1.1 oscilações

7/23/2019 1.1 Oscilações

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VIBON - LEEC 14-10-2011

Arcelina Marques 1

Vibrações e Ondas2º ano LEEC

Movimento Oscilatório

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Movimento Oscilatório

• Todo o movimento resultante de uma força a actuar num corpoproporcional ao seu deslocamento, com direcção oposta ao domovimento.

Exemplos do dia-a-dia

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Tipo de Movimento Oscilatório

• Movimento Harmónico Simples (MHS) – Há conservação de energia mecânica do sistema. Sistema

ideal.

• Movimento Harmónico Amortecido – A energia mecânica do sistema vai diminuindo. Sistema real.

• Oscilações Forçadas – A aplicação de uma força externa pode compensar a perda deenergia mecânica.

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Movimento Harmónico Simples

restauradoraF kx

ma kx k a x

m

Sempre direccionada para o ponto deequilíbrio do movimento.

Recordando:

.

2

2

dv d xa

dt dt a v x

Equação do diferencialdo movimento:

Equação do movimento(solução da eq.diferencial):

0k

x xm

( ) c o s ( ) x t A t

Condição necessária e suficiente para existir MHS:A aceleração é proporcional ao deslocamento relativoa uma posição de equilíbrio, e tem o sentido oposto.

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Características do movimento

• ..\ph14e\ph14e\springpendulum.htm

Parâmetros Característicos do Movimento

A [m]: Amplitude do movimento;T [s]: Período; f [Hz]: Frequência; [rad/s]: Frequência angular; [rad]: Fase.

22 f

T

( ) c o s ( ) x t A t

k

m

5

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Valores máximos

( ) c o s ( ) x t A t

( ) s in ( )d x

v t x A t d t

2

2

2 2-

( )

c o s ( ) ( )

d xa t x

d t

A x t t

m a xv A

2

m a xa A

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Exercício de aplicação

Suponha o sistema da figura. Sabe-se que ao puxar a massa para forada sua posição de equilíbrio, na direcção representada, se obtém umaforça proporcional ao deslocamento. Neste caso, a intensidade daforça observada é de 4 N relativa a um deslocamento de 0,02 m . Amassa de 2 kg é puxada até uma distância de 0,04 m e posteriormentelargada. Determine a constante da mola.

7

k

m

a. Determine o período e a frequência deoscilação.

b. Calcule a velocidade máxima atingida

pela massa.c. Calcule a aceleração máxima.d. Determine a velocidade e a aceleração

quando o corpo está a meio do seudeslocamento máximo (para o centro).

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Energia do Oscilador Harmónico Simples

Não existindo atrito, haverá conservação da energia mecânica dosistema:

Recordando: 21

2 p o te nc ia l

E k x21

2c i n é t i c a

E m v

2 21 1( ) ( )

2 2m ec â nic a c in étic a p ote n cia l E E E m v t k x t

A energia mecânica é constante: Porque tem este valor?21

2t o t a l

E k A

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s e n 0g

L

Pêndulo Simples

• Forças a actuar no sistema: T e P:• variável angular que descreve o movimento:

Recordando:

m ax( ) c o st t g

L

9

s L

2

2sen

d sF mg m

dt

s e n

2 L

T g

(pequenas oscilações)

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Vários Pêndulos

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• Pêndulo simples: – Período do movimento (pequenas oscilações):

• Pêndulo composto: – Período do movimento:

• Pêndulo de torção: – Período do movimento:

2T g

2 I

T mgd

2 I

T

[m4]: constante de torção;

I [kgm2]: momento de inércia;

m[Kg]: massa; d [m]: distância do pivot ao centro de massa;

[m ]: comprimento do fio; g [ms-2]: aceleração da gravidade;



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Oscilações Amortecidas

Na realidade, em sistemas harmónicos simples, devemos sempre considerar asforças dissipadoras, e.g., a fricção, que são forças que vão atenuar o movimento efazer diminuir a energia mecânica do sistema Força retardadora Movimentoamortecido.

retardadoraF v v[ms-1]: velocidade;

[N/ms-1]: constante de amortecimento;

restauradoraF m a kx v

2( ) c o s ( )et

m x t A t

2

2

k

m m

Equação do movimento

Frequência angular de oscilação0

k

m

Frequência natural de oscilação

Oscilador SEMamortecimento

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Tipos de Movimento Amortecido

• Movimento Fracamente Amortecido – Movimento que apresenta oscilações, cuja amplitude decai com o tempo.

• Movimento Criticamente Amortecido – Não há movimento oscilatório.

A amplitude decresce rapidamente até zero.

• Movimento Fortemente Amortecido – A força retardadora é muito superior à força restauradora. O sistema

retorna lentamente ao seu ponto de equilíbrio.

http://www.math.ualberta.ca/~ewoolgar/java/Hooke/HookeWindow.html

maxv kA

02crítico m

02m

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ar q u e s • Movimento Fracamente Amortecido

– Movimento que apresenta oscilações, cuja amplitude decai com o tempo.

• Movimento Criticamente AmortecidoA amplitude decresce rapidamente até zero.

• Movimento Fortemente AmortecidoA amplitude decresce rapidamente até zero.

Equações do movimento amortecido

2( ) c o s ( )et

m x t A t

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2( ) ( )et

m x t A B t

2( ) ( )e e et

t t m x t A B

2

2

k

m m

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Comparação entre movimentos

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Oscilações Forçadas

Exemplo de aplicação: Porquê?

A aplicação de uma força externa pode compensar a perda de energia mecânica.

A força externa do“empurrão” periódico, poderepor a quantidade de energiaque se dissipa devido aomovimento amortecido.

cos( )externaF F t

Fext[N]: amplitude da força (constante); [rads-1]: frequência angular da força externa;

cos( )ext mx kx x F t Equação diferencial do movimento

( ) ( ) cos( ) x t A t com 2

22 2

0

ext F

m A

m

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Ressonância

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– A amplitude tem um valor muito alto para um factor de amortecimentodesprezável ( 0);

– À medida que se aproxima de

, a amplitude de oscilação tende paraum valor cada vez mais alto, condicionado apenas pelo amortecimentopresente;

– A amplitude diminui à medida que o amortecimento aumenta ;

– A curva de ressonância alarga com o aumento do amortecimento.

– O factor de qualidade, Q , de um oscilador determinao quanto próximo ele estará de ser um sistema não-amortecido;

– A potência P (energia por unidade de tempo)do oscilador (sistema oscilante) é determinada por:

– Nesta circunstâncias, a força externa F, e a velocidade v, estão em fase.

0

1

Q

P F v



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Curvas de ressonância

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2

22 2

0

ext F

m

A

m

..\ph14e\ph14e\resonance.htm

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Outros exemplos de ressonância

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http://br.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs

http://mysite.verizon.net/vzeoacw1/impedance.html



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Bibliografia

• Tippler & Mosca – Physics for Scientists and Engineers , 5th ed.• Capítulo 14: pág. 403 – 432.

• Serway & Jewett – College Phys ics, 7th ed.• Capítulo 13: pág. 424 – 441.

• Halliday, Resnick, Walker – Fundamentals of Physics , 8th ed.• Capítulo 13: pág. 389 – 413.

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