13. oscilações eletromagnéticas (baseado no halliday, 4a...

[Cristóvão R M Rincoski] p. 001

13. Oscilações Eletromagnéticas (baseado no Halliday, 4a edição)

Nova Física − Velha Matemática

Aqui vamos estudar:

1) como a carga elétrica q varia com o tempo num circuito constituído por um

indutor (L), um capacitor (C) e um resistor (R).

2) como a energia é transferida do campo elétrico do capacitor para o campo

magnético do indutor e, vice-versa, sendo dissipada gradualmente no resistor →

oscilador amortecido.

13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13

O que já foi visto:

1) em um sistema mecânico oscilante, constituído por um bloco de massa m, umamola de constante elástica k com a massa imersa em um fluido viscoso (tal comoóleo) → o deslocamento x varia no tempo.

2) neste sistema a energia oscila entre a cinética da massa oscilante e a energiapotencial da mola, sendo dissipada gradualmente (fluido viscoso) em energiatérmica → oscilador amortecido.

Então existe um paralelo entre os dois sistemas idealizados:

a) as equações diferenciais são idênticas, e

b) vamos simplesmente trocar os símbolos das variáveis prestando atenção àsituação física.



Oscilações LC: Estudo Qualitativo

Elementos de circuito: resistência R, capacitância C e a indutância L → desteselementos estudamos até agora o circuito RC e RL.

RC e RL → a carga e a corrente elétrica crescem e decrescem exponencialmenteno tempo → constantes de tempo capacitivas (C = RC) e indutivas (L = L/R).

Nos falta portanto estudar LC e RLC.

LC → a carga e a corrente elétrica não variam exponencialmente (com umaconstante de tempo ), mas senoidalmente (com uma frequência angular ).

“A carga e a corrente elétrica, no circuito LC, oscilam → ‘o circuito oscila’.”

Circuito LC

A) Inicialmente o capacitor está totalmente carregado com carga elétrica q, e acorrente elétrica i no indutor, é zero (a corrente no circuito é zero).

CL+ + + +

− − − −E

UB UE



B) O capacitor começa a se descarregar no indutor (i = dq/dt).

a) A energia armazenada no campo elétrico do capacitor:

ouC

qU E

2

2

=2

02

1EuE =

b) A energia armazenada no campo magnético do indutor é zero pois a corrente ézero:

ou2

2

1iLU B =

2

02

1BuB

=

a) A energia armazenada no campo elétrico do capacitor diminui (q diminui).

b) Esta energia é transferida para o campo magnético do indutor (i está crescendo).

“o campo elétrico diminui, o campo magnético aumenta e a energia é transferida docampo elétrico para o campo magnético.”

+ + + +

− − − −

i

i

CL EB

UB UE



C) Agora, o capacitor está totalmente descarregado.

a) Então, q = 0 C, E = 0 N/C, e a energia associada ao campo elétrico UE = 0 J.

b) A energia foi totalmente transferida ao campo magnético do indutor e a correnteelétrica é máxima (i = dq/dt).

CLB

UB UE

i

i

D) A corrente intensa do indutor, continua a transportar carga para o capacitor.

a) A carga positiva começa a acumular na parte inferior do capacitor (portanto anegativa fica na parte superior) aumentando o campo elétrico e a energia nocapacitor.

b) A energia agora flui do indutor para o capacitor.



− − − −

+ + + +

i

i

CL EB

UB UE

E) O capacitor fica totalmente carregado, e a corrente elétrica do indutor cessa (i =0 A).

Quase voltamos à condição inicial, pois agora, o capacitor está carregadoinversamente, e ele começa a descarregar novamente no indutor (no sentidocontrário ao anterior).

− − − −

+ + + +

CL E

UB UE

F) O capacitor começa a se descarregar novamente no indutor.

a) Agora a corrente está no sentido contrário do caso B.

b) O campo magnético cresce no indutor, mas no sentido contrário do caso B.



− − − −

+ + + +

i

i

CL EB

UB UE

G) O capacitor descarregará totalmente (q = 0 C, E = 0 N/C, UE = 0 J), e a correnteelétrica (mas com sentido contrário) e a energia do campo magnético no indutorserá máxima.

CLB

UB UE

i

i

H) O indutor volta a carregar o capacitor com a mesma polaridade do caso A,reiniciando o processo, novamente.

Associado a esta repetição (ciclo), podemos definir uma freqüência f ( = 2 f). Umavez iniciada as oscilações, numa situação ideal, estas se manteriamindefinidamente → contínua troca de energia entre o campo elétrico e o magnético.



Este problema (circuito LC ideal) é similar ao que acontece com o sistema massa-mola (sem amortecimento).

