem de 50 mA passar perto do coração.

Um eletricista trabalhando com as mãos suadas, o que reduz consideravelmente a resistência da

pele, segura dois fios desencapados, um em cada mão. Se a resistência do corpo do eletricista é de

2000 Ω, qual é a menor diferença de potencial entre os fios capaz de produzir um choque mortal?

7. Um fio de 4 m de comprimento e 6 mm de diâmetro tem uma resistência de 15 mΩ. Uma

diferença de potencia de 23 V é aplicada entre suas extremidades. (a) Qual é a corrente no fio? b)

Calcule a resistividade do material do fio.

8. Uma barra cilíndrica de cobre, de comprimento L e seção transversal de área A, é reformada

para duas vezes seu comprimento inicial sem que haja alteração no volume e na resistividade. (a)

Determine a nova área de seção transversal da barra. (b) Se a resistência entre suas extremidades

era R antes da alteração, qual é o seu valor depois da alteração?

50 R=2000i mA= W32000 50 10

100AB

AB

V Ri

V V

-= = ´ ´

=

6,0 L 4,0 R 15 V 23ABD mm m m V= = = W =

( )

( )

3

722 23

23 32

7

)23 1533,33

15 10)

1533,33 5,43 103,0 10

)

15 10 3,0 104

1,06 10

ABAB

aVV Ri i i AR

b

i i Aj jA r m

c

L RA R rRA L L

m

p p

ppr r

r

-

-

- -

-

= Þ = = Þ =´

= = = Þ = ´´ ´

´ ´ ´ ´= Þ = = =

= ´ W

L 2L¢ =

) Como o volume permanece constante temos que:

22

)2 e 4

24

a

AV V A L AL A L AL A

bL L L LR R AA A A

R R

r r r r

¢ ¢ ¢ ¢ ¢= Þ = Þ = Þ =

¢¢= = = =

¢

¢\ =

6

9. Um fio com uma resistência de 6 Ω é esticado de tal forma que seu comprimento se torne três

vezes maior que o original. Determine o valor da resistência do fio esticado, supondo que a

densidade e a resistividade do material permaneçam as mesmas.

Cálculo da nova área do fio. O volume do fio permanece constante:

10. Um determinado fio tem uma resistência R. Qual é a resistência de um segundo fio, feito do

mesmo material, mas que tenha metade do comprimento e metade do diâmetro?

~

Cálculo da nova área do fio

11. Dois condutores são feitos de um mesmo material e têm o mesmo comprimento. O condutor A

é um fio maciço de 1 mm de diâmetro. O condutor B é um tubo oco com um diâmetro externo de

2 mm e um diâmetro interno de 1 mm. Qual é a razão entre as resistências dos dois fios, RA / RB,

medida entre suas extremidades?

Figura

1 2 1 1 26,0 L =3L = =R r r r= W

12 1 1 1 2 2 1 1 2 1 23

3AV V A L A L A L A L A= Þ = Þ = Þ =

2 1 12 1

12 1

2

3 9 9 9 6

354

L L LR RAA A

R

r r r= = = = = ´

\ = W

LD = L = =2 2D r r¢ ¢ ¢

( )2

2

2 4/ 2 2/ 4

r AA r A

L L LR R R RA A A

p p

r r r

æ ö¢ ¢ ¢= = Þ =ç ÷è ø

¢¢ ¢= Þ = = Þ =

¢

A BL L L= =

1 2 1A eB iBd mm d mm d mm= = =

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 0,50,5

3

A

eB iBA A A B

BB A A

BB

eB iB eB iBA

B A A

A

B

L LA AR A A A

L LR A AAA

r r r rRR r r

RR

r

r

p pp

-= = = =

- - -= = =

=

7

12. Um fio de Nicromo (uma liga de níquel, cromo e ferro comumente usada em elementos de

aquecimento) tem um comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 1,0 mm2. Ele transporta

uma corrente de 4,0 A quando uma diferença de potencial de 2,0 V é aplicada entre os seus

extremos. Calcular a condutividade s do Nicromo.

Inicialmente vamos calcular a resistência do fio:

Energia e Potência em circuitos elétricos.

De uma maneira geral, os aparelhos elétricos são dispositivos que transformam energia

elétrica em outra forma de energia. A taxa de transformação dessa energia é a potência do

aparelho.

Se um aparelho elétrico, ao ser submetido a uma diferença de potencial VAB, for

percorrido por uma corrente i, a potência desenvolvida neste aparelho será dada por (ver a

demonstração dessa expressão no livro texto):

Efeito joule

O efeito joule consiste na transformação de energia elétrica em energia térmica em uma

resistência percorrida por uma corrente elétrica.

