Cap 15 (8a edição)

Movimento Harmônico Simples

Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de certo instante começa

a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O tempo que o corpo gasta

para voltar a percorrer os mesmos pontos da trajetória é chamado de período (T).

No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais como o pêndulo de

um relógio ou um sistema massa-mola.

O movimento harmônico simples - MHS

O movimento harmônico simples - MHS é movimento periódico, e, portanto, o objeto passa

novamente por uma dada posição depois de um período T. O período é o inverso da frequência

f de oscilação:

1T

f=

A frequência é mede o número de voltas completas em um determinado intervalo de tempo e é

medida em 1 1 /Hz hertz oscilação segundo= = , ou seja

nf

t=

MHS e o movimento circular e uniforme

Vamos considerar um corpo que descreve um movimento circular e uniforme, com velocidade

constante v em um círculo de raio R.

Podem-se obter as relações do MHS a partir do movimento circular uniforme. Então, seja o

movimento circular da partícula P’ executado em um círculo de raio xm. Em um instante t a partícula

percorreu um ângulo ( )t + . Então

( )

( )

( )cos

( ) cos

m

m

x tt

x

x t x t

+ =

= +

A relação anterior é a equação horária do MHS.

Na figura abaixo temos o comportamento da velocidade tangencial da partícula. A sua

componente horizontal será dada por:

( )

( )( )

x

x

vsen t

v

v v t vsen t

+ =

= = − +

A aceleração é obtida como:

( )2( ) cosma t x t = − +

Um exemplo típico de aparato que se movimenta segundo um MHS é sistema massa-mola. Uma

mola tem uma de suas extremidades presa em uma parede rígida e a outra extremidade está

presa em um corpo que está sobre uma superfície sem atrito. Quando deslocado de sua posição

de equilíbrio o corpo começa a oscilar.

Um objeto que se desloca em MHS tem a sua posição descrita pela equação

À medida que o tempo evolui, o corpo ocupa as diversas posições mostradas na figura a seguir.

Como o movimento é periódico, teremos que as posições se repetem depois de um tempo igual

ao período T, ou seja,

( )( )x t x t T= +

e portanto

( ) ( ) ( )( ) cos cosm mx t x t T x x T x t T = + = + + = + +

logo:

2

2

2

T T

f

=

= =

MHS - A velocidade

( )( ) m

dxv t x sen t

dt = = − +

Definindo a amplitude da velocidade m mv x= , encontramos que:

( )( ) mv t v sen t = − +

MHS - A aceleração

( )( ) cosm

dva t v t

dt = = − +

Definindo a amplitude da aceleração 2

m m ma v x = = , encontramos que

( )( ) cosma t a t = − +

ou ainda: 2( ) ( )a t x t= −

1. Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a uma mola. Quando posto para

oscilar com amplitude de 35,0 cm, o oscilador repete o seu movimento a cada 0,500s. Determine (a) o período, (b) a

frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante de mola, (e) a velocidade máxima e (f) a intensidade da força

máxima que a mola exerce sobre o bloco.

Oscilador dados: m=0,5kg; xm=0,35m;

(a) T=0,5s .

(b) a freqüência f= 1/T = 2Hz

(c) sradf /42 ==

(d) mNmKm

K/79165,0 22 ===→=

(e)vm=xm=4,4m/s

(f) F=Kxm=27,7N

2. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm a uma frequência de

6,60 Hz?

Dados: xm=2,2 cm e f=6,6 Hz

222 /8,37)2( smxfxa mmm ===

3. Um pequeno corpo com massa igual a 0,12 kg está sujeito a um movimento harmônico simples com

amplitude de 8,5 cm e período de 0,20s. (a) Qual a intensidade da força máxima agindo sobre ele? (b) Se as oscilações

são produzidas por uma mola, qual a constante de mola?

MHS : m=0,12kg ; xm=0,085m; T=0,2s

(a) NxT

mxmmaF mmm 102

22 =

===

(b) mNmKm

K/3,118)10(12,0 22 ===→=

4. Um corpo oscila com um movimento harmônico simples de acordo com a equação

x = (6, 0m)cos (3π rad/s)t + π/3 rad . em t = 2,0 s, qual o (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? Além

disso, qual (e) a frequência e (f) o período do movimento?