Podemos determinar a carga e a corrente elétricas em função do tempo

a) Carga elétrica: usando um voltímetro medimos a d.d.p. vC (variável no tempo)entre as placas do capacitor, então

e vC é proporcional a q → assim, podemos calcular q.

qC

vC

=

1

“Aqui supomos R muito pequena para que seu efeito sobre o comportamento docircuito seja desprezível.”

b) Corrente elétrica: inserindo uma pequena resistência R, em série no circuito,podemos medir a d.d.p vR (variável no tempo) nesta resistência

e vR é proporcional a i → assim, podemos calcular i.

iRvR =



A C E G A C E G A C E G

v C(=

q/C

)v R

(= R

i)

Ao lado → as variações de q e i (ou maisprecisamente de vC e vR) no tempo.

A, C, E e G → diferentes estágios de oscilaçãoconforme o exposto anteriormente.

“Num circuito LC real, as oscilações não continuamindefinidamente, pois existe uma resistência presenteque retira gradualmente a energia dos camposelétrico e magnéticos → dissipando sob a forma deenergia térmica.”

Compare esta figura, decaimento das oscilações, com as oscilações mecânicasamortecidas, de um sistema bloco-mola (massa-mola) causado pelo atrito.

Analogia com o Movimento Harmônico Simples

Aqui vamos estudar a analogia entre o sistema LC e o sistema bloco-mola.

Analogia sob o ponto de vista matemático (tabela abaixo):



Sistema Mecânico Sistema Eletrônico (LC)

Elemento Energia Elemento Energia

Mola U = k x2 / 2

Bloco K = m v2 / 2

v = dx / dt

Capacitor UE = q2 / 2 C

Indutor UB = L i2 / 2

i = dq / dt

Mola estendida ou comprimida→ energia potencial elástica.

Bloco em movimento → energia cinética.

Sob o ponto de vista matemático:

“O capacitor é o análogo a uma mola e, um indutor a uma massa, bem como asalgumas grandezas eletromagnéticas correspondem a certas grandezas mecânicas

q corresponde a x,i corresponde a v,C corresponde a 1 / k,L corresponde a m.”



Este resultado está correto como veremos a seguir.

A frequência angular natural de oscilação de um sistema bloco-mola

corresponde am

k=

LC

1=

Oscilações LC: Estudo Quantitativo

Aqui vamos deduzir a equação para a frequência angular das oscilações LC.

E estreitar a analogia entre as oscilações LC e as oscilações bloco-mola.

U → energia mecânica total (antes era usado E, mas para comparação...)Ub → energia cinética do bloco em movimentoUk → energia potencial da mola esticada ou comprimida

O Oscilador Bloco-Mola

Equação diferencial que governa a transferência de energia do osciladorbloco-mola.

(onde vamos fazer uma mudança de letras das variáveis para simplificar acomparação)

22

2

1

2

1xkvmUUU kb +=+=



Para sistemas sem atrito (sistemas conservativos) U permanece constante, logo

onde e .2

2

dt

xd

dt

dv

dt

dxv ==0

2

1

2

1 22=+=

+=

dt

dxxk

dt

dvvmxkvm

dt

d

dt

dU

X → amplitude das oscilações mecânicas → frequência angular das oscilações → constante de fase

Equação diferencial fundamental que governa as oscilações bloco-mola

(oscilações bloco-mola)

Com deslocamento x(t) dada por

02

2

=+ xkdt

xdm

)cos()( += tXtx

O Oscilador LC

Vamos analisar → circuito LC sem resistência, da mesma forma que acima.

C

qiLUUU EB

22

1 22 +=+=

U → energia em qualquer instante no circuitoUB → energia potencial armazenada no campo magnético do indutorUE → energia potencial armazenada no campo elétrico do capacitor



Como não temos resistência no circuito (sistema conservativo) U permanececonstante, logo

onde e .2

2

dt

qd

dt

di

dt

dqi ==0

22

1 22 =+=

+=

dt

dq

C

q

dt

diiL

C

qiL

dt

d

dt

dU

Q → amplitude das variações da carga → frequência angular das oscilações eletromagnéticas → constante de fase

Equação diferencial fundamental que descreve um circuito LC

(oscilações LC)

Como as equações são matematicamente idênticas, sua solução também deve ser

01

2

2

=+ qCdt

qdL

)cos()( += tQtq

Para testar a resposta, podemos fazer

e então

e

)cos()( 2

2

2

+−=+−== tQdt

qdtsenQi

dt

dq

CLtQ

CtQL

10)cos(

1)cos(2 ==+++−



Obs.: 1) notar que obtivemos o mesmo valor de que o obtido por comparação.

2) a constante de fase é determinada pelas condições iniciais para t = 0s.