Sendo R o valor da resistência, VAB a voltagem nela aplicada e i a corrente que a percorre,

a potência desenvolvida, por efeito joule, nesta resistência, pode ser calculada pelas expressões:

Devemos lembrar que a unidade de potência no SI é watt (W)

21 A 1 i 4 2ABL m mm A V V= = = =

( )

66

166

2 0,54

0,5 1,0 10 0,5 101,0

1 1 2,0 100,5 10

ABV Ri R

L RAR mA L

m

r r

s sr

--

-

-

= Þ = = W

´ ´= Þ = = = ´ W

= = Þ = ´ W´

ABP iV=

2

2

ouAB

AB

P iV P Ri

VPR

= Þ =

=

8


13. Um estudante manteve um rádio de 9 V e 7 W ligado no volume máximo das 9 horas às 14

horas. Qual foi a quantidade de carga que passou através dele?

14. Um resistor dissipa uma potência de 100 W quando percorrido por uma corrente elétrica de 3

A. Qual é o valor da resistência do resistor?

15. Qual dos dois filamentos tem uma resistência maior? O de uma lâmpada de 500 W ou o de outra

de 100 W? Ambas foram projetadas para operar sob 120 V. R: o de 100W

16. Cinco fios de mesmo comprimento e mesmo diâmetro são ligados um de cada vez, entre dois

pontos mantidos a uma diferença de potencial constante. A taxa de produção de energia térmica

(potência) será maior no fio feito com material de maior ou menor resistividade?

7 14 9 5 9ABP W t horas V V= D = - = =

4

4

7 9 0,78

0,78 1,8 10

1,4 10

ABP V i i i A

qi q i t qt

q C

= Þ = Þ =

D= ÞD = D ÞD = ´ ´D

D = ´

100 3P W i A= =

22

100 11,113

PP i R R Ri

= Þ = = Þ = W

1 2 1 2500 100 120P W P W V V V= = = =

2 2 21 1

1 1 11 1

120 28,8500

V VP R RR P

= Þ = = Þ = W

2 2 22 2

2 2 22 2

2 1

120 144100

V VP R RR P

R R

= Þ = = Þ = W

>

1 2 3 4 5V V V V V V= = = = =

9

Da expressão podemos afirmar que a potência será maior no fio de resistência menor,

como , a potência será maior no fio de resistividade menor.

17. Um determinado resistor é ligado entre os terminais de uma bateria de 3,00 V. A potência

dissipada no resistor é 0,540 W. O mesmo resistor é, então, ligado entre os terminais de uma

bateria de 1,50 V. Que potência é dissipada neste caso?

Inicialmente vamos calcular o valor da resistência.

Como o resistor é o mesmo nos dois casos, temos:

18. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente de 500 W. (a)

Qual é o valor da resistência do elemento de aquecimento? (b) Qual é a corrente no elemento de

aquecimento?

19. Um aquecedor de 500 W foi projetado para funcionar com uma diferença de potencial de 115

V. Qual é a queda percentual da potência dissipada se a diferença de potencial aplicada diminui

para 110 V?

2VPR

=

LRA

r=

1 1 23 P 0,54 1,5V V W V V= = =

2 2 21 1

1 1 11 1

3 16,670,54

V VP R RR P

= Þ = = Þ = W

2 22

2 21

1,5 0,13516,67

VP P WR

= = Þ =

10

Energia elétrica consumida

A energia consumida por um aparelho de potência P, num intervalo de tempo Dt, é dada

por:

UNIDADES DE ENERGIA

No S.I a potência deve estar em watt (W), o tempo em segundo e a energia em joules

(J).

Quando a potência está em kW e o tempo em horas, a unidade de energia será kWh. A

relação entre esta unidade prática de energia e o joule é:

E P tD = D

61 3,6 10kWh J= ´

11


20. Um aquecedor de ambiente de 1250 W foi projetado para funcionar com 115 V. (a) Qual é o

valor da corrente elétrica no aquecedor? (b) Qual é a resistência do elemento de aquecimento? (c)

Qual é a energia térmica, em kWh, gerada pelo aparelho em 1 hora?

21. Uma diferença de potencial V está aplicada a um fio de seção transversal A, comprimento L e

resistividade r. Deseja-se mudar a diferença de potencial aplicada e alongar o fio de modo a

aumentar a potência dissipada por um fator exatamente igual a 30 e a corrente por um fator

exatamente igual a 4. Quais devem ser os novos valores de L e de A?