MHS : )3/3cos()6()( += tmtx

(a) mtx 3)3/cos(6)3/19cos(6)3/6cos(6)2( ===+==

(b) smsensentv /95,482

318

318)3/6(36)2( −=

−=

−=+−==

(c) 22222 /5,266/27)3/cos(54)3/3cos(6)3()2( smsmtta −=−=−=+−==

(d) fase em t=2s é 3/19 =19,9 rad.

(e) Hzfsradf 5,1/32 =→==

(f) f= 1/T =1,5Hz→ T=0,66s

MHS - A Lei da força

Considerando um sistema massa-mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo que a resultante

das forças que atuam na massa é a força restauradora da mola, encontramos que: 2

2

:

log :

2

F ma m x

mas F kx

o

k

mk m

mT

k

= = −

= −

=

=

=

5. Na figura abaixo, dois blocos (m = 1,0 kg e M = 10 kg) e uma mola (k=200 N/m) estão dispostos sobre uma

superfície horizontal perfeitamente lisa. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,40. Que amplitude do

movimento harmônico simples do sistema blocos-mola deixa o bloco menor na iminência de deslizar sobre o bloco maior?

MHS: M=10kg ; m=1kg; K=200N/m ; μe=0,4; xm=? (sem deslizar sobre M)

mK

Mmgx

Mm

KMHS

mgxmFmgfF

em

emeatr

216,0200

118,94,0)(

)()( 2maxmax

=

=+

=→+

=

==→==

6. Um bloco está sobre uma superfície horizontal (uma mesa vibradora) que se move para frente e para trás na

horizontal, descrevendo um movimento harmônico simples de frequência igual a 2,0 Hz. O coeficiente de atrito estático

entre o bloco e a superfície é igual a 0,50. Qual a maior amplitude possível do MHS para que o bloco não escorregue na

superfície?

Mesa vibradora (MHS) f=2Hz, e =0,5 ; xm=? (sem deslizar sobre a mesa)

cmg

xmgxmF emem 1,3)(

2

2max ==→==

7. Um bloco se desloca em cima de um pistão que se move verticalmente, descrevendo um movimento harmônico

simples. (a) Se o MHS possuir um período de 1,0 s, com que amplitude do movimento o bloco e o pistão se separarão?

(b) Se o pistão possuir uma amplitude de 5,0 cm, qual será a frequência máxima para a qual o bloco e o pistão estarão

continuamente em contato?

MHS vertical. T=1s

(a) Hzg

xmgxmF mm 25,04

8,9

22

2max ===→==

(b) HzfHzfassimf

gxmgxmF mm 23,2)(97,4

05,04

8,9,,

)2(05,0 2

2

2

2

2max =→=

===→==

8. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em algum instante t, a posição (medida

a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100 m, v = -13,6 m/s e a =

-123 m/s2. Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.

Oscilador massa-mola: K=400N/m ; num tempo t → x(t)=0,1m; v(t) =-13,6m/s e a(t)=-123m/s2

(a) Hzfsradxa 6,5/351,0

1232 =→==→−=

(b) kgmm

K33,0

35

400

2==→=

(c) Para qualquer tempo vale: 222

222KxmvKxm += ; então mx

K

mvxm 4,02

2

=+=

MHS - Considerações sobre energia

A energia potencial elástica de um sistema massa - mola é definida como:

( )2 2 21 1( ) cos

2 2mU t kx kx t = = +

e a energia cinética desse sistema é definida como:

( )2 2 21 1s

2 2c mE mv kx en t = = +

A energia mecânica EM, definida como a soma das energias cinética Ec e potencial U, terá a

forma:

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1cos s

2 2

1 1cos s .

2 2

M c m m

M m m

E U E kx t kx en t

E kx t en t kx cte

= + = + + +

= + + + = =

Podemos representar as energias no gráfico abaixo:

9. Um objeto de 5,00 kg sobre uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com constante de mola

de 1000 N/m. O objeto é deslocado 50,0 cm na horizontal da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de

10,0 m/s para trás no sentido da sua posição de equilíbrio. (a) Qual a frequência do movimento? Qual (b) a energia

potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude da oscilação?

Oscilador massa-mola: m=5kg ; K=1000N/m ; x=50cm e vo=10m/s.