Ex.: se = 0 para t = 0 s, temos q = Q e i = 0 A. (situação A)

Energia elétrica armazenada no circuito LC

)(cos22

222

+== tC

Q

C

qU E

Energia magnética armazenada no circuito LC

comoCL

tsenQLiLU B

1)(

2

1

2

1 2222 =+==

)(2

22

+= tsenC

QU B

En

erg

ia

Tempo0 T/2 T

Q2/2CU (= UB+UE)

UE(t)

UB(t)

Note: 1) a soma das energias permanececonstante e T é o período da oscilação.

2) para o caso de = 0

a) UE e UB têm como valor máximo Q2/2C.b) UE + UB = constante.c) Quando UE é máximo, UB é zero, e vice-versa.



Oscilações Amortecidas num Circuito RLC

Quando uma resistência R está presente em, um circuito LC, a energia

eletromagnética total não é mais constante → transformada em energia térmica no

resistor.

A energia total é dada por →

Como U não é mais constante, isto é, ela diminui com o tempo, numa taxa

C

qiLUUU EB

22

1 22 +=+=

Ridt

dU 2−=

Derivando a energia total →

Como e

Ridt

dq

C

q

dt

diiL

dt

dU 2−=+=

2

2

dt

qd

dt

di

dt

dqi ==

(equação do circuito RLC)01

2

2

=++ qCdt

dqR

dt

qdL

Equação diferencial que descreve as oscilações amortecidas, no domínio do tempo.

Fazendo R = 0 , temos a equação diferencial do circuito LC não amortecido.



A solução geral da equação diferencial, do circuito RLC amortecido

)'cos(2/ += − teQq LtR

Na qual → eLC

LR1

)2/('2

=−=

Onde a → a frequência do oscilador harmônico amortecidob → constante de amortecimentoxm → amplitude máxima

A equação q = q(t), acima, é idêntica à equação para o deslocamento em função dotempo num movimento harmônico simples (MHS) amortecido

)cos()( 2/ += − textx amtb

m

Na qual → e para 04 2

2

==−= bm

k

m

b

m

ka

Q e-Rt/2L

Q e-Rt/2L

q(t) 10) A frequência angular ’ é sempre menor que (verequações acima).

20) Consideraremos apenas os casos onde R é muitopequeno a ponto de podermos fazer ’ = , semcometer erro apreciável.



Oscilações Forçadas e Ressonância

Discutimos → oscilações livres de um circuito LC.

→ oscilações amortecidas de um circuito RLC.

→ para amortecimento pequeno ambos os tipos de oscilações têm

frequência angular dada por:

(chamaremos de frequência angular natural dosistema oscilante)LC

10 =

A mudança → 0, porque agora o circuito está submetido a uma fem:

tsenm =

m → amplitude da fem → frequência angular propulsora

1) Oscilações forçadas: oscilações resultantes de carga, corrente e potencialneste circuito.

2) Correntes transientes: assim que essa fem é aplicada, surgem no circuito ascorrentes transientes.

Estamos interessados na corrente senoidal que se estabelece no circuitodepois que as correntes transientes cessam.



“Qualquer que seja a frequência natural 0, as oscilações da carga, da corrente eda diferença de potencial no circuito, ocorrem com a frequência angular propulsora.”

F =Fm sen t

V

k

m

b

C

L

R

G

=m sen t

F → força externa alternada (senoidal)V → elemento vibrador externok → constante elástica da molam → massab → constante de amortecimento

→ fem alternada (senoidal) externa à RLCG → gerador de fem externo à RLCC → capacitânciaL → indutânciaR → resistência

As correspondências são praticamente as mesmas de antes:F → V → Gk → Cm → Lb → R



As oscilações forçadas em um circuito RLC serão examinadas no próximo capítulo(Corrente Alternada).

Agora vamos apenas analisar alguns resultados gráficos.

Assim como a fem podemos afirmar que a corrente também segue umaequação parecida

)( −= tsenIi

I → amplitude da corrente → medida da resposta do circuito à fem aplicada → frequência angular propulsora

Condição de ressonância: I será máximo quando a frequência propulsora, , forigual à frequência natural, 0:

(ressonância)0 =

10) Gráficos de I = I (/0).20) Cada gráfico corresponde a um valor de Rdiferente, mas para os mesmos valores de L eC.30) Cada curva apresenta um pico na condiçãode ressonância.40) A medida que R diminui, o pico fica maisacentuado.

/0

I

1,0

R = 10

R = 30

R = 100

L e C fixos



As curvas de ressonância → explicam como sintonizamos uma estação de rádio:

Ao “girarmos o botão” de sintonia, estamos ajustando a frequência natural 0

do circuito LC (interno do rádio) à frequência , do sinal externo transmitidopela emissora → estamos buscando a ressonância.

Numa região metropolitana, onde existem muitas frequências próximas → aagudeza da sintonização torna-se muito importante (largura média mais estreita).

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