12

22. Um elemento calefator é feito mantendo-se um fio de Nicromo, com seção transversal de 2,60

x 10-6 m2 e resistividade de 5,00 x 10-7W.m, sob uma diferença de potencial de 75,0 V. (a) Sabendo-

se que o elemento dissipa 5.000 W, qual é o seu comprimento? (b) Para obtermos a mesma potência

usando uma diferença de potencial de 100 V, qual deveria ser o comprimento do fio?

13

23. Uma lâmpada de 100 W é ligada a uma tomada padrão de 120 V. (a) Quanto custa para deixar

a lâmpada acesa durante um mês (30 dias)? Suponha que a energia elétrica custe R$ 0,48 o kW.h.

(b) qual é a resistência da lâmpada? (c) Qual é a corrente na lâmpada?

24. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência é

de 14W quando quente. (a) Qual a taxa (potência) com que a energia elétrica é transformada em

calor? (b) A R$ 0,50 o kWh, quando custa operar este dispositivo por 5 horas?

14

25. Em uma residência 8 lâmpadas de 100W ficam ligadas durante 9 horas por dia , e um

chuveiro de 3000 W fica ligado durante 45 minutos por dia . Sabendo-se que 1 kWh custa R$ 0 ,

48 , determine o gasto mensal ( 30 dias ) com as lâmpadas e o chuveiro . Considere que as

lâmpadas e o chuveiro sejam ligados corretamente. R: R$ 136,08

26. Determine o custo mensal ( 30 dias ) de um banho diário de 15 minutos em um chuveiro de

resistência R = 11W , ligado em uma voltagem de 220 V . Considere que um kWh custa R$ 0,48.

15

A B RS

i

A R2 R3 B C D i i R1

VAC VCD VDB

CIRCUITOS ELÉTRICOS

Circuitos elétricos, nos dias de hoje, são elementos básicos de qualquer aparelho elétrico e

eletrônico, como rádios, TV, computadores, automóveis, aparelhos científicos, etc.

Associação de resistores

Em determinados circuitos podemos ter associações de alguns componentes. Vamos

estudar neste momento a associação de resistores.

Associação de resistores em série

Muitas vezes, nos circuitos elétricos, aparecem resistores ligados em série (um em

seguida ao outro), como está representado no segmento de circuito da figura abaixo.

Em termos de resistência, esta associação pode ser substituída por um único resistor

equivalente Rs

Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:

Associação de resistores em paralelo

Os resistores podem estar associados em paralelo (um dos terminais de todos os resistores

é ligado a um ponto, o outro terminal de todos os resistores é ligado a um segundo ponto),

como está representado no segmento de circuito da figura abaixo.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

. , . , . , .. . . .

AB s AC CD DB

s

S

V R i V R i V R i V R iR i R i R i R iR R R R

= = = =Þ = + +Þ = + +

1

N

jj

R R=

=å

16

A B

R1

R2

R3

i1

i2

i3

i i

A B RP

i i

Resistor equivalente

Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:

ou


27. Na figura abaixo, determine a resistência equivalente entre os pontos D e E.

1 2 31 2 3

1 2 3

1 2 3

, , ,

1 1 1 1

AB AB AB AB

p

AB AB AB AB

P

P

V V V Vi i i iR R R RV V V VR R R R

R R R R

= = = =

Þ = + +

Þ = + +

1 2 3

1 1 1 1R R R R= + +

1

1 1N

j jR R=

=å

17

28. Uma linha de força de 120 V é protegida por um fusível de 15A. Qual o número máximo de

lâmpadas de 500 W que podem operar, simultaneamente, em paralelo, nessa linha sem "queimar"

o fusível?

29. Deseja-se produzir uma resistência total de 3 Ω ligando-se uma resistência desconhecida a uma

resistência de 12 Ω. Qual deve ser o valor da resistência desconhecida e como ela deve ser ligada?.

30. Os condutores A e B, tendo comprimentos iguais de 40,0 m e diâmetros iguais de 2,60 mm,

estão ligados em série. Uma diferença de potencial de 60,0 V é aplicada entre as extremidades do

fio composto. As resistências dos fios valem 0,127 W, 0,729 W, respectivamente. Determine (a) a

densidade de corrente em cada fio e (b) a diferença de potencial através de cada fio.

18

Cálculo da corrente em circuitos de uma única malha - circuito série

Quando percorremos uma malha de um circuito o potencial elétrico pode sofrer aumento

ou queda ao longo do percurso.

Regra da fem ou fcem: Ao passarmos por um gerador (fem) ou receptor (fcem), de seu

polo negativo para o polo positivo, o potencial aumentará de um valor e. Se a passagem ocorrer

em sentido contrário, o potencial diminuirá da mesma quantidade e.