(a) Hzfsradm

K25,2

2/14,14 ==→==

(b) JKx

Ep 1252

2

==

(c) Jmv

Ec 2502

2

==

(d) mxJJJKx

E mm

total 0866,03752501252

2

=→=+==

10. Uma mola vertical se alonga 9,6 cm quando um bloco de 1,3 kg é pendurado em sua extremidade. (a) Calcule

a constante de mola. Depois, este bloco é deslocado outros 5,0 cm para baixo, sendo solto a partir do repouso. Encontre

(b) o período, (c) a frequência, (d) a amplitude e (e) a velocidade máxima do MHS resultante.

Mola vertical: x=9,6cm; m=1,3kg.

(a) mNx

mgKmgKx /7,132==→=

(b) sTsradm

K62,0

2/1,10 ==→==

(c) f=1/T=1,6Hz

(d) cmxm 5= (e) smxv mm /5,005,01,10 ===

11. Um bloco de massa M, em repouso em cima de uma mesa horizontal sem atrito, está preso a um suporte rígido

por uma mola com constante k. Uma bala de revólver com massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na

figura abaixo. A bala fica alojada no bloco. Determine (a) a velocidade escalar do bloco imediatamente após a colisão e

(b) a amplitude do movimento harmônico simples resultante.

Choque inelástico

(a) Conservação do momento linear vMm

mvvMmmv

+=→+= )( .

(b) Conservação de Energia )(22

)(22

MmK

mvx

KxvMmm

m

+=→=

+

Um oscilador harmônico simples angular - O pêndulo de torção

Vamos considerar um disco preso a um fio que passa pelo seu centro e perpendicular à sua

superfície, como mostra a figura

Se giramos o disco a partir de sua posição de equilíbrio (θ = 0) e depois soltarmos, ele irá oscilar

em torno daquela posição em Movimento Harmônico Simples - MHS entre os ângulos θm e – θm.

Rodando o disco de um ângulo θ em qualquer direção, faremos surgir um torque restaurador

dado por onde é a constante de torção:

=

Como a força restauradora é a única que atua no plano do disco, ela provocará o torque

resultante:

I =

onde I é o momento de inércia do disco e é a sua aceleração angular. Desse modo, temos

que: 2

2

2

2

log :

0

dI

dt

o

d

dt I

= = −

+ =

A equação anterior define a frequência angular de oscilação do pêndulo de torção

2

k

I

IT

k

=

=

Pêndulos

Os pêndulos fazem parte de uma classe de osciladores harmônicos simples nos quais a força

restauradora está associada à gravidade, ao invés das propriedades elásticas de um fio torcido

ou de uma mola comprimida.

O pêndulo simples

O pêndulo simples é composto de um corpo suspenso através de um fio de massa desprezível,

e ele é posto a oscilar em torno de sua posição de equilíbrio. No seu movimento a corpo descreve

um arco de circunferência.

A componente do peso, tangencial ao deslocamento, é a força de restauração desse movimento,

porque age no corpo de modo a trazê-lo de volta à sua posição central de equilíbrio. A

componente do peso, perpendicular ao deslocamento é equilibrada pela tração exercida pelo fio,

de modo que a resultante das forças tem a forma

F Mg sen= −

Para pequenos ângulos, pode-se usar sen e escrever F Mg= − . Sendo s L= o

arco que descreve a trajetória do pêndulo, temos que:

mgF s

L= −

que é uma equação do tipo F kx= − com mg

kL

=

Um corpo sob ação de uma força do tipo F kx= − , executa um movimento harmônico simples

com período 2m

k = .

Então, um pêndulo simples executa um movimento harmônico simples com período dado por

2 2

m

LmgT

L g = =

O pêndulo físico

A maior parte dos pêndulos do mundo real não é nem ao menos aproximadamente Simples

Vamos considerar um objeto de forma arbitrária, que pode oscilar em torno de um eixo que passa

pelo ponto O, perpendicular à folha de papel. O eixo está a uma distância h do centro de massa,

onde atua a força peso.

Quando o pêndulo da figura é deslocado de sua posição de equilíbrio de um ângulo θ, surge um

torque restaurador. O torque restaurador será gdsen , que é devido à componente

tangencial da força da gravidade. Como o torque t é proporcional a senq e não a θ, não é válida

aqui, em geral, a condição de movimento harmônico simples angular. Se os deslocamentos

angulares forem pequenos pode-se usar sen , e assim, para pequenas oscilações, temos

que:

dMg = −

que pode ser escrito como: k = − , onde a constante k dMg= .

Comparando o movimento de rotação com o de translação, podemos afirmar que no movimento

de rotação, um corpo sob ação de um torque restaurador k = − , executa um movimento

harmônico simples angular de período.

2I

Tk

=

Então, para pequenas amplitudes o pêndulo físico executa um movimento harmônico simples

angular com período dado por:

2I

ThMg

=

Tabela com alguns momentos de inércia.

12. Uma vareta com comprimento L oscila com um pêndulo físico, pivotada em torno do ponto O na Fig.09. (a)

Deduza uma expressão para o período do pêndulo em termos de L e de x, à distância do pivô ao centro de massa do

pêndulo. (b) Para que valor de x/L o período é mínimo? (c) Mostre que se L = 1,00 m e g = 9,80 m/s2, este mínimo é igual a 1,53 s.

Pêndulo Físico :

+= 2

2

12Mx

MLIhaste

(a) ( )2/12/12222

)12(12

2

12

1222)( −+=

+== xxL

MgMgx

MxML

Mgd

IxT haste

(b) Para encontrar o ponto de mínimo derivamos em relação a x e igualamos a zero.

mLxLxxLx

teremosxLxporndomultiplicaxLxxxL

xLxxxxLMgdx

dT

2886,012/120)12(24

,)12(0)12(24)12(

0)12()2/1(24)12()2/1(12

2

22222

2/1222/32/1222/32/12/122

2/1222/32/12/122

==→=→=+−

+=+−+

=+−++=

−−

−−−

(c) sLg

LLxT 52,1

)12/(12

)12/(122)(

22

=+

=

13. Pêndulo da Fig.08 é formado por um disco uniforme com 10,0 cm de raio de massa de 500 g preso a uma haste

uniforme com comprimento de 500 mm e massa de 270 g. (a) Calcule a inércia à rotação do pêndulo em torno do pivô.

(b) Qual à distância entre o pivô e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período de oscilação.

Disco R=10cm e M=500g . Haste L=500mm e m=270g

(a) Em relação ao centro de massa de cada um; Idisco= 2

2MR e

12

2mLIhaste = .

As distâncias dos centros de massa do ponto de sustentação são L/2 para a haste e (L+R) para o disco.

Então:

+++

+=+= 2

222

)(2412

RLMMRmLmL

III discohasteconjunto

2205,018,00025,00225,0 kgmIconjunto =++=

(b) mmM

LmRLMxCM 477,0

)2/()(=

+

++=

(c) sgdmM

IT 5,1

477,08,977,0

205,02

)(2 =

=

+=

14. Na figura abaixo, um pêndulo físico é formado por um disco sólido uniforme (de massa M e Raio R) suportado

em um plano vertical por um pivô localizado a uma distância d do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno

ângulo e solto. Encontre uma expressão para o período do movimento harmônico simples resultante.

Período do Pêndulo Físico Mgd

IT 2= . Onde o momento de Inércia é 22 2/ MdMRI += . Assim

gd

dR

gd

dR

Mgd

MdMRT

2

22

2/2

2/2

222222 +=

+=

+=

MHS amortecido

Em diversas situações do nosso cotidiano, os movimentos oscilatórios têm uma duração finita,

eles têm um começo e um fim. Isso acontece, basicamente, devido forças dissipativas tais como

as forças de atrito. Em uma situação simples as forças dissipativas podem ser representadas por

uma função que depende linearmente da velocidade.

dF bv= −

Onde b é uma constante de amortecimento.

Vamos considerar um sistema composto de uma mola de constante elástica k com uma das

extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de massa m. Nesse corpo está

presa uma haste vertical que tem a sua outra extremidade presa a um anteparo que está

mergulhado em um líquido. Quando o anteparo se move no líquido esse movimento é amortecido

por uma força que surge devido à viscosidade do líquido.

A resultante das forças que atuam no corpo de massa m é dada por:

0

resF kx bv ma kx bv

ma kx bv

= − − = − −

+ + =

A forma diferencial da equação anterior é:

2

20

d x dxm b kx

dt dt+ + =

A solução da equação diferencial anterior tem a forma

( )'2( ) cosbt

mmx t x e t

−

= +

Onde

2'

24

k b

m m = −

É a frequência angular do oscilador amortecido.

O gráfico da posição em função do tempo para o MHS amortecido é dado por: