oscilações amortecidas. oscilações forçadas....

Física B2 – 2012/01 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES

� Oscilações amortecidas.

� Oscilações forçadas.

� Ressonância.

Oscilações


Amortecimento: vamort xf b= −

v ( )xma kx b F t= − − +

2

2( )

d x b dx kx F t

dt m dt m+ + =

Equação diferencial de 2ª ordem inomogênea

Força externa: ( )F t

Da 2ª Lei de Newton:

Lei de Hooke: xF kx= −

Oscilações amortecidas e forçadas:


Oscilações amortecidas:

Física II – Termondinâmica e Ondas

Sears | Zemansky | Young | Freedman



Solução – caso subamortecido:

( /2 )( ) cos( ' )

b m tx t Ae t

−= ω + φ

2

2'

4

k b

m mω = −

Amortecimento: vamort xf b= −

2

20

d x b dx kx

dt m dt m+ + =Equação diferencial: Equação diferencial de 2ª ordem homogênea

Em muitos casos: 2 'bk

mkm ω⇒ ≅ ω =<<

MHS com amplitude decrescente:

( /2 )( )

b m tA t Ae−=

2b km<



http://www.splung.com/content/sid/2/page/damped_oscillations

Subamortecimento: 2b km<

Amortecimento crítico: 2b km=

Superamortecimento: 2b km>



Energia mecânica:2 21 1

v2 2

xE m kx= +

( ) 2vv v vx

x x x x

dE d dxm kx ma kx b

dt dt dt= + = + = −

Potência dissipada no amortecimento:

2v vx amort

dEb f

dt= − = ⋅

�

�

vamort xf b= −


2

2( )

d x b dx kx F t

dt m dt m+ + =

Equação diferencial de 2ª ordem inomogênea

Força externa periódica:

( ) cos( )máx dF t F t= ω

Oscilações amortecidas e forçadas:

Equação diferencial:

Solução estacionária – MHS com frequência ωd e amplitude dependendo da frequência:

2 2( )

( )

máxd

d d

FA

k m bω =

− ω + ω

( ) má/ ximod dAk m ⇒ ωω =

Ressonância!


Oscilações forçadas e ressonância:





http://www.if.ufrj.br/~neumann/flash/forcado.html


A ponte de Tacoma

http://www.enm.bris.ac.uk/research/nonlinear/tacoma/tacoma.html



Exemplos de ressonância mecânica (acústica):


http://www.soundpiper.com:8080/mln/brain.htm

http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-13573631

http://metaist.com/blog/2010/01/resonance.html


Outros exemplos de ressonância – circuitos elétricos:


http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/serres.html


Outros exemplos – Ressonância magnética nuclear (RMN):


“NMR Logging: Principles and Applications”, Coates et al. 1999.


Bibliografia:

� Física II – Termodinâmica e Ondas, H. D. Young & R. A. Freedman, 12a ed.,

Pearson, 2008.

� Curso de Física Básica. Vol. 2 – Fluidos, Oscilações, Ondas e Calor, Moisés

Nussenzveig, Edgar Blücher, 1996.

� Física Conceitual, P. G. Hewitt, 11a ed., Bookman, 2011.

� A Física e o nosso mundo, Hans Christian von Baeyer, Elsevier, 2004.

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