Regra da resistência: Ao passarmos por uma resistência R (inclusive pela resistência

interna de um gerador ou de um receptor), no mesmo sentido da corrente i, o potencial diminuirá

de um valor Ri. Se a passagem ocorrer em sentido contrário, o potencial aumentará da mesma

quantidade Ri.

As duas regras citadas acima podem ser resumidas graficamente como:

Para calcularmos a corrente em um circuito de uma única malha, podemos aplicar a

regra das malhas de Kirchhoff (também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff em

homenagem a Gustav Robert Kirchhoff – Físico Alemão).

Lei das Malhas

Percorrendo-se uma malha fechada num certo sentido, a soma algébrica das ddps é nula.

Aplicando a lei das malhas, no sentido anti-horário, temos que:

R i

- Ri + Ri

Regra da Resistência

- + e- e+e

Regra da fem ou fcem

r2

r1

R2

ε1

ε2

i

i

R1

A

B

19


31. Suponha que as baterias na figura abaixo tenham resistências internas desprezíveis. Determine

(a) a corrente no circuito, (b) a potência dissipada em cada resistor e (c) a potência de cada bateria

e se, a energia é absorvida ou fornecida por ela?

32. Na figura, quando o potencial no ponto P é de 100 V, qual é o potencial no ponto Q?

1 2 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

0( )

( )

R i r i R i rii R R r r

iR R r r

e ee e

e e

+ + + - + =Þ + + + = -

-Þ =

+ + +

21

33. No circuito da figura abaixo calcule a diferença de potencial através de R2, supondo e = 12 V,

R1 = 3,0 W, R2 = 4,0 W, R3 = 5,0 W.

34. O indicador de gasolina de um automóvel é mostrado esquematicamente na figura abaixo. O

indicador do painel tem uma resistência de 10 W. O medidor é simplesmente um flutuador ligado a

um resistor variável que tem uma resistência de 140 W quando o tanque está vazio, 20 W quando

ele está cheio e varia linearmente com o volume de gasolina. Determine a corrente no circuito

quando o tanque está (a) vazio; (b) metade cheio; (c) cheio. R: a) 0,08A ;

R1

R3

R2 e

22

35. No circuito da figura abaixo, que valor deve ter R para que a corrente no circuito seja de 1,0

mA? Considere e1 = 2,0 V, e2 = 3,0 V e r1 = r2 = 3,0 W. R: 994W

36. Quatro resistores de 18,0 W estão ligados em paralelo através de uma bateria ideal cuja fem é de

25,0 V. Qual a corrente que percorre a bateria?

37. A corrente num circuito de malha única com uma resistência total R é de 5 A. Quando uma nova

resistência de 2 Ω é introduzida em série no circuito. A corrente cai para 4 A. Qual é o valor de R?

23

Circuito com várias malhas

Para resolver problemas envolvendo circuitos com mais de uma malha, podemos aplicar a

regra das malhas (já estudada anteriormente) e a regra dos nós de Kirchhoff (também chamada

de lei dos nós).

Lei dos Nós

Em um nó, a soma das intensidades de corrente que chegam é igual à soma das intensidades

de corrente que saem. Esta regra é consequência da conservação das cargas.


38. Na figura abaixo determine a corrente em cada resistor e a diferença de potencial entre a e b.

Considere e1 = 6,0 V, e2 = 5,0 V, e3 = 4,0 V,. R1 = 100 W e R2 = 50 W.

39. Um circuito contém cinco resistores ligados a uma bateria cuja fem é de 12 V, conforme é

mostrado na figura abaixo. Qual é a diferença de potencial através do resistor de 5,0 W?

24

40. Calcule a corrente que atravessa cada uma das baterias ideais do circuito da figura abaixo.

Suponha que R1 = 1,0 W, R2 = 2,0 W, e1 = 2,0 V, e2 = e3 = 4,0 V. b) Calcule Va - Vb.

26

41. Na figura abaixo, qual é a resistência equivalente do circuito elétrico mostrado? (b) Qual é a

corrente em cada resistor? R1 = 100 W, R2 = R3 = 50 W, R4 = 75 W e e = 6,0 V; suponha a bateria ideal.

27

Voltímetro Amperímetro

42. Na figura abaixo, suponha que = 3,0V, r = 100W, R1 = 250W e R2 = 300W. Sabendo-se que a

resistência do voltímetro é RV = 5,0KW, determine o erro percentual cometido na leitura da diferença de

potencial através de R1? Ignore a presença do amperímetro.

43. Na figura do exercício anterior (53), suponha que = 5,0V, r = 2,0 W, R1 = 5,0 W e R2 = 4,0 W.

Sabendo-se que a resistência do amperímetro é RA = 0,10W, determine o erro percentual cometido na

leitura da corrente? Suponha que o voltímetro não esteja presente.

e

e